IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion **/06/2014

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Pierre-Marie Beaupré
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1 IUT de Sait-Etiee - déartemet Techiques de Commercialisatio M. Ferraris Promotio **/06/2014 Semestre 2 - MATHEMATIQUES DEVOIR 2 durée : 2 heures coefficiet 2/3 La calculatrice grahique est autorisée. Aucu documet ersoel 'est autorisé. Tout sera rédigé sur le réset feuillet. Il sera teu comte de la qualité de la rédactio et de la teue de la coie. Les résultats décimaux serot résetés arrodis à quatre chiffres sigificatifs. NOM, Préom : Groue : Exercice 1 : QCM (2 oits) - cochez vos réoses ci-dessous 1 boe réose ar questio ; si réose fausse, multile ou maquate : 0 oit 1) Quel est le bo ordre? A C C A C A C A 2) Lacer lusieurs dés coduit iévitablemet aux : -listes arragemets combiaisos autre 3) Si A et B ot chacu 50% de chaces de se roduire, alors les chaces de A B sot : 50% 25% 0% ça déed 4) Lors d u test du Khi-deux, le Khi-deux que l o calcule est : u réel ue robabilité ue quatité ue équatio quelcoque ositive Exercice 2 : (5 oits) Déombremets (les questios 1, 2 et 3 sot idéedates) 1) Combie de ombres de quatre chiffres e cotieet i 0, i 1, i 2? 1 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 1 sur 6

2 2) Vous roosez à des cosommateurs d élire leurs trois roduits référés armi ue liste de dix roduits, e ositioat les trois ar ordre de référece. Combie de classemets différets sot ossibles? 1 t 3) 15 magasis se trouvet das ue rue, dot 6 sot des magasis de vêtemets. La mairie décide d attribuer ue rime à trois magasis dot les oms serot tirés au sort armi les 15. a. Combie existe-t-il de tirages différets ossibles de trois magasis? 1 t b. Parmi ces tirages ossibles, combie e comortet qu u magasi de vêtemets? 1 t c. Quel est le lus robable : que le futur tirage au sort comorte 0, ou 1, ou 2, ou 3 magasis de vêtemets? (votre réose devra bie etedu être justifiée ar des calculs) 1 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 2 sur 6

3 Exercice 3 : (4 oits) test du χ² Ue equête comarative de satisfactio a été coduite das ue ville. O a demadé aux ersoes iterrogées quel était leur oérateur de téléhoie mobile et leur degré de satisfactio. Chaque valeur iscrite das ce tableau est le ombre de réoses obteues das la catégorie corresodate. oérateur degré de satisfactio élevé moye faible Rouge EsséPaFer Bouigre Freeze ) Testez, au seuil de 5%, l affirmatio «le degré de satisfactio est idéedat de l oérateur». 3,5 ts S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 3 sur 6

4 2) Exliquez cette otio de «seuil». 0,5 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 4 sur 6

5 Exercice 4 : (4 oits) Probabilités coditioelles 20% des Fraçais fot régulièremet des achats sur Iteret (évéemet «R»). 15% des ersoes corresodat à R ot vu leur carte bleue iratée (évéemet «P»), alors que «P» s est roduit our seulemet 8% des Fraçais qui e fot as régulièremet des achats sur Iteret. 1) Costruire u arbre de choix robabilisé rereat les iformatios ci-dessus. 1,5 t 2) Ue ersoe viet orter laite our le iratage de sa carte bleue. Quelle est la robabilité que cette ersoe fasse régulièremet des achats sur Iteret? 2 ts 3) Les évéemets R et P sot-ils idéedats? 0,5 t S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 5 sur 6

6 Exercice 5 : (5 oits) Probabilités simles et lois Rereos u exemle vu e TD : celui du lacer de deux dés au bout duquel o ote le total des deux dés. O se souviedra que les 36 coules ossibles {(1,1), (1,2),, (3,3), (3,4), (3,5),, (5,6), (6,6)} sot équirobables et doc que, ar exemle, la robabilité de réaliser u total de 9 est (9) = 4/36, car 4 coules (sur les 36) doet u total de 9 : (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). O ote A l évéemet «obteir u total strictemet iférieur à 8», B l évéemet «obteir u total allat de 8 à 10» et C l évéemet «obteir u total strictemet suérieur à 10». 1) a. Doer les robabilités des évéemets A, B et C. 2 ts b. Ces trois évéemets formet-ils ue artitio de l uivers des ossibles? 0,5 t 2) Pour jouer, vous devez miser 1 à chaque lacer de deux dés. L évéemet A e vous raorte aucu gai ; l évéemet B vous ermet de récuérer votre mise ; l évéemet C vous raorte 7. a. Doer la loi de robabilité de la variable aléatoire X : «gai d ue artie». 1 t b. Avez-vous itérêt à jouer à ce jeu, à log terme? 1,5 t FIN DU SUJET S2 Mathématiques DEVOIR 2 age 6 sur 6

