Techniques de réduction de modèles pour les vibrations non linéaires de plaques minces amorties

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1 Techniques de réducion de modèles pour les vibraions non linéaires de plaques minces amories Faiza Boumediene, Jean-Marc Cadou, Laëiia Duigou, Abdelhamid Miloudi To cie his version: Faiza Boumediene, Jean-Marc Cadou, Laëiia Duigou, Abdelhamid Miloudi. Techniques de réducion de modèles pour les vibraions non linéaires de plaques minces amories. 10e colloque naional en calcul des srucures, May 2011, Giens, France. pp.clé USB. <hal > HAL Id: hal hps://hal.archives-ouveres.fr/hal Submied on 3 May 2011 HAL is a muli-disciplinary open access archive for he deposi and disseminaion of scienific research documens, wheher hey are published or no. The documens may come from eaching and research insiuions in France or abroad, or from public or privae research ceners. L archive ouvere pluridisciplinaire HAL, es desinée au dépô e à la diffusion de documens scienifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanan des éablissemens d enseignemen e de recherche français ou érangers, des laboraoires publics ou privés.

2 CSMA e Colloque Naional en Calcul des Srucures 9-13 mai 2011, Presqu île de Giens (Var) Techniques de réducion de modèles pour les vibraions non linéaires de plaques minces amories F. Boumediene 1,2, J-M. Cadou 1, L. Duigou 1, A. Miloudi 2 1 Laboraoire d'ingénierie des Maériaux de Breagne, Universié Européenne de Breagne, Universié de Breagne Sud, Rue de Sain Maudé, BP 92116, Lorien cedex, France. {faiza.boumediene, jean-marc.cadou, laeiia.duigou}@univ-ubs.fr. 2 Laboraoire de Mécanique Avancée, Faculé de Génie Mécanique & Génie des Procédés, USTHB, BP 32, El Alia, Bab Ezzouar, Alger, Algérie Résumé Ce ravail pore sur la résoluion numérique de problèmes de vibraions non linéaires de plaques minces amories. Ces plaques son soumises à des exciaions muli-harmoniques qui conduisen à des problèmes de grande aille. La résoluion de ces sysèmes non linéaires es effecuée à l aide d une Méhode Asympoique Numérique couplée à des echniques de réducion de modèles. Deux echniques de réducion son évaluées dans ce ravail : la POD e une echnique originale issue d un premier pas de calcul MAN. Mos clefs Vibraion non linéaire, amorissemen, méhode asympoique numérique, équilibrage harmonique, plaques minces, décomposiion orhogonal aux valeurs propres. 1 Inroducion Les srucures minces son rès répandues dans l indusrie mécanique. Ces srucures on l avanage d êre légères e présenen égalemen de bonnes propriéés aérodynamiques. Cependan, lorsque ces srucures vibren sous l acion d effor mécaniques, elles le fon généralemen avec de grandes ampliudes de déplacemen. Ces dernières nécessien alors de prendre en compe dans la modélisaion les non linéariés de ype géomérique. Ces non linéariés conduisen à des difficulés dans la résoluion numérique du problème mais son égalemen sources de phénomènes d insabiliés complexes. Ce ravail pore sur la résoluion de problèmes de vibraions non linéaires de plaques minces amories soumises à des exciaions muli-harmoniques perpendiculaires à la surface moyenne. Lorsque le nombre d harmoniques considéré dans l éude es grand (supérieur à 4), les emps de résoluion du problème de vibraion deviennen égalemen rès imporans. La résoluion de ce ype de problème nécessie alors un ensemble de méhodes efficaces an pour résoudre le problème non linéaire que pour réduire les emps de simulaion. La résoluion du problème non linéaire s'effecue en couplan la méhode d équilibrage harmonique e la Méhode Asympoique Numérique (MAN) [4]. Cee dernière méhode es une méhode de perurbaion associée à la méhode des élémens finis. La méhode de perurbaion perme de ransformer le problème non linéaire iniial en un ensemble de problèmes linéaires qui son alors résolus à l aide de la méhode de discréisaion spaiale. Cee echnique de linéarisaion es appliquée pas à pas (méhode de coninuaion) e perme ainsi de déerminer une grande parie de la courbe réponse. Chaque pas de la MAN demande une riangulaion de marices e la résoluion de quelques sysèmes linéaires (ce nombre éan l ordre de roncaure de la méhode de perurbaion). Considérer un grand nombre d harmoniques dans l éude vibraoire condui à augmener considérablemen la aille des marices à rianguler à chaque pas de coninuaion MAN e par conséquen le emps de calcul de la soluion non linéaire. Afin de diminuer ces emps de calcul, nous proposons d uiliser des echniques de réducion de modèles. Ces dernières son inroduies lors de la résoluion des problèmes linéaires issus de la résoluion par la MAN.

