Délégation de la gestion de portefeuille : choix d investissement et des frais de gestion dans un cadre en temps continu

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1 HEC Monréal A liée à l Universié de Monréal Délégaion de la gesion de porefeuille : choix d invesissemen e des frais de gesion dans un cadre en emps coninu par Tarek Masmoudi Déparemen de Finance Thèse présenée à la Faculé des éudes supérieures en vue de l obenion du grade de Philosophiæ Docor (Ph.D.) en Adminisraion Mai 26 Copyrigh, Tarek Masmoudi, 26

2 HEC Monréal A liée à l Universié de Monréal Cee hèse iniulée : Délégaion de la gesion de porefeuille : choix d invesissemen e des frais de gesion dans un cadre en emps coninu présenée par : Tarek Masmoudi a éé évaluée par un jury composé des personnes suivanes : Dr. Pascal François présiden-rapporeur Dr. Michèle Breon direcrice de recherche Dr. Benjamin Croioru membre du jury Dr. Elyès Jouini examinaeur exerne

3 Absrac Of all he sudies ineresed in managemen fees deerminans in he delegaed porfolio domain, few explicily analyse he e ec of marke and risk aversion coe ciens. In addiion, no sudy has reaed, o our knowledge, he compeiion in he indusry of muual funds in a heoreical framework which incorporaes he dynamical feaure of invesmen problems. This hesis examines hese di eren aspecs of delegaed porfolio managemen in coninuous ime models. In he rs essay, we sudy, in an in nie horizon framework, he choice of invesmen, consumpion and managemen fee rae in a wealh managemen model. I is a model where we consider an invesor delegaing his wealh, in he iniial dae, o a unique manager. In order o consume, he invesor is allowed o coninuously wihdraw a proporion of he asses under managemen. We analyze, hrough he resoluion of he equilibrium of his model, he e ecs on he managemen fee rae of he marke coe ciens and he risk adverseness of boh agens. In he second essay, we examine, in a nie horizon economy, he behaviour of an invesor having he possibiliy o dynamically allocae his wealh beween wo muual funds and a risk-free asse. We analyse he e ec of he dispersion in he services (porfolio choice and managemen fee rae) o ered by he muual funds on he ows invesed in each of hem. We show he possibiliy of posiive exernaliies beween muual funds. In he hird essay, we exend he preceding model by incorporaing sraegic compeiion beween he muual funds. In order o do his, we ake ino accoun he objecives moivaing he porfolio choice of he muual funds managers. An imporan consideraion of his model is o allow each of hese managers o inves for his own accoun. The main resul of his essay shows ha muual funds canno di ereniae hrough iii

4 invesmen choice. This corroboraes he ndings of many recen empirical sudies on he imporance of media coverage and markeing in he muual funds indusry. The nal essay of his hesis sudies he muli-period coheren risk adjused value as represened by Arzner, Delbaen, Eber, Heah and Ku (24). We give a more explici form of his represenaion and propose an applicaion o a non perfec hedging problem. JEL classi caion : C73, G, G2, G23, D8 e L3. Keywords : Wealh managemen, muual funds, asse-based fees, dynamic ows, sochasic di erenial game, muliperiod coheren risk measures. iv

5 Résumé Parmi les éudes faies sur la délégaion de la gesion de porefeuille, rares son celles qui analysen expliciemen l e e des condiions du marché e de l aversion au risque des agens sur les aux des frais de gesion. D un aure côé, la présence de la concurrence dans l indusrie des fonds muuels n a jamais éé raiée dans un cadre héorique incorporan l aspec dynamique de l invesissemen. Cee hèse a pour obje d examiner ces di érens aspecs de la délégaion de la gesion de porefeuille en considéran des modèles en emps coninu. Dans le premier essai, nous éudions dans un cadre à horizon in ni les choix d invesissemen, de consommaion e du aux des frais de gesion dans un modèle de délégaion de la richesse. Il s agi d un modèle où un invesisseur délègue sa richesse, au débu de la période, à un géran e reire de manière coninue une parie des acifs sous gesion pour des ns de consommaion. Le modèle que nous considérons nous perme d analyser les e es des condiions du marché ainsi que des niveaux d aversion au risque des deux agens sur le aux de rémunéraion appliqué à l équilibre. Dans le deuxième essai de cee hèse, nous examinons dans un cadre à horizon ni le comporemen d un invesisseur qui répari sa richesse de façon dynamique enre plusieurs fonds muuels e un acif sans risque. Les fonds muuels se disinguen par les "services" qu ils o ren, à savoir les sraégies de placemen e les aux des frais de gesion. Nous explicions les e es des services o ers par chaque fonds muuel sur les proporions qui lui son allouées e sur les proporions allouées aux aures fonds muuels. Dans le roisième essai, nous éendons ce dernier modèle en considéran la concurrence enre les fonds muuels. Pour ce faire, nous enons compe des objecifs des gérans des fonds muuels dans leurs choix de placemen. Nous considérons que chacun de ces v

6 gérans a la possibilié d invesir pour son propre compe. Le principal résula de ce modèle monre que les fonds muuels ne peuven pas se di érencier à ravers leurs sraégies de placemen ce qui corrobore les a rmaions de plusieurs des récenes éudes empiriques sur l imporance de la médiaisaion e de la publicié dans l indusrie des fonds muuels. Le quarième essai es présené sous la forme d un examen de la représenaion de la valeur ajusée à une mesure de risque dynamique cohérene proposée par Arzner, Delbaen, Eber, Heah e Ku (24). Nous explicions cee représenaion dans un cadre de gesion de porefeuille e nous en proposons une applicaion à un problème de couverure de dee. Classi caion JEL : C73, G, G2, G23, D8 e L3. Mos clés : Gesion de la richesse, fonds muuels, frais basés sur les acifs sous gesion, ux dynamiques, jeu di éreniel sochasique, mesures de risque cohérenes dynamiques. vi

7 Table des maières Dédicace xi Remerciemens xii Lise des symboles xiii Inroducion 2 Économie e modèle de marché 4 3 Choix du aux de rémunéraion dans un problème de délégaion de la richesse 8 3. Inroducion Les agens Taux de rémunéraion exogène Le problème de l invesisseur L équilibre Taux de rémunéraion endogène Le problème du géran L équilibre Saiques comparaives Conclusion vii

