ETUDE DES SYSTEMES NON LINEAIRES. COURS MASTER-2 Commande Robuste et Systèmes Non Linéaires. Launay Frédéric

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1 ETUDE DES SYSTEMES NON LINEAIRES COURS MASTER- Commande Robuse e Sysèmes Non Linéaires Launay Frédéric

2 I Inroducion Sysème Non linéaire - chaoique Objecif du cours : L idée de ce cours es de vulgariser la noion de sysèmes non linéaires e d analyser leur mise en œuvre en appliquan ceux-ci à la héorie du chaos. La difficulé majeure d un sysème chaoique un sysème chaoique es par naure imprévisible es d êre capable de synhéiser une loi de commande permean à un sysème ierce de reproduire la même rajecoire. On rappelle que le développemen de la sraégie de commande passe par 3 éapes : Idenificaion/Modélisaion du modèle chaoique Synhèse d une loi de commande Analyse de la robusesse validaion de la loi de commande par rappor au brui e par rappor à l approximaion du modèle Découpage du cours Dans un premier emps, nous allons présener l appor d analyse des sysèmes non linéaires par rappor aux sysèmes linéaires, mean ainsi en défau ceraines modélisaions acuelles. Modéliser es un premier pas, l objecif de oue modélisaion es de fournir un sysème paramérable e d opimiser les performances de ce sysème en vue d applicaions précises grâce à une régulaion ou un asservissemen par la mise en place de lois de commande. A ce ire, nous allons définir les propriéés des sysèmes non linéaires, les ouils d éudes de els sysèmes pour vérifier la sabilié de l asservissemen e les méhodes de commandes robuses pour garanir les performances souhaiées lors d un asservissemen malgré les caracères non linéaires du modèle. Avan oue modélisaion, il es aussi nécessaire de définir l environnemen du sysème. L environnemen du sysème revien à délimier celui-ci par un cerain nombre de variables indépendanes d enrées enrées exogènes : exciaions e perurbaions qui condiionnen l éa du sysème, e par des variables de sorie qui permeen de rendre compe, à ou insan, de la réponse c es à dire de l évoluion du sysème vis-à-vis des exciaions. On rajoue ensuie des enrées de commande issues de l asservissemen. Plus le sysème es complexe, plus il es nécessaire d éablir un réseau d équaions simulanées pour décrire le sysème. En règle général, le modèle que l on souhaie éablir es issu d un compromis enre fidélié vis à vis du comporemen réel du sysème à diverses exciaions e simplicié. La simplicié es obenue par des hypohèses de ravail e des approximaions qui renden le modèle mahémaiquemen viable. En physique, lorsque l'on éudie un phénomène, on s'inéresse généralemen aux effes prépondérans de celui-ci. Ceci revien souven à linéariser les phénomènes caracérisiques du sysème éudié on di qu'il y a proporionnalié enre la cause e l'effe. Grâce à la linéarisaion du sysème auour d un poin de repos poin régulier ou poin singulier, ou sous ceraines hypohèses approximaion de faibles déviaions, on peu décrire le sysème par un modèle mahémaique linéaire. Dans ce cadre d éude, les méhodes fréquenielles Transformée de Laplace consiuen les ouils les plus performans pour l analyse Nyquis,

3 Black Nichols, Bode, Lieu des racines e la synhèse des asservissemens linéaires Correceur PID, avance/reard de phase. Touefois, aucun sysème physique n es rigoureusemen linéaire e en dehors du domaine de linéarié, il es nécessaire d uiliser d aures méhodes que celles ciées ci-avan pour vérifier la sabilié e la robusesse aux perurbaions d un sysème en boucle fermé. De plus, la méhode par linéarisaion es une méhode valide que localemen auour d un poin de foncionnemen en règle général d un poin régulier e par conséquen, cee méhode ne peu pas êre uilisée pour définir un comporemen global. De plus, lors de la linéarisaion les effes non linéaires son alors considérés comme perurbaeurs e de ce fai négligés. Or, la dynamique apporée par ces effes non linéaires es plus riche que les sysèmes linéaires. A ire d exemple, à la différence des sysèmes linéaires qui ne possèden qu un seul poin d équilibre, les sysèmes non linéaires peuven posséder plusieurs poins d équilibre. De plus, de els sysèmes peuven êre le siège d oscillaions cycles limies caracérisées par leur ampliude e leur fréquence quelques soien les condiions iniiales e sans l appor d exciaion exérieure alors qu un sysème linéaire, pour osciller, doi présener une paire de pôle sur l axe imaginaire, condiion rès fragile vis-à-vis des perurbaions e des erreurs de modélisaion. On peu aussi consaer d aures phénomènes dans les sysèmes non linéaires bifurcaions, phénomènes qui représenen une variaion de l évoluion du sysème en erme du nombre de poins d équilibre, de la sabilié lorsqu un ou plusieurs paramères non auonome du modèle varien. Nous allons inroduire ces noions sur des exemples concres au cours du premier chapire. Dans le chapire, nous analyserons de manière globale l évoluion d un sysème e nous nous définirons des poins locaux pariculiers par linéarisaion. Nous éudierons ainsi les avanages e les limiaions d un sysème linéarisé par seceur d éude. Dans le deuxième chapire, nous présenerons des modèles un peu plus complexe, puisque nous prendrons en compe une non linéarié e nous présenerons des ouils d analyse du sysème. Dans le roisième chapire, nous aborderons le problème d idenificaion d un sysème e nous élaborerons les premiers ouils d analyse de la robusesse du sysème. Enfin dans le 4 ème chapire, nous focaliserons nore éude sur les sysèmes chaoiques. I. Quelques comporemens non linéaires: Poins d équilibre muliples Soi le sysème modélisé par l équaion différenielle suivane : x x + x Calculez le poin d équilibre du sysème linéarisé pour de faibles perurbaions 3

4 Trouvez la soluion analyique de l évoluion de la rajecoire auour de chaque poin d équilibre. 3 Calculez les poins d équilibre du sysème Non Linéaire 4 Trouvez la soluion analyique de l évoluion de la rajecoire auour de chaque poin d équilibre. Soluion du sysème linéarisé Soluion du sysème non linéaire Conclusions : Dans le cas linéaire, le poin d équilibre es sable e les rajecoires d éa pour différenes condiions iniiales x décroissen vers l éa d équilibre. Dans le cas non linéaire, le poin d équilibre es sable localemen puisque à parir de oues condiions iniiales proche de apparenan à une boucle fermée dans l espace opologique auour de la soluion converge vers, mais le sysème es insable auour de puisque la rajecoire end vers sauf pour x. I. Quelques comporemens non linéaires: Cycles limies Equaion de Van Der Pol Soi le sysème suivan : m. x + c x. x + k. x, c> La simulaion de cee équaion sous Malab, nous donne le résula suivan. On représene en ordonnée la variaion de la dérivée en foncion de x 4

