CORRIGÉ ESSEC 2008 Scientifique

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1 CORRIGÉ ESSEC 28 Scetfque Premère parte 1. a) O vérfe asémet que est be ue applcato de das (pour tout polyôme P, (P) est be u polyôme) et qu elle est léare ( (P,Q) 2, λ, (λp+q)=λ (P)+ (Q)). Doc : est u edomorphsme de. b) Sot P de degré r>. Il exste doc des réels a, a 1,...,a r, avec a r, tels que P= O aura alors (P) = a k (X+1) k X k = a k X k. a k (X+1) k X k, les termes costat se smplfat. k 1 k Or, d après la formule du bôme, pour tout k1,(x+1) k X k = X est u polyôme de degré = exactemet k 1. Pusque a r : le degré de (P) est doc égal à r 1. c) Il est clar que, s P est u polyôme costat, (P) =, c est-à-dre P Ker ; et, d après la questo précédete, s P est pas costat (doc de degré r 1), (P) e peut être ul (car de degré r 1). E cocluso : Ker est exactemet l esemble des polyômes costats,. 2. a) O a vu e 1.a que, s P est de degré d 1, alors (P) est de degré d 1 ; et s P est de degré (doc costat), alors (P) = est de degré. Doc, s P r, alors deg(p) r et (P) est de degré féreur ou égal à r 1. As, ( r ) r 1 r ; le sous-espace vectorel r état stable par, o peut doc cosdérer l edomorphsme r dut par sur r. r est u edomorphsme de r. b) De faço mmédate : Ker r = Ker r = Ker =. c) O a déjà vu à la questo 2.a que Im r r 1. O vet auss de vor que dm Ker r = dm = 1 ; d après le théorème du rag, o aura doc dm Im r = dm r dm Ker r =(r+ 1) 1= r= dm r 1. Les sous-espaces vectorels Im r égaux : et r 1 état clus l u das l autre et de même dmeso, ls sot Im r = r 1. d) Sot Q u polyôme quelcoque. S Q=, o a Q= () ; so, l exste r 1 tel que Q r 1. D après la questo précédete, Q appartet à l mage de r, c est-à-dre qu l exste P r tel que Q= r (P)= (P). Das les deux cas, o a prouvé l exstece d u atécédet à Q par, doc : est surjectve de das. 1

2 3. Notosϕ l applcato de dasqu à tout polyôme P assoce sa valeur e, P().ϕ est trvalemet ue forme léare sur. L esemble est alors l esemble des polyômes P tels queϕ(p)= c est-à-dre le oyau deϕ. Il e résulte que est be u sous-espace vectorel de (ce qu état adms par l éocé), mas surtout que c est u hyperpla de. D après le cours, toute drote vectorelle qu est pas cluse das cet hyperpla e est u supplémetare. C est le cas de (esemble des polyômes costats), doc o a =. (ce résultat pouvat auss se démotrer de maère élémetare e reveat à la défto de deux sous-espaces vectorels supplémetares). Le résultat demadé est doc ue smple coséquece du fat que Im = (car surjectve) et du célèbre théorème d somorphsme que je rappelle c-dessous : Sot u ue applcato léare d u-espace vectorel E das u-espace vectorel F. La restrcto de u à tout supplémetare de Ker u est u somorphsme de ce supplémetare sur Im u. 4. a) Notos u la restrcto de à. O vet doc d établr que u : est u somorphsme. P (P) Sot. La proprété de l éocé : «N ()= et (N )=N 1» est équvalete à : «N et u(n )=N 1». ou ecore à «N est l atécédet de N 1 par u». La sute N est doc la sute défe par récurrece par N = 1 et, N = u 1 (N 1 ). b) Procédos par récurrece sur. La formule de l éocé est vrae pour =1 : e effet, par défto, N 1 est u polyôme de tel que (N 1 )=N = 1. D après les proprétés sur les degrés vues à la questo 1, N 1 est écessaremet de degré 1 ; pusque N 1 ()=, l exste a réel tel que N 1 = ax. Ef, la relato N 1 (X+1) N 1 (X)=1 mplque a=1. Doc N 1 = X, et la formule de l éocé est vrae au rag Supposos déotrée l égalté au rag 11, c est-à-dre N 1 = (X k). ( 1)! Posos alors P = 1 1 (X k). Pour motrer que N = P, l sufft de démotrer, par ucté, que P! appartet be à et que P = N 1 : Le fat que P est mmédat (P ()=). X(X 1)...(X +1) E écrvat P = o a! (X+1)X(X 1)...(X +2) X(X 1)...(X +1) (P )=P (X+1) P (X)=!! X(X 1)...(X +2) = (X+1) (X +1)! }{{} = X(X 1)...(X +2) = = N 1 ( 1)! O a doc be N = P, ce qu établt la formule à l ordre et achève la démostrato. c) La famlle de polyômes (N ) [,r] est ue famlle de polyômes de degrés dstcts (pusque deg(n )= pour tout ). D après u résultat du cours, elle est doc lbre. De plus, l s agt d ue famlle de r+ 1 élémets de l espace vectorel r qu est de dmeso r+ 1. Toujours d après le cours, o peut coclure : La famlle(n ) [,r] est ue base de r. La famlle de polyômes(n ) est lbre car formée de polyômes de degrés dstcts. De plus, s P est u polyôme quelcoque de, l exste r eter tel que P r. D après le résultat précédet, P sera doc combaso léare des N pour r, doc a fortor des N pour. Cela sgfe que la famlle(n ) est géératrce de et par sute : 2

