MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) Site Value-at-Risk

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1 MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Sous la Direcion de Crisope Hurlin Année Universiaire Maser Economérie e Saisique Appliquée (ESA) Universié d Orléans Faculé de Droi, d Economie e de Gesion Bureau A 4 Rue de Blois BP Orléans Cedex

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3 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice. Définiion de la Value-a-Risk La noion de Value-a-Risk (VaR) es apparue pour la première fois dans le seceur de l'assurance. A la fin des années 980, la banque Bankers Trus fu l une des premières insiuions à uiliser cee noion sur les marcés financiers aux Eas-Unis, mais c es principalemen la banque JP Morgan qui dans les années 90 a popularisée ce concep noammen grâce à son sysème RiskMerics (pour un isorique comple de la noion de Value-a-Risk e de sa diffusion se reporer au livre de Dowd, 005). La Value-a-Risk es ensuie devenue, en moins d une dizaine d années, une mesure de référence du risque sur les marcés financiers, consacrée noammen par la réglemenaion prudenielle définie dans le cadre des accords de Bâle II. De façon générale, la Value-a-Risk es définie comme la pere maximale poenielle qui ne devrai êre aeine qu'avec une probabilié donnée sur un orizon emporel donné (Engle e Manganelli, 00). La Value a Risk es donc la pire pere aendue sur un orizon de emps donné pour un niveau de confiance donné. Cee définiion rès simple consiue l un des principaux arais de la Value-a-Risk : il es en effe rès facile de communiquer sur la VaR e de ainsi proposer une mesure omogène e générale (quelque soi la naure de l acif, la composiion du porefeuille ec.) de l exposiion au risque. Ainsi, la Value-a-Risk n es rien d aure qu un fracile de la disribuion de pere e profi associée à la déenion d un acif ou d un porefeuille d acifs sur une période donnée. La mesure de Value-a-Risk ne fai que refléer l informaion conenue dans la queue gauce (associée aux peres) de la disribuion des rendemens d un acif. Si l on considère un aux de couverure de α % (ou de façon équivalene un niveau de confiance de -α %) la Value-a-Risk correspond

4 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée ou simplemen au fracile de niveau α % de la disribuion de pere e profi valable sur la période de déenion de l acif : VaR ( α ) = F ( α ) où F (). désigne la foncion de répariion associée à la disribuion de pere e profi. De cee définiion générale découlen plusieurs définiions ecniques ou aussi simples.. Définiions Ainsi, la Value-a-Risk dépend de rois élémens : (i) la disribuion des peres e profis du porefeuille valable pour la période de déenion (ii) le niveau de confiance (ou de façon équivalene le aux de couverure égal à un moins le niveau de confiance) e (iii) la période de déenion de l acif... Taux de couverure e Niveau de Confiance Le niveau de confiance coisi es un paramère compris enre 0 e (95% ou 99% en général) qui perme de conrôler la probabilié que l on obienne un rendemen supérieur ou égale à la Value-a-Risk. Supposons que la disribuion des peres e profis associée à la déenion d un acif sur une période corresponde à une disribuion normale sandard. Sur la Figure es reproduie cee disribuion de pere e profi supposée normale : sur la parie gauce de l axe des abscisses figuren les rendemens négaifs (peres) andis qu à droie figure les rendemens posiifs (profis). Dans ce cas, la Value-a-Risk définie pour un niveau de confiance de 95% ( α = 5% ) es égale ou simplemen à Di auremen, dans ce exemple il y a 95% de cances que le rendemen de l acif, noé r, soi au moins égal à sur la période de déenion. ( ) [ ] Pr r < VaR 0.05 = Pr r <.645 = 0.05 De la même façon, la Value-a-Risk définie pour un niveau de confiance de 99% ( α = % ) es égale à -.36.

5 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Ainsi, la Value-a-Risk correspond généralemen à une pere (valeur négaive). Touefois, on rouve souven une Value-a-Risk définie non pas à parir de la disribuion de pere (-) e profi (+), mais à parir au conraire d une disribuion de profi(-) e pere(+). Di auremen, une elle définiion revien à omere le signe moins devan la pere e donc à afficer une Value-a-Risk posiive. Dans ce cas, la définiion de la Value-a-Risk correspond à l opposé du fracile de la disribuion de pere e profi : VaR ( α ) = F ( α ) Si l on reprend nore exemple de disribuion normale, on affice alors une Value-a-Risk pour un niveau de confiance de 95% ( α = 5% ) égale à.645. Cela signifie qu il y a 95% de cances que la pere associée à la déenion de l acif n excède pas Horizon de déenion Le deuxième élémen fondamenal dans le calcul de la Value-a-Risk es la période de déenion de l acif ou du porefeuille d acifs. La formule de calcul de la Value-a-Risk doi alors êre ajusée de façon à enir compe de la composiion des rendemens. Il n exise aucune règle quan au coix de la période de déenion dans le calcul de la Value-a-Risk puisque ce coix dépend fondamenalemen de l orizon de reporing ou d invesissemen des opéraeurs. 3