5 Soluion à l équaion de Van Der Pol pour différenes CI Conclusion : Cee courbe fermée radui un cycle limie, on reourne sur le même cycle, quelque soi la condiion iniiale choisie. I.3 Quelques comporemens non linéaires: Bifurcaions Soi un sysème non linéaire défini par l équaion non linéaire suivane Equaion non amorie de Duffing. 3 x + α. x + x - Ecrire l équaion donnan le poin d équilibre - Selon les valeurs du paramère α, le nombre de poins d équilibre varie. Noammen, lorsque α à +, on passe d un sysème avec un poin d équilibre à un sysème avec 3 poin d équilibre. On a ainsi une bifurcaion. Lors d une bifurcaion, la rajecoire peu évoluer en faisan apparaîre - d aures poins d équilibre - une période muliple à la période du signal avan bifurcaion - une muliplicié de la période du signal signal quasi-périodique - un signal chaoique. 5

6 I.4 Comporemen des poins singuliers linéaires : Sabilié locale Que le sysème soi linéaire ou linéarisé, on s inéresse souven à l évoluion LOCALE de la rajecoire au poin de repos. Il s agi de prévoir l évoluion asympoique de la rajecoire auour du poin de repos. Reprenons le sysème précéden décri par : 3 x + α. x + x Posons x x e x x e écrivons le nouveau sysème d équaion x x x α x x 3, ce sysème s écri sous forme Maricielle : x A. + f, avec x Les poins de repos son définis par x e x. Calculé précédemmen paragraphe.3 on rouve selon la valeur du paramère α, les poins suivans x, x,, α,, α, La forme maricielle du sysème linéarisé auour d un poin de repos s écri : A. L La déerminaion des valeurs propres de A condiionnen l évoluion du sysème auour du poin de repos. En effe, soien λ e λ, les valeurs propres de A, plusieurs cas se présenen selon le signe du discriminan de l équaion caracérisique associée au calcul des valeurs propres. Supposons que le discriminan soi non nul, il exise deux valeurs propres disinces évenuellemen complexes. La marice es diagonalisable déerminan de A non nul, il exise alors une marice symérique inversible P elle que : D L P - MP Marice équivalene On se ramène alors à la résoluion du sysème suivan par changemen de base: Y λ D. LY Y > λ y y λ λ y y, λ e λ réels ou complexes conjugués La résoluion donne y y K e K λ λ e dans le plan associé aux veceurs propres U,U 6

7 Par l équaion d équivalence, on exprime en foncion de P e Y. Cas : Le discriminan es posiif e les valeurs propres son négaives Le déerminan éan posiif, les valeurs propres son réelles. On suppose que les valeurs propres son à coefficiens négaifs, alors y e y enden vers donc end vers. le sysème es sable e la rajecoire end vers le poin de repos linéarisaion auour du poin de repos. On parle de nœud sable. Cas : Le discriminan es posiif, une valeur propre es négaive soi λ e l aure posiive. La première équaion dans le plan U,U converge vers y quand ->, la seconde diverge. On parle de col par définiion un col es insable. 7

8 Cas 3 : Le discriminan es posiif e les valeurs propres son posiives Les rajecoires on mêmes allures que dans le cas, mais les équaions divergen. On parle de nœud insable. Cas 4 : Le discriminan es négaif, les racines son des imaginaires pures 8

9 Cas 5 : Le discriminan es négaif, les racines son imaginaires conjugués. Si la parie réelle es négaive, le sysème subi un froemen. Les rajecoires son des spirales convergenes vers l origine. On obien un foyer sable. Dans le cas où les paries réelles son posiives, les rajecoires formen des spirales divergenes. On obien un foyer insable. I.5 Inerpréaions Comme on peu le consaer, la mise en équaion de sysèmes non linéaires apporen des modificaions sur l évoluion de la des sories du sysème qui ne peuven êre pris en compe par les sysèmes linéaires. Pour asservir de els sysèmes, il es bien enendu nécessaire de prendre en compe ces phénomènes non linéaires. Nous présenerons dans un premier emps deux méhodes classiques pour analyser l évoluion d un sysème asservi à parir d hypohèses limiarices. La première méhode, appelée Méhode du premier harmonique perme de prévoir approximaivemen cerains comporemen non linéaires e se conene de déerminer le cycle limie ampliude e fréquence. L avanage de cee méhode es la possibilié d uiliser les méhodes fréquenielles classiques. La méhode du plan de phase es une méhode emporelle limiée aux sysèmes d ordre. Oure sa simplicié, l inérê de présener cee méhode es d inroduire des noions plan de phase relaive à l éude de ou sysème non linéaire. Nous inroduirons ensuie la noion de sabilié. Cee noion de sabilié es primordiale pour asservir des sysèmes en prenan en compe des erreurs de modélisaions. Cela perme d esimer globalemen le foncionnemen du sysème asservi sans avoir à déerminer les rajecoires. 9

10 Pour erminer l illusraion des phénomènes non linéaires, nous allons imaginer un exemple basé sur le mouvemen oscillaoire d un pendule. Expérience : Imaginons un exemple simple el que le mouvemen d'un pendule. Ce dernier es modélisé par un sysème non linéaire de par la foncion sinus à deux variables la posiion e la viesse angulaire permean de décrire son mouvemen d oscillaion régulier sans froemen, le mouvemen du pendule es périodique non amori, avec froemen le mouvemen es amori e revien à son éa sable. Le pendule présene poins de repos pour lesquels la viesse angulaire es nulle, un insable e un sable. Inroducion au chaos : Expérience : Supposons mainenan qu une commande exerne lui appore de l Energie vers une rajecoire perpendiculaire au mouvemen iniial. A ire d exemple, un aiman posiionné devan ou derrière le pendule cf. schéma. La modélisaion doi prendre en compe ce appor d énergie. Si, l énergie apporée es non linéaire la force d aracion dépend de la disance du pendule par rappor à l aiman, on peu ainsi imaginer soi un mouvemen cyclique du pendule dans un plan ou un mouvemen désordonné qu on appellera chaoique. En regardan la rajecoire du pendule en 3D, on peu s apercevoir que d une oscillaion à une aure, le pendule n'effecue jamais deux fois le même raje dans l'espace. De plus, si on recommence l expérience en modifian rès légèremen une condiion iniiale soi la posiion ou la viesse angulaire iniiale ou la posiion de l aiman, e qu on compare la nouvelle rajecoire du pendule par rappor à celle racée précédemmen, on s aperçoi que les deux rajecoires diffèren oalemen : à un insan donné, les deux pendules son à des posiions différenes, e en prenan deux insans différens pour lesquels les deux pendules son à la même posiion, il es impossible de prédire la posiion fuure de la deuxième expérience en connaissan l évoluion de la première expérience. On di que le sysème es Sensible au Condiions Iniiales SCI. C es une caracérisique essenielle des sysèmes chaoiques. L aure caracérisique es une rajecoire récurrene. Cependan, le mouvemen du pendule, bien que chaoique, n'es pas aléaoire car il peu êre décri par des équaions plus ou moins simples e déerminises.

