MAT265 Équations différentielles Transformées de Laplace : résumé

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1 MAT65 Équaions différenielles Transformées de Laplace : résumé 1. La able de ransformées de Laplace : exemples d uilisaion mars 19 Même si l on se limie aux É.D. à coefficiens consans, la echnique des ransformées de Laplace possède l immense avanage de nous permere d avoir des «inpu» coninus par morceaux, voire même des impulsions. Dans ce exe, la correspondance f ( ) F( s) sera uilisée pour indiquer que la ransformée de Laplace de f = f() es F(s) ou encore que la ransformée inverse de F(s) es f(). On pourra aussi écrire, uilisan le symbole pour désigner la ransformée de Laplace, [f()] = F(s). Il serai ouefois plus correc d écrire alors [f](s) = F(s). D ailleurs, une foncion «laplace» qui proviendrai d un sysème symbolique aurai une synaxe du genre laplace(ex, var, vars) où «ex» es l expression de la variable «var» qu on désire ransformer e où «vars» es la variable uilisée dans la ransformée obenue. Finalemen, puisque la ransformée de Laplace es définie par une inégrale impropre dépendan d un paramère «s», la convergence n es, en général, assurée que pour des valeurs du paramère choisies suffisammen grandes : s F( s) f ( ) e d. De plus, deux foncions égales «presque parou» auron des ransformées égales : il ne ser donc à rien, lorsqu une foncion es définie par morceaux, de se demander ce qu elle vau aux exrémiés des sous-inervalles. Des propriéés comme P e, plus généralemen, P1 son rès uiles on réfère ici à la able uilisée en MAT65 e son parmi les plus imporanes. Rappelons-les avan de faire un exemple : as P f ( a) u( a) e F( s), as P1 g( ) u( a) e g( a). Lorsqu une foncion es définie par morceaux, il es alors facile de rouver sa ransformée de Laplace, s aidan de l écriure en erme de combinaisons linéaires de la foncion échelon-unié u( a) e de P1. Voici un exemple : Exemple 1 : rouvons la ransformée de Laplace du signal défini par 6 si 1 f ( ) 8 si 1 4 si 4 Alors, on peu écrire, uilisan la echnique de «cancellaion», que f() = 6 + ( + 8 6) u( 1) + ( ( + 8)) u(4) = 6 +(8 8) u( 1) + ( 8) u( 4) = 6 8( 1) u( 1) + ( 4) u( 4).

2 6 8 s 4s Mais alors, simplemen par P, on a F( s) e e. On va vérifier cee s s s réponse en uilisan la foncion «laplace» sur Nspire CAS (librairie ETS_specfunc) : Figure 1 Noe : Nspire CAS ne «comprend pas» ce qu es u( 1) mais la librairie ETS_specfunc prend en charge cee foncion (de même que la «foncion» de Dirac ()). Si, par exemple, on voulai racer le graphique de l expression définie par f à la figure 1, il fau définir u() e après le graphique pourra se racer : Figure Aenion! On défini u() APRÈS avoir fai calculé la ransformée (e on supprimera cee variable si l on veu encore calculer des ransformées de Laplace). On copie l expression en x e la colle dans l édieur d une fenêre graphique en mode funcion : on obien le graphique de la figure 3. Figure 3

3 Si quelqu un n a pas fai les mises en évidences e remarqué que P pouvai direcemen s appliquer, alors P1 donne aussi le résula. Le prochain exemple revien sur l imporance de la «foncion» de Dirac e la convoluion. Exemple : les propriéés P15 (Dirac) e P4 (convoluion) son les suivanes : as P15 ( a) e, P 4 f ( ) g( ) f ( ) g( ) d F( s) G( s). (une démonsraion de P 4 se rouve à la fin de ce documen). Par conséquen, la soluion au problème ay ( ) by( ) cy( ) x( ) u( ), y(), y(), es donnée par la convoluion y( ) x( ) h( ) 1 avec h ( ). On appelle h() la réponse impulsionnelle. as bs c En effe, si l on applique la ransformée de Laplace de chaque côé de l É.D., nous X() s obenons Y( s) X ( s) H( s). De plus, on voi que si l on choisi, au dépar, as bs c x() comme éan (), alors Y(s) = H(s), donc y() = h() es la «réponse à une impulsion». Exemple 3 : la propriéé de convoluion es aussi rès uile pour calculer sans uiliser le «package Laplace» mais s aidan de sa calcularice une ransformée inverse qui ne se rouve pas dans nore able mais qui se présene sous la forme d un produi. Par exemple, soi à inverser l expression ( ) s Zs. s 9 s 8s On peu rès bien appliquer les fracions parielles avec la calcularice mais il faudra ensuie compléer des carrés e il sera beaucoup plus simple e rapide, dans ce cas-ci, d uiliser la convoluion e d écrire que Z(s) = F(s) G(s) où s 1 F( s), G( s). s 9 s 8s Les ransformées inverses de F e G son dans nore able (P3 e P8, après avoir compléé un carré) e il suffi alors d uiliser l inégraeur de la calcularice e faire la convoluion de f() avec g() où f ( ) sin(3 ), g( ) e sin( )

