Lycée René Cassin. Chap 10 Chapitre 9 et 10 Chutes verticales et mouvements plans DM18 : Etude de mouvements plans - Correction.

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1 Chap Chapire 9 e Chues vericales e mouvemens plans DM8 : Eude de mouvemens plans - Correcion Dae : Un cascadeur doi sauer avec sa voiure sur la errasse d un immeuble. Pour cela, il uilise un remplin disan d une disance d = m de l immeuble e faisan un anle avec l horionale. Ma masse du sysème {voiure + cascadeur} es m = 9 k. Ean un ancien élève de erminale S du lycée de Tarare, ce cascadeur va essayer d uiliser ses vieu souvenirs de mécanique pour réussir sa cascade. C C Première parie : Eude du mouvemen enre les poins O e B. On considère que : Le sau commence lorsque le cenre d inerie G de l ensemble {voiure + cascadeur} es en O. A l insan où les roues de la voiure ouchen la errasse, le cenre d inerie G es en B. A =, Le cenre d inerie G coïncide avec l oriine du repère. ) En considéran que les forces de froemen de l air son nélieables, éablir les équaions horaires paramériques () e () du mouvemen du cenre d inerie G du sysème {voiure + cascadeur} enre les posiions O e B. La seule force s eerçan sur le sysème {voiure + cascadeur} es son poids puisque les froemens de l air e la poussée d Archimède son nélieables. Appliquons alors la deuième loi de Newon : Projeons la relaion dans le repère (O,, ) : Selon (O, ), on a : a Selon (O, ), on a : - m. a soi - = a Or, par définiion, = : d d d ² ² ² Eablissemen des équaions différenielles : On choisi les condiions iniiales suivanes : A = : = ; Y = ; = E ( ) a) Selon i : d ².sin( C avec C une consane Or à = ; = d. C avec C une consane. Or à = ; = = C )

2 Chap.cos( b) Selon k : ). pour ou d ². C 3 avec C 3 une consane. Or à = ; =.sin( ) = C 3..sin( ) d.sin( ). C 4 avec C 4 une consane. Or à = ; = = C 4.sin( ). On obien donc les équaions paramériques suivanes :..sin( ).

3 Chap ) Eablir alors l équaion carésienne = f() de la rajecoire à parir du poin O du cenre d inerie G. On observe que. En remplaçan dans l epression de :.sin( )..cos( ).an( ) an( ).. Remarques : L équaion de la rajecoire es une équaion du ype : = a.² + b. + c, c es une parabole. 3) Le cascadeur souhaie aeindre la errasse avec une viesse horionale. Avec quel poin pariculier de la rajecoire doi alors coïncider le poin B? Le poin B doi alors coïncider avec le somme de la rajecoire car à ce insan, la composane v de la viesse s annule (puisque aein son maimum : la viesse es donc réduie à sa composane horionale. 4) Eprimer les coordonnées du somme S de la rajecoire de G en foncion de e. Il fau donc chercher l insan pour lequel v = = Soi : -. +.sin = c es-à-dire à l insan = Le somme S de la rajecoire a alors pour coordonnées : S =.cos. S =.cos. S = S = S = -.. ² +.sin. S = -..( ² +.sin. S = -. + S =. 5) A quelles condiions poran sur e le somme de la rajecoire coïncide--il avec le poin B. La valeur de devra êre eprimée en m.s - puis en km.h -. D après l énoncé, on connaî les coordonnées du poin B : B = d = m e B = h-h = 3, m Il fau donc résoudre le sysème : S = B S = B = = = an = =,3 = 7. = 3 7 m.s - Conversion de la viesse : 7 m.s = 96 km.h - Deuième parie : Eude du mouvemen enre les poins B e C Arrivé au poin B (d abscisse B = m), le cascadeur devra alors freiner pour s arrêer avan d avoir aein l erémié de la errasse de l immeuble don la lareur de la errasse es d = 3 m. Pour des raisons de sécurié, la voiure doi s arrêer avan le poin criique C siué à m du poin B : ainsi on cherche les condiions pour lesquelles la composane horionale de la viesse devien nulle au poin C. On considère que :