11 Exercice : Soi l, la longueur de la corde non élasique, e m la masse de la bille. Soi θ, l angle de la corde par rappor à la vericale.. Idenifier les forces agissan sur la bille. On suppose que la bille es soumise à une force de froemen, proporionnelle à la viesse de la bille par un faceur de froemen k.. Ecrire les équaions différenielles régissan l éa de la bille à parir du premier principe de la dynamique ma. F, a es l accéléraion, F les forces agissan 3. On va noer x θ e x θ Trouver les poins d équilibres x x. II Premières méhodes de résoluion d un sysème non linéaire : Esimaion des rajecoires L éude d un sysème qu il soi d ordre mécanique, élecronique, ou aure, nécessie une première approche mahémaique consisan à modéliser le sysème pour un mode de foncionnemen donné. Il exise deux grandes familles d analyse de la rajecoire - Méhodes fréquenielles : Méhode du premier harmonique - Méhodes emporelles : Méhodes graphique du plan de phase II. Méhode du premier harmonique II.. Principe e NL s ee M sinω ss +s.sinω +ϕ + +s.sinω +ϕ +

12 La méhode du premier harmonique s applique si - s consane - s, s 3, s n << s ou que les élémens blocs suivan la NL filren correcemen la sorie de la NL. HYPOTHESES : H : On considère uniquemen les sysèmes asservis possédan un élémen non linéaire dans la chaîne d asservissemen. H : L élémen non linéaire es invarian dans le emps H3 : Les paries linéaires dans la chaîne d asservissemen son sables e se comporen comme des filres passe bas. II.. Foncion de Transfer La méhode du premier harmonique ne peu s appliquer que si la non linéarié es séparable : fjω, E M GE M.Hjω, Hjω es un bloc linéaire. Ejω Hjω Filre Passe bas Sjω GE M Ljω II..3 Cas des sysèmes asservis Non Linéaires jω Ljω Sjω GE M - Ecrivez l équaion S jω jω

13 Condiion de sabilié Equaion caracérisique : + GE M.Ljω > L jω G E M Dans le cas linéaire, l éude se faisai auour de -. Dans le cas non linéaire, l éude de la sabilié se fera vis-à-vis du lieu criique qui es le lieu des poins complexes donnés par. On va nommer E G E M MA e f MA, l ampliude e la fréquence d oscillaion si la condiion de Barkhaussen es vérifiée. Eude des différens cas La sabilié es condiionnée par la posiion relaive des différens lieux Ljω e G E M. a Pas d inersecion Si les hypohèses permean l applicaion de la méhode harmonique son vérifiées, le sysème sera oujours sable en BF. b Une inersecion Im Re E MA E M Ljω -/GE M E M Si l ampliude à la sorie de la NL E M <E MA, alors le sysème es insable crière du revers. Si l ampliude à la sorie de la NL E M >E MA, alors le sysème es sable crière du revers. Rappel du crière du revers : Un Sysème Asservi es sable si en parcouran le lieu de Nyquis pour les ω croissans, on laisse le poin - à gauche. 3

14 Définiion : L auo-oscillaion du poin A E MA, ω A es sable si en parcouran le lieu de ransfer linéaire Ljω au voisinage du poin A dans le sens des ω croissans, on laisse à gauche le lieu -/GE M dans le sens des E M croissans. c Plusieurs inersecions On applique la définiion précédene. II..4 Calcul du gain équivalen au premier harmonique On suppose le sysème non linéaire suivan : -E E Gain Eape : Tracer GE M fe M Eape : Tracer -/GE M dans le plan complexe Eape 3 : Vérifier la sabilié. Exemple A parir du sysème NL précéden, appliquer un signal sinusoïdale d ampliude E M à l enrée du bloc NL e calcul la série de Fourier du signal résulan. Soi b, l ampliude de la fondamenale, le gain équivalen es : GE M b /E M. Exemple Soi le sysème non linéaire Plus ou Moins avec hyseresis suivi d un filre du 3 ème ordre 3. + τ p 4

15 NL : -a a - Exercice : Eudier la sabilié du sysème précéden. II. Méhode du plan de phase Cee méhode graphique es rigoureuse mais ne s applique qu au sysème du deuxième ordre e es limiée aux enrées nulles ou consanes. d s d ds F s, d II.. Principe Pour l analyse des sysèmes non linéaires, on recour souven à des représenaions dans l'espace des phases. Il s'agi d'un espace mulidimensionnel don les coordonnées son les variables du sysème. Généralemen, on considère la variable e sa dérivée, elles que la posiion e la viesse angulaire d un pendule ou dans le cadre d un sysème d équaions linéaires d ordre à inconnue x, on choisira l espace des phases représené par x, y x, on pourra se référer à la représenaion du sysème présené en inroducion. A plus de rois dimensions il faudra recourir à une projecion de ce espace sur une surface, par exemple. Ainsi, le porrai de phase es considéré comme une vériable signaure de la dynamique du sysème. De par l inérê suscié par une elle représenaion, des méhodes graphiques basées sur le concep de résoluion numérique on éé développées pour apporer quelques informaions sur la résoluion d une équaion différenielle. Cee résoluion perme ceres d observer la rajecoire de la soluion dans le emps, en foncion des condiions iniiales lorsque la résoluion numérique s avère fasidieuse, mais elle es surou uilisée pour représener le porrai de phase. 5

16 II.. Résoluion par la méhode graphique La première méhode graphique applicable dans le cas d équaion du premier ordre es la méhode des isoclines. Cee méhode consise, à parir d une condiion iniiale, à racer la réponse du sysème à parir de la angene en chaque poin. Ainsi, en paran de l équaion différenielle dx f x, d on race un ensemble de courbes de pene m : dx d m, ce qui revien à résoudre une équaion non linéaire fx,m. La connaissance de la pene e du poin iniial perme de racer un segmen représenan l évoluion du sysème. L ensemble des poins x, défini par fx,m représene une isocline. II..3 Equaion du deuxième ordre La méhode des isoclines n es adapée qu au sysème du premier ordre. Dans le cas ou l ordre de l équaion différenielle es supérieur, on décompose le sysème d ordre n à n sysème d ordre. Cependan, une elle méhode se résou difficilemen par un manque d informaion à l éa iniial. Il exise néanmoins une soluion de ype isocline pour les équaions du second ordre, lorsque l équaion es auonome e peu ainsi se ramener à un sysème du premier ordre, c es à dire : Mise en équaion d x dx + f, x d d On pose y dy d + dx d f y, x, si y> alors x croi, si y es négaif, y décroi L éude de la rajecoire va nous renseigner sur l allure de l évoluion de la variable x. Le racé de la rajecoire va êre facilié en recherchan : - poins singuliers - Isoclines Rappel : Poins singuliers son les poins d équilibre sables ou insable du sysème. Ils son définis par : dx dy d d 6

