Séries numériques à termes réels ou complexes

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1 Séries mériqes à termes réels o comlexes Das tot ce chaitre, K désige Á o  Prélimiaires Défiitio Ue site d'élémets d' esemble F est e alicatio de À das F Por tot etier, o ote alors () ar Remarqes 2 O et oter la site ar ( ), ar ( ) 0 o simlemet ar ( ) O dit assi qe est la site de terme gééral Das le cas où est e foctio de À das F défiie or t N, o arle de site défiie à artir d rag N et o ote ( ) N Défiitio 3 Ue site mériqe est e site d'élémets de Á o de  Défiitio 4 Ue site mériqe coverge vers l Á o  si et selemet si : H!0, 0 À / t 0 Ÿ l ε Remarqes 5 La défiitio de limite est similaire si l'o cosidère les sites défiies à artir d' certai rag E cas d'existece d'e limite, o ote lim, o simlemet + = l W + l W l La limite, si elle existe, est iqe Ue site qi coverge vers l vérifie : À, = l ε avec lim ε = 0 + Das la défiitio, les sigles " " corresodet a modle (idetiqe à la valer absole sr Á) Das le cas d'e site mériqe réelle v, o dit qe v ted vers +f si et selemet si : A!0, 0 À / t 0 Ÿv! A O ote alors lim v, o ls simlemet + = + v W + O défiit de maière similaire lim v ar : A0, 0 À / t 0 Ÿv A + = Fracis Wlaziski

2 Proriété 6 Ue site mériqe covergete est borée Proriété 7 Soit e site réelle croissate (resectivemet décroissate) Si est borée alors coverge Si 'est as borée alors lim (resectivemet ) + = + lim + = Remarqe 8 Les résltats sot idetiqes si la mootoie 'est vérifiée q'à artir d' certai rag Proriété 9 Ue site comlexe de terme gééral = a + ib (où a et b sot des réels) est covergete si selemet si les sites réelles de terme gééral resectif a et b sot covergetes Défiitio 0 O dit q'e site mériqe est e site de Cachy si et selemet si : H!0, 0 À / ( t 0 et t 0 ) Ÿ ε Théorème Por q'e site mériqe soit covergete, il fat et il sffit q'elle soit de Cachy Rael 2 Les esaces Á sot des esaces métriqes comlets Proriété 3 Ue sos-site d'e site mériqe covergete est covergete de même limite Proriété 4 De tot site mériqe borée, o et extraire e sos-site covergete Proriété 5 k La somme s = = des remiers termes d'e site arithmétiqe de raiso r ( Â) et de remier terme 0 ( Â) est s = 0 + ( ) r = 2 2 ( 0 + ) Fracis Wlaziski 2

3 Proriété 6 k La somme s = = ( Â) et de remier terme 0 ( Â) est : q Si q z, s = 0 q k = 0 q Si q, s = 0 q k = 0 des remiers termes d'e site géométriqe de raiso q Remarqes 7 Das le cas où q = et 0 =, o a : s = + ( ) ( ) = 0 si est air = si est imair Pls gééralemet, la somme de termes coséctifs (dot le remier est d'ordre ) d'e site + q géométriqe de raiso q z est k = q k= 2 Défiitios de base Défiitio 2 Soit ( ) 0 e site d'élémets de K Soit N etier atrel O aelle somme artielle d'idice N o d'ordre N des ( ) la qatité s N des N + remiers termes de la site Défiitio 22 N = =0 c'est-à-dire la somme O aelle série de terme gééral la site de terme gééral s = k (= ) Exemle 23 La série de terme gééral est la site de terme gééral c'est à dire + k + = ; + 2 ; ; ; ; Remarqes 24 Nos orros cosidérer des séries dot le remier terme est d'ordre 0 Par exemle, la série de terme gééral e et commecer à l'ordre 0 Cette série est la site de terme gééral k 2 2 k= c'est-à-dire ; ; ; ; ; ( + ) 2 ; O arle assi de la série or désiger la série de terme gééral Avec les otatios récédetes sr les sommes artielles, o a 0 = s 0 et, À*, = s s La site est doc etièremet détermiée ar la site s des sommes artielles Atremet dit, tote site v et être cosidérée comme la série de terme gééral v v Fracis Wlaziski 3

