Université d Evry Val d Essonne DESS d Ingéniérie Mathématique option Finance Introduction à la valorisation des produits financiers

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1 Universié d Evry Val d Essonne DESS d Ingéniérie Mahémaique opion Finance Inroducion à la valorisaion des produis financiers Véronique Berger versiondu10janvier2006 Conens I Insrumens financiers 5 1 Définiion 5 2 Typologie e principe d évaluaion Acifsdebase Acions Obligaions Absenced Opporuniéd Arbirage(AOA) Change Maièrespremières Marchédesproduisdecrédi Prixforwardd unacif Produisdérivés CallePusuracif Valorisaion par réplicaion dans un univers à deux daes e deux éas du monde : hypohèse AOA e exisence d une probabilié risque neure Marché incomple : un exemple de pricing par sur-réplicaion (TD) II Evaluaion en emps coninu 24 1

2 3 Théorème de valorisaion dans le cas monodimenionnel e avec coefficiens de diffusion non sochasiques Conexedevalorisaion Porefeuille auofinançan Opporuniéd arbirage Prixderéplicaion Théorème Valorisaiondesacifsdebase: Valorisaiondesacifsdérivés Demonsraion Valorisaiondesacifsdebase Valorisaiondesacifsdérivés Conclusion Analogiesaveclemodèlediscreàunepériode Différences FormulesBlackeSholes TDcalculdudelaBS Prixducall Prixdupu Prixforwardd unacif Prix BS du call e du pu comme foncion du prix forward del acif Volailié BS implicie e smile Valorisaion d aures opions exoiques (les calculs qui suiven fonenpariel objedetd) DigialesurlesousjacenS 1èreméhode DigialesurlesousjacenS 2èmeméhode Digiale sur le sous jacen S 3ème méhode: porefeuille réplicanevalorisaionenprésencedesmile Opionbarrière Consrucion de la sraégie: approche du rading Veneàdécouver TD:achad unpu; TP:vened uncallecouverureenempsdiscre Formule BS pour un sous-jacen versan des dividendes Acions Résoluion de l EDP de valorisaion d un call sur acion Change Théorème de valorisaion dans le cas mulidimensionnel e avec coefficiens de diffusion sochasiques Théorème Démonsraion rappel

3 6.2 FormuleBSavecauxd inérêsochasique Prixforwardd unacif III Modèle de smile 68 7 Modèle log-décalé Valorisaiond uncall LienaveclemodèledeauxHoandLee Remarqueseexemplesnumériques Modèle à volailié locale non paramérique : modèle di de Dupire FormuledeTanaka Applicaion EquaiondeFocker-Plank EDP suivi par le prix des calls e équaion de la vol locale 75 9 Modèle SABR (Sigma Alpha Bea Rho) 75 3

4 Présenaion du plan de cours Le cours s organise en 2 paries. Une première parie es dédiée à une inroducion de nore problémaique de valorisaion des produis financiers e propose une descripion de ces produis e de leur principe de valorisaion. La seconde e la roisième paries s aachen à appliquer ces principes à la valorisaion des produis dérivés e de présener ainsi les méhodologies uilisées en salle des marchés. 4

5 Par I Insrumens financiers 1 Définiion Un acif ou insrumen financier es un moyen d effecuer des ransfers ineremporels de richesse e de risque sur cee richesse. Ils permeen aux inervenans de s échanger des flux financiers présens e fuurs, connus ou encore incerains au momen de la mise en place de l insrumen financier. 2 Typologie e principe d évaluaion La ypologie uilisée habiuellemen disingue deux grands groupes d acifs : les acifs de base e les acifs dérivés qui son des acifs dérivés des acifs de base. 2.1 Acifs de base Dans le bu de clarifier l exposé, on se propose ou d abord de dresser une lise des acifs de base. On disinguera 4 ypes d acifs de base. Nous donnerons pour chacun une descripion e pour cerains les principes de valorisaion Acions Une acion es un ire de propriéé sur une enreprise qui donne droi enre aure au versemen d une parie des bénéfices fuurs ou dividendes. Ces dividendes son aléaoires dans la mesure où le monan n es connu que peu avan le versemen. L acquéreur de l acion a donc échangé un flux A, le prix de l acion, au momen de l acquisiion de l acion conre un muliude de flux fuurs incerains. Parmi ces flux fuurs on peu comper le flux généré par le revene évenuelle du ire. Là encore le monan de ce flux de revene es inconnu au momen de la mise en place de l acquisiion de l insrumen financier. Le prix d une acion aujourd hui es donc la valeur accordée par les inervenans du marché aux flux fuurs auxquels l acion leur donne droi. Ce prix flucue jour après jour suivan l anicipaion que peuven avoir les inervenans sur la haueur de ces flux, leur variabilié e l inérê qu ils y accorden. Le prix n es pas le résula d une évaluaion héorique mais la résulane d un équilibre enre l offre e la demande Obligaions Une obligaion es un ire de dee émis par une insiuion ou une enreprise. Il s agi pour l émeeur d empruner de l argen par l inermédiaire de ires négociables. Les flux fuurs reçus par l acquéreur de l obligaion son calculés à 5

6 Figure 1: obligaion zéro coupon T 100 euros parir d un aux fixe comme les OAT (Obligaion assimilable du Trésor, obligaion émise par l Ea) ou de aux indexés sur l inflaion, par exemple. De même que pour les acions les prix des obligaions flucuen en suivan un niveau changean d équilibre enre l offre e la demande. En revanche, une évaluaion héorique peu êre uile pour mere en relief des arbirages possibles. Valorisaion des obligaions à coupon fixe Prix d une obligaion zéro coupon ou «srip» Une obligaion zéro coupon es un acif qui verse un flux fixe à une dae fuure T. On peu résumer ce acif par le schéma 1: 100 es appelé nominal ou noionnel. Le prix en de ce acif es formalisé par : 100 B(, T ) ou plus généralemen N B(, T ) avec N le noionnel de l obligaion zéro-coupon e B(, T ) le prix zéro-coupon. Inroduisons la noion corollaire de aux zero-coupon R(,T), qui es le aux de rendemen acuariel du zero-coupon. Il s agi du aux auquel les 100 euros son emprunés (ou prêés) La formule qui le défini es la suivane : B(, T )= 1 (1 + R(, T ))(T ) Remark 1 Les aux qui prévalen à chaque insan sur le marché résulen d un équilibre enre l offre e la demande de liquidié immédiae e à erme. Ils son le refle d un équilibre macro économique qui s éabli enre les inervenans prêeurs e les inervenans empruneurs. Prix d une OAT à aux fixe Lorsque l Ea éme à une obligaion àauxfixe S, il emprune un nominal N e s engage en conreparie à verser, généralemen annuellemen, un coupon que l on noera C el que C = S N 6

