Introduction à l'analyse Harmonique

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1 Inroducion à l'analyse Harmonique E. Monseny able des maières Inroducion 3 Séries de Fourier 3. Déniions Propriéés e héorème imporan ransformaion de Fourier 8 3. Déniions Propriéés de la ransformaion de Fourier ransformaion de Laplace 4. Déniions Propriéés

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3 Inroducion Au XVIII e s, les physiciens e mahémaiciens se penchèren sur l'expression des soluions des premières équaions aux dérivées parielles éablies à cee époque : l'équaion des cordes vibranes e l'équaion de la chaleur. Bien que l'inuiion de décomposer selon les fréquences propres (harmoniques) éai présene dans les espri depuis déjà quelques emps (noammen pour l'équaion des cordes), c'es Fourier qui le premier appora au débu du XIX e s. de nombreux élémens pour explicier cee décomposiion e la sysémaiser : l'analyse harmonique éai née, e allai connaîre un développemen permanen jusqu'à nos jours. On inrodui dans ce cours les noions de base de l'analyse harmonique. On y présene les ouils inconournables que son les séries de Fourier, la ransformaion de Fourier ainsi que la ransformaion de Laplace qui la généralise. Le bu du cours es d'assimiler les noions clé de l'analyse harmonique e d'acquérir quelques auomaismes calculaoires indispensable dans les sciences de l'ingénieur. Bien qu'il ne s'agisse pas expliciemen d'un cours de raiemen du signal, le erme signal y sera allègremen employé. Il fau voir ce erme comme éan générique : si une émission V herzienne es bien sûr un signal, l'évoluion au cours du emps de la èche à l'exrémié d'une poure en es égalemen un, ainsi qu'un champ de pression u(, x) donnan la pression en un poin spaial x au emps, don on pourra eecuer une ransformaion de Fourier (par exemple) selon la variable, ou x, ou les deux! Comme son nom l'indique, le bu de l'analyse harmonique es de ravailler dans le domaine fréqueniel. Les ouils sus-ciés permeen de donner une nouvelle représenaion (équivalene) d'un signal f (on parle de dualié emps-fréquence). Ces ouils permeen de raier de nombreux problèmes de manière simpliée e pourvu d'une signicaion physique ceraine. Séries de Fourier. Déniions Les séries de Fourier son un ouil de choix pour l'éude de foncions périodiques. Le résula esseniel de cee secion es que oue foncion périodique (assez régulière) peu êre écrie comme éan la somme de foncions élémenaires périodiques (synhèse). La héorie des disribuions, développée par L. Schwarz, es un cadre nécessaire (c'es en fai le seul) à une présenaion rigoureuse de ous ces ouils (ne serai-ce que par l'omniprésence de la disribuion de Dirac δ) : elle perme de les unier e de donner un sens aux argumens physiques inuiifs uilisés jusqu'alors. 3

4 Déniion Soi f une foncion -périodique, à valeur réelle ou complexe. On appelle coeciens Fourier exponeniels de f la suie de nombres complexes dénie par : c n = a+ f()e inπ d, n Z () a Si la foncion f es à valeurs réelles, on uilise souven les coeciens de Fourier rigonomériques de f : a n = b n = a+ a a+ a ( ) πn f() cos d, n N () ( ) πn f() sin d, n N de Remarque : On parle souven de specre de f. Cee nominaion sera jusiée par la suie lorsque l'on parlera de specre fréqueniel d'un signal. Remarque : Si les coeciens a n e b n son souven uilisé lorsqu'on manipule des foncions réelles, les coeciens c n présenen l'inérê, en plus d'êre plus synhéiques, de faire l'analogie avec la ransformée de Fourier coninue des foncions non périodiques (cf. secion suivane). Proposiion Si f es impaire, alors a n = n N e b n = 4 Si f es paire, alors b n = n N e a n = 4 a+/ a a+/ a f() sin ( ) πn d, n N. f() cos ( ) πn d, n N. Exemple : Soi la foncion L-périodique g dénie par (cf. gure ) : { g() = L si [, L ] L si [ L, L] (3) Ses coeciens de Fourier son donnés par : a =, a n = ni n pair e 4 n π b n = n N (f es paire). si n es impair. (4) Soi la foncion L-périodique h dénie par (cf. gure ) : { si [, π] h() = si [π, π] Ses coeciens de Fourier son donnés par : Déniion 3 (Synhèse) a =, a n = n N b n = ni n pair e 4 nπ si n es impair. On appelle développemen en série de Fourier (DSF) de f (on parle aussi de synhèse de Fourier ) la série : n Z c n e iπn, (5) 4

