C.I.2 EVALUATION DES PERFORMANCES D UN SYSTEME ASSERVI I STABILITE

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1 PSI Cours de SII CI EVALUATION DES PERFORMANCES D UN SYSTEME ASSERVI I STABILITE Table des maières Noion de sabilié 3 Sabilié Définiions 3 Asec mahémaique : Les ôles de la FTBF 3 3 Réducion de l ordre d un sysème ôle dominan 4 4 Possibilié d insabilié arès bouclage d un sysème ouran sable 7 Éude de la sabilié à arir de l analyse de la FTBF 9 Eude de la sabilié à arir des ôles de la FTBF 9 Crière de Rouh simlifié 9 3 Exemle de la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer UNO III en mode auobalancé : 4 Eude de la sabilié des sysèmes mulivariables 3 Éude de la sabilié à arir de crières grahiques sur la FTBO 5 3 Sabilié d'un sysème bouclé 5 3 Crière du revers dans le lan de Bode 6 33 Marges de sabilié 7 34 Alicaion sur la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer UNO III en mode auobalancé : 8 35 Amorissemen e marge de hase 9 4 Causes d insabilié 4 Les reards urs 4 Le gain en boucle ouvere 43 Les inégraeurs PSI Cours de SII Page / Evaluaion des erformances des SLCISabilié

2 Exemle de sysème asservi : BPG Uno Scooer Conce Le scooer BPG Uno III es un arfai exemle de sysème asservi qui doi êre nécessairemen sable our un bon foncionnemen L équilibre du sysème es noammen obenu grâce à un sysème gyroscoique coulé à un calculaeur raian les informaions e ransmean les consignes aux deux moeurs élecriques équian les deux groues roulsion h://bgmoorscom/ Uno III Uno I Conce iniial On quanifie les erformances de sabilié, récision e raidié d un sysème asservi, selon l évaluaion de 3 crières que son resecivemen les déassemens, l erreur e le ems de réonse à 5% La sabilié es une noion générale non sécifique des sysèmes asservis mais elle rend ceendan une grande imorance dans le cas de ces sysèmes, car on souhaie oujours qu un sysème asservi soi sable La sabilié es donc la erformance que l'on regarde en remier e il es inuile d analyser les aures erformances si le sysème n es as sable PSI Cours de SII Page / Evaluaion des erformances des SLCISabilié

3 Noion de sabilié Sabilié Définiions Exemles de sysèmes sables : figures e : Exemle de sysème insable : figure 3 SLCI SLCI SLCI Figure Figure Figure 3 La définiion de la sabilié d'un sysème linéaire eu rendre deux formes équivalenes : Un sysème es sable si à une enrée bornée* corresond une sorie bornée Un sysème es di sable si sa réonse libre** end vers zéro, quand * L enrée eu êre une consigne ou une erurbaion ** Lorsque l enrée résene un reour à zéro exemle un Dirac, un créneau Un sysème réel insable oscille jusqu à sa desrucion Ces oscillaions son dans le cas général limiées ar les différenes sauraions limies des amlificaeurs oéraionnels, buées hysiques, Ces limiaions hysiques fon que les sysèmes ne son lus modélisables ar des SLCI Ils feron l obje d éudes sécifiques Nous allons déveloer deux yes d'éudes, selon que l'on analyse la foncion de ransfer en boucle fermée FTBF du sysème, ou bien la foncion de ransfer en boucle ouvere FTBO Asec mahémaique : Les ôles de la FTBF Considérons un sysème asservi modélisé ar une foncion de ransfer en boucle fermée T Si on le soume à une imulsion e = = E =, on obien : S = T C eu s'écrire, ar décomosiion en élémens simles, sous la forme : T = i= i i q i où les i son les ôles i = a i j i our les ôles comlexes de la foncion de ransfer La sorie sera de la forme : n s = A i= A i i i! n B k e n k D j e j sinj k= j= On consae au vu de cee exression que la réonse imulsionnelle garde une valeur finie, si les condiions suivanes son vérifiées : les k ôles réels e les j ; aries réelles des ôles comlexes doiven êre négaifs our que les exonenielles corresondanes soien décroissanes, les Ai doiven êre ous nuls our que la sorie libre revienne à zéro Ce qui revien à dire qu il ne doi as y avoir de ôle nul, donc as d inégraeur dans la FTBF n PSI Cours de SII Page 3/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

