Documents de Travail du Centre d Economie de la Sorbonne

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1 Documens de Travail du Cenre d Economie de la Sorbonne D un muliple condiionnel en assurance de porefeuille : CAViaR pour les gesionnaires? Benjamin HAMIDI, Emmanuel JURCZENKO, Berrand MAILLET Maison des Sciences Économiques, boulevard de L'Hôpial, Paris Cedex 13 hp://ces.univ-paris1.fr/cesdp/ces-docs.hm ISSN : X

2 «D un muliple condiionnel en assurance de porefeuille : CAViaR pour les gesionnaires?» Résumé cour Dans le cadre de l assurance de porefeuille à coussin, le muliple garani une exposiion consane au risque. Nous proposons une méhode alernaive d esimaion condiionnelle de ce muliple, basée sur une modélisaion dynamique du cenile e la méhode de régression sur quanile. Après avoir esimé différenes versions de nore modèle sur le marché des acions américaines, nous comparons les performances relaives des porefeuilles gérés avec des muliples condiionnels e incondiionnels. Shor Absrac In a Consan Proporion Porfolio Insurance (CPPI) framework, a consan risk exposure is defined by he muliple of he sraegy. This aricle proposes an alernaive condiional muliple esimaion model, which is based on an auoregressive quanile regression dynamic approach. We esimae several specificaions of he condiional muliple model on he American equiy marke, and we compare relaive performances of cushioned porfolios using condiional and uncondiional muliples. Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

3 «D un muliple condiionnel en assurance de porefeuille : CAViaR pour les gesionnaires?» Benjamin Hamidi Emmanuel Jurczenko Berrand Maille - Mai Résumé La méhode d assurance de porefeuille à coussin (Cf. Black e Jones, 1987, Perold e Sharpe, 1988) consise en une allocaion dynamique enre un acif risqué e un acif sans risque, de façon à conserver une par consane d exposiion au risque. La srucure asymérique des performances induies par ce mode de gesion repose sur la déerminaion d un paramère esseniel : le muliple-cible. Différenes méhodes d esimaion du muliple on éé proposées dans la liéraure. Parmi celles-ci on peu disinguer d une par les méhodes d esimaion incondiionnelles basées soi sur la chue maximale hisorique des cours boursiers, soi sur la héorie des valeurs exrêmes, e d aure par les méhodes d esimaion condiionnelles basées sur une modélisaion auorégressive pariculière de la volailié e de variables reardées. Malgré leur uilisaion fréquene en finance, ces différenes approches souffren pouran de nombreux défaus. En suivan les approches de Chernozhukov e Umansev (2001), e d Engle e Manganelli (2004), nous proposons dans ce aricle une méhode d esimaion condiionnelle alernaive, basée sur une modélisaion dynamique du cenile e la méhode de régression sur quanile (Cf. Gouriéroux e Jasiak, 2008). Après avoir esimé différenes versions de nore modèle sur le marché des acions américaines, nous comparons les performances relaives des porefeuilles gérés avec des muliples condiionnels e celles issues des muliples incondiionnels radiionnels. Si les méhodes classiques d assurance de porefeuille peuven aénuer foremen l impac de ceraines des configuraions de marché baissières observées, l approche d assurance de porefeuille à muliple condiionnel apparaî, sur nore période de es, moins coûeuse en erme de rendemen, mais aussi en erme de rendemen par unié de risque. Mos clefs : assurance de porefeuille, CPPI, valeurs exrêmes, régression sur quanile. Classificaion JEL : G11, C13, C14, C22, C32. Nous remercions Thierry Chauveau, Thierry Michel, Paul Merlin, Jean-Philippe Médecin e Jean-Luc Prigen pour leur aide, leurs encouragemens e leurs conseils. Le roisième aueur remercie l Insiu Europlace de Finance pour son souien financier. Nos remerciemens von aussi aux paricipans des conférences inernaionales des Journées de Micro-économie Appliquée (Nanes, 2006), de la Journée d Economérie Financière Avancée (Paris, 2006) e de la conférence de l AFFI (Bordeaux, 2007). Nous remercions égalemen les deux rapporeurs anonymes, pour leurs commenaires e suggesions, qui on condui à améliorer significaivemen cee version de l'aricle. L averissemen habiuel es de rigueur. A.A.Advisors-QCG (ABN AMRO), Variances e Universié Paris-1 (CES/CNRS). Courriel : benjamin.hamidi1@malix.univparis1.fr ESCP-EAP. Courriel : ejurczenko@escp-eap.ne. A.A.Advisors-QCG (ABN AMRO), Variances e Universié Paris-1 (CES/CNRS e IEF). Correspondance à : B. Maille, MSE, CES/CNRS, Bd de l'hôpial F Paris Cedex 13. Tél/fax : /70. Courriel : bmaille@univparis1.fr. 2 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

4 «D un muliple condiionnel en assurance de porefeuille : CAViaR pour les gesionnaires?» 1. Inroducion La méhode d assurance de porefeuille à coussin - inroduie par Black e Jones (1987) e Perold e Sharpe (1988) - es une sraégie d allocaion dynamique enre un acif risqué e un acif sans risque, de façon à conserver une par consane d exposiion au risque. Le porefeuille ainsi couver profie d une parie des hausses du marché ou en éan héoriquemen proégé conre des baisses imporanes par un niveau de capial plancher prédéerminé. L invesisseur limie ainsi son risque à la baisse e paricipe, dans une ceraine proporion, à la hausse du marché. La srucure de performance asymérique des porefeuilles ainsi gérés repose en grande parie sur la déerminaion d un paramère esseniel qui défini l exposiion du porefeuille au risque : le muliple cible. Ce dernier s inerprèe comme l inverse de la chue poenielle maximale de la composane risquée que peu subir le porefeuille assuré sur une journée de bourse, sans enamer la garanie de capial iniial (Cf. Black e Perold, 1992 ; Ponce e Porai, 1997 ; Prigen, 2001 ; Berrand e Prigen, 2002 e 2005). Plus le muliple es élevé, plus la paricipaion aux hausses de marchés es fore, en conreparie, le risque de crever le plancher es plus imporan ceeris paribus. Différenes méhodes d esimaion on éé proposées dans la liéraure afin de déerminer le muliple-cible de la gesion à coussin. Parmi celles-ci on peu disinguer, d une par les méhodes d esimaion incondiionnelles fondées sur la chue maximale hisorique des cours boursiers (Cf. Black e Jones, 1987), sur la héorie des valeurs exrêmes (Cf. Berrand e Prigen, 2002) ; e d aure par celles reposan sur une modélisaion auorégressive pariculière de la volailié du marché e l observaion de variables prédicives (Cf. Chen e Chang, 2005). Malgré leur uilisaion fréquene, la plupar de ces approches souffren cependan de nombreux défaus. Elles s appuien en effe sur une modélisaion direce de la disribuion de probabilié (in)condiionnelle des renabiliés de l acif risqué e elles reposen sur des hypohèses saisiques fores elles que la normalié ou l hypohèse que les renabiliés boursières son Ideniquemen e Indépendammen Disribuées (Cf. Koureas e Zarangas, 2005). Suivan les approches développées par Chernozhukov e Umansev (2001) e Engle e Manganelli (2004) dans le cadre des modèles de Valeur-à-Risque (VaR), nous proposons dans ce aricle une nouvelle méhode d esimaion condiionnelle du muliple plus générale, basée sur une modélisaion du cenile uilisan la méhode de régression sur quanile. 3 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