3 (N ) est ue base de. d) Sot Q de degré r. Pusque(N ) [,r] est ue base de r, l exste des coeffcets réels a, a 1,...,a r tels que Q= a N. = Pour tout eter k [, r] o aura alors, par léarté k (Q)= a k (N ) (1) Mas (N )= et (N )=N 1 s 1, doc par ue récurrece facle o a E reportat das(1) o obtet = k, k (N )= k (Q)= N k a N k = a k + =k s k so =k+1 a N k. Pusque N ()= s 1, e applquat cette derère relato e l vet : k (Q)()= a k doc o a be Q r, Q= (Q)()N. Pusque (Q)= dès que est strctemet supéreur au degré de Q, o pourra doc écrre : Q, Q= = = (Q)()N les termes de cette somme état tous uls à partr d u certa rag. e) Sot P ; o a auss P= (P)= = = (P)()N doc (P)() (N ) = }{{} car =1 (N )= (P)()N 1 = La famlle(n ) état lbre, l égalté (P)=Q est doc équvalete à ou ecore à, +1 (P)()= (Q)(), (P)()= 1 (Q)() Les polyômes tels que (P)=Q sot doc les polyômes de la forme P= a + 1 (Q)()N =1 = +1 (P)()N avec a costate réelle quelcoque. f) S (P)=Q o aura Q(k)= P(k+1) P(k) = P(+1) P(). O pred c Q=X 2. Pusque N 1 = X et N 2 = 1 2 X(X 1) o a Q=2N 2+ N 1. D après les calculs précédets, u polyôme P tel que (P) = Q sera par exemple P=2N 3 + N 2 = 1 3 X(X 1)(X 2)+ 1 2 X(X 1)= 1 6 X(X 1)(2X 1). O aura doc k 2 = Q(k)=P(+1) P()= 1 6 (+1)(2+1). (formule be coue). 3