4 Défiitio 25 O dit qe la série est covergete (o q'elle coverge) si et selemet si la site s des sommes artielles est covergete Das le cas cotraire, o dit q'elle est divergete (o q'elle diverge) Si la série est covergete, o ote lim k = k = = S = lim s 0 + Cette limite est aelée la somme de la série + E cas de covergece, o aelle reste artiel d ordre le scalaire R = S s = k = Remarqes k=+ k + k La covergece de la série vers S sigifie : H!0, 0 À / t 0 Ÿ k S ε Ÿ R ε Par défiitio de la covergece d'e série, o a doc lim R = 0 Mais o e doit as dire q'e série est covergete si et selemet si so reste d'idice N ted vers 0, car l'existece même de ce reste sose déjà qe la série est covergete Soit etier atrel et etier atrel o l et soit S = k La série de terme gééral coverge si et selemet si, or tot etier, la site (S ) 0 admet e limite fiie qad ted vers l'ifii Si la site d'élémets de K 'est défiie qe or 0, o et tiliser les résltats sr les séries dot le remier terme est celi de rag 0 e osat = 0 or tot les etiers comris etre 0 et 0 E cas de covergece, la somme de la série est alors otée = k=+ = 0 0 L'icité de la limite (si elle existe) d'e site imliqe l'icité de la somme d'e série covergete Détermier la atre d'e série, c'est détermier si elle est covergete o divergete C'est roblème différet qe de calcler la somme de cette série e cas de covergece E cas de covergece, s et être cosidéré comme e aroximatio de S et R et forir e évalatio de cette aroximatio Si l'o cosidère la site (a ) 0 des chiffres qi comose le déveloemet décimale de π (a 0 corresodat a chiffre des ités ie 3) a O a doc π = 0 Proriété 27 0 O e modifie as la atre (covergece o divergece) d'e série e modifiat ombre fii de ses termes E revache, s'il y a covergece, o modifie e gééral la somme de cette série Démostratio Soit e série (de terme gééral ) et soit v la série obtee à artir e modifiat ombre fii de termes Doc, 0 À / t 0 Ÿ = v Ÿ v = 0 N k N v k Soit S N = et T N = La site de terme gééral S T est statioaire (doc covergete) 0 E effet, t 0, S T k + k v k + v k k v k 0 0 = Si l'e des sites S o T ossède e limite fiie, il e est de même de l'atre 0 Fracis Wlaziski 4

5 Exemles de séries et de covergece 28 (voir le cors ère aée o la site d cors de cette aée or les reves) Série géométriqe : O cosidère la série a où a Á O redra or covetio 0 0 = Por tot etier, s = a + si a a = si a = Si a =, lim s + = + Si a <, lim a + = 0 et lim + + s = a Si a >, lim a + = + + Si a =, s red sccessivemet dex valers 0 et et e et doc coverger Si a <, a + 'a as de limite Por coclre, o a doc est alors R = a+ a Série harmoiqe : a = 0 a O obtiet résltat idetiqe lorsqe a  La série or est divergete Série harmoiqe alterée : ( ) La série or est covergete, de somme l 2 Série exoetielle : La série est covergete de somme e! La série or est covergete, de somme iqemet qad a < et das ce cas le reste d'ordre 3 Proriétés des séries covergetes Proriété 3 La série comlexe z est covergete si et selemet si les séries réelles Re( z ) et Im(z ) le sot O a alors : z = Re(z ) + i Im(z ) =0 =0 =0 Démostratio Voir cors aalyse 2ème aée er semestre sr les limites de sites (o de foctios) à valers das Á ( ovat être idetifier à Á 2 ) Proriété 32 Si la série est covergete alors la site coverge vers 0 Démostratio Si la série est covergete, les sites S et S 2 de termes géérax resectifs (or 0) et i i=0 (or ) sot covergetes et tedet totes les dex vers le même réel Doc S S 2 qi est la site de terme gééral coverge vers 0 0 i=0 i Fracis Wlaziski 5

6 Remarqes 33 La réciroqe est fasse Soit, ar exemle, la série de terme gééral = + + O a bie lim Mais et + = 0 = + s = k = ( 0 ) + ( 2 ) + ( 3 2 ) + + ( + ) Doc s = + et lim + s = + De faço géérale, si lim o si cette limite 'existe as, la série est dite grossièremet + 0 divergete Exemles 34 La site géométriqe de terme gééral = 0 k (k Â) e ted as vers 0 dès qe k t et 0 z 0 La série de terme gééral e et doc coverger das ce cas Por tot réel x, la site de terme gééral cos x e ted as vers 0 Doc la série cos x diverge grossièremet Proriété 35 Soiet et v dex séries mériqes covergetes de sommes resectives U et V et soit λ  Alors : la série de terme gééral + v coverge vers U + V la série de terme gééral coverge vers λ U Démostratio Les séries de terme gééral et v sot les sites de terme gééral s = k et t = k La série de terme gééral + v est la site de terme gééral a = ( k + v k ) = k + v k = s + t La série de terme gééral est la site de terme gééral b = k = k = s Il sffit d'aliqer les règles d'oératios sr les sites Pisqe lim s  et Â, o a doc et + = U lim + t = V lim + (s + t ) = U + V lim + s = U Remarqes 36 L'esemble des séries covergetes (mi des lois selles des sites) est sev de l'esemble des sites mi des lois selles (réel o comlexe sivat les cas) Das le cas où les séries et coverget, o a, or tos comlexes λ et µ : v ( + v ) = + v =0 =0 =0 Tojors d' oit de ve algébriqe, l'alicatio de l'esemble des séries covergetes das Á o das  qi, à tote série covergete associe sa somme est e forme liéaire =0 Si λ 0, alors les séries et sot de même atre ( k = k = s ) Si les séries et v sot de atres différetes alors la série ( + v ) est divergete Il est ossible qe la série ( + v ) soit covergete alors qe i i v e le soiet Par exemle, les séries de termes géérax = ( ) et v = ( ) + sot totes dex divergetes Portat la série de terme gééral + v est la série lle qi est covergete O e déveloera doc as 0 ( + v ) sas s'assrer a réalable de la covergece des séries Fracis Wlaziski 6