7 Figure 2: OAT T n, e à rembourser le capial à la dae d échéance T n. Le schéma des flux es donné par la figure 2.On peu considérer oue OAT comme une combinaison linéaire d obligaion zéro-coupon. Ainsi à chaque dae τ supérieure ou égale à, il es possible d évaluer l obligaion en considéran chacun des flux fuurs comme celui d une obligaion zéro coupon. On a alors: P τ = X T i >τ C B(τ,T i )+NB(τ,T n ) (1) " # X = N S B(τ,T i )+B(τ,T n ) T i >τ Le marché des OAT es en France un marché liquide : il es donc possible à ou momen, en inerrogean le marché, de connaîre le prix des obligaions exisanes. Les prix recueillis e le formalisme de l équaion (1) permeen de calculer le prix des zero-coupon. On di aussi «sripper la courbe des aux». Dans la mesure où le marché des srips ou zero-coupon es liquide il peu égalemen apporer une informaion complémenaire. Mais le srip es en fai un produi dérivé des obligaions qui son la vériable source de valorisaion des zéro-coupons. Exercise 1 TD Absence d Opporunié d Arbirage (AOA). Definiion 2 Une opporunié d arbirage es la possibilié donnée à un inervenan du marché de moner une opéraion à invesissemen nul lui rapporan dans le fuur des gains oujours posiifs e sricemen posiifs avec une probabilié non nulle. Exercise 2 TD Change Un aux de change es le prix d une devise exprimé en une aure devise. Le prix en Yen d un dollar éai au 22 Janvier 2004 de 107. Cee valeur, qui résule d un 7

8 Figure 3: conra d acha à erme de 3 millions de dollars T 3M dollars 3M * X yens équilibre enre l offre e la demande (dans le cadre de parié libre), flucue jour après jour. Sur le marché des changes peuven êre aussi considérés comme acifs de base les conra à erme de change. Il s agi pour un inervenan d acheer pour une dae fuure déerminée dans le conra un ceraine quanié de devise à un prix préfixé. Supposons qu un indusriel japonais ai acheé des biens de producion à un indusriel Américain e ce pour un monan de 3 millions de dollars. Ce indusriel japonais doi s acquier à la dae T d une facure en dollar d un monan de 3M. Nous sommes en e nore acheeur japonais, pour ne pas subir de risque d une dépréciaion évenuelle du yen (hausse du prix du dollar en Yen, le dollar Yen passan pour fixer les idées de 107 à 120 ) décide de renrer dans un conra d acha à erme de 3 millions de dollar. On peu résumer la ransacion par le schéma 3. Pour une valeur X pariculière appelée aux de change à erme la ransacion es à coû nul, c es-à-dire qu elle ne génère pas en de paiemen d une conreparie vers l aure. Nous noerons par la suie cee valeur X(,T). Une fois le conra en place, nore acheeur japonais a l assurance, mais égalemen l obligaion, de pouvoir acheer à la dae T les 3 millions de dollars nécessaires au règlemen de sa facure pour une somme en Yen qui es fixée en, e ce quelle que soi l évoluion de la parié dollar/yen. Principe d absence d opporunié d arbirage appliqué à la valorisaion des conras à erme de change Quelle es la valeur de X(,T)? Pour répondre à cee quesion procédons en deux éape : la mise en place d unesraégierépliquanepuislamiseenoeuvreduprinciped AOA. 8

9 Figure 4: Réplicaion d un acha à erme de 3 millions de dollars poin de vuedelabanque Emprun en yen pour financer l acha des dollars Récepion des dollars acheés Flux ne nul : le monage es auofinaçan Zéro-coupon US : 3M $ T Placemen des dollars acheés en zéro-coupon US Paiemen en yens de l acha des dollars Remboursemen de l emprun des yens Mise en place d une sraégie réplicane à base d acifs de base: change spo e zéro-coupons (cf figure 4) Pour garanir à l acheeur japonais le versemen de 3M de dollars au aux de change à erme X(,T), la banque qui a proposé l acif me en place le monage suivan. Elle achèe dès aujourd hui sur le marché US un zéro coupon de nominal 3M e d échéance T. En T elle recevra les 3M de dollars. Un el zéro coupon lui coûe en, B US (, T ) 3M dollars. Pour financer un el acha elle s endee en Yen à haueur de B US (, T ) 3M X() qu elle devra rembourser en T pour un monan de B US (, T ) 3M X()/B JPY (, T ) Ce monage perme à la banque de mere à disposiion de son clien les 3M de dollars à la dae T. En conreparie de ces 3M de dollars, la banque demandera à son clien de lui verser en yen, oujours à la dae T, la somme de B US (, T ) 3M X() B JPY (, T ) sommequipermeraàlabanquederemboursersadeeenyen. Onadonc, danslecadredeceesraégiederéplicaion 9

10 On obien alors : 3M X(, T )=3M X()BUS (, T ) B JPY (, T ) X(, T )= X()BUS (, T ) B JPY (, T ) Mise en oeuvre du principe d AOA Pourvaloriserlesacifssurles marchés liquides on fai l hypohèse que sur ces marchés il y a AOA. Cee hypohèse se jusifie par le fai que, sur les marchés liquides, les opporuniés d arbirage son rès vie repérées par des arbiragises e que le marché sous leur inervenion se «rééquilibre» rès rapidemen avec les mécanismes que nous avons pu voir précédemmen. L évaluaion que nous allons faire ici de X(,T) repose sur l hypohèse que le marché des conras à erme de change es bien arbiré, c es-à-dire qu il n exise pas d opporunié d arbirage. Prouvons donc que cee valeur obenue par réplicaion es la seule qui convienne sous l hypohèse d AOA, c es-à-dire que si la banque, par erreur, proposai un conra à erme avec aux de change à erme différen de X(,T), on aurai une opporunié d arbirage. Supposons que la banque propose un conra à erme à valeur X 0 >X(, T ). Alors il es possible d effecuer le monage illusré par la figure 5. L arbiragise me en place une combinaison de réplicaion de vene à erme de dollars (cf figure 4 : mais aenion ici, celui qui me en place la sraégie de réplicaion n es pas la banque, qui se couvrai d un conra à erme passé avec un clien, mais l arbiragise) e d un conra de vene à erme passé avec la banque au aux X 0. Par consrucion l invesissemen en es nul. En revanche, il génère en T un flux sricemen posiif en Yen de 3M X 0 3M X()BUS (, T ) B JPY =3M (X 0 X(, T )) > 0 (, T ) Ce qui es incompaible avec l absence d opporunié d arbirage. Inversemen on monre que si un inervenan propose un conra à erme à X 0 <X(, T ) il es possible de l arbirer, c es-à-dire de moner une opéraion financière à coû nul qui rappore une somme posiive avec une probabilié non nulle, en l occurrence dans ce cas pariculier à coup sûr. En la présence d une opporunié d arbirage, les arbiragises auraien massivemen acheé des dollars à erme (dans le cas X 0 <X(, T )) ou inversemen vendu des dollars à erme (dans le cas X 0 >X(, T )) aux conreparies proposan X 0. Ces conreparies s apercevan que le prix qu elles proposen suscie des demandes imporanes réajusen leur prix, ce qui a pour effe «réequilibrer» le marché vers la valeur X(, T ). Exemple numérique des aux de change à erme sur données du 22 janvier 2004 Pour donner une idée concrèe des aux forward que l on peu 10

11 Figure 5: Sraégie d arbirage des conras à erme de change poin de vue de l arbiragise Flux ne nul Conra à erme de vene de $ passé avec la banque Produi de la vene des dollars à erme : 3M * X + Vene des dollars à la banque : 3M $ Zéro-coupon US : 3M $ Remboursemen de l emprun des yens : 3M * X(, T) yens Réplicaion d un conra à erme d acha de $ 11