4 5. La formule demadée pouvat assez faclemet s établr par récurrece sur, mas l y a ue méthode plus rapde et plus belle : Notos T l edomorphsme de déf par P, T(P)=P(X+1) de sorte que = T Id (le fat que T sot u edomorphsme est mmédat). Pusque les edomorphsmes T et Id commutet, o peut applquer la formule du bôme das l aeau() et o obtet, =(T Id) = T ( Id) Par ue récurrece mmédate, o a, pour tout Q et tout eter : T (Q)=Q(X+ ). La relato précédete applquée à Q doe alors mmédatemet :, (Q)= = ( 1) Q(X+ ). = 6. a) Notos tout d abord qu o vérferat faclemet que C( r ) est be u sous-espace vectorel de( r ). L éocé e le précse pas, mas parle esute de sa dmeso.... Soet g,h C( r ) tels que g(n r )=h(n r ). Pusque g et h commutet avec r o a g(n r 1 )= g r (N r )= r g(n r )= r h(n r )=h r (N r )=h(n r 1 ) et par récurrece descedate o obtet k [, r], g(n k )=h(n k ). As g et h, edomorphsmes de r, coïcdet sur ue base de r doc. mmédat, pusque(n ) [,r] est ue base de r. g= h.. Sot g C( r ) et a, a 1,...,a r tels que g(n r ) = N = r r (N r ), o a g(n r )= a r r (N r ). = Or l edomorphsme de r déf par h= = a r r résulte alors de la questo 6.a. que g = h c est-à-dre g = a N. Pusque, pour [, r], = est élémet de C( r ) (vérfcato facle). Il = a r r. g est doc combaso léare des k r pour k r, c est-à-dre que la famlle( k r ) k [,r] est géératrce de C( r ). Motros mateat que cette famlle est lbre. E effet, s o a a k k r =, alors e applquat cette égalté à N, pusque (N )=, o obtet a =, pus e l applquat à N 1, pusque (N 1 )=N = 1 et 2 (N 1 )= o trouve a 1 = etc... As, tous les a k sot uls, ce qu prouve que la famlle est lbre. E cocluso : v. Le fat que d et commutet est mmédat. ( k r ) k [,r] est ue base de C( r ). S l exstat u eter r et des réels a, a 1,...,a r tels que d = N r+1 = d(n r+1)= a k k (N r+1 )= a k k, o aurat e partculer a k N r+1 k. Mas tous les polyômes N r+1 k pour kr s aulet e. O aurat doc N r+1 ()= et serat race au mos double de N r+1, ce qu est pas vra (les races de N r+1 sot smples, ce sot les eters,1,..., r ). O a doc obteu ue cotradcto. Cet exemple motre e fat que le commutat de est pas rédut au sous-espace vectorel egedré par les k, cotraremet au commutat de r. 4

5 b) Supposos qu l exste g ( r ) tel que g g= r. O aurat alors c est-à-dre que g commute avec r. g r = g 3 = r g D après ce qu précède, l exsterat des réels a, a 1,...,a r tels que g= O aurat alors g g=a 2 Id+2a a 1 r + k=2 a k k r = a Id+ a 1 r a r r r. b k k r où les b k sot des réels dot la valeur mporte peu. Pusque la famlle( k r ) k [,r] est lbre, cela mplque a = et 2a a 1 = 1, ce qu est mpossble. Il y a doc cotradcto et Il exste pas d edomorphsme g de r tel que g g= r. Secode parte 1. Notos d abord que les déftos de l éocé poset problème lorsque =. O supposera doc 1 pour la sute. O remarquera auss que, pusque l éocé suppose x/, les N (x), doc les u, e sot pas uls. a) u +1 u =(+1) t N+1 (x) N (x) = +1 t x +1 = Pour assez grad o aura x> ( x est fxé) doc pus v = l u+1 u O e dédut mmédatemet : =(t 1) l +1 t 1 x. u +1 = 1+ 1 t 1 1 x u l 1 x t 1 x 1 = + O 2 t 1 x s t 1+ x, v : la sére de terme gééral v dverge. s t= 1+ x, v = O 1 2 et la sére de terme gééral v coverge. 1 1 b) Pour tout, v k = l(u k+1 ) l(u k )=l(u ) l(u 1 ) doc, compte teu des résultats précédets : lm S t < 1+ x : la sére de terme gééral v dverge et v < à partr d u certa rag, doc 1 v k = d où lm u =. S t > 1+ x : la sére de terme gééral v dverge et v > à partr d u certa rag, doc 1 v k =+ d où lm u =+. lm S t= 1+ x : la sére de terme gééral v coverge, doc la sute(l(u )) coverge vers u certa réell x et(u ) coverge vers u réel =e l x >. O a doc das ce cas lm 1+x N (x) = sor N (x). x+1 Rem : les coasseurs aurot recou c le crtère de Duhamel-Raabe a) S f(x)= b x o a d après la formule du bôme. a = ( 1) b =(b 1) = 5