7 Proriété 37 Ue site d'élémets de K a même atre (CV o DV) qe la série ( + ) E cas de covergece, o a : ( + ) = (lim ) 0 Démostratio s = ( k+ k ) = k+ k = k= k k = + 0 Exemle 38 =0 + La série or est covergete, de somme ( + ) E effet, ( + ) = + = + Pisqe la site de terme gééral est covergete, il e est de même de la série de terme gééral + E osat = et e reat or remier terme, o obtiet = ( + ) = (lim + ) = 0 ( ) = Remarqe 39 Soit f e foctio telle qe + ˆ f(t) dt 0 existe et est fiie Si l'o cosidère la site de terme gééral = ˆ f(t) dt, alors la série ( + ) est la série de terme gééral ˆ f(t) dt Cette série coverge vers ˆ f(t) dt et le reste d'ordre est R = ˆ f(t) dt Proriété 30 Critère de Cachy Por qe la série mériqe (réelle o comlexe) de terme gééral soit covergete, il sffit qe la site (s ) 0 des sommes artielles soit e site de Cachy Doc la série est covergete si et selemet si : ε > 0, N À / m N, Remarqes 3 m k= k Por m, À tels qe m, o a s m s = k k k + k= k k = k= k Le critère de Cachy et ecore s'écrire : # ε > 0, N À / m > N, s m s = k < + k k= m m k=+ # ε > 0, N À / N et 0, q Si o ose S q = k, le critère de Cachy deviet : k=+ + ε > 0, N À / N et 0, S < La égatio d critère de Cachy est : ε > 0 / N À, m N, s m s P < = Fracis Wlaziski 7 m < m

8 Exemle 32 O se sert d critère de Cachy or motrer qe la série de terme gééral diverge 2 2 E effet, s 2 s = s 2 s = k= k k= k = k=+ k = Or, doc s 2 s c'est-à-dire s 2 s + P + 2 P P P 2 2 P 2 Défiitio 33 Soit e site de K La série est dite absolmet covergete si la série de terme gééral (c'est-à-dire ) est covergete Proriété 34 Si la série est covergete, alors la série coverge Démostratio m k k= m > k k= m = k= k O a : m 0, Doc, si la série vérifie le critère de Cachy, il e est de même de la série Exemle 35 La série de terme gééral si est absolmet covergete E effet, or tot etier, o a ( + ) si > Pisqe la série est covergete, elle vérifie le critère de Cachy et il ( + ) ( + ) ( + ) e est doc de même de la série si ( + ) Remarqes 36 La réciroqe de la roriété récédete est fasse Par exemle, la série de terme gééral = ( ) est covergete alors qe la série de terme gééral = est divergete Si la série est covergete, alors o a l'iégalité : > =0 =0 Défiitio 37 O dit qe la série est semi-covergete si coverge et si diverge Remarqe 38 Por tot réel x, o et associer les dex ombres ositifs x + et x défiit ar x + = s (x,0) et x = s ( x,0) O a x = x + x et x = x + + x + Por tote série, o et défiir dex séries et + Si la série est semi-covergete alors les séries et sot divergetes + Pls récisémet, la série est absolmet covergete si et selemet si les dex séries et sot covergetes Et, e cas de covergece, o a = Fracis Wlaziski 8 + +

9 4 Séries à valers das esace vectoriel La défiitio d'e série e fait iterveir qe la roriété de ovoir "sommer" les remiers termes d'e site Nos orrios os coteter d'e strctre de groe Totefois afi de coserver la strctre d'ev des séries covergetes, e extesio atrelle est de cosidérer les sites à valers das esace vectoriel ormé Nombre des défiitios et roriétés qe os veos d'aborder or les séries réelles o comlexes evet doc être étedes sas difficlté ax esaces vectoriels ormés Remarqos assi qe, si est e site d'élémets d' ev E, alors os savos qe : k=m k > m + m+ + + Nos ovos étedre la otio de covergece absole à tot ev Das le cas où l'esace est comlet, os obteos : si la série (réelle) de terme gééral est covergete, il e est de même de la série de terme gééral 5 Séries réelles à termes ositifs Remarqes 5 La comaraiso avec 0 e et se faire q'avec e relatio d'ordre totale comatible avec les lois doc das Á Les hyothèses de ositivité de la site o des sites cosidérées, vraies à riori or tot etier, evet 'être vraies q'à artir d' certai rag 0 : les résltats sr la atre des séries (as sr ler somme) restet valables Comte te d fait qe les séries et ( ) sot de même atre, les éocés qi vot sivre s'aliqet assi, avec des modificatios évidetes, a cas des séries réelles dot le terme gééral garde sige costat à artir d' certai rag Les roriétés des séries à termes ositifs sot tiles or l'étde de la covergece absole de séries à valers das K Proriétés 52 Si est e série à termes ositifs, la site s des sommes artielles est alors e site croissate Si la site s est majorée, la série coverge et, réciroqemet, si s 'est as majorée, la série ted vers + Remarqes 53 E cas de covergece, o a l'égalité: = s(s ) E articlier, tot majorat de (s ) est majorat de + =0 0 + =0 O ote arfois < or exrimer q'e série à termes ositifs coverge et = or 0 exrimer q'e série à termes ositifs diverge Proriété 54 0 Soiet et v dex séries à termes ositifs vérifiat 0 v à artir d' certai rag Si la série v coverge alors la série coverge Si la série diverge (c'est-à-dire ici ted vers + ) alors la série v diverge De ls, si l'iégalité est vérifiée or tot etier et si les séries coverget, alors o a > v 0 Fracis Wlaziski 9 0

