VALORISATION D OPTIONS DIGITALES EN SITUATION DE MARCHE INCOMPLET

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1 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE Parck NAVAE Chrsophe VILLA CREREG, Insu de Geson de Rennes REUME L objecf prncpal poursuv dans ce arcle, es d éuder quelques applcaons e exensons possbles concernan la valorsaon des opons dgales. Ces opons consuen en effe les élémens de base de conras plus complexes (produs fnancers srucurés,...). Dans un premer emps, les opons dgales sur un ou pluseurs sous-jacens son valorsées en suaon de marché comple. Dans un second emps, une évaluaon es proposée dans le cadre d un marché ncomple à l ade de la probablé mnmale (Föllmer e chwezer (99)). Deux suaons son envsagés : la non-coaon de l acf sous-jacen à l opon, e l exsence d une volalé sochasque. ABRAC he man am of hs paper s o sudy some exensons of he valuaon formulae concernng classcal bnary (dgal) opons whch can be consdered as elemenary ools by fnancal arrangers o buld srucured fnancal producs. Frs of all, we analyze he valuaon of a smple bnary opon nvolvng one or wo underlyng asses n a complee marke. In he second par of he paper, we consder an ncomplee marke and we valuae dgal opon usng Föllmer e chwezer (99) probably measure. wo specal cases are aken no accoun : he non quoaon of he underlyng asse and a sochasc volaly. INRODUCION Les opons exoques son apparues au débu des années 99 sur les marchés de gré à gré aux Éas-Uns. Leur succès auprès des nvessseurs a éé rès rapde, car elles on éé bâes «sur mesure» afn de sasfare au plus près, les besons denfés des opéraeurs. De mulples varéés d opons on éé proposées, e la lse s allonge presque chaque mos... Un ceran nombre d organsmes spécalsés vendan des acfs dérvés, on obenu ces derners emps, quelques succès en commercalsan des produs srucurés. ouven, l s agssa de conras payan une somme fxe chaque jour duran lequel le prx de l acf sous-jacen resa comprs enre deux bornes prédéermnées. On peu ans cer en exemple les oblgaons corrdor don la valeur du coupon s ncrémene à chaque fos que le aux Lbor se rouve à l néreur d un ceran nervalle de aux convenu à l avance. Les élémens de base consufs d un el conra son des opons dgales évaluées par Rubnsen e Rener (99) assemblées de elle manère qu elles consuen un écar. Les conras d opons européennes de ype «ou ou ren» (cash or nohng) présenen la parcularé de déconnecer la défnon du flux ermnal assocé à l opon de sa valeur classque, calculée à l ade du cours coé à l échéance de l acf sous-jacen e du prx d exercce K. Une opon d acha (de vene) «ou ou ren» pae à l échéance, un ceran monan d argen prédéermné X, s le prx de l acf sous-jacen es à la même BULLEIN FRANÇAI D ACUARIA, Vol., N, 997, pp

2 66 P. NAVAE & Ch. VILLA époque, supéreur (nféreur) au prx d exercce reenu. eule la valeur de à mauré mpore, e de ce fa l opon es donc de naure pah ndependen. Il es en fa possble à parr d une elle famlle d opons, de combner pluseurs conras enre eux pour obenr des produs plus complexes, par exemple des opons conngenes, des oblgaons corrdors, des supershares... L obje de ce arcle es, dans une premère pare, de rappeler succncemen les prncpes de valorsaon de els conras d opons en suaon de compléude, pus dans une deuxème pare d éuder deux suaons dfférenes de marché ncomple dues so à la non-coaon de l acf sous-jacen, so à la prse en compe d une volalé sochasque.. VALORIAION D OPION DIGIALE «OU OU RIEN» EN MARCHE COMPLE L unvers de compléude se caracérse par un nombre d acfs rsqués échangés supéreur ou égal au nombre de sources d ncerude du modèle consdéré. Le prx d un conra d opon dgal peu êre calculé dans la mesure où l on se sue dans un unvers el que celu prs en compe par Black e choles (973). Cec sgnfe donc que les marchés fnancers son supposés parfas e comples, que les renablés de l acf sous-jacen son dsrbuées selon une lo log-normale, e qu l es possble d ulser le prncpe d absence d opporuné d arbrage. Rubnsen e Rener (99), dans ce cadre d hypohèses, dérven des formules explces de valorsaon.. LE CA D UNE OPION DIGIALE A UN EUL ACIF OU-JACEN Pour parvenr à évaluer ce ype d acf, on se sue dans un marché fnancer où son coés deux acfs : une oblgaon (sans rsque) e un acf rsqué don le prx vérfe sous la probablé hsorque P l équaon dfférenelle sochasque suvane : d µ d + σ db où µ e σ son deux consanes, σ non nulle e B un Brownen réel. On sa que l hypohèse d absence d opporuné d arbrage mplque l exsence d une unque probablé Q, équvalene à la probablé hsorque P, elle que sous Q, le processus des prx acualsés ~ r e so une marngale. Cee probablé es défne µ r r par la densé de Grsanov dl L db. Elle es elle que B ~ µ B + es un σ σ Q-mouvemen Brownen. ous Q, le prx de l acf rsqué a pour dynamque : d r d + σ db ~ On appelle Q la probablé rsque-neure car sous cee probablé, le rendemen de chaque acf es égal au aux sans rsque r. Z ln( ), alors d après le lemme d Iô, Z vérfe sous Q, l équaon suvane : ( r σ ) d + σdb ~,Z dz