5 D un poin de vue héorique, la demande d'assurance de porefeuille s'explique aussi bien dans le cadre de la maximisaion de l'espérance d'uilié (Basak, 1995 e 2002) que dans celui de la héorie des perspecives de Kahneman e Tversky (1979) avec des agens présenan de l'aversion pour les peres (Berkelaar e alii, 2004 ; Gomes, 2005). L assurance de porefeuille à coussin es opimale quand l invesisseur a une aversion pour le risque décroissane (Kingson, 1989). La demande pour l assurance de porefeuille peu ainsi direcemen êre reliée à l aversion au risque. Les agens ayan une aversion pour le risque variable (Cf. Jackson e alii, 1972 ; Campbell, 1999 ; Li, 2007 ; Couder e Gex, 2008), il nous semble inéressan d adaper le cadre radiionnel de l assurance de porefeuille dans un cadre lui aussi variable, qui auoriserai par exemple un comporemen conra-cyclique de la prise de risque. La déerminaion du muliple condiionnel en foncion du cenile es aussi jusifiée par son inerpréaion en ermes de VaR (considérée désormais comme un indicaeur de risque de référence) e par les ravaux sur l allocaion de porefeuille sous conraine de pere e la noion de pere «désasre» qui leur son liées (Roy, 1952 ; Leibowiz e Kogelman, 1991 ; Lucas e Klaassen, 1998). Dans le cadre de l assurance de porefeuille, nous proposons ainsi de réduire la VaR ex ane d un porefeuille, en agissan sur le muliple : en le réduisan quand celle-ci a endance à rop augmener e, inversemen, en augmenan le levier quand les marchés son calmes. L éablissemen du muliple condiionnel s inspire ainsi des praiques usuelles de gesion des risques e de conrôle classique en VaR. Ancran nore démarche sur ces différens ravaux, nous définissons donc nore allocaion en acif risqué en foncion d un muliple condiionnel déerminé à parir du niveau de pere «désasre» esimé à l aide de la VaR. Le muliple perme ainsi de faire varier la couverure en foncion de ce indicaeur de risque. Les gesionnaires visen dans cee perspecive une exposiion consane au risque, elle que définie par la VaR. Afin d illusrer l inérê de cee nouvelle approche, nous évaluons dans ce aricle les performances de porefeuilles déerminés par différenes spécificaions condiionnelles e incondiionnelles du muliple cible. Nore analyse pore sur un porefeuille géré en coussin e invesi pour sa par risquée dans l indice S&P500. Nous éudions en pariculier les performances de quare spécificaions auorégressives pariculières pour le cenile condiionnel 1, ainsi que rois versions avancées 2. Nore échanillon es composé des renabiliés journalières de l indice 1 Le cenile condiionnel es esimé à parir d un «modèle adapaif», d un «modèle à valeur absolue symérique», d un «modèle à pene asymérique», e d un modèle de ype «Indirec GARCH(1,1)». 2 Les rois versions avancées son fondées sur l observaion de variables exogènes reardées spécifiques. 4 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

6 S&P500 observées 3 enre le 4 janvier 1993 e le 16 janvier Nous réalisons égalemen un backes éendu de la méhode reenue sur l indice Dow Jones depuis janvier Si les méhodes classiques d assurance de porefeuille peuven aénuer foremen ceraines des configuraions de marché baissières observées, nore approche d assurance de porefeuille à muliple condiionnel apparaî cependan sur nore période de es moins coûeuse en erme de rendemen e de risque. Ce aricle es organisé de la manière suivane. Dans la secion 2, nous présenons le cadre général de la gesion en coussin. La secion 3 analyse la méhode d éablissemen d un muliple cible variable déerminé par la régression sur quanile, ainsi que les quare spécificaions auorégressives du cenile uilisées. Nous comparons, dans la secion 4, les performances obenues par nore méhodologie condiionnelle sur le marché des acions américaines avec celles issues des principales méhodes de déerminaion incondiionnelles du muliple cible. La secion 5 présene nos conclusions. 2. Cadre général de la gesion en coussin La gesion en coussin sui au cours du emps une sraégie d allocaion dynamique de porefeuille. Le plancher, noé F, es la valeur minimale du porefeuille accepable pour l invesisseur à l échéance. La valeur du porefeuille couver, noée V, es invesie dans un acif risqué e un acif sans risque. Il s agi alors de faire varier au cours du emps la proporion invesie dans l acif risqué, par rappor à l encours placé en acif sans risque, afin d assurer à ou momen le plancher garani conracuellemen. Ainsi, même en cas de baisse coninue du marché sur l horizon d invesissemen, noé T, le porefeuille conservera à l échéance une valeur au moins égale au plancher (i.e. un pourcenage pré-éabli du capial versé à l origine). La valeur héorique finale garanie ne peu êre évidemmen supérieure à la valeur invesie iniialemen capialisée au aux sans risque, noée V 0Exp( rt ). Le coussin, noé c, es défini comme l écar variable dans le emps, enre la valeur du porefeuille e celle du plancher garani, soi : c = V F (1) Le coussin es donc le monan héorique maximum que l on peu perdre sur une période sans enamer la garanie du capial. Le rappor enre l acif risqué e le coussin, correspond, à ou momen, au muliple cible, noé m. On déermine alors la somme placée en acif risqué en muliplian le coussin par ce muliple. Le muliple reflèe l exposiion maximale du porefeuille. La sraégie de gesion à coussin vise 3 Les données nécessaires à nos esimaions ne son pas renseignées en oalié avan cee dae. 5 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

