INCERTITUDES. Lucyna Firlej. Groupe de Dynamique des Phases Condensees Université Montpellier 2

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1 Départemet Mesures Physques INCERTITUDES Lucya Frlej Groupe de Dyamque des Phases Codesees Uversté Motpeller COURS ACCESSIBLES SUR LE SITE WEB:

2 ESTIMATION de l INCERTITUDE L estmato d ue certtude de mesure sert à apprécer la ablté d u résultat. quater la qualté du résultat aocé déclarer la coormté à des spéccatos comparer des produts QUALITE Esemble des proprétés et caractérstques d ue etté qu lu coère l apttude à satsare des besos, eprmes ou mplctes. (Norme ISO 840 : 1994)

3 INCERTITUDE - paramètre, assocé au résultat d u mesurage, qu caractérse la dsperso des valeurs qu pourraet être rasoablemet attrbuées au mesurade mesurage esemble des opératos ayat pour but de détermer la valeur d u mesurade: déto d u mesurade; déto du prcpe (base scetque) du mesurage; déto de méthode de mesure et du mode opératore; déto des gradeurs d luece; estmato d certtude du résultat de mesure. mesurade gradeur physque soumse au mesurage. attrbut d u phéomèe, d u corps ou d ue substace qu est susceptble d être dstgué qualtatvemet et détermé quattatvemet.

4 INCERTITUDE c est la dérece etre: la valeur vrae (eacte ou covetoellemet vrae) de la gradeur physque das les codtos d epérece, et le résultat du mesurage: 0 0 valeur vrae d ue gradeur physque (jamas accessble, à cause de: multtude de acteurs d luece o cotrôlés durat u mesurage les los physques (p.e. la règle d détermato de Heseberg E. t ħ) valeur covetoellemet vrae - valeur d ue gradeur physque qu peut être substtuée à la valeur vrae das u but doé.

5 NOTATIONS des INCERTITUDES: certtude absolue e permet pas d évaluer la qualté de l estmato de 0 s o e coaît pas 0 certtude relatve / représete la qualté (précso) de mesure (ombre sas dmeso!) EXEMPLE: comparer : 1) ue règle de logueur 1 m mesurée à 1 mm près 1 m 1 mm / ) ue tge de logueur 10 mm mesurée à 0.1 mm près 0.1 mm 10 mm / 0.01

6 TYPES de VARIABILITE des RESULTATS d u MESURAGE certtudes systématques ou bas dues à u déaut (reproductble) d u strumet de mesure ou de la méthode utlsée. EXEMPLE: certtude systématque due à l apparel I valeur mesurée de la gradeur G I I I décalage G mauvas G les deu du zéro étaloage à la os G EXEMPLE: certtude due à la méthode de mesure. Mesure de la résstace avec u motage e aval: I A R V r V valeur epermetale brute R U ep I valeur vrae Rep r I U V R r R V ep EXEMPLE: certtude due au mode opératore : erreur de parallae

7 certtudes aléatores proveet des varatos o-prévsbles de gradeurs d luece (codto du mesurage) elles sot resposable de la dstrbuto des résultats du mesurage autour la valeur 0 leur évaluato est rége par les los statstques; 0 o peut dmuer cette composate e augmetat le ombre des mesures eectues; ( pour u ombre d epéreces espérace mathématque d certtude aléatore est égale à zéro) certtudes parastes elles proveet d u cdet solé das le temps. D habtude, ue mesure etachée d ue certtude paraste se dstgue aclemet d autres pots epérmetau.

8 ESTIMATION de l INCERTITUDE A sur des GRANDEURS DIRECTES 1. MESURE INDIVIDUELLE EXEMPLE 1 : apparel aalogque. Mesure d ue teso avec u voltmètre de classe 1.5% sur le calbre 100 mv comportat 100 dvsos. L agulle tombe etre les graduatos et 3. certtude de lecture: certtude de l apparel: < < 3.5 ± 0.5 mv app 1.5% 100 mv 1.5 mv lect 0.5 mv certtude totale lect + app mv (.5 ± ) mv

9 EXEMPLE : apparel umérque Mesure d u sgal de V sur u voltmètre umérque à 3 dgts, sur le calbre de 100 V. S l apparel dque le chre, alors < < ( ± 0.5) V ATTENTION: S l y a pas d autres dcatos, l certtude d ue mesure dvduelle est égale à la moté de la plus pette graduato de l strumet de mesure sur le calbre chos.