17 Méhode des isoclines Les isoclines von nous permere de préciser le racé de la rajecoire au voisinage des poins pariculiers. Isocline : Tracé de l ensemble des poins pariculiers pour lesquels λ dy dx cse II..4 Exemple Cas d un second ordre linéaire Soi le sysème suivan : x + m. ω x + ω. x On se ramène à : y dy d dx d m. ω y ω. x Les poins singuliers son : x y On calcule les isoclines par dy dy d dx dy λ. soi λ.. dx d dx d d On peu donc écrire : λ. y m. ω y. x, soi : ω. y ω m. ω. x + λ Si ω e m,5,. y x + λ alors, Si λ, y, si λ y-x/, Le racé es le suivan 7

18 Cas d un second ordre linéaire e ε u s Choix variable En général, on pose xs En praique, on pose pour un sysème à reour uniaire à enrée nulle xε, ydε/d Calcul du racé Droie de commuaion e racé ydε/d ε De par la foncion linéaire, on peu écrire : ε A dε d ε donc p + τ p ε Au soi + τ + u p + τ p Au Le sysème s écri alors : y dy d dx d τ d [ y + Au. ] d 8

19 On suppose A, e τ. Cas : ε>, u+ Pas de poin singulier Isocline y-/+λ Cas : ε<, u- Pas de poin singulier Isocline y/+λ II.3 Conclusion Les méhodes graphiques s appliquen direcemen aux équaions du premier ordre e à celles du second ordre qui peuven se ramener au premier ordre. Ces méhodes peuven êre uilisées pour des équaions d ordre supérieure, à condiion quelles soien réducibles à un sysème d équaions simulanées d ordre un ou deux. Maines méhodes graphiques on éé proposées pour résoudre des ypes pariculiers d équaions e les procédés que nous avons exposés ne représenen que les plus généraux. Tous les processus graphiques reposen sur le principe du pas à pas. Le nombre d éapes nécessaires à l obenion de la soluion dépend de la grandeur des accroissemens uilisés. En général, il faudra prendre les pas assez peis pour que les variaions correspondanes soien faibles. Des accroissemens rès peis nécessieron un graphique de grande dimension. De plus, la précision finale sera faible car les peies erreurs enden à s accumuler. Quand il n es pas nécessaire de procéder à un grand nombre d éapes e lorsque l on n a pas besoin d un hau degré de précision, les procédés graphiques conduisen à la soluion de façon relaivemen simple e rapide. Ils son pariculièremen uiles pour l amorçage de la soluion d un problème nouveau, don ils permeen de déerminer assez vie les élémens qualiaifs. 9

20 III Sabilié des sysèmes non linéaires asservis III.Modèle d idenificaion Jusqu à présen, nous avons présené des ouils d analyse de la rajecoire de sysème à parir de l écriure mahémaique de celui-ci. Les modèles présenés on éé obenus à parir de lois physique élémenaires. Or, cerains sysèmes ne peuven êre enièremen décris par des lois de la physique. Si des mesures expérimenales peuven êre réalisées, on peu alors déerminer la srucure d un modèle à parir de lois physiques parielles ou uniquemen à parir des mesures e définir les paramères du modèle à parir des campagnes de mesures. On rouve généralemen deux ypes de modèles : Modèle pour la commande : L objecif éan de définir une loi de commande pour opimiser le sysème, on cherche alors un consruire un modèle simple représenaif du sysème. Les imperfecions du modèle seron validées lors de la phase de robusesse. Modèle de simulaion, défini pour reproduire le plus précisémen possible le comporemen du sysème. La srucure du modèle sera plus complexe que le modèle pour la commande. La srucure peu êre imposée par les lois de la physiques exemple : Modèle fracionnaire pour la µ-analyse, Dans les deux cas, la première éape consise à définir le nombre de paramères minimum inervenan dans le modèle e de définir des lois de sorie le plus simple possible idéalemen linéaire en foncion du jeu rédui de paramères. La méhode LP uilise des echniques de régressions linéaires pour esimer un modèle linéaire en foncion des paramères on pourra évenuellemen augmener le nombre de paramères pour améliorer le modèle, sachan que la simplicié es obenue par un modèle linéaire Si le modèle linéaire n es pas assez représenaif du sysème ou si le nombre de paramères es rop élevé, on va esimer un modèle non linéaire non LP. Dans le cas ou le nombre de paramère es rop élevé, on choisi une lise de signaux d enrées e on déermine un crière d erreur, via un algorihme d opimisaion programmaion non linéaire à parir de l écar enre les mesures expérimenales e le modèle. Lorsqu on déermine un modèle, il es nécessaire ensuie de valider son niveau de fiabilié : les approximaions enraînen des erreurs e on cherche à définir la sabilié e la robusesse du sysème. On défini en règle générale la sabilié du poin singulier cf. inroducion. Mais, on s inéresse en fai d avanage à l éa d équilibre d un sysème, c'es-à-dire à l éude des rajecoires du sysème pour varian dans le emps, prenan en compe les inceriudes du modèle e des perurbaions. On ne cherche pas à calculer expliciemen les rajecoires, mais de démonrer que les rajecoires son bornées. Ce concep es issu de la héorie de la sabilié au sens de Lyapunov.