7 ainsi à conserver une proporion consane d exposiion au risque. La posiion en acifs risqués, noée e, doi donc êre proporionnelle au coussin. Cee posiion s écri alors : e = m c. (2) Les cours flucuan, le muliple de gesion couran s écare consammen de sa valeur cible, c es pourquoi on choisi un roisième paramère, la olérance, noée τ, qui appliquée au muliple perme de déerminer le réajusemen du porefeuille. Si à la suie de la flucuaion de la valeur de l acif risqué, le muliple résulan de la posiion, noé * m, s écare de sa valeur cible d un pourcenage supérieur à la olérance, il y aura ajusemen (e donc frais de ransacion). Ainsi, [ 0, K ],T : muliple cible [ m (1 τ ), m (1 +τ )] * m. (3) Le problème principal de la gesion à coussin réside donc dans la déerminaion du m. En effe, en cas de baisse coninue de l acif risqué, la valeur du coussin resan oujours par définiion supérieure ou égale à zéro, le porefeuille suivan la méhode du coussin aura une valeur qui, en héorie, resera supérieure ou égale au plancher. Néanmoins, les ransacions ne s effecuan pas en coninu, en cas de chue bruale des cours de l acif risqué sous-jacen, le coussin ne permera d absorber, si le géran n a pas eu le emps de réajuser son porefeuille, qu une baisse inférieure ou égale à l inverse de la limie supérieure du muliple. 3. Eablissemen d un muliple cible condiionnel par la méhode de régression sur quanile Le muliple cible s inerprèe comme l inverse de la pere maximale que peu subir, sur une période uniaire, le porefeuille couver avan re-balancemen de sa composane risquée. Nore objecif es d éablir une nouvelle méhode d esimaion condiionnelle du muliple cible dans le cadre d une gesion de porefeuille à coussin 4. Pour cela nous uilisons une approche de couverure par quanile similaire à celle de la Valeur-à- Risque condiionnelle 5. Dans ce cadre de couverure probabilise, le muliple peu-êre esimé par l inverse du premier cenile condiionnel de la disribuion des rendemens boursiers, augmené 4 En praique, le géran (pour différenes raisons : diminuion des coûs de ransacion, exposiion maximale, conraines opéraionnelles ) choisi souven de manière discréionnaire un muliple de gesion inférieur ou égal à la borne haue du muliple définie par un modèle, par des sress ess ou par une srucure de garanie ierce parie (Cf. Ponce e Porai, 1997). Dans ce aricle e à des fins d évaluaion, nous avons choisi de suivre une poliique sysémaique : le muliple condiionnel es ainsi déerminé pour conserver une exposiion consane au risque défini par la VaR. 5 Cee approche à éé proposée iniialemen dans le cadre de la gesion à muliple consan (Cf. Berrand e Prigen, 2005). 6 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

8 du α ième quanile de l excéden du rendemen par rappor à ce cenile, noé Q ( α ). Le muliple cible peu alors s écrire formellemen comme : m = C α avec : C ( r ; ) + Q ( ) 1 p 0, 1, 1 i; i, i= 2 ( r ; ) = + C ( r -1) + l( x ) où C ( ; ) es le premier cenile de la disribuion condiionnelle des rendemens quoidiens du r sous-jacen risqué, r correspond au rendemen périodique de la par risquée du porefeuille couver en, de cenile condiionnel, (). es le veceur de dimension ( +1) (4) p des paramères inconnus de la foncion i, x son les composanes du veceur des ( 1) p variables explicaives, l es l opéraeur de reard d ordre 1, e Q ( α ) représene le quanile du rendemen en excès observé en cas de dépassemen du cenile condiionnel. La présence de erme auorégressif e des variables exogènes x dans l expression de C ( ; ) r perme ainsi d adaper la valeur du cenile au cours du emps. La chue poenielle maximale de l acif risqué es donc esimée à chaque période en ajouan au premier cenile condiionnel esimé, le quanile du rendemen supplémenaire observé en cas de dépassemen de ce dernier. Il es noé Q ( α ), e il es calculé sur la période d esimaion par : Qˆ ( α ) Min r C ( r ; ) (5) [ ] r 1 ; [ ] = 1 = 1,..., Γ où C ( ) es le cenile des rendemens de l acif risqué esimé par le modèle condiionnel considéré en, e Γ es le nombre oal d observaions dans la période d esimaion, avec [ 1,..., Γ] [ 1 ] =,...,T. Suivan Engle e Manganelli (2004), nous uilisons comme variable reardée du modèle général le dernier rendemen connu au momen de la déerminaion du muliple 6. Nous considérons égalemen quare spécificaions auorégressives pariculières pour la modélisaion du muliple-cible condiionnel. La première spécificaion correspond à un modèle adapaif e s écri : C A 1 ( r ; ) = C ( r ; ) + [ 1+ Exp{ 0,5 [ r C ( r ; )] }] 0, 01 (6) 1, 1 1 1, 1 1, , 1 A A 6 Un rendemen anormalemen négaif pouvan signaler le débu d une période de urbulence sur le marché, on s aend à ce que le muliple condiionnel diminue lorsque le dernier rendemen connu es négaif e augmene lorsque celui-ci es posiif. L effe de la variaion du rendemen de l acif risqué affece asymériquemen le muliplecible. 7 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

9 où r 1 correspond au rendemen de la par risquée du porefeuille garani sur la période précédene. L inuiion de cee spécificaion es la suivane. Tan que le rendemen quoidien n es pas inférieur à l esimaion du premier cenile, le muliple condiionnel peu croîre d un faible monan, ce qui perme de profier au mieux des hausses poenielles de la par risquée du porefeuille assuré. A l inverse, lorsque le premier cenile es dépassé, le muliple variable doi diminuer, ce qui perme de se proéger conre des baisses de l acif risqué de plus en plus imporanes. Ce modèle s adape à ses erreurs, ce qui perme de réduire la probabilié que l on sous-esime de manière répéée e successive le muliple-cible, mais cela ne garani néanmoins en rien que le muliple ne soi pas suresimé. La deuxième spécificaion correspond à un modèle à valeur absolue symérique. Sa formulaion es donnée par : C ( ) ( ) SVA r ; = 1, + 2, C r 1; , r 1. (7) SVA 1 Dans ce modèle, le muliple condiionnel réagi symériquemen aux rendemens passés de l acif sous-jacen, qu ils soien négaifs ou posiifs. Le modèle à pene asymérique consiue la roisième spécificaion uilisée pour esimer la forme foncionnelle du muliple condiionnel. Ce dernier s écri comme : + C ( r ) + C ( r -1) + r + r (8) où : PA ; = 1, 2, 1; 3, 1 4, PA 1 1 r r = max = min ( 0, r ) 1 ( 0, r ) Il perme de faire varier le muliple condiionnel différemmen selon le niveau des rendemens posiifs e négaifs consaés. La quarième e dernière spécificaion auorégressive reenue dans cee éude correspond à un modèle de ype «Indirec GARCH(1,1)». Son expression algébrique es de la forme : 2 2 C ( r ) + C ( r ) + r 1-1. (9) IG 1 [ [ ] ] { } 2 ; = 1, 2, 1 1; 3, IG 1 Cee modélisaion es correcemen spécifiée si les données sous-jacenes son issues d un modèle GARCH (1,1) avec un résidu Ideniquemen e Indépendammen Disribué 7.. Afin d améliorer la qualié de l esimaion du muliple condiionnel, nous proposons par ailleurs rois exensions pour chacune des spécificaions auorégressives, basées sur l ajou successif des variables exogènes reardées suivanes : le rappor enre le cours le plus hau e le 7 Cf. Engle e Bollerslev (1986). 8 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