3 Dans cee éude, les deux echniques de réducion de modèles proposées diffèren par le moyen d obenir les bases de réducion. La première base es consruie à parir des résulas issus d un pas MAN e la deuxième es consruie à parir d'un calcul comple en uilisan la méhode de décomposiion orhogonale aux valeurs propres (POD). La première méhode, validée dans un ravail précéden [5], donne de bons résulas. Cependan, comme le premier pas MAN es réalisé avec un nombre d harmoniques idenique à celui de l éude, le emps de calcul de la base peu alors devenir imporan si la srucure conien un nombre imporan de degré de liberé. Pour remédier à ce inconvénien nous proposons de faire ici une première résoluion en uilisan la MAN e un nombre d harmoniques faible (H = 2) e ceci quelque soi le nombre d'harmoniques choisi pour l'éude. La deuxième méhode (POD) es une méhode classique e es aujourd hui largemen uilisée dans plusieurs domaines de la physique, noammen en vibraions non linéaires [1], [2], [9], [11]. Dans cee éude la POD es appliquée à l éude des plaques minces soumises à des exciaions harmoniques. La résoluion complèe du problème avec un faible nombre d harmoniques (H = 2) es iniialemen réalisée par la MAN. A parir de ces soluions non linéaires, la POD es uilisée pour exraire les composanes imporanes du mouvemen de vibraions de la srucure éudiée. La POD perme ainsi d exraire une base de réducion de ce premier calcul qui es ensuie uilisée pour résoudre un problème avec un nombre d harmoniques plus élevé. Dans ce ravail, après avoir formulé nore problème sous forme mahémaique, nous présenons la méhode asympoique numérique qui perme d obenir une séquence de problèmes linéaires. Les méhodes de réducion uilisées dans cee éude son ensuie présenées. Des exemples numériques permeen de monrer les avanages e les inconvéniens des echniques numériques proposées. 2 Formulaion mahémaique Considérons une plaque recangulaire mince. Le sysème d équaions du mouvemen peu êre écri sous forme quadraique en foncion du veceur inconnu T X = (,, ) comme sui [4]: R(, ω, Ω), = L, Ω M, + ω C, + Q (, ), P, = 0 T T T el que [ U, N] 2 = es le veceur mixe déplacemen-conraine, ω la pulsaion elle que Ω = ω e P le veceur de force exerne. L(.) e Q(.,.) corresponden, respecivemen, aux opéraeurs linéaire e quadraique de la rigidié e M e C son les opéraeurs de la masse e de l amorissemen. La marice d amorissemen es de ype Rayleigh. La plaque es supposée soumise à une exciaion ransversale muli-harmonique comme sui: H 1 ( j = 0 jc js ( ) = P cos jω + P sin jω ) P (2) où H es le nombre d harmoniques, c e s représenen respecivemen, les faceurs cosinus e sinus. Le déplacemen es égalemen supposé muli-harmonique e il peu s écrire sous une forme idenique à l exciaion (2) : H 1 jc js ( ) = ( U cos jω + U sin jω ) j = 0 U (3) Pour une discréisaion de la plaque en ND degrés de liberé par la méhode des élémens finis, le sysème d équaions aura comme dimension: NT = ND (2H-1) (4) La résoluion du problème non linéaire précéden (1) es réalisée à l aide de la Méhode (1)

4 Asympoique Numérique. Cee méhode associe une echnique de perurbaion à une méhode de discréisaion spaiale, généralemen la méhode des élémens finis. Cee parie de la résoluion es exposée à la secion suivane. 3 Méhode asympoique numérique L'équaion du mouvemen (1) peu êre écrie en foncion de l'inconnue T X = (,, ) sous la forme suivane: R( T X) = 0 (5) Considérons une soluion régulière X 0 du problème non linéaire (5). L idée de base de la MAN consise à chercher la soluion au voisinage de ce poin, sous la forme d une série enière d un paramère de chemin a: 2 p n ( a) = X + ax1 + a X a X p + a X n X 0 + (6) où X p es la nouvelle inconnue du problème, à l ordre p (p = 1, n), n es l ordre de roncaure e a es le paramère de chemin qui peu êre idenifié comme éan la projecion de l incrémen de déplacemen (U-U 0 ), e l incrémen de pulsaion (- 0 ), sur le veceur angen (U 1, 1 ): où <.,.