3-Processus de Poisson et. Processus de renouvellement

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1 6 3-Processus de Poisso e Processus de reouvelleme

2 7 Prérequis e Objecifs Ce que vous devez au miimum maîriser pour aborder ce chapire : Probabiliés : Coceps d espace probabilisable e d espace probabilisé, de variable aléaoire, de mome d ue variable aléaoire, de dépedace e d idépedace (e héorie des probabiliés); la formule de Bayes. La loi expoeielle e la loi de Poisso aisi que leurs pricipales caracérisiques. Le héorème de la limie cerale pour l éude des processus de Wieer. Les processus de Markov. Aalyse : La résoluio des sysèmes différeiels du premier ordre. La rasformaio de Fourier, la disribuio de Dirac. Ce que vous devez maîriser pour irer pleieme profi de ce chapire : E plus des élémes précédes : Iformaique: des élémes d'algorihmique e des élémes de programmaio sous Mahemaica ou sous u aure lagage pour réaliser les simulaios. Processus sochasiques : Les processus de Markov. Ce que vous devez savoir faire à la fi de cee leço : Savoir recoaîre, modéliser, simuler e uiliser les processus de compage, de Poisso, de aissace e de dispariio, de reouvelleme. Savoir poser e résoudre u problème y faisa référece.

3 8 Ce qui vous es proposé das ce chapire : Aborder les coceps gééraux, Se familiariser avec la modélisaio e la simulaio des processus de compage, de Poisso, de aissace e de dispariio, de reouvelleme; S exercer sur des applicaios immédiaes, Réfléchir sur des problèmes cocres e de syhèse, S évaluer par ess de coaissace e de savoir-faire.

4 9 Iroducio La oio de chaîe de Markov ous perme la modélisaio e l'éude des phéomèes aléaoires pour lesquels les chagemes d'éas se produise à des isas déermiés a priori. Ue elle discréisaio de l'axe emporel 'auorise pas ue éude saisfaisae des phéomèes où les évèemes peuve se produire à 'impore quel mome. Pour de els phéomèes, ous devos uiliser des modèles à emps coiu. Les processus de Poisso e so des exemples. C'es par la oio de processus de compage que ous commeceros cee leço, puis ous éudieros la oio de processus de Poisso que ous gééraliseros e celle de processus de reouvelleme après avoir éudié les processus de aissace e de dispariio. - Processus de compage. - - Exemples : Cosidéros les phéomèes aléaoires suivas : - L'arrivée d'ue requêe das le sysème d'u cere iformaique. 2 - U appel éléphoique das u cere de réservaio. 3 - Ue pae das u sysème maufacuré. De els évèemes peuve êre décris à l'aide de processus de compage ( N ) où N Œ R + a représee le ombre d'issues depuis le emps = 0 e ava (sriceme) = a. Ue rajecoire d'u el processus es représeée par ue focio e escalier o décroissae. Précisos la défiiio d'u el processus.

5 Défiiio des processus de compage Le processus ( N ) Œ es u processus de compage si e seuleme si : N - N 0 = 0, 2 - N N Œ, 3 - Si s < alors Ns N, 4 - N - N es le ombre d'issues qui se so produies das l'iervalle [ s, [. s 2 - Processus de Poisso. 2- Processus sochasique à accroissemes idépedas U processus sochasique ( X ) Œ R sera di à accroissemes idépedas si, e seuleme si, les évèemes se produisa das des iervalles de emps disjois so idépedas ; c'es-à-dire: si ] ab, [, ] a2, b2[,.., a, b aléaoires X - X, X - X,, X - X so idépedaes. b a ] [ so des iervalles disjois, alors les variables b2 a2 b a Processus sochasique à accroisseme saioaire U processus sochasique ( X ) Œ R sera di à accroisseme saioaire si X - X a la même disribuio que X - X quels que soie s e avec s < e + h s+ h pour ou h > 0; ce qui sigifie que la loi de probabilié de X seuleme de la logueur de l'iervalle ] s, [ e o de s e. s - X déped s

