INTRODUCTION AUX SÉRIES CHRONOLOGIQUES

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1 INTRODUCTION AU SÉRIES CHRONOLOGIQUES AE MÉTHODES STATISTIQUES ET APPLICATIONS O. ROUSTANT Novembre 008

2 Table des maières TABLE DES MATIERES... INTRODUCTION... 3 QUELQUES TECHNIQUES DESCRIPTIVES UTILISATION D'UNE TRANSFORMATION ESTIMATION DE LA TENDANCE ET DE LA SAISONNALITE Esimaion de la endance Esimaion de la saisonnalié FILTRAGE DE LA TENDANCE ET DE LA SAISONNALITE Filrage de la endance Filrage de la saisonnalié Un deuxième exemple PREVISION PAR LES METHODES DE LISSAGE EPONENTIEL LISSAGE EPONENTIEL SIMPLE (SES POUR SINGLE EPONENTIAL SMOOTHING) METHODE DE HOLT METHODES DE HOLT-WINTERS Hol-Winers, version muliplicaive Hol-Winers, version addiive Exemple CRITIQUE DES METHODES DE LISSAGE EPONENTIEL... 0 CADRE PROBABILISTE. QUELQUES MODELES PROBABILISTES..... NOTIONS GENERALES Saionnarié Foncion d'auocovariance. Auocorrélaions Auocorrélaions parielles.... MODELES SARIMA Brui blanc Marche au hasard Modèle auorégressif Modèle à moyenne mobile Modèle mixe ARMA Modèles ARMA inégrés : ARIMA e SARIMA... 8 METHODOLOGIE DE BO ET JENKINS PREPARATION DES DONNEES : STATIONNARISATION SELECTION D'UN MODELE ACF e PACF Aures ouils de décision ESTIMATION VALIDATION Vérificaions graphiques Tess saisiques RETOUR SUR LA SERIE 'AIRLINE' PREVISION AVEC UN MODELE PROBABILISTE QU'EST-CE QU'UNE PREVISION? CALCUL DES PREVISIONS Calcul explicie Simulaion Boosrap OPTIMALITE DES METHODES DE LISSAGE EPONENTIEL PERFORMANCES EN TERMES DE PREVISION. ANALYSE POST-SAMPLE Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

3 CONCLUSION. COMPLEMENTS ET ETENSIONS ANALYSE SPECTRALE (DOMAINE DES FREQUENCES) ASPECT VECTORIEL. MODELE VARMA MODELES NON LINEAIRES Modèle GARCH Aures exemples METHODES NON PARAMETRIQUES RÉFÉRENCES Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

4 Inroducion Une série chronologique, ou série emporelle, es une série d'observaions ordonnées chronologiquemen. Elles se renconren naurellemen dans une grande variéé de domaines. On peu cier : l'économie (aux de chômage, PNB ), la finance (cours d'acion, aux d'inérê, ), l'écologie (polluion à l'ozone, au CO, ), le ranspor (avec l'exemple célèbre du rafic aérien inernaional), la démographie Les objecifs d'éude son muliples. La prévision es sans doue le bu le plus fréquen. Il s'agi de prévoir les valeurs fuures d'une variable grâce aux valeurs observées dans le présen e le passé de cee même variable ; la problémaique n'es donc pas la même qu'en régression où l'on cherche à prévoir le niveau d'une variable (la réponse) en foncion du niveau d'aures variables (les prédiceurs). Parmi les aures objecifs avoués de l'éude des séries emporelles, figure le problème de l'esimaion d'une endance ; par exemple on peu se demander si une variaion observée du chômage es le fai d'une flucuaion saisonnière, ou bien es le refle d'une endance. Cela nécessie donc le filrage des variaions saisonnières. En finance, c'es en général ou simplemen (!) la dynamique de la série qui es au cenre des éudes ; la modélisaion d'un cours d'acion es quasimen sans inérê sur la prévision mais es essenielle pour l'évaluaion (le "pricing") des produis financiers complexes consruis sur l'acion (on parle de "produis dérivés"). Un aure problème consise à évaluer l'impac d'un événemen sur une variable : commen quanifier l'influence de la ceinure de sécurié sur le nombre de ués sur la roue? du changemen d'horaire sur la consommaion d'énergie? L'éude sysémaique des séries emporelles remone à la fin du ème confli mondial e n'a cessé de s'inensifier depuis (la révoluion informaique a même donné un sérieux coup d'accéléraeur pour ou ce qui relève des applicaions praiques 3!). Le nombre de echniques d'éudes e de modèles es mainenan colossal. Ce cours es une modese inroducion à quelques echniques de base reconnues par le monde scienifique e employées par les praiciens. Il se limie aux séries emporelles univariées (une seule variable) e discrèes (par opposiion au emps coninu) ; quelques complémens (noammen l'aspec "fréquence") e exensions son évoqués dans le ou dernier chapire. Par la suie, il s'agira d'une suie de variables aléaoires. C'es-à-dire la façon don influen les valeurs passées sur le présen. 3 mais aussi du développemen héorique : la croissance fulgurane de la puissance de calcul a ainsi ouver la voie à l'esimaion non paramérique. 3 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

5 Chapire. Quelques echniques descripives Nous allons illusrer quelques echniques descripives uiles en séries chronologiques sur quelques exemples. Commençons par la célèbre série du rafic aérien inernaional, que nous dénommerons désormais 'airline' (source : hp://go.o/forecasing/ ). Table. Trafic aérien inernaional de janvier 949 à décembre 960 (milliers) Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juille Aoû Sepembre Ocobre Novembre Décembre La première éape consise à racer les données, ce qui es fai sur la figure ci-après. On peu déjà faire quelques remarques préliminaires : Augmenaion régulière du rafic ; Flucuaion saisonnière : augmenaion de novembre à juille-aoû, avec un creux vers le mois d'avril, puis diminuion jusqu'en novembre. Les données son de plus en plus dispersées. Cependan cerains poins mérieraien d'êre éclaircis ; par exemple : L'augmenaion se fai-elle de façon consane, exponenielle, ec.? La flucuaion saisonnière es-elle consane au fil du emps? Que se passe--il, indépendammen de la endance à la hausse e des flucuaions saisonnières? Pour faire vie, disons que les deux premières quesions reviennen à éudier la parie déerminise de la série que l'on visualise aisémen ; la dernière vise à analyser la srucure aléaoire - "le brui" - qui rese une fois que l'on a exrai la parie déerminise. Dans ce chapire on éudiera esseniellemen la parie déerminise en préparan le errain pour la parie aléaoire. 4 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