> désigne le produi scalaire Euclidien. a = U U, U ω (7) ( ω ω0) Inroduisons l expression (6) dans les équaions (5) e (7) e équilibrons suivan les puissances de a. On rouve une séquence de problèmes linéaires à résoudre. Le problème linéaire à l'ordre p (p = 1, n) s'écri, après reour à l'écriure en déplacemen pur, sous la forme suivane: nl ( X ) U = F ( ), i = 1, p 1 1 L 0 p X i (8) où U p es le déplacemen à l'ordre p. F nl es le veceur second membre calculé en foncion des paramères connus qui son déjà calculés dans les ordres précédens. L noe l opéraeur angen au poin de dépar X 0. Finalemen, le problème non linéaire iniial (1) es ransformé en une séquence de problèmes linéaires (8) qui on le même opéraeur angen L e qui diffèren seulemen dans le second membre F nl. Le second membre à l ordre p dépend des eniés calculées aux ordres précédens i < p. Il peu donc êre déerminé facilemen. Ces problèmes linéaires son résolus en uilisan la méhode des élémens finis en discréisan l équaion (8) : nl ( X ) U = F ( ), i = 1, p 1 K 0 p X i (9) Dans cee dernière équaion K désigne la marice angene e F nl représene le veceur second membre discre. Ces développemens asympoiques on un inervalle de validié limié don le seuil peu êre évalué en uilisan le crière simple de Cochelin [7] : où es un pei paramère de olérance. a max = 1 ( n 1) U 1 η (10) U n Une fois la valeur maximale du paramère de chemin 'a' déerminée, on inrodui sa valeur dans les

5 approximaions polynomiales (6) e on défini ainsi un nouveau poin de dépar ( 0, 0, 0 ) à parir duquel on réière la MAN. Cela défini la méhode de coninuaion e perme le calcul des branches de soluions. Comme il a déjà éé démonré dans les références [4] e [7], le meilleur algorihme de suivi de chemin es celui basé sur les approximans de Padé en uilisan les fracions raionnelles [8]. Le sysème linéaire (8) es simple mais de grandes dimensions. La décomposiion de la marice angene nécessie donc un emps de calcul significaif. Plusieurs méhodes peuven êre uilisées pour réduire ce emps. Dans ce aricle, la projecion du veceur inconnu sur des bases réduies es uilisée. La procédure es expliquée en déail dans la secion suivane. 4 Réducion de modèle Dans cee secion, nous décrivons la procédure générale de réducion de modèle qui doi enre aure conserver les propriéés du sysème, comme la sabilié. Le modèle de réducion peu générer une erreur d approximaion mais celle-ci doi êre limiée. La méhode de réducion es appliquée à nore sysème (9). Nous avons appliqué deux méhodes de réducion de modèles. La première es fondée sur les veceurs obenus à chaque ordre après au moins un pas MAN sur le problème comple sans réducion. Nous l avons appelé Base Non Linéaire (BNL) car elle es issue d'un calcul non linéaire. La deuxième méhode de réducion es basée sur la méhode orhogonale aux valeurs propres (POD). Avan de présener ces différenes méhodes, on commence par expliquer le principe général de la réducion de modèle. 4.1 Descripion de la procédure L idée essenielle de la méhode es de projeer le veceur inconnu de dimension NT (4) sur un sous-espace de peie dimension comme sui: U p =.u p (11) où u es le veceur inconnu rédui de dimension n (n < NT). es la marice de réducion de dimension NT n. La marice de réducion doi caracériser convenablemen la réponse dynamique non linéaire de la srucure e doi êre capable d approximer la soluion dans un large inervalle du paramère de coninuaion. En plus, ses colonnes doiven êres linéairemen indépendanes. En subsiuan U p par son expression, donnée par l équaion (11), dans l équaion (9) e en muliplian à gauche par le ransposé de la marice de réducion, le sysème linéaire (8) devien: où T K T nl ( X ) u = F ( X ), i = 1, p 1 L équaion réduie à l'ordre p s'écri alors comme sui: e 0 p i nl u = f (12) nl f représenen, respecivemen, les formes réduies de K e F nl. Comme la marice de réducion es la même pour ous les problèmes linéaires, la forme réduie correspondane es calculée seulemen une fois par pas. Ceci n es pas le cas, pour le second membre qui doi êre consrui pour chaque ordre. Pour évier un coû élevé de emps de calcul, la marice discrèe réduie es direcemen calculée au niveau élémenaire. Avec cee procédure, le nombre de données nécessaires à socker es aussi rédui car on n a pas à consruire de grandes marices. La marice réduie e le veceur second membre rédui du sysème son alors consruis par les relaions suivanes:

6 Ne T e e e = K, f = e = 1 où Ne es le nombre des élémens finis dans la srucure. Dans la secion suivane, nous décrivons commen on consrui la marice de réducion uilisée dans ce ravail. Ne e = 1 T e F e 4.2 Méhode de réducion basée sur un calcul non linéaire : Base Non Linéaire (BNL) Cee méhode de réducion de modèle es consruie à parir de la résoluion de nore problème dynamique. En effe, un pas MAN es réalisé sans réducion. Le veceur calculé à chaque ordre p es alors uilisé pour consruire la marice de réducion. Cee base es noée Base Non Linéaire (BNL) car ces colonnes représenen les veceurs résulas d'un calcul non linéaire. Cee appellaion es à relaiviser car la base de projecion es linéaire. On souhaie ainsi inroduire l'effe non linéaire dans la base de projecion dans le bu d'améliorer la qualié des soluions réduies. Cee echnique de réducion a déjà éé éudiée dans un ravail précéden [5]. La nouveaué ici es que le premier pas MAN, nécessaire pour consruire la base, es réalisé avec deux harmoniques seulemen quelque soi le nombre d'harmoniques pris pour l'éude de la réponse. L avanage de cee approche es qu elle évie de consruire des marices de grande aille. 4.3 Méhode de réducion basée sur la POD La décomposiion orhogonale aux valeurs propres (POD pour Proper Orhogonal Decomposiion) es iniialemen consruie pour analyser les données de processus aléaoires en inroduisan de nouveaux sysèmes basés sur la saisique. Acuellemen, elle es devenue une méhode rès efficace pour plusieurs âches d'analyses de données, de compression e de réducion de modèles. Des applicaions de cee approche son rouvées dans plusieurs disciplines: l'analyse des variables aléaoires, raiemen d'image, analyse de signal, compression de données, idenificaion de processus, génie chimique, l'océanographie ec. La POD es une echnique rès efficace d analyse de données, qui perme d approximer un sysème de dimension élevée par un aure de dimension neemen plus faible. Cee méhode es une procédure linéaire, qui consise à déerminer une base de modes propres orhogonaux représenaifs par définiion des réalisaions les plus probables [10], [13], [12]. Pour uiliser cee méhode, on doi faire un calcul préalable en ordre comple. Dans cee éude, ce calcul préalable es réalisé en uilisan seulemen deux harmoniques afin de minimiser le emps de calcul des quaniés nécessaires à la POD. A parir de ce calcul, on consrui une marice de clichés (snapshos) en changean un paramère du sysème: le emps ou la pulsaion de l'exciaion. Cee marice es uilisée pour consruire la marice de base. La procédure reenue es alors la suivane: on fai un calcul comple de la soluion dans un inervalle de pulsaion prédéfini (pour consruire la marice des snapshos en pulsaion) ou on fixe la pulsaion e on incrémene le emps dans un inervalle de emps choisi (pour consruire la marice de snapshos en emps) [6]. Ces résulas permeen ensuie de consruire la base de projecion grâce la POD. Finalemen, cee base es uilisée pour calculer la réponse d un problème conenan un nombre d harmoniques plus imporan. 5 Résulas numériques Pour démonrer la validié de l approche proposée, nous éudions un exemple déjà présené dans le cadre de la validaion de la MAN pour résoudre les problèmes de vibraions non linéaires de plaques minces amories [4]. La plaque es recangulaire simplemen appuyée (SA), isorope e homogène. Ses dimensions son: la longueur L = 0.6 m, la largeur l = 0.3 m e l épaisseur h = m. Le maériau es l aluminium don les caracérisiques son: module d Young E = Pa, masse volumique = 2778 kg/m 3 e le coefficien de Poisson = 0.3. La marice d amorissemen es proporionnelle à la marice