8 4 Choix d invesissemen en présence de deux fonds muuels Inroducion Dynamique des fonds muuels L invesisseur Choix d invesissemen opimal Conclusion Choix de porefeuille des fonds muuels dans un conexe de concurrence sraégique Inroducion Les joueurs e la srucure d informaion Sraégie de placemen pour le propre compe du géran Choix de porefeuille opimal des fonds muuels Changemen de mesure Caracérisaion du choix opimal Les sraégies d invesissemen à l équilibre Conclusion Examen de la valeur ajusée par une mesure de risque dynamique cohérene Inroducion La valeur ajusée comme soluion à une équaion di érenielle sochasique rérograde Sabilié e concaénaion des mesures de probabilié Simpli caion de la représenaion de la valeur ajusée viii

9 6.3 Applicaions Comporemen de la valeur ajusée dans un cas d invesissemen opimal Cas de couverure non parfaie Conclusion Conclusion 2 Bibliographie 5 ix

10 Table des gures 3- Aversion au risque agrégée Sensibilié au aux de rémunéraion dans le cas où > Sensibilié au aux de rémunéraion dans le cas où < Sensibilié de au aux d appréciaion Sensibilié de à la volailié Sensibilié de au aux d inérê Sraégie opimale de l invesisseur en présence de deux fonds muuels Srucure de l informaion enre l invesisseur e les gérans des fonds muuels E e d un changemen du choix de porefeuille des fonds muuels Uilié espérée de l invesisseur e valeur marchande de la rémunéraion cumulée correspondan à di érens équilibres x

11 À ma Hend à mes parens, à mes frères, à mes belles-soeurs, à mes nièces, à Bornia. xi

12 Remerciemens J aimerais commencer par remercier Dr. Michèle Breon, ma direcrice de recherche, pour son encadremen exemplaire, pour son souien permanen, pour ous ses commenaires perinens e pour ou ce qu elle m a apporé an sur le plan professionnel que sur le plan humain. Je suis hauemen reconnaissan à oue l aide apporée par Dr. Julien Hugonnier. Je le remercie pour m avoir fai con ance, pour ses excellens enseignemens en nance mahémaique, pour sa disponibilié, pour les rès nombreuses discussions, souven passionnées e passionnanes, que j ai eues avec lui e pour oue la moivaion qu il n a cessé de m apporer. J aimerais remercier Dr. Benjamin Croioru pour son souien, son aide e pour ou ce que m appore son amiié. Je remercie aussi Dr. Tony Berrada pour ous ses conseils e ous ses commenaires judicieux. Un grand merci à Dr. Jean-François L Her qui m a iniié au ravail de recherche e qui a énormémen conribué à ma formaion académique. Merci à Dr. Georges Zaccour pour avoir éé disponible e pour avoir rouvé les bons mos dans les momens les plus di ciles de mon cursus docoral. Je iens égalemen à remercier Lise-Clouier Delage pour ou ce qu elle fai pour facilier la vie aux éudians de docora. Un grand merci à Renée Bouchard pour sa disponibilié, son e cacié e son aide permanene. J aimerais nalemen remercier le Minisère unisien de l enseignemen supérieur, le Cenre de recherche en e- nance (CREF) e l Insiu de nance mahémaique (IFM2) pour leur souien nancier. xii

13 Lise des symboles Consanes : : coe cien d aversion au risque "agrégée". : aux de rémunéraion des gérans. : coe cien d aversion au risque de l invesisseur. : veceur colonne, de dimension n, des aux d appréciaion des acifs risqués de base. : coe cien d aversion au risque du géran. : coe cien d acualisaion subjecif. r : aux d inérê. : marice (n n) des coe ciens de volailié des acifs risqués de base. : veceur colonne, de dimension n, du prix au marché du risque sous la probabilié physique. : veceur colonne, de dimension n, des proporions invesies dans chaque acif de base risqué par l invesisseur. := : veceur colonne, de dimension n, des coe ciens de volailié des acifs sous gesion. Processus : B : mouvemen brownien sandard, de dimension n, sous la probabilié physique. C : consommaion de l invesisseur. : veceur colonne, de dimension 2, des proporions de la richesse de l invesisseur invesies dans chaque fonds muuel. i : veceur colonne, de dimension n, des proporions invesies dans chaque acif de base risqué par le géran i. xiii

14 i := i : veceur colonne, de dimension n, des coe ciens de volailié du fonds muuel i. i : veceur colonne, de dimension n, des monans invesies dans chaque acif de base risqué par le géran i pour son propre compe. i : rémunéraion cumulée du géran i. F i : rendemen espéré insanané du fonds muuel i. F i : coe cien de volailié du rendemen insanané du fonds muuel i. ij : covariance enre les rendemens insananés des deux fonds muuels. A i : rendemen espéré insanané o er par le fonds muuel i ajusé par son risque relaif. : déerminan de la marice de variance-covariance des rendemens insananés des deux fonds muuels. ij : quanié de risque insananée du fonds muuel i par rappor au fonds muuel j, i = ; 2 ; j = ; 2 e i 6= j. i : raio de Sharpe, après déducion des frais, du fonds muuel i. : veceur colonne, de dimension 2, représenan le raio de Sharpe, après déducion des frais, des deux fonds muuels pris conjoinemen. xiv

15 Chapire Inroducion Depuis la n de la deuxième guerre mondiale, le nombre des fonds muuels n a cessé de croîre incian de plus en plus de ravaux académiques à éudier cee indusrie. Cela a principalemen commencé dans le milieu des années 96 avec, comme première référence des éudes empiriques, le papier de Jensen (968). L une des principales préoccupaions de ces recherches a éé de déerminer la performance enregisrée par les fonds muuels e de voir si leur préendue experise dans les choix de placemen es véri ée empiriquemen. Cee quesion a, depuis, fai l obje de plusieurs éudes don les conclusions son assez miigées. Les ravaux de Carhar (997) e Daniel, Timan, Grinbla e Wermers (997) son un émoignage de la divergence des analyses faies sur la capacié des gérans des fonds muuels à apporer une valeur ajouée dans le choix des sraégies d invesissemen. L aure vole des éudes faies sur la délégaion de la gesion de porefeuille concerne les modèles héoriques. Les premiers de ces ravaux, Samuelson (969) e Meron (969), avaien pour objecif la déerminaion de la sélecion du porefeuille opimal d un agen agissan seul. Ces ravaux on éé d un appor considérable à la recherche dans le domaine. Ils présenen, cependan, l inconvénien de ne pas enir compe d une imporane réalié