6 2 2-3 Défiiio d u processus de Poisso U processus de compage ( X ) R es u processus de Poisso de aux (ou d'iesié) λ > 0 si, e seuleme si, les codiios suivaes so saisfaies : - Le processus es à accroissemes idépedas. 2 - Le processus es à accroisseme saioaire. 3 - La probabilié qu'u (e u seul) évéeme se produise das ou iervalle de logueur h «peie» es égale à λ.h + oh () P X( h) = = λ. h+ o( h) Remarque : ( h ) logueur h es o(h), i.e., P X 2 = o( h). - (3) e (4) eraîe que P X( h ) = 0 = λ. h+ o( h). i.e. 4 - La probabilié que plus d'u évéeme se produise das ou iervalle de 2-4- Simulaio : Simuler ue variable aléaoire do la loi de probabilié es : ue loi de Poisso homogèe, Ue loi expoeielle ue loi de Poisso o homogèe. 2-5 Loi de probabilié du ombre d évéemes das u iervalle de emps doé. Théorème : Soi ( X ) R u processus de Poisso de aux λ > 0. La variable aléaoire N décriva le ombre des évèemes das ou iervalle de emps de logueur > 0 a ue loi de Poisso de paramère λ. k ( ) = e λ. λ.) C'es-à-dire P(N = k k = 0,, 2,.. k!. Il s'esui que le ombre moye d'évèemes se produisa das ou iervalle de emps de logueur es λ. Par hypohèse ( X ) R es u processus de Poisso de aux λ > 0 ; il s'esui que le ombre d'évèemes se produisa das ou iervalle de emps e déped que

7 22 de la logueur de ce iervalle. O peu doc sas perdre de gééralié se limier à l'iervalle [ 0,]. Afi d'alléger les oaios, posos : N, P () = PN ()=. La probabilié qu'aucu évéeme e se soi produi à l'isa +h, i.e P 0 () ([ h.p([ N() = 0] ). ( λ.h + oh ()) = PN ()= 0 P 0 ( + h)= P 0 P 0 ( + h)= P 0 P 0 ( + h)= P 0, es doée par ]) ().P N( + ) N() = 0 (car les accroissemes so idépedas), () (car les accroissemes so saioaires), () (coséquece direce de la défiiio). Il e P ( résule que: + h) P () 0 0 = λ.p h 0 ()+ oh (), h P () dp e lorsque h 0 o a Lim 0 ( + h) P 0 = 0 ()= λ.p d 0 (), h 0 h équaio différeielle du premier ordre, do la codiio iiiale λ. P 0 ()= 0 PN0 ( ()= 0)= eraîe la soluio P 0 ()= e. Supposos N+ ( h)= > 0 ; e d'aures ermes supposos que évèemes se produise jusqu'à l'isa +h. Cee hypohèse se décompose e : { } produise ere e +h (avec k 2,..., ). P ( + h)= P (). ( λ.h + o(h) )+ λ. ()+ o(h), évèemes se produise ere les isas 0 e e aucu évèeme e se produi ere e +h; - évèemes se produise ere les isas 0 e e u évèeme se produi ere e +h; -k évèemes se produise ere les isas 0 e e k évèemes se Il s'esui : h.p soi P ( + h) P () = λ.p h ()+ λ.p ()+ o(h) h P Lorsque h 0 o a Lim ( + h) P () = dp ()= λ.p h 0 h d ()+ λ.p Nous avos aisi : ().

8 23 dp d ()= λ.p ()+ λ.p 0 l'équaio homogèe dp d ()= λ.p ()+ λ.e λ., ()+ λ.p ()= 0 es de la même forme que l'équaio précédee, o a doc P ()= f ().e λ. avec P ()= 0 0, d'où f (0) = 0. Il s'esui dp λ. df () λ. df () () = f(). e +.e, d'où par ideificaio = λ e f () = λ. puisque d d d f (0) = 0. ()= Il e résule P λ..e λ.. Par récurrece, o vérifie que : P = e λ. ( λ.)! ()= PN= 2-6- Equaios d'erlag Les équaios : dp 0 ()= λ.p d 0 dp ()= λ.p d () ()+ λ.p () so coues sous le om d'équaios différeielles d'erlag.

9 Exercice : U problème de qualié : Ue éude de qualié more qu ue machie qui produi des câbles éléphoiques sous-maris géère des défaus de fabricaio qui suive ue loi de Poisso de aux 0, par kilomère. Quelle es la probabilié qu aucu défau apparaisse das les deux premiers kilomères du câble? Supposos qu il exise pas de défau das les deux premiers kilomères de la producio. Quelle es la probabilié qu aucu défau e se rouve ere les kilomères 2 e 3? Das l ue des producios, o a cosaé 3 défaus das le premier kilomère e 4 défaus sur les 3 kilomères suivas. Quelle es La probabilié de ce évèeme? 2-8- Tes : L aalyse des accides de la circulaio oucha les piéos d ue ceraie zoe géographique more que les rafics des voiures pariculières e des camios peuve êre modélisés par des variables aléaoires. Désigos par la variable aléaoire décriva la durée qui sépare les passages de deux voiures pariculières, disos ceux des -ième e (+)-ième véhicules. Les variables so supposées idépedaes e de même desié : ft = e 0 secodes). - 0 si 0 e f T = 0 si < 0 (où es mesuré e Désigos par u la variable aléaoire décriva la durée qui sépare les passages de deux camios, disos ceux des -ième e (+)-ième véhicules.