7 de rigidié élasique (K l ) avec un coefficien = (C =.K l ). Elle es soumise à une force exciarice harmonique perpendiculaire à la surface moyenne e uniformémen réparie P = 40N/m 2. La plaque es modélisée en uilisan des élémens coques riangulaires DKT à rois nœuds e six degrés de liberé par nœud (u, v, w, x, y, z ) [3]. Pour une raison de symérie, seulemen un quar de la plaque es modélisé e discréisé en 435 nœuds (i.e ddl pour une harmonique). La première pulsaion linéaire de cee plaque, l es égale à rad/s. En se basan sur un ravail précéden [4], nous uilisons les paramères suivans de la MAN: la olérance = 10-4 e l ordre de roncaure des approximaions asympoiques n = 20. Ces paramères son uilisés dans ous les calculs. Pour la décomposiion de la marice angene, nous avons uilisé la méhode classique de Crou. Dans ce qui sui, nous considérons que la plaque es soumise à une exciaion de la forme 1c P ( ) = P cosω e nous prenons six harmoniques dans le veceur réponse. Dans un premier emps, on compare la réponse de la plaque obenue par la MAN sans réducion (secion 3) à celles obenues par la méhode de réducion BNL. Pour consruire la base de réducion, on réalise un premier calcul MAN comple en prenan H = 2. Une fois, la base consruie, la méhode BNL es appliquée pour calculer la réponse pour H = 6. Les courbes réponses obenues par la méhode de réducion en faisan varier le nombre de veceurs composan la base (nd =10, 15 e 20) son racées sur la figure 1. Cee figure monre, en comparan avec la réponse rouvée par la MAN sans réducion, qu on peu obenir les superharmoniques même si le nombre de veceurs es pei. Cependan, avec 10 veceurs, la soluion semble devenir moins précise auour du deuxième mode symérique. Par conséquen, au moins 15 veceurs dans la base semblen nécessaires pour obenir une réponse précise dans l inervalle 0 < / l < 3. Une fois déerminé, le nombre de veceurs nécessaires à la consrucion de la base BNL, nous comparons cee méhode à la méhode de réducion POD. Dans un deuxième emps, nous uilisons donc la POD pour consruire la base réduie. L idée es de réaliser un premier calcul, sur un inervalle déerminé de pulsaion e à l aide d un pei nombre d harmoniques (H = 2), puis de calculer la soluion pour H élevé en uilisan la méhode de réducion. Nous proposons ici de consruire avec la POD deux ypes de base de réducion: la première basée sur des snapshos en pulsaion e la seconde en uilisan des snapshos en emps. Pour consruire la marice snapsho en emps, nous avons pris deux pulsaions (les deux premières pulsaions de résonance symériques). Pour chaque pulsaion, nous avons incrémené le emps d un pas de sur 300 pas. Ceci correspond à un emps oal, pour chaque pulsaion, de 0,03, soi une période. Plusieurs ess numériques on éé effecués avec la POD. Nous avons pu obenir les mêmes résulas rouvés avec la MAN sans réducion (H = 6) en uilisan dans la base de réducion POD seulemen 8 veceurs issus d un calcul comple avec H=2. Sur la figure 2, nous comparons les courbes de réponse rouvées par la MAN sans réducion, avec celles obenues en uilisan une base BNL avec 15 veceurs ainsi que celles obenues par deux bases avec 8 veceurs sélecionnés par la POD en emps e en pulsaion. Nous remarquons que les courbes coïnciden. Seule une peie différence es visible au niveau du deuxième mode symérique. Aux alenours de ce mode, la POD en pulsaion e la BNL donnen les meilleurs résulas. Cependan, pour les grandes ampliudes, on remarque que c es la BNL qui donne les meilleurs résulas. En calculan le emps comple pour racer la courbe auour du premier mode dans l inervalle [0, 2 l ] (Tab. 1), on rouve que la POD demande moins de emps que la MAN. Cependan, elle nécessie plus de emps que la BNL avec nd =20, sans pour auan êre meilleure en erme de qualié de soluion obenue.

