Notion d équation différentielle : Équations du 1 er ordre

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1 IUT Orsa Mesures Phsiques Notio d équatio différetielle : Équatios du er ordre Cours du er semestre A. De quoi s agit-il? A-I. Eemples tirés de la géométrie a. Avec tagete et abscisse O suppose que f est ue foctio de la variable et que C est sa présetatio graphique das u repère orthoormé. Quelle peut être cette foctio si la tagete e tout poit de C a pour coefficiet directeur l abscisse de ce poit? La questio posée reviet à chercher les foctios telles que f '( ) = O e coaît ue, c est la foctio. O peut e déduire ue famille de foctios qui covieet : f ( ) = + Cste. La questio qui reste à résoudre c est de savoir si ce sot les seules! b. Avec tagete, abscisse et ordoée O suppose que f est ue foctio de la variable et que C est sa présetatio graphique das u repère orthoormé. Quelle peut être cette foctio si la tagete e tout poit de C a pour coefficiet directeur la moee etre l abscisse et l ordoée de ce poit? Cette fois o cherche les foctios telles que f '( ) = f ( ) + c est à dire telles que f ( ). f '( ) = Il est pas très difficile de trouver ue solutio ( f ( ) = coviet) mais commet e trouver d autres et commet être sûr qu o les a toutes? c. Avec tagete et agle fie O suppose que et sot deu variables liées et que C est la courbe (ou le réseau de courbes) formée des poits de coordoées et. Quel peut être le lie etre et si la tagete e tout poit M de C fait u agle de 0 avec (OM)? La mise e équatio est mois simple mais il est probable qu elle devra faire iterveir d d,, et que par coséquet l équatio soit de la forme F (,, ) = 0. E trouver ue d d solutio est alors de mois e mois simple, être sûr qu o les a toutes deviet vraimet problématique. A-II. Notios géérales a. Forme géérale d ue équatio différetielle. O suppose que est ue foctio icoue de la variable. O appelle équatio différetielle d icoue et de variable toute équatio de la forme où F est ue foctio quelcoque et ( ) désige la dérivée ième de. Par eemple, voici quelques équatios différetielles et leur forme «stadard» :. " + ' = cos( ) " + ' cos( ) = 0.. ' +. " = +. ' +. " = 0 F ( ) (,, ', '', '''... ) = 0 Page 7

2 ( ') + si( ) = si( ) + ( ') = 0. ( ) O appelle solutio d ue équatio différetielle toute foctio f ( ) qui vérifie l équatio. Les solutios peuvet e pas avoir toutes le même esemble de défiitio, u problème classique (et pas forcémet facile) cosiste à rechercher le plus grad domaie das lequel o puisse trouver ue solutio, u autre problème est de trouver toutes les solutios. Résoudre ue équatio différetielle das u itervalle choisi, c est trouver toutes les solutios de cette équatio qui sot défiies das cet itervalle. Remarque : Pour les équatios recotrées jusqu à préset, qui étaiet des équatios umériques, les otios de variable et d icoue étaiet idifféreciées, o emploait idifféremmet u terme ou l autre. Avec les équatios différetielles il faut bie distiguer les deu otios : l icoue est ue foctio, la variable est pas l icoue. b. Ordre d ue équatio différetielle O appelle ordre d ue équatio différetielle le plus grad des ordres de dérivatio qui figuret das cette équatio. Das les eemples précédets, les cas ) et ) sot des équatios d ordre et le cas ) est ue équatio d ordre (o dit aussi du er ordre). B. Les équatios du premier ordre : F (,, ') = 0 E otat la dérivée de sous la forme d d les équatios du er ordre peuvet s écrire d F (,, ) = 0. d B-I. Equatios séparables a. Défiitio O dit qu ue équatio du er ordre est séparable lorsqu elle peut se mettre sous la forme a( ). d = b( ). d où a et b sot des foctios à ue seule variable. b. Eemples : ) + ' = est séparable e d = ( ). d d =. d d = est séparable e =. d sauf si est costammet ul. ) ' = est séparable e ) ' 4) ' = + est séparable e 5) + ' = + est pas séparable. d =. d + 6) ' = + est séparable e. d = ( + ). d Page 74