3 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 67 Consdérons l évaluaon d une opon d acha «ou ou ren» qu verse un monan fxe e consan X s es supéreur à K, e un monan nul s à l échéance le prx de l acon sous-jacene es nféreur au prx d exercce K. Le prx de ce acf conngen à l nsan ( ) es donné par : [ e X ] Q e r C E > Q où E [] E Q [ F ] { K} es l opéraeur d espérance condonnelle sous Q. En parculer pour, l ven : C e X E Q achan que σ nous obenons : avec : C e X Q Z [ ] e X Q( > K ) e X Q( Z > ln K ) { > K} Z su une lo normale de moyenne ( r σ ) e de varance ( > ln K ) e X Φ( d ) a d σ, a ln, σ Ke Φ() représenan la foncon de réparon de la lo normale cenrée rédue. Nous pouvons d ores e déjà remarquer que pusque Φ ( d ) es une probablé, le prx de cee opon, comme le monre le graphque, es comprs dans l nervalle,xe. ] [ On observe égalemen sur ce graphque, que pour une opon hors de la monnae, l accrossemen de la volalé provoque une augmenaon du prx de l opon alors qu à l nverse pour une opon dans la monnae oue élévaon de la volalé a pour conséquence de dmnuer son prx. Ce effe peu s explquer par une probablé d exercce plus fore (reps. plus fable). Par alleurs, on consae un effe lever rès mporan pour une opon proche de la paré dès que le prx du sous-jacen s élève alors que sa volalé es fable.

4 68 a P. NAVAE & Ch. VILLA Graphque Prx d une opon dgale «ou-ou-ren» ln r [. 3,. 3], σ [ %, 5% ], r 5%, 3 mos,x Ke C Volalé a... Cependan, l n exse aucune rason de se lmer à ne concevor que des produs de ce ype dépendan d un seul acf sous-jacen. On peu éendre ce concep d opon, e fare dépendre son flux ermnal, du comporemen d au mons deux acfs de base.. LE CA D UNE OPION DIGIALE A DEUX OU-JACEN Dans cee hypohèse, le conra d opon qu en résule, prome de verser un monan fxé d argen au cas où à l échéance, les prx des deux acfs sous-jacens se rouven êre supéreurs (nféreurs) à deux bornes préfxées. On fa alors face la plupar du emps, au cas bvaré, car le coeffcen de corrélaon exsan enre les renablés des deux acfs sous-jacens es souven non nul. On se place alors pour évaluer un el conra dans le cadre d un marché fnancer composé de ros acfs : une oblgaon (sans rsque) e deux acfs rsqués e don les prx son respecvemen noés e, e vérfen sous la probablé hsorque P, les équaons dfférenelles sochasques suvanes : d µ + σ d db d µ + σ d db où,, µ e σ son des paramères consans, e B un Brownen réel avec cov B,B ρd. En oure, le coeffcen de corrélaon, ρ, enre les deux acfs rsqués es supposé consan. ous la probablé rsque-neure Q, les prx des acfs rsqués vérfen :

