Séries à termes positifs

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1 Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes. Défiitios Défiitio.. Soit ue suite réelle (u ) dot tous les termes sot positifs ou uls, soit (s ) la suite défiie par : s = u 0 + u u = i=0,..., O dit que la série de terme gééral u coverge vers s si la suite (s ) coverge vers s qui est appelé la somme de la série. Les (s ) sot appelés les sommes partielles. Si (s ) a pas de limite o dit que la série diverge. Das tout ce chapitre les séries serot supposées de ce type i.e. à temes positifs. Exemple (Série géométrique) : L exemple suivat est fodametal : si o pred u = α o a ce qu o appelle la série géométrique. Alors s = α+ (si α ). α Si α <, α + ted vers 0 quad ted vers l ifii, la série coverge, sa somme est. α Si α >, α + ted vers + quad ted vers l ifii, la série diverge car s a pas de limite. Si α = alors s = +, il y a divergece. Les u peuvet das certais cas être défii que à partir d u etier 0. Das ce cas o e cosidère les s que pour 0 et s = i= 0,..., u i. u i Théorème.. (Critère grossier de covergece) Pour qu ue série de terme gééral u coverge il faut que la suite (u ) tede vers 0. C est ue applicatio du critère de Cauchy pour les suites. La coditio est seulemet écessaire. E fait o verra que la série de terme gééral défiie pour > 0 diverge, bie que la suite ( ) tede vers 0. la série de terme gééral u = e coverge pas : la limite de = e l() vaut quad ted vers l ifii, car la limite de l() vaut quad 0 ted vers l ifii. Il e est de même pour u =. Voici ue coditio écessaire et suffisate : Théorème.3. (Critère de Cauchy) Pour que la série de terme gééral u coverge il faut et suffit que pour tout ǫ > 0 o puisse trouver u etier N ǫ tel que pour tout p q N ǫ o ait u q u p ǫ.

2 La démostratio est ue applicatio du critère de Cauchy pour les suites. Par exemple ceci permet de motrer la série de terme gééral ( ) e coverge pas. E effet il suffit de cosidérer la somme des termes à de la série, soit Cette somme est toujours supérieure à. La série e peut doc satisfaire au critère de Cauchy. Etat doée deux séries de terme gééraux u et v la somme des deux séries est la série de terme gééral u +v. Cette derière série coverge si et seulemet si les deux séries u et v coverget. Das ce cas la somme de la série est la somme des deux séries iitiales. Si λ R + o peut aussi multiplier la série de terme gééral u par λ, c est la série de terme gééral λu. Comparaiso de séries O a : Théorème.. Soiet deux séries à termes positifs u et v. Supposos que pour tout o ait u v. Si la série de terme gééral v coverge il e est de même pour la série de terme gééral u. Si la série de terme gééral u diverge il e est de même pour la série de terme gééral v. Il suffit que la coditio u v soit satisfaite pour tout assez grad. O a aussi Corollaire.. Soiet deux séries à termes positifs u et v. Supposos que v 0 (au mois dès que est assez grad). Supposos que la limite de u v existe et est o ulle. Alors si la série de terme gééral v coverge il e est de même pour la série de terme gééral u, si la série de terme gééral u diverge il e est de même pour la série de terme gééral v. O dit que les deux séries sot de même ature. O peut appliquer ce résultat aux séries de termes gééraux et +, aisi qu à celles de termes gééraux 3 et et celles de termes gééraux à et + l(). Comme pour le cas des itégrales o pourraitécrire u ńocé avec ue limite 0. O a aussi : Corollaire.3. Soiet deux séries à termes positifs u et v, supposos que pour tout assez grad v 0 (au mois dès que est assez grad. Supposos que pour tout assez grad 0 < m u v M, pour des réels 0 < m et m M. Alors les deux séries sot de même ature. O peut appliquer ce résultat aux séries de termes gééraux u telle que : u = et u + = et v telle que v =.

3 3 Règles de Cauchy et d Alembert Théorème 3.. (Régle de Cauchy ) Soit ue série de terme gééral u. Si la limite de u existe et est strictemet iférieure à la série coverge. Soit ue série de terme gééral u. Si la limite de u existe et est strictemet supérieure à la série diverge. Théorème 3.. (Régle de d Alembert ) Soit ue série de terme gééral u. Si la limite de u + existe et est strictemet iférieure à la série coverge. u Soit ue série de terme gééral u. Si la limite de u + à la série diverge. Das les deux cas o e peut rie dire si la limite vaut. Par cotre o peut o peut gééraliser comme suit : u existe et est strictemet supérieure Théorème 3.3. (Régle de Cauchy ) Soit ue série de terme gééral u. Si u est iférieur à c < dès que est assez grad la série coverge. Soit ue série de terme gééral u. Si u est supérieur à c > dès que est assez grad la série diverge. Il suffit e fait das ce derier cas que u c > pour ue ifiité d etiers. Théorème 3.4. (Régle de d Alembert ) Soit ue série de terme gééral u. Si u + iférieur à c < dès que est assez grad la série coverge. Soit ue série de terme gééral u. Si la limite de u + est supérieur à c > dès que est assez grad la série diverge. La démostratio de ces théorèmes procède par comparaiso aux séries géométriques. Le premier exemple d applicatio de la règle de d Alembert est le cas de la série de terme gééral u =. Le rapport vaut et ted vers 0, la série coverge.! + la règle de Cauchy s applique évidemmet aux séries géométriques, o peut l appliquer à la série de terme gééral u = Par cotre o vérifiera que si u = α la limite des deux quatités cosidérées existe bie et vaut (quelquesoit α). O e peut pas coclure. u u est 4 Comparaiso aux itégrales impropres Les séries dot le terme gééral (défii pour ) est de la forme e retret pas α comme o l a dit das le cadre des règles de Cauchy et d Alembert. O appelle ces séries séries de Riema. Pour détermier leur ature o compare à ue itégrale. Pour ce faire o utilise le théorème suivat 3