16 inhérene aux problèmes de délégaion de la gesion de porefeuille. En e e, la croissance des fonds muuels a oujours éé accompagnée d une conroverse sur le choix des frais de gesion qui fon l obje d un con i d inérê enre les gérans des fonds muuels e les invesisseurs qui déiennen ces fonds. Cee conroverse a éé à l origine de nombreuses publicaions an au niveau légal qu au niveau académique. L aure inconvénien de ces premiers ravaux, ainsi que de l ensemble des ravaux héoriques sur les fonds muuels, es d ignorer le caracère de plus en plus concurreniel de cee indusrie. L objecif de cee hèse es d aborder sur le plan héorique les quesions du choix du aux des frais ainsi que de l impac de la concurrence dans le domaine de la délégaion de la gesion de porefeuille. Nous uilisons, pour ces ns, des modèles plus comples que ceux proposés dans la liéraure e, ce, en insisan sur l aspec dynamique de la gesion de porefeuille. Le premier essai de cee hèse éudie les choix d invesissemen, de consommaion e du aux des frais de gesion dans un modèle de délégaion de la richesse. Pour ce faire, nous considérons un modèle en emps coninu e à horizon in ni où le géran es chargé de réparir la richesse, déléguée au débu de la période, d un invesisseur unique qui peu reirer de manière coninue une parie des acifs sous gesion pour des ns de consommaion. Les frais de gesion, annoncés par le géran, son appliqués de façon coninue. L invesisseur e le géran on des aiudes di érenes par rappor au risque. Dans un deuxième essai, nous éudions le comporemen d un invesisseur ayan la possibilié de réparir sa richesse enre plusieurs fonds muuels e un acif sans risque. Il s agi d un modèle en emps coninu e à horizon ni enan compe de la possibilié qu a l invesisseur de modi er son allocaion ou au long de la période d invesissemen. Ce modèle perme d éudier l impac sur les choix d invesissemen de la dispersion dans les «services» o ers par di érens fonds muuels, à savoir aux de rémunéraion e sraégies de placemen. Nous éendons par la suie ce modèle pour considérer la concurrence exisan enre 2

17 des fonds muuels ayan accès au même marché nancier. Ainsi, nous enons compe des objecifs des gérans des fonds muuels dans leurs choix de placemen. Nous analysons le comporemen de ces gérans e l impac de leurs acions sur leurs pars de marché individuelles, sur leur par de marché agrégée relaivemen à une source d invesissemen alernaive, en l occurrence un acif sans risque, e égalemen sur le comporemen de l invesisseur. À nore connaissance, aucune éude héorique dans un cadre dynamique n a analysé l impac de la concurrence dans l indusrie des fonds muuels sur les décisions d invesissemen e sur les sraégies de porefeuille. Pour erminer, cee hèse raie égalemen de la mesure de risque cohérene dans un cadre dynamique dans le même modèle de marché en emps coninu. Nous proposons une expliciaion de la représenaion de la valeur ajusée à une mesure de risque cohérene donnée par Arzner, Delbaen, Eber, Heah e Ku (24). Il s agi d une conribuion à la compréhension de la mesure de risque cohérene dans un cadre dynamique e à son applicaion à des problèmes d invesissemen. La suie de cee hèse es srucurée comme sui. Dans le chapire 2, nous présenons l économie e le modèle de marché qui son communs à oue la hèse. Dans le chapire 3, nous déerminons une forme analyique du aux de rémunéraion dans un problème de délégaion de la richesse. Le chapire 4 es consacrée à la résoluion du problème de sélecion de porefeuille d un invesisseur ayan la possibilié de réparir sa richesse, de façon dynamique, enre un acif sans risque e deux fonds muuels. La concurrence enre ces deux fonds muuels e son impac sur leurs choix de porefeuille ainsi que sur la réacion de l invesisseur es analysée dans le chapire 5. Dans le chapire 6, nous examinons la valeur ajusée à une mesure de risque cohérene dans un cadre dynamique. Le chapire 7 conclu. 3

18 Chapire 2 Économie e modèle de marché Nous considérons une économie en emps coninu. L inceriude es représenée par un espace de probabilié (; F; P ) sur lequel es dé ni un mouvemen brownien sandard, de dimension n, représené par le veceur colonne B = (B ; : : : ; B n ), où dénoe la ransposiion. Nous supposons que B = P -presque sûremen. La lraion générée par le mouvemen brownien es noée F B. Dans le cas à horizon ni [; T ], ous les processus son supposés adapés à la lraion (F ) T. Celle-ci représene l augmenaion (par les ensembles nuls de FT B ) de la lraion générée par le mouvemen brownien. Dans le cas où l horizon es in ni, nous uilisons la noion d adapabilié resricive dé nie par Karazas e Shreve (998). Un processus (Y ) < es di resricivemen adapé si pour ou T 2 [; ], il exise T e 2 [T; ) el que le processus resrein (Y ) T es adapé à la lraion F B augmenée par les ensembles nuls de F B T T e. Toues les égaliés e les inégaliés qui meen en relaion des variables aléaoires son enendues au sens presque sûremen ou presque parou dépendammen du conexe. Toues les quaniés son exprimées en uniés du numéraire représenan l unique bien périssable de l économie. Les véhicules d invesissemen dans le marché nancier son représenés par n + acifs de base, à savoir des acions e une obligaion sans 4

19 risque. Tous les acifs son ransigés de façon coninue. Le premier de ces acifs es une obligaion sans risque don le prix S à l insan évolue selon l équaion : ds = S rd ; S = ; (2.) où r représene le aux d inérê. Les n aures acifs de base son des acions, donc des acifs risqués. L évoluion du prix individuel S j de la j eme acion à l insan es modélisée par l équaion di érenielle sochasique suivane : ds j = S j j d + j db ; S j 2 (; ) ; j = ; : : : ; n: (2.2) Le veceur ligne, de dimension n, représenan les coe ciens de volailié de l acion j, noé j := ( j ; : : : ; jn ), es el que jk, k = ; : : : ; n, représene l inensié insananée avec laquelle la k eme source d inceriude in uence le prix de la j eme acion. j représene le aux d appréciaion de la j eme acion. Le aux d inérê r, le veceur colonne des aux d appréciaion, de dimension n, := ( ; : : : ; n ), e la marice de volailié, de dimension (n n), := ( ; : : : ; n), représenen ce qui es communémen appelé les coe ciens du modèle. Nous les supposons consans. De plus, nous supposons que la marice es inversible. Nous sommes, de ce fai, dans un cadre de marché comple nous permean de dé nir l unique prix au marché du risque, un veceur de dimension n, noé par : : = ( ; : : : ; n ) : = [ r n ] (2.3) 5