21 III.Noions de Sabilié : Commande Robuse La commande robuse repose en grande parie sur la srucure de commande à conre-réacion feedback conrol sysems e sur les modèles linéaires emps invarian LTI des sysèmes dynamiques. On défini une srucure de commande basée sur l erreur enre l informaion collecée par un ensemble de capeur y e les signaux de références souhaiés. Les différences exisanes son raiées par le sysème de commande afin d élaborer un signal de commande u affecan le sysème. Commande H J.C. Doyle a proposé une formulaion générale de synhèse des sysèmes de commande à conreréacion P es le modèle généralisé du sysème dynamique e K le correceur. P es un sysème linéaire mulivariables avec deux ypes de signaux d enrées : Commande u e de sorie y Performance ou inceriude, d enrée v e de sorie z On noe P BF s, le sysème en Boucle Fermée. L algorihme de Glover-Doyle perme de synhéiser un correceur linéaire Ks de manière à minimiser la norme H du ransfer P BF s. On noe γ, l indice de performance, on impose P BF s <γ. L algorihme LMI peu êre uilisé en lieu e place de l algorihme de Glover-Doyle. Les coefficiens de modèles physiques exrais de mesures expérimenales son empreins d erreurs. De plus, des phénomènes exrinsèques ou inrinsèques au modèle non pris en compe modifien le comporemen du sysème e ajoue un degré d inceriude au modèle. On inrodui alors un sysème d inceriude

22 Le modèle incerain e sa srucure éan fixés, l objecif principal de la srucure de commande es d assurer la sabilié de la boucle fermée ainsi qu un cerain degré de performance pour l ensemble des réalisaions possibles du modèle incerain. Il s agi donc de réduire la sensibilié de la srucure de commande en présence des variaions paramériques e d évenuelles perurbaions affecan le modèle du sysème à commander. Le héorème du pei gain perme d affirmer que le sysème présené ci-dessus es sable pour oue inceriude vérifian Δs </γ. C es pour cee propriéé que la commande es qualifiée de robuse. III.. Sabilié srucurelle Ainsi, les soluions mahémaiques des modèles non linéaires son souven rès approchées. La sabilié srucurelle es la propriéé d un sysème physique el que son comporemen qualiaif rese inchangé si les coefficiens des équaions son soumis à des peies variaions. En raison de l inceriude inhérene à la relaion de soluions mahémaiques à des sysèmes physiques, il es souven bon d imposer aux sysèmes des condiions elles qu ils possèden la propriéé de sabilié srucurelle. III.. Sabilié dynamique Un sysème physique peu êre représené par un ensemble d équaions différenielles simulanées de la forme : x x n f f x, x,, x n x, x,, x n x f x, x,, x n n

23 le emps éan la variable indépendane, x, x,, x n les variables dépendanes e f,f,,f n, des foncions, en général non linéaires des variables dépendanes appelées veceur de champ. Le poin d équilibre ou singulier se radui par l annulaion de oues les dérivées. Un sysème linéaire pour lequel le déerminan A es non nul condui à un seul poin d équilibre, caracérisé par l annulaion de oues les variables dépendanes. Un sysème non linéaire inrodui des foncions f,f,,f n, qui ne son pas linéaires e les condiions d équilibres peuven êre aeines pour des valeurs de x, x,, x n qui ne son pas nulles. Pour éudier la sabilié d un sysème au voisinage de l une de ses posiions d équilibre, on provoque une légère perurbaion en faisan varier les x à parir de ces valeurs d équilibres. Si lorsque croi indéfinimen, les x reviennen à celles-ci, on di que le sysème es asympoiquemen sable, sinon il es dynamiquemen insable. Dans quelques cas pariculiers, les x ne reournen pas vers leur posiion d équilibre, mais ne s en écaren pas davanage. On di que le sysème à une sabilié neure ou emporaire. III..3 Noions d Invarian Un ensemble invarian M, pour un sysème dynamique x f x es défini comme un ensemble de condiions iniiales els que la soluion χ, rese dans l ensemble M pour ou. x O Un sysème non linéaire peu donc êre considéré comme insable localemen mais globalemen sable dans le sens ou les rajecoires son conenues dans une Boule fermée Invarian pour un ensemble de condiions iniiales. III.3Sabilié pour les sysèmes non linéaires Dans le paragraphe précéden, nous nous préoccupions de la sabilié de la réponse auour d un seul poin d équilibre. Il s agi d une éude locale. Dans le cas non linéaire, l exisence de plusieurs poins d équilibres modifie les condiions de sabilié du sysème. Si de nombreuses règles exisen dans le cas de sysème linéaire, il n es pas possible de donner de définiion générale de la sabilié qui ai un sens dans ous les cas pour les sysèmes non linéaires. On peu néanmoins définir rois méhodes principales : Deux éudes locales basée sur la linéarisaion du sysème auour du poin d équilibre ou d un poin de la rajecoire projeée sur un plan la héorie de Floque, e une méhode globale : la héorie de Lyapunov basée auour d un poin d équilibre sur la foncion non linéaire. Nous exposons rapidemen le principe des deux premières dans les paragraphes suivans. L éude locale perme de prédire le comporemen de la rajecoire auour d un poin d équilibre, mais ne donne aucune informaion sur la rajecoire en elle-même. A ire d exemple, les sysèmes chaoiques présenen des insabiliés locales auours de plusieurs poins singuliers mais la rajecoire au cours du emps, rese confinée dans une boucle fermée c'es-à-dire es bornée, s il n y a pas de bifurcaion. 3

24 Nous allons dans un premier emps définir différens ypes d équilibre en supposan le sysème décri par son modèle d éa : x f x, u, x représene l éa du sysème e u l enrée. On suppose que le sysème possède un poin singulier x, u III.3. Equilibre sable L équilibre x, u es un équilibre sable du sysème si ε >, α >, x x < α x, x, u x < ε Dans le cas conraire, x e es di insable. Inerpréaion : On souhaie caracériser le fai que la rajecoire x rese proche du poin d équilibre x pour ou > lorsque l enrée u u es consane. Pour cela, on inrodui la noion de norme e l on impose les soluions de x à l inérieur d une boule opologique de rayon ε auour de x. RMQ : Cela n implique pas que les rajecoires convergen vers le poin d équilibre. Sabilié asympoique: L éa d équilibre, noée x es di asympoiquemen sable s il es sable e si α >, x x < α lim x x On peu donc représener la sabilié de la manière suivane 4

25 RMQ : Dans ce cas, les rajecoires convergen vers le poin d équilibre. III.3. Equilibre araceur L équilibre x, u es un équilibre araceur du sysème si δ >, el que x x < δ lim x, x, u x Un équilibre araceur es donc un poin vers lequel convergen les soluions x si elles démarren suffisammen près de x. RMQ : Sabilié e aracivié son deux noions différenes qui ne s impliquen pas muuellemen. Touefois, l équilibre es asympoiquemen sable s il es sable e araceur. Araceur Un araceur es un ensemble compac de l espace des phases, invarian par le flo ou par l applicaion vers lequel oues les rajecoires environnanes convergen. Différens ypes d araceurs : - Poin fixe - Cycle limie 5