5 ou, dans le cas des coeciens rigonomériques : a + ( ) ( ) πn πn a n cos + b n sin. (6) n On a alors le résula fondamenal suivan. héorème 4 (héorème de Dirichle) Soi f une foncion périodique, de classe C par morceaux. Alors, le DSF de f converge simplemen vers f( )+f( + ) (demi-somme enre les limies à gauche e à droie), soi :, f( ) + f( + ) = n Z c n e iπn, (7) en uilisan les coeciens rigonomériques :, f( ) + f( + ) = a + a n cos n ( πn ) + b n sin ( πn ). (8) Concrèemen, ça signie que en ou poin de coninuié de la foncion f, le DSF de f vau f(). Si f es disconinue en, son DSF es égal à f( )+f( + ). Ainsi, oue foncion périodique f es enièremen caracérisée par un ensemble dénombrable de coeciens {a n } n N e {b n } n N : on peu recomposer la foncion f par la seule connaissance de ces coeciens, qui raduisen la conribuion de la nème harmonique (fréquence n ) dans le signal global f. Di auremen, oue foncion périodique f (assez régulière) es une superposiion (pondérée) de signaux périodiques élémenaires de fréquence muliple de la fréquence fondamenale de f ). (fréquence Cee propriéé es à la base du développemen de l'analyse harmonique. Oure une représenaion inuiive des signaux, elle perme de simplier de nombreux problèmes en uilisan une elle décomposiion, de elle sore que l'analyse de Fourier se rerouve dans à peu près oues les sciences de l'ingénieur : mécanique, acousique, raiemen du signal, analyse des sysème linéaires, ec. Remarque : La formule (7) pour une foncion coninue s'écri :, f() = n Z c n e iπn. Cee écriure ressemble à une décomposiion de la foncion f sur une base (de foncions). La noion de base es eecivemen sous-jacene au développemen en séries de Fourier. Exemple : Reprenons l'exemple de la foncion riangle g raiée précédemmen. Cee foncion es de classe C par morceaux e es coninue. Ainsi, elle s'idenie en ou poin à son développemen en série de Fourier : R, g() = ) (p + ) cos(π(p ). π L p De plus, on peu (par exemple) aisémen en déduire l'égalié (loin d'êre riviale) suivane, en prenan = L π : 4 (p + ) π cos(p + ) = π. p 5

6 On donne ci-après un exemple de synhèse de Fourier pour les deux signaux g e h don on a calculé les coeciens de fourier précédemmen Fig. Synhèse de Fourier de la foncion g (L = 6) jusqu'à la première, 5 e e 9 e harmonique. 6

7 Fig. Synhèse de Fourier de la foncion h jusqu'à la première, 5 e e e harmonique.. Propriéés e héorème imporan Noons ou d'abord que, dans le cas où f es une foncion a valeurs réelles, on a les relaions suivanes enre les coeciens exponeniels e rigonomériques : e réciproquemen : c = a, n N, c n = a n ib n, c n = a n + ib n = c n a = c ; n N, a n = c n + c n, b n = i(c n c n ). Le héorème qui sui es fondamenal : il donne une relaion direce enre l'énergie d'un signal périodique e ses coeciens de Fourier. héorème 5 (Formule de Parseval) Soi f une foncion -périodique C par morceaux. Alors : a+ a f() d = n Z c n. (9) 7