10 25 Les variables u so supposées idépedaes e de même desié : ft = e 40 secodes) si 0 e f T = 0 si < 0 (où es mesuré e ) Supposos que seuleme les voiures pariculières soie auorisées à rouler u cerai jour. Quelle es la probabilié pour qu u passa raverse la roue sas se faire heurer par u véhicule s il me 4 secodes pour le faire? (O suppose, bie eedu, qu il es exposé peda oue cee durée). 2) Sur cee même voie de circulaio, u aure passa plus le raverse e 6 secodes ; mais, comme il es plus robuse, il peu supporer sas dommage deux collisios avec les voiures pariculières. Quelle es la probabilié qu il raverse sas dommage cee voie? 3) Sur ue aure voie de circulaio, les voiures pariculières e les camios so auorisés à circuler. Les arrivées des voiures e des camios so supposées idépedaes. Quelle es la probabilié, pour u passa raversa cee voie e 4 secodes, de le faire sas êre heuré? 4) Sur la même voie de circulaio que das la quesio (3): quelle es la probabilié, pour u passa le (il me 6 secodes pour raverser la voie), mais robuse (il peu sas dommage supporer 2 collisios avec des voiures pariculières ou (exclusif) ue collisio avec u camio), de raverser cee voie sas dommage? 5) O se place sur la voie de circulaio des quesios () & (2). Quelle es la probabilié pour que le passa le e robuse e le passa rapide, qui débue leur raversée immédiaeme après le passage d ue voiure, raverse sas dommage pour aucu d eux?

11 Loi des emps d aees ier-évèemes Théorème : Soi ( X ) Œ R u processus de Poisso de aux l. Soi 0 < < 2 < 3,...ue suie d'isas d'appariio d'évèemes e soi ( ) Œ * les N emps d'aee ere ces évèemes défiis par =, 2 = 2 -,..., k = k -k - ; es la durée sépara le (-)-ième évèeme du -ième évèeme, aureme di le emps peda lequel le processus rese das l'éa -. Œ * es idépedae, équidisribuée, La suie de variables aléaoires N expoeielle, d'espérace - l, doc de desié f Ïle si > l 0 = Ì Ó 0 si 0. La suie de variables aléaoires Œ * es idépedae : e effe u processus de Poisso es à accroissemes idépedas ; il s'esui que les N évèemes se produisa après l'isa k so idépedas des évèemes se produisa ava l'isa k e doc que la suie de variables aléaoires = - - ŒN * es idépedaes. Pour ou h 0 e ou les évèemes > h so équivales. Il s'esui = ({ = }) = ({ }) = { ( + ) - = } P > h P N - h N - 0 P Nh 0 e { } e { N ( - + h) - N ( -) = 0} -l. h e doc l h ({ }) = - -. P h e Si l'o pose S = , S représee le emps écoulé jusqu'à la réalisaio du ème évèeme.

12 Loi du emps d'aee du ème évéeme S = Théorème : La loi du emps d'aee du ème évéeme, S = , a pour desié la focio f S - l -l. e, = 2,,..., > 0! = ( - ) (aureme di ue disribuio gamma). Désigos,coforméme à ce qui précède, le emps d'aee du ème évèeme par S. L'évéeme S se produi si e seuleme si au mois évèemes se so produis das l'iervalle ( 0,]. Comme de plus le ombre des évèemes qui se produise das l'iervalle ( 0,] possède ue loi de Poisso de moyee l., o a F P S P N S = + j -l. j -. j = l. e j! = ( ) =  - l l. e = - Â, = 2,,..., j! j = 0 résule que la desié fs de la loi de S es doée par f ( d e ) j = È - -l. S e d - - l. l -l. Í Â =, = 2,,..., Î j = 0 j! ( -)!. Il e 2- Processus de compage e processus de Poisso Théorème : Soi ( N ) u processus de compage el que les emps d'aee Œ R + des évèemes ( ) Œ * soie des variables aléaoires idépedaes N équidisribuées e expoeielles, d'espérace l. Alors ( N ) es u processus Œ R + de Poisso de aux l.