10 cours le plus bas de la journée (range), la volailié implicie de l acif risqué e le volume de ires échangés au cours des derniers jours. Nous avons ainsi choisi de lier le niveau du muliple condiionnel à des indicaeurs avancés de l évoluion du marché disponibles pour la majorié des ires côés. Ainsi, le range es calculé grâce aux maxima de la journée ; il es radiionnellemen considéré comme un meilleur esimaeur de la volailié que la volailié empirique simple classique uilisée courammen (Cf. Parkinson, 1980) car il repose sur des caracérisiques imporanes du «vrai» processus de prix (plus hau e plus bas de la journée de coaions), pluô que sur des références arbiraires en emps calendaire (cours de clôure). La volailié implicie exraie du marché des opions es aussi un indicaeur avancé classique de la urbulence du marché e de sa volailié insananée (Corrado e Miller, 2005) ; elle possède un cerain caracère prédicif sur la volailié réalisée fuure. Enfin, le volume des ires échangés dans la journée appore quan à lui une indicaion uile sur l informaion circulan effecivemen sur le marché (Cf. Clark, 1973) 8. Nous appelons les muliples condiionnels ainsi esimés les «Muliples Condiionnels Avancés». Pour chaque spécificaion auorégressive reenue, les paramères du modèle de muliple variable son esimés à parir de la méhode de régression sur quanile 9. Les paramères du premier cenile condiionnel son ainsi obenus comme soluion du programme d opimisaion suivan : * = ArgMin { RQ ( )} (10) avec : RQ IR ( ) =,01 I r C ( r ) n [ ] ( ) T { 0 { } [ < r C r ; ; ]} = 1 où RQ (). es la foncion objecif de la régression par quanile ; es le veceur de dimension n des paramères inconnus de la foncion de cenile condiionnel ; I {}. représene la foncion indicarice e C (). correspond à une spécificaion auorégressive pariculière du premier cenile condiionnel des rendemens du sous-jacen risqué à la dae - Cf. équaions (6), (7), (8) e (9). Dans la parie suivane, nous analysons les esimaions des spécificaions condiionnelles précédenes sur le marché des acions américaines. Nous comparons ensuie les performances relaives des porefeuilles gérés avec des muliples condiionnels e incondiionnels. 8 Nous renvoyons à l aricle de Clark (1973) pour une explicaion sous-jacene dans le cadre de l hypohèse de mixure de disribuions e de processus de volailié subordonné, e, Ané e Geman, 2000, pour différenes alernaives quanifian le conenu informaionnel des ransacions volume, nombre, inensié 9 Toues les esimaions on éé réalisées sur le logiciel MaLab Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

11 4. Résulas empiriques Afin d illusrer nore approche, nous avons choisi de former un porefeuille invesi pour sa parie risquée dans l indice américain S&P500. La par invesie en acif non risqué es placée au aux monéaire américain au jour le jour. Nore échanillon commence le 4 janvier 1993 e se ermine le 16 janvier Après avoir esimé les différenes spécificaions des modèles de ceniles condiionnels présenées dans la secion III, nous choisissons le modèle qui minimise, sur la période d esimaion, la valeur associée à la foncion de régression sur quanile (Cf. équaion 10). L incorporaion au modèle de base reenu de différens indicaeurs avancés nous perme alors d améliorer la qualié de l esimaion de nore muliple condiionnel. Nous uilisons les premiers poins des séries de prix, de volume, du range, e du VIX pour esimer le muliple variable 10, e les derniers poins pour eser le modèle de muliple condiionnel avancé 11. Graphique 1. Rendemens quoidiens du S&P500 sur les périodes d esimaion e de es 8% 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -8% 01/93 10/93 06/94 03/95 12/95 09/96 06/97 03/98 12/98 09/99 05/00 02/01 11/01 08/02 05/03 02/04 11/04 07/05 04/06 01/07 10/07 Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures du S&P500 du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. Le ableau 1 présene les résulas de nos esimaions. Nous consaons que le paramère associé au erme auorégressif es significaif quel que soi le modèle considéré 12. Ce paramère possède par ailleurs une valeur élevée pour les rois premiers modèles. Ceci illusre le fai que le phénomène de dépendance des volailiés des rendemens es élevé, même dans les queues de 10 Le Volailiy Index (VIX en abrégé) es l indice de volailié implicie exrai des opions à la monnaie à 30 jours échangées sur le S&P500 sur le marché de Chicago (CBOE). Inrodui en 1993, il es souven considéré comme un bon proxy de l anicipaion du marché à cour erme de la volailié insananée fuure de l indice S&P500 (Cf. Corrado e Miller, 2005). 11 Nore période d esimaion comprend des rendemens foremen négaifs pour l acif risqué comme par exemple lors de la crise asiaique de , l éclaemen de la bulle Inerne en 2000, ou de la crise liée aux aenas du 11 sepembre Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