20 où n := (; : : : ; ) es un veceur colonne de dimension n don chaque élémen es égal à. Ces noaions e ces hypohèses seron uilisées dans oue la hèse. À l excepion du chapire 3 où l horizon de emps es supposé in ni, l économie que nous considérons es à horizon borné [; T ]. Pour les ns des chapires 4 e 5, nous dé nissons l unique processus de densié de prix des éas, noé H := M S où M es une P -maringale s expriman comme sui : M := e B 2 kk2 : (2.4) La quanié H (!) es inerpréée comme le prix Arrow-Debreu pour une unié de probabilié P d une unié de consommaion à l éa! 2 e à l insan. Les résulas obenus dans le chapire 4 peuven êres généralisés au cas où les coe ciens du marché son sochasiques e consiuen des processus uniformémen bornés. Les résulas du chapire 5 son, quan à eux, généralisables au cas où ces coe ciens son déerminises. Dans le chapire 6, nous uilisons un modèle qui incorpore une ceraine inceriude sur le prix au marché du risque. Pour ce faire, nous inroduisons un veceur de perurbaions ychasiques q := (q ; : : : ; q n ) correspondan aux élémens du veceur. À chaque veceur de perurbaions q, nous faisons correspondre une mesure de probabilié dé nie par P q (A) := E [M q T A], 8A 2 F T, où M q es une P -maringale représenée par : M q := e (+q) B 2 k+qk2 : Sous cee mesure de probabilié P q, e en appliquan le héorème de Girsanov, le 6

21 processus exprimé par : B q = B + ( + q) es un mouvemen brownien sandard. Exprimée en foncion du mouvemen brownien B q, la dynamique du veceur des acifs risqués S := (S ; : : : S n ) saisfai l équaion di érenielle sochasique suivane : ds = diag [S ] (d + db ) = diag [S ] ([r n q] d + db q ) ; S 2 (; ) n : Le cas q = n correspond à la mesure de probabilié risque neure sous laquelle le processus du prix acualisé des acifs risqués es une maringale. Nous noons par P cee probabilié e par B le mouvemen brownien sandard lui correspondan. 7

22 Chapire 3 Choix du aux de rémunéraion dans un problème de délégaion de la richesse 3. Inroducion La gesion de la richesse es l une des principales aciviés des insiuions nancières. Les presaions de ce service son le plus souven "aillées sur mesure" pour chaque clien. Ainsi, les décisions de placemen e des frais appliqués son foncion des préférences propres, à savoir les objecifs e le degré de olérance au risque, de la personne désiran déléguer la gesion de sa richesse. Par ailleurs, ces décisions dépenden ou naurellemen des condiions du marché. L obje de ce chapire es d éudier un modèle de délégaion de la richesse d un invesisseur à un géran a n de déerminer les choix d invesissemen ainsi que les aux des frais de gesion correspondan à une siuaion d équilibre. Il s agi d un modèle à Nous supposons que les frais de gesion représenen la oalié de la rémunéraion du géran. De ce fai, les ermes «rémunéraion» e «frais de gesion» seron uilisés indi éremmen dans ce exe. 8

23 horizon in ni où le géran es chargé de réparir la richesse d un invesisseur unique qui peu reirer de manière coninue une parie des acifs sous gesion pour des ns de consommaion. Plusieurs éudes académiques on considéré le modèle de délégaion de la gesion de porefeuille avec l objecif de déerminer la srucure de compensaion des gérans. Nous commençons par cier Sarks (987) qui éudie l impac de la srucure du conra de rémunéraion des gérans de fonds muuels sur leurs choix de porefeuille. Deux ypes de conras son comparés dans ce ravail, appelés respecivemen "symériques" e "avec bonus". Le conra "symérique" sipule que le géran reçoi, comme rémunéraion, un pourcenage de la valeur au marché des acifs auquel on ajoue un bonus ou une pénalié dépendammen du fai que le rendemen du porefeuille géré a éé supérieur ou inférieur au rendemen d un porefeuille de référence, généralemen un indice de marché. Dans le conra "avec bonus", la rémunéraion es asymérique dans le sens où, par rappor au conra précéden, une mauvaise performance n es pas sancionnée. Le modèle, saique, es de ype principal/agen, l agen éan le géran du fonds muuel e le principal éan un invesisseur représenaif. Chacune des deux paries maximise l uilié espérée de sa richesse. L aueur monre que le conra "symérique" perme d aligner l inérê du géran à celui de l invesisseur. Ce n es pas le cas du conra "asymérique" qui incie le géran à s exposer à davanage de risque. Grinbla e Timan (989) éudien les conras où la rémunéraion des gérans es basée sur la performance relaive à un porefeuille de référence, qui es généralemen dans le cas de données américaines l indice S&P 5. La majorié de ces conras éan "asymériques", au sens menionné plus hau, les gérans son inciés à augmener le risque idiosyncrasique lié au porefeuille géré du fai que ce ype de conra s apparene à une opion européenne d échange du porefeuille géré conre le porefeuille de référence. A n d aénuer cee endance à une exposiion au risque non appropriée, les aueurs suggèren que ce ype de conra doi conenir un plafond de rémunéraion ainsi qu une 9

24 pénalié pour les performances inférieures à celle de l indice de référence. De plus, ce ype de conra doi êre accompagné d une resricion sur l invesissemen que peuven faire les gérans pour leur propre compe. Dans un modèle égalemen saique, Admai e P eiderer (997) meen en quesion la perinence, par rappor aux inérês de l invesisseur, de la prise en compe d un porefeuille de référence dans les conras de rémunéraion basés sur la performance. Un des résulas de leur modèle, pariculièremen inéressan ici, es qu une rémunéraion basée sur le seul rendemen pris en erme absolu perme d aligner l inérê du géran à celui de l invesisseur. Dans la lignée des ravaux qui s inéressen à la srucure opimale d un conra de rémunéraion, e dans un cadre héorique qui ressemble davanage à celui éudié ici, Ou-Yang (23) considère un modèle en emps coninu e horizon ni dans lequel il analyse la relaion enre un invesisseur e un géran de fonds. Le conra de forme "symérique" s avère êre opimal. Par ailleurs, le porefeuille de référence à considérer doi êre un "indice acif" dans lequel les proporions invesies dans les acifs risqués varien avec le emps. L aueur fai l hypohèse, rès resricive, que l invesisseur ne peu modi er le monan des acifs sous gesion au cours de la période d invesissemen. Le géran, qui décide uniquemen de la répariion de la richesse, es payé à la n de la période d invesissemen. Cadenillas, Cvianic e Zapaero (25) reprennen le même cadre économique en permean cependan à l invesisseur de payer le géran à un aux coninu s ajouan à un paiemen à la n de la période. Le principal résula de cee éude es que la srucure opimale de rémunéraion o ere par l invesisseur es linéaire dans les cas suivans : soi les foncions d uilié des deux joueurs son exponenielles, possiblemen avec des aversions au risque di érenes, soi les foncions d uilié son de ype puissance mais ouefois avec des aversions au risque ideniques. Sannikov (24) considère un problème de délégaion de la richesse reprenan un