5 où VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 69 d + σ r d db ~ d + σ r d db ~ r B ~ B µ + es un Brownen réel sous Q. ous cee probablé,, le σ Z ln es rég par l équaon suvane : processus ( ) ( dz r ) d db ~ σ + σ,z. Heynen e Ka (996) on obenu des formules explces pour évaluer ces conras d opons dénommés bvarae cash or nohng calls. Ce son des conras qu rapporen une somme d argen X à leurs déeneurs s à l échéance, les prx des deux acfs sousjacens e son respecvemen supéreurs à es donc donné par : conngen à l nsan ( ) r Q e C E e X { > K, > K } Q Q où E [] E [ F ] K e K. Le prx de ce acf es l opéraeur d espérance condonnelle sous Q. En parculer pour, l ven : avec : Q r { } ( e X Q ) K, K > K, > K > > ( d,d ρ) C e X E C e r X Φ ; a d σ, a ln,, σ K e Φ ( ; ), représenan la foncon de réparon de la lo normale bvarée sandard. Les deux delas de l opon C son donnés par : σ ( ) ( ) ( ϕ Φ ρ ) C e X d d d ρ σ ( ) ( ) ( ϕ Φ ρ ) C e X d d d ρ avec ϕ () symbolsan la foncon de densé de la lo normale cenrée rédue.

6 7 P. NAVAE & Ch. VILLA On consae sur le graphque que l augmenaon de la valeur du coeffcen de corrélaon accroî le prx du conra, que l on se sue hors de la monnae ou non. De plus, l éude monre que la progresson des prx es quas - lnéare. Graphque Prx d une opon dgale bvarée «ou-ou-ren» [ ] [ ] a. 3,. 3, ρ. 5,. 5, σ σ 3%, a, r 5%, 3 mos,x 4 C Rho.4 -. a. -.4 De la même façon, l es possble d évaluer une opon de vene dgale bvarée comme su : Q E e X { e < K, < K } r X Φ ( d, d ; ρ) Enfn, une parcularé noable des opons dgales bvarées par rappor aux opons classques es qu elles permeen de créer deux ypes d opons supplémenares. En effe, ces dernères paen à l échéance un flux ermnal égal à X au cas où la valeur du premer sous-jacen es supéreur (reps. Inféreur) à K e celle du deuxème acf nféreure (reps. supéreure) à K. Il ven alors : ) Q E e X e Φ { > K, < K } ( ρ r X d, d ; Q { } E e X e r X Φ( d,d ; ρ) < K, > K