4 On eu conclure de cee éude que our qu'un sysème linéaire soi sable : Il fau que les ôles de sa foncion de ransfer soien des ôles réels ous sricemen négaifs des ôles comlexes à arie réelle sricemen négaive Exemle : une foncion de ransfer en boucle fermée : ôles nuls ôle réel simle = a ôle réel double = b ôles comlexes conjugués simles = c j d On soume ce modèle à une enrée en Dirac e = = E = N S eu donc s écrire : S= E= a b c d A A B C C D E S eu ensuie se décomoser : S a b b c d La ransformée inverse de Lalace de S erme le reour emorel : a b b c Dc E c s A A Be C e C e De cos d e sin d u d Pour que la sorie revienne à zéro, il ne fau as d inégraeur e il fau que a, b, c, négaifs Ce qui revien bien à dire que les ôles de la arie réelle des racines es sricemen négaive Ce énoncé ne erme ceendan as de qualifier le comoremen d'un sysème asservi En effe, un sysème rès mal amori sera sable au sens sric du erme, mais jugé d'une sabilié insuffisane mauvais amorissemen En d'aures ermes, il nous sera nécessaire d'aller audelà de cee définiion our réciser la qualié de la sabilié d'un sysème donné 3 Réducion de l ordre d un sysème ôle dominan Pour mieux en comrendre le rôle des ôles de la foncion de ransfer en boucle fermée, FTBF, on a rerésené dans le lan comlexe fig 4 e 5 l allure de la réonse à l imulsion de Dirac selon la osiion des ôles de la FTBF d un sysème On rerouve les sories insables déjà éudiées corresondan à des aries réelles négaives ou nulles Pour les ôles à arie réelle négaive, la réonse converge vers zéro e lus le ôle es éloigné de l axe imaginaire, lus la décroissance es raide L amorissemen croî On observe que les racines comlexes conjuguées fon aaraîre des oscillaions On disingue les racines réelles ar leur absence d oscillaion Le cas ariculier du second ordre : on eu relier ces comoremens à l évoluion de la ulsaion rore e du coefficien d amorissemen z PSI Cours de SII Page 4/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

5 STABILITE s s STABLE Pôles conjugués STABLE s s Pôles conjugués STABLE L amorissemen de la réonse croî Pseudoulsaion de la réonse croî STABLE Im s s s s Pôles conjugués Pôles conjugués Pôle mulile INSTABLE Pôle simle INSTABLE Pôle mulile INSTABLE Pôle simle QUASI INSTABLE s INSTABILITE Re s INSTABLE INSTABLE Figure 4 Cas ariculier : Un sysème résenan un cerain nombre de ôles comlexes à arie réelle nulle es un sysème juse oscillan ou sysème marginalemen sable mais considéré insable Cas ariculier : Un sysème «inégraeur ur» de FTBF= / es un sysème insable car une enrée en «échelon» condui à une sorie en «rame» Exemle de ôles our un second ordre : K T = z ω ω Droie Isoz STABILITE Pôles conjugués < z < Cas des racines réelles z > r i = z ω ± ω z Cas des racines comlexes z < r = z ω ± ω z j i Im z Pôles à arie réelle osiive INSTABILITE Pôle réel double = z= Re Pôles réels négaifs z > z z Cercle Iso Z Pôles imaginaire ur z Figure 5 PSI Cours de SII Page 5/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