25 cadre en emps coninu e horizon in ni. À la di érence, parmi d aures, de ce qui es fai ici, l aueur considère que l invesisseur es neure au risque. Les éudes ciées précédemmen révèlen l opimalié des conras dis "symériques". Une large liéraure sur les problèmes de principal/agen souien égalemen l opimalié de la forme linéaire pour les conras de rémunéraion. Le ravail de référence dans ce cadre es celui de Hölmsrom e Milgrom (987). Les ravaux de Schäler e Sung (992) e Sung (995) en son des exensions e corroboren, globalemen, le même résula. En considéran une rémunéraion e ecuée de manière coninue sur l ensemble de la période, les conras de forme linéaire iennen compe aussi bien du monan des acifs sous gesion que de l évoluion des prix des acifs de base. Ainsi, Golec (992) juge qu une elle compensaion es une maérialisaion d un sysème combinan une rémunéraion de base avec une rémunéraion inciaive. En nous appuyan sur les ravaux ciés plus hau, nous supposons dans ce chapire que la rémunéraion du géran prend la forme d une proporion consane des acifs sous gesion. Cependan, nous uilisons ici une approche di érene. En e e, nore modèle s appuie sur le fai que les ermes du conra poran sur une délégaion de la gesion de porefeuille ne son généralemen pas déerminés par l invesisseur. À nore connaissance, l unique ravail qui considère un modèle où le choix de rémunéraion es décidé par le géran e non pas par l invesisseur es celui de Das e Sundaram (22). Nous modélisons, donc, le cas réalise où un invesisseur voulan déléguer la gesion de sa richesse se présene à une insiuion sans imposer un quelconque conra. Dépendammen de l aiude de ce invesisseur par rappor au risque e de ses objecifs, le gesionnaire lui propose un plan d allocaion moyennan des charges. L invesisseur peu acceper ou non le conra proposé par le gesionnaire. Nous supposons égalemen que l invesisseur reire régulièremen des fonds de l acif sous gesion pour des ns de consommaion. Les décisions de placemen prises par le gesionnaire on clairemen un

26 e e sur les modaliés de rerai e ecué par l invesisseur ou au long de la période considérée. Nous supposons que les deux agens on une informaion parfaie e que leur engagemen es à long erme, d où le choix d un horizon in ni. Nous éudions la relaion enre l invesisseur e le gesionnaire de fonds dans le cadre d un jeu dynamique. La srucure d informaion es asymérique. En e e, l invesisseur ne ien pas compe du fai que le choix de son plan de consommaion a un e e sur les décisions du géran (ce qui es équivalen à supposer que l invesisseur ne se comme pas à l avance quan à son plan de consommaion). Par conre, le géran annonce sa sraégie de placemen e sa srucure de rémunéraion e agi de façon sraégique, enan compe de la réacion de l invesisseur. Les sraégies d équilibre son elles qu aucun des deux agens n a avanage à en dévier unilaéralemen, compe enu de cee srucure d informaion. Ce chapire es organisé comme sui. Les agens e la srucure d informaion son présenés à la secion 3.2. Dans la secion 3.3, nous rouvons les sraégies d équilibre dans le cas où la rémunéraion du géran es xée de façon exogène. Dans la secion 3.4, nous déerminons le aux de rémunéraion à l équilibre dans le cas où le géran l incorpore dans sa décision. La secion 3.5 es consacrée à l inerpréaion économique des résulas à l équilibre. La secion 3.6 conclu. 3.2 Les agens Les agens prenan place dans l économie son représenés par un invesisseur e un gesionnaire de porefeuille chargé de réparir la richesse du premier. La délégaion se fai au débu de la période d invesissemen. Le géran décide des proporions, := ; : : : ; n, de la richesse de l invesisseur à allouer enre les di érens acifs risqués. La proporion invesie dans l acif sans risque es n. Aucune resricion n es faie sur les venes à découver ou sur les monans à déenir dans les divers acifs. Les 2

27 frais de gesion, représenan la rémunéraion du géran, son reirés de façon coninue selon un aux 2 R +. Nous considérons aussi bien le cas où ce aux es donné de façon exogène, secion 3, que le cas où il es incorporé dans les décisions du géran, secion 4. Par ailleurs, l invesisseur décide de la quanié posiive C de la richesse à consommer insananémen ou au long de la période d invesissemen. La dynamique du monan des acifs gérés, équivalen à la richesse de l invesisseur, saisfai l équaion di érenielle sochasique suivane : dw = ( n ) W ds S + nx j= j W ds j S j W d C d = W ([r + ] d + db ) W d C d ; W > (3.) où := es un veceur colonne, de dimension n, des coe ciens de volailié des acifs sous gesion e W représene la richesse iniiale de l invesisseur déléguée au géran. Il es apparen dans (3:) que W dépend de W, C, e. L ensemble des seniers de veceurs de proporions admissibles es noé e es el que pour e C donnés, la soluion à (3:) es non négaive. L ensemble des seniers de consommaion admissibles es noé C e es el que le processus de consommaion es non négaif, resricivemen adapé e saisfai R T C d < pour ou T 2 [; ). Nous supposons que l uilié reirée par le consommaeur e celle reirée par le géran à ou insan d une consommaion z prennen la même forme générale, mais qu ils on cependan une aiude di érene par rappor au risque. Ainsi, l uilié pour l invesisseur d une consommaion z es donnée par u I (z) := z ; 2 (; ) = fg, alors que l uilié pour le gesionnaire d une consommaion z es donnée par u G (z) := z ; 2 (; ) = fg. Chacun des agens cherche à maximiser l espérance de la somme acualisée de l ui- 3

