Ensembles et dénombrement
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- Adeline Brosseau
- il y a 6 ans
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1 CHAPITRE 2 Esembles et déombremet 21 Théorie des esembles 211 Déitios Déitio 1 Soiet u 1, u 2,, u des objets mathématiques O forme alors l'esemble E {u 1, u 2,, u } O dit alors que chaque u i (our 1 i ) est u élémet de l'esemble E, ou autremet dit que u i aartiet à E et o écrit u i E Exemles : E1 N {0, 1, 2, } est l'esemble des etiers aturels E2 R est l'esemble des ombres réels Deux esembles sot égaux s'ils ot les mêmes élémets L'ordre des élémets 'est as imortat Aisi, les esembles : {1, 2}, {2, 1}, {1, 1, 2, 2, 2} sot e réalité le même esemble au ses mathématique Déitio 2 Le ombre d'élémets disticts d'u esemble E est aelé le cardial de E, o le ote Card(E) U esemble est i si so cardial est u etier aturel, ie s'il ossède u ombre i d'élémets Das le cas cotraire, o dit qu'il est ii
2 2/10 2 Esembles et déombremet Exemles : E1 L'esemble vide, oté, est u esemble de cardial 0 E2 L'esemble {,,, } est de cardial 4 E3 Pour tous etiers aturels m et, o ote si m : et si m > : m, m, {m, m + 1, m + 2,, 1, } E4 Si N, l'esemble 1, est i et est de cardial E5 Si m, alors l'esemble m, est u esemble i de cardial m Parties d'u esemble Déitio 3 Soiet E et F deux esembles O dit que F est iclus das E et o écrit F E si tout élémet de l'esemble F est aussi u élémet de l'esemble E, ie F E x F, x E Lorsque F E, o dit que F est ue artie ou u sous-esemble de E Exemles : E1 O a N Z Q R E2 Lorsqu'o a u esemble E, il est courat de cosidérer u sous-esemble F des élémets de E vériat ue certaie roriété : Par exemle, o ote E R, F {x E / x 2 5x + 4 < 0} R {x R, x 0}, R + {x R, x 0}, R + {x R, x > 0} Proositio 4 Soiet E, F et G trois esembles Alors 1 E 2 E E 3 Trasitivité : si E F et F G, alors E G 4 Double iclusio : E F E F et F E
3 2 Esembles et déombremet 3/10 Proositio 5 Soit E u esemble i et soit A u sous-esemble de E Alors A est égalemet u esemble i et Card(A) Card(E) Si de lus, o a Card(A) Card(E), alors écessairemet A E Déitio 6 Pour tout esemble E, o ote P(E) l'esemble formé ar toutes les arties de E P(E) est u esemble dot chacu des élémets est u esemble 213 Itersectio et uio d'esembles Déitio 7 Soiet E et F deux esembles O aelle itersectio de E et F, otée E F, l'esemble des élémets qui aartieet simultaémet à E et à F O aelle uio de E et F, otée E F, l'esemble des élémets qui aartieet à E ou à F, ie das au mois u des deux esembles Deux esembles E et F vériat E F sot dits disjoits Proositio 8 La relatio d'itersectio est : commutative : A B B A associative : A (B C) (A B) C vérie A A A et A La relatio de réuio est : commutative : A B B A associative : A (B C) (A B) C vérie A A A et A A L'itersectio et la réuio vériet : la distributivité de sur : A (B C) (A B) (A C), la distributivité de sur : A (B C) (A B) (A C) O eut gééraliser [ ces otatios : si (A [ i ) i I est ue famille d'esembles, o ote : leur réuio A i, déie ar : x A i i I / x A i i I i I \ \ leur itersectio A i, déie ar : x A i i I, x A i i I i I Déitio 9 [ Soit u esemble E Ue famille (A i ) i I de arties o vides de E est aelée ue artitio de E si (i) A i E i I (ii) i, j I, i j, o a A i A j
4 4/10 2 Esembles et déombremet Proositio 10 Soiet E, F deux esembles is O a : Formule de Poicaré E articulier, si E et F sot disjoits, o a Card(E F ) Card(E) + Card(F ) Card(E F ) Card(E F ) Card(E) + Card(F ) Démostratio : Si o ajoute Card(E) et Card(F ), o comte deux fois les élémets de E F O doit doc retracher Card(E F ) our obteir le cardial de E F Proositio 11 Soiet E, F et G trois esembles is Alors Formule du Crible Card(E F G) Card(E)+Card(F )+Card(G) Card(E F ) Card(F G) Card(E G)+Card(E F G) Démostratio : Si o ajoute Card(E), Card(F )et Card(G), o comte deux fois les élémets de E F, deux fois ceux de F G, deux fois ceux de E G et trois fois ceux de E F G O doit doc retracher Card(E F ), Card(F G) et Card(E G) et o corrige doc le roblème, sauf our les élémets de E F G qui e sot lus comtés : il faut doc rajouter Card(E F G) 214 Comlémetaire d'ue artie Déitio 12 Soit E u esemble et A ue artie de E O aelle comlémetaire de A das E, et o ote E \ A, (ou c A ou A si aucue cofusio 'est ossible) l'esemble des élémets de E 'aarteat as à A : E \ A c A A {x E, x A} Proositio 13 Soiet E u esemble et A et B deux arties de E c E c E c ( c A) A 4 ( c A) A 5 ( c A) A E 6 7 c (A B) ( c A) ( c B) c (A B) ( c A) ( c B)