12 Figure 6: Dollar/Yen forward au 22 janvier 2004 dae 22-janv janv janv janv janv janv janv janv janv-12 change forward obenir acuellemen nous donnons figure 6 la valeur du aux de change forward pour différenes mauriés. La dae d évaluaion es le 22/01/04 Le premier aux de change donné es en fai le aux de change spo dollar/yen du 22 janvier. On s aperçoi sur ces valeurs que nore acheeur japonais en achean à erme peu vouloir profier de la faible cheré du dollar à erme Maières premières Le marché des maières premières a vu le développemen de produis financiers permean aux aceurs de se couvrir conre les variaions de prix. Il s agi esseniellemen de conra de vene e d acha à erme. Sur cerains marchés ces conras exisen depuis rès longemps (marché à erme de méaux à Amserdam au 18ème, marché à erme de céréale au Chigago Board of Trade au 19ème) e sur cerains son ils nouvellemen apparus comme sur le marché de l énergie (pérole, gaz, élecricié) Marché des produis de crédi Les Credi Defaul Swap ou CDS (cf figure 7) Un CDS es un produi financier qui procure une assurance conre un évênemen de défau d une enreprise pré-définie. L acheeur du CDS es l acheeur de la proecion conre le risque de défau de l enerprise. En cas de défau il recevra une indemnié e en conerparie il doi payer une prime, généralemen ous les 3 mois ou ou les 6 mois jusqu au défau de l enerprise, s il y a lieu ou jusqu à la maurié du CDS. Inversemen le vendeur de la proecion, le vendeur du CDS, reçoi la prime e paiera à l acheeur une indemnié en cas de défau Prix forward d un acif Nous sommes en e l on considère un acif S (une obligaion ou une acion) don on veu déerminer le prix à erme en T(>). Pour simplifier on considère que ce acif ne verse pas de coupon ou de dividendes enre e T. De même que dans le cas du change à erme nous plaçons sous AOA e raisonner en deux éapes : 1) éablir un prix "de réplicaion", 2) conclure sur ce prix en uilisan l hypohèse d AOA. Réplicaion Considérons que nous sommes une banque e qu un clien s adresse à nous pour une vene à erme. Il nous fau donc moner une sraégie que l on 12

13 Figure 7: cash flow d un cds Posiion du vendeur de proecion En cas de non-défau dae de mise en place du CDS : dae de maurié du CDS : T Prime reçue de l acheeur de proecion En cas de défau à une dae def <T def T indemnié payée à l acheeur de proecion 13

14 Figure 8: acha à erme - poin de vue de la banque T Le clien nous reme l acif Nous acheons au clien l acif au prix forward représene par la figure 8 : nous sommes la banque e de nore poin de vue nous effecuons un acha à erme de l acif S. Pour répliquer de els flux,labanquevamereenplaceunesraégieà base d acifs de base qui son ici, l acif spo, e une opéraion de repurchase agreemen die ausi opéraion repo. Repurchase Agreemen Une opéraion de repo ou en anglais repurchase agreemen consise en l acha (ou la vene) d un acif assori(e) de la revene (resp. duracha)deceacif. Lareveneoulerachas effecue à une dae e pour une valeur qui son fixées au momen de la mise en place de l opéraion. L acha e la revene (ou symériquemen la vene e le racha) s effecue auprès de la même conreparie. Cee opéraion es illusrée par la figure 9. Si l on noe S le prix d acha/vene de l acif, P repo le prix de revene/racha, le aux repo, noé r repo es défini par l égalié: P repo = S (1 + r repo ) Nous venons de présener les opéraions de repo comme des opéraions de prê ou d emprun d acif. Mais on peu renverser la perspecive e les inerprêer comme des des prês en empruns de cash avec nanissemen. L acif es alors en quelque sore un bien hypohéqué qui garani le prêeur de cash du remboursemen à l issue du prê. Ce principe de nanissemen qui donne une garanie au prêeur du cash explique que les aux repo son généralemen inférieurs aux aux auxquels l empruneur peu empruner lorsqu il le fai sans apporer de garanie au prêeur (emprun par émission d obligaion). Réplicaion (suie) e conséquence de L AOA Nous (la banque) sommes dans une posiion d acha à erme. Nous nous couvrons par une opéraion repo e par une vene spo ( spo signifie que l on exécue la vene immédiaemen, c es-à-dire en ). Le monage, sa couverure e la résulane son représenés 14

15 Figure 9: opéraion de repo T L acif es empruné L empruneur paie S au prêeur Le prêeur rend S (1+r repo ) à l empruneur de l acif L acif es rendu sur la figure 10. L opéraion globale qu effecue la banque es une opéraion qui en ne lui génère aucun flux, donc aucun invesissemen e qui en T lui rappore P f S (1 + r repo ) Sous AOA une opéraion à invesissemen nul ne peu que rapporer 0. On adonc: P f = S (1 + r repo ) 2.2 Produis dérivés Les acifs dérivés son de façon générale des conras de vene ou d acha d acifs financiers de base sous des conraines pariculières. L acif de base es alors appelé acif sous-jacen. Conrairemen au chapîre précéden il ne vous sera pas proposé ici une descripion des différens acifs dérivés que l on peu rouver sur les marchés financiers. Nous nous concenrerons pluô sur les méhodes d évaluaion de ces produis. Nous commencerons par la descripion e l évaluaion d un acif dérivé simple : l opion d acha ou de vene. La méhode d évaluaion repose sur: une hypohèse d absence d opporunié d arbirage, analogue à celle que nous avons vue pour l évaluaion du aux de change à erme; une modélisaion de l évoluion du cour du sous-jacen, modélisaion don nous n avions pas eu besoin pour l évaluaion du aux de change à erme. Les méhodes d évaluaion effecivemen uilisées sur les marchés, proposen une modélisaion des cours des sous-jacens par un processus en emps coninu. Avan d exposer cee méhode, e pour mieux comprendre les principes 15

16 Figure 10: Monage comple de la banque : conra à erme e couverure poin de vue de la banque T Acha à erme de l acif + Nous acheons au clien l acif au prix forward P f Opéraion de repo S (1+r repo ) S couverure + Vene spo de l acif S + = P f S (1+r repo ) 16

17 Figure 11: Acha avec couverure en cas de hausse de prix - MAX (S T, K) K S K Ce que veu débourser l acheeur qui sous enden l évaluaion des produis dérivés, nous commencerons par des modélisaions du sous-jacen plus simples. Ce chapire sur les produis dérivés s organisera de la façon suivane. Une descripion de nore produi de référence : l opion d acha ou "call" en anglais. Une évaluion de ce produi dans un univers discre à une période e deux éas du monde. La valorisaion en emps coninue sera abordée dans la seconde parie du cours Call e Pu sur acif Un call sur un acif donne à son déeneur la possibilié d acheer, mais non l obligaion,à une dae fixée l acif à un prix K convenu à l avance. Il va permere à un inervenan qui sai devoir acquérir ce acif à une dae fuure de se couvrir conre une hausse évenuelle du cours. A la dae T d acquisiion, le déeneur de l opion veu débourser, pour acheer l acif, MIN(S T,K) comme illusré par la figure 11. Pour avoir l assurance de ne payer que MIN(S T,K), l agen qui désire se couvrir, achèe un produi financier, un call, qui lui versera 0 si l acif sous-jacen vau moins que K e S T K sinon e donc synhéiquemen MAX(S T K, 0). Soi graphiquemen ce que nous pouvons voir sur la figure

