Pendules couplés. θ 2. Université Pierre et Marie Curie, Paris VI. PHYSIQUE NUMÉRIQUE Devoir sur table du 15 novembre 2007
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- Jacques Lévesque
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1 Universié Pierre e Marie Curie, Paris VI Licence de physique NS Cachan Physique fondamenale, PHYTM PHYSIQU NUMÉRIQU Devoir sur able du 15 novembre 27 Pules couplés Durée de l épreuve : 2h Les éléphones porables doiven êre éeins. On considère un sysème de deux pules simples couplés comme sur la figure ci-conre, où la barre oblique qui relie les deux pules exerce un couple proporionnel à la orsion qu on lui impose (on peu imaginer par exemple une barre méallique élasique en orsion, comme une lame de scie à méaux, fixée aux iges rigides qui poren les deux masses). I L énergie poenielle d un el sysème peu s écrire : V = mglcos θ 1 mglcos θ C(θ 1 θ 2 ) 2 Les documens ne son pas auorisés. θ 1 θ 2 où g = 9,81ms 2 es l accéléraion graviaionnelle à la surface de la erre, l la longueur des pule, m leur masse, C la consane de couplage e θ 1 e θ 2 les angles qu ils fon avec la vericale. 1 n écrivan que V l θ i = ml θ i, i [1,2] monrer que les équaions du mouvemen de ces pules s écriven : θ 1 = g l sin θ 1 C (θ 1 θ 2 ) θ 2 = g l sin θ 2 C (θ 2 θ 1 ) 2 Trouver les fréquences de vibraion de ce sysème dans l approximaion des peies oscillaions, c es-à-dire : sinθ 1 θ 1 e sin θ 2 θ 2 (on cherchera des soluions du ype θ 1 = α 1 e iω e θ 2 = α 2 e iω, où α 1 e α 2 son des consanes, e on écrira le déerminan du sysème obenu pour en déduire ω). II On dispose du sous-programme suivan qui fai un pas d inégraion d un sysème d équaions différenielles du premier ordre par la méhode de Runge-Kua d ordre 4 : subrouine rk4(x,y,dx,n,deriv)! 4h order Runge-Kua. See Numerical Recipes p. 71ff! f9 implici none ineger, inen(in) :: n real, inen(in) :: x, dx real, dimension(n), inen(inou) :: y real :: ddx real, dimension(n) :: yp, k1, k2, k3, k4 1
2 ddx =.5*dx call deriv(x,y,k1,n) ; yp = y + ddx*k1 call deriv(x+ddx,yp,k2,n) ; yp = y + ddx*k2 call deriv(x+ddx,yp,k3,n) ; yp = y + dx*k3 call deriv(x+dx,yp,k4,n) ; y = y + dx*( k1 + 2.*k2 + 2.*k3 + k4 )/6. 1 Commen peu-on ransformer une équaion différenielle du deuxième ordre en un sysème d équaions différenielles du premier ordre. n conséquence, quelle valeur fau-il donner à n dans ce problème? Jusifer vore réponse. 2 Écrire un sous-programme subrouine pules (, hea, dhea, n) uilisé par rk4 e qui calcule les dérivées dhea des variables hea. On précisera au passage quelles son les grandeurs physiques représenées par les différens élémens du ableau hea, de dimension n. Si un module vous paraî uile, donnez-en égalemen le lising. 3 Écrire aussi un programme principal qui calcule les valeurs des angles e de leurs dérivées emporelles, ainsi que l énergie du sysème à chaque pas de emps. On fixera les valeurs suivanes g = 9.91, m =.1, l =.2 e C =.1. simer e fixer un pas de emps raisonnable compe-enu des résulas analyiques obenus précédemmen. La durée oale de la simulaion devra pouvoir êre saisie sur le clavier au momen de l exécuion. On prévoira de placer les résulas de ces calculs dans des fichiers appropriés. 4 On a inégré les équaions du mouvemen avec des pas de emps d différens. Les figures cidessous monren la valeurs de l énergie calculées au cours du emps pour les différens choix de pas. Quel choix préconisez-vous? Jusifier vore réponse d= d= d=.5 d =
3 5 On a racé les courbes de hea(i) pour i = 1, 4 avec comme condiions iniiales : hea(1:2) =.1 e hea(3:4) =. pour la figure de gauche, e hea(1) =.1, hea(2) = -.1 e hea(3:4) =. pour la figure de droie. On a choisi les paramères du problème els que : 1 g 2π l = 1.11 e 1 g 2π l + 2C = hea1() = hea2() hea 1 hea 2 hea 3 hea hea1() = - hea2() hea 1 hea 2 hea 3 hea Pouvez-vous expliquer les figures obenues e jusifier les valeurs des périodes que l on observe sur ces figures? III 1 Commen modifier le sous-programme subrouine pules pour forcer le pule 1 avec une «force» asin( 2π τ )? 2 Pour a = 1, on obien les courbes ci-dessous (θ 1 () e θ 2 ()) : 1.5 a=1 hea 1.4 a=1 hea Pour a = 11, on obien les deux suivanes : 3
4 a=11 a=11 6 hea 1 6 hea Que s es-il passé?