26 - Tore - Araceurs éranges chaos Bassin d aracion : Correspond à l ensemble des poins don les rajecoires convergen vers l araceur. III.3.3 Sabilié d une rajecoire Dans cerains cas, les sysèmes n admeen pas de poins d équilibre, ou alors le poin d équilibre n es pas sable. Pour auan, les rajecoires ne divergen pas. Divers cas peuven se produire : - Le sysème adme un domaine sable : il exise un domaine de condiions iniiales bassin d aracion el que oues les rajecoires resen comprises à l inérieur du domaine sable - Le sysème adme un domaine aracif : il exise un domaine de condiions iniiales el que oues les rajecoires son comprises dans le domaine aracif au bou d un cerain emps - Le sysème adme une rajecoire sable. La sabilié d une rajecoire peu êre démonrée par l applicaion du deuxième héorème de Lyapunov. III.3.4 Analyse de la sabilié par Linéarisaion Méhode Locale : Les sysèmes non linéaires présene des pseudo-périodiciés que l on peu chercher à esimer. La méhode de linéarisaion perme d approximer une périodicié de l évoluion de la rajecoire. Le principe de cee méhode repose, comme son nom l indique, sur la linéarisaion du sysème non linéaire décri auour du poin d équilibre. Pour cela, on décompose le sysème la foncion Veceur de Champ selon la formule de Taylor auour de chaque poin d équilibre. On se ramène ainsi au sysème précéden, en décrivan les rajecoires de phases auour des poins d équilibre. ~ On suppose une perurbaion auour d un poin d équilibre e : e + La linéarisaion du Veceur champs donne : ~ F e + J F 6

27 F F F n F F F J r n F n Fn Fn n Ean donné qu à l équilibre e Fe, cela revien à résoudre : ~ ~ J F Le calcul des valeurs propres perme de déduire de la sabilié des rajecoires vis-à-vis de peies perurbaions auour du poin d équilibre. Perurbaion infiniésimale : Méhode de Poincaré Lindsed L idée es d écrire la soluion périodique de la rajecoire du sysème sous la forme d un développemen en série de ε. Si l on souhaie éudier les perurbaions infiniésimales, on éudie ~ l évoluion de la rajecoire e + ε en puissance croissane de ε. A ire d exemple, on choisi un pui à deux poeniel défini par l équaion : fqq-q 3. - Poins d équilibre q ±. - Changemen de variable uq + - > fu-u-3u -u 3. - Oscillaion obenu par le erme linéaire en u : fu-u condui à. Il suffi de rouver les valeurs propres de la marice A avec u,du/d - Méhode de Poincaré Lindsed : Non linéarié en u comme perurbaion : du / d u du / d u 3ε u - E nous cherchons une soluion de le forme u u + ε u + ε u +... Pour ce faire on faire correspondre les ordre de ε à différens ordres : o DL Ordre : u A cos ω o DL Ordre : du / d u. du / d u 3ε A cos ω A On décompose A cos ω [ + cosω ] On décompose u en deux parie u e u correspondan respecivemen au fréquence e ω Ceci donne u 3A / 4 A / 4 cos u ω - Non linéarié en u 3 comme perurbaion du / d u 3 du / d u ε u o Ordre : soluion linéaire o Ordre : Conribuion à ω e 3ω. Or à ω condui à un erme en sin 3ω, l ampliude augmene avec le emps, incompaible avec hypo pour laquelle la 7

28 fréquence du mouvemen resai inchangée > Evoluion de la période d oscillaion. - Comme le période change égalemen nous posons : ω ω + ε ω + ε ω +... e on cherche soluion sous forme y ω. On cherche la soluion sous forme de la foncion y : du / dy v 3 ω dv / dy u ε u o Ordre. Idem o Ordre 3 ω dv / dy u u avec u A cos ω e d v / dy ω + ε ω +... d u + ε u +... e ω ω / dy condui à ω u + ω ω u On choisi ω pour faire disparaîre la composane en cos ω o qui inervien dans le erme cubique de 3 u Cee éude nous perme de connaîre la rajecoire localemen aux poins réguliers. Nous allons mainenan éudier la sabilié locale d une rajecoire périodique par la héorie de Floque. III.3.5 Théorie de Floque : Muliplicaeurs caracérisiques Les muliplicaeurs caracérisiques encore appelés muliplicaeurs de Floque permeen de déerminer la sabilié d'une soluion périodique. Ils son une généralisaion des valeurs propres uilisées pour éudier la sabilié des poins fixes. Une soluion périodique es une orbie d'ordre k dans l'espace des phases e correspond à k poins fixes sur une secion de Poincaré. Une secion de Poincaré peu, en première approche, se résumer à l éude d un hyperplan en général on ramène la rajecoire d une courbe à un plan en fixan un paramère, ou en projean l évoluion emporelle de la rajecoire à un plan qui coupe ransversalemen la rajecoire, comme le monre la figure ci-conre. Secion de Poincaré 8

29 En régime éabli, on suppose une peie perurbaion au voisinage de e, l un des poins d inersecion de la rajecoire avec la secion de Poincaré. ~ La soluion du sysème s écri : e +. Comme dans le cas de la sabilié du poin fixe, le comporemen de au voisinage de e es éudié en linéarisan P Projecion de la rajecoire sur la secion de Poincaré auour de e. La ~ ~ J foncion linéarisée P devien : k + p e k Avec J la marice Jacobienne de P auour de e. L éude des valeurs propres e veceurs propres comme précédemmen déermine la sabilié de la projecion de la rajecoire sur la secion de Poincaré auour de e. On parle alors de sabilié locale. Les valeurs propres déerminen la sabilié son appelées les muliplicaeurs de Floque. Dans le cas d'un sysème auonome, les muliplicaeurs caracérisiques son indépendans de la posiion de la secion de Poincaré Σ. Par conre, les veceurs propres associés à ces muliplicaeurs caracérisiques dépenden de la posiion de Σ dans l'espace des phases. Des méhodes numériques on égalemen éé développées pour déerminer les poins de rajecoire sur la secion de Poincaré. Deux méhodes son pariculièremen uilisées, la méhode de Hénon e la méhode de KAM. La méhode de Hénon es une méhode numérique qui perme de déerminer l inersecion de la rajecoire de la caracérisique non linéaire avec l hyperplan de Poincaré. Une approche globale doi néanmoins êre réalisée pour vérifier que la rajecoire ne end pas vers l infini. Cee approche sera réalisée par le héorème de Lyapunov. III.3.6 Théorie de Lyapunov Noe : Les noions abordées dans le cours de Commande Robuse seron inroduies sans rappel Première approche : Un sysème physique es sable s il revien vers un éa d équilibre. Supposons un sysème mécanique elle la chue d une bille, l énergie mécanique de la bille es égal à l Energie cinéique e l énergie poenielle. Le poin d Energie mécanique nul es le poin d équilibre. 9