18 Figure 12: Payoff d un call poin de vue du déeneur du call payoff MAX (S T -K,0) S K Figure 13: Modèle à 1 période e deux éas T Hau P h S h 1+r C h S 1 C Bas P b S b 1+r C b Valorisaion par réplicaion dans un univers à deux daes e deux éas du monde : hypohèse AOA e exisence d une probabilié risque neure Un univers à deux daes e deux éas du monde Nous sommes en e l on adme que nore univers de valorisaion puisse êre représené par deux daes e T e deux éas du monde en T, un éa «hau» e un éa «bas». Dans ce univers de valorisaion nous disposons de deux acifs de base : un acif sans rique e un acif risqué. L acif sans risque es un placemen zérocoupon au aux r. On le normalise de façon qu en sa valeur soi 1. En T il vaudra donc(1 + r) T e ce, quel que soi l éa du monde. Si pour simplifier on choisi T- =1, alors en T l acif sans risque vau 1+r. L acif risqué qui vau S en vaudra S h dans l éa hau e S b dans l éa bas avec S h >S b. La probabilié pour que l éa du monde hau (resp. bas ) se réalise es P h 18

19 (resp.p b ). Remark 3 l inégalié S h >S b es srice. Si l on a l égalié l acif es un acif sansrisqueel opporuniéd uneopionneseposepas.p i=h,b ]0, 1[. Lecas où l un des deux coefficiens vau 1 es un cas dégénéré où l opporunié d une opion ne se pose pas non plus. Nore objecif L objecif de cee secion es double. Il es ou d abord de valoriser nore call sous l hypohèse AOA e plus généralemen de monrer l équivalence : il exise une probabilié Q die risque neure équivalene AOA à la probabilié hisorique sous laquelle les prix acualisés des acifs, acifs de base e acifs dérivés, son des maringales (2) valorisaion du call Nous allons procéder pour valoriser nore call comme nous l avions fai pour l évaluaion du aux de change forward : évaluer un prix de réplicaion puis uiliser l AOA pour conclure. Par combinaison linaire de ces deux acifs, il es facile de répliquer le payoff du call les conraines son les suivanes: α (1 + r)+β S h = MAX(S h K, 0) α (1 + r)+β S b = MAX(S b K, 0) Soi, si l on noe C h = MAX(S h K, 0) e C b = MAX(S b K, 0) α (1 + r)+β S h = C h α (1 + r)+β S b = C b Le sysème se résou de la façon suivane β = (C h C b )/(S h S b ) α = [C h S h (C h C b )/(S h S b )]/(1 + r) =[C b S h C h S b ]/[(S h S b ) (1 + r)] Le prix de réplicaion de nore opion es alors donnée par C = α 1+β S = [C b S h C h S b ]/[(S h S b ) (1 + r)] + (C h C b )/(S h S b ) S 19

20 Que l on peu réécrire en foncion des payoffs C h e C b e de coefficiens pondéraeurs Π h e Π b : Avec Π h =[S*(1+r)-S b ]/(S h -S b ) e C =[Π h C h + Π b C b ]/(1 + r) (3) Π b =-[S*(1+r)-S h ]/(S h -S b ) En fin l hypohèse d AOA nous perme de conclure : le prix du call es son prix de réplicaion, soi donc C. Par ailleurs on remarque que: ainsi que S =[Π h S h + Π b S b ]/(1 + r) (4) 1=[Π h (1 + r)+π b (1 + r)]/(1 + r) (5) Propriéés des coefficiens pondéraeurs e mise en relief d une probabilié risque neure Monrons que Π b =1 Π h e que Π i=h,b ]0, 1[ Π b = [S (1 + r) S h ]/(S h S b ) = [S (1 + r) S h + S b S b ]/(S h S b ) = 1 Π h Pour monrer que Π b ]0, 1[ parons de Π b = [S (1 + r) S h ]/(S h S b ) Pour monrer Π b ]0, 1[ il nous suffi demonrerque S b <S (1 + r) <S h Monrons que l on ne peu pas avoir S (1 + r) S b Si l on a S (1 + r) S b alors on a S (1 + r) S b <S h. On es donc en présence d un acif qui rappore sysémaiquemen plus que l acif sans risque e sricemen plus avec une probabilié non nulle. Il y a alors une opporunié d arbirage révélé par la sraégie d invesissemen suivane: on emprune au aux sans risque e l on place l argen empruné sur l acif S. L invesissemen en es nul e le revenu en T es posiif e sricemen posiif dans l éa du 20

21 monde hau, c es-à-dire avec une probabilié non nulle. Conclusion en AOA on ne peu pas avoir S (1 + r) S b. De la même façon le leceur monrera en s appuyan sur l hypohèse AOA que l on ne peu pas avoir S h S (1 + r) Conclusion Π b =1 Π h Π i=h,b ]0, 1[ Probabilié risque neure Π i=h,b peu s inerpréer comme un probabilié. Cee probabilié es appelée probabilié risque neure e noée Q. Π i=h,b ]0, 1[ enraine que Q es équivalene à la probabilié d observaion, que l on noera P e que l on avai précédemmen caracérisée par P i=h,b.dans cee nouvelle perspecive réécrivons les équaions (3),(4) e (5). S = E Q ( S T 1+r ) E rivialemen... C = E Q ( C T 1+r ) 1=E Q (1 + r) ( (1 + r) ) Que vien on d obenir? On vien de monrer que sous l hypohèse AOA les différens prix de nore marché s éablissen par l espérance, sous une probabilié Q équivalene à P, des gains acualisés. Ou encore, que les prix acualisés de nos acifs son des maringales sous Q. Où a on uilisé l hypohèse AOA? On l uilise par deux fois. lorsque l on déclare que le prix de nore opion es le prix du porefeuille répliquan. En effe l on monre en raisonnan comme nous avions fai pour le aux de change forward, que si le prix de l opion n es pas le prix du porefeuille répliquan alors il y a une opporunié d arbirage. pour monrer que Q e équivalene à P. Quelques mos supplémenaires sur Q. Elle es appelée probabilié risque neure. Rappelons-nous que pour obenir le prix aujourd hui d un flux fixe C dans le fuur il nous suffisai de l acualiser. La probabilié risque neure perme d éendre cee méhodologie à la valorisaion de flux don les monans ne seron connus que lors du paiemen : on acualise e l on somme les différens éas du monde en les pondéran par la probabilié risque neure. Enfin il es imporan de souligner que cee probabilié n es pas la probabilié hisorique. La probabilié hisorique n inervien pas pour la valorisaion du call. Pour donner à Q une inerpréaion économique, inroduisons deux acifs 21