8 La même relaion si on uilise les coeciens rigonomériques (foncion a valeurs réelles) : a+ a f() d = a + a n + b n. n Remarque : Comme souven en mahémaiques, ce héorème peu êre employé de plusieurs manières. On peu uiliser cee relaion pour donner l'expression de l'énergie d'un signal à parir de ses coeciens de fourier, mais aussi pour calculer expliciemen la valeur d'une série numérique "compliquée". (comme on l'a fai en uilisan le héorème de Dirichle dans un exemple précéden) 3 ransformaion de Fourier De manière lapidaire, la ransformaion de Fourier es aux foncions inégrables ce que les séries de Fourier son aux foncions périodiques. On a vu qu'une foncion de période peu êre représenées par des coeciens raduisan le "degré de conribuion" des harmoniques de fréquence n dans la foncion. On peu alors se demander ce qu'il se passe lorsqu'on ravaille avec une foncion non périodique, qui peu êre vue comme une foncion périodique don la période end vers l'inni. Inuiivemen, on va se rerouver avec des harmoniques de fréquences n de plus en plus proches jusqu'à obenir un vériable coninuum de fréquences ; la suie de coeciens {c n } n laisse ainsi place à une foncion, appelée specre fréqueniel de f, ou ransformée de Fourier de f. La série de Fourier, raduisan la superposiion des harmoniques composan le signal f, laissera place à une inégrale sur l'ensemble des fréquences réelles. Aenion : Ne pas confondre ransformée e ransformaion : la ransformée es le résula de la ransformaion. 3. Déniions Déniion 6 Soi f L (R), c'es-à-dire une foncion inégrable 3. On appelle ransformée de Fourier de f la foncion f (de la variable réelle ξ e à valeur complexe) dénie par : f(ξ) = f() e iπξ d. () R On parle souven de specre (fréqueniel) de f, car la variable ξ es homogène à une fréquence. On noe parfois F la ransformaion de Fourier (donc f := Ff) Aenion : Il exise plusieurs déniions de la ransformaion de Fourier, oues équivalenes mais inroduisan des coeciens dans les formules. On prendra garde à la déniion choisie dans les diérens ouvrages lorsqu'on cherche un formulaire de ransformées. Remarque : Pour reprendre ce qui a éé di en inroducion de cee secion, un calcul simple monre que si on considère la roncaure d'une foncion e sa périodisaion, alors ses coeciens de Fourier son, à un En fai aux foncions de carré inégrable, voire, dans un cadre plus général, aux disribuions empérées. 8

9 faceur près, exacemen la ransformée de Fourier (coninue) du signal ronqué, évaluée à la fréquence n. On sen bien que, en repoussan la roncaure à l'inni, le specre de la foncion de dépar e celui de la foncion ronquée von coincider (puisque la roncaure se rapproche du signal original), e les coeciens de Fourier de la foncion ronquée-périodisée von ainsi devenir le specre (coninu) de f comme le mera en évidence le héorème suivan. Comme la ransformée de Fourier d'une foncion es une foncion à valeurs complexes, sa représenaion es impossible. On dispose cependan de plusieurs représenaions, ayan chacune une signicaion physique, permean de la visualiser ; par exemple, le carré du module, appelé densié specrale d'énergie (DSE), en es une qui perme de localiser le conenu énergéique d'un signal en foncion des fréquences (cf. gure 3)..5 x (s) fréquence (Hz) Fig. 3 Sinus de fréquence Hz e sa DSE. Si la foncion f es égalemen inégrable, on déni alors la ransformaion inverse, qui perme de revenir à l'original f à parir de f, mean en évidence l'équivalence enre les deux représenaions (emporelles e fréquenielles). Cee équivalence es essenielle car elle perme de légiimer l'uilisaion de la ransformaion de Fourier pour résoudre de nombreux problèmes de manière simpliée. Déniion 7 Si g L (R), on déni la ransformaion de Fourier inverse F par ( F g ) () = g(ξ) e iπξ dξ. () R On a alors le résula suivan, lian f e f. héorème-déniion 8 ) Si f e f son inégrables, on monre que f es égale (au sens des foncions de L ) à F ( f), ce qui s'écri : f = F f presque parou. () Si on veu écrire cee égalié "poin par poin", on a le résula suivan, sous l'hypohèse que f 9