10 Démostratio k > v k k= 0 O sose qe 0 v or tot etier 0 O a doc, or tot etier 0, Si la série coverge, o a, or tot etier 0, v Doc > =0 0 v k > v k > v 0 La site des sommes artielles des ( ) est doc majorée et la série Si 0 = 0, o a =0 > v or tot etier et doc > v Si la série diverge, alors lim k = + et doc lim v k = + Remarqes coverge Tojors das les hyothèses de la roriété 54, o ote R et T les restes d'ordre resectivemet des séries de terme gééral et de terme gééral v A artir d rag cosidéré, o a R T Das le cas d'e série comlexe, o a Re ( ) 0 et Im ( ) 0 Doc si la série est de Cachy, il e est de même des séries Re ( ) et Im ( ) Proriété 56 Soiet et v dex séries à termes ositifs telles qe = O(v ) (a voisiage de l'ifii) O a : Si la série v coverge alors la série coverge Si la série diverge alors la série v diverge Démostratio Si = O(v ), alors il existe réel k > 0 tel q'à artir d' certai rag, (0 d) d k v ie (0 d) d v k Si la série de terme gééral v est covergete, il e est de même de la série de terme gééral k v et de la série de terme gééral Si la série de terme gééral est divergete, il e est de même de la série de terme gééral série de terme gééral v Remarqes 57 et de la k Si = o(v ), alors = O(v ) Les coclsios de la roriété 56 sot doc les mêmes das ce cas Proriété 58 Soiet et v dex séries à termes ositifs Si le raort est défii (ie v o l) à artir d' certai rag et qe Á v lim + v = l + alors les dex séries sot de même atre E articlier, si v, alors les dex séries sot de même atre Démostratio Si lim Á, alors o et choisir réel strictemet ositif ε tel qe l ε > 0 et, à artir d' + v = l + certai rag, o a l ε > l + ε et doc (0 d) (l ε) v d d (l + ε) v v > Fracis Wlaziski 0

11 Si la série de terme gééral v est covergete, il e est de même de la série de terme gééral (l + ε) v et de la série de terme gééral Si la série de terme gééral est covergete, il e est de même de la série de terme gééral et l de la série de terme gééral v Remarqes 59 Das la roositio "Si v, alors les dex séries sot de même atre", il est essetiel qe les termes géérax et v gardet sige costat qad ted vers l'ifii E effet, si, ar exemle, = ( ) et v = l( + ), o a bie v Nos verros qe la série est covergete (critère des séries alterées) mais la série v diverge (DL d'ordre 2) S'il existe réel M > 0 tel qe, à artir d' certai rag, P M, alors la série est divergete C'est le cas otammet si lim = > 0 c'est-à-dire si L+ E terme d'éqivalet, il est arfois tile de coaître la formle de Stirlig :! e 2 Corollaire 50 Soiet e série et v e série covergete à termes ositifs O sose q'à artir d' certai rag, il existe réel ositif k tel qe d k v Alors la série est absolmet covergete Exemle 5 e ia Soit a réel et soit la série de terme gééral O a doc la série est covergete 2 2 > 2 eia 2 Proriété 52 e ia + v + > v Soiet et v dex sites de termes strictemet ositifs telles qe, à artir d' certai rag, Si la série v est covergete, il e est de même de la série Si la série est divergete, il e est de même de la série v Remarqe 53 + v + > v O et exrimer l'iégalité " ", e disat qe la site décroît ls vite qe la site v Démostratio Sosos qe l'iégalité est vérifiée à artir d rag et osos c = + > v + v > v v v O a doc, or tot etier t, et e articlier c'est-à-dire d c v ie = O(v ) Exemle 54 Soit la site défiie ar 0 = et + = 2 + et soit v la site défiie ar v = 2 O cherche à étdier la covergece de la série v O vérifie das remier tems qe la site est bie défiie et vérifie < 2 # Vrai a rag 0 Fracis Wlaziski

12 # O sose vrai a rag < < 4 < < 4 < + < 2 Doc v > 0 or tot etier Soit f la foctio défiie sr [;2] ar f (x) = 2 + x f est dérivable sr ];2[ et f' (x) = x > 2 3 v O a + v = 2 + = f ( ) f(2) 2 2 v D'arès le théorème des accroissemets fiis, + > v or tot etier 2 3 < Or la série de terme gééral w = v est covergete et o a 0 + w + > > or tot etier 2 3 v w Doc la série de terme gééral v coverge Remarqe 55 Soit a réel O cosidère la série de terme gééral = a C'est e série à termes ositifs (Por étdier la covergece de cette série, la comaraiso avec e itégrale est la méthode la miex adatée Totefois, os e ovos as ecore tiliser ce théorème Il fat doc emloyer e atre méthode) Nos avos motrer qe la série or est covergete, de somme ( + ) Pisqe les séries et sot éqivaletes, o e dédit qe la série est covergete ( + ) 2 2 Nos avos assi motrer qe la série est divergete Si a t 2, o a et si a d a >, o a 2 a P Doc la série coverge si a t 2 et diverge si a d a Il os reste doc à étdier le cas < a < 2 Soit f la foctio défiie sr [, f[ ar f (x) = x = x a a La foctio f est dérivable sr [, f[ et f' (x) = ( a)x a = a x a Soit la série de terme gééral v = f() f( + ) C'est à ovea e série à termes ositifs Pisqe f : ([, f[), o et tiliser le théorème des accroissemets fiis sr tot itervalle de la f( + ) f() forme [, + ] Doc il existe réel x de ], + [ tel qe = f'(x ) ( + ) C'est-à-dire f( + ) f() = a xa Doc v = a xa = (a ) a x a a a = (a ) x v a O obtiet alors = (a ) x De ls, les (x ) vérifiet doc + > x > = lim + x = v Nos e dédisos qe lim et, isqe a >, qe les séries et ot même atre + = a v Or v k = k= f(k) f(k + ) = f() f(2) + f(2) f(3) + + f() f( + ) = f( + ) = k= ( + ) a Pisqe a > 0, lim = 0 et doc la série coverge (vers ) + ( + ) a v Fracis Wlaziski 2