12 disribuion. Par ailleurs, si la probabilié de «dépasser» le premier cenile condiionnel es par consrucion proche de 1% sur la période d esimaion, cee dernière apparaî négligeable sur la période de es. Les graphiques A.1, A.2 e A.3 en annexe représenen, sur la période d esimaion, l opposé du rendemen quoidien du S&P500 e l opposé du cenile, esimé respecivemen par les modèles de ype «Indirec GARCH», à sensibilié symérique, e à sensibilié asymérique. Pour ces rois modèles, les évoluions du cenile semblen visuellemen bien esimés : les dépassemens ne son pas groupés e ils on des ampliudes variables. Ces rois modèles semblen donc bien adapés pour décrire la dynamique du cenile des rendemens du S&P500. Les modèles de cenile condiionnel à sensibilié symérique e de ype «Indirec GARCH» dépenden des variaions absolues de l acif risqué. Cependan, lorsqu on rapproche les résulas des modèles à sensibilié symérique e «Indirec GARCH» d un côé, e de l aure les résulas obenus pour le modèle de cenile condiionnel à sensibilié asymérique, le premier cenile condiionnel des rendemens journaliers du S&P500 semble caracérisé par un comporemen de ype asymérique. L occurrence de rendemens foremen négaifs explique une grande par de la variaion du premier cenile condiionnel, alors que les rendemens posiifs possèden une influence faiblemen significaive sur la dynamique du quanile. Lorsque le S&P500 présene un rendemen foremen négaif, le cenile diminue. Par conre, les rendemens posiifs on relaivemen moins d impac sur sa dynamique. Le modèle à sensibilié asymérique semble donc bien adapé aux périodes de fores volailiés où des rendemens foremen posiifs e négaifs se succèden e où le quanile condiionnel rese bas. Le cenile adapaif apparaî quan à lui, sur nore échanillon, êre le modèle qui explique le moins bien le premier cenile des rendemens quoidiens du S&P500 (la foncion objecif de la régression sur quanile prenan ici sa valeur la plus élevée). Si ce dernier modèle possède l avanage de réduire la probabilié que l on suresime de manière répéée e successive le premier cenile condiionnel, celui-ci ne saurai cependan, par consrucion, empêcher la sous-esimaion des quaniles exrêmes. Ainsi nous observons sur le graphique A.4 présené en annexe (qui décri les évoluions de l opposé du cenile esimé par le modèle adapaif e de l opposé du rendemen quoidien du S&P500) que le cenile esimé par la méhode adapaive augmene régulièremen e lenemen avec le emps sauf lorsque le rendemen du sous-jacen risqué es inférieur au cenile. Cee nouvelle informaion es alors prise en compe, e le cenile diminue brualemen. La 12 Le paramère du erme auorégressif es noé 1 pour le modèle adapaif e 2 pour les aures modèles. 11 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

13 spécificaion adapaive ne perme donc pas d aniciper les variaions ; elle se conene de les subir. Ce comporemen pariculier nous amène à ne pas reenir par la suie cee spécificaion. Tableau 1. Résulas des esimaions des quare modèles de base de ceniles pour le S&P500 pour la période Les quare modèles de premier cenile condiionnel s écriven respecivemen : C ( r ; ) = + C ( r ; -1) + r SVA 1, 2, SVA 1 1 3, 1 C ( r ; ) = + C ( r ; -1) + max( 0, r ) + min( 0, r ) PA 1, 2, PA 1 1 3, 1 4, C ( r ; ) = { + [ C ( r ; -1) ] + r } IG 1, 2, IG 1 1 3, 1 1 C ( r ; ) = C ( r ; ) + [ 1+ Exp{ 0,5 [ r C ( r ; )]}] 0,01 A 1, A 1 1 1, 1 1, 1 A 1 1 1, 1 avec r 1, le rendemen quoidien (de l acif sous-jacen risqué) de la veille. 1 [ ] Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4 -Valeurs absolues- -Asymérique- -Indirec GARCH- -Adapaif- 0,07% 0,13% 0,10% 0,24% Ecar-ype 0,03% 0,04% 0,04% 0,11% P-saisique 0,83% 0,00% 1,00% 1,30 % 2 0,96% 0,91% 0,94% - Ecar-ype 0,02% 0,03% 0,01% P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 3 0,09% (-0,07) % (0,27) % - Ecar-ype 0,04% 0,06% 0,42% P-saisique 1,21% 11,76% 25,95% ,16%% - - Ecar-ype 0,05% P-saisique 0,00% RQ 98,34% 94,46% 97,36% 99,45% His In-sample 0,93% 0,96% 0,97% 1,11% His Ou-of-sample 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Pere cumulée (USD) 25,83% 25,15% 25,64% 27,40% Pere maximale (USD) 4,58% 4,08% 4,58% 4,65% Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures du S&P500 du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. Les paramères enre parenhèses son non-significaifs au seuil de 5%. Les valeurs significaives présenées dans ce ableau on éé recalculées en ne enan compe que des ermes significaifs. RQ(.) es la valeur associée à la foncion objecif de la régression sur quanile. Sur nore échanillon, le modèle de cenile condiionnel à sensibilié asymérique présene la valeur associée à la foncion objecif la plus peie 13. Il apparaî, de plus, pariculièremen bien adapé aux périodes de fore volailié. C es pourquoi nous avons choisi de reenir par la suie cee dernière spécificaion comme modèle de base lors de l éablissemen du muliple condiionnel. 13 Les résulas des esimaions des modèles présenés son néanmoins rop similaires pour ener à priori de les disinguer. Nous ne préendons pas ici pouvoir différencier de façon caégorique les différens modèles e nous conenons ici de présener quelques alernaives qui s avèren donner des résulas accepables e relaivemen 12 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

14 Afin d améliorer la qualié de l esimaion du muliple condiionnel, nous augmenons dans un second emps la spécificaion asymérique du cenile par l ajou de différens indicaeurs avancés. Les spécificaions des modèles de muliples asymériques condiionnels avancés, noés C 1, PA CPA 2 e PA C 3, dépenden ainsi - en plus des variables significaives, respecivemen, du rappor enre le cours le plus hau e le bas consaé lors de la dernière journée de coaion du S&P500, de la volailié implicie exraie du marché américain des opions sur acions e du volume échangé sur les acions composan le S&P500. Son représenées sur les graphiques A5, A6, A7 siués en annexe 1 les évoluions sur la période d esimaion, des valeurs du cenile condiionnel obenues pour chacune des rois spécificaions du modèle avancé asymérique du premier cenile condiionnel. Nous avons égalemen représené dans le ableau 2 (Cf. ci-dessous) les résulas des esimaions obenus sur la période d éude pour la meilleure spécificaion avancée du premier cenile : à savoir, la spécificaion auorégressive asymérique qui uilise la parie négaive des rendemens e le range (spécificaion noée C 1 ). PA Rappelons que pour la spécificaion condiionnelle asymérique reenue, le muiple-cible variable es déerminé empiriquemen, el que : avec : mˆ [ ] 1 PA 1 ( ) = C ( r ; ) + Qˆ ( α ) ( ) Min [ r C ( r ; ) ] [ ] Qˆ α = PA1 1 = 1,..., Γ où C (). es la valeur associée à la spécificaion du premier modèle de cenile condiionnel en, PA1 en foncion des rendemens négaifs e du range des rendemens du sous-jacen risqué, Qˆ ( α ) représene l excès de renabilié maximal par rappor au premier cenile condiionnel observé sur la période d esimaion, au seuil de significaivié α, e Γ es le nombre oal d observaions dans la période d esimaion, avec [ 1,..., Γ] [ 1,...,T ] =. (11) similaires. Par la suie, pour simplifier nore présenaion, nous reenons qu une des spécificaions présenées, sur un crière ad hoc e arbiraire d ajusemen. 13 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