6 Figure. Trafic aérien inernaional (milliers). Uilisaion d'une ransformaion. Bien que cela ne soi pas complèemen indispensable ici, il es commode de faire subir une ransformaion aux données dans le bu de sabiliser la variance. Après quelques essais, la ransformaion qui semble la mieux adapée semble êre la foncion logarihme. Trafic aérien inernaional : effe de la ransformaion logarihme. 5 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

7 On consae que la ransformaion a bien l'effe escompé de rendre la variance à peu près consane. Le logarihme a égalemen le mérie d'êre relié à une inerpréaion simple. x Inerpréaion: Noons y = log( x ). Alors pour de peies variaions de x, y y + + x. Auremen di, l'accroissemen sur la courbe ransformée es approximaivemen le pourcenage d'accroissemen sur la courbe iniiale. Démonsraion: faire un développemen limié... La ransformaion logarihmique fai parie de la famille des ransformaions de Box-Cox : λ x si λ > 0 gλ ( x) = λ log x si λ = 0 qui son égalemen fréquemmen ciées. (En dehors du cas λ=0, il es difficile de donner un sens à ces ransformaions). On peu cier égalemen la ransformaion logisique adapée aux séries qui varien dans un inervalle consan de emps g( x) = log( x /( x)) La valeur ransformée varie enre - e +.. Esimaion de la endance e de la saisonnalié. Qu'appelle--on endance e saisonnalié? Il es bien difficile de répondre e on se limiera à une définiion approximaive : la endance correspond à l'évoluion au cours du emps indépendammen de flucuaions saisonnières ; la saisonnalié aux variaions saisonnières "pures". Cependan, endance e saisonnalié semblen son souven liées e il es parfois difficile de les exraire. Ici cependan, on peu suggérer que la série, une fois ransformée, résule simplemen de l'addiion de la endance e de la saisonnalié. Auremen di, on propose un modèle de décomposiion addiive pour y = log( x ) : y = m + s + u où m représene la endance, s la saisonnalié e u un erme aléaoire. Il en résule une décomposiion muliplicaive pour x : x = M S U Avec M = exp( m ), S = exp( s ) e U = exp( u ). La ransformaion logarihme a permis de visualiser la forme d'une décomposiion adéquae ; ceci fai, il es plus naurel (mais pas obligaoire) de ravailler direcemen sur la série de rafic aérien e de considérer la décomposiion muliplicaive. Supposons alors que M soi connu. Alors S e U s'inerprèen comme des indices ; S es l'indice saisonnier e U l'indice aléaoire par lesquels on doi muliplier le niveau acuel de endance pour obenir le nombre de passagers. On peu donc exprimer S e U en pourcenage... Esimaion de la endance Elle peu se faire par exemple : 6 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

8 Soi en imposan une forme paramérée, par exemple ici une foncion affine m = d. + e, ou de ype exponeniel m = exp( d. + e) ; Soi en filran la saisonnalié. Ceci peu êre réalisé au moyen d'un lissage par moyenne mobile. Définiion : un filre moyenne mobile (ou MA pour Moving Average) es une applicaion de la M α i + i i= m forme x. x. Les filres MA cenrés les plus simples son de la forme x h h (h+ ) MA x + i h + e h MA x x h + x + i x + h i= h h + i= h L'appellaion (h+) MA fai référence à la largeur de la fenêre uilisée pour lisser ; il en es de même de l'appellaion h MA même si la largeur de la fenêre es h+ car ce filre s'obien comme la moyenne des deux filres "naurels" de aille h. Propriéé: Les filres (h+) MA e h MA laissen invarians les polynômes de degré. Preuve : laissée en exercice La largeur de la fenêre doi êre choisie en foncion de l'objecif souhaié. S'agissan de filrer la saisonnalié, il es recommandé de choisir la aille de la fenêre égale à la périodicié. Dans nore cas, on uilisera le filre MA. Le résula es donné sur la figure ci-dessous, ainsi que la série résiduelle x / M. 7 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

9 Avan oue chose, remarquons que les lissages uilisés supprimen les valeurs du bord. Ils ne son donc pas à recommander pour la prévision! Touefois, diverses echniques exisen pour pallier ce problème (lissage sur la plus grande fenêre possible, prévision des valeurs fuures avan lissage, ec.). Venons-en aux résulas eux-mêmes. On consae que l'augmenaion régulière du rafic es enrecoupée semble--il - de deux paliers, un correspondan grosso modo à l'éé 953, l'aure à l'hiver 958. Il serai inéressan à ce sade d'avoir des informaions supplémenaires pouvan (peu-êre) expliquer ces paliers. Si le lissage uilisé a bien filré oue la saisonnalié, alors la série résiduelle x / M correspond comme indiqué à une série à laquelle on a enlevé la endance : il rese la saisonnalié "bruiée" par un erme aléaoire. Malgré ce brui, ceraines caracérisiques semblen apparaîre : D'aoû à novembre, la décroissance du rafic semble régulière ; en revanche, la croissance du rafic de novembre à juille-aoû semble êre perurbée par deux légers creux en février e en avril ; D'aure par, concernan les séries saisonnières (c'es-à-dire les séries du ype S + où décri un mois donné) : celles des mois de juille-aoû semblen indiquer une croissance de la flucuaion esivale (bien enendu : indépendammen de la endance haussière) andis que celle de mars ( ème "pic") semble indiquer une baisse du rafic pour ce mois-ci au cours du emps... Esimaion de la saisonnalié Pour esimer la saisonnalié, on va chercher à filrer la composane aléaoire encore présene (on pourrai égalemen uiliser d'aures echniques : ajusemen d'une courbe périodique, "moyennage" saisonnier, ec.). Afin de lisser suffisammen mais en évian de gommer les creux en février e avril que l'on juge imporan, on a choisi un filre 3 MA avec poids [ ]. Le résula es monré ci-dessous, ainsi que la série résiduelle qui devrai donc pouvoir s'inerpréer comme une série "puremen aléaoire". 8 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

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11 Avan d'aller plus loin à propos de la saisonnalié, on peu consaer que le lissage a gommé, malgré ou, une parie des creux de février e avril. Ceci peu êre évié mais demande un peu plus de ravail. Voir (Makridakis e al.), chapire "Time Series Decomposiion". D'aure par, la série résiduelle semble assez imprévisible, ce qui fai dire que nore éude n'es pas de rop mauvaise qualié : il ne rese pas de erme de endance ou de saisonnalié flagrans. On peu mainenan éudier le comporemen des séries saisonnières à parir de l'esimaion de la saisonnalié par lissage. On les a représenées sur la figure ci-dessous ; le rai horizonal représene la valeur moyenne de chaque série. On consae comme supposé que les indices saisonniers de juille-aoû - mais aussi juin on endance à augmener ; d'aure par, ceux de février e mars on endance à diminuer. Finalemen la décomposiion obenue pour la série 'airline' es la suivane : 0 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