7 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 7 Il es mporan de comprendre ce qu l adven de ces valeurs d opons lorsque leurs prx d exercce se rapprochen de zéro ou de l nfn. K ( K ) vo sa valeur endre vers zéro, le conra se ransforme en une smple opon de ype «ou ou ren» sur l acf de base ( ) avec pour prx d exercce K ( K ). Par conre, s les prx d exercce K ou K enden vers l nfn, la valeur du conra deven égale à zéro. Ben sûr, s l on achèe un ensemble de conras de ce ype avec des échéances décalées dans le emps, e un flux X assocé consan, alors on es en présence d un conra qu pae X à chaque fos que les prx des acfs sous-jacens se suen à l néreur de la surface défne par les quare lmes (haues e basses) prédéermnées. Cependan, l exse beaucoup d aures applcaons. On peu par exemple magner de fare varer la alle de la surface défne par les quare lmes, e ans créer ou un ensemble de «cubes» de longueur égale à K K (ou plus pee, ou plus grande), de largeur égale à K 4 K 3 (ou dfférene), e de haueur X. Il deven alors possble de combner ces dfférens «cubes» de haueur denque mas de largeur e longueur décrossanes de manère à srucurer un profl de revenus ressemblan à la forme d une pyramde égypenne. Le prx d un el conra complexe peu êre calculé en fasan la somme des prx de ous les conras élémenares qu le composen. Il es égalemen possble à l archece fnancer de proposer à la vene un conra complexe de concepon un peu dfférene. En consdéran nalemen un «cube» de longueur e largeur fxées, mas de haueur maxmale X, on peu adjondre sur les échéances qu suven d aures «cubes» de même alle, mas de haueur décrossane... Le coeffcen de corrélaon exsan enre les renablés des deux acfs sous-jacens e joue ben sûr un rôle non néglgeable dans l évaluaon d un el conra. l es nul, l n y a pas beson de recourr à la lo normale bvarée. Il y a ndépendance des varables. Par conre, s ρ es posf la valeur du conra s accroî, car s l un des acfs de base se rouve à l échéance enre les bornes prévues, l aure acf possède une fore probablé d y êre auss. En cas de valeur négave du coeffcen ρ, la valeur de ce conra dmnue. Évdemmen la consance de ce coeffcen ρ ne peu êre admse que sur le cour erme. La couverure de ces conras n es pas asée. En effe, les opons dgales son des acfs conngens qu produsen des flux fnancers dsconnus. Il suff alors de se rouver à proxmé des bornes qu déermnen le flux ermnal pour évenuellemen fare des erreurs sgnfcaves dans l évaluaon des coeffcens dela e gamma. L déal sera de se couvrr avec d aures opons dgales qu agraen comme un «mror», cependan de elles opons ne son praquemen jamas dsponbles. Il fau donc se conener d une couverure mparfae. De façon plus précse, l n es possble de couvrr une opon dgale qu avec un ceran degré de cerude ( p < ). Le porefeulle de couverure comprend deux composanes, une poson longue sur l acon, e une poson coure sur l oblgaon sans Bankers rus s a d alleurs commercalsé récemmen un produ fnancer dénommé «Quaro» qu fourn à son déeneur hu fos le monan de la prme acquée s les acfs sous-jacens à l écar respecen à l échéance les bornes de quare écars prédéfns. Au cas où seulemen un seul écar sera sasfa, le produ rappore à son déeneur le double de la prme. M. Parsley, «Exocs ener he mansream», Euromoney, Mars 977, p.7-3.

8 7 P. NAVAE & Ch. VILLA rsque. Cependan la valeur du porefeulle de couverure es un peu plus élevée que celle de l opon. La dfférence dépend de la valeur de la probablé p avec laquelle on souhae couvrr l opon (Chrss e Ong 995). VALORIAION D OPION DIGIALE EN MARCHE INCOMPLE Le problème de l évaluaon des acfs conngens à parr de la dynamque des prx de cerans acfs du marché dans le cadre d un marché comple es un problème résolu (cf. premère pare). Afn d éver des opporunés d arbrage, on suppose l exsence d une lo de marngale qu es unque lorsque le marché es comple. L évaluaon de l acf conngen es alors obenu en calculan son espérance par rappor à cee lo de marngale. En revanche, lorsque le marché es ncomple l exse pluseurs los de marngale, donc pluseurs prx pour l acf conngen, e d aures hypohèses doven êre faes afn de chosr une des probablés équvalenes à la probablé hsorque parm l ensemble des probablés «rsque-neure». En ulsan les résulas de Hofmann, Plaen e chwezer (99) e de Pham e ouz (996), nous évaluons l opon dgale sous la probablé mnmale. Cee probablé qu fû nrodue par Föllmer e chwezer (99) perme de consrure des sraéges de couverure qu mnmsen le rsque quadraque (lorsque le marché es comple, ce rsque es nul). Une des propréés mporanes de cee probablé, es que seul le rsque observable es évalué, e que ou rsque orhogonal à ce derner ne l es pas ;.e. la prme de rsque assocée es nulle. Deux cas von nous permere d llusrer la pussance de cee démarche. Un premer exemple rae d un conra écr sur un acf suppor non coé, mas corrélé avec un deuxème acf, qu lu es échangé sur un marché. Un second cas de fgure fa référence à la prse en compe d une volalé sochasque.. LE OU-JACEN N E PA COE l acf n es pas un acf coé mas corrélé avec un second acf F qu lu es échangé, l évaluaon d une opon d acha européenne «ou ou ren» peu êre résolue moyennan des calculs plus complexes. Il es supposé que e F vérfen sous la probablé hsorque P les équaons dfférenelles sochasques suvanes : d µ d + σ dz df mf d + υf dw où µ, m e σ, υ > son des paramères consans. Z e W son deux Brownens réels qu peuven êre corrélés : d Z,W ρd (le coeffcen de corrélaon, ρ, enre les deux acfs rsqués es supposé consan). o ( ) B, B b-dmensonnel el que : dz ρ db + ρdb dw db B un mouvemen Brownen sandard e soen λ e λ les prmes de rsque relaves respecvemen aux deux sources d ncerude B e B, alors d après le héorème de Grsanov, applqué en posan