15 Tableau 2. Résula des esimaions du cenile asymérique avancé pour le S&P500 pour la période Rappelons que les rois versions s écriven : ; C r = + ; + min 0, + 1, 2, 1 1 3, C r r 1 z PAi PAi 4, 1 Pour les modèles CPA 1, C PA 2 e C PA 3 : z es le rappor enre le cours le plus hau e le plus bas de la dernière journée de coaion du S&P500 ; z es la volailié implicie exraie du marché américain des opions sur acions ; z es le volume échangé des acions composan le S&P C PA1 C PA2 C PA3 - Range - - VIX - - Volume - 2,31% -7,31% -0,45% Ecar-ype 0,18% 3,53% 0,19% P-saisique 0,00% 1,92% 0,87% 2 0,85% (-0,27) % 0,95% Ecar-ype 0,03% 0,28% 0,06% P-saisique 0,00% 17,17% 0,00% 3-0,18% (-0,20) % (0,04) % Ecar-ype 0,05% 0,17% 0,05% P-saisique 0,03% 10,98% 20,02% 4-0,40% 3,60% 0,03% Ecar-ype 0,03% 0,83% 0,02% P-saisique 0,00% 0,00% 6,82% RQ 90,07% 90,51% 95,97% His In-sample 0,93% 0,93% 0,97% His Ou-of-sample 0,20% 0,60% 0,00% Pere maximale (USD) 4,17% 4,07% 4,68% Pere cumulée (USD) 21,57% 18,58% 26,08% Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures, cours minimum e maximum, volume quoidien de ransacions pour le S&P500, e volailié implicie issue du marché des opions sur acions américaines VIX du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. Les paramères enre parenhèses son non-significaifs au seuil de 5%. Les valeurs significaives présenées dans ce ableau on éé recalculées en ne enan compe que des ermes significaifs. RQ(.) es la valeur associée à la foncion objecif de la régression sur quanile. Comme le monre le graphique 2 (ci-dessous), le muliple condiionnel asymérique avancé calculé à parir du range du S&P500, varie sur nore période de es enre 8,1 à 10,5 avec une valeur moyenne de 9,7 e un écar-ype de 0,4. Si ce dernier possède un niveau en moyenne comparable avec les muliples incondiionnels qui son uilisés par les praiciens (de l ordre de 4 à 9), il peu égalemen aeindre dans ceraines configuraions de marché un niveau comparable avec les muliples incondiionnels esimés par la héorie des valeurs exrêmes. Le muliple incondiionnel maximum que nous envisageons dans nore éude es fixé arbirairemen à 13. Cee valeur es ceres bien plus élevée que les muliples que l on pourrai rouver dans la praique, mais c es une valeur cohérene avec la pire pere possible, obenue à parir de l esimaion des paramères d une loi des exrêmes sur le marché américain (Cf. Berrand e Prigen, 2002). Bien que rès élevée e peu réalise pour des applicaions praiques usuelles, cee valeur «exrême» 14 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

16 nous ser néanmoins de cas limie dans la suie. Ainsi, la performance du porefeuille assuré via un muliple condiionnel dépend, bien évidemmen, de l évoluion du rendemen de l acif sousjacen risqué. Graphique 2. Evoluion du muliple condiionnel asymérique avancé esimé sur le S&P500 sur la période /03 12/03 03/04 06/04 09/04 12/04 03/05 06/05 09/05 12/05 03/06 06/06 09/06 12/06 03/07 06/07 09/07 12/07 Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures, cours minimum e maximum du S&P500 du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. La méhode de Cappiello e alii (2005) nous perme de visualiser les co-mouvemens des rendemens de deux porefeuilles. Cee représenaion graphique, appelée «boîe de comouvemens», es illusrée dans nore cas par le graphique 3 (ci-dessous). L axe des ordonnées correspond aux probabiliés condiionnelles associées aux quaniles des rendemens du porefeuille à muliple condiionnel, condiionnellemen aux réalisaions de l'aure porefeuille soumis à comparaison. L axe des abscisses représene la probabilié α associée aux quaniles des rendemens des porefeuilles à comparer. Le graphique 3 illusre ainsi la probabilié que le rendemen du porefeuille à muliple condiionnel soi inférieur à son (propre) α -quanile condiionnellemen au fai que le rendemen du porefeuille de muliple 13 soi lui aussi en dessous de son (propre) α -quanile, quand le seuil α es inférieur à 50%. Quand α es supérieur à 50%, nous représenons alors la probabilié que le rendemen du porefeuille condiionnel soi supérieur à son quanile quand celui du porefeuille incondiionnel es au-dessus de son quanile. Les rois cas polaires son représenés à ire indicaif (sur le graphique 3). La droie d ordonnée 100% (en rai épais) représene une corrélaion parfaie enre les rendemens des deux porefeuilles ; la probabilié que le rendemen du premier porefeuille apparienne au même 15 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