6 Ainsi, our un sysème sable, on eu remarquer que l effe des ôles rès éloignés de l axe imaginaire disaraî bien avan celui des ôles qui en son lus roches, come enu des décroissances exonenielles rès différenes Aussi, les ôles du sysème les lus roches de l axe imaginaire son qualifiés de ôles dominans Cerains des ôles de la foncion de ransfer FTBF du sysème on une conribuion réondérane sur le comoremen du modèle : Il s agi des ôles à arie réelle négaive les lus roches de l'axe des imaginaires Ils son aelés "ôles dominans" e on eu en général simlifier l'exression du dénominaeur de la foncion de ransfer FTBF en ne conservan que les ermes corresondans aux ôles dominans le dénominaeur doi êre sous forme canonique avan d effecuer la simlificaion!! Lorsqu ils son suffisammen éloignés des ôles dominans, les ôles les lus éloignés de l axe imaginaire euven êre négligés, ce qui erme de diminuer l ordre de la foncion de ransfer F modélisan le sysème On eu ainsi évaluer les erformances aendues d un sysème en limian la comlexié des calculs Dans la raique, le choix es simle si les ôles son suffisammen écarés les uns des aures, e beaucou lus délica dans le cas conraire Dans un cas favorable, on rocède comme sui : on garde le ôle réel le lus roche de l axe imaginaire e la aire de ôles comlexes conjugués la lus roche de l axe imaginaire ; on garde dans ous les cas les inégraeurs, donc le erme en α Exemle : Soi une foncion de ransfer : K F = avec T << T T T Les deux ôles de la foncion de ransfer son : P T e P T donc P << P La figure 6 résene la osiion des ôles P e P dans le lan comlexe : P es le ôle dominan 5 5 Figure 6 Im P P O La réonse emorelle du sysème our une enrée imulsionnelle figure 7 monre que l on eu négliger la consane de ems la lus faible T our uiliser la forme de F où le erme K corresondan au ôle P es surimé : F = T K K T T Jusificaion : Dans l exression de s = e e, le erme e T T T T T corresondan au ôle dominan devien réondéran lorsque le ems croî de même our la réonse à l échelon figure 8 PSI Cours de SII Page 6/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

7 Illusraion de l influence de la suression du ôle non dominan sur les réonses imulsionnelle e indicielle 35 S S Figure 7 S Figure 8 3 Sans T 5 8 Sans T 5 Avec T 6 4 Avec T 5 TEMPS TEMPS Lieu d'evans : Les logiciels de simulaion son caables de déerminer la osiion des ôles d'une foncion de ransfer, our différenes valeurs du gain de boucle K variable de celleci ; la courbe obenue es nommée "lieu d'evans" Exemle : la figure rerésene le lieu d'evans du sysème de la figure 9 lorsque K varie de à 5 : E K,,,5 S LIEU D'EVANS our K de à 5 3 Figure Im K croissan Re Figure 9 On visualise alors facilemen l'insabilié Re qui aaraî avec l'augmenaion du gain de boucle K 4 Possibilié d insabilié arès bouclage d un sysème ouran sable L uilisaion d une boucle our un SLCI, eu le désabiliser le sysème Pour illusrer le hénomène on eu comarer la réonse d un même sysème, de foncion de ransfer, dans le cas où il es non bouclé uis dans le cas où il es bouclé On le sollicie avec un même signal d enrée e recangulaire de ériode T e d amliude E On considère qu en boucle ouvere, le sysème éudié bloc enraine un déhasage de T/ du signal e l amlifie d une valeur K a > : e s E E S K a E T En boucle ouvere on consae que le sysème es sable, le signal de sorie es juse amlifié e déhasé ar raor au signal d enrée PSI Cours de SII Page 7/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié T/ T