10 soi dérivables à gauche e à droie en e que les limies exisen :, f( ) + f( + ) = f(ξ) e iπξ dξ. (3) R En les poins de coninuié de f, on a plus simplemen : f() = f(ξ) e iπξ dξ. (4) R On peu noer de nombreuses analogies avec la synhèse en séries de Fourier vu dans la secion précédene, noamen le héorème de Dirichle qui arme que oue foncion -périodique se décompose comme somme de foncions périodiques de fréquence n : f() = n Z c n e iπn. La diérence es qu'ici, une foncion non périodique se décompose en une somme (l'inégrale es une somme) de signaux périodiques à oues les fréquences réelles ξ, e non seulemen des fréquences dénombrable n. L'analogie es la même enre l'expression des c n donné par () e celle de f(ξ) : le nombre f(ξ) représene le "degré de présence" de la fréquence ξ dans le signal f, conféren à cee ransformaion une signicaion physique fore. 3. Propriéés de la ransformaion de Fourier La ransformaion de Fourier possède de nombreuses propriéés permean de facilier le calcul de ceraines ransformées. Ceraines propriéés on une imporance capiale pour la modélisaion de sysèmes dynamiques régi par une convoluion (ous les sysèmes linéaires!), pour la résoluion d'équaion diérenielle, ec. Proposiion 9 Linéarié : Pour oues foncions f e g inégrables e pour ou réel λ, on a : λf + g = λ f + ĝ. Conracion. Pour ou réel non nul a, on a : f(a) F a f( ξ a ). Décalage emporel (reard) : Pour ou réel, on a : f( ) F f(ξ) e iπξ. Décalage fréqueniel : Pour ou réel ξ, on a : f() e iπξ F f(ξ ξ ).

11 Exemple : La ransformée de Fourier de [,] () en ξ es sin(πξ) πξ (le monrer!). En déduire la ransformée de [,] () (D). Les propriéés qui suiven son essenielles e meen en évidences l'inérê que peu présener la ransformaion de Fourier pour la résoluion d'équaions (inégro-)diérenielles/ aux dérivées parielles, ainsi qu'à la modélisaion des sysèmes linéaires, dans laquelle elle ien une place cenrale. Proposiion-Déniion ransformée d'une dérivée : Si f es dérivable e à dérivée inégrable, on a : df (ξ) = iπξ f(ξ). d De manière plus générale : df (n) d (ξ) = (iπξ) n Muliplicaion par : Si f() inégrable, alors : f(ξ) iπ f()(ξ) = d f ds (ξ) ransformée d'une convolée : on appelle produi de convoluion de f par g la foncion, noée f g, dénie par : (f g) (x) := On a alors la propriéé essenielle : R f(y) g(x y) dy. (f g)(ξ) = f(ξ) ĝ(ξ). On voi ou suie les simplicaions que peuven apporer ces propriéés : ainsi, une équaion diérenielle pourra êre ransformée en équaion algébrique aisémen résoluble (sous réserve de pouvoir déerminer la ransformée inverse de la soluion...) ; un produi de convoluion, délica à manipuler e rès coueux en erme de calcul, pourra êre remplacé par un produi classique en représenaion fréquenielle, propriéé rès uilisée en auomaique e raiemen du signal. Remarque : Aenion à le noaion abusive f()(ξ), qui es parfois employée par commodié : f() n'es pas une foncion mais un nombre ; or, la ransformaion de Fourier s'applique à une foncion, que l'on devrai noer f() ou.f(.) en ou rigueur. Comme pour les séries de Fourier, il exise un résula éablissan une correspondance enre l'énergie d'un signal e celle de sa ransformée de Fourier, sous réserve qu'ils soien ous deux de carré inégrable. héorème (de Plancherel) Si f L (R) (f de carré sommable), alors sa ransformée de Fourier es égalemen de carré sommable e on a l'égalié enre leur norme L : f() d = f(ξ) dξ. R R