9 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 73 λ ρ + λ ρ υ m r, l exse une probablé Q équvalene à P sous laquelle, B ~ B + λ es un Brownen réel. On en dédu sous la probablé Q que le processus des prx acualsés ~ r e es une marngale. L équaon lan les deux prmes de rsques λ e λ ne les caracérse pas de façon unque. Cec jusfe la nonuncé de la mesure marngale équvalene Q. En effe, nous sommes confronés c auss au problème d un marché ncomple, e l exse alors pluseurs los de marngale donc pluseurs prx pour l acf conngen. Nous évaluons donc cee opon sous la probablé mnmale, Pˆ (Föllmer e chwezer 99). Dans le cadre du modèle présené, la source de rsque observable es générée par ρ db + ρdb ands que la source de rsque orhogonale à celle-c es générée par ρ db ρ db. Ans, cee probablé es caracérsée par le chox d un processus λ ( λˆ λˆ ), ρλ ˆ ρ λˆ λˆ ρ + λˆ ρ υ m r ˆ el que : λ ˆ ρ λˆ m r ρ υ m r υ e,, Bˆ B ˆ + λ es un Pˆ -Brownen réel. ous Pˆ le prx des deux acfs vérfe : m r d µ ρσ d + σ dbˆ υ df + υ rf d F ρ dbˆ + ρdbˆ Du fa du conenu de la premère pare, nous savons que le prx de l opon dgale es donné à l nsan par la formule suvane : avec : C e X Pˆ K e r > X Φ ( d ) a d σ, a ln, σ m r µ ρσ Ke ν Φ représenan la foncon de réparon de la lo normale cenrée rédue. () La mse en œuvre d une elle formule en suaon d ncompléude nécesse plus d nformaons que dans un unvers de compléude. En effe, on do esmer quare coeffcens supplémenares : Le nombre de sources d ncerude es supéreur à celu des acfs rsqués pouvan êre échangés par l nvessseur.

10 74 P. NAVAE & Ch. VILLA la renablé espérée de l acf sous-jacen non coé : µ ; la volalé de l acf sous-jacen non coé : σ ; le coeffcen de corrélaon lan les deux acfs, e F : ρ ; m r enfn, la prme de rsque unare de l acf échangé :. ν l acf n es pas coé, l peu donc s avérer délca d esmer µ e σ, e cec, même à parr d un acf rès smlare fasan l obje de ransacons sur le marché. Graphque 3 Prx d une opon dgale «ou-ou-ren» don le sous jacen n es pas coé m r ρ [., 5. 5 ], σ [ %, 5% ], K X, r 5%, 3 mos,., 5 µ % υ 7 C Rho...3 Volalé.4. On consae sur le graphque 3, l exsence d une relaon négave enre le prx du conra e : le nveau de la volalé de l acf sous-jacen non coé, la valeur du coeffcen de corrélaon exsan enre les deux acfs. Une aure forme d ncompléude es symbolsée par la prse en compe d une volalé aléaore.. L INRODUCION D UNE VOLAILIE OCHAIQUE En général les modèles d évaluaon d opons on éé élaborés à parr d hypohèses assez resrcves. Ans, une hypohèse «fore» des modèles précédens es que le cours de l acf es censé suvre une lo log-normale à volalé consane. La volalé du aux de renablé d une acon par exemple, qu, parce qu elle représene jusemen la volalé fuure de cee dernère ne peu êre connue avec cerude. Elle es le plus souven esmée à parr de données présenes (méhode de la volalé mplce) ou