30 La héorie de Lyapunov peu êre assez simplemen inerpréée en mécanique au sens où son énergie oale es complèemen dissipée. Ainsi, le mouvemen d une bille aein un éa sable si la variaion d énergie mécanique EmVx décroi x représene la posiion de la bille, c'es-àdire si V x < On inrodui ainsi le concep de foncion de Lyapunov. Foncion candidae de Lyapunov : Soi V : R n -> R +, une foncion elle que i V es coninûmen différeniable en ous ses argumens ii V es définie posiive iii Il exise a e b deux foncions scalaire de R + dans R +, coninues, monoones non décroissanes, elles que :. ab a x V x b x. x R n, V défini des équipoenielles de Lyapunov, Vxcse, qui définissen des domaines connexes auour de l origine. V x es la dérivée de Vx le long de la rajecoire de x f x, u Principe : Dans le cas d un sysème non linéaire, l éude de la sabilié s effecue par la recherche d un gradien du sysème auour d un poin de repos pour lequel l éude du sysème revien à rouver les minima locaux de la foncion de gradien aussi nommé poeniel. Dans ce cas, il n es pas nécessaire de linéariser. Avanages Eude de la sabilié par l examen oale de la foncion d énergie Ne nécessie ni la soluion de l équaion d éa, ni la connaissance des pôles du sysème. Seconde méhode de Lyapunov, méhode direce Sabilié au poin d équilibre La héorie de Lyapunov consise à rouver une foncion scalaire foncion de poeniel G définie posiive qui es décroissane le long des rajecoires du sysème ce qui perme de définir la sabilié dans un domaine auour du poin d équilibre. dg dx dx d 3

31 alors le sysème es sable avec dx f x, asympoiquemen sable si sricemen d négaif. Noe : dans le cas monovariable, dg/d es donc définie négaive puisque dg dg dx f x,. d dx d Il s agi d une condiion suffisane car on ne connaî pas l exisence a priori d une elle foncion de poenielle G. Une foncion de LYAPUNOV candidae es une foncion définie posiive don on ese la décroissance auour du poin d'équilibre. Si dg/d<, la sabilié es asympoique, si dg/d, le sysème évolue dans un invarian héorème de LaSalle La foncion de Lyapunov quadraique es définie par : Vxx T Px Sabilié locale Si il exise une foncion scalaire de l éa Vx don les dérivées parielles premières son coninues e elles que ; - V es une foncion candidae de Lyapunov - V es localemen semi-définie négaive dans un voisinage de l origine Ω alors le poin d équilibre es sable e un domaine de condiions iniiales sables es délimié par n impore quelle équipoenielle de Lyapunov conenue dans Ω. Asympoiquemen sable au poin d équilibre: Le sysème Lyapunov A es asympoiquemen sable ssi QQT, P > soluion de l équaion de A T P+PA+Q 3

32 Exemple d applicaion Soien 3 A e Q. On doi résoudre : p 3p 3p 3p 6 p 3p 4 p 3 d où la soluion P Inconvénien Le problème majeur de cee méhode es de rouver la foncion de Lyapunov pour le sysème. Dans le cas non linéaire, il n exise pas de méhode sysémaique pour choisir une foncion de Lyapunov. III.3.7 Démarche à suivre pour éudier la sabilié Pour résumer, la demarche à suivre pour éudier la sabilié d un sysème se decompose en 4 éapes : - Trouver les poins d équilibres du sysème en résolvan fx - Linéariser le sysème auour des poins d équilibre pour valider la sabilié, l insabilié du poin d équilibre en se référan aux valeurs propres cf. p6 e p7 3- Choisir une foncion candidae de Lyapunov V e en posan le changemen de variable xˆ x x éudier le domaine de sabilié/insabilié par la deuxième méhode de Lyapunov 4- Si les résulas ne son pas concluan, choisir une aure foncion candidae de Lyapunov. IV Sysème chaoique Un sysème non linéaire peu avoir un comporemen en régime permanen plus complexe que ceux habiuellemen réperoriés els que l équilibre, les oscillaions périodiques... noammen lorsque le degré de liberé dimension du veceur d éa es supérieur ou égal à 3. Dans ce cas, la sorie du sysème es exrêmemen sensible aux condiions iniiales, d où la non prévisibilié de la sorie. Cerains comporemens chaoiques fon ainsi apparaîre un aspec aléaoire malgré leur naure déerminise inrinsèque. 3

33 Pour rappel, on appelle sysème chaoique, un sysème déerminise don la sensibilié aux condiions exérieures SCI rend l évoluion du sysème incerain. Nous savons que les sysèmes non linéaires son moins dépendans des condiions iniiales, cependan pour une région donnée bassin d araceur, le sysème évolue égalemen vers une soluion unique poin, cercle limie. Cee soluion s'appelle un araceur. Une fois que le sysème se rouve sur son araceur don la dimension es plus peie que la dimension de l'espace des phases, il y rese confiné. On défini égalemen le bassin d aracion comme éan l ensemble des condiions iniiales pour lesquelles la rajecoire associée au veceur de champ condui oujours vers le même araceur. De plus, dans le cas d un sysème chaoique, la modificaion des paramères de conrôle perme de modifier la rajecoire pour évoluer d un araceur à un aure araceur. La rajecoire es ainsi déerminée par le comporemen non linéaire du sysème mais es commandée par la modificaion des paramères de conrôle du sysème. On parle de roue vers le chaos. IV. Sysème chaoique Un sysème di chaoique es un sysème déerminise mais don la sorie semble aléaoire e qui es rès sensible aux condiions iniiales. Pour êre chaoique, le sysème doi êre au minimum d ordre 3 3 éas e la sommaion des valeurs propres sur oue la rajecoire du sysème doi conduire à deux valeurs propres négaives e une valeur propre posiive. L évoluion de la rajecoire passe donc par un éa d expansion puis de réracion. De par une non linéarié acive, ou se passe comme si le sysème revenan vers un éa sable, reçoi une quanié d énergie avan d êre de nouveau dissipaif. L exemple suivan es issu d un sysème RLC avec une résisance non linéaire négaive générée par un NIC Négaive Impedance Converor basée sur deux amplificaeurs opéraionnels. La résisance négaive éan consruie par le généraeur NIC présené sur le graphe ci-dessous. 33

34 Ve I_P robe I_NL R R4 R kohm R R R Ohm OpAmp AMP VE E -9 V VCC9 V R R6 R3.3 kohm OpAmp AMP VE E -9 V VCC9 V R R3 R. kohm R R5 R kohm R R R Ohm Nous générons ainsi un circui RLC mais au lieu d êre dissipaifs effe Joule via une résisance R, le sysème es enreenu par un appor d énergie via la résisance négaive e les Aop. Les équaions du sysème de Chua s écriven : dv d dv d dil d v v C R v v C R v L + L f v i R i 3 La courbe obenue dans le plan de phase es la suivane Z 34

