Solvency II, IFRS : l impact des modèles d actifs retenus

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1 Les normes IFRS en assurance Solvency II, IFRS : l impac des modèles d acifs reenus 31 e journée de séminaires acuariels ISA-HEC Lausanne e ISFA Lyon Pierre THÉROND 18 novembre

2 Conexe Qu elles soien d ordre économique (embedded value), prudeniel (Solvency II) ou compable (IFRS), les nouvelles conraines pesan sur les assureurs les conduisen à se ourner oujours davanage vers les modèles probabilises. En pariculier concernan l acif, les assureurs on mis en place des ouils de projecion e de valorisaion fondés sur les modèles de base développés en finance. Parmi eux, le modèle de Black & Scholes es courammen uilisé que ce soi pour modéliser des cours d acions ou de prix de l immobilier dans des projecions d éas compables ou pour valoriser des «garanies implicies». 18 novembre

3 Conexe Néanmoins se placer sysémaiquemen sous les hypohèses du modèle de Black & Scholes peu conduire à sous-esimer foremen le risque supporé par l enreprise. Ce poin semble fondamenal dans la perspecive de la mise en place des fuures règles de solvabilié. Le ravail effecué a consisé à proposer un modèle alernaif qui, ou en resan simple dans sa mise en œuvre, permee de mieux modéliser le risque lié à l acif. 18 novembre

4 Modèle de Meron S( ) N B U k k = 1 = S( 0) exp µ + σ + σ B N ( B ) ( ) ( N ) ( ) ( U k ) ( ) = 0 = 0 mouvemen brownien, processus de Poisson d inensié λ, U = k 1 suie i.i.d. de v.a. gausiennes cenrées, d écar-ype σ u, indépendance des processus B, N e U. References : Meron [1976], Ramezani & Zeng [1998]. 18 novembre

5 Modèle de Meron Cours du ire Mercer la semaine du 13/10/ novembre

6 Modèle de Meron Quelques propriéés (1/) E [ ] [ ( ) ] p σ p σ S( ) = exp p µ + + λ exp p σ 1 ( ) ( λ ) + ln x µ σ λ Pr [ S ( ) x] = Φ e n! n= 0 nσ u + σ u n 18 novembre

7 Modèle de Meron Quelques propriéés (/) N σ Noons ρ = µ +σ B + Uk, on a : k= 1 σ E ρ = µ k 1 E + ( E ρ ρ ) = 0 k k ( k)! ( ) ( ) k i ( E E ) i i i ρ ρ = Ck σ σu E N k k! i= 0 18 novembre

8 Modèle de Meron Esimaion des paramères Il es naurel d esimer les paramères du modèle sur l hisorique des rendemens. En praique, on se fixe un inervalle de emps, puis l on procède en deux éapes : méhode des momens, résoluion numérique de l EMV. σ xi n λ µ+ n ( L ) e λ x1,..., xn, µσ,, λσ, u = exp ( ) ( ) i= 1 π n= 0 n! n σ + nσ σ + σu u 18 novembre

9 Modèle de Meron Esimaion des paramères Cours à la clôure du ire Alcael 18 novembre

10 Modèle de Meron Esimaion des paramères Evoluion du rendemen quoidien du ire Alcael 18 novembre

11 Modèle de Meron Esimaion des paramères Densié du rendemen du ire Alcael 18 novembre

12 Modèle de Meron Esimaion des paramères Paramères µ σ λ σ U EMM 0, , , , EMV 0, , , , λσu U α = 50% σ +λσ La moiié de la variabilié du rendemen es expliquée par la composane à saus. 18 novembre

13 Modèle de Meron Esimaion des paramères 10,5 9 7,5 Meron Black e Scholes 6 4,5 3 1,5 0-0,0-0,16-0,1-0,08-0,04 0,00 0,04 0,08 0,1 0,16 0,0 Densié du rendemen 18 novembre

14 IFRS : Fair-value d une opion européenne La problémaique de valorisaion d opion es une quesion cenrale dans le référeniel IFRS (IFRS e surou IFRS 4 e IAS 39) de par la naure opionnelle d un cerain nombre de garanies conenues dans les conras d assurance : aux minimum garani, paricipaion aux bénéfices, racha / prorogaion, garanie plancher. Dans ces siuaions, la mise en place de couverure parfaie es improbable de par les durées en jeu e la naure du sous-jacen. 18 novembre

15 IFRS : Fair-value d une opion européenne Pour valoriser ces opions, les assureurs se placen, le plus souven, sous les hypohèses de Black & Scholes e uilisen des méhodes de Mone-Carlo. Le modèle de Meron peu faire abouir à des valorisaions rès différenes. Son uilisaion pour valoriser une opion nécessie de choisir une mesure maringale : différenes approches son possibles (cf. Balloa [004]). Pour les illusraions, nous reiendrons la soluion iniiale de Meron qui consise à considérer que le risque associé à la composane à saus es non-sysémaique (donc diversifiable) e à ne pas lui associer de prime de risque. 18 novembre