12 Proposiion (Décroissance à l'inni des ransformées de Fourier) La ransformée de Fourier d'une foncion de régularié C k décroî vers au moins aussi vie que ξ k lorsque ξ +. Cee propriéé es inuiivemen évidene : plus un signal es régulier, plus son conenu fréqueniel va êre basse fréquence, les haues fréquences 4 caracérisan des phénomènes rapides (voire bruaux). 4 ransformaion de Laplace Dans cee parie, f désignera une foncion causale (i.e. elle que f() = ) localemen inégrable sur R (i.e. inégrable sur ou fermé borné). La noion de causalié fai de la ransformaion de Laplace un ouil de choix pour l'éude des sysèmes dynamiques e la résoluion d'équaions (inégro-)diérenielles. Bien que consiuan une généralisaion de la ransformaion de Fourier 5, la ransformaion de Laplace es généralemen uilisée pour l'éudes des sysèmes e la résoluion d'équaions diérenielles ou la "parie emporelle" des équaions aux dérivées parielles, associée à des condiions iniiales, alors que la ransformaion (ou série) de Fourier es davanage dédiée à l'analyse fréquenielle des signaux e à la "parie spaiale" des équaions aux dérivées parielles, associée à des condiions aux limies. 4. Déniions Déniion 3 On appelle ransformée de Laplace de f la foncion F de la variable complexe p dénie (lorsqu'elle exise) par l'inégrale : F (p) := + f() e p d. On noe souven L la ransformaion de laplace (donc F := L(f)). Remarque : On appelle parfois la foncion F (p) le symbole-laplace de f. Remarque : On passe ici sous silence ceraines considéraion sur p concernan la convergence de l'inégrale (abscisse de convergence). Exemple : F (p) = p par es la ransformée de Laplace de la foncion de heaviside (ou échelon unié) dénie f() = { si < si 4 Bien sûr, les mos employés son à prendre avec la prudence qu'il se doi : la noion de basse ou aue fréquence es relaive au phénomène éudié : il es éviden que khz es une fréquence rès basse pour un signal de ype onde radio, e pouran élevée si on éudie par exemples des phénomènes biologiques lens. 5 les séries de Fourier e la ransformaion de Fourier son des ransformaions de Laplace dans le cadre mahémaique adéqua.

13 Remarque imporane : La formule d'inversion de la ransformée nécessian des noions d'inégraion de foncions de la variable complexe, elle ne sera pas abordée ici ; le leceur doi juse savoir qu'elle exise, e qu'elle peu se calculer de plusieurs manière. On se limiera dans ce cours à uiliser les ables e les propriéés de la secion suivane pour nos calculs. 4. Propriéés Les propriéés de la ransformaion de Laplace son similaires à celle éablies pour la ransformaion de Fourier. On donne ci-après les plus uiles d'enre elles. Proposiion 4 Linéarié : Pour oues foncions f e g e pour ou réel λ, on a : L(λf + g) = λl(f) + L(g). Conracion. Pour ou réel a R +, on a : f(a) L a F (p a ). Décalage emporel (reard) : Pour ou a R +, on a : f( a) L F (p) e ap. Pour ou réel a, on a : f() e a L F (p a). Exemple : La ransformée de Laplace de f() = e a es F (p) = p a. Proposiion 5 ransformée d'une dérivée : L [ f ] (p) = plf(p) f( + ). De manière plus générale : [ L f (n)] (p) = p n Lf(p) p n f( + )... f (n ) ( + ). Muliplicaion par : L [f()] (p) = F (p). ransformée d'une convolée : L [f g] = Lf Lg. En pariculier, on dédui de cee formule la ransformée d'une primiive de f : [ ] L f(τ)dτ (p) = F (p) p. 3

14 Les héorèmes qui suiven son rès uiles pour éablir la valeur en régime asympoique ou la valeur iniiale de f à parir de calculs eecués sur le symbole F. héorème 6 (de la valeur nale) Si f adme une limie en +, alors p e lim f() = lim pf (p). + p héorème 7 (de la valeur iniiale) Si f( + ) exise, alors : f( + ) = lim p + F (p). Exemple : On peu aisémen vérier ces deux héorème sur la foncion échelon par exemple. 4

15 Index C Coeciens de Fourier Convoluion (produi de) D Dirichle (héorème de) H Harmonique P Parseval (formule de) Plancherel (héorème de) S Séries de Fourier Specre fréqueniel Symbole Laplace Synhèse de Fourier , 9 ransformaion de Fourier ransformée de Laplace V Valeur nale (héorème de) Valeur iniiale (héorème de)