10 a. SERIE de OBSERVATIONS INDEPENDANTES ( grad mas lmté) Sot ue sére des mesures 1,, 3,... estmato de 0 (la vra valeur de ) espérace mathématque de moyee arthmétque modale la réquece de so apparto est mamale peut e pas ester (valeurs équprobables) ; peut e pas être uque (b- ou plurmodalté). modale médae partage la sére e deu partes d eects égau. tervalle méda médae

11 dsperso des mesures autour de la valeur moyee EXEMPLE : Cosdéros deu séres de 9 lampes dot o a mesure la durée de ve e heures: 1 ere sére : de sére : Les deu séres ot même moyee; et pourtat elles sot très déretes. étedue - dérece etre la plus grade et la plus pette valeur. varace - moyee des carrés des écarts de valeurs de la valeur moyee : σ 1 1 ( ) écart type - mesure l écartemet de par rapport à la valeur moyee; e métrologe, l est assmlé à l certtude d ue sére des mesures σ 1 ( ) 1 ~

12 b. Le ombre d observatos est, mas très grad o répartt les valeurs e classes. Commet are des classes? ehaustves et dsjotes ; pas plus de 5 (k 5) ; eects 5; bores des classes : classes à ampltudes égales : ampltude de classe a classes à réqueces égales cetre d ue classe : ma k m CONVENTION : chaque classe cotet la bore éreure et eclut la bore supéreure. k-1 k k+1 k+ o e dstgue pas des valeurs scrtes das la même classe ; cetre k+ 1 + k à chaque observato est attrbuée ue valeur uque, correspodat au cetre de sa classe :

13 estmato de 0 (la vra valeur de ) espérace mathématque de moyee arthmétque k ( ) 1 k cetre estmato de (l certtude de ) ecart-type de V ( ) ( ) 1 ( cetre) V ( ) ( ( cetre) )

14 INCERTITUDE d ue GRANDEUR DIRECTE: k seres de observatos (depedates) s o eectue k séres de mesures de la gradeur, le melleur estmateur de la dsperso de l esemble de ces mesures est la varace epérmetale de la moyee 11, 1, 13, ,, 3, k k 1 k1, k, k3,... k k s k( k k 1 ( 0 ) 1) 1

15 INCERTITUDE d ue GRANDEUR INDIRECTE: 1 Focto d ue seule varable : y () Sot - gradeur physque dépedat d ue seule gradeur mesurée. Das l tervalle ( 0 d, 0 + d) la octo () peut être approchée par ue sére de Taylor: ( 0 ) ( 0 +δ) ( ) ( 0 ) + '( ) δ ''( ( ) 0 )( δ)... ( 0 )( δ) +...! 0 δ 0 +δ ( 0 ) + 1 ( ) ( 0)( δ)! 1 Comme d pett, lm ( δ) 0 ) ( ) + ' ( ) δ ( 0 0

16 ) ( ) ' ( ) δ ( 0 0 δ ( ) '( 0 ) δ /() Admettos, que ous avos eectué la mesure de os. Pour chacue de valeurs de, ous eectuos le calcul de δ(). La valeur espérée (moyee) des résultats sera: E ( δ ( ) ) ( ' ( 0) ) ( δ) / E( ) ( δ ( ) ) ) ( ' ( 0) ) E ( δ) ) σ () ( ' ( )) σ ( ) 0 Passos au certtudes... σ ( ) ( ) σ,, ( '( 0 ) ) ( ) estmato statstque de l certtude

17 Focto de varables : y ( 1,, 3,... ) 1 1 /() )..., ( δ ) ( 1 () σ σ ( ) ( ),, σ σ Passos au certtudes... ( ) 1 estmato statstque de l certtude

18 Epresso d u RESULTAT de MESURE Coveto d écrture des ombres Pour les ombres à parte décmale, la vrgule (et o le pot) sépare la parte etère de la parte décmale. Eemples : 0,04 1,35 679,8 S u ombre a plus de quatre chres, chaque groupe de tros chres dot être séparé par u espace. Eemples : 6545 ou ; ; La séparato 'este pas pour les ombres de quatre chres désgat ue date ou u mllésme (l'a 000). Pour u ombre avec partes etère et décmale, la séparato se at de part et d'autre de la vrgule. Eemples : 0, ; 1 43,315 8 Les grads et les petts ombres peuvet s'eprmer à l'ade des pussaces de 10. E otato "scetque", u chre déret de zéro se trouve devat la vrgule. Eemples : , ; 0, , E otato "géeur", l'eposat est u multple de 3. Eemples : , ; 0, ,7 10-6

19 Epresso d u RESULTAT de MESURE La précso d'ue mesure d'u phéomèe physque se tradut das l'epresso du résultat par le ombre de chres sgcats. EXEMPLES : la mesure m 15,7 g (quatre chres sgcats) dque ue mesure de la masse avec ue précso au 1/10 de gramme. s le résultat est eprmé par m' 15,700 g (avec 6 chres sgcats), la précso est coue au mllgramme près. u résultat de mesure de 4,3 cm (tros chres sgcats) suggère l'tervalle de certtude suvat : 4,5 cm < 4,3 cm < 4,35 cm. s des mesures epérmetales ot codut au résultats suvats : 4,7 cm - 4,45 cm - 4,7 cm avec tros chres sgcats, ous obteos respectvemet : 4,3 cm - 4,5 cm et 4,7 cm suvat la règle : o arrodt par déaut s le premer chre supprmé est éreur à 5 et par ecès s'l est supéreur ou égal à 5.