8 Si on boucle ce même sysème avec un reour uniaire e qu il es soumis à la même enrée en créneau, es mainenan soumis à une enrée ε = S E qui corresond à la différence enre les deux signaux d enrée e de sorie E e T E ε Pour déerminer le signal de sorie s, il fau cee fois ci déerminer l écar ε qui enre dans le bloc, ½ ériode ar ½ ériode Le racé obenu monre le hénomène de «omage» ou insabilié dans laquelle la grandeur amlifiée s s ajoue au signal d enrée qui es luimême de nouveau amlifié Le rocessus se rerodui de ériode en ériode e le signal de sorie diverge donc rès raidemen ε ε 3 = E K a ε 3 4 S S 4 = K a ε 3 s? s 3 4 ε = E S = K a ε e E 3 4 ε = E K a ε E ε ec S T/ ec S 3 = K a ε Pour la hase : l écar ε = E Pour la hase : l écar ε = E S = E K a ε = E K a Pour la hase 3 : l écar ε 3 = E 3 S 3 = E K a ε = E K a E K a = E K a K a Pour la hase 4 : l écar ε 4 = E 4 S 4 = E K a ε 3 = E K a E K a K a = E K a K a K a 3, ec Soi un écar qui end en valeur absolue vers E K a K a K a 3 K a n Le signal de sorie diverge Il y a donc insabilié arès bouclage si K a > L exisence d une boucle de reour imose donc d éudier la sabilié des sysèmes asservis : Soi à arir de crières analyiques sur le olynôme caracérisique de la foncion de ransfer boucle fermée FTBF du sysème, ce qui nécessie d avoir le modèle numérique de cee FTBF Soi à arir de crières grahiques sur les lieux de ransfer de la foncion de ransfer boucle ouvere FTBO du sysème Dans la raique, les crières grahiques son luô rivilégiés ar les ingénieurs car ils ermeen de déerminer des marges de sabilié PSI Cours de SII Page 8/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

9 Éude de la sabilié à arir de l analyse de la FTBF Eude de la sabilié à arir des ôles de la FTBF Le calcul de la foncion de ransfer boucle fermée d un sysème asservi erme de asser d un modèle bouclé à un modèle équivalen non bouclé de foncion de ransfer E ε A S Simlificaion E A A B S B La FTBF ouvan aussi se mere sous la forme rivilégian l écriure en ôles, il es ar conséquen ossible de déerminer la sabilié d un sysème asservi à l aide de la condiion fondamenale Rael : Un sysème asservi es sable si sa FTBF ossède des ôles à arie réelle négaive Crière de Rouh simlifié Bien qu il ne soi lus au rogramme en CPGE, on ourra reenir le crière de Rouh simlifié Des considéraions mahémaiques sur les olynômes ermeen d affirmer que :, si l un des coefficiens a à a n du olynôme du dénominaeur de la foncion de ransfer BF n es as sricemen osiif, alors l équaion caracérisique adme au moins une soluion à arie réelle osiive ou nulle Cee roosiion erme d énoncer une condiion algébrique de sabilié : Pour qu un sysème asservi soi sable, il es nécessaire que les coefficiens a à a n du olynôme du dénominaeur de sa foncion de ransfer en boucle fermée BF soien ous de même signe Nécessaire ne veu as dire suffisan! Cas d un remier ou d un deuxième ordre Cee condiion es suffisane our un er e un deuxième ordre : er ordre ème ordre D a a sable si les deux coefficiens a e a son de même signe D a a a sable si les rois coefficiens a, a e a son de même signe PSI Cours de SII Page 9/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