13 Por coclre : Proriété 56 (Séries de Riema) La série de terme gééral a coverge si et selemet si a > Remarqe 57 Nos savos qe, si les séries et v sot covergetes, alors ( + v ) = + v =0 =0 =0 Cette formle est fasse or rodit de séries Par exemle, si = et v, o a 2 = 3 v ) = =0( =0 6 = = Or = et =0 = 2 v = =0 2 = Doc v = = 3 =0 =0 Défiitios 58 Soiet et v dex sites de K O aelle site rodit (de Cachy) des sites et v la site w de terme gééral : w = 0 v + v + + v + v 0 = k v k = v q +q= O aelle série rodit (de Cachy) des séries et v la série de terme gééral w = k v k Remarqe 59 Soiet a et b dex élémets de K O cosidère les séries de termes géérax = a et v! = b! O a (a + b) = C k a k b k =! où w désige k!( k)! a k b k =! a k bk ( k)! k! =! k v k =!w le terme gééral de la série rodit Proriété 520 Si et v sot dex séries covergetes à termes ositifs, alors la série rodit (de Cachy) w + coverge et o a : w = =0 =0 v Démostratio =0 O ose W = w k, U = k et V = v k + + O et écrire w = v q doc W = v q +q= +q! Or U V = v q = v q =0 q=0 =0 q=0 O s'itéresse ax différets coles (,q) de W, de U V et de W 2 Fracis Wlaziski 3

14 Si o rerésete cex ci das le la, o a : 2 W 2 W U V 2 Pisqe tos les termes sot ositifs, o e dédit qe W d U V d W 2 O e dédit qe la série de terme gééral w est majorée doc covergete Pisqe lim W, d'arès le théorème des gedarmes, " +# = " lim +# W 2 " lim +# W = " lim +# U V = " lim +# U " lim +# V Exemle 52 Soiet a et b dex élémets de K O cosidère les séries de termes géérax = a et v! = b! (a + b) O a v qe le terme gééral de la série rodit est w =! +# (a + b) +# +# +# +# D'arès la roriété 52, e a+b = =0 =! =0 w = =0 =0 v = a +# b =0! =0! = ea e b Corollaire 522 Si les dex séries et v sot absolmet covergetes, alors la série rodit (de Cachy) w est absolmet covergete et o a : w = =0 =0 v Démostratio +# =0 D'arès les hyothèses, les séries de terme gééral et v sot covergetes Il e est doc de même de la série de terme gééral c = k v k Or w = k v k > k v k = k v k = c La série de terme gééral w est doc covergete O ose W = w k, U = k, V = v k, C = c k, A = k et B = v k O a : U V W = v q > v q = A B C 0$ $,0$ q$ 0$ $,0$ q$ +q> +q> Or les sites A B et C ot même limite, il e est doc de même des sites U V et W Remarqe 523 +# Si les dex séries et sot semi-covergetes, la série rodit (de Cachy) 'est as v w écessairemet covergete +# Fracis Wlaziski 4

15 Par exemle, o red 0 = = v 0 = v = 0 et = v = ( ) or t 2 l 2 2 ( ) k ( ) k 2 O a w = k v k = k=2 k v k = k=2 l k l( k) = ( ) k=2 l k l( k) = ( ) 2 k=2 l k l( k) 4 2 E articlier, w 4 = k=2 l k l(4 k) Or, si k 3, o a 4 k 3, et l k P l 3 l(4 k) P l D'où, or t 2, w 4 = 2 k=2 l k l(4 k) P k= l k l(4 k) P k= (l 3) 2 P (l 3) 2 Doc (w 4 ) % 2 e coverge as vers 0 A fortiori, w e ted as vers 0 et diverge grossièremet; w 6 Critères de covergece Par les règles de comaraiso avec des séries coes, os obteos les corollaires : Corollaire 6 Soit e site de ombres réels ositifs Si, à artir d' certai rag, o a a d c avec a > (et c > 0), alors la série est covergete (C'est le cas otammet si lim & ' ( = 0, ce q'o et tradire ar = o( ( )) Si, à artir d' certai rag, o a a! c avec a et c > 0, alors la série est divergete Corollaire 62 Soit e site de ombres réels o comlexes Si, à artir d' certai rag, o a d k avec 0 d k <, alors la série est absolmet covergete Proriété 63 Règle de Cachy Soit e site mériqe Si lim / <, alors la série est absolmet covergete & +' = l Si lim / > (l Á {+ }), alors la série est divergete & +' = l Démostratio # Si 0 d l <, alors il existe réel ε tel qe 0 d l + ε < (ar exemle ε = l ) 2 Pisqe lim /, o a, à artir d' certai rag, ε & +' = l / < l + C'est-à-dire d (l + ε) # Si lim / >, alors la site e coverge as vers 0 La série diverge grossièremet & +' = l Remarqes 64 Avec les hyothèses qi s'imoset, si f et g sot dex foctios telles qe lim f(x) = et x& +' lim g(x) = +, alors l'évetel limite de f (x) g(x) e f est e forme idétermiée x& +' / Si lim =, o e et e gééral rie dire & +' / Totefois, si lim = +, alors la série est grossièremet divergete & +' Attetio, dire qe la série coverge 'imliqe as qe lim / = l < Fracis Wlaziski 5 & +'