11 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 75 passées (méhode de la volalé hsorque). Malheureusemen, ces deux méhodes nous donnen une esmaon de la volalé qu n es n unque n consane dans le emps. La pernence des modèles à volalé consane a donc éé remse en queson. Le fa que les varaons de l écar-ype des renablés d une acon ne pussen êre que parellemen explquées par les mouvemens de son prx a amené de nombreux chercheurs (Hull e Whe (987)...) à conclure que la volalé pourra êre elle-même une varable aléaore qu évoluera dans le emps suvan un processus de dffuson spécfque. Les modèles à volalé sochasque (à deux faceurs) on donc éé nrodus comme réponse aux crques adressées au modèle à un faceur de Black e choles (973) e généralsen ce derner en supposan une volalé non consane. En oure, ces modèles jusfen l exsence de marchés d opons qu son des «marchés de volalé» précsémen parce que celle-c es sochasque, e offren une explcaon héorque à la forme en U (effe smle) des volalés mplces à une dae donnée en foncon du prx d exercce (Renaul e ouz (996)). Comme Heson (993), nous fasons l hypohèse que la varance nsananée, Y σ, su un processus «racne-carrée» à la Cox Ingersoll e Ross (985). Le marché fnancer es alors composé de deux acfs échangés : une oblgaon (sans rsque), e un acf rsqué don le prx vérfe sous la probablé hsorque P, l équaon dfférenelle sochasque suvane : où r,λ e d dy κ ( r + λy ) ( ϑ Y ) d + Y + γ d Y db ρ db + ρ db κ, ϑ, γ son des paramères consans avec κϑ γ. ( ) B B, B es un mouvemen Brownen sandard b-dmensonnel. oen λ e λ les prmes de rsque relaves respecvemen aux deux sources d ncerude B e B, alors d après le héorème de Grsanov, applqué en posan λ ρ + λ ρ Y λ Y, l exse une probablé Q équvalene à P sous laquelle, B ~ + λ B s ds es un Brownen réel. ous la probablé Q, on en dédu que le processus des prx acualsés ~ r e es une marngale. L équaon lan les deux prmes de rsques λ e λ ne les caracérse pas de façon unque. Cec jusfe la non-uncé de la mesure marngale équvalene Q. Dans ce cas précs, la mesure marngale mnmale équvalene appelée Pˆ es caracérsée par le chox d un processus λ ( λˆ λˆ ), ρλ ˆ ρ λˆ λˆ ρ + λˆ ρ ˆ el que (cf. Pham e ouz [996]) : Y λy Ce sysème de deux équaons à deux nconnues nous perme de défnr un unque processus par :

12 76 P. NAVAE & Ch. VILLA λ ˆ λ ρ Y e λˆ λρ Y el que, Bˆ + λ B ˆ s ds so un Pˆ -Brownen réel. ous Pˆ le prx de l acf rsqué vérfe : d rd + dy Y ρ dbˆ + [ κ( ϑ Y ) ργλy ] Z ln( ) dz dy avec κˆ κ + ργλ. d + γ Y ρ dbˆ Y dbˆ, alors d après le lemme d Iô, Z vérfe sous Pˆ : ( r Y ) d + ( κϑ κˆ Y ) Y d + γ ρ dbˆ + Y dbˆ Y ρdbˆ D après la premère secon, nous savons que le prx de l opon dgale es donné à l nsan par la formule suvane : où la noaon,y C e r X Pˆ Z > ln K Z z,y sgnfe que les condons nales son fxées à Z z and Y y. Dans le cadre de l évaluaon d une opon d acha européenne, Heson (993) monre que deux probablés doven êre calculées afn de déermner son prx, e soulgne qu une nverson de Fourer perme de les obenr par une smple négraon numérque :,y Pˆ Z ln K + Φˆ + π Im Φˆ + + π ( y,;, ξ) ξ ( y,;, ξ) ξlnk e ξ dξ ξlnk e dξ z,y ξz où Im ( f ) es la pare magnare de f, e Φ( y,z; τ, ξ) Ê e τ caracérsque de reformulaon) : ˆ la foncon Z z,y a éé déermnée analyquemen par Heson (993) (après où Φˆ z,y ξz ( y,z; τ, ξ) Ê e τ exp( A() τ + B() τ y + ξz) A() τ ( ω ς) τ κϑ ωe rξτ + ln γ, ( ) ωτ ( ) ω ς e + ω + ς

