Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios () () P () k IN; P( k) P( k ) sot toutes deux vraies, alors la propriété P() est vraie pour tout etier aturel Exemple : Démotrer par récurrece l égalité P() suivate : ε N, P() : - Défiitio d ue suite : ( ) = e suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) das R O la ote : ou ( ) ou ( ) IN : N R u () = u est le premier terme de la suite u u () = u est le deuxième terme de la suite u u () = u est le terme gééral de la suite u Exemples : Soiet les suites ( ) ; (V ) ; (W ) défiies par leur terme gééral : ( ) est telle que = 5 ; (V ) est telle que V = ; (W ) est telle que W = Mode de défiitio d ue suite : e suite umérique peut se défiir de différetes faços a) Suites défiies par = f () : Ce sot des suites défiies par la doée explicite du terme gééral e foctio de Exemple : Soit la suite ( ) défiie par = Calculer les premiers termes b) Suites récurretes : Ce sot des suites défiies par la doée de so er terme et d ue relatio de récurrece = f ( ) liat deux termes cosécutifs de la suite : ( f est ue foctio) Cours Suites Numériques Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

2 Exemple : Soit la suite ( ) défiie par = = Calculer ; ; ; et représeter graphiquemet les termes de cette suite Répose = = = ; = = = 5 ; = ; = Représetos les termes de cette suite graphiquemet Soit f : x a f ( x) = x la foctio associée à la suite ( ) = f ( ) = et = ; = f ( ) = ; = f ( ) = 5 ; = f ( ) = ; = f ( ) = Das le pla mui d u repère orthoormé o trace la courbe (C f ) de f et la droite d équatio : y = x 6 y = x (C f ) f ( x) = x 5 6 Cours Suites Numériques Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

3 Ses de variatio d ue suite : a) Défiitios : O dit que la suite ( ) est croissate sur N, si pour tout etier aturel o a : ou O dit que la suite ( ) est décroissate sur N, si pour tout etier aturel o a : ou O dit que la suite ( ) est costate sur N, si pour tout etier aturel o a : = O dit que la suite ( ) est statioaire à partir du rag, si pour tout etier aturel dès que alors = O dit que la suite ( ) est à termes positifs, si pour tout etier aturel o a :, ε N Remarques : si > ε N [ ( ) est croissate ] est décroissate ; [ ( ) ] b) Théorème : Soit (u ) ue suite défiie par u = f(), avec f défiie sur [; [ Si f est strictemet croissate, alors (u ) est strictemet croissate Si f est strictemet décroissate, alors (u ) est strictemet décroissate Démostratio : a) cas où f est strictemet croissate : Pour tout etier aturel, la foctio f est strictemet croissate, doc f ( ) > f () D'où : pour tout etier aturel, u > u La suite (u est doc strictemet croissate b) cas où f est strictemet décroissate : Pour tout etier aturel, la foctio f est strictemet décroissate, doc f ( ) < f () D'où : pour tout etier aturel, u < u La suite (u est doc strictemet décroissate Cours Suites Numériques Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

4 NB : Ce théorème e s'applique pas si la suite (u ) est défiie par récurrece (u = f(u )) Les variatios de la foctio f et de la suite (u ) e sot pas toujours les mêmes Exemple : Soit ( ) défiie par : = sur ] ; [ Détermier le ses de variatio de la suite ( ) sur ] ; [ Soit la foctio umérique f associée à la suite ( ) défiie par : f '( x) = x f ( x) = x >, x > Doc f est strictemet croissate sur ] ; [ Par coséquet la suite ( ) est strictemet croissate sur ] ; [ 5 Suites borées : O dit qu ue suite umérique ( ) est majorée s il existe u réel M tel que ε N, M M est u majorat de la suite ( ) O dit qu ue suite umérique ( ) est miorée s il existe u réel m tel que ε N, m m est u miorat de la suite ( ) e suite umérique ( ) est dite borée si elle est à la fois majorée et miorée C est à dire : ε N, m M Exemple : Soit la suite défiie par sur N par : Motrer que est borée par et = et = ; = = ( est borée par et ) ( IN, ) Démotros ceci par récurrece = ; = o a : vraie Soit p ε N; supposos que : p ; motros que p avec p = p ; p p p vraie à l ordre (p) D après le pricipe du raisoemet par récurrece ( IN, ) D où la suite est borée par et Cours Suites Numériques Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