16 IFRS : Fair-value d une opion européenne On va faire varier α dans [0;1] : 0 [ ] ( ) = 1 E ρ = ln 1+ 0, 08 S Illusraion numérique U, = 100 σ +λσ = 0 5 α = 0 correspond au modèle de Black & Scholes, α = 1 correspond à la siuaion où la variabilié résule uniquemen de la composane à saus. On fai varier le prix d exercice de l opion de 80 à novembre

17 IFRS : Fair-value d une opion européenne 35 Illusraion numérique 30 5 Prix de l'opion Prix d'exercice % 18 novembre % 40% 100% 80% 60% Par de volailié expliquée par les saus

18 IFRS : Fair-value d une opion européenne Illusraion numérique 160 Prix d'exercice % 0% 40% 18 novembre % 80% 100% Par de volailié expliquée par les saus,4,,0 1,8 1,6 1,4 1, 1,0 0,8 3, 3,0,8,6 Prix Meron/ B&S

19 18 novembre e journée de séminaires acuariels ISFA Lyon e ISA-HEC Lausanne Solvency II : Capial cible Reprenons le modèle de Deelsra & Janssen [1998] : Le passif : L acif : Le processus d adéquaion acif-passif : + = L L L L B L L σ σ µ 0 exp + + = = N k k A A A A U B A A 1 0 σ σ µ exp L A a ln = = = N k k L A L A L A U B a a 1 0 σ σ σ σ µ µ

20 Solvency II : Capial cible Sous l hypohèse d indépendance enre acif e passif, la probabilié de ruine à une dae es donnée par : où : + a Pr 0 Φ 0 +µ a a < = e n= 0 σ a+ nσ U σ µ =µ µ a A L σ a = σ A+σL A σl λ ( λ) n! n 18 novembre

21 Solvency II : Capial cible Dans un référeniel prudeniel de ype Solvency II, la sociéé d assurance doi disposer d un niveau minimal de fonds propres éabli en foncion du risque global que suppore la compagnie à un horizon pré-déerminé. Exemple : la sociéé doi disposer d un capial lui permean de se prémunir conre la ruine, à horizon 1 an, avec une probabilié supérieure à 99 %. 18 novembre

22 Solvency II : Capial cible Supposons qu au bou d une année, l assureur doive disposer d un acif lui permean de venir en conreparie d un passif de valeur (ceraine) 100 e qu il dispose aujourd hui de provisions echniques de même monan 100. Il s agi pour lui de déerminer le niveau de capial γ el que : N1 Pr ( 100 ) exp σ +γ µ +σ B1 + Uk , k= 1 18 novembre

23 Solvency II : Capial cible σ Illusraion numérique : µ = ln 0, 08 λ = 1, 5 σ + λσu = 0, 16 α = σ σ U + λ λ σ U 18 novembre

24 Solvency II : Capial cible Le capial cible s avère rès sensible au modèle d acif reenu. Dans la siuaion où 50 % de la volailié es expliquée par la composane à saus, l uilisaion d un simple mouvemen brownien géomérique condui à sous-esimer de 13,5 % le besoin en capiaux propres! 18 novembre

25 Conclusion Le modèle de Black & Scholes es largemen répandu en assurance du fai de sa simplicié de mise en œuvre. Son adéquaion aux observaions rese malheureusemen rès limiée. De plus, son uilisaion peu conduire à sous-esimer significaivemen le risque supporé par la compagnie. Dans ce cadre, le modèle de Meron perme, ou en gardan une relaive simplicié de mise en œuvre, de mieux représener les observaions e d alourdir les queues de disribuion. Il s éend naurellemen vers des modèles plus compliqués moyennan des paramères supplémenaires. 18 novembre

26 Quelques références Balloa L. [004] «Alernaive framework for he fair valuaion of paricipaing life insurance conracs», Proceedings of he 14 h AFIR Colloquium, Deelsra G., Janssen J. [1998] «Ineracion Beween Asse Liabiliy Managemen and Risk Theory», Applied Sochasic Models and Daa Analysis, vol. 14, Meron R.C. [1976] «Opion princing when underlying sock reurns are disconinuous», Journal of Financial Economics, vol. 3, 4-44 Planche F., Thérond P.E. [005] «Impac of he asse jumps in insurance: IFRS / Solvency II», 15 h AFIR Colloquium. Planche F., Thérond P.E. [005] «Asse allocaion: new consrains induced by he Solvency II projec», 36 h ASTIN Colloquium. Ramezani C.A.; Zeng Y. [1998] «Maximum likelihood esimaion of asymmeric jumpdiffusion processes: applicaion o securiy prices», Working paper. 18 novembre

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