22 élémenaires: un acif «hau» qui paie 1 Euro dans l éa hau e 0 sinon; un acif «bas» paie 1 Euro dans l éa bas e 0 sinon. On monre facilemen que le prix de l acif hau es Π h /(1+r) e que le prix de l acif bas es Π b /(1+r). Ces acifs son appelés prix d Arrow Debreu. Ils formen la base canonique de ous les payoffs possibles de nore monde simplifié. Π h e Π b son en fai (au discoun près) plus des prix qu une vériable probabilié. En conclusion nous venons de monrer AOA il exise une probabilié Q die risque neure équivalene à la probabilié hisorique sous laquelle les prix des acifs, acifs de base e acifs dérivés, son des maringales Monrons la réciproque. Parons donc de l hypohèse que ou payoff se valorise par l uilisaion d une probabilié risque neure équivalene à la proba hisorique. Monrons qu alors une opporunié d arbirage n es pas possible. Dans nore monde simplifié, une opporunié d arbirage es une sraégie de valeur nulle en e généran en T un flux oujours posiif e sricemen posiif dans au moins un éa du monde. Soi donc une sraégie qui génère en T un flux oujours posiif e sricemen posiif dans au moins un éa du monde. Monrons que la valeur en d un el monage es sricemen posiif. Pour fixer les idées noons f h le flux en l éa hau e f b le flux en l éa bas avec f i=h,b 0 e f h > 0. Le prix en de cee sraégie es donné par : f h f b F = Π h 1+r + Π b 1+r Sous les hypohèses Π i=h,b ]0, 1[, F es donc sricemen posiif. En conséquence sous l hypohèse d exisence d une probabilié risque neure équivalene à la probabilié hisorique il ne peu y avoir d opporunié d arbirage Marché incomple : un exemple de pricing par sur-réplicaion (TD) Nous parons du modèle simple à une période mais cee fois on considère qu au emps T 3 éas du monde disincs peuven survenir. 2 acifs liquides son présens sur le marché : il s agi d un acif sans risque, qui vau 1 en e qui vau (1 + r) en T,ece,quelquesoil éadumonde,ed unacifs qui vau S en e S i en T,aveci = h, m ou b. Le ou es illusré figure 14. Nous prendrons r =0e S = 3 S h = 4 S m = 2 S b = 1. 22

23 Figure 14: Marché imcomple T éa h éa m éa b Un rader reçoi une demande de quoaion pour un acif X qui génère en T un flux X i = h, m, b avec X h = 2 X m = 1 X b = 1. Dans le cadre du modèle à deux éas du monde e deux acifs liquides la méhodologie d évaluaion consisai à bâir à parir de l acif sans risque e l acif risqué S liquide un porefeuille répliquan le payoff du call que nous avions à évaluer. Ici cela n es plus possible. Supposons que soi demandé au rader de vendre ce acif X.L obje du TD es de déerminer la valeur X à laquelle le rader accepera de vendre l acif X. Quesion 1 Monrer en quoi le rader ne peu pas répliquer parfaiemen X à parir de l acif sans rique e de S. Les objecifs du rader son les suivans : se couvrir oalemen e proposer sous cee conraine de couverure le prix le plus aracif possible. Auremen di, avec l argen de la prime(= X ) que lui versera son clien, le rader compe acheer un porefeuille combinan l acif sans risque e l acif S el que, quel que soi l éa du monde, son porefeuille lui rappore en T plus qu il ne doi reverser à l acheeur de l acif X. Le rader doi ouefois «opimiser» son porefeuille de façon à demander à son clien la prime la plus faible possible. Quesion 2 Ecrire le programme d opimisaion linéaire correspondan aux objecifs du rader. 23

24 Rappel de programmaion linéaire Inroduisons les noaions : I = {i : i =1, 2,..m} J = {j : j =1, 2,..n} x e c deux veceurs der n y e b deux veceurs de R m A une marice de M n,m (R) Par I 1 on noe une parie des indices de I, c es-à-dire quei 1 I e I 2 = I\I 1. D une façon analogue, J 1 J e J 2 = J\J 1. Les deux problèmes d opimisaion linéaires sous conraines mixes : e PB1 Min <c,x> x Sous (Ax) i b i i I 1 (Ax) i = b i i I 2 x j 0 j J 1 PB2 Max <b,y> y Sous (A T y) j c j j J 1 (A T y) j = c j j J 2 y j 0 j I 1 se nommen problèmes duaux avec conraines mixes. On monre que si l ensemble admissible de PB1 es vide, il en va de même pour PB2,e inversemen. Par ailleurs si l on noe x e y les soluions du PB1 e de PB2 alors on a <c,x >=< b,y > Quesion 3 Ecrire le dual du programme d opimisaion obenu à la quesion 2. L inerpréer en inroduisan le concep de probabilié risque neure. Quesion 4 Résoudre les sysèmes de la quesion 2 e 3 24

25 Par II Evaluaion en emps coninu 3 Théorèmedevalorisaiondanslecasmonodimenionnel e avec coefficiens de diffusion non sochasiques 3.1 Conexedevalorisaion Nous sommes en emps coninu e l on se place dans un univers à horizon fini T. Nous sommes en. Sur le marché coexisen deux acifs liquides (acifs de base): l acif sans risque M e un acif risqué S. On ravaille sr un inervalle de emps [,T]eunespacedeprobabilié(Ω,F,P). Les prix de ces deux acifs suiven, sous la probabilié P, die probabilié hisorique, les diffusions suivanes : dm τ M τ ds τ S τ = rdτ = µdτ + σdw P où W es un brownien sous P e don F es la filraion naurelle. µ, r σ son des parmères consans. Enfin on inrodui les noions de porefeuille auofinançan, d opporunié d arbiarge e de prix dé réplicaion de la façon suivane Porefeuille auofinançan Un porefeuille auofinançan es un couple (α τ,β τ ) τ T de processus F τ adapés els que: 1) R T α s ds < + p.s e R T β 2 sds < + p.s. e 2) τ [, T ] α τ M τ + β τ S τ = α M + β S + R τ qui s écri égalemen α sdm s + R τ β sds s (6) d (α s M s + β s S s )=α s dm s + β s ds s remarque: on remarquera que les condiions 1) permeen d assurer une exisense au processus défini par R τ α sdm s + R τ β sds s En effe pour que R τ β sds s ai un sens il fau que R τ β ss s µds + R τ β ss s σdws P soi défini. Or pour que 25

26 R τ β ss s µds soi défini il suffi que R T (β s S s µ) 2 ds < + p.s. Puisque pour ou ω Ω la foncion s S s (ω) es coninue sur [, T ] alors S. (ω) es borné [, T ]. Ainsi Z T (β s S s µ) 2 ds < + p.s Z T β 2 sds < + p.s ce qui es assuré par 1) Même remarque pour le erme R τ β ss s µds e le erme α sdm s R τ En posan f S τ = S τ /M τ on peu réécrire la condiion 2) en une condiion 2bis) équivalene: 2bis) τ [, T ] α τ + β τ Sτ f = α + β S e + R τ β sds f s (7) qui s écri égalemen d ³α s + β sss f = β s ds f s Opporunié d arbirage Une opporunié d arbirage es sraégie de d invesissemen consruie à base d un porefeuille auofinançan e elle que: Proba P (α M + β S =0)=1 Proba P (α T M T + β T S T < 0) = 0 Proba P (α T M T + β T S T > 0) > Prix de réplicaion Soi un acif C payan h (S T ) en T. On appelle prix de réplicaion le prix d un porefeuille auofinaçan don la valeur es égale à h (S T ) en T. 3.2 Théorème Valorisaion des acifs de base: Il exise une probabilié Q équivalene à P elle que: M = E Q [exp [ r (T )] M T /F ] S = E Q [exp [ r (T )] S T /F ] 26