10 Exemle : Chaine de régulaion de l inclinaison du scooer UNO III en mode auobalancé : La chaîne d'acion ermean de réguler l inclinaison du scooer es réalisée ar un ensemble amlificaeur e mooréduceur Ce ensemble délivre un coule moeur qui erme d incliner le châssis ar raor à la vericale U Modèle de comoremen du scooer our l asservissemen d inclinaison Le modèle de comoremen de ce sysème amlificaeur mooréduceur modèle dynamique du châssis endule inverse donne une foncion de ransfer qui eu s écrire sous la forme : K U Avec : U ransformée de Lalace de la ension de commande du mooréduceur, ψ ransformée de Lalace de l angle d inclinaison du scooer ar raor à la vericale, K gain du sysème mécanique K =,4 rad/v e ω ulsaion rore du sysème mécanique ω = 4, rad/s L écriure en ôles donne : K K K U 4, 4, ossède ôles réels don un es osiif le modèle dynamique du scooer sans asservissemen es donc insable On ouvai s y aendre uisque le cenre de gravié du scooer es au dessus de l axe de roaion des roues endule inversé! Cas d un ordre suérieur à deux : 3 eme ordre 4 ème ordre e lus 3 D a a a a3 A l aide de la calcularice, sable si les quare coefficiensa, a, a e chercher les racines e voir le signe a 3 son de même signe e si a a a a3 des aries réelles des ôles Alicaion : Commener la sabilié des rois modèles cidessous : FTBF : T FTBF : T FTBO : PSI Cours de SII Page / Evaluaion des erformances des SLCISabilié

11 FTBF : T FTBF : T FTBO : FTBF : T 3 On vérifie aussi qu on n a as a a a a 3,, 3 PSI Cours de SII Page / Evaluaion des erformances des SLCISabilié

12 3 Exemle de la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer UNO III en mode auobalancé : Afin de sabiliser l inclinaison du scooer, la grandeur de commande, u es en fai élaborée à arir des mesures de réalisée ar le gyromère e de réalisée ar combinaison de la mesure du gyromère e du endule W U P U U V Pendule gyromère K Modèle de comoremen our l asservissemen d inclinaison Gyromère K v Pour éudier le comoremen du sysème il fau d abord déerminer la FTBF du sysème : K K v K W K K v K K K K v K K K K v K K v Premier examen du crière de Rouh : Tous les coefficiens du olynôme caracérisique de la FTBF doiven êre osiifs e non nuls D K K K K donc K v K e K K v Ici le er examen suffi uisque le olynôme caracérisique es du nd degré donc au final our que le sysème soi sable il fau K v e K K 4 Eude de la sabilié des sysèmes mulivariables Exemle : Dans le cas d'un sysème subissan une erurbaion P, si l on éudie l évoluion de la sorie s, d une ar ar raor à l enrée e, d aure ar ar raor à la erurbaion, E A C P Figure B S Dans le cas de sysèmes mulivariables, on suerose deux modes : un er mode our lequel l enrée E es considérée comme nulle e un nd mode our lequel l enrée P es considérée comme nulle E A E C B S E Mode à enrée P= A B C S S A B P E A B C P Mode à enrée E= es aelée la foncion de ransfer en oursuie PSI Cours de SII Page / Evaluaion des erformances des SLCISabilié

13 P A B S P B S C A C S B E E A B C E Le héorème de suerosiion erme d obenir la foncion de ransfer en boucle fermée du sysème mulivariables : en A B B S E P E P A B C A B C On observe que ces deux éudes se fon avec la même FTBO ; On monre alors que les ôles de la FTBF S / E, e ceux de la foncion de ransfer S / P son les mêmes L éude de sabilié du sysème comrenan les erurbaions es donc la même que celle du sysème sans erurbaion ; donc on ne fera qu une seule éude : celle de la FTBF : S / E Exemle de la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer UNO III en mode auobalancé : Si le assager du scooer s incline en avan ou en arrière il crée une erurbaion modélisée ar un angle α Cee erurbaion sera comensée ar le sysème W U P U U V Pendule gyromère K Modèle de comoremen our l asservissemen d inclinaison Gyromère K v α Arès maniulaion du schéma bloc on obien le sysème équivalen suivan : α / FTBF W U U P U V K v K PSI Cours de SII Page 3/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