16 Proriété 65 Règle de D Alembert Soit e site mériqe Si lim + <, alors la série est absolmet covergete ) +* = l Si lim + = l > (l Á {+ }), alors la série est divergete ) +* Démostratio # Si lim + + <, alors il existe réel ε tel qe < l + ε < ) +* = l Soit la site v défiie ar v = (l + ε) La série v est covergete De ls, o a + > # Si lim = l >, alors est croissate à artir d' certai rag et e ted doc as vers zéro ) +* + Remarqe 66 Si lim + =, o e et e gééral rie dire ) +* Totefois, si lim + = +, alors la série est grossièremet divergete ) +* Remarqe 67 O aelle limite sériere d'e site et o ote lim s o la bore sériere des valers ) +* ) lim +* d'adhérece de la site O aelle limite ifériere d'e site et o ote lim if o la bore ifériere des valers ) +* ) lim +* d'adhérece de la site Les règles de Cachy et de D'Alembert sot les coséqeces des roriétés sivates (dot os verros e artie des reves e ls loi) : Soit e site de ombres réels ositifs / Si lim s <, alors la série est covergete ) +* = l / Si lim if > (l Á {+ }), alors la série est divergete ) +* = l Si lim s + <, alors la série est absolmet covergete ) +* = l Si lim if + > (l Á {+ }), alors la série est divergete ) +* = l O remarqe, e articlier, qe si lim alors ) +* = l ) lim +* s = l Proriété 68 + Si lim (l Á {+ }), alors ) +* = l ) lim +* / = l Remarqe 69 La réciroqe est fasse Par exemle, soiet dex réels strictemet ositifs a et b et soit la série de terme gééral où 2 = a b et 2+ = a + b O a lim ) +* / = ab Or + = a si est air et + = b si est imair Si a z b, + 'a doc as de limite qad ted vers l'ifii Mais ) lim +* s + = s(a, b) D'arès le critère de D'Alembert, la série de terme gééral coverge si s (a,b) < D'arès le critère de Cachy, la série de terme gééral coverge si ab < Le critère de Cachy est doc ls "fi" qe le critère de D'Alembert v + v Fracis Wlaziski 6

17 Proriété 60 Règle de Dhamel Soit b réel Soit e site de termes strictemet ositifs telle qe + = b + o Si b > alors la série est covergete Si b < alors la série est divergete Démostratio Soit réel a > 0 et soit v la site défiie ar v = or t a a a v O a + v = = = a o 2 Or a + = a + a + a = a a ( + ) = a + o 2 v O obtiet doc + v = a + o v 2 D'où + v + = b a + o v + Si a z b, le sige de v + e déed, à artir d' certai rag, qe d sige de b a # Si b >, il existe réel a tel qe b > a > O a b a > 0 et v + P 0 D'où + v + > v Pisqe a >, la série de terme gééral v = a est covergete doc il e est de même de # Si b <, il existe réel a tel qe > a > b O a doc + v + P v La série de terme gééral v = est divergete doc il e est de même de Remarqes 6 a Le cas b = est à ovea cas idétermié Il existe d'atres faços d'écrire le critère de Dhamel : # O sose qe + avec a = > 0 + a Si lim a, alors la série est covergete + +, = l > Si lim a, alors la série est divergete + +, = l < # Si lim, alors la série est covergete + +, + = l > Si lim, alors la série est divergete + +, + = l < Proriété 62 Soit f : Á+ Á+, e foctio : 0, décroissate et telle qe lim f(x) = 0 x+ +, +, La série f() et l'itégrale ˆ f(t) dt sot simltaémet divergetes o covergetes Démostratio Soit v la site défiie ar v = f () 0 Por tot etier et or tot etier strictemet ositif, o a v k = v k + v k = f(k) + f(k) + v + + k=+ Sr chaqe itervalle d tye [i, i + ], isqe f est décroissate, o a f (i + ) d f (x) d f (i) Fracis Wlaziski 7 + k=+