12 Remarques : Noons que, bien que donnan les caracérisiques essenielles, il s'agi d'une décomposiion relaivemen grossière. En effe, on peu vouloir affiner l'esimaion de la endance une fois que l'on a esimé la saisonnalié. Ainsi on peu considérer x / S pour obenir une nouvelle esimaion de la endance M '. Puis on peu vouloir réesimer la saisonnalié, puisque l'on a une esimaion que l'on espère plus fine de la endance, en considéran x / M ', ec. Bon nombre de logiciels exisen sur ce principe, avec plus ou moins de raffinemens (raiemens des valeurs aberranes, uilisaion de filres sophisiqués, ec.). Le leceur inéressé pourra consuler (Makridakis e al.), chapire "Time Series Decomposiion". Le problème de la pere de valeurs à chaque lissage peu-êre résolu en esiman les valeurs fuures ou passées. Voir aussi (Makridakis e al.), même chapire. Les accros n'auron pas manqué de remarquer que le erme aléaoire U a bon dos e auorise oue sore de "bidouillage" ; cela vien du fai que l'on ne fai aucune hypohèse sur la naure probabilise de U. C'es l'un des méries de la modélisaion probabilise que de donner un cadre rigoureux au raiemen des séries chronologiques. Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

13 3. Filrage de la endance e de la saisonnalié. Dans ceraines circonsances, il sera uile non pas d'esimer la endance e la saisonnalié mais pluô de les filrer afin d'esimer direcemen le erme aléaoire. La echnique précédene perme d'esimer ce dernier mais les lissages uilisés on le mauvais goû d'inroduire des arefacs sous forme de corrélaions "parasies" (voir TD). 3.. Filrage de la endance Il es imporan cee fois de parir de la série ransformée y = log( x ), car les echniques que l'on va voir corresponden à des opéraions addiives. Au premier regard la endance semble êre assez proche d'une droie. Pour l'éliminer, l'idée es de dériver. Pour les séries chronologiques, les données son souven espacées de façon régulière e l'inervalle de emps qui les sépare es choisie comme unié. Par conséquen l'opéraion de dérivaion correspond simplemen à regarder la différence y + y enre deux valeurs consécuives. Définiion: L'opéraeur de différeniaion, noé, es y y y. Ce opéraeur peu s'écrire au moyen de l'opéraeur reard : B Définiion: L'opéraeur reard, noé B (pour backward), es y y. On a alors = I B, où I es l'applicaion idenique. Différenian une première fois, on obien le résula ci-dessous. Comme prévue, la endance a éé en bonne parie éliminée ; il rese peu-êre un erme consan. D'aure par, la ransformaion n'a pas éliminé la saisonnalié : on voi de façon évidene des cycles de longueur. On pourrai ensuie différencier une ème fois mais cela n'es pas nécessaire car le filrage de la saisonnalié aura la même conséquence. Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

14 Remarque: Noons y ' = y. Il es rès simple de revenir à y à parir de y '. En emps coninu, il suffirai d'inégrer e on écrirai y( ) = y(0) + y '( u) du 0 Ici on a la formule analogue y = y0 + y ' 0 + y ' y ' On revien donc à y par inégraion discrèe de y ' avec la condiion iniiale y Filrage de la saisonnalié. Une façon simple de filrer la saisonnalié es de considérer les variaions d'une année à l'aure, ce qui correspond à effecuer une différeniaion saisonnière : Définiion. L'opéraeur de différeniaion saisonnière pour une période s, noé On a donc s s = I B, avec x x s x s s B = B B... B. s fois Remarque (ordre des différeniaions). Sous cee forme, on remarque que e différeniaions "simple" e saisonnière n'a donc aucune imporance. s, es s commuen. L'ordre dans lequel on effecue les La différeniaion saisonnière condui à la série z = y = ( I B )( I B) y, représenée ci-dessous. La série obenue paraî effecivemen "aléaoire" au sens où il n'y a pas, de façon évidene, de erme déerminise. Au chapire 4, on précisera sa naure aléaoire. 3 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

15 3.3. Un deuxième exemple. La able ci-dessous conien les données mensuelles de janvier 96 à décembre 985 du nombre de jeunes femmes sans emploi des Eas-Unis enre 6 e 9 ans. Nous dénommerons cee série 'unemp' (source : hp://go.o/forecasing/ ). Jan. Fev. Mars Avril Mai Juin Juil. Aoû Sep. Oc. Nov. Dec Le graphe de la série es représené ci-après. Il es bien difficile de déceler une endance ou un phénomène cyclique. Néanmoins, on ne peu espérer éudier cee série sans effecuer de ransformaion car il y a un manque de sabilié au niveau des valeurs elle-même. En revanche, le problème disparaî lorsqu'on s'inéresse à la série des variaions du nombre de jeunes femmes sans emploi obenue par différeniaion. La différeniaion a pour bu de se ramener à une série "saionnaire" (la définiion rigoureuse es donnée au chapire 3). L'uilisaion de ransformaions es la première éape de la méhodologie de Box e Jenkins d'éude des séries emporelles. 4 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

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17 Chapire. Prévision par les méhodes de lissage exponeniel Ean donnée une série d'observaions x, x,..., x N, on s'inéresse aux prévisions qu'on peu donner à la dae N pour les daes fuures. De façon générale, la prévision faie à une dae pour l'horizon h, c'es-à-dire pour la dae +h, sera noée xˆ(, h ). La méhode de lissage exponeniel simple procède par filrage de la série de données avec les pariculariés suivanes: le filre uilisé fai inervenir ou le passé (il es donc décenré à gauche, conrairemen à ceux employés au chapire précéden). les poids aribués aux observaions décroissen de façon exponenielle en foncion de l'ancienneé de ces observaions. Le lissage exponeniel simple ne s'applique qu'aux séries sans endance ni saisonnalié. Les exensions de la méhode - méhodes de Hol e de Hol-Winers permeen de enir compe de la présence d'une endance e/ou d'une saisonnalié.. Lissage exponeniel simple (SES pour Single Exponenial Smoohing) Descripion La prévision à l'horizon es donnée ici par la moyenne des observaions passées, avec des poids décroissan avec l'ancienneé de façon géomérique: xˆ( N,) = c0xn + cx N +... avec c + = ( α). c, 0 < α <. Avec la conraine que la somme des poids fasse, on en dédui la forme des poids comme une foncion exponenielle de l'ancienneé: c = α( α), = 0,,... La prévision à l'horizon h es, par définiion, la même qu'à l'horizon : xˆ ( N, h) = xˆ ( N,), h =,,... Algorihme iéraif Sous la forme précédene, l'évaluaion des prévisions comme une moyenne de oues les observaions passées peu-êre rès coûeuse en emps de calcul. Heureusemen on a la relaion: xˆ ( N,) = α x + ( α) xˆ ( N,) N ce qui perme de calculer les prévisions à la dae N de proche en proche. Pour iniialiser l'algorihme, on adope généralemen le choix xˆ(,) = x. La formule ci-dessus donne en oure une aure inerpréaion de la méhode: la prévision à la dae N "corrige" la prévision anérieure avec l'observaion présene. Le paramère α régi l'imporance du présen dans cee correcion; par exemple, pour α=0 la prévision es la valeur la plus ancienne andis que pour α=, la prévision es donnée par l'observaion présene. 6 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