20 Les chres sgcats La précso d'u résultat 'est pas corrélée au ombre mamum de chres après la vrgule, obteu par ue calculatrce électroque!!!! La précso d'ue mesure d'u phéomèe physque se tradut das l'epresso du résultat par le ombre de chres dts "sgcats". Les chres sgcats sot : les chres dérets de zéro. les zéros placés etre les chres. les zéros placés derrère les autres chres quad ls sot le résultat de la mesure. EXEMPLE : (les chres sgcats sot e vert) ; 45 ; 0,03 ; 0, , ; 40, evro ou 4, m (mesuré au m près) habtats evro habtats eactemet

21 Détermato du ombre de chres sgcats das les opératos résultats de mesures. Addto -Soustracto Les résultats de mesures sot des ombres eters : o eectue les opératos habtuelles de somme et de dérece : Les résultats de mesures sot des ombres avec chres décmau : Parm les résultats de mesures, reperer celu qu possède le plus pett ombre de chres sgcats après la vrgule : sot ce ombre arrodr tous les autres ombres à (+1) chres après la vrgule. eectuer les opératos d'addto ou de soustracto. arrodr le résultat à chres après la vrgule. EXEMPLE: S 1, , ,31 + 1,145 ( ) S 1,45 + 4, ,31 + 1,145 S 488,89 arrod à 488,9 Les résultats de mesures eprmés à l'ade de pussace postves de 10. Rameer tous les résultats de mesures e octo de la plus haute pussace de 10 avat de procéder au calcul. EXEMPLE: S 3, , , S 0, , , ( 1) S 0, , , S 8, arrod à 8,4 10 5

22 Multplcato - Dvso Das les résultats de mesures, cosdérer celu qu possède le plus pett ombre de chres sgcats : sot ce ombre. Arrodr tous les autres ombres à (+1) chres. Eectuer les opératos de multplcato ou de dvso. Arrodr le résultat pour la multplcato à : () chres s la derère somme partelle est éreure à 9. (+1) chres s la derère somme partelle est supéreure à 9. EXEMPLES : La répose dot coter autat de chres sgcats que la gradeur mesurée, sau s cette pussace ou cette race tervet das ue opérato; auquel cas o augmet d'uté le ombre de chres sgcats de résultat. EXEMPLES : (5,75) 7,85 65 arrod à 7,83 (5,75) ,5 arrod à 4,

23 Coecets umérques La multplcato ou la dvso par u coecet umérque, dot codure à u résultat avec u chres sgcats comparable à celu du résultat de la mesure qu e possède le mos. EXEMPLES : Pour u résultat de mesure de 31, ( 3) ous obteos : 3 31, 93,6 ( 3) 4 31, 14,8 ( + 1 4) car le derer produt (4 3)est supéreur à 9. La moyee de pluseurs résultats de mesures codut à : doc M 4, arrod à 4,4 Das le cas d'opératos avec les ombres trascedats (π) et (e), leurs epressos das les calculs dépedrot des chres sgcats des résultats de mesures. EXEMPLES : O doe le rayo (R 1,15cm) et la hauteur (h,5cm) d'u côe de révoluto. Le volume de ce côe est calculé e preat : π 3,14 car pour la hauteur, d'où doc V 3, arrod à 3,5cm 3.

24 Problemes: 1. Sachat que la pérode d u phéomèe est égale à T± T, calculer la réquece de ce phéomèe et so certtude.. Das le motage de pot de Wheatstoe o déterme la valeur d ue résstace coue X à partr de la ormule X R R R ou R 1, R, R 3 sot coues avec des certtudes respectves R 1, R, R 3. Détermer la valeur de X Pour détermer la dstace ocale d ue letlle covergete o réalse sur le bac optque u motage compreat: ue source de lumère éclarat u objet, la letlle e questo l écra. La dstace objet-écra (mage) est costate et égaled ± D. O trouve l mage ette sur l écra quad la dstace objet-letlle est égale p ± p. O déterme alors la dstace ocale de la letlle de la ormule p p ' 1 Calculer l certtude.

25 4. Selo la lo de Cauchy le coecet de réracto d ue substace déped de la logueur d ode lumeuse qu l éclaré selo la ormule A + B λ Calculer de sachat que la valeur de la logueur d ode et l ± l, et que les costates A et B sot coues à 1% pres. 5. La desté relatve du lqude par rapport au lqude est doe par la ormule d m m 0 m m 1 0 ou les quattés m 1, m, m 0 sot détermes avec des certtudes m 1, m, m 0. Calculer l certtude d. 6. Calculer l certtude du coecet de dlatato d u lqude, doée par la ormule α ( m m )( 1+ kt) ( m m ) 0 ( m m )t 7. Le bla thermque das ue epérece calormétrque a la orme IUt mc 1 ( θ θ ) + µ ( θ θ ) 0 Calculer µ et µ, teat compte des certtudes de toutes les varables apparassat das cette ormule. 1 0