13 Equivalece d'évèemes O vérifie que l'évèeme N() es équivale à l'évèeme S + > e de maière duale que l'évèeme N() es équivale à l'évèeme S +. O e dédui que : P(N() = ) = P(S + > e S ) = P(S ) P(S + ). 2-3 Isa d'occurrece d'u évèeme Théorème : Soi (N ) R u processus de Poisso e supposos qu'u évèeme se produise das l'iervalle [0, ]. La variable aléaoire Y décriva les isas d'occurrece de ce évèeme a ue disribuio coiue uiforme sur [0, ]. Aisi, ou sous-iervalle de logueur δ ] 0, ] a la probabilié δ d'occurrece de l'évèeme. de coeir le emps Soi 0 < x <. Par défiiio de Y o a : PY ( x)= P( τ xn =)= PN = e N N = 0 x x PN = ( = λxe λx λ e ( x ) = x λe λ = PN ( = x ).P N N x = 0 PN = Graphes associés à u processus de Poisso Deux représeaios so fréquees : Première représeaio : Les éas so uméroés par le ombre d'arrivées qui se so produies depuis l'isa iiial; Les arcs so valués par les probabiliés de passage, peda u iervalle de emps pei (i.e reda égligeable la probabilié d'avoir plus d'ue arrivée peda cee durée) :

14 29 La marice (différeielle) P des probabiliés de rasiio s'écri : Ê- l. D l. D ˆ Á 0 - l. D l. D Á Á l. D Á H = Á Á l. D l. D 0... Á Á l. D l. D... Á l. D... Á Ë e o a : Ê P 0 + D ˆ Ê- l. D l. D ˆ Ê P0 ˆ Á P ( + D ) Á 0 - l. D l. D Á P Á Á Á Á P 2 ( + D ) Á l. D Á P2 Á... Á Á Á... = Á. Á ÁP4 ( + D) Á l. D l. D 0... ÁP4 Á Á Á Á P5 ( + D) Á l. D l. D... Á P5 Á P6 ( + D) Á l. D... Á P 6 Á Á Á Ë... Ë Ë... + o( D) ce qui s'écri ecore :

15 30 - Ê P0 + D P0 ˆ Ê- l l ˆ Ê P0 ˆ Á P( + D) - P Á 0 - l l Á P Á Á Á Á P2( + D) - P2 Á l Á P2 Á... Á Á Á... = Á. Á.D o D ÁP4( + D) - P4 Á l l 0... ÁP4 Á Á Á Á P5( + D) - P5 Á l l... Á P5 Á P6( + D) - P6 Á l... Á P 6 Á Á Á Ë... Ë Ë... soi dp = GP. ( ). d + La marice G es fréquemme appelée marice géérarice du processus (de Markov!). La soluio du sysème différeiel du premier ordre es alors doée par : = G. P e P0, 0 où P0 = P( 0). G. 2 3 Rappelos que e = I + G. + ( G. ) + ( G. ) +... qui coverge pour ou fii. 2! 3! Secode représeaio : Les éas so uméroés par le ombre d'arrivées qui se so produies depuis l'isa iiial; Seuls les arcs de i à i+ so représeés e ces deriers so valués par l'iesié l :

16 3 3 - Processus de aissace e de dispariio. Iuiiveme, u processus de aissace e de dispariio modélise l'évoluio d'ue populaio s'accroissa au ryhme de l'arrivée de ouveaux membres e dimiua par la dispariio de membres acies. U el modèle, do l'iérê das l'éude des problèmes de aure sociale ou biologique es évide, s'avère égaleme rès uile das l'éude de cerais problèmes de files d'aee (cf Leço 4); aisi, par exemple, das l'éude de l'arrivée e du raieme des requêes das u sysème de raieme de l'iformaio. 3-- Défiiio Soi ( X ) Œ R u processus sochasique à emps coiu e à espace d'éas discre N. Supposos que ce processus décrive u sysème se rouva das l'éa e à l'isa, e ierpréos ce éa de la faço suivae : le sysème a ue populaio composée de élémes. Le sysème es di décrire u processus de aissace e de dispariio si e seuleme si : il exise ue suie de aux de aissace ( l ) Œ e ue suie de aux de dispariio N Œ à ermes posiifs ou uls els que les codiios suivaes soie m N saisfaies : - Les seuls chagemes d'éa auorisés so de l'éa e 0 à l'éa e aisi que, pour ou, de l'éa e à l'éa e + e de l'éa e à l'éa e -. Aureme di : à u isa doé, e peu avoir lieu qu'ue aissace ou qu'ue dispariio; aucue dispariio e peu avoir lieu das u sysème vide.