13 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 77 () ( ωτ ε e ) τ B, ( ) ωτ ω ς e + ( ω + ς) ω ς γ ε, ς ργξ κˆ ξ e ε ( + ξ) On peu noer les smludes avec la soluon d une oblgaon sans coupon rouvée par Cox, Ingersoll e Ross [985]. Graphque 4 Dfférence de prx d une opon dgale «ou-ou-ren» à volalé sochasque e à volalé consane [ ] [ ] a 3., 3., ρ 5., 5., X, λ, 3mos, σ 3%, ϑ 3%, κ 4, γ 4,. V- mons V-C a Rho On observe sur le graphque 4 les dfférences de prx d opon qu nervennen du fa de la prse en compe d une volalé sochasque, e cec par rappor à une volalé consane. Les dfférences son encore plus accenuées s la valeur du coeffcen de corrélaon es dfféren de zéro. Dans le cas d opons à la monnae, une corrélaon posve (resp. négave) fa décroîre (resp. s accroîre) la valeur du conra. Les opons bnares combnées en écar peuven fournr une couverure effcace conre le rsque de volalé. Ans, une enreprse longue en dollar peu elle acheer une opon de vene e un écar d opons bnares : s la volalé chue, le prx de l opon de vene dmnue mas la valeur de l écar augmene e nversemen.

14 78 CONCLUION P. NAVAE & Ch. VILLA Les opons bnares peuven êre consdérées comme des maéraux de consrucon élémenares permean de bâr des conras classques ou plus complexes. Récemmen, elles on éé nrodues dans des produs srucurés hors blan el que le swap à effe de lever (PEL). Les opons dgales vendues son des caps e des floors dgaux don les prx d exercce corresponden à un scénaro ancpé d évoluon des aux à cour erme par l acheeur du PEL. Par alleurs, les opons à degrés qu permeen des couverures par palers fon égalemen appel aux opons dgales... Il es donc apparu mporan de s y néresser, en éendan leur formule de valorsaon au cas de marchés ncomples, e en précsan à l ade de smulaons, le sens de leurs réacons. REFERENCE BLACK, F. e M. CHOLE (973), «he Prcng of Opons and Corporae Lables», Journal of Polcal Economy, vol 8, CHRI, N. e M. ONG (995), «Dgals Defused», Rsk, vol 8, n, COX, INGEROLL e RO (985), «A heory of he erm rucure of Ineres Rae», Economerca, vol 53, DERMAN, E., D. ERGENER e I. KANI (995), «ac Opons Replcaon», he Journal of Dervaves, FÖLLMER e CHWEIZER (99), «Hedgng of Conngen Clams under Incomplee Informaon», n Appled ochasc Analyss, vol 5, HEON,. (993), «A Closed-Form oluon for Opons wh ochasc Volaly wh Applcaons o Bond and Currency Opons», Revew of Fnancal udes, vol 6, HEYNEN, R. e H. KA (996), «Brck by Brck», Rsk, vol 9, n 6, HOFMANN, N., E. PLAEN e M. CHWEIZER (99), «Opon Prcng under Incompleness and ochasc Volaly», Mahemacal Fnance, vol, HULL, J. e A. WHIE (987), «he Prcng of Opons on Asses wh ochasc Volales», he Journal of Fnance, vol, 8-3. NAVAE, P. e F. QUIARD-PINON (997), «Opons dgales e res coulors sur aux d nérê», Journal de la océé asque de Pars, ome 38, n, 4-6. PHAM e OUZI (996), «Equlbrum ae Prces n a ochasc Volaly», Mahemacal Fnance, vol 6, RENAUL e OUZI (996), «Opon Hedgng and Impled Volales n a ochasc Volaly Model», Mahemacal Fnance, vol 6, RUBINEIN, M. e E. REINER (99), «Unscramblng he Bnary Code», Rsk, vol 4, n 9, V, Lauwck, P. Gourme, C. Laurn e I. De Dnechn, «Produs dérvés de aux de seconde généraon», Encyclopéde des Marchés Fnancers, 997, Economca, p

15 VALORIAION D OPION DIGIALE EN IUAION DE MARCHE INCOMPLE 79 P. NAVAE CREREG, Insu de Geson de Rennes rue Jean Macé, BP Rennes Cedex. él. : E-mal : parck.navae@unv-rennes.fr C. VILLA CREREG, Insu de Geson de Rennes rue Jean Macé, BP Rennes Cedex. él. : E-mal : chrsophe.vlla@unv-rennes.fr