27 3.2.2 Valorisaion des acifs dérivés Soi un acif C payan h (S T ) en T e el que E Q h 2 (S T ) /F < + e E Q [h (S T ) /F τ ] es coninue en τ.alors, sous AOA, le prix de réplicaion de C es unique e, par ailleurs, si l on noe C ce prix, on a C = E Q [exp [ r (T )] h (S T ) /F ] C es appelé prix d arbirage de l acif C. 3.3 Demonsraion Valorisaion des acifs de base On monre ou d abord par le héorème de Girsanov qu il exise une probabilié Q équivalene à la probabilié hisorique P elle que sous Q ds τ S τ = rdτ + σdw Q où Wτ Q esunbrowniensousq. Parons de ds τ = µdτ + σdw P S τ que l on réécri en ds τ =(r + µ r) dτ + σdw P (8) S τ Definissons le processus W. Q par soi dw Q τ =(µ r) dτ + σdw P τ avec θ = µ r σ e Z τ Wτ Q = Wτ P + θds Z τ L τ = exp θdws P 1 Z τ θ 2 ds 2 L τ es une maringale sous P car " Z # # E "exp P 1 T θ 2 ds /F 2 1 = exp 2 θ2 (T ) < + 27

28 Alors sous la probabilié Q de densié L T par rappor à P,équivaleneàPdu fai de la posiivié srice de L T,Wτ Q es un mouvemen brownien sandar. On peu alors réécrire l équaion (8) en: ds τ = rdτ + σdw Q (9) S τ En inégran l équaion (9) on obien µ S T = S exp r (T ) 1 ³ 2 σ2 (T )+σ W Q T W Q d où E Q [exp [ r (T )] S T /F ] = E exp Q [ r (T )] S exp µ = S exp 1 2 σ2 (T ) µ r (T ) 1 ³ 2 σ2 (T )+σ W Q T h ³ E Q σ W Q T W Q /F i W Q / = S ce qui nous perme de conclure que: S = E Q [exp [ r (T )] S T /F ] Sous Q la diffusion du prix de M es inchangé soi: On a donc : dm τ M τ = rdτ M = E Q [exp [ r (T )] M T /F ] S = E Q [exp [ r (T )] S T /F ] Valorisaion des acifs dérivés Exisense du porefeuille répliquan Posons: exp A τ = E Q r(t ) h (S T ) /F τ M ) exp r(t Par consrucion A es une maringale sous Q.qui vau M h (S T ) en T. Parailleurspuisquenousnoussommesresreinsauxfoncionspayoff h els que E Q [h (S T ) /F τ ] es coninue en alors A τ es une maringuale coninue. Le héorème de représenaivié des maringales nous perme de dire qu il exise un processus F-adapé 1 (K τ ) τ T el que Z τ A τ = A + K s dws Q (10) 1 la filraion naurelle de W Q es aussi la filarion naurelle de W P. 28

29 Z T avec Ks 2 ds < + p.s. L équaion (10) se réécri: Z τ A τ = A + β s ds f s (11) avec β s = K s. Posons α σ es τ = A τ β s τ Sτ e. On remarque alors que l équaion (11) s écri encore Z τ α τ + β τ Sτ e = α + β S e + β s ds f s e que donc (α τ,β τ ) τ T verifie les condiions d auofinancemen 2bis). Par ailleurs la valeur en τ du poreuille défini par (α τ,β τ ) vau: V τ = ³α τ + β τ Sτ e h i M τ = A τ M τ = E Q exp r(t τ) h (S T ) /F τ En pariculier, en T, on a une parfaie répliquaion du payoff de C: V T = exp r(t ) M h (S T ) M T = h (S T ) puisque l inégraion de dm τ = rdτ nous donne M T = M exp r(t ). M τ Monrons, pour conclure sur l exisense d un porefeuille auonfinançan répliquan C en T, que les condiions d inégrabilié 1) son vérifiées. Puisque Z T Z T Z T Ks 2 ds < + p.s. alors β 2 sσ 2 S e2 s ds < + p.s. ou encore β 2 sss 2 ds < + p.s. Par ailleurs (S τ ) τ T éan coninu sur [, T ] p.s., (S τ ) τ T es borné sur [, T ] p.s. e donc Z T β 2 sds < + p.s. Par ailleurs Z T α s ds Z T A s ds + Z T β sss e ds. (Aτ ) τ T éan coninu sur [, T ] p.s., (A τ ) τ T es borné sur [, T ] p.s. e donc A s ds l es Z s T Z s T Z T égalemen. Enfin par β s es s ds β 2 s ds es s 2 ds e du fai que Z T Z T β 2 sds < + p.s.ainsi que es s 2 ds < + p.s.car (S τ ) τ T es borné sur [, T ] p.s., on a: Z T α s ds + p.s. Z T 29

30 Unicié Monrons que sous AOA les porefeuilles répliquan C en T on une valeur idenique en. Faisons l hypohèse qu il exise deux porefeuilles auofinaçans définis par (α τ,β τ ) τ T e (γ τ,δ τ ) τ T répliquans C en T e els que: α M + β S >γ M + δ S Posons ε =(α M + β S ) (γ M + δ S ) (12) Monons alors la sraégie définie par (ε + γ α τ,δ β τ ) τ T. On vérifie aisémen que cee sraégie d invesissemen es un porefeuille auofinançan de valeur nulle en, du fai de l équaion (12), e de valeur εm T en T e donc sricemen posiive avec probabilié non nulle. Il s agi donc d une opporunié d arbirage. Ainsi sous AOA on ne peu avoir que: Conclusion τ [, T ] α M + β S = γ M + δ S C τ = E Q [exp [ r (T τ)] C T /F τ ] S τ = E Q [exp [ r (T τ)] S T /F τ ] M τ = E Q [exp [ r (T τ)] M T /F τ ] On s applique dans les deux paragraphes suivans à relever les analogies avec le héorème de valorisaion sous le modèle à une période e commener les différences. 3.4 Analogies avec le modèle discre à une période Dans les deux cadres, la consrucion du porefeuille répliquan mène à la mise en relief d une probabilé risque neure sous laquelle les prix de l acif sans risque, l acif risqué e l acif C une fois discounés son des maringales. Dans les deux cadres, la probabilié risque neure es équivalene à la probabilié hisorique. 3.5 Différences Les opporuniés d arbirage son définies ici à parir de porefeuille ne conenan que les acifs de base, resricion que nous n avions pas en emps discre. La conséquence es imporane: dans le cadre discre le héorème d évaluaion parle du "prix" de l acif dérivé alors qu en emps coninu on parle de "prix d arbirage" 30