17 32 2- Si au emps le sysème es das l'éa e, pour, la probabilié de rasiio de l'éa e à l'éa e + ere les isas e +h es doée par l. h + o( h) e celle de rasiio de l'éa e à l'éa e - par m. h + o( h). Aureme di : Cee codiio fixe la probabilié de rasiio lorsque la populaio es de cardial. 3- La probabilié que plus d'ue rasiio s'effecue das l'iervalle de emps [,+h], "h pei", es o(h). Aureme di : das u iervalle de emps pei, la probabilié d'avoir plus d'ue aissace, ou plus d'ue dispariio, es égligeable Graphe d'u processus de aissace e de dispariio 3-3- Remarques : Das l'hypohèse où ous ierpréos u processus de aissace ou de dispariio comme ue file d'aee, l'éa e s'ierprèe comme la présece de cosommaeurs (ou requêes) aeda ou receva u service. Aureme di, u processus de aissace e de dispariio se modélise comme la superposiio de deux processus de Poisso.

18 Probabilié d'u éa pour u processus de aissace e de dispariio Proposiio : Avec les oaios précédees, si o pose P P X pour ou, P p p + = È p Î Í l 0., 0 soi p = È p0 m + Î Í l m p 2 = È Î Í l m 2,.. p = È p Î Í l 0. l... l -. 0 m. m2... m. = = = (c es-à-dire si P e déped pas de ), o a : e si La probabilié que le sysème soi das l'éa e o es doée par È O a doc p0. + Ê p0. S, Ë Á l ˆ + + Ê Ë Á l l l ˆ - Í + = = Î m m. m2... m e l'équilibre saisique exise si S < +. Â p =. ŒN Pour, la probabilié P ( h) pour qu à l isa + h le sysème soi das + l éa e a quare composaes : ) La probabilié que le sysème ai éé das l éa à l isa e qu aucue rasiio e se soi produie ere les isas e +h. Cee probabilié es le produi de P par la probabilié que le sysème e passe pas de l éa à l éa +, soi - l. h + o( h), par la probabilié que le sysème e passe pas de l éa à l éa -, soi - m. h + o( h). Il s esui que = ( ) ( - + ) P () l. h o h m. h o h P () m. h o h l. h l. m h l. hoh oh ( m l ) = ( - m - l ) + = P (). h. h o h P (). h. h o h puisque : = - - oh m.. hoh oh, 2 - -l mh - l ho( h) + oh = oh.,

19 34 - P (). o ( h ) = oh. 2- La probabilié P - que le sysème soi das l éa e - à l isa, mulipliée par la probabilié qu ue rasiio de l éa - vers l éa ai lieu das l iervalle de emps, +h soi : ( + ) = + P () l. h o h P () l. h o h La probabilié P + que le sysème soi das l éa + à l isa, mulipliée par la probabilié qu ue rasiio de l éa + vers l éa se produise dura l iervalle de emps, +h soi : P () m. h o h La probabilié que deux rasiios ou plus se produise ere les isas e +h qui laisse le sysème das l éa soi : o(h). Les quare évèemes précédes éa muuelleme exclusifs il s esui que P ( + h) = P - l. h - m. h l. hp m hp o h Il s esui : () P h P ( + ) - 0( h) =- ( l + m). P + l -. P - () + m + P + () + h h soi, lorsque h -> 0 :, (2) dp () =- ( l + m). P + l -. P - + m +. P + (si ). d Pour = 0 o a : dp 0() =- l0. P0 + m. P. d Si l'éa iiial es e i alors les codiios iiiales so doées par (3) P i (0) =, P j (0) = 0 si i π j.

20 Remarques - U processus de aissace ou de dispariio doe lieu à u esemble ifii d'équaios. O démore que ce sysème a ue soluio P () pour ou e ou sous des codiios rès géérales, mais, sauf das des cas pariculiers, cellesci so aalyiqueme difficiles à obeir. 2- U processus el que m = 0 (respeciveme el que l = 0) es di processus de aissace pur (respeciveme processus de dispariio pur). 3- Das le cas d'u processus de aissace pur avec l = l e m = 0 pour ou, o a : dp () =- l. P + l. P - ( si ) d pour = 0 o a : dp 0() =-l. P0, de soluio : d P e -l. () =.( l. ) 0, 0.! Il e résule que l'o peu caracériser les processus de Poisso comme des processus de aissace purs avec aux de aissace cosa. U aure cas où il es possible de rouver la soluio du problème es le cas où P () ed vers ue valeur cosae p lorsque ed vers l'ifii pour ou. Ce cas, souve di d'équilibre saisique, correspod à u sysème saioaire (ecore appelé à équilibre d'éa car l'éa du sysème e déped pas du emps). Alors, e uilisa la siuaio d équilibre saisique, par passage à la limie das les équaios () e (2) précédees o a : Lim Lim P () p ; Æ+ = o obie alors : dp () d Æ+ = 0 pour ou e