18 Choix du paramère Le choix de α dépend du bu recherché. Supposons par exemple que l'objecif soi la prévision à l'horizon. Alors il es naurel de minimiser un crière faisan inervenir les erreurs de prévision à l'horizon jusqu'à la dae N, e ( ) ˆ α = x(,) x +, =,3,..., N. On choisi souven un crière de moindre carrés minimum du crière 4. N = f ( α) = e ( α) e la valeur de α correspond au Cadre d'applicaion Le lissage exponeniel simple n'es rien d'aure qu'un filrage local de la série de donnée; rien n'es prévu pour prendre en compe un erme endanciel ou un phénomène cyclique, e les résulas son en effe rès décevans dans ces cas. On se bornera donc à l'uiliser lorsque aucune endance ou saisonnalié n'es visible. Exemple Reprenons la série 'unemp'. Supposons que l'on ignore les données des 6 derniers mois de l'année 985 e que l'on souhaie prévoir au 30 juin 985 les chiffres du chômage relaif à la caégorie sociale considérée pour les 6 derniers mois de l'année. Ici la série ne présene pas de endance évidene ni de saisonnalié; on peu donc employer la echnique de lissage exponeniel simple. Ci-dessous, on donne les résulas obenus pour 3 valeurs du paramère α. Prévisions à l'horizon Mois Index Valeurs α=0. α=0.5 α=0.9 observées Janvier Février Mars Avril Avril Mai Juin Juille 95 (670)* Aoû 96 (555)* Sepembre 97 (63)* Ocobre 98 (676)* Novembre 99 (659)* Décembre 300 (689)* Analyse des erreurs. (Janvier 96 à Juin 985) RMSE** * Données inconnues au momen de la prévision. **Roo Mean Square Error : racine carrée de la somme des carrés des erreurs. 4 Dans un cadre probabilise le crière serai choisi, de préférence, de façon à maximiser la vraisemblance. 7 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

19 Les prévisions à la dae à l'horizon son placées à la dae +. Parmi les rois valeurs α = 0., α = 0.5 ou α = 0.9, c'es la valeur α = 0.5 qui minimise la somme des carrés des erreurs. sur la période d'esimaion (Janvier 96 à Juin 985). En fai la valeur opimale de α es Méhode de Hol Il s'agi d'une adapaion du lissage exponeniel simple aux séries présenan une endance mais sans saisonnalié évidene. Elle opère au plan local le lissage simulané du "niveau" de la série L e de la pene b de la endance, au moyen des équaions récursives: L = α x + ( α)( L + b ) b = β ( L L ) + ( β ) b L s'inerprèe comme une esimaion de la endance à la dae, e b comme une esimaion de la pene. La prévision à l'horizon h es définie par: xˆ(, h) = L + hb On rerouve le lissage exponeniel simple pour β=0, e b =0. Dans ce cas on a ou simplemen L = xˆ(,). Iniialisaion Le plus simple consise à prendre L = x e b = x x, mais d'aures echniques peuven êre envisagées, par exemple une régression linéaire sur les premières valeurs pour donner une esimaion locale de la endance iniiale. Choix des paramères On peu choisir α, β de façon à minimiser, par exemple, un crière de moindres carrés des erreurs de prévisions e (, ) ˆ α β = x(,) x Méhodes de Hol-Winers Ce son les méhodes à privilégier parmi les echniques de lissage exponeniel dans le cas de séries d'observaions présenan à la fois un erme de endance e une saisonnalié. Elles opèren le lissage simulané de 3 ermes correspondan respecivemen à des esimaions locales du niveau de la série désaisonnalisée L, de la pene de la endance b e de la saisonnalié S. On peu cier au moins deux méhodes don l'une es adapée aux séries admean une décomposiion muliplicaive e l'aure correspondan aux décomposiions addiives. 3.. Hol-Winers, version muliplicaive En noan s la périodicié naurelle de la série, les équaions son les suivanes: 8 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

20 x L = α + ( α)( L + b ) S s b = β ( L L ) + ( β ) b x S = γ + ( γ ) S L s La prévision à l'horizon h es donnée par: xˆ(, h) = ( L + hb ) S + s h Iniialisaion L'iniialisaion de l'algorihme requier cee fois 3s valeurs: L,..., Ls, b,..., bs, S,..., S s. Il es naurel de choisir pour =,,s : x xs L = s x + s x xs xs b =... s + + s s x S = L mais d'aures choix resen possibles. Choix des paramères. Le choix de α, β, γ peu êre fai là encore en minimisan un crière des moindres carrés des erreurs de prévision e (,, ) ˆ α β γ = x(,) x Hol-Winers, version addiive. Le sysème d'équaions es donné par: L = α( x S ) + ( α)( L + b ) s b = β ( L L ) + ( β ) b S = γ ( x L ) + ( γ ) S s e la prévision à l'horizon h par: xˆ(, h) = L + hb + S s + h Le choix des valeurs iniiales e des paramères se fai de façon ou à fai analogue au cas muliplicaif Exemple Reprenons la série 'airline'. Plaçons-nous au 3 décembre 959 e supposons que l'on ai à prévoir le rafic pour l'année suivane. D'après l'éude descripive réalisée au chapire, c'es la méhode de Hol-Winers muliplicaive qui paraî la plus adapée 9 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