8 0,9 2,5 Z2 B 0,8 0,7 2,0 1,5 MAN H=6 BNL nd=10 BNL nd=15 BNL nd=20 0,6 0,5 Z1 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 W c / h 1,0 Z1 2,35 Z3 0,5 A C 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ω / ω l 2,34 2,89 2,90 0,4 Z2 Z3 0,3 2,82 2,84 2,86 2,88 FIG. 1 - Réponse de la plaque en uilisan la MAN avec H = 6 e la méhode de réducion basée sur la BNL (base consruie avec H=2). 0,9 0,8 2,5 2,0 MAN H=6 MAN+BNL (H=2) nd=15 MAN+POD(ω,H=2) nd=8 MAN+POD(,H=2) nd=8 Z2 0,7 0,6 0,5 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 Z1 1,5 2,35 2,34 W c / h 1,0 Z1 2,33 2,32 0,5 Z3 2,31 Z2 2,30 2,87 2,88 2,89 2,90 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ω / ω l 0,4 Z3 0,3 2,80 2,85 2,90 FIG. 2 Comparaison des résulas rouvés par la MAN e par les deux bases réduies à parir de H=2 pour une plaque soumise à une exciaion harmonique H=6. TAB. 1 - Temps nécessaire pour obenir la réponse aux alenours du premier mode [ 0, ] 2 l, H=6!!!" "

9 6 Conclusion Dans ce ravail, nous avons couplé la MAN e les modèles de réducion pour calculer la réponse dynamique non linéaire de plaques minces amories. L idée es de faire un premier calcul MAN pour un faible nombre d harmoniques (H = 2 ou 3), de créer une base réduie à parir de ce premier calcul afin de poursuivre l éude pour un nombre d harmoniques imporan (H = 6 par exemple). Nous avons proposé deux méhodes de réducion qui différen dans la manière de consruire la base. Le premier modèle, noé BNL, s appuie sur un calcul non linéaire pour consruire la base (base générée à parir d un premier pas de la MAN sans réducion). Le deuxième es fondé sur la méhode orhogonale aux valeurs propres (POD). Les deux méhodes de réducion donnen des résulas saisfaisans : quand le nombre d harmoniques es significaif, les deux méhodes permeen d obenir les résonances superharmoniques. En oure, après plusieurs ess numériques, nous avons rouvé que le nombre de veceurs nécessaires pour obenir des soluions précises, en uilisan la méhode BNL, semble êre supérieur à 15 e que, pour la méhode POD, celui-ci es proche de 8 veceurs. En prenan en compe le emps de consrucion de la base dans le calcul oal du emps CPU pour rouver la réponse non linéaire dynamique auour du premier mode de résonance, la méhode BNL semble la meilleure. Références [1] M. Amabili, A. Sarkar & M. P. Paıdoussis. Reduced-order models for nonlinear vibraions of cylindrical shells via he proper orhogonal decomposiion mehod. Journal of Fluids and Srucures. 18, , [2] A. C. Anoulas & D. C. Sorensen. Approximaion of large-scale dynamical sysems: An overview. In. J. Appl. Mah. Compu. Sci. 11(5), , [3] J-L. Baoz & G. Dha. Modélisaion des srucures par élémens finis. Vol 3: coques. Hermès, Paris [4] F. Boumediene, A. Miloudi, J.M. Cadou, L. Duigou & E.H. Bouyour, Nonlinear forced vibraion of damped plaes by an asympoic numerical mehod. Compuers and Srucures [5] F. Boumediene, L. Duigou, E.H. Bouyour, A. Miloudi & J.M. Cadou. Nonlinear forced vibraion of damped plaes coupling Asympoic Numerical Mehod and reducion models. Compuaional Mechanics DOI /s (en ligne). [6] F. Boumediene. Méhode asympoique numérique e echniques de réducion de modèles pour les vibraions non linéaires de plaques minces amories. Thèse de docora de l Universié de Breagne Sud, [7] B. Cochelin, N. Damil & M. Poier-Ferry. Asympoic numerical mehods and Padé approximans for nonlinear elasic srucures. Inernaional Journal for Numerical mehods in Engineering. 37, , [8] A. Elhage-Hussein, M Poier-Ferry & N Damil. A numerical coninuaion mehod based on Padé approximans. In. J. Solids and Srucures. 37, [9] P. B. Goncalves, F. M. A. Silva & Z. J. G. N. Del Prado. Low-dimensional models for he nonlinear vibraion analysis of cylindrical shells based on a perurbaion procedure and proper orhogonal decomposiion. Journal of Sound and Vibraion. 315, , [10] P.Holmes, J.L. Lumley & G. Berooz. Turbulence, coheren srucures dynamical sysems end symmery. Cambridge Universiy Press [11] S. Lall, P. Krysl & J. E. Marsden. Srucure-preserving model reducion for mechanical sysems. Physica D. 184, , [12] N. Verdon. Un sysème dynamique d ordre rédui base sur une approche PPR-POD pour l éude de l ineracion écoulemen urbulen-paricules. Thèse de docora à l Universié de La Rochelle, [13] P. Wriggers. Nonlinear finie elemen mehods. Springer-Vellag, Berlin Heidelberg, 2008.