18 i+ O obtiet ˆ f(i + ) dx > ˆ f(x) dx > ˆ f(i) dx c'est-à-dire f(i + ) > ˆ f(x) dx > f(i) i i+ D'où, or tot i > 0, ˆ f(x) dx > f(i) > ˆ f(x) dx i i+ i i+ i i i E faisat la somme des iéqatios or k variat de + à +, o obtiet alors : + k=+ k+ ˆ k f(x) dx > + k=+ f(k) > + k ˆ k=+ k f(x) dx + ++ c'est-à-dire ˆ f(x) dx > v k > ˆ f(x) dx La série f() est covergete œ f(k) ossède e limite fiie qad ted vers l'ifii k=+ + + i+ i + k=+ œ ˆ f(x) dx ossède e limite fiie qad ted vers l'ifii +- œ L'itégrale f(t) dt est covergete ˆ 0 + Proriété 63 (Séries de Bertrad) La série est covergete si et selemet si o l / > =, > Démostratio Résltat sr les itégrales gééralisées Défiitio 64 O aelle série alterée e série réelle dot le terme gééral est de la forme ( ) v o de la forme ( ) + v où v est e site décroissate de termes ositifs qi coverge vers 0 Proriété 65 Ue série alterée est covergete Si o ote s = la somme artielle d'idice, alors les sites (s 2 ) et (s 2+ ) sot adjacetes et coverget vers la somme de la série Remarqe 66 Pls récisémet, si est e série alterée de la forme ( ) v alors k > > k 0 0 Démostratio Soit e série alterée de terme gééral = ( ) v O ose s = 2+2 O a s 2+2 s 2 = 2+ s 2+ s 2 = 2 k k k k = = ( ) 2+2 v ( ) 2+ v 2+ = v 2+2 v 2+ > 0 et 2 k k = ( ) 2+ v 2+ + ( ) 2 v 2 = v 2+ + v 2 P 0 car v est e site décroissate La site de terme gééral s 2 est doc décroissate et la site de terme gééral s 2+ est croissate Pisqe s 2+ s 2 = ( ) 2+ v 2+ = v 2+ > 0 et isqe lim +- s 2+ s 2 = 0, les sites (s 2 ) et (s 2+ ) sot adjacetes et sot doc covergetes de limite comme l qi vérifie s 2+ > l > s 2 De ls, o a = l Fracis Wlaziski 8

19 Proriété 67 Règle d'abel Soit e e site de ombres comlexes telle qe, or tot etier, la somme S = k= Soit e site de ombres ositifs, décroissate et qi ted vers 0 Alors la série e est covergete Démostratio Soit etier ositif et etier strictemet ositif e k soit borée + La série e est covergete si, la site de terme gééral S = e k k e ted vers 0 qad ted vers l'ifii idéedammet de (critère de Cachy) O a or tot etier o l i e i = S i S i + D'où S = e e e + + = + (S + S ) + +2 (S +2 S + ) (S + S + ) = + S + ( + +2 )S + + ( )S ( + + )S S + + O obtiet S = + S + ( + +2 )S + + ( )S ( + + )S S + > + S + ( + +2 )S + + ( )S ( + + )S S + > + S + ( + +2 ) S + + ( ) S ( + + ) S S + Pisqe tos les S k sot borés, il existe etier ositif M tel qe : + S > + M + ( + +2 ) M + ( ) M + + ( + + ) M + + M Pisqe est décroissate et ositive, o obtiet : + S > + M + ( + +2 )M + ( )M + + ( + + )M + + M = 2 + M Pisqe lim, o e dédit qe, or tot réel ε, o et trover etier N tel qe : 2 +3 = 0 + 0, si N alors e k k < Remarqes 68 k=+ La règle de covergece des séries alterées 'est q' cas articlier de la règle d'abel (avec e = ( ) o e = ( ) + ) O arait remlacer la coditio " e site de ombre ositifs, décroissate" ar "la série de terme gééral + coverge" + k=+ 7 Aroximatio d' série mériqe covergete Remarqe 7 Soit e série qi coverge vers S et soit (s ) 0 la site des sommes artielles +3 Soit R = S s = k = le reste artiel d ordre k=+ k4 + k Chercher résltat arochée de la limite S de la série cosiste doc à évaler R O a, e articlier, qe S s = R > Proriété 72 k4 + k Soit e série alterée Alors R ossède le sige de et o a l'iégalité + R > + Fracis Wlaziski 9

20 Démostratio Nos avos v qe, si = ( ) v, alors, or tot etier, s 2+ > l > s 2+2 > s 2 O a doc s 2+ l > s 2+2 s 2+ et s 2 l > s 2+ s 2 (ce qi et être v e termes de distaces) O obtiet qe, or tot etier, s l > s + s C'est-à-dire, R > + Proriété 73 Soit e site mériqe / Si, à artir d' certai rag, o a d c avec 0 dc <, alors la série est absolmet covergete et le reste artiel d ordre vérifie alors R c + > (à artir d rag cosidéré) c Démostratio A artir d rag cosidéré, os avos d c Or la série de terme gééral c est covergete Doc la série est absolmet covergete et R = k > k > c k k5 + k5 + k5 + Pls récisémet, c k = c + c k = c + c Doc k=+ c c k = 6 lim +7 c k = c + k5 + k=+ c Remarqe 74 Les coditios de la roriété 73 sot vérifiées si lim / o si 6 +7 = l < 6 lim +7 s / = l < Proriété 75 Soit e site mériqe Si, à artir d' certai rag, o a + d c avec 0 dc <, alors la série est absolmet covergete et le reste artiel d ordre vérifie alors R c > (à artir d rag cosidéré) c Démostratio La série de terme gééral v = c est covergete et > c = v + v La série est doc absolmet covergete A artir d rag doé et, À, o a doc + > c + > c > > c + > c D'où +k > c k + = + k= c k = c + k= k= c O obtiet alors R > 6 lim +7 k = lim +k > 6 lim +7 c + c = c + c > c Remarqe 76 k= k= Les coditios de la roriété 75 sot vérifiées si lim o si 6 +7 = l < 6 lim +7 s + = l < Proriété Soit f : Á+ Á+, e foctio : 0, décroissate et telle qe lim f(x) = 0 x6 +7 E cas de covergece de la série de terme gééral = f (), le reste artiel d'ordre R = k vérifie : +7 ˆ + f(x) dx > R > ˆ f(x) dx +7 Fracis Wlaziski k=+