21 36 - l -. p - + m + p + -( l + m). p = 0 si - m. p - l0. p0 = 0 si = 0. Soi : m. p - l. p = m. p - l. p si Posos g = m. p - l. p si Œ N, o a: g = g pour Il s'esui g = cosae e par (2) g = 0, doc g = cosae = 0 pour ou (µ > 0 pour ou ). O a aisi : p + = È p Î Í l 0., 0 soi p = È p0 m + Î Í l m p 2 = È Î Í l m 2,.. - p + = È p Î Í l 0. l... l. 0 m. m2... m. La probabilié que le sysème soi das l'éa e o es doée par È O a doc p0. + Ê p0. S, Ë Á l ˆ + + Ê Ë Á l l l ˆ - Í + = = Î m m. m2... m e la probabilié de l'éa d'équilibre exise si S < +.  p =. ŒN 3-6- Equaio des flux e loi de Khirchhoff La relaio dp dp X () = = d d =[Iesié du flux de probabilié qui ere das l'éa à l'isa ]-[ Iesié du flux de probabilié qui sor de l'éa à l'isa ], devie e régime saioaire (permae) [Iesié du flux de probabilié qui ere das l'éa ] = [ Iesié du flux de probabilié qui sor de l'éa ], (car X Æ A e P X = p O recoaî la loi de Khirchhoff de l'élecricié Tes Æ ). O cosidère la salle d'aee d'u médeci das laquelle : Les paies arrive suiva u processus de Poisso de aux l,

22 37 Le emps écessaire pour servir u clie a ue disribuio expoeielle de paramère m. O pose r = l. m Calculer p = P X = e focio de r. Quel es le emps moye passé par u clie qui arrive das le sysème? Quel es le emps moye passé par u clie das la salle d'aee? Quel es le ombre moye de clies das le sysème? Quel es le ombre moye de clies das la salle d'aee? Aalyser r = l. m Calculer pour l = 6 e m = puis pour l = 5 6 e m = le ombre de paies 4 das le sysème e le emps moye do dispose le médeci pour se reposer das la jourée Tes : Le sysème de réservaio d ue compagie aériee es archiecuré auour de deux esembles iformaiques focioa e redodace. Le aux de pae de chacu d eux obéi à ue loi expoeielle de moyee 2000 heures. - Quelle es la probabilié que le sysème ai pas de pae peda : a) 68 h? b) 30 jours (24 h de focioeme par jour)? 2- Quel es le emps moye ere deux paes?

23 38 L éude précédee es peu réalise, elle églige la possibilié de réparaio. Nous allos doc supposer maiea qu u ordiaeur e pae peu êre réparé (!). 3- Preos comme hypohèse que le emps moye de réparaio sui ue loi expoeielle de moyee 0 h. Quel es, sous cee ouvelle hypohèse, le emps moye ere deux paes? 4- Processus de reouvelleme. U processus de Poisso peu êre caracérisé comme u processus de compage pour lequel les emps d'aee ere deux évèemes so des variables aléaoires idépedaes, équidisribuées e expoeielles. U processus de reouvelleme es ue gééralisaio du processus de Poisso Défiiio d u processus de reouvelleme Défiiio : Soi ( N ) u processus de compage e X Œ R + le emps d'occurrece du premier évèeme. Désigos par X la variable aléaoire qui mesure l'iervalle de emps sépara les évèemes - e de ce processus pour >. ( N ) es u processus de reouvelleme si e seuleme si la suie de Œ R + variables aléaoires posiives ou ulles ( X ) > es idépedae e équidisribuée Tes Morer qu'u processus de Poisso de aux l es u processus de reouvelleme.