28 lié de sa consommaion. Ainsi, à ravers ses choix de consommaion, l objecif de l invesisseur es de maximiser : Z U I (; ; C) = E e I u I (C ) d (3.2) où I représene la valeur emps pour l invesisseur. À ravers ses choix de sraégie d invesissemen e, s il y a lieu, de aux de rémunéraion, le géran cherche à maximiser : Z U G (; ; C) = E e G u G (W ) d (3.3) où G représene la valeur emps pour l invesisseur. Dans le bu d alléger l écriure, nous supposons dorénavan que I = G =. Cee hypohèse ne modi e pas l essence de nos résulas. La srucure d informaion que nous préconisons es basée sur les hypohèses suivanes sur le déroulemen du jeu e le comporemen des agens. Le gesionnaire annonce sa sraégie de placemen e son aux de rémunéraion. Il ien compe du fai que l invesisseur ajusera sa consommaion à l évoluion de sa richesse, e, paran, à ses sraégies. Par ailleurs, il es raisonnable de supposer que l invesisseur n a pas conscience que ses propres décisions de consommaion on une in uence sur les décisions du géran. De façon équivalene, l invesisseur n annonce pas à l avance sa sraégie de consommaion, il l adape pluô à l évoluion de sa richesse. Puisque l invesisseur peu observer sa richesse à ou insan, e qu il connaî la sraégie de placemen du gesionnaire ainsi que son aux de rémunéraion, une sraégie de l invesisseur es C (W ; ; ; ) : R + R + [; )! C. Pour des ns de simpli caion, nous 4

29 uilisons, pour la suie du chapire, C comme noaion de la sraégie de l invesisseur. Un équilibre à ce problème es un riple de sraégies ( ; ; C ) 2 R + C elles que : Le plan de consommaion C es opimal pour l invesisseur pour une sraégie de placemen e, s il y a lieu, un aux de rémunéraion choisis par le géran. Auremen di : U I ( ; ; C ) U I ( ; ; C) ; 8C 2 C: La combinaison de la sraégie de placemen e, le cas échéan, du aux de rémunéraion es opimale pour le géran éan donné le processus de la richesse généré par le plan de consommaion C, à savoir : U G ( ; ; C ) U G (; ; C ) ; 8 (; ) 2 R + : Les éapes à suivre pour résoudre l équilibre du jeu se présenen comme sui :. Déerminer la foncion de réacion de l invesisseur à un processus de placemen e un aux de rémunéraion arbiraires, à savoir le processus : Z bc (W ; ; ; ) := argmax C2C E e u I (C ) d où l évoluion de la variable d éa représenan la richesse W es direcemen in uencée par e. 2. Incorporer la meilleure réponse de l invesisseur dans le problème d opimisaion du géran pour déerminer les valeurs opimales des proporions allouées aux di érens acifs e, le cas échéan, du aux de rémunéraion. Ainsi, en dénoan 5

30 cw le processus de richesse indui par b C sous e, s il y a lieu,, Cas où es exogène : Z x := argmax 2 E e u G W c () d Cas où es endogène : Z ( ; ) : = argmax (;)2R + E e u G W c (; ) d : 3. En déduire la consommaion C correspondan à l équilibre, ainsi que les valeurs des foncionnelles d uilié e la dynamique de la richesse. Dockner, Jorgensen, Van Long e Sorger (2) présenen une discussion inéressane sur les jeux di éreniels hiérarchiques à horizon in ni e con rmen le fai que les hypohèses de sraégie consane ou linéaire par rappor à l éa pour le leader du jeu (le géran dans ce modèle) e de sraégie markovienne pour le follower du jeu (l invesisseur dans ce modèle) son généralemen déerminanes pour obenir des équilibres dynamiquemen cohérens. Dans ce chapire, nous nous appuyons sur les résulas des modèles d opimisaion en horizon in ni, e en présence de coe ciens consans, pour supposer une sraégie de placemen saionnaire. Ceci facilie la résoluion de nore jeu e nous perme de véri er la cohérence dynamique de l équilibre que nous obenons. 3.3 Taux de rémunéraion exogène Dans cee secion, nous analysons le cas où le aux de rémunéraion es exogène e où le géran décide uniquemen de sa sraégie d invesissemen. 6

31 3.3. Le problème de l invesisseur Nous déerminons la meilleure réponse de l invesisseur à oue sraégie de placemen consane 2. Proposiion 3. Pour une sraégie e un aux de rémunéraion els que + (r + ) 2 kk 2 > ; (3.4) où :=, le processus de consommaion correspondan à la meilleure réponse de l invesisseur es : bc = bc c W (3.5) où bc := + (r + ) 2 kk 2 e c W, le processus de richesse correspondan à bc, es el que : cw = W e ( (r+ )+ 2 2 kk2 )+ B : (3.6) Preuve 3. Soien e xés. La foncion valeur V I résou l équaion de HJB suivane : (W ) du problème de l I sup C [W (r + ) C ] 2 V I W 2 2 kk 2 V I + C = : La foncion n C I éan concave, nous pouvons facilemen voir que la meilleure 7

32 réponse de l invesisseur s écri C b = K I es une consane, nous En conjecuran que V I = K I W où " W (r + ) 2 V I W 2 2 kk 2 V I + 2 = K I W I + # 2 kk2 + KI 3 5 : Ainsi, K I doi véri er K I = (r ) kk 2 : Il su de voir = K I c W pour déduire l expression de b C. Pour que la preuve soi complèe, il fau véri er la condiion de ransversalié correspondan à lim E e T VT I (W ) =. T! Nous avons VT I (W ) = (bc) W c T e W c T = W e [ (r+ )+ 2 2 kk2 ]T + B T. D où, e T VT I (W ) = u I (W ) (bc) e bct e ( ) ( ) 2 B T 2 kk 2T. 8

33 Ainsi, lim E e T VT I (W ) = u I (W ) (bc) lim e bct T! T! = où la première égalié vien du fai que e ( ) B T ( ) 2 deuxième vien du fai que la condiion (3:4) implique bc := b C cw >. 2 kk 2T es une P -maringale e la Dans le cadre où les coe ciens du marché son consans e où la sraégie d invesissemen ainsi que le aux de rémunéraion son consans, la soluion unique du problème de l invesisseur es elle que la proporion de consommaion es consane. En combinan les équaions (3:5) e (3:6), nous obenons l expression du processus de consommaion en foncion de la richesse iniiale, des paramères du marché e des décisions du géran : bc (; ) = W + (r + ) 2 kk 2 e ( (r+ )+ 2 2 kk2 )+ B (3.7) où apparaî dans l expression de L équilibre Nous noons := ( + ) e nous supposons que les paramères du modèle saisfon les condiions suivanes : C : > C2 : + ( ) (+2 2) r + kk 2 > 2 2 9