5 2 Esembles et déombremet 5/ Produit cartésie d'esembles Déitio 14 O aelle roduit cartésie de esembles E 1, E 2,, E, l'esemble des suites ies : E 1 E 2 E {(x 1, x 2,, x ), x 1 E 1, x 2 E 2,, x E } E articulier, lorsque les E i sot tous idetiques, o le ote simlemet E Proositio 15 Si E et F sot deux esembles is, alors Card(E F ) Card(E) Card(F ) Démostratio : O ose E {x 1,, x } et F {y 1,, y } O eut alors reréseter tous les élémets du roduit cartésie E F sous forme d'u tableau à liges et coloes : (x 1, y 1 ) (x 1, y 2 ) (x 1, y ) (x 2, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 2, y ) (x, y 1 ) (x, y 2 ) (x, y ) ce qui démotre bie que Card(E F ) Card(E) Card(F ) De maière lus géérale, si E 1,, E sot esembles is, alors E articulier, si E est u esemble i, alors Card(E 1 E 2 E ) Y 1 Card(E ) (Card(E)) Card(E )
6 6/10 2 Esembles et déombremet 22 Déombremet 221 Déombremet des -listes Déitio 16 O aelle -liste ou -ulet d'u esemble E tout élémet de E, ie u élémet de la forme (x 1,, x ), avec i 1,, x i E Théorème 17 Soit E u esemble i de cardial Alors, le ombre de -listes d'élémets de E est égal à Démostratio : Cela viet du fait que Card(E ) (Card(E)) O utilise les -listes e cas de choix successifs de élémets d'u esemble, avec évetuelles réétitios 222 Arragemets et ermutatios Déitio 18 Soit E u esemble et soit N O aelle -arragemet de E ou arragemet de élémets de E toute suite de élémets disticts de E Si E cotiet élémets, o ote A le ombre d'arragemet à élémets d'u esemble à élémets Si >, il e eut as y avoir de -arragemets das l'esemble E O a alors A 0 Théorème 19 Soit E u esemble i de cardial Soit Alors le ombre de -arragemets A E est égal à A ( 1)( 2) ( + 1) ( ) où o a oté ( 1) ( 2) 2 1, aelé factorielle de l'esemble Démostratio : Pour déombrer les -ulets (x 1,, x ) de E dot les élémets sot disticts deux à deux, : o commece ar choisir x 1 armi les élémets de E uis o choisit x 2 armi les 1 élémets de E disticts de x 1 uis o choisit x 2 armi les 2 élémets de E disticts de x 1 et x 2 uis o choisit x armi les + 1 élémets de E disticts de x 1, x 2,, x 1 Il y a doc bie ( 1)( 2) ( + 1) -arragemets de E O utilise les arragemets e cas de choix succesifs de élémets ris armi, sas réétitio
7 2 Esembles et déombremet 7/10 Déitio 20 Soit E u esemble à élémets U -arragemet de E est aelé ue ermutatio de E Ue ermutatio est doc u -ulet costitué, das u certai ordre, des élémets de E Théorème 21 Soit E u esemble à élémets Alors il y a ermutatios de E Autremet dit, il y a faços de rager élémets disticts das tous les ordres ossibles O utilise les ermutatios das les cas où o veut ordoer tous les élémets d'u esemble sas réétitio 223 Combiaisos Déitio 22 Soit E u esemble à élémets O aelle combiaiso de élémets de E toute artie de E qui cotiet élémets O ote le ombre de combiaisos de élémets d'u esemble de élémets :, qui se lit " armi " Remarques : R1 Les élémets d'ue combiaiso de élémets sot deux à deux disticts R2 Si > ou si < 0 o a 0 R 3 L'ordre des élémets d'ue combiaiso 'a as d'imortace R4 Les ombres sot aelés les coeciets biomiaux R5 O trouve arfois la otatio C our le coeciet biomial Théorème 23 Soit N et soit 0 Alors, le ombre de combiaisos de élémets armi u esemble à élémets est égal à ( ) ( 1)( 2) ( + 1) ( 1)( 2) 1 Démostratio : Il sut de motrer que : A Deux -arragemets d'élémets de E {x 1, x 2,, x } ot le même suort si ils sot formés des mêmes élémets mais as écessairemet das le même ordre O eut alors rager tous les -arragemets e catégories e mettat esemble tous ceux qui ot le même suort O remarque alors que le ombre de catégories est et que chaque catégorie comorte arragemets O retiedra que l'o utilise les combiaisos das les roblèmes de choix simultaés de élémets choisis armi, sas cosidératio d'ordre et sas réétitio