6 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Touefois, les auoriés de régulaion peuven spécifier des orizons de déenion spécifiques noammen dans le cadre es procédures de validaion de la Value-a-Risk. Dans le cadre de ce sie, ous les calculs proposés poren sur une Value-a-Risk définie à parir de la disribuion de peres (-) e profis (+) (ce qui implique une valeur négaive de la Value-a-Risk) e pour un orizon de déenion d une période (une journée, un mois ec. suivan les données uilisées pour les calculs).. Value-a-Risk condiionnelle Il es possible de disinguer deux ypes de disribuion de peres e profis : la disribuion condiionnelle e la disribuion non condiionnelle. Dès lors, on peu naurellemen définir une mesure de Value-a-Risk condiionnelle à un ensemble d informaion. Soi R le rendemen d un acif. On suppose que le rendemen es une variable aléaoire réelle de densié (disribuion de pere e profi) fr () r r. Naurellemen, pour cee variable aléaoire il es possible de définir une densié condiionnelle à un cerain ensemble d informaion, noé Ω. Soi f ( r Ω) r la densié condiionnelle associée au rendemen (densié condiionnelle de pere e profi). R La Value-a-Risk condiionnelle à l ensemble d informaion Ω, associée à un aux de couverure de α%, correspond au fracile d ordre α de la disribuion condiionnelle de peres e profis. VAR F R ( α) = ( α Ω ) Cee noion de disribuion condiionnelle prend oue son imporance dans une dimension emporelle. En effe, jusqu à présen nous avons considéré les rendemens d un acif ou d un porefeuille sans indicaion de dae. Or, on peu reprendre le raisonnemen en inroduisan de façon explicie le emps dans la déerminaion (e donc par conséquen la prévision) de la Valuea-Risk. Soi R le rendemen à la dae e soi f () r r la disribuion des peres e profis pour R cee même dae. Cee densié peu êre différene d une dae à l aure, e sans là sans doue que réside la difficulé majeure de l évaluaion d une Value-a-Risk non condiionnelle. De la même façon on peu définir une densié condiionnelle à un ensemble d informaion disponible à la dae, noé Ω (disribuion condiionnelle de pere e profi). Cee densié condiionnelle, noée 4

7 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée f ( r Ω ) r, peu elle aussi êre différene d une dae à l aure, mais généralemen on se R resrein à des densiés condiionnelles invarianes dans le emps, i.e. f ( r Ω ) r. Cela revien à supposer que condiionnellemen à un ensemble d informaion R Ω (ou Ω lorsque l on cerce à prévoir la Value-a-Risk), les rendemens son ideniquemen disribués. C es précisémen cee ypoèse qui perme de réaliser une prévision de Value-a-Risk dans le cas des modèles paramériques (modèles GARCH par exemple). La Value-a-Risk à la dae obenue condiionnellemen à l ensemble d informaion VAR Ω s écri sous la forme : = Ω ( α) FR ( α ) Pour une discussion sur les avanages e les limies de la Value-a-Risk, on renvoie à l ouvrage de Dowd (005). Reenons simplemen que la Value-a-Risk n es pas une mesure de risque coérene au sens de Arzner e al. (997), parce que noammen la Value-a-Risk n es pas de façon générale subaddiive. Une mesure de risque, noée ρ, es subaddiive si e seulemen pour deux acifs A e B on a ρ( A B) ρ( A) ρ( B) + +. C es un problème fondamenal car cela implique que la Value-a-Risk ne peu pas êre considérée comme une mesure «propre» du risque raacée à une éorie e un ensemble d axiomes permean de définir ce qu es une mesure du risque. La Value-a-Risk n es rien d aure qu un fracile e doi êre considérée en an que elle. Rédaceurs : Cevreau Anoine, Godin Sylvain, Ivanof Miaela e Pain Anoine Correcion : Hurlin Crisope Maser ESA, Universié d Orléans : Novembre 006 5

8 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice. Disribuion de Peres e Profis Mesures de Rendemens Les données à parir desquelles on calcule une Value-a-Risk peuven prendre différenes formes (Dowd, 005). Rappelons que la Value-a-Risk se défini comme un fracile de la disribuion de peres e profis associée à la déenion d un acif ou d un porefeuille d acifs sur une période donnée. Dès lors, la forme la plus simple consise à présener les données en ermes de profis e peres. On noe P la valeur d un acif (