34 C3 : ( + ) + ( ) r + 2 kk2 > : Proposiion 3.2 En supposan que les condiions C-C3 son saisfaies, le double ( x ; C x ) el que x = ( ) (3.8) e C x = c x W x (3.9) es un équilibre dynamiquemen cohéren où c x : = ( + 2 2) + ( ) r kk 2 (3.) e W x (2 ) = W exp r kk 2 + B : (3.) Les valeurs des objecifs des deux agens à l équilibre son alors exprimées par : U I (; W ; ; x ; C x ) = (c x ) u I (W ) (3.2) e U G (; W ; ; x ; C x ) = K x u G (W ) (3.3) où K x := (3.4) ( + ) + ( ) r + kk2: 2 2

35 Preuve 3.2 En enan compe de la réponse opimale de l invesisseur dans la résoluion du problème du géran, e en uilisan le changemen de variable =, nous obenons l expression suivane de l équaion de HJB G = G = sup hw (r + ) b C i W 2 2 W V W 2 + W G (r ) + W 2 V G d hw i 2 V G + u G (W ) V G kk 2 où Z es el que 2 e V G := V G (W ) représene la foncion valeur du problème du géran. Nous conjecurons V G := K x W. Ainsi, nous pouvons véri er que, pour Kx e posiifs, l expression suivane 2 2 W V W 2 + ( 2 kk2 W = K x W G kk es concave. La soluion es b =, qui es bien consane. L équaion de HJB nous donne la valeur de K x. Supposons que nous permeons au géran de déerminer un nouveau à l insan >. La richesse c W à ce insan es obenue de l expression (3:6) appliquée à = avec = b. L équaion de HJB de ce nouveau problème demeure inchangée e le nouveau opimal es le même que celui choisi à =. Ainsi, l équilibre que nous obenons es dynamiquemen cohéren. C x es obenu en remplaçan par sa valeur opimale dans l expression de b C. 2

36 L équaion (3:) perme d obenir l expression de la richesse à l équilibre, à savoir : dw x = W x (2 + ) r kk 2 d + db : A n de erminer la preuve, il rese à véri er que les condiions de ransversalié son bien saisfaies. Ainsi, pour le problème de l invesisseur, lim E e T VT I (W x ) T! = (c x ) u I (W ) lim T! e cx T = e, ce, du fai que C2 implique c x >. Pour ce qui es de la condiion de ransversalié du géran, lim E e T VT G (W x ) T! = u G (W ) lim = e K x T T! puisque la condiion C3 sur les paramères implique >. K x Nous savons que dans le cas où, sous les mêmes hypohèses quan à la forme des foncions d uiliés, un invesisseur a accès direcemen au marché (problème de Meron (97)), sa sraégie d invesissemen opimale es = & ( ), où & représene son aversion au risque. Ainsi, si l invesisseur considéré dans ce chapire ne déléguai pas le placemen de sa richesse, sa sraégie d invesissemen serai I = ( ). Par 22

37 ailleurs, si le géran ravaillai pour son propre compe, il aurai choisi de manière opimale G = ( ). Il apparaî que le comporemen du géran à l équilibre dans ce modèle de délégaion de la richesse correspond à la sraégie de placemen d un invesisseur qui aurai pour aversion au risque = ( + ) e, pour cee raison, nous inerpréons dans nore modèle comme une aversion au risque «agrégée». Il es inéressan de comparer la sraégie d invesissemen elle que décrie dans l équilibre de ce modèle avec celles correspondan aux siuaions où chacun agi pour son propre compe. La gure (3 ) perme d illusrer cee éude comparaive. Dépendammen des coe ciens d aversion au risque de l invesisseur e du géran, nous pouvons disinguer quare zones auxquelles peu apparenir :. < : dans ce cas, l aversion agrégée es supérieure ou égale à l aversion du géran e es inférieure ou égale à celle de l invesisseur. 2. < e < : ce cas es semblable au précéden dans le sens où l aversion agrégée es comprise enre l aversion de l invesisseur e celle du géran. 3. < : dans ce cas, l aversion agrégée es supérieure ou égale à l aversion la plus élevée. 4. < < + e > : ceci correspond à une siuaion inverse de la précédene. L aversion au risque agrégée es alors inférieure à la plus peie aversion. En éudian le signe de, il es apparen qu il es le même que celui de : le fai de déléguer sa richesse à un géran ayan une plus grande aversion au risque rend l invesisseur moins exposé aux acifs risqués, e inversemen. Ainsi, pour l invesisseur, le fai de déléguer la gesion de ses acifs à un géran ayan une aversion au risque di érene a un résula «prévisible». Néanmoins, du poin de vue du géran, les conclusions son moins claires. Ainsi, en éudian le signe de, il es apparen qu il es le même que celui de seulemen si es inférieur à. Le géran modi e sa sraégie dans le sens désiré par l invesisseur 23

38 ν κ = κ = ν κ =+ν δ > ν > κ ν > δ > κ κ > ν > δ κ > δ > ν κ Fig. 3- L aversion au risque agrégée par rappor aux aversions au risque individuelles e si ce dernier a une faible aversion au risque. Dans le cas conraire, l aversion agrégée va dans le sens conraire de celui désiré par l invesisseur. Dans les paragraphes qui suiven, nous illusrons l impac de la variaion du aux de rémunéraion sur les foncions objecifs des deux agens à l équilibre. Dans chacun des cas illusrés, l inervalle de variaion de es choisi de sore que les condiions C-C3 soien saisfaies. Le graphique (3 2) es une illusraion de la sensibilié des foncionnelles d uilié à l équilibre à di érenes valeurs des aux de rémunéraion dans le cas où > e >. D un poin de vue saique, le aux de rémunéraion a clairemen un e e posiif sur l uilié direce du géran. Néanmoins, la dynamique de la richesse à l équilibre monre que ce même aux agi, de façon assez prévisible, négaivemen sur les acifs sous gesion. L e e global sur la foncionnelle d uilié n es donc, a priori, pas rès clair. D ailleurs, la gure (3 2) illusre un cas où cee relaion es sricemen concave. Il exiserai 24

39 Taux de rémunéraion,,2,3,4,5 5 Uilié du consommaeur 5 Uilié du géran Fig. 3-2 Sensibilié des foncionnelles d uilié par rappor au aux de rémunéraion. = 2 ; = 2 ; = ; 3 ; r = ; 2 e kk 2 = ; 4. donc un aux de rémunéraion qui maximiserai l uilié du géran à l équilibre. Pour ce qui es du consommaeur, le cas où > es facile à analyser. Ainsi, il es apparen, à ravers l expression de C x que, dans ce cas, le aux de rémunéraion agi négaivemen sur la proporion de la richesse à consommer e sur la richesse elle même. La foncionnelle d uilié de l invesisseur décroî par conséquen avec le aux de rémunéraion. C es ce qui es illusré par le graphique (3 2). Pour le cas où <, le aux de rémunéraion agi posiivemen sur la proporion de la richesse à consommer e il devien de ce fai moins éviden de prévoir la relaion globale enre l uilié de l invesisseur e. La gure (3 3) illusre l e e oal pour des valeurs pariculières des paramères du modèle. Dans ce exemple, même si le aux de consommaion augmene, la foncionnelle d uilié de l invesisseur rese décroissane. Ceci monre que l e e de la diminuion de la richesse domine celui de l augmenaion de la proporion de consommaion. Nous pouvons voir à ravers l équaion (3:2) que ce résula es général pour ou <. 25