4 . La ransformée de Laplace pour analyser un sysème L un des gros avanages de la ransformée de Laplace es la liberé que cee méhode nous donne lorsqu on veu analyser un sysème (mécanique, élecrique, ). Pour fixer les idées, considérons un problème de masse-ressor modélisé (comme dans les noes de cours de MAT65) par l É.D. m y ( ) b y( ) k y( ) f ( ), y() y, y() v. Ici, y = y() désigne la posiion de l obje à l insan obje aaché au ressor, f = f() es la force exérieure (qui peu êre ideniquemen nulle), m la masse de l obje, b la consane d amorissemen (possiblemen nulle) e k la consane de rappel du ressor. Appliquan la ransformée de Laplace à ce problème, nous en déduisons facilemen, en msy mv by Lap( f ) réappliquan la ransformée inverse, que y ( ) Ilap. ms bs k Ici, nous avons employé «Ilap» pour désigner la ransformée de Laplace inverse e «Lap» pour la ransformée direce une elle foncion provenan d un sysème symbolique peu demander un, ou même 3 argumens mais puisque la plupar du emps on uilise comme variable de dépar e «s» comme variable de la ransformée, on peu simplifier de cee façon. Par conséquen, une foncion du ype «ressor» comme la suivane s avère for uile en applicaions e pourra êre uilisé sur une calcularice TI symbolique où le fichier conenan les ransformées de Laplace es insallé : m s yo mvo b yo Lap( f ) Ilap ressor( m, b, k, f, yo, vo). m s b s k La foncion «ressor» donne donc la posiion de l obje en foncion du emps. Pour un circui RLC, nous avons l É.D. LC v ( ) RC v ( ) v E( ), v () v, i() i. C C C C c () Mais alors, on a qu à calquer sur la foncion «ressor» e se rappeler que C () i v C : io ressor LC, RC,1, E, vco, circui_ rlc( R, L, C, E, vco, io). C La foncion «circui_rlc» donnera donc v (), la ension aux bornes du condensaeur C dans un circui élecrique, peu impore les condiions iniiales. Si l on veu le couran i(), alors i() = C v C (). Remarquons que si les condiions iniiales son nulles (v C () = e i() = ) e si l on ne désire rouver que le couran i(), alors on peu uiliser l équaion «inégro-différenielle» di 1 L Ri i( ) d E( ). d C 4

5 En appliquan la ransformée de Laplace de par e d aure de cee dernière équaion, C s E() s nous obenons Is () LCs RCs 1, Esdésignan () la ransformée de Laplace de E(). Exemple 4 : nous avons défini les foncions «ressor» e «circui_rlc» en passan par le «package» Laplace. Sur Npsire CAS, on rouvera le fichier ETS_specfunc.ns en suivan hp://seg-apps.esml.ca/nspire/documens/ransf%laplace%prog.pdf. Nore fichier KIT_ETS_MB (voir hps://cours.esml.ca/seg/mbeaudin/) es l endroi où on éé définies les foncions «ressor» e «circui_rlc» e bien d aures. Voici un exemple. On cherche la valeur maximale de la soluion de l É.D. y y y f ( ), y(), y(), On peu assimiler ce problème à un problème de masse-ressor où f serai la force exérieure. Prenons ici une force coninue par morceaux comme celle-ci : si 5 f ( ) 1 si 5. si On peu définir f comme éan u( 5) u( ). Pour le graphisme, on devra comme anô définir ce qu es u(). Choisir «uu» pluô que «u» peu êre uile. Donc, en posan 1 sign( ) uu( ) (sep( )). la soluion, en mode exac, sor rapidemen sur l écran : Figure 4 5

6 Rese à ouvrir une fenêre graphique, copier e coller la soluion (en remplaçan ««par «x» e en «overwrian» «u» par «uu». On uilise ensuie le menu d analyse de la représenaion graphique e rouve la valeur maximale : Figure 5 3. La propriéé P 4 : une démonsraion pour relier les cours de mahs! Remarquons au dépar que la convoluion es commuaive puisque, par changemen de variables, on peu écrire f ( ) g( ) f ( ) g( ) d f ( w) g( w)( dw) g( w) f ( w) dw g( ) f ( ). w Les éudians ayan suivi un cours de calcul à plusieurs variables son en mesure de suivre le raisonnemen suivan. On a, en uilisan la définiion de ransformée de Laplace e la propriéé P (avec a remplacé par ) s s F( s) G( s) F( s) g( ) e d g( ) F( s) e d g( ) f( ) u ( ) d s s g( ) f ( ) u( ) e d d g( ) f ( ) e d d où l on a uilisé, dans la dernière égalié, le fai que u( si <. Si l on dessine le domaine d inégraion de la dernière inégrale double, nous avons la figure 6 suivane dans le plan des - qui couvre oue la porion supérieure du premier quadran au-dessus de la droie = : 6

7 Figure 6 Considéran cee région de ype II pluô que de ype I, nous pouvons donc permuer l ordre d inégraion e obenir en coninuan où nous éions rendus s F( s) G( s) g( ) f ( ) e d d g( ) f ( ) e d d s s g( ) f ( ) d e d g( ) f ( ) e d f ( ) g( ). s 7

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