4 Chap Les froemens de l air son nélieables. La nouvelle oriine des daes es choisie elle que à =, le cenre d inerie G es en B. A la dae =, le veceur viesse es horional e a pour valeur = 5,6 m.s - 6) Faire un bilan des forces s appliquan au sysème enre les poins B e C. Les forces s eerçan sur le sysème {voiure + cascadeur} son : - le poids, - la réacion du suppor plan R qui peu êre décomposée enre réacion normale e réacion anenielle ou forces de froemen. 7) Que peu-on dire de la valeur de a enre ces deu poins? La valeur de a enre les poins B e C es nulle puisqu il n y a pas de mouvemen selon l ae (O, ). 8) En appliquan la deuième loi de Newon, en déduire l inensié R N de la composane normale de la réacion du suppor plan. D après la ème loi de Newon, + + Projeons cee relaion dans le repère (O,, ) : Selon (O, ), on a : - f a Selon (O, ), on a : - P + R N a soi - m. + R N = soi R N 9) On considère que pendan oue la phase de freinae, la composane anenielle de la réacion du suppor a une inensié consane f. a. En appliquan la deuième loi de Newon sur l ae (O ), eprimer v e en foncion du emps. Selon (O, ), on a : - f a - f = m. soi =, v =. + Or, v =, =. ²+. + Or, on a choisi = soi =. ²+. b. En déduire la dae à laquelle la viesse v s annule. v = donc. + = soi =. c. A parir de l équaion (), monrer alors que la force de froemen s eprime : f = On cherche les condiions pour lesquelles la composane horionale de la viesse devien nulle au poin C, soi pour ( ) = C = m. ²+. =. (. ²+.. = f = m. ² = d. Calculer la valeur de cee force de froemen. f = f = =,9. 4 N e. N éan pas ou-à-fai sûr de ses calculs, le cascadeur se souvien qu il a vu une aure méhode pour déerminer l inensié de cee force de froemen en classe de première : il s ai du héorème de l énerie cinéique. En appliquan ce héorème enre les poins B e C, eprimer puis calculer la valeur de f. Comparer cee valeur à la valeur précédene.

5 Chap D après le héorème de l énerie cinéique appliqué enre les poins B e C, la variaion de l énerie cinéique du sysème enre les poins B e C es éale à la somme des ravau des forces eérieures appliquées au sysème enre ces deu poins, soi : Ec C Ec B = = W BC )+ W BC + W BC Or, W BC ) = e W BC = puisque les veceurs e son perpendiculaires au déplacemen enre les poins B e C. D aure par Ec C = puisque la viesse au poin C es nulle. On en dédui donc que : Ec B = W BC -. m.v B ² = -f. BC Soi f = = f =,9. 4 N On rerouve la même valeur que précédemmen. Troisième parie : Eude du mouvemen après le poin C. On considère ici le cas où le malheureu cascadeur ne réussirai pas à s arrêer avan le poin C. Il omberai alors en chue libre à parir du poin C siué à l aplomb de la errasse. ) Eablir les équaions paramériques du mouvemen à parir du poin C (en considéran qu en ce poin, la viesse es nulle). La seule force s eerçan sur le sysème {voiure + cascadeur} es son poids puisqu il ombe en chue libre. Appliquons alors la deuième loi de Newon : Projeons la relaion dans le repère (O,, ) : Selon (O, ), on a : a Selon (O, ), on a : - m. a soi - = a Or, par définiion, = : d d d ² ² ² Eablissemen des équaions différenielles : On choisi les condiions iniiales suivanes : A = : = ; Y = ; = d E ( ) a) Selon i : ² C avec C une consane Or à = ; = d C avec C une consane. Or à = ; = 33 = C (On considère ici que le poin C es la nouvelle oriine du repère. 33 pour ou b) Selon k : d ². C 3 avec C 3 une consane. Or à = ; = = C 3. d

6 Chap C 4 avec C 4 une consane. Or à = ; = = C 4 On obien donc les équaions paramériques suivanes : 33 On a un mouvemen selon une seule direcion : l ae verical. ) En déduire la dae à laquelle la voiure oucherai le sol (Pour simplifier, on considère alors que G = m). G = m.. = = =,6 s ) Déerminer alors la norme de la viesse à cee dae. v( ) = -. = - 9,8.,6 = 6 m.s - 3) Rerouver la valeur de cee viesse en appliquan le héorème de l énerie cinéique. En appliquan le héorème de l énerie cinéique enre les poins C e D : Ec D Ec C = W C D ) Or, W CC ).h e D aure par Ec C = puisque la viesse au poin C es nulle. On en dédui donc que : Ec D = W C D ) On observe que v D = v( ). m.v D ².h Soi v D = v D = v D = 5 m.s -

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