40 Taux de rémunéraion,,2,3,4,5 Uilié du consommaeur Uilié du géran Fig. 3-3 Sensibilié des foncionnelles d uilié par rappor au aux de rémunéraion. = ; 75 ; = ; 5 ; = ; 3 ; r = ; 2 e kk 2 = ; 4. Ces quelques illusraions monren que le choix du aux de rémunéraion présene un enjeu sraégique. C es ce côé que nous explorons dans la secion qui sui en inégran le aux de rémunéraion dans les décisions du géran. 3.4 Taux de rémunéraion endogène Dans cee secion, nous considérons que, en plus de sa sraégie d invesissemen, le gesionnaire décide de son aux de rémunéraion Le problème du géran Éan sraégique, le géran décide de ses acions en enan compe de la réponse de l invesisseur. Celle-ci peu êre déduie des résulas obenus à la secion précédene du momen où le aux de rémunéraion es supposé consan. Ainsi, l expression de la consommaion opimale es inégrée dans le problème du géran. Nous supposons que les paramères du modèles saisfon la condiion suivane : 26

41 C4 : ( + ) + ( ) r + 2 kk2 > : Proposiion 3.3 En supposan que les condiions C e C4 son saisfaies, alors = ( ) (3.5) e = W (3.6) représenen la sraégie de placemen e le plan de rémunéraion opimaux pour le géran. W représene la richesse correspondane e la proporion de rémunéraion opimale es représenée par : = ( + ) + ( ) r + 2 kk2 : Preuve 3.3 Éan donné bc, la foncion valeur du problème du géran résou l équaion de HJB suivane : sup (;)2ZR + 8 >< W + 2 V G 2 W r V G G 2 W + ( W + W kk W 9 >= >; = : 27

42 En conjecuran V G = K W, l équaion devien : = sup 2Z +KW KW + sup 2R + r W KW kk 2 2 K W + KW : KW W Nous supposons que K es posiif. La foncion n KW KW 2 concave e nous pouvons ainsi obenir l équaion (3:5). Par ailleurs, es égalemen concave e son maximisan es kk 2o es donc bien n W KW o = K où K es el que K = ( + ) + ( ) r + 2 kk2 : C4 nous perme de véri er que K es bien posiif. L expression de la foncion valeur devien V G (W T ) = ( ) (W T) où W T = W e " r (+)+ ( 2 + ) 2 2 kk 2 # T + B T : (3.7) 28

43 De ce fai, nous avons e T V G (W T ) = ( ) u G (W ) e T e ( ) B 2 T 2 2 kk 2T : D où, en uilisan le fai que e véri er la condiion de ransversalié ( ) B 2 T 2 2 kk 2T es une P -maringale, nous pouvons lim E e T V G (W T ) = ( ) u G (W ) lim e T T! T! = : La sraégie d invesissemen adopée par le géran ne change pas du fai que le aux de rémunéraion es endogène. Ainsi, l analyse comparaive faie dans la secion 3 concernan l aversion "agrégée" s applique au cas présen. En uilisan (3:7) appliqué à l insan, le processus de rémunéraion peu êre exprimé comme sui : = W ( + ) + ( ) r + 2 kk2 e " r (+)+ ( 2 + ) 2 2 kk 2 # + B : (3.8) L équilibre Une fois les problèmes individuels résolus, il devien assez rivial de déerminer les valeurs d équilibre. En e e, la soluion au problème du géran donne direcemen les 29

44 valeurs d équilibre de la proporion d invesissemen dans les acifs risqués e du aux de rémunéraion. La consommaion choisie par l invesisseur es, quan à elle, déduie de l équaion (3:5). Nous supposons que les paramères du modèle véri en C5 : ( 2 + ) + ( ) r kk 2 > : 2 2 Proposiion 3.4 En supposan que C,C4 e C5 son véri ées, le riple ( ; ; C ) el que = ( ), = e ( + ) + ( ) r + 2 kk2 C = c W (3.9) es un équilibre dynamiquemen cohéren où c = W e = W e ( ) r kk 2 " r (+)+ ( 2 + ) 2 2!kk 2 # + B : (3.2) 3

45 Les valeurs des objecifs à l équilibre de chaque agen son alors exprimées par : U I ( ; ; C ) = (c ) u I (W ) (3.2) e U G ( ; ; C ) = ( ) u G (W ) : (3.22) Preuve 3.4 L expression (3:9) es obenue en remplaçan e par leurs valeurs d équilibre dans (3:5). Nous obenons ainsi : c : = C = W ( ) r kk 2 : L expression de la richesse (3:2) es déerminée par la prise en compe des valeurs de c, e en siuaion d équilibre dans l équaion di érenielle sochasique (3:). Nous uilisons cee expression pour déerminer la foncionnelle d uilié de l invesisseur : Z UI = E = (c ) u I (W ) = (c ) u I (W ) = (c ) u I (W ) e u I (C ) d Z Z e c E e c d ( ) e ( ) B kk 2 d ( ) où nous avons uilisé le fai que e ( ) B kk 2 es une P -maringale e que c >. 3

46 De même, nous obenons Z UG = E e u G ( W ) d = ( ) u G (W ) = ( ) u G (W ) = ( ) u G (W ) Z Z e E e d ( ) e ( ) B kk 2 d ( ) où e ( ) B kk 2 es une P -maringale e >. Les condiions de ransversaliés ainsi que la cohérence dynamique de ce équilibre peuven facilemen êre véri ées en suivan la procédure uilisée dans la secion précédene. En combinan les expressions (3:9) e (3:2), nous obenons l expression suivane du processus de consommaion à l équilibre : C = W e " ( ) r kk 2 r (+)+ ( 2 + ) 2 2!kk 2 # + B Nous consacrons la secion suivane à l inerpréaion de l e e des paramères du modèle e des coe ciens d aversion au risque sur le aux de rémunéraion adopé à l équilibre. 32