4 Théorème 4.. Soit f ue foctio de [, + [ das R + (réels positifs ou uls). O suppose que f est cotiue décroissate et ted vers 0 quad la variable ted vers +. Alors l itégrale + f(t) et la série de terme gééral f() (défiie pour ) sot de même ature. E fait la coditio que la foctio tede vers 0 est pas écessaire pour le théorème, simplemet das ce cas la série et l itégrale diverget. La démostratio du théorème est coséquece des iégalités f() + f() f( ) f(t) f() + f(3) f() Corollaire 4.. La série de Riema de terme gééral α >. La démostratio du corollaire viet de ce que : si α. Et x t = [ α ( α)t α ]x = α ( ) x α x t = [l(t)]x = l(x) α coverge si et seulemet si Evidemmet ces itégrales e coverget que si α >. Voici des applicatios utilisat aussi ce qui a été dit avat : soit u =, comparos à la série de terme gééral v 3 =. + l() 3 La limite de u v vaut quad ted vers l ifii. La secode série est covergete d après le corollaire doc la première l est. soit u = l() de motrer que. Ue primitive de x l(x) + t l(t) est l(l(x)). Ce qui permet diverge, la série diverge doc (remarque : il faut évidemmet vérifier les coditios sur la foctio x l(x) ). soit u =. Ue primitive de est. Ce qui permet de l() xl(x) l(x) motrer que + t (l(t)) coverge, la série coverge doc. O laisse le cas de u = si() + log() 3 e exercice. 4

5 5 Produits de séries Etat doée ue série de terme gééral u et série de terme géaral v la série produit est la série de terme gééral p = u 0 v + u v u 0 v + u v 0. Théorème 5.. Si les séries de termes gééraux u et v coverget il e est de même pour la série de terme gééral p. La somme de cette série est le produit des sommes des séries iitiales. 6 Utilisatio des développemets limités Ue méthode classique pour détermier la ature d ue série est de faire u développemet limité. Cosidéros u exemple : la série de terme gééral u = cos( ). Quad ted vers l ifii ted vers 0 et cos( ) = + ǫ( ) avec ǫ( ) ted vers 0 quad ted vers l ifii. Doc u = + ǫ( ) et si v =, la limite de u v vaut. Doc les séries u et v ot même ature. Comme v coverge u coverge. Cosidéros u autre exemple : la série de terme gééral u = si( ). Quad ted vers l ifii ted vers 0 et si( ) = + ǫ( ) 6 3 avec ǫ( ) ted vers 0 quad ted vers l ifii. Doc et si v = coverge. 5 u = + ǫ( ) 6 5 la limite de u v vaut 6. Doc la série u de même ature que 5 qui 7 Quelques exemples u =. Das ce cas les règles de d Alembert et Cauchy e s applique pas car les limites cosidérées valet. Il faut faire ue comparaiso à ue série de Riema. Comme 3 ted vers 0 quad ted vers l ifii le terme gééral de la série (positif) est iférieur à pour tout assez grad doc la série coverge. Cette méthode s appliquerait si o remplaçait par a λ pour a quelcoque et λ > car a λ ted alors vers 0 quad ted vers l ifii et doc le terme a λ est iférieur à / pour tout assez grad et doc la série de terme gééral a λ coverge (sous les hypothèses idiquées plus haut). 5

6 si() + log() u = 3 + cos() O peut séparer la série e deux termes, o écrit que : si() + log() 3 + cos() = si() 3 + cos() + log() 3 + cos() et o motre la covergece des séries associées aux deux termes du membre de droite. si() Das le terme ci-dessus est iférieur ou égal à qui coverge par comparaiso à la série de Riema de terme gééral. O remarquera que das 3 +cos() 3 3 l argumet ce qui est importat est que si(), l argumet foctioerait à l idetique e remplaçat si() par f() pourvu que la foctio f() soit borée e valeur absolue (o pourrait predre par exemple si () ou si 3 ()). log() Cocerat le terme il faut se souveir que la limite de log() quad 3 +cos() ted vers l ifii vaut 0. O e déduit que la limite de log() quad ted 3 +cos() log() vers l ifii vaut 0, doc le terme gééral est iférieur à pour tout 3 +cos() assez grad, comme il est positif il y a covergece absolue de la série associée. O pourrait remplacer log() par toute foctio f telle que limite de f() quad ted vers l ifii vaut 0. si(sh( )) sh(si( )). O rappelle que sh(u) = eu e u Ce cas est à traiter par les développemets limités, o développe si( ) et sh( )) à l ordre 3. O a si( ) = + ǫ( 3 ) et sh( ) = + + ǫ( 3 3 ). E portat das l expressio o costate 3 que les termes e se détruiset, doc le terme gééral est de la forme a+ǫ( ) doc 3 est coverget (quelle que soit la valeur de a R). 6