35 En représenan l évoluion d un éa au cours du emps, nous obenons la courbe suivane Il es ainsi rès difficile de prédire la rajecoire à un insan. D ailleurs, une caracérisique essenielle des sysèmes chaoiques es le degré d imprévisibilié du sysème : Même si deux condiions iniiales son simplemen voisines, la disance séparan les deux rajecoires dans l espace des phases évolue rès différemmen d une rajecoire à une aure e rès «rapidemen» les rajecoires se rouven décorellées. Le calcul des exposans de Lyapunov perme de quanifier la viesse de décoréllaion enre deux rajecoires issues de deux condiions iniiales rès proches, par la mesure du paramère λ de divergence exponenielle. IV.. Exposan de Lyapunov : approche de la héorie du chaos Cerains sysèmes dynamiques sysèmes qui décriven dans l'espace un éa qui évolue dans le emps son rès sensibles aux peies variaions de leur condiion iniiale SCI. Ces variaions peuven rapidemen prendre d'énormes proporions. Le mahémaicien russe Alexander Lyapunov s'es penché sur ce phénomène e a développé une quanié permean de mesurer la viesse à laquelle ces peies variaions peuven s'amplifier. Cee quanié appelée "exposan de Lyapunov" mesure en fai le degré de sensibilié d'un sysème dynamique. Considérons un sysème dynamique quelconque don la condiion iniiale x es affecée d'une erreur infiniésimale E. Après n iéraions, l'erreur iniiale E sera donc amplifiée d'un faceur E n E à.. Noons que l'erreur diminue lorsque le faceur es inférieur à e augmene s'il es supérieur 35

36 Puisque E E E E E, il suffi alors de calculer ce produi pour déerminer la façon n n n En En E don s'amplifie l'erreur iniiale. Malheureusemen, calculer un rès grand nombre de produis à l'aide d'un ordinaeur amène quelques difficulés. Le logarihme d'un produi correspond à une somme de logarihmes. Uilisons pluô le logarihme du produi pour compléer cee éude. Avan de faire endre cee dernière quanié vers l'infini, calculons d'abord la moyenne de la somme obenue. On arrive ainsi à l'exposan de Lyapunov. E i e E i- éan de rès peies valeurs, le rappor E E i i correspond à la dérivée de la foncion associée à l'équaion uilisée si naurellemen la foncion es dérivable. En effe soi fxi cee foncion. Lorsque l'exposan de Lyapunov es posiif, 36

37 ln E E n > e par conséquen E E n > L'erreur infiniésimale du débu ira donc en augmenan. Le sysème sera dans ce cas sensible aux rès peies variaions de sa condiion iniiale, une des caracérisiques des sysèmes chaoiques. Si au conraire l'exposan de Lyapunov es négaif, l'erreur infiniésimale du débu ira en diminuan. L'erreur iniiale n'aura dans ce cas aucun effe à long erme. Un exemple es raié ci-dessous : Soi le sysème suivan : 3 La rajecoire, φ considérée es définie à parir des condiions iniiales : < < e L inégraion de la première ligne donne : d d d d 3 Posons d d ϕ ϕ soi d d ϕ ϕ D où, d d d d d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ En écrivan : d d ϕ ϕ ϕ, on rouve : ln ϕ D où + e e La linéarisaion du sysème d équaion auour d un poin p donne : 3 δ δ δ δ donc 3 δ δ δ δ 37

38 δ e δ On remplace e donc sa dérivée par calcul par la soluion obenue précédemmen puis on inègre ce dernier ce qui perme d'obenir la marice de la soluion fondamenale Φ. On obien ainsi le sysème suivan : δ e 3 3, soi par inégraion : ln + ln e + δ e + ln e + 3 On rouve par conséquen : e e e e + 3 Φ e e + 3 e Les valeurs propres de cee marice son µ 3 e e + e µ e Les exposans de Lyapunov son donnés par : λ lim ln i i µ On rouve ainsi λ - e λ -. IV. En roue vers le chaos Un cycle linéaire invarian dans le emps doi posséder une parie imaginaire pure pour osciller dans le emps. Cee condiion es rès fragile vis-à-vis des perurbaions exisanes e/ou erreurs de modélisaion pouvan affecer la valeur de ces pôles. De plus, dans le cas linéaire, l ampliude de l oscillaion dépend uniquemen de la condiion iniiale. Au conraire, les sysèmes non linéaires peuven êre le siège d oscillaion cycles limies caracérisés par leur ampliude e leur fréquence, indépendammen de la condiion iniiale. Ainsi, pour concevoir un oscillaeur sable, il es nécessaire de réaliser un sysème non linéaire. L équaion de Van Der Pol es l exemple le plus courammen raié dans la liéraure. Il s agi d une équaion d ordre non linéaire caracérisée par l équaion suivane : m x + c x x + kx, c > En ce qui concerne les cycles limies, la héorie de Floque es une aide considérable pour déerminer la sabilié. Egalemen basée sur l analyse des valeurs propres muliplicaeurs de Floque de la marice Jacobienne du sysème, elle perme de connaîre le comporemen sable ou insable en foncion de la manière don les valeurs propres passen à ravers le cercle unié du plan complexe. 38

39 Si on adjoin mainenan un degré de liberé supplémenaire au sysème précéden, par exemple en faisan varier c, nous obenons un sysème à rois degrés de liberé e don le comporemen dépend du paramère de conrôle c. Pour une valeur de c fixée e posiive, le sysème décri un cycle limie don l ampliude e la durée dépenden de c. Si on modifie c, on modifie la rajecoire du cycle. Si c devien négaif, le sysème peu décrire une rajecoire die nœud ou col. Avan de devenir chaoique, ces sysèmes présenen des changemens bruaux de comporemen liés à la modificaion du paramère de conrôle. On di alors qu une bifurcaion se produi à chaque changemen. IV.3 Hysérèses e bifurcaions Lorsque l on fai varier un paramère du sysème par exemple le paramère c du sysème de Van Der Pol précéden, celui-ci pourra changer le régime. Le diagramme de bifurcaion nous renseigne sur le ype de comporemen produi par le sysème en foncion d un paramère donnée. IV.3. Hysérèse Si, en foncion d un paramère de conrôle c, la courbe de l éa saionnaire forme un S, il apparaî un domaine de valeurs de conrôle pour lequel le sysème adme simulanémen rois éas saionnaires, don deux son sables e un es insable bisabilié le paramère de sabilié es obenu par linéarisaion. Cee courbe es appelée hysérèse. S s LP S i LP S s Hysérèse λ IV.3. Bifurcaion fourche Pichfork ou noeud col Si, à une valeur donnée de la variable de conrôle c le sysème devien insable i e qu'apparaissen au même endroi deux éas saionnaires indice S sables s de la variable qui coexisen, on parlera de bifurcaion de pichfork PB : 39