6 b) S Q= a k N k, Q est de degré et o a vu das I.4.d que Q= La famlle des polyômes(n k ) état lbre, o e dédut k [, ], a k = k Q(). k (Q)()N k. Sot R le polyôme de degré tel que R()= f() pour tout [, ] (u tel polyôme exste et est uque d après les résultats du cours sur les polyômes d terpolato de Lagrage). D après I.4.d, o a R= k (R)()N k et d après I.5, k (R)()= doc R=Q. Par défto de R o a doc be k k ( 1) k R()= = k k ( 1) k f()= a k, = f() Q()= f() R()= pour tout [, ]. c) Supposos das u premer temps x/ [, ]. Sotϕ : t f(t) a k N k (t) N +1 (t)a, où A est le réel tel queϕ(x)= (A exste et est uque pusque l équatoϕ(x)= équvaut à AN +1 (x)= f(x) c). a k N k (x) et que N +1 (x) est o ul Pusque N +1 ()= pour tout [, ] et compte teu du résultat de la questo précédete, la foctoϕ s aule e,1,..., et e x, c est-à-dre e +2 pots dstcts. État de classe (car f est de classe par hypothèse et les autres termes sot des foctos polyomales), l applcato térée du théorème de Rolle motre qu l exste u réelθtel queϕ (+1) (θ)=. Mas a k N k est u polyôme de degré, doc sa dérvée(+1)-ème est ulle et pusque le terme X +1 de plus haut degré de N +1 est, o a N(+1) +1 = 1. As,ϕ (+1) (t)= f (+1) (t) A, et la relato (+ 1)! ϕ (+1) (θ)= doe A= f (+1) (θ). E remplaçat A par cette valeur das la relato ϕ(x) = o trouve be x, θ tel que f(x)= a k N k (x)+ f (+1) (θ)n +1 (x) (2). Ef, cette proprété reste vrae lorsque x [, ] d après le résultat de la questo II.2.b et pusque alors N +1 (x)= : l sufft de predreθquelcoque. d) E repreat les otatos précédetes et compte teu de l hypothèse fate c, o aura f (+1) (θ)n +1 (x) M N+1 (x) Or, d après II.1.b, N+1 (x) (+1) x+1 Pour x> o e dédut x+1, doc N+1 (x) lm f(+1) (θ)n +1 (x)= et la relato(2) mplque x>, f(x)= a k N k (x) x. cette relato restat trvalemet vrae pour x= pusque a = f() et N k ()= s k1. S o suppose de plus f()= pour tout eter, alors pour tout k a k = d où f(x)= pour tout x. k k ( 1) k f()= = 6

7 3. a) E repreat le résultat de II.1.b, pusque x/ : doc s h >1, lm h N (x) h x+1 h N (x) =+ (crossaces comparées) d où s h >1, la sére h N (x) est grossèremet dvergete. b) O suppose c h <1.. S x= k alors N (x)= dès que k+1, doc la sére h N (x) est covergete (somme fe). So, o a toujours l équvalet h N (x), doc, toujours à l ade des crossaces x+1 1 comparées des sutes usuelles, lm 2 h N (x)=. As, h N (x) = o, et d après 2 les théorèmes de comparaso sur les séres à termes postfs, la sére h N (x) est absolumet covergete, doc covergete. h. La focto f : h (1+h) x est de classe sur] 1,1[, o peut doc lu applquer la formule de Taylor avec reste tégrale à tout ordre etre et h : f(h)= h k f(k) () k! + (h t) f (+1) (t) dt (3)! f (k) (h) x(x 1)...(x k+ 1) Or, pour k1, = (1+ x) x k = N k (x)(1+h) x k, cette derère k! k! égalté restat vrae pour k= pusque N = 1, de sorte que la relato(3) devet ce qu se réécrt e : (1+h) x = (1+ h) x O a la majorato 1 h h k N k (x)+(+1)n +1 (x) h k N k (x)=(+ 1)N +1 (x) h t (1+ t) x 1 dt 1+ t 1 h (h t) (1+ t) x 1 dt h t (1+ t) x 1 dt (4). 1+ t h t 1+ t (1+ t) x 1 dt La focto t h t est ue focto homographque, doc mootoe ; ses valeurs extrémales 1+ t sur[,h] sot doc obteues pour t= et t= h ; ce sot respectvemet h et, de sorte que h t t [,h] (ou[h,]), 1+ t h doc 1, h h t (1+ t) x 1 dt 1+ t (1+ t) x 1 dt (utle de calculer la valeur de cette derère tégrale, ce qu est mportat, c est qu elle e déped pas de ). h t. S x est eter, N +1 (x)= dès que x, doc lm (+1)N +1(x) (1+ t) x 1 dt=. 1+ t 7