5 I 1 Corrigé V = mglcos θ 1 mglcos θ C(θ 1 θ 2 ) 2 ml θ 1 = V = 1 l θ 1 l mglsin θ 1 C l (θ 1 θ 2 ) ml θ 2 = V = 1 l θ 2 l mglsin θ 2 C l (θ 2 θ 1 ) θ 1 = g l sin θ 1 C (θ 1 θ 2 ) θ 2 = g l sin θ 2 C (θ 2 θ 1 ) 2 Si θ 1 e θ 2 son peis, on fai l approximaion habiuelle e on pose Ce qui s écri mariciellemen : ω 2 α 1 ω 2 α 2 g l + C C θ 1 = α 1 e iω θ 2 = α 2 e iω = g l α 1 + C (α 2 α 1 ) = g l α 2 + C (α 1 α 2 ) C ( ) ml g 2 l + C α1 α 2 = ω 2 ( α1 α 2 ω 2 es donc une valeur propre de la marice, on obien alors ( g l + C ) 2 ( ) C 2 ω2 = soi g l + C ω2 = ± C e deux soluions : ω+ 2 = g l + 2 C ω 2 g = l La soluion ω es celle du pule simple, avec α 1 = α 2, l aure, ω + correspond à α 1 = α 2. II 1 Quand on a par exemple ẍ = f(,x,ẋ), il suffi d inroduire y = ẋ e ça donne le sysème { ẋ = y ẏ = f(,x,y) auremen di, une équaion différenielle du deuxième ordre égale deux équaions différenielles du premier ordre. Ici, on en a deux, soi n = )
6 module pules implici none real :: m, g, l, C subrouine pul(,hea, dhea, n) use pules! defini g, l, C, m e g implici none ineger, inen(in):: n real, inen(in) :: real, dimension(n), inen(in) :: hea real, dimension(n), inen(ou) :: dhea! hea(1) e hea(2) = angles! hea(3) e hea(4) = viesses angulaires dhea(1:2) = hea(3:4) dhea(3) = -g/l*sin(hea(1)) + C/(m*l*l)*(hea(2)-hea(1)) dhea(4) = -g/l*sin(hea(2)) + C/(m*l*l)*(hea(1)-hea(2)) 3 program d_p use pules implici none ineger, parameer :: n = 4! hea(1:2) = hea(1:2) ; hea(3:4) = d hea(1:2)/d real, dimension(n) :: hea real ::, d =.2, v, k ineger :: sep, nsep exernal :: pul g = 9.81 ; l =.2; m =.1 ; c =.1 wrie(*, ("Duree : ",$) ) ; read(*,*) nsep = nin(/d)! nbr. pas hea =. ; hea(1) =.1! cond. ini. open(1,file= d_pules.ou ) ; open(2,file= d_pules.ener ) do sep = 1, nsep = sep*d call rk4(,hea,d,n,pul) v = -m*g*l*(cos(hea(1)) + cos(hea(2))) +.5*c*(hea(1)-hea(2))**2 k =.5*m*l*l*(hea(3)**2 + hea(4)**2) wrie(1,*), hea wrie(2,*), v+k, v, k do close(1) ; close(2) 4 d =.5 parce que pour d plus grand, l énergie dérive, e pour d plus pei, on ne gagne rien de sensible, alors qu on consomme inuilemen du emps de calcul. 5 Sur la figure de droie, les deux pules on le même mouvemen à cause des condiions iniiales, auremen di, les courbes se superposen deux à deux, ainsi on n en voi que deux sur quare... On voi environ 11 périodes sur l inervalle de emps [,1] soi une fréquence de 1.1 qui 6
7 correspond bien à celle ( g/l/2π) qu on avai rouvé pour les deux pules en phase pour de peies oscillaions. Sur la figure de gauche, les pules son en opposiion de phase, e donc on voi les 4 courbes (θ 1, θ 2, θ 1, θ 2 ) e environ onze périodes e demi, soi une fréquence de 1.15 ce qui n es pas rès loin de III 1 Par exemple : subrouine pul(,hea, dhea, n) use pules implici none ineger, inen(in):: n real, inen(in) :: real, dimension(n), inen(in) :: hea real, dimension(n), inen(ou) :: dhea real, parameer :: pi = dhea(1:2) = hea(3:4) dhea(3) = -g/l*sin(hea(1)) + C/(m*l*l)*(hea(2)-hea(1)) + & a*sin(2*pi*/au) dhea(4) = -g/l*sin(hea(2)) + C/(m*l*l)*(hea(1)-hea(2)) les valeurs de a e au éan définies dans le module pules. 2 Pour a = 1 l ampliude du mouvemen des pules rese en-deça de ±π/2, donc les deux pules oscillen, mais pour a = 11, on dépasse cee limie : or cela correspond au mouvemen où le couple de rappel dû au poids diminue au lieu d augmener quand l angle augmene. Le pule peu ainsi faire plusieurs ours (enraînan l aure) ce qui donne le mouvemen de grande ampliude e d apparence désordonnée que l on voi sur la deuxième figure. 7
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