14 PSI Cours de SII Page 4/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié La suerosiion erme d obenir la foncion de ransfer boucle fermée du sysème mulivariables : W K K W K K v v Soi K K W K K v v Le olynôme caracérisique de la FTBF D es le même our la foncion de ransfer en oursuie ψ / W e la foncion de ransfer en régulaion ψ / α L éude récédene de la sabilié sans la erurbaion rese donc oujours valable e suffisane

15 3 Éude de la sabilié à arir de crières grahiques sur la FTBO Dans la raique, l éude de la sabilié des sysèmes bouclés se fai luô grahiquemen dans le domaine fréqueniel à arir de la FTBO Le fai que les crières soien fréqueniels ne doi as conduire à enser que l insabilié ne eu se roduire que si l enrée es sinusoïdale En effe, ou signal d enrée un échelon ar exemle eu êre décomosé en série de Fourier e donc êre considéré comme une somme de signaux sinusoïdaux couvran un large secre de ulsaions 3 Sabilié d'un sysème bouclé Le sysème bouclé ciconre a our FTBF dans sa forme isochrone : Aj Tj = Aj Bj Sa sabilié es condiionnée ar le signe de la arie réelle des ôles de Tj Il fau donc éudier les soluions de Aj Bj = Rael, La résoluion d'une elle équaion ose raidemen de sérieux roblèmes de calculs Elle n'es envisagée qu'avec une assisance informaique Dans le cas où on s inéresse à la sabilié srice, seul le signe de la arie réelle des ôles nous inéresse On eu uiliser our cela : Le crière de Rouh Le résula es donc binaire e ne fourni en conséquence aucune indicaion sur la qualié de la sabilié Crière grahique: Aj On sai que Tj es un comlexe don le module es égal au gain de la Aj Bj FTBF On voi bien aaraîre une insabilié lorsque le dénominaeur s annule En effe, le gain de la FTBF devien infini e cela imlique que Aj Bj, le comlexe rerésenan la FTBO doi êre différen de Par conséquen, une condiion nécessaire de sabilié eu s'énoncer sous la forme suivane : E A B S Pour avoir un sysème sable, il fau que ω R, AjBj PSI Cours de SII Page 5/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

16 Il en résule que la FTBO ne doi as avoir : un gain G BO Aj Bj en même ems qu une hase BO Ce roisième moyen reose sur le crière de Nyquis, e dans la raique, sur sa version simlifiée qu'es le crière du revers Oure la vérificaion de la sabilié ou nonsabilié d'un sysème, il erme de monrer grahiquemen la qualié de la sabilié e les aramères influens Nore rogramme se limie au crière du revers 3 Crière du revers dans le lan de Bode On veu monrer commen à arir de la foncion de ransfer en boucle ouvere FTBO, il es ossible d'éudier la sabilié d'un sysème asservi, c'esàdire, du sysème en boucle fermée Enoncé du crière : Le sysème sera sable en boucle fermée si à la ulsaion db, elle que logftboj= db, la hase en boucle ouvere es suérieure à 8 Traducion grahique : G > db G db φ Sysème insable d 8 rad/s rad/s G < db G db db Sysème sable rad/s db 8 φ < 8 G db Sysème insable od rad/s φ 8 rad/s φ rad/s φ > Aure formulaion : Le sysème sera sable en boucle fermée si à la ulsaion 8, elle que arg[ftbo j] = 8, le gain en boucle ouvere logftboj es inférieur à db PSI Cours de SII Page 6/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

17 33 Marges de sabilié Avoir éabli qu un sysème es sable ne suffi as On décri lus récisémen le comoremen sable ou insable des sysèmes en définissan des marges qui garanissen un foncionnemen saisfaisan Les crières reenus reosen la osiion du LTBO ar raor au oin criique suivan deux direcions : l'amliude e la hase Définiions : Marge de gain : MG = logaj 8 Bj 8, 8 el que Arg [AjBj] = 8 Une marge de gain de 6dB erme une laiude d'un faceur sur le gain en boucle ouvere La valeur reenue es généralemen comrise enre 6 e 5dB On reiendra db Marge de hase : M = 8 Arg [A j db B j db ], db el que AjBj = db es aelée ulsaion de couure à db La valeur raique reenue our la marge de hase es comrise enre 45 e 6 Marge de gain e de hase dans le lan de Bode G db db db db rad/s M G G 8 φ 8 rad/s φ db Mφ 8 PSI Cours de SII Page 7/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