17 quanile que le rendemen du deuxième porefeuille es oujours dans ce cas de 100%. Ainsi en pariculier, quand le rendemen du porefeuille incondiionnel es exrême, la renabilié du porefeuille condiionnelle l'es aussi. Le «riangle» - en rai gris - illusre lui une indépendance parfaie enre les rendemens des deux porefeuilles comparés ; en effe, la probabilié que les rendemens des deux porefeuilles appariennen au même quanile es ici exacemen égale à α %. Ainsi, les co-mouvemens exrêmes ne son pas liés : la densié incondiionnelle ne se disingue pas de la densié condiionnelle, e la probabilié condiionnelle du porefeuille es indépendane des réalisaions sur le porefeuille incondiionnel. Nous représenons enfin la droie d ordonnée 0%, qui indique une ani-corrélaion parfaie enre les rendemens des deux porefeuilles ; la probabilié que le rendemen du premier porefeuille soi inférieur à son quanile quand le second l'es aussi es nulle ; ainsi, les porefeuilles réagissen de manière ani-symérique e leurs co-mouvemens varien en sens opposés. Le graphique 3 perme ainsi d analyser visuellemen les co-mouvemens des rendemens des porefeuilles à muliple condiionnel e incondiionnel de valeur 13, nous consaons que les renabiliés du porefeuille à muliple condiionnel son rès faiblemen liées à celles du porefeuille à muliple 13 lorsque les renabiliés son rès basses (premier décile de la disribuion des rendemens) ou rès haues (5 derniers ceniles), mais que la corrélaion enre les rendemens des deux porefeuilles es imporane pour les valeurs médianes de rendemens. Auremen di, les comporemens des deux porefeuilles seron similaires dans la plupar des cas, mais rès différens parfois dans les périodes de renabiliés exrêmes (où la proecion s'exercera effecivemen). Le porefeuille proégé avec un muliple condiionnel calculé à parir du range e de la spécificaion asymérique, es donc foremen dépendan de l évoluion du rendemen du S&P500, sauf quand celui-ci connaî des rendemens «anormalemen» négaifs. Après avoir esimé le muliple condiionnel, nous évaluons mainenan l inérê de nore approche en comparan les performances de la sraégie de gesion à coussin variable avec celles obenues dans le cadre d une sraégie de gesion à coussin consan de ype CPPI sur le S&P500 depuis sepembre Pour une meilleure lisibilié, nous avons choisi de comparer la sraégie d assurance de porefeuille à coussin variable fondée sur la spécificaion asymérique avancée (équaion 11) avec rois sraégies de gesion à coussin pariculières : la sraégie incondiionnelle qui aein la plus grande valeur à la fin de la période de es (rendemen maximum ex pos), la sraégie de gesion à muliple consan déerminée par la héorie des valeurs exrêmes, e la sraégie de gesion à coussin la moins risquée ex ane. Ces dernières corresponden sur nore 16 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

18 échanillon respecivemen aux porefeuilles à coussin incondiionnel à muliples cibles consans de 3, 13 e 1. Graphique 3. Boîe de co-mouvemens enre les rendemens du porefeuille à muliple condiionnel par rappor aux rendemens du CPPI à muliple consan de valeur 13 pour le S&P500 sur la période Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures, cours minimum e maximum du S&P500, du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs d après Cappiello e alii (2005). Sur ce graphique on représene (sur la courbe grise) le quanile condiionnel des rendemens du porefeuille à coussin à muliple condiionnel sachan le quanile des rendemens du porefeuille à coussin de muliple 13. Le «riangle» indique une indépendance parfaie enre les rendemens des deux porefeuilles à coussin. La droie d ordonnée 100% représene une corrélaion parfaie des rendemens des deux porefeuilles. Enfin la droie d ordonnée 0% indique une corrélaion nulle enre les deux porefeuilles. Le graphique 4 (ci-dessous) représene l évoluion de ces porefeuilles à coussin sur le S&P500 depuis sepembre La sraégie d assurance par muliple condiionnel domine la plupar du emps les sraégies d assurance de porefeuille incondiionnelle. Au erme de la période de es, le porefeuille à coussin géré par le muliple avancé asymérique possède en effe la valeur la plus élevée : il rappore ainsi 6,05% par an sur la période de es, alors que la meilleure sraégie incondiionnelle ne rappore que 3,26% par an, e que les méhodes de couverure incondiionnelles ne rapporen en moyenne que 1,90% par an sur la même période. Le sousjacen risqué du porefeuille à coussin, l indice S&P500, rappore quan à lui 6,49% par an sur la période de es. Le coû absolu de l assurance par le muliple condiionnel avancé asymérique es ainsi sur cee période plus faible que celui associé aux différenes méhodes incondiionnelles d assurance à coussin (i.e. la différence enre la renabilié du sous-jacen risqué e celle du porefeuille assuré s éabli à 0,44 % pour la sraégie de gesion à coussin variable conre, respecivemen, 3,23% e 6,27% pour les porefeuilles assurés avec des muliples cibles consans de 3 e 13). 17 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

19 Les volailiés des rois porefeuilles assurés son par ailleurs inférieures à la volailié du sousjacen risqué. Le porefeuille CPPI de muliple 1 es bien enendu, celui qui possède, sur la période de es, la volailié la plus basse. Ce dernier aénue en effe au mieux le mouvemen du sous-jacen risqué alors que le porefeuille CPPI de muliple 13 possède quan à lui une volailié annualisée relaivemen élevée sur l ensemble de la période de es (15,61%). Graphique 4. Valeurs des porefeuilles assurés à muliple condiionnel e incondiionnels (1, 3, 6 e 13) pour le S&P500 sur la période S&P CPPI muliple de Porefeuille à muliple condiionnel CPPI muliple 1 CPPI muliple de 3 CPPI muliple de /03 12/03 03/04 06/04 09/04 12/04 03/05 06/05 09/05 12/05 03/06 06/06 09/06 12/06 03/07 06/07 09/07 12/07 Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures, cours minimum e maximum du S&P500 du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. Son représenées sur ce graphique : les valeurs du S&P500 (en rai gris clair fin), les valeurs de quare porefeuilles à coussin à muliples consans 1, 3, 6 e 13 (en rais coninu épais, fin, poinillés gras e poinillés fins), e la valeur du porefeuille à coussin avec muliple condiionnel (en rai épais coninu). Le porefeuille à muliple condiionnel asymérique avancé (équaion 11) domine égalemen sur la période de es les porefeuilles à muliples incondiionnels en erme de rappor rendemen/risque, avec un raio de Sharpe de 0,28 conre respecivemen 0,12 e -0,16 pour les porefeuilles CPPI avec muliple cible de 3 e de 13. On remarque par ailleurs que les coefficiens d asymérie des rendemens des porefeuilles assurés son ici ous différens de zéro, e les ess de normalié confirmen que les disribuions de ces rendemens ne son pas normales. Bien qu éan un indicaeur de référence (Sharpe, 1994), l uilisaion du seul raio de Sharpe pour juger de la perinence de la sraégie es insuffisane, noammen en raison de l asymérie des rendemens créée par la sraégie assuranielle. Bien que le momen d'ordre 2 puisse oujours s'inerpréer comme une mesure de la dispersion associée à la disribuion sous-jacene, la nonnormalié des séries de rendemens issues des sraégies de proecion nous condui en effe à une ceraine prudence d'inerpréaion e à compléer l'analyse comparaive des différens raios de Sharpe en uilisan des mesures de performance complémenaires. Nous avons ainsi aussi calculé 18 Documen de Travail du Cenre d'economie de la Sorbonne