5 II Suites Covergetes Suites divergetes: lim ( ) coverge = l ( l IR) (Si l = ou ou existe pas) Alors ( ) diverge a) Suites défiies par = f() : Das ce cas o calcule directemet la limite e b) Suites défiies par = f( ) : Si ( ) a ue limite l ε R, alors l est ue solutio de l équatio : (la solutio de l équatio f ( x) = x est la limite évetuelle de ( )) c) Etude de quelques suites récurretes : = a b ; ( a ; b ) : = f ( ) avec f x) = ax b ( f ( x) = x Soit α la solutio de l équatio f ( x) = x O pose V = α O étudie la covergece de (V ) puis o déduit celle de ( ) Exemple : Soit = = - Détermier la limite évetuelle α de cette suite ( ) ; - O pose V = α Etudier la covergece de ( ) Suites homographiques = = f ( ) O résout f x) = x f x) = x a c b d ( c ) : ( Soiet α et β les solutios de l équatio ( Soiet A ( α ; ) ; B ( β ; ) ; M ( ; ) O pose V = BM β = AM α V O étudie la covergece de (V ) puis celle de ( ) III Propriétés des limites: a) Théorème : (admis) Si ( ) et (V ) sot deux suites covergetes respectivemet vers l et lʌ Alors o a : ( V ) = l lʌ avec lʌ lim b) Théorème : (des gedarmes) Soiet ( ) ; (V ) et (W ) trois suites telles que ( ) et (V ) coverget vers l et W V, alors la suite (W ) coverge vers l Cours Suites Numériques Page 5 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

6 c) Théorème : (admis) Toute suite croissate et majorée est covergete ; Toute suite décroissate et miorée est covergete IV Suites Arithmétiques: - Défiitio : O appelle suite arithmétique toute suite ( ) défiie par so premier terme et ue relatio de récurrece de la forme : = r ; où r est u réel appelé la raiso de la suite ( ) Exemples : a) Soit ( ) défiie par = = Calculer les ciq premiers termes de la suite ( ) b) Détermier la suite de raiso r = dot le terme d idice égale à Remarque : ue suite arithmétique ( ) est croissate si r est positive et décroissate si r est égative - Expressio du terme gééral : Soit ue suite arithmétique ( ) de er terme et de raiso r = r = r = r = r = r 5 = r = r p ε N, p < o a : = p ( p) r p = ( p) r Exemples : Si le er terme est alors = r (p=) Si le er terme est alors = ( ) r (p=) a) Trouver le 5 è terme de la suite arithmétique : ; 6 ; ; b) Trouver le ième terme de la suite : ; ; 5 ; 7 ; ; Somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique : Nous avos démotré par récurrece que pour tout etier aturel, o a : = ( ) Cours Suites Numériques Page 6 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

7 Soit ( ) ue suite arithmétique de er terme et de raiso r Posos : S = S = ( r) ( r) ( r) ( r) S = ( r ) ( ) fois S = () ( ) S = ( ) [ r ] ou S = (Somme des premiers termes) ( ) [ ] Si le er terme est alors o a : S = [ ( ) r ] ou S = [ ] (Somme des premiers termes) Exemple : Calculer la somme des dix premiers termes de la suite arithmétique : ; 6 ; 8 ; ; V Suites géométriques: - Défiitio : O appelle suite géométrique toute suite ( ) défiie par so premier terme et ue relatio de récurrece de la forme: = q, où q est u réel appelé la raiso de la suite ( ) Expressio du terme gééral : Soit ( ) ue suite géométrique de er terme et de raiso q ; q = q = q = q = q = q p ε N, p < o a : = p q p Si le er terme est alors = q (p=) Si le er terme est alors = q ( ) (p=) Cours Suites Numériques Page 7 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

8 Exemple : Détermier le sixième terme de la progressio géométrique : ; 6 ; 8 ; Somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique : Soit ( ) ue suite géométrique de er terme et de raiso q Posos : S = qs = q q q q ( q) S = q q q ( q) S = o q ( q) S = o q q ( q) S = o ( q ) S = Si le er terme est alors : q q avec q S = q q avec q Si q = alors o a : S = Limites d ue suite géométrique : Soit ue suite géométrique de raiso q et de terme gééral Si q < alors ( ) coverge et lim = ; Si q > alors ( ) diverge 5 Limites de la somme des termes d ue suite géométrique : Si q = alors S = u et = ; Si q > alors S = u Si q < alors lim q q lim S = q et lim S = ; Cours Suites Numériques Page 8 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique

9 6 Progressios Arithmétiques et Géométriques : Soit la progressio de trois termes x ; y ; z (x ; y ; z sot e progressio arithmétique) ( x z = y ) (x ; y ; z sot e progressio géométrique) ( x z = y ) VI Tableau de Formules des suites arithmétiques et géométriques: Nature de la suite Si le er terme est Terme Gééral Somme des termes ( ) est ue suite Arithmétique de raiso r p (p=) = p ( p)r = r S = S = ( ) [ r] ou ( ) [ ] (p=) = ( ) r S = [ ( )r] ou S = [ ] p (p=) = p q p = q S = q q avec q ( ) est ue suite Géométrique de raiso q (p=) = q S = q q avec q Exercice : O cosidère la suite ( ) défiie par : Si q = alors S = = = a-/ Trouver la limite évetuelle α de la suite ( ) b-/ O pose V = 8 Etudier la covergece de ( ) Cours Suites Numériques Page 9 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Techique