24 Remarques : - Quad u évèeme compé par N se produi, o di qu'u reouvelleme es ierveu. 2 - W = 0, W = X + X X, s'appelle le emps d'aee jusqu'au 0 2 ième reouvelleme. O peu représeer les relaios ere N e W par N 3 2 X X 2 X 3 X 4 W 0 W W 2 W Loi de W = Désigos par F x P X x la focio de répariio de la variable aléaoire X (rappelos que oues les variables X o la même focio de répariio) e par F x P W x que F = la focio de répariio de la variable aléaoire W ; o sai ( x) es le produi de covoluio F ( x) = ( F) *, soi :

25 40 + x = Ú - ( - ) = Ú F x F x y df y F x y df y 4-5 Focio de reouvelleme Défiiio : Soi ( N ) u processus de reouvelleme. Alors la focio M Œ R + défiie pour ou Œ R + par M E N processus. = es die focio de reouvelleme du 4-6- Tes Quelle es la focio de reouvelleme d'u processus de Poisso cosidéré comme processus de reouvelleme. 4-7 Equivalece de N e de W Théorème : Soi ( N ) u processus de reouvelleme. Œ R + Alors N k W. Dire que N k c'es dire qu'il y a eu au mois k reouvellemes jusqu'à l'isa ; c'es doc dire que W. E iverseme dire que W c'es dire qu'au mois k reouvellemes se so produis à l'isa Aureme di : Dire que le ombre de reouvellemes aya eu lieu jusqu'à l'isa es au mois k équivau à dire que le k ème reouvelleme s'es produi ava (ou à) l'isa. Ceci explique que le processus de compage ( N ) R soie ous les deux appelés processus de reouvelleme. e le processus ( W ) Œ + ŒN

26 4 4-8 Relaio ere la focio de reouvelleme M e la focio de répariio F = ( ) = + * Il résule de (4-5) que " Œ R, " k ŒN, P N k P W F k. Il s'esui que = ( ) - ( + ) = - + * " Œ R, " k Œ N, P N = k P N k PN k F F. Or comme + k k + = =  =  =  k M E N P( N k) P( W ) F, o a : k k = k = k = + + Théorème : Soi ( N ) u processus de reouvelleme de focio de Œ R + reouvelleme M. Alors M e F x P X,,,... peuve êre défiies de maière uique l'ue par l'aure. = = Quelques variables aléaoires de la héorie du reouvelleme Les variables aléaoires suivaes présee u iérê pariculier das les problèmes de reouvelleme. Défiiio : Soi ( N ) u processus de reouvelleme. Posos : Œ R + g = W N + - (durée de vie résiduelle) d = - W (durée de vie courae) b = g + d (durée de vie oale) Aureme représeé :

27 42 N b 3 d g 2 W 0 W W N W N Processus de Poisso vu comme u processus de reouvelleme Théorème : Soi ( N ) u processus de Poisso de paramère l. Alors : Œ R + -l. x -l. x P( g x) = -e x 0 ou P( g > x) = e x 0 P( d < x) = Ï Ì Ó -l. x - e ( 0 x < ) x E( b) = +. -e l l -l. x O a par défiiio l. " k Œ N, P N = k k! *. = -l = = e e M E N l.. Illusros la siuaio à l'aide de :

28 43 N g 3 x 2 +x Or la durée de vie résiduelle ( g = W + - ) à l'isa es supérieure à x si e N seuleme s'il 'y a pas de reouvelleme das l'iervalle, + x ( ]. Comme u processus de Poisso es à accroissemes idépedas ce évéeme a la même probabilié que l'évéeme : aucu reouvelleme e s'es produi das l'iervalle ( 0, x]. -l. x Aureme di P( g > x) = P( N - N = 0) = P( N = 0 ) = e. + x x

29 44 La durée de vie courae d = - W e peu pas êre supérieure à. Si x <, la durée de vie courae dépasse x si e seuleme si aucu reouvelleme 'es ( ] ierveu das l'iervalle - x, d'où : P( d < x) = Ï Ì Ó -l. x - e ( 0 x < ) x. Par défiiio de la durée de vie oale b = g + d o a : l E( b ) = E( g ) + E( d ) = + e dx = + -e l Ú 0 l l -. -l Théorème du reouvelleme élémeaire Les processus de Poisso so des processus de reouvelleme do la focio de reouvelleme es liéaire; ce so les seuls aya cee paricularié. Touefois chaque processus de reouvelleme a ue focio de reouvelleme asympoiqueme liéaire au ses suiva : Théorème (héorème du reouvelleme élémeaire) Soi ( N ) u processus de reouvelleme avec E X Œ R + Alors M () Æ quad Æ +. m = m pour ou. Nous revoyos à la liéraure pour la démosraio de ce résula 4-2- Tes Désigos par ( N ) u processus de reouvelleme de focio de Œ R + reouvelleme M () = 5.. Quelle es la loi de probabilié du ombre de reouvellemes jusqu'à l'isa =5?