20 le raio de Sorino (avec pour référence la moyenne des rendemens), la mesure Omega (avec un rendemen seuil arbirairemen fixé à zéro) e la mesure Kappa d'ordre 3 (pour enir compe de l'asymérie des rendemens des sraégies éudiées), mesures qui généralisen le raio de Sharpe dans les cas de disribuions non-gaussiennes. En effe, le raio de Sorino es un raio de Sharpe modifié qui subsiue la semi-volailié à la volailié au dénominaeur du raio (Sorino e van der Meer, 1991). En cas d'asymérie de la disribuion des rendemens, le raio de Sorino permera ainsi de renormer le rendemen excédenaire par une mesure de risque plus en lien avec les peres poenielles de l'invesisseur (rendemens inférieurs à la moyenne). La mesure de performance Omega, inroduie par Keaing e Shadwick (2002), es quan à elle définie comme le rappor enre l'aire sous la foncion de répariion des rendemens au dessus e celle en dessous d'un cerain seuil de rendemen. Une mesure Omega plus élevée signifiera que la densié de rendemen es plus «imporane» au dessus du seuil qu'en dessous. Le raio défini prend donc en considéraion l'asymérie, mais aussi l'aplaissemen de la densié des rendemens de la sraégie éudiée, au ravers d'une mesure synhéique de l'ensemble des caracérisiques de la disribuion de rendemens de la sraégie analysée. Enfin, la mesure de performance Kappa, inroduie par Kaplan e Knowles (2004), uilise une mesure de risque plus générale ; le raio de Sorino es équivalen à une mesure Kappa d'ordre 2, e la mesure Omega es égale à l'unié plus la mesure Kappa d'ordre 1. La mesure Kappa d'ordre n sera le rappor enre le rendemen excédenaire par rappor à un seuil de rendemen e le semi-momen d'ordre n par rappor à ce seuil. Ainsi, la comparaison du raio de Sorino (Sorino e van der Meer, 1991), de la mesure Omega (Keaing e Shadwick, 2002 ; Berrand e Prigen, 2006) e de la mesure Kappa placen le porefeuille à muliple condiionnel dans le premier quarile des sraégies à coussin esées (sraégie à muliple condiionnel, e les reize sraégies à muliple incondiionnel - de 1 à 13). La comparaison des foncions de densié des rendemens des porefeuilles assurés condiionnels e incondiionnels (Cf. graphiques 5 e 6) monre que la disribuion des renabiliés du porefeuille assuré avec un muliple cible de 13 possède une queue de disribuion à gauche beaucoup plus épaisse que celle de nore porefeuille à muliple condiionnel. Le porefeuille CPPI avec muliple de 3 es quan à lui caracérisé à la fois par une probabilié quasi-nulle de pere inférieure à 1,8% e un rès faible aux de paricipaion en cas de hausse du sous-jacen risqué (la probabilié de dépasser 1,5% éan ici proche de zéro). Ces observaions son illusrées par le graphique 7.a. Enfin, le porefeuille géré par le modèle de muliple condiionnel asymérique avancé (équaion 11) perme une adapaion rès rapide de son exposiion en acif risqué aux mouvemens du marché (Cf. les graphiques 8.a e 8.b). Documen de Travail du Cenre d'economie -19- de la Sorbonne

21 Tableau 3a. Caracérisiques financières des porefeuilles à coussin sur le S&P500 sur la période S&P500 Acif Muliple Muliple Muliple Muliple Muliple (09/ /2008) risqué variable Rendemen 0,06 0,06 0,03 0,03 0,02 0,00 Volailié 0,12 0,12 0,01 0,05 0,11 0,16 VaR 99% -0,02-0,02 0,00-0,01-0,02-0,03 Skewness -0,33-0,36-0,46-0,69-0,97-1,16 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Kurosis 4,83 4,89 6,54 7,89 0,99 9,99 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Jarque-Bera 180,03 193,08 632, , , ,73 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Kolmogorov-Smirnov 0,49 0,49 0,50 0,49 0,49 0,49 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Anderson-Darling 7,96 8,02 12,86 18,21 19,18 16,06 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Sharpe 0,31 0,28 0,23 0,12-0,02-0,16 Sorino 0,05 0,05 0,21 0,06 0,02 0,01 Omega 1,10 1,10 1,50 1,13 1,05 1,02 Kappa 0,03 0,03 0,14 0,04 0,01 0,00 Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures, cours minimum e maximum du S&P500 du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. Les rendemens e volailiés son ici annualisés. La VaR indiquée dans chaque colonne es une VaR hisorique au seuil de 99%, calculée sur l'ensemble des rendemens individuels annuels. Les P- saisiques des coefficiens d'asymérie (Skewness) e des indices d'aplaissemen (Kurosis) corresponden aux ess paramériques de Pearson. Tableau 3b. Caracérisiques financières des porefeuilles à coussin sur des séries "boosrappées" sur le S&P500 sur la période S&P500 Acif Muliple Muliple Muliple Muliple Muliple (09/ /2008) risqué variable Rendemen 0,06 0,05 0,03 0,04 0,03 0,03 Volailié 0,12 0,10 0,02 0,06 0,13 0,28 VaR 99% -0,02-0,02 0,00-0,01-0,02-0,04 Skewness -0,33-0,25-0,17-0,27-1,19-1,53 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Kurosis 4,83 14,34 8,15 37,60 152,89 257,63 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Jarque-Bera 1, , , , , , P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Kolmogorov-Smirnov 0,49 0,49 0,50 0,49 0,48 0,47 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Anderson-Darling 7,96 8,02 12,86 18,23 19,20 16,07 P-saisique 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Sharpe 0,31 0,45 0,22 0,16 0,05 0,00 Sorino 0,05 0,04 0,19 0,06 0,03 0,02 Omega 1,10 1,12 1,42 1,14 1,09 1,12 Kappa 0,03 0,03 0,12 0,03 0,01 0,01 Source : Bloomberg, données quoidiennes, prix de clôures, cours minimum e maximum du S&P500 du 05/01/1993 au 16/01/2008 ; calculs des aueurs. Pour les projecions, la méhode de simulaion par boosrap saionnaire es ici uilisée (Cf. Poliis e Romano, 1994). Les projecions son fondées sur le irage de 500 séries de 3921 rendemens quoidiens La aille des blocs de rendemens es déerminée par une loi géomérique de paramère 0,9. Les saisiques présenées ici représenen de simples moyennes arihméiques des saisiques individuelles obenues en appliquan les sraégies de proecion à chacun des ires sur oue la période considérée. Les rendemens e volailiés son ici annualisés. La VaR indiquée dans chaque colonne es une VaR hisorique au seuil de 99%, calculée sur l'ensemble des rendemens individuels annuels. Les P-saisiques des coefficiens d'asymérie (Skewness) e des indices d'aplaissemen (Kurosis) corresponden aux ess paramériques de Pearson. Documen de Travail du Cenre d'economie -20- de la Sorbonne