31 La sraégie de couverure n es plus saique mais dynamique : le porefeuille répliquan es consrui lors de la vene ou de l acha au emps de l acif C mais il subira au cours du emps des réarrangemens. Il es rès imporandenoerquelasaégiemiseenplaceesauofinançane. Ceci signifie que les réarrangemens de porefeuille au cours du emps se fon à coû nul. Nous n avons pas monré l équivalence (2). Nous avons simplemen monré que l AOA implique que il exise une mesure Q équivalene à P sous laquelle le prix des acifs de base e le prix d arbirage de cerains (du fai de la condiion d inégrabilié sur h (S T )) acifs dérivés, une fois discounés, son maringales. Démonrer la réciproque nécessie quelques resricions. On peu la démonrer si, par exemple, on accepe de redéfinir les opporuniés d arbirage en se resreignan aux porefeuilles auofinaçans (α τ,β τ ) τ don la valeur es bornée inférieuremen. 3.6 Formules Black e Sholes Idenificaion des coefficiens du porefeuille répliquan, EDP, calcul du prix BS e du dela:td cours TD calcul du dela BS On a = C S ii he hexp Q r(t ) (S T K) + /F = or S ³ E Q S exp ³ r 1 exp r(t ) 2 σ2 (T )+σ W Q T W Q S + K /F ³ h r ³ E Q S exp 1 2 σ2 (T )+σ W Q T W Q i + K /F = Z + S = Z + S S µ S exp µr 12 σ2 (T )+σx + T K g (x) dx " µ S exp µr 12 σ2 (T )+σx # + T K g (x) dx 31

32 avec g (x) la densié de la loi normale. Ainsi : C r(t ) exp S = Z " + µ S exp µr 12 S σ2 (T )+σx # + T K g (x) dx = Z + exp µr 12 σ2 (T )+σx T 1 {S exp[(r 1 2 σ2 )(T )+σx T ]>K} g (x) dx = = = soi exp µr 12 Z + σ2 (T ) Z + exp [r (T )] ln(k/s ) ( r 1 2 σ2 )(T ) σ T Z + exp [r (T )] ln(k/s ) ( r+ 2 1 σ2 )(T ) Prix du call C S = Le prix du call es donné par: σ T Z + ln(k/s ) ( r 1 2 σ2 )(T ) σ T h exp σx i T g (x) dx exp µ 12 σ2 (T )+σx T g (x) dx g (x) dx ln(k/s ) ( r+ 1 2 σ2 )(T ) σ T = 1 N ( d 1 ) = N (d 1 ) g (x) dx C BS (, T, r, S,K,σ)=S N (d 1 ) exp r(t ) KN (d 2 ) avec ln (S /K)+ µr + 12 σ2 (T ) d 1 = σ T d 2 = d 1 σ ln (S /K)+ µr 12 σ2 (T ) T = σ T es la dae de valorisaion de l opion 32

33 Figure 15: valeurs numériques uilisées dans les figures 16,17, 18 e 19 srike 5 discoun 0,9 vol 10% maurié (T-) 10 Figure 16: prix d un call call prix niveau du sous-jacen prix du call prix du call à maurié T es la dae d exercice de l opion (T ) es la maurié résiduelle de l opion K es le srike de l opion S es la valeur de l acion en σ es la volailié du sous-jacen Inroduisons les noions suivanes C S es appelé dela de l opion. Cee valeur comme nous le verrons dans le paragraphe suivan ser au rader à moner son porefeuille de couverure. Dans le cas d un call, on a: C S = N (d 1 ) 33

34 Figure 17: dela d un call dela comme foncion du sous jacen 1,2 1 0,8 dela 0,6 0,4 dela 0, sous-jacen C es appelé héa de l opion 2 C S 2 es appelé gamma de l opion Une illusraion de ces formules es donnée par les figures 16 e Prix du pu Le prix du pu es donné par P BS (, T, r, S,K,σ)=exp r(t ) KN ( d 2 ) S N ( d 1 ) e son dela par P = N ( d 1 ) S Une illusraion de ces formules es donnée par les figures 18 e Prix forward d un acif On supposera dans cee secion que le aux repo es égal au aux sans risque. On se place dans la siuaion d une banque s engagean à à vendre en T un acif S au prix P f. On a vu que dans la première parie du cours que pour déerminer P f la banque doi moner une sraégie à base d acif sans risque e d acif risqué qui lui délivre les flux fuurs els que réprésener figure 20. Pour cela, la banque achèe en l acif S au prix S e finance ce acha par un emprun d un monan S sur la durée (T-). L opéraion es donc neure en, la banque se poran acquéreur de l acif en emprunan. En T elle aura dans son porefeuille l acif S e devra rembouser S exp r(t ) (emprun au 34

35 Figure 18: prix d un pu pu prix 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, ,5 niveau du sous-jacen prix du pu prix du pu à maurié Figure 19: dela d un pu dela du pu -0, ,4 dela -0,6 dela -0,8-1 -1,2 sous-jacen Figure 20: Vene forward par la banque de l acif risqué S - poin de vue de la banque T P f acif 35

36 aux sans risque r). En T elle aura donc dans son porefeuille l acif que pourra céder à son clien en conreparie de P f qui,sommequipermeraàlabanque de rembourser son emprun. D où P f = S exp r(t ). Le raisonnemen es en ou poin équivalen au raisonnemen enu dans la première parie du cours.à une une différence près ouefois: le repurchase agreemen es remplacé ici par un simple acha financé par l acif sans rique. Dans la réalié des marchés, il faudrai prendre en compe ce décalage de aux de financemen/emprun. Une aure façon de valoriser la valeur forward de l acif es d uiliser la formule de valorisaion démonrée précédemmen e de dire que la banque n accepe de passer avec son clien un conra forward que si e seulemen si le prix vu en decesflux fuurs es 0. Soi si e seulemen si E Q exp [ r (T )] P f /F = E Q [exp [ r (T )] S T /F ] ou encore P f r(t ) = S exp Prix BS du call e du pu comme foncion du prix forward de l acif. Les formules de valorisaion peuven aussi s exprimer en foncion du prix forward de l acif. On a dans le cas du call: avec C, T, r, S T,K,σ =exp r(t ) S T N (d 1 ) KN (d 2 ) (13) ln S T /K + 1 d 1 = 2 σ2 (T ) σ T ln S T /K 1 d 2 = 2 σ2 (T ) σ T S T = S exp r(t ) : prix forward de l acif Volailié BS implicie e smile Pour une dae de maurié T donnée son côés sur le marché un cerain nombre de calls e de pus pour différens niveaux de srike. Or les coaions ne son pas données en prix mais en erme de volailié BS, die "volailié implicie". Si l on noe fbs K (σ) la foncion elle que: f K BS (σ) =C BS (, T, r, S, K, σ) alors la volailié implicie d un call de srike K e de prix P K es la valeur de σ BS implicie elle f K BS (σ) =P K. On a donc σ BS implicie = f K BS 1 (P K ) 36

37 Figure 21: Smile spo 110 T- 2 discoun 0,9 vol srike vol de marché (vol BS implicie) 15,30 13,60 12,40 11,70 11,50 11,80 12,60 15,7 prix du marché 29,72 25,33 21,09 17,14 13,64 10,81 8,78 6,92 prix BS calculé avec la vol ATM 29,18 24,91 20,84 17,06 13,64 10,65 8,11 4,38 vol de marché (vol BS implicie) vol BS implicie 15,3 16,00 13,6 12,4 11,7 11,5 14,00 12,00 10, srike vol de marché (vol BS implicie) Or sur de nombreux marchés on s aperçoi la volailié implicie dépend de K. Ce phénomène es appelé "smile" du fai de la forme de la foncion σ BS implicie (K). Nous en donnons un exemple numérique sur la figure 21. Un el phénomène vien conredire l hypohèse de diffusion que nous avions donnée à savoir que sous la probabilié hisorique on a : ds τ S τ = µdτ + σdw P dm τ = rdτ M τ avec des coefficiens µ, r e σ non sochasiques. Le marché coninue d adhérer à la formalisaion BS, sai qu elle es fausse e appore des correcions qui se raduisen par l appariion de smile. Ce phénomène es rès présen sur le marché des acions, sur le marché des changes mais aussi sur le marché des aux d inérê. 3.7 Valorisaion d aures opions exoiques (les calculs qui suiven fon en parie l obje de TD) Digiale sur le sous jacen S 1ère méhode Le payoff d une digiale mauran en T e de srike K es donné par: 1 {ST >K} 37