3 c. Méthode de résolutio Le pricipe est très simple à éocer : O itègre séparémet chacu des deu membres de l équatio obteue e séparat les variables sas oublier que si deu quatités variables sot égales, leurs itégrales e sot égales qu à ue costate près. c est à dire Eemple : De d = ( ). d o déduit d = ( ). d Eemple : De d =. d o déduit d =. d d Eemple : Pour =. d o distigue deu cas : l( ) = + Cste soit 0 et alors o étudie ce cas particulier c est ue solutio = ( ) + Cste soit est pas costammet ul et, das les itervalles où elle e l est pas, o déduit : l( ) l( ) = + Cste = α. où O peut résumer toutes les solutios par l écriture uique : Cste α = e doc α est strictemet positif. = k. où k R Remarque : Si o demade de résoudre. * l( ) d = d das R + o obtiet = + Cste mais si o demade de résoudre. * l( ) d = d das R o obtiet = + Cste B-II. Equatios liéaires a. Forme géérale de ces équatios Ue équatio du er ordre est dite liéaire lorsque la foctio icoue et sa dérivée itervieet que séparémet et avec l eposat. Autremet dit elles sot de la forme : a( ). ' + b( ). = c( ) où a( ), b( ) et c( ) sot des foctios quelcoques de. b. Cas des équatios «sas secod membre» : ESSM. Elles sot de la forme a( ). ' + b( ). = 0 O démotre successivemet que : ) La somme de deu solutios est ecore ue solutio ) Le produit d ue solutio par u réel est ecore ue solutio ) Toute combiaiso liéaire de solutios est ecore ue solutio 4) Les solutios se comportet comme les vecteurs d ue droite vectorielle : v D( u) v = k. u 5) Coclusio : SG(ESSM) : se traduit par S (esemble des solutios) = ku (où u est ue solutio) b( ). d ( ) k. e = a où k R. Page 75

4 c. Cas des équatios «avec secod membre» : EASM. ) Notio de solutio particulière : SP(EASM). ) Les solutios de l EASM s obtieet toutes e additioat SP(EASM) et SG(ESSM) Soit ue SP(EASM). Si e est ue autre, alors est solutio de l ESSM. E posat 0 =, o voit que = 0 + doc = SG(ESSM) + SP(EASM) Réciproquemet, si = SG(ESSM) + SP(EASM) alors est bie ue solutio de l EASM. ) Aalogie avec équatio vectorielle d ue droite affie : M D( A, u) OM = OA + k. u. se traduit par S (esemble des solutios) = SP(EASM) + SG(ESSM) 4) Coclusio SG(EASM) = SG(ESSM)+ SP(EASM). d. Commet trouver ue SP(EASM)? d - ) Méthode heuristique Si o a la chace d e trouver ue, quelle que soit la faço (hoête) de la trouver, cette solutio coviet parfaitemet! Eemple : Soit l équatio ' + = 4 +. O se doute qu ue solutio peut être de la forme a + b c est à dire que si o pose = a + b = a + b l équatio se réécrit : dot o déduit le sstème d - ) ' = a + ' = a + a + b = 4 + a = 4 SP(EASM) : a + b = Méthode de Lagrage = Si la solutio géérale de l ESSM est de la forme α. s( ) alors ue solutio particulière de l EASM est de la forme α ( ). s( ) c est à dire qu o remplace la costate α par ue foctio α ( ) et pour cette raiso la méthode de Lagrage est souvet appelée méthode de la variatio de la costate - ce qui est ue faço de dire pour le mois étrage. Eemple : Soit l équatio. ' + =. e O obtiet sas difficulté SG(ESSM) : O cherche doc SP(EASM) sous la forme. e = α. = α( ). e et o réécrit l équatio : ce qui doe = α( ). e ' = α '( ). e α( ). e ' α '( ). e + = d où α '( ) =... et α ( ) = + k. Page 76