7 Table de la loi du χ² Le tableau doe les valeurs χ² lim telles que (χ² < χ² lim ) = χ² χ² lim ddl 1% 2% 5% 10% ddl 1% 2% 5% 10% ddl 1% 2% 5% 10% ddl 1% 2% 5% 10% 1 6,64 5,41 3,84 2, ,6 42,9 38,9 35, ,4 73,8 68,7 64, ,4 92,2 2 9,21 7,82 5,99 4, ,1 40,1 36, , ,8 65, ,5 93,3 3 11,3 9,84 7,82 6, ,3 45,4 41,3 37, ,8 76, , ,6 94,4 4 13,3 11,7 9,49 7, ,6 46,7 42,6 39, ,1 77,4 72,2 67, ,5 5 15,1 13,4 11,1 9, , ,8 40, ,3 78,6 73,3 68, ,6 6 16, ,6 10, ,2 49, , ,5 79,8 74,5 69, ,7 7 18,5 16,6 14, ,5 50,5 46,2 42, , , ,8 8 20,1 18,2 15,5 13, ,8 51,7 47,4 43, ,2 76,8 72, ,9 9 21,7 19,7 16,9 14, , ,6 44, ,2 83,4 77,9 73, ,2 21,2 18, ,3 54,2 49,8 46, ,4 84,6 79,1 74, ,7 22,6 19,7 17, ,6 55, , ,6 85,8 80,2 75, ,2 24, , ,9 56,7 52,2 48, , ,4 76, ,7 25,5 22,4 19, , ,4 49, ,1 82,5 77, ,1 26,9 23,7 21, ,4 59,2 54,6 50, ,2 89,3 83,7 78, ,6 28, , ,7 60,4 55,8 51, ,4 90,5 84, ,6 26,3 23, ,7 56,9 52, ,6 91, , , ,6 24, ,2 62,9 58,1 54, ,8 92,9 87,1 82, ,8 32,3 28, ,5 64,1 59,3 55, ,3 83, ,2 33,7 30,1 27, ,7 65,3 60,5 56, ,2 95,2 89,4 84, , ,4 28, ,6 61,7 57, ,4 90,5 85, ,9 36,3 32,7 29, ,2 67,8 62,8 58, ,6 91,7 86, ,3 37,7 33,9 30, , , ,7 92,8 87, , , ,7 70,2 65,2 60, ,9 93,9 88, ,3 36,4 33, ,9 71,4 66, , ,3 41,6 37,7 34, ,2 72,6 67,5 63, ,2 91,

8 IUT TC Mathématiques Formulaire "Déombremets et robabilités" 1) Oératios sur les esembles * distributivité A B C = A B A C * lois de Morga * remarque ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C = A B A C ( A B) ( A B) A ; ( A B) ( A B) = = A B = A B ; A B = A B 2) Cardiaux des esembles Soit u esemble E de cardial, et deux arties A et B de E. Card ( A) Card ( A) + = Card ( A B) = Card ( A) + Card ( B) Card ( A B) = Card ( A B) Card ( A B) Card ( A) 3) Déombremets * factorielle d'u ombre etier aturel : = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) remarques :! 1!. et! = avec etier aturel iférieur à * ombre de -listes d'élémets ris das u esemble coteat élémets : * ombre d'arragemets de élémets d'u esemble coteat élémets : * ombre de ermutatios d'u esemble de élémets :! * ombre de combiaisos de élémets d'u esemble coteat élémets : * soit E u esemble à élémets et A ue artie de E de cardial 1. P = A =! Nombre de combiaisos de élémets de E coteat exactemet 1 élémets de A : où = et = A =! ( )! = C =! ( )!! C C * réétitio as de réétitio ordre -listes arragemets as d'ordre combiaisos 4) Probabilités simles et coditioelles * formules géérales * e cas d'équirobabilité des évetualités ( ) ( A) = 0 ; 0 1 ( ) ( A) A + = 1 ( ) + ( ) = ( ) A B A B A ( ) = ( ) + ( ) ( ) A B A B A B 1 ( { e1} ) = ({ e2} ) =... = ( { ei }) =... = ({ e} ) = ( ) ( Ω) * robabilité que B se réalise, sachat que A est réalisé * A et B sot idéedats ssi A ( ) Card A Card A ( A) = = Card ( A B) ( B) = ( A B) = ( A) ( B) ( A) 5) Lois de robabilité * cas gééral : aramètres m ( ) = ( = i ) i = i i V ( X ) = ixi E ( X ) = E X E X σ ( X ) = V ( X ) E X X x x x i= 1 i= 1 m m i= 1 ( ) ( ) ( )

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