18 34 Alicaion sur la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer UNO III en mode auobalancé : La consigne de la régulaion de l inclinaison du châssis ar raor à la vericale es noée c Sur le sysème il exise un c ε Correceur W Sysème de correceur roorionnel inégral de C sabilisaion foncion de ransfer C qui élabore le signal w de ransformée de Lalace W à K C Ki e arir de l écar c Ti K K Kv K Où K =,4 rad/v, ω = 4, rad/s, K v =,5 rad/v, K = 3,5 V/rad, K i = 3,7 V/rad e T i =,93 s Pour éudier grahiquemen la sabilié du sysème il fau déerminer la FTBO T K T C Ki Soi : T i K K v K K K K K,7 T Ki 3,7 T K K i v,93,65,3 K K K K 4 db G db db Grahiquemen on consae à l aide du crière du revers que le sysème es sable, ω c rad/s Sa marge de hase our ω c éan égale à M φ = 45 4 db φ rad/s, 5 9 M φ 8 PSI Cours de SII Page 8/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

19 35 Amorissemen e marge de hase L'amorissemen de la réonse en BF eu êre esimée à l'aide de l'abaque de Black Pour des sysèmes qui se comoren en boucle fermée comme un second ordre oscillan, l'amorissemen es direcemen lié au coef de surension : Q = z z Une seconde aroche consise à uiliser la marge de hase Nous avons vu que la marge de hase erme de quanifier la "disance" enre le oin criique de sabilié e le LTBO à la ulsaion our laquelle le gain en BO vau L'uilisaion de cee grandeur our régler l'amorissemen reose sur la relaion suivane : Pour un sysème du second ordre oscillan don le gain en boucle ouvere es "grand", le coefficien d'amorissemen en boucle fermée eu êre aroximé ar la marge de hase exrimé en degré e divisé ar z M BF Pour un sysème du second ordre, le déassemen indiciel déend exclusivemen du coef d'amorissemen D % d = % z BF =,6 M 6 d = % z BF =,45 M 45 Cee relaion erme our les sysèmes don le comoremen en BF es comarable à celui d'un second ordre d'esimer la marge de hase à régler our obenir un amorissemen donné en boucle fermée z PSI Cours de SII Page 9/ Evaluaion des erformances des SLCISabilié

20 4 Causes d insabilié 4 Les reards urs Lorsqu un sysème modélisé ar une foncion subi un reard ur noé r, la foncion de r ransfer es muliliée ar e Le nouveau modèle s écri alors : T e r C qui donne our la our la réonse harmonique : T j j e r j r j On noe que e a un module consan e égal à soi logg db e un argumen : r T j e Exemle : j T j Il s agi d un reard ur associé à un sysème du er ordre Seule la courbe de hase du sysème es affecée ar le reard ur G db db 9 /T /T er ordre rad/s rad/s er ordre avec reard ur La résence d un reard ur il y a en dans ous les sysèmes dans la FTBO ourra enraîner l insabilié du sysème en BF 4 Le gain en boucle ouvere Pour les sysèmes d ordre suérieur à l augmenaion du gain en boucle ouvere K BO eu conduire à un risque d insabilié Tracés d une même FTBO dans le lan de Bode our deux valeurs de K BO 3 5 S K BO= 5 K BO=,7 5 5 TEMPS s Les inégraeurs La résence d inégraeurs dans la FTBO aore un déhasage de 9, ce qui raroche le lieu de ransfer du oin criique, donc end à désabiliser le sysème PSI Cours de SII Page / Evaluaion des erformances des SLCISabilié