8 8/10 2 Esembles et déombremet 23 Coeciets biomiaux 231 Formule de symétrie Théorème 24 Soiet et deux etiers Alors : Démostratio : Démostratio combiatoire : E eet, chaque combiaiso de élémets de E eut être associée à ue et uique artie de élémets de E : so comlémetaire Et réciroquemet chaque combiaiso de élémets de E est le comlémetaire d'exactemet ue seule combiaiso de élémets Les ombres de telles combiaisos sot doc les mêmes : o a bie Démostratio calculatoire : ( ) ( )( ( )) 232 Formule de récurrece Théorème 25 Soiet et deux etiers lus grads que 1 Alors : 1 1 Démostratio : Démostratio calculatoire : ( ) ( 1) ( 1)( 1 ( 1)) Formule de Pascal Théorème 26 Soiet et deux etiers aturels Alors Démostratio : Démostratio calculatoire : ( 1) ( 1)( ) + ( 1) ( 1 ) ( 1) 1 ( 1)( 1 ) + 1 ( 1) ( 1)( 1 ) ( ) ( )
9 2 Esembles et déombremet 9/10 Démostratio combiatoire : Soit E {x 1,, x } u esemble de élemets O sait que désige l'esemble des -combiaisos choisies armi E Partageos toutes ces -combiaisos e deux arties : celles qui cotieet x : c'est la artie A celles qui e cotieet as x : c'est la artie B Les élémets de la artie A sot des -combiaisos de E qui cotieet x Il y e autat que de maières de choisir les 1 élémets qui accomaget x das la -combiaiso : autremet dit, o doit choisir 1 1 élémets armi les 1 élémets de E \ {x } Aisi Card(A) 1 Les élémets de la artie B sot des -combiaisos de E qui e cotieet as x Il y e autat que de maières de choisir les élémets das la -combiaiso : autremet dit, o doit choisir élémets armi les 1 1 élémets de E \ {x } Aisi Card(B) Comme (A, B) forme ue artitio de l'esemble des -combiaisos de E, o a Card(E) Card(A) + Card(B), d'où le résultat 234 Formule de Vadermode Théorème 27 Soiet, m et trois etiers aturels Alors + m X m Démostratio : Démostratio combiatoire : Cosidéros u esemble comortat +m élémets, disos élémets x 1, x 2,, x qui formet u esemble A et m élémets y 1, y 2,, y m qui formet u esemble B + m rerésete le ombre de -combiaisos choisies armi l'esemble {x 1, x 2,, x, y 1, y 2,, y m } Partageos ces -combiaisos e lusieurs groues : 0 m Celles qui ossèdet 0 élémet de A et élémets de B : il y e a exactemet Celles qui ossèdet 1 élémet de A et 1 élémets de B : il y e a exactemet 1 m Celles qui ossèdet élémets de A et 0 élémet de B : il y e a exactemet 0 Au al, o a doc bie + m X m m Formule du biôme de Newto Théorème 28 Soiet a et b deux ombres réels et u etier Alors (a + b) X a b
10 10/10 2 Esembles et déombremet Démostratio : Démostratio combiatoire : O sait que (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) où le facteur (a + b) aaraît exactemet fois E déveloat ce roduit, o va obteir ue somme de roduits de facteurs, chacu état choisi das u des facteurs (a + b) Chaque terme de la somme va doc être de la forme a a a {z } facteurs b b {z b} a b facteurs où est u etier comris etre 0 et Chaque terme a b va aaraître lusieurs fois das la somme Combie exactemet? Autat de fois qu'o X ourra choisir fois le terme a sur les, autremet dit fois O a doc (a + b) a b Démostratio calculatoire : Procédos ar récurrece sur X a b Posos our tout N : P() : "(a + b) 0X 0 0 Alors (a + b) 0 1 a 0 b 0 0, doc P(0) est vraie 0 Soit 0 Suosos la roriété P() vraie Motros qu'alors la roriété P(+1) est vraie égalememet, +1 X + 1 autremet dit que (a + b) +1 a b +1 (a + b) +1 (a + b) (a + b) HR (a + b) +1 X l1 l+1 l 1 X a +1 + b +1 + a +1 + b +1 + a b X a l b +1 l + X l1 X l1 l0 l X a l b +1 l a +1 b + + a l b +1 l l 1 l X + 1 a l b +1 l l l Aisi, si P() est vraie, alors P( + 1) est ecore vraie Par récurrece, la roriété P() est doc vraie our tout etier 0 l1 X a l b +1 l a b +1 Théorème 29 Si E est u esemble à élémets, alors Card (P(E)) 2 Démostratio : Notos our tout 0,, E l'esemble des arties de E à élémets Alors, la famille (E 0, E 1,, E ) est ue artitio de P(E) De lus, o sait que our tout 0,, Card(E ) X X X Aisi Card(P(E)) Card(E ) 1 1 (1 + 1) 2
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