30 45 5- Eude d u processus "Flip-Flop" Désigos par ( X ) Œ R u processus aléaoire Flip-Flop d espace d éas { 0, }; supposos que les isas de rasiio suive ue loi de Poisso ; e d aures ermes, supposos que la probabilié d avoir rasiios das u iervalle de emps de logueur es doée par : P, l. e l., loi de Poisso de! = - paramère l. ( l représee le ombre moye de rasiios par uié de emps) e supposos qu à l origie le processus vau 0 avec la probabilié p e avec la probabilié -p. Simuler ce processus puis l éudier. 5-- Simulaio Nous préseos ci-dessous les graphes résulas de 4 simulaios pour l = e { } 00 observaios. Les graphes o éé racés pour les valeurs d éa -, + pour ue meilleure lisibilié; les pois o éé reliés pour la même raiso.

31 46 Les rais horizoaux représee les durées ier-évèemes, les rais vericaux symbolise l isa du chageme d éa Eude du processus Flip-Flop. Calcul de E( X ) = ( = ) + ( = ) O a E X 0. P X 0. PX ; cherchos PX = : = = ( ) = = = ( 0 ) + = = ( 0 ) = = P( pour u ombre pair decommuaios sur [ 0, ] ). P( X0 = ) + P( pour u ombreimpair decommuaios sur [ 0, ] ). P( X = 0) PX = PX X 0. PX PX X 0. PX 0 0 Comme les isas de commuaio suive ue loi de Poisso, il vie :

32 47 = P pour u ombre pair decommuaios sur [ 0, ] = P pour u ombre pair decommuaios sur [ 0, ] Soi : = ( - ) + -l. -l. PX = e. pch. l. e. psh. l., d où il s esui : 2. e -. e -.  l l l. 2.! ch l. = =  l l l e e. sh l. 2. +! = 0 = = ( - ) + = ( - ) + -l E X e. -l -l. p. ch l. e.. p. sh l. e. p. ch l. p. sh l. [ ] Si p =, le processus es claireme saioaire. O a e effe : 2 = ( = ) = " Œ R, P X = PX 0 2 Si p π 2, lorsque es grad par rappor à l- o a PX ( = ) ª 2 e le processus es «quasi-saioaire». Supposos désormais que p = 2. Focio d auocorrélaio : O a : ( + ) = ( = + = ) = PX ( + = X = ). PX ( = ) = P( pour u ombre pair decommuaios sur [, + ]) E X. X.. P X, X Or o a PX ( = ) = 2, d'où = E X. X + 2 l. -2l. - l. e  2 2! = = + e 4.

33 48 Desié specrale de puissace de ( X ) ŒR Ê - l. ˆ l F( E( X. X + )) = FÁ + e = d + Ë l + 4p w

34 49 Appedice Processus de Poisso o homogèe

35 50 Iroducio La faiblesse majeure des processus de Poisso ie à ce qu ils modélise des siuaios e faisa pour hypohèse que le processus es à accroisseme saioaire, aureme di homogèe. Mais, das la praique, les processus de Poisso que l o peu iveorier e le so que rareme. La difficulé d obeir des résulas aalyiques avec des processus de Poisso o homogèes codui, rop fréquemme, à ue approximaio des problèmes par des processus homogèes. L usage de la simulaio aide, ouefois, à aplair cee difficulé e prome les modèles o homogèes à u aveir cerai ; qu il covie doc de maîriser. Défiiio : U processus de compage ( N ) Œ R es u processus de Poisso de > aux (ou d'iesié) l, 0si, e seuleme si, les codiios suivaes so saisfaies : - Le processus es à accroissemes idépedas. 2 - La probabilié qu'u (e u seul) évéeme se produise das l iervalle [, + h] es égale à Lim PN ( h = ) = l h Æ0. h 3 - La probabilié que plus d'u évéeme se produise das l iervalle = [, +h] es égale à Lim PN h 2 h Æ0 h 0.

36 5 La focio m() défiie par m () Ú l sds, e o peu éablir le résula suiva : = 0 0es la focio de valeur moyee Proposiio : N ( + s) - N es ue variable aléaoire de Poisso d espérace m ( + s) - m. Pour ierpréer u processus de Poisso o homogèe o peu s appuyer sur le résula suiva : Proposiio : Si des évèemes se produise suiva u processus de Poisso d iesié l e si, idépedamme du passé, u évéeme qui arrive à l isa le fai avec ue probabilié p(), alors le processus aisi imagié es u processus de Poisso o homogèe d iesié l = l. p.