38 On noe D τ le prix de cee digiale au emps τ. Enapplicaionduhéorème de valorisaion on a D = E Q exp r(t ) 1 {ST >K}/F soi or e donc D =exp r(t ) Pr oba Q [S T >K/F ] ds τ = rdτ + σdw Q S τ S T = S exp µr 12 ³ σ2 (T )+σ W Q T W Q avec W Q T W Q Ã ℵ (0,T ). Ainsi Pr oba Q [S T >K/F ] = Proba S Q exp µr 12 ³ σ2 (T )+σ W Q T W Q ³ = Proba Q W Q T W Q K ln S r 1 2 σ2 (T ) > T σ T ³ = 1 N ln K S r 1 2 σ2 (T ) σ T Ã = 1 N ln S K + r 1 2 σ2! (T ) σ T = N (d) >K/F /F Conclusion D = exp r(t ) N (d) avec d = ln( S K )+(r 1 2 σ2 )(T ) σ T Digiale sur le sous jacen S 2ème méhode Il es possible de valoriser la digiale en remarquan que 1 {ST >K} = (S T K) + ou la dérivée es ici à prendre au sens des disribuions. On a alors D = E Q h exp r(t ) 1 {ST >K}/F i K " # = exp r(t ) E Q (S T K) + /F K 38

39 Or " # E Q (S T K) + Z + (S K) + /F = g (S) ds K K où g es la densié de S en T sachan F. g ne dépendan pas de K, on peu écrire " # E Q (S T K) + Z + /F = (S K) + g (S) ds K K h i = K EQ (S K) + /F e donc D = he h ii Q exp r(t ) (S T K) + /F K = C K où C es le prix d un call mauran en T e de srike K. Ainsi dans le cadre d une valorisaion par formule BS: D = C K =exp r(t ) N (d 2 ) Digiale sur le sous jacen S 3ème méhode: porefeuille réplican e valorisaion en présence de smile En fai la seconde approche n es pas à considérer que d un poin puremen calculaoire. En effe elle aussi la raducion mahémaique de la sraégie de hedge saique que le rader va mere en place pour couvrir l acha/la vene d une digiale. Pour le comprendre consruisons un porefeuille consiué par l acha d un call de srike K ε 2 elavened uncalldesrikek + ε 2.Lepayoff à maurié de ce porefeuille es représené par la figure 22. En prenan 1 ε pour noionnel de ce porefeuille répliquan on obien un payoff proche de la digiale. Ceci es représené par la figure 23. Le prix du porefeuille répliquan es V (ε) = 1 ε hc ³ S,K ε 2 C ³ S,K+ ε 2 Or ce porefeuille répliquan n es vériablemen répliquan que lorsque ε end vers 0. On a donc D = lim V (ε) = C ε + K soi le résula obenu précédemmen. En présence de smile, il ne fau pas oublier que la volailié dépend ausi du smile. On a alors C D = K + C σ σ Le phénomène es illusrée par la figure 24. BS implicie K i 39

40 Figure 22: Call Spread 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 payoff du call spread de noionnel 1 pour K=5 e eps = payoff du call spread de noionnel 1 Figure 23: Call Spread e Digiale 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 payoff de la digiale e de son porefeuille répliquan payoff du call spread de noionnel 1/eps digiale 40

41 Figure 24: illusraion de l impac du smile sur lle prix une digiale forward 100 T- 2 discoun 0,9 vol srike 80 84, , , ,1 120 vol de marché (vol BS implicie) 15,20 13,53 13,50 13,47 12,30 11,60 11,40 11,70 12,50 13,77 13,80 13,83 15,60 prix du marché 19,34 15,31 15,23 15,15 11,48 8,26 5,78 4,09 3,10 2,62 2,61 2,61 2,49 prix BS calculé avec la vol ATM forward 18,49 14,67 14,60 14,52 11,12 8,17 5,78 3,95 2,60 1,67 1,66 1,64 1,02 prix de la digiale avec vol ATM forward 0,813 0,743 0,741 0,739 0,645 0,535 0,421 0,316 0,226 0,156 0,155 0,153 0,102 prix de la digiale avec vol smilée des calls 0,742 0,699 0,698 0,696 0,628 0,532 0,421 0,318 0,239 0,188 0,187 0,186 0,157 prix de la digiale par couverure saique 0,792 0,057 vol implicie de la digiale 9,25 6,60 smile volailié 16,00 15,00 14,00 13,00 12,00 11,00 13, , forward du $/Yen vol Opion barrière Nous nous inéresserons ici à la valorisaion d un "Down and In Call" ou "DIC" mauran en T de srike K e de niveau de barrière H. Un DIC es un call qui ne s acive que si enre la dae de valorisaion e la dae de maurié le sous jacen es passé sous le niveau de la barrière. Le payoff d un DIC peu s écrire: (S T K) + 1 ½ ¾ inf Sτ <H τ [,T ] Nous raierons ici le cas où K<H.Noons Dic τ la valeur au emps τ [, T ] du DIC. Le héorème de valorisaion 2 nous perme de dire que : Ã Dic = E Q exp r(t ) (S T K) + 1 ½ inf τ [,T ]! ¾ /F Sτ <H avec sous Q ds τ S τ = rdτ + σdw Q 2 Le héorème de valorisaion ne menionnai que les payoffs duypeh (S T ).Lehéorème s applique aussi aux payoffs Z,oùZesunevariableposiiveF T mesurable e elle que E Q (Z/F ) exise. F T es ici la filraion engendrée par le prix de l acif sous jacen S, soi, dans nore conexe où µ, r e σ son non sochasiques, la filraion engendrée par le brownien W Q 41

42 Figure 25: chemin e chemin réfléchi diffusion du brownien enre e T niveau du brownien 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0, emps brownien srike barrière brownien réfléchi Figure 26: Pour alléger les noaions definissons l ensemble A de la façon suivane: ½ ¾ A (S, H) def = inf S τ <H τ [,T ] Résulas préliminaires Soi B τ un brownien sur [, T ] issu de 0 en. Soi deux consanes k e h elles que k<h. Alors pour b [k, h] on a µ Pr ob inf B τ <h/b T = b =1 [,T ] En effe si en T on a B T <halors on sai que la barrière h aééfranchie. Par ailleurs, le principe de réfexion nous donne pour b [h, + ] : µ Pr ob inf B g(2h b) τ <h/b T = b = (14) [,T ] g(b) avec g(.) la densié d un browien en T issu de 0 en. Pour une illusraion du calcul du principe de réflexion uilisé en (14), se référer à la figure 26. Première pise On par de : 42