21 8 8 8 Démostratio Por tot etier et or tot etier strictemet ositif, os savos qe ++ ˆ + f(x) dx > + k=+ k > + ˆ f(x) dx Le résltat décole directemet d assage à la limite 8 Atres roblèmes Remarqe 8 Qad o cosidère des sommes fiies, les roblèmes d'associativité et de commtativité sot relativemet simles Lorsqe os cosidéros des somme ifiies (qi vieet d'être défiies e terme de séries covergetes), le roblème est différet et les réoses à ces roblèmes sot acées Par exemle, os avos déjà v qe la série de terme gééral ( ) e coverge as Portat, si l'o réit les termes dex ar dex, o a, or tot etier, 2+ ( ) k = ( ) 2k + ( ) 2k+ = 0 O serait teter d'e coclre qe lorsqe ted vers l'ifii cette somme doe la limite de la série ce qi est fax ( ) Voici e atre faço de faire : o sose qe la série de terme gééral ( ) coverge et qe S est sa somme O a doc S = + ( ) + + ( ) + + ( ) + = + ( )[ + ( ) + ( ) + + ] = S d'où S =!!!!!!!! 2 Ue qestio qi se ose est doc de savoir qad o et rassembler les termes d'e série ar "blocs" sas e chager sa atre o sa somme Proriété 82 Soit σ e alicatio strictemet croissate de À das À O cosidère les séries et v où v 0 = k et v = k or tot etier > 0 (0) () k= 8 ( )+ Si la série est covergete, il e est de même de la série v Si est e série réelle à termes ositifs, les séries et v ot même atre Das les cas de covergece comme, o a = 9 v Démostratio : Por tot etier, o ose S = k et S = v k = k = S 8 () La site S' est e sos-site de S Doc, si S coverge, il e est de même de S' avec e limite comme Si est e série réelle à termes ositifs, les sites S et S' sot croissates Si S est covergete, elle est doc majorée et il e est doc écessairemet de même or S' () Fracis Wlaziski 2

22 ; Remarqe 83 Il existe d'atres cas où il y a éqivalece etre la covergece de la série et celle de la série v : # lim et les logers des "traches" sot borées ie k Á / À, V Vdk < += = 0 # Tos les termes d'e même "trache" sot de même sige Proriété 84 Soit (A i ) i I e artitio de À Soit e série covergete à termes ositifs Alors = =0 > Ai i> I += Défiitio O dit q'e série est commtativemet covergete si et selemet si, or tote bijectio M de À, la série? () est covergete Remarqe 85 L'idée est simlemet d'itervertir l'ordre des termes Exemle et cotre-exemle 86 ( ) + La série de terme gééral = coverge vers l 2 C'est série semi-covergete O a doc l 2 = O cosidère l'alicatio M : À* oà* 3 + Å Å 2(2 + ) = Å 2(2 + 2) = O vérifie aisémet qe M est bie e bijectio M() =, M(2) = 2, M(3) = 4,M(4) = 3, M(5) = 6, M(6) = 8, La site (@ ()) A B est la site : ; 2 ; 4 ; 3 ; 6 ; 8 ; ; 2 + ; ; ; 3+3? (k) = = = De faço ls géérale, a assage à la limite, o obtiet lim? (k) = 2 l 2 Doc lim? (k) lim < += < += k < += ( ) La série de terme gééral = est semi-covergete O cosidère l'alicatio M : À* oà* 3 + Å 2(2 + ) = Å 2(2 + ) = Å 2(2 + ) = O vérifie aisémet qe M est bie e bijectio M() =, M(2) = 3, M(3) = 2,M(4) = 5, M(5) = 7, M(6) = 4, Fracis Wlaziski 22

23 La site (C ()) D E est la site : ; 3 ; 2 ; 5 ; 7 4 ; ; 4 3 ; O cosidère la série v obtee e sommat ar blocs de 3 O a v = = = 2 v 2 L Or lim doc (de sige costat) F +G O obtiet efi qe la série v diverge Il e est de même de la série H () Proriété 87 Ue série mériqe est commtativemet covergete si et selemet si elle est absolmet covergete Das ce cas, la somme e chage as e modifiat l'ordre des termes Remarqe 88 4 ; 2 ; O s'est itéressé à e somme ifii de termes Le roblème et se oser de faço similaire à rodit ifii de termes Par exemle, or qe k est e limite fiie qad ted vers l'ifii, il fat qe lim Cette coditio est écessaire mais o sffisate Ue soltio cosiste à remarqer F +G = qe d' rodit, o et se rameer à e somme, e tilisat les logarithmes s'il 'y a as de termes égatifs o ls E effet, a k l a k l k= = k= Remarqes 89 Ue extesio des séries se trove das les limites des sommes dobles o triles et assi des sommes o déombrables La méthode qe os avos tilisée or défiir des sommes ifiies semble atrelle Portat il existe d'atres tyes de covergece or e série : # A ses de Cesaro La somme si elle existe est S = lim F +G S k : c'est la moyee des sommes artielles E cosidérat ce tye de limite, o a bie S = qad = ( ) 2 # A ses d'abel La somme si elle existe est S = lim r rf r< +G =0 Certais diset qe ces dex tyes de covergece sot ls "fies" qe la classiqe das le ses où elles forisset des covergeces à des séries qi 'e ot as das la méthode classiqe Fracis Wlaziski 23