21 parmi les echniques de lissage exponeniel. L'esimaion des paramères par moindres carrés donne: α=0.39, β=0.049, γ= Les prévisions obenues son monrées sur la figure cidessous; on observe qu'elles son "proches" des valeurs réellemen observées - ce qui relève de la chance; mais surou elles son la "suie logique" de ce qui précède, ce qui es du à la echnique uilisée. 4. Criique des méhodes de lissage exponeniel L'avanage des méhodes vues dans ce chapire pour la prévision, es de fournir une prévision "bon marché" (peu coûeuse en moyens) e parfois rès saisfaisane comme dans l'exemple précéden. Les inconvéniens les plus flagrans son de deux ordres. Tou d'abord, rien ne garani l'opimalié de la méhode sur une série de donnée : les méhodes de lissage exponeniel son parfois loin d'êre les mieux adapées (encore fau-il s'en apercevoir). D'aure par, elles son incapables de fournir des inervalles de prévision, c'es-à-dire un inervalle conenan la prévision avec une probabilié donnée. E pour cause, aucun cadre probabilise n'a éé défini pour le momen. Pour pallier ces insuffisances, on es amené à réaliser des prévisions au moyen de modèles probabilises. Il es à noer que les méhodes de lissage exponeniel corresponden (à l'excepion de la version muliplicaive de Hol-Winers) à des modèles probabilises pariculiers. On peu donc voir les méhodes probabilises comme des echniques plus générales permean de jusifier l'emploi des méhodes élémenaires e d'en élargir le champ d'applicaion. 0 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

22 Chapire 3. Cadre probabilise. Quelques modèles probabilises. Jusqu'à présen, nous avons regardé les données sans aucune ambiion de modélisaion. Si l'on prend l'image d'un projecile propulsé par un canon, nore démarche se serai limiée à observer une forme parabolique de la rajecoire. On aimerai mainenan aller plus loin e proposer un modèle capable de reproduire le "comporemen" des données de façon analogue que le modèle Newonien explique la forme de la chue du boule de canon. Ici cependan la ache es bien différene puisque les données ne son pas déerminises. La démarche consise à supposer que les données observées x,..., x n formen un exrai d'une rajecoire d'un processus sochasique ( ( ω)) Z, donc qu'il exise ω el que ( x,..., xn ) = ( ( ω),..., n( ω)). L'ambiion es alors de proposer, lorsque cela es possible, un modèle "plausible" pour le processus ( ). En fai on ne sai vraimen faire quelque chose que lorsqu'il es possible de supposer que le processus es saionnaire. Dans ce cas on peu associer deux caracérisiques essenielles au processus, la foncion d'auocorrélaion e la foncion d'auocorrélaion parielle. La nécessaire comparaison des auocorrélaions esimées à parir des données avec celles calculées pour des modèles connus sera parfois même suffisane pour avoir une bonne idée d'un modèle adéqua. Cela suppose naurellemen d'avoir une connaissance solide des modèles probabilises les plus courans. Dans ce cours, on se resrein à des modèles linéaires de ype "SARIMA"; leur présenaion fai l'obje de la deuxième parie du chapire.. Noions générales... Saionnarié. La connaissance d'un processus équivau à connaîre la loi de ou veceur ( +,..., + h), h enier. La noion de saionnarié au sens sric, analogue à celle de régime permanen en physique, es donnée par la Définiion. ( ) es saionnaire au sens sric si e seulemen si la loi de ( +,..., + h) dépend seulemen de h. Cee noion es parfois rop resricive e l'on préfère alors la saionnarié au second ordre : Définiion. ( ) es saionnaire au second ordre ou simplemen : saionnaire, si e seulemen si pour ou enier h, E + e cov(, + ) ne dépenden que de h. h Noons que ces définiions son équivalenes lorsque ( ) es un processus gaussien (c'es-àdire lorsque la loi de ou veceur ( +,..., + h) es gaussienne). Pour un processus saionnaire, les momens d'ordre e, E e var( ), son donc consans au cours du emps. Touefois cee propriéé n'es pas suffisane. Quie à rerancher µ = E, on peu oujours se ramener à un processus cenré. Dans la suie ous les processus h Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

23 son cenrés, e la noion de saionnarié doi êre comprise au sens faible. (En revanche on ne suppose pas dans ce chapire que les processus son gaussiens)... Foncion d'auocovariance. Auocorrélaions. La connaissance d'un processus cenré saionnaire se ramène enièremen à l'éude de la foncion d'auocovariance γ ( h) = cov(, + h), ou bien à la connaissance de la variance γ ( h) σ = γ (0) = var( ) e à la foncion d'auocorrélaion ρ( h) corr(, + h) =. γ (0) Noons que ces noions n'on de sens que pour les processus saionnaires. Les propriéés son semblables pour γ e ρ. Dans le cas de la foncion d'auocorrélaion, on a Propriéés. ρ (0) = ρ( h) (d'après l'inégalié de Cauchy-Schwarz) ρ( h) = ρ( h) ρ es une foncion paire. Inerpréaion géomérique. ρ ( h) es le cosinus de l'angle enre e + h. Signalons une difficulé d'ordre héorique : deux processus saionnaires disincs peuven avoir la même foncion d'auocorrélaion. Considérons par exemple : = Z + θ Z e Y = Z + Z θ où θ es un réel non nul fixé, e les v.a. Z son i.i.d. Il es facile de voir que les foncions d'auocorrélaions ρ e ρ Y son égales. D'aure par, sur un plan praique cee fois, il serai miraculeux de pouvoir idenifier un processus à la seule vue de la foncion d'auocorrélaion (esimée). Heureusemen, nous avons un deuxième ouil à nore disposiion..3. Auocorrélaions parielles. Considérons le processus = Z (*) où les v.a. Z son i.i.d. avec Z indépendan de. De par la définiion de ( ), il y a une fore corrélaion enre e ( ρ () = 0.8 ), qui se 3 répercue enre e ( ρ () = 0.8 = 0.64 ), enre e 3 ( ρ (3) = 0.8 = 0.5 ), Pouran la formule (*) semble indiquer qu'il n'y a pas de corrélaion "direce" enre e h pour h>. L'auocorrélaion parielle perme en fixan le niveau des variables inermédiaires, de mesurer cee dépendance. Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