5 O obtiet efi SP(EASM) : = ( + k). e et comme o cherche UNE solutio particulière o choisit la costate k pour qu elle soit simple 0 c est bie! B-III. Equatios de Berouilli Ce sot des équatios qui peuvet être redues liéaires par u chagemet de variable. Elles sot de la forme a( ). ' + b( ). = c( ). avec. O réécrit l équatio : O pose z = ce qui doe ' a( ). + b( ). = c( ). ' z ' = ( ) '. = ( ).. ( ) L équatio deviet a. z ' + b ( ). z = c ( ) qui est maiteat liéaire e z O la résout e z puis o effectue le chagemet de variable iverse. Eemple : Résolutio de 0 est solutio Sio, o divise par + =.. ' ( ) ce qui doe '. + = ( ) et o pose deviet z ' + z = ( ) qui est liéaire e z et doe O reviet à l icoue iitiale : B-IV. Equatios homogèes = ± k + + ou 0 z = k + + z = : l équatio Ce sot des équatios qui peuvet être redues séparables par u chagemet de variable. Elles sot de la forme ' = ϕ c est à dire que ces équatios sot ivariates si o multiplie la variable et l icoue par le même ombre. O les résout e posat t = de sorte que l icoue deviet t et qu o a d =. dt + t. d. E remplaçat alors par t (ou par t ) et d par. dt + t. d o obtiet ue équatio séparable dot l icoue est t et la variable. La résolutio de cette équatio, compte teu de la = ( t) relatio = t doe ue représetatio paramétrique des courbes représetat les = t. ( t) solutios de l équatio différetielle O peut parfois e déduire ue équatio cartésiee Eemple : Résolutio de. ' = L équatio se réécrit ' = o remplace par t l équatio deviet t(. dt + t. d) = + t qui se sépare e Page 77

6 B-V. Notio de coditio iitiale Lorsqu o précise ue valeur particulière de la solutio pour ue valeur particulière de la variable, o peut détermier la costate k doc trouver précisémet la foctio cherchée. Eemple : Résoudre ' = sachat que ( ) = 8. Cette équatio est séparable et doe = ±.l( ) + Cste. Pour être défiie e -, o doit avoir = ±.l( ) + Cste et comme le résultat souhaité est positif, o a fialemet = +.l( ) + Cste où la coditio iitiale doe 8 = Cste c est à dire Cste = 64 La solutio cherchée est =.l( ) + 64 et elle est défiie das ] ; e [. B-VI. Eemples avec solutios pour s etraîer a. ' + = avec (0) = doe k e = +. avec k = B-VII. b. ' + = avec () = doe c. ( + ) ' + = doe k = + + k + = avec k = d. O doe ' si( ). =.si( ). Combie vaut ( π ) si (0) = e? O obtiet e. O doe O obtiet cos( ) = + k. e avec k e( e ) ( ) ' Arcta( ) = + doc π = e + e ( ) + + =. Combie vaut () si (0) =? α e Arcta( ) =. + Arcta( ) avec Et trois eercices plus origiau pour fiir a. Problème de cotiuité α = doc E distiguat trois cas, selo que ] ; [ ou ] ; + [ ou ] + ; + [, résoudre l équatio '.( 4) + = Peut-o trouver ue solutio cotiue pour =? et cotiue e tout? b. Chagemet de variable P est ue foctio doée de, à la fois dérivable et itégrable. Motrer qu e utilisat P l équatio '' + P ' + P ' = 0 se ramèe à ue équatio liéaire du premier ordre. c. re-chagemet de variable ( + ) E posat =. e z, résoudre l équatio ' = l( ) O trouvera d abord z puis o e déduira. Page 78