8 So, l équvalet N+1 (x) obteu e II.1.b doe x+1 (+1) (+1)N+1 (x) (+1) x D après la questo précédete, l exste ue costate K telle que h t, (1+ t) x 1 dt K h 1+ t et, pusque lm h x+1= (crossaces comparées), o a ecore lm (+1)N +1(x) E utlsat alors la relato(4), o obtet c) O suppose c h= 1. h ] 1,1[, x,(1+h) x = h k N k (x).. Pour x 1, x est pas u eter aturel et l o a toujours N (x) h t (1+t) x 1 dt=. x+ 1 état, la x+1 sute(n (x)) e ted doc pas vers (car >) c est-à-dre que s x 1, la sére N (x) est grossèremet dvergete.. E remplaçat h par 1 das la relato de la questo II.3.b., o obtet 2 x N k (x)=(+1)n +1 (x) 1 1 u (1+u) x 1 du (5) Or, pour u [,1], 1 u 1+u 1 u et(1+u)x 1 max(1,2 x 1 )=M doc 1 1 u (+1)N +1(x) (1+ u) x 1 du 1+u M(+ 1) N+1 (x) 1 (1 u) du=m N+1 (x) (6). 1+u S x est u eter aturel, N +1 (x) est ul pour assez grad, et so, l équvalet N+1 (x) (+1) x+1 obteu e II.1.b motre que lm N +1(x)= pusqu c x+ 1>. 1 1 u O aura doc ecore, d après(6), lm (+1)N +1(x) (1+u) x 1 du= ce qu prouve 1+u d après(5) que 1+ t x> 1, N k (x)=2 x. d) O exame doc c le derer cas, à savor h= 1.. S x est u eter aturel, ( 1) N (x) est ul dès que x+ 1 ; das ce cas, la sére ( 1) N (x) coverge (somme fe). où >, doc les théorèmes de comparaso sur les séres à termes postfs et les résultats sur les séres de Rema motret que la sére ( 1) N (x) So, ( 1) N (x) x+1 coverge s et seulemet s x >. E rassemblat les deux cas, o e dédut la sére ( 1) N (x) est absolumet covergete s et seulemet s x. 8

9 S x, ( 1) N (x) est absolumet covergete doc covergete. x(x 1)...(x +1) S x< et 1, N (x)= est du sge de( 1) doc( 1) N (x) est! postf et la covergece de la sére équvaut alors à so absolue covergece, qu a pas leu das ce cas. E cocluso la sére ( 1) N (x) est covergete s et seulemet s x.. Sot, pour, la proprété : «x, N (x) N 1 (x)+...+( 1) N (x)=( 1) N (x 1)» Cette proprété est faclemet vérfée pour =1 pusque N (x) N 1 (x)=1 x= (x 1)= N 1 (x 1). S o la suppose vérfée au rag, alors N (x) N 1 (x)+...+( 1) N (x)+( 1) +1 N +1 (x)=( 1) N (x 1)+( 1) +1 N +1 (x) =( 1) (N +1 )(x 1) N +1 (x) ce qu établt le résultat à l ordre + 1 et achève la récurrece.. La relato précédete s écrt : ( 1) k N k (x)=( 1) N (x 1). =( 1) N +1 (x 1+1) N +1 (x 1) N +1 (x) =( 1) +1 N +1 (x 1) S x 1 est u eter aturel, c est-à-dre s x, N k (x) est ul pour k x+ 1 et N (x 1) est ul pour x, doc ( 1) k N k (x)=. S x=, N k (x)= pour k1 doc So, l équvalet N (x 1) ( 1) k N k (x)=. La cocluso de toute la questo II.3 est doc la suvate : La relato(1+h) x = h <1 et x réel quelcoque. h=1 et x> 1. h= 1 et x. ( 1) k N k (x)=n = 1. x motre que lm N (x 1) = pusque x >, doc h k N k (x) est vrae s et seulemet s 9