24 Définiion. Si ( ) es un processus saionnaire, l'auocorrélaion parielle d'ordre h, noée π ( h), es définie par π ( h) corr( + h EL( + h +,..., + h ); EL( +,..., + h ) ) où E L désigne l'espérance condiionnelle linéaire. E (,..., ) = pour h es donc l'opéraeur de L + + h projecion orhogonale sur l'espace vecoriel engendré par,..., h On convien que π (0) = e π () = ρ() Le coefficien π ( h) joui des mêmes propriéés qu'un coefficien de corrélaion ordinaire e on a : Inerpréaion géomérique. π ( h) es le cosinus de l'angle enre e vecoriel engendré par +,..., + h. + h, les projecions sur l'orhogonal de l'espace Exemple pour h =. + α + cos( α) = ρ() cos( β ) = π () + β Pour le processus ( ) précéden, on a ( ) h, ( h) corr( Z ; E (,..., )) 0 π + h L + + h E,..., = 0.8, si bien que pour L + h + + h + h = =. Il n'y a donc pas, comme on s'y aendai, de corrélaion linéaire direce enre e h pour h. Le résula suivan donne un aure moyen de calcul de π ( h) : Proposiion. Considérons la projecion de Alors π ( h) = φh, h. + h sur l'espace vecoriel engendré par, +,..., + h : ( ) E,,..., = φ φ + φ L + h + + h h, + h h, h + h, h Le calcul praique des coefficiens π ( h) es basé sur ce résula e uilise asucieusemen le fai que lorsque h augmene la projecion sur l'espace augmené de la nouvelle variable se dédui de la projecion précédene. C'es l'algorihme de Durbin-Levinson (voir (Brockwell, Davis) 5..). 3 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

25 . Modèles SARIMA... Brui blanc. C'es le modèle le plus simple où l'on suppose qu'il n'y a aucune dépendance emporelle, soi au sens sric, soi seulemen au second ordre, ce qui donne les deux noions : Définiions. es un brui blanc for ssi les v.a. son ideniquemen disribuées e indépendanes.. ( ) On noe ( ) ( 0, IID σ ) où σ es la variance de.. ( ) es un brui blanc (faible) ssi les v.a. son ideniquemen disribuées e non linéairemen corrélées : cov( ; ) 0 + h =. On noe ( ) ( 0, WN σ ). Dans le cas de processus gaussiens, les deux noions coïnciden. On parle alors de brui blanc gaussien. Propriéés du second ordre. Un brui blanc es saionnaire e les auocorrélaions ρ ( h) e π ( h) son nulles dès que h... Marche au hasard. Définiion. ( ) es une marche au hasard ssi = es un brui blanc. Il s'agi donc d'un processus don les accroissemens son un brui blanc. Lorsque ( ) es gaussien, c'es la version discrèe du célèbre mouvemen brownien. Saionnarié. Une marche au hasard n'es pas saionnaire car var( ) = var( 0) + var( 0)..3. Modèle auorégressif. Définiion. Le modèle auorégressif d'ordre p, noé AR(p), es donné par = φ φ p p + Z avec ( Z ) ( 0, WN σ ). Par sa forme le modèle AR(p) évoque le modèle de régression linéaire. La différence majeure es que les prédiceurs son eux-mêmes aléaoires e (souven) corrélés enre eux. Pour éudier ses propriéés, il es commode de commencer par le cas p =. Cas p=. Le processus AR() es donc défini par = φ + Z (*) avec ( Z ) ( 0, WN σ ). 4 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

26 Saionnarié. Causalié. Le cas φ = correspond à la marche au hasard, le processus n'es pas saionnaire. Pour φ <, on a de proche en proche la relaion + j = φ Z j j= 0 qui défini un processus saionnaire. Pour φ >, on a de façon analogue une unique soluion saionnaire de (*) donnée cee fois par + = Z j + j j= φ Cee dernière soluion n'es ouefois pas envisageable dans la praique car la valeur du processus en un insan fai inervenir ous les insans fuurs. On di que le processus n'es pas causal. Définiion. ( ) es di causal par rappor au brui blanc ( ) + = ψ Z j j j= 0 Z si on peu l'écrire sous la forme On parle alors de la forme MA( ) de ( ). En uilisan l'opéraeur reard B, elle se présene de façon condensée : où Ψ es la série enière + j Ψ ( z) = ψ z. j= 0 j = Ψ ( B) Z En résumé le processus AR() que nous considérerons sera causal, ce qui implique φ < e l'écriure MA( ) : = Ψ ( B) Z, avec Propriéés du second ordre. On vérifie aisémen : h ρ( h) = φ pour ou h 0 π ( h) = 0 pour ou h > Ψ ( z) = + φ z + φ z Les auocorrélaions décroissen de façon exponenielle andis que (comme on l'avai déjà remarqué) les auocorrélaions parielles son nulles pour h >. Cas général. Le modèle AR(p) peu s'écrire sous la forme synhéique Φ ( B) = Z p avec Φ ( z) = φz... φ pz. On a les résulas suivans : 5 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

27 Théorème. Causalié. es causal si e seulemen si les racines de Φ son à l'exérieur du cercle unié z =. ( ) La série enière ( z) Φ es alors inversible e ( ) adme la forme MA( ) : = Ψ ( B) Z, avec Ψ ( z) = Φ ( z). Auocorrélaions. Les coefficiens d'auocorrélaions vérifien la relaion, die de Yule-Walker, ρ( h) = φ ρ( h ) φ ρ( h p) D'après les résulas classiques sur les suies récurrenes linéaires, on en dédui que ρ ( h) décroî exponeniellemmen avec h : h α ]0,[ e C > 0 els que pour ou h 0, ρ( h) Cα. Auocorrélaions parielles. On a π ( p) = φ p e surou : pour ou h > p, π ( h) = 0. p.4. Modèle à moyenne mobile. Définiion. Le modèle à moyenne mobile d'ordre q, noé MA(q), es défini par = Z + θz θqz q avec ( Z ) ( 0, WN σ ). Le erme "MA" vien du fai que que es exprimé comme une moyenne mobile de ( Z ) avec les poids, θ,..., θ q. Cas q=. Saionnarié. Inversibilié. Le modèle MA() : = Z + θ Z es oujours saionnaire. Cependan il es indispensable de pouvoir exprimer Z en foncion de,,... ne serai-ce que pour pouvoir calculer Z, Z,..., Z n en foncion des données,,..., n. Or si θ <, on peu écrire andis que pour θ >, Z = θ + θ... Z = θ θ Ce dernier cas es peu recommandable e correspond à une siuaion de non-inversibilié. Définiion. ( ) es di inversible par rappor au brui blanc ( ) forme On parle alors de la forme AR( ) de ( ). Z + = α j j j= 0 Z si on peu écrire Z sous la 6 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

28 On s'inéressera uniquemen aux processus inversibles dans la suie pour la raison évoquée plus hau. Pour un MA(), la condiion d'inversibilié es simplemen θ <. Propriéés du second ordre. Il es aisé de vérifier que ρ() = θ e ρ ( h) = 0 pour h >. Les auocorrélaions parielles son plus difficiles à obenir ; on monre que pour ou h h ( θ ).( θ ) π ( h) = ( h+ ) θ En pariculier π ( h) décroî exponeniellemmen avec h. Remarque. On n'aura pas manqué d'observer la "dualié" enre un modèle auorégressif e un modèle à moyenne mobile, enre causalié e inversibilié, propriéés de ρ (resp. π) pour le modèle AR e les celles de π (resp. ρ) pour le modèle MA. Cependan on ne peu pas parler de symérie car dans les deux cas la propriéé de brui blanc es porée par ( ) Z. Cas général. Ecrivons le modèle MA(q) sous la forme q avec Θ ( z) = + θz θqz. On a les résulas suivans: = Θ ( B) Z Théorème. Saionnarié, inversibilié. es oujours saionnaire, e inversible si e seulemen si Θ a oues ses racines à ( ) l'exérieur du cercle unié. Auocorrélaions. On a ( h) 0 ρ = si h > q. En oure, la réciproque es vraie : si ( ) es un processus saionnaire avec les coefficiens d'auocorrélaions nuls au-delà de l'ordre q (e non nul en q), sui le modèle MA(q). alors ( ) Auocorrélaions parielles. Il n'y a pas de résula pariculier..5. Modèle mixe ARMA. Le modèle ARMA(p,q) es formé de "l'assemblage" du modèle AR(p) e du modèle MA(q). Il es défini par Φ ( B) = Θ ( B) Z p q avec Φ ( z) = φz... φ pz e Θ ( z) = + θz θqz. On se limie au cas où les polynômes Φ e Θ n'on pas de zéros communs (le cas général peu êre raié au prix d'une plus grande complexié; en praique, il ne se présene pour ainsi dire pas). 7 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

29 Causalié, inversibilié. On requier la causalié e l'inversibilié pour ( ). La condiion es la réunion des condiions des modèles AR e MA à savoir que Φ e Θ on leurs racines à l'exérieur du cercle unié. Propriéés au second ordre. Il n'y a pas de formule explicie simple donnan ρ ( h) ou π ( h). Signalons cependan que la relaion de Yule-Walker ρ( h) = φ ρ( h ) φ ρ( h p) es valable pour h > q. En pariculier ρ ( h) décroî de façon exponenielle..6. Modèles ARMA inégrés : ARIMA e SARIMA. Comme on l'a observé au cours du chapire, les séries emporelles "brues" son raremen saionnaires e l'on peu parfois "saionnariser" en effecuan des différeniaions convenables. Les modèles ARIMA e SARIMA son conçus en ce sens; les processus de ype ARIMA son adapés à des séries sans saisonnalié; ceux du ype SARIMA peuven s'uiliser pour les séries les plus générales Définiion. sui le modèle ARIMA(p,d,q) lorsque la série différenciée Y = ( I B) d sui le. ( ) modèle ARMA(p,q). On a donc formellemen d ( I B) Φ ( B) = Θ ( B) Z où Φ e Θ son deux polynômes uniaires de degré respecif p e q, e ( Z ) ( 0, WN σ ) p.. ( ) sui le modèle SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s lorsque la série différenciée D s d d s D Y = = ( I B) ( I B ) sui un modèle ARMA "saisonnier" du ype s s Φs ( B ) Φ ( B) Y = Θs ( B ) Θ ( B) Z où Φ s, Φ, Θ s, Θ son des polynômes uniaires de degré respecif P, p, Q, q e ( Z ) ( 0, WN σ ). Le modèle s'écri s D s d s ( I B ) Φ ( B ) ( I B) Φ ( B) = Θ ( B ) Θ ( B) Z s s différence saisonnière AR(P) saisonnier différence AR(p) MA(Q) saisonnier MA(q) Les propriéés du modèle général SARIMA se déduisen de celles du processus ARMA. Il es bien sûr non saionnaire sauf (peu-êre) si d = D = 0. 8 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

30 Chapire 4. Méhodologie de Box e Jenkins Ean donnée une série d'observaions, une quesion essenielle dans l'approche probabilise es le choix d'un modèle le mieux adapé. Box e Jenkins on proposé au cours des années 970 une démarche sysémaique permean d'abouir, si c'es possible, au choix d'un modèle de ype (S)ARIMA. Elle repose sur plusieurs éapes qui son déaillées sur la série 'unemp'. La série du rafic aérien es éudiée ensuie.. Préparaion des données : saionnarisaion. La première éape consise à se ramener à une série saionnaire. Elle se décompose en deux phases 5 : uilisaion d'une ransformaion; différeniaion (simple e/ou saisonnière). Pour la série 'airline', on a uilisé la ransformaion logarihmique suivie d'une différeniaion simple e d'une différeniaion saisonnière. Pour la série "unemp", une différeniaion simple a suffi. Il es imporan d'uiliser les ransformaions à bon escien; dans les exemples précédens, chacune correspondai à la résoluion d'une difficulé (présence d'une endance, d'un erme saisonnier, ec.). La sur-différeniaion es à évier ainsi que la sous-différeniaion. Un mauvais usage des différeniaions sera repéré, en principe, dans la dernière éape de validaion.. Sélecion d'un modèle. Il s'agi de choisir pour les données ransformées y,..., y n un modèle de ype ARMA(p,q) ou de ype saisonnier SARIMA(p,0,q)(P,0,Q). L'examen des auocorrélaions empiriques "oales" (ACF) ou parielles (PACF) perme souven à lui seul de sélecionner un bon candida... ACF e PACF. On se rappelle qu'un processus MA(q) es caracérisé par le fai que ses auocorrélaions héoriques ρ ( k) son nulles pour k > q ; par ailleurs les auocorrélaions parielles π ( k) d'un processus AR(p) son nulles pour k > p. On peu donc espérer reconnaîre au moins les processus auorégressif ou moyenne mobile purs. Cependan, on doi se conener d'esimaions de ρ( k) e π ( k) (puisque les processus son inconnus), ˆ( ρ k), π ˆ( k). La sélecion s'effecue en examinan les corrélaions significaives. Les esimaeurs usuels de ρ ( k) e π ( k) son naurels compe-enu de leur définiion. Pour le coefficien d'auocorrélaion d'ordre k, on uilise : 5 Noons que les echniques de décomposiions ne fon pas parie, srico sensu, de la démarche de Box e Jenkins. En fai lorsqu'une décomposiion a éé réalisée, il es souven possible d'obenir un résula analogue par le biais de ransformaions e de différeniaions (comme dans le cas du rafic aérien). 9 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

31 ˆ( ρ k) = n h = ( Y Y )( Y Y ) n = + h ( Y Y ) Le coefficien d'auocorrélaion parielle empirique π ˆ( k) s'obien par exemple comme l'esimaion φˆk, k du coefficien de y k, φ k, k, dans la régression linéaire de y sur y,..., y y = φ y + φ y φ y + e k, k, k, k k k : Les auocorrélaions empiriques "complèes" ou parielles son données par les logiciels de saisique. Même lorsqu'un coefficien d'auocorrélaion héorique es nul, le coefficien esimé correspondan es non nul e l'on a recours à des ess saisiques permean de décider si la valeur obenue es significaive ou non. On ne déaillera pas ici les propriéés saisiques sous-jacenes des esimaeurs ˆ( ρ k) e πˆ( k) 6. Disons simplemen que celles-ci dépenden du processus ARMA mais dans la praique, on considère qu'une valeur à l'inérieur des bornes ±.96n / n'es pas significaive quel que soi le modèle. L'inerpréaion es la suivane : k éan fixé, sous l'hypohèse de nullié de ρ ( k) ( π ( k) ), la probabilié que ˆ( ρ k) ( π ˆ( k) ) soi à l'inérieur des bornes es approximaivemen de 95%. Ci-dessous figuren ACF e PACF pour la série "unemp", avec les bandes 7 de confiance ±.96n /. 6 Les leceurs inéressés pourron regarder (Brockwell, Davis), héorèmes 7... e Le erme es rompeur car l'inerpréaion se fai coefficien par coefficien. 30 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

32 Avan d'analyser les résulas, remarquons que l'on a représené seulemen les 0 premiers coefficiens esimés. En effe, il fau êre conscien que lorsque h devien grand, l'esimaion ˆ( ρ h) (par exemple) devien de plus en plus mauvaise car elle uilise de moins en moins de données (dans le cas exrême où h = n, l'auocorrélaion d'ordre n es esimée seulemen avec la première e la dernière donnée!). En règle générale, on préfère se limier à h < n / 5. On observe que les auocorrélaions empiriques ne son pas significaives à parir du rang (à l'excepion de cas isolés auour du rang 5), andis que les auocorrélaions parielles empiriques décroissen rès rapidemen. Cela évoque donc un processus MA(). Le fai d'observer des défaus auour du rang 5 n'es pas rédhibioire: des données issues d'un vériable processus MA() peuven donner des ACF e PACF ou à fai semblables; c'es le nombre relaivemen peu élevé de données qui explique principalemen la qualié médiocre des esimaeurs. Le piège Il es crucial d'avoir une série saionnaire pour pouvoir irer des enseignemens des graphiques précédens. Considérons par exemple le modèle formé d'une composane saisonnière bruiée: = sin( π / 30) + 0.5Z (*) où Z es un brui blanc N(0,). Il es clair que les auocorrélaions héoriques son nulles à parir du rang car le processus (*) ne diffère d'un brui blanc qu'au ravers d'une parie déerminise. Pouran voici ce que donne ACF e PACF pour une série de 500 valeurs simulées à parir de (*) : Il ne fau surou pas conclure qu'il y a de fores corrélaions! En fai l'esimaion des auocorrélaions es brouillée par la composane déerminise. Le graphique ci-dessus nous monre la présence d'une saisonnalié mais es inuilisable pour examiner les corrélaions au sens probabilise. En général le fai que les corrélaions ne enden pas rapidemen vers zéro es un signe de non-saionnarié 8. 8 Mais la série correspondane peu rès bien êre associée à un modèle ARMA 3 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne

33 .. Aures ouils de décision. Il se peu que l'acf e la PACF ne soien pas aussi simples que dans l'exemple précéden ou que l'on hésie enre plusieurs modèles. Dans ce cas, on peu avoir recours à l'un des ouils suivans. Uilisaion d'un crière. Différens crières son fournis par les logiciels de saisique : AIC (Aikaike's Informaion Crierion), SBC (Schwarz Bayesian Crierion) Ils son basés sur la noion de vraisemblance. En principe le modèle pour lequel le crière a la plus faible valeur es le mieux adapé. Cependan le crière AIC favorise les modèle sur-paramérés; il es donc à uiliser avec précauion. On lui préférera le crière SBC qui a de meilleures propriéés. De façon générale cependan, il vau mieux évier d'employer un quelconque crière "en aveugle"; il s'agi pluô d'un ouil complémenaire de sélecion. Analyse des résulas d'esimaion. Si un ARMA(p,q) es sélecionné, il es éviden qu'un ARMA(p',q') avec p' p e q' q fera aussi l'affaire. Cependan il es préférable de conserver le modèle avec le moins de paramères. La raison essenielle es que les paramères supplémenaires son souven rès mal esimés (voir un exemple dans la secion suivane). A cee fin, la able regroupan les résulas d'esimaion (voir ci-après) es d'une grande uilié. 3. Esimaion Nous considérons ici le cas d'un ARMA(p,q), ( B) Y ( B) Z Φ = Θ avec Z ( 0, N σ ), mais des résulas analogues exisen pour les modèles du ype SARIMA. Noons β = ( φ,..., φ p, θ,..., θq ) le veceur des paramères. L'esimaion de β es un problème assez délica, mais qui es raié par les logiciels de saisique usuels. Parmi les echniques employées, cions la plus séduisane pour l'espri qui es celle du maximum de vraisemblance. On esime β par la valeur ˆβ la plus vraisemblable, c'es-à-dire celle qui donne la plus grande densié de probabilié : βˆ = Arg max L( y,..., y n ; β ) β où L( Y,..., Yn ; β ) es la densié de probabilié du veceur aléaoire ( Y,..., Y n). Les propriéés asympoiques 9 son données dans le : Théorème. Soi Φ ( B) Y = Θ ( B) Z un modèle ARMA(p,q) causal e inversible, el que Φ e Θ n'on pas de zéros communs. Alors si (Z ) es un brui blanc gaussien n β ˆ β N 0, V ( β ) (i) ( ) ( ) n + où V(β) es une marice de aille (p+q) (p+q) connue. βˆ i βi (ii) n es approximaivemen N(0,) v ( β ˆ) où ii v ( β ˆ) es le coefficien (i,i) de V ( β ˆ). ii N(0, σ ), 9 Les propriéés asympoiques son ideniques pour l'esimaeur des moindres carrés. 3 Ecole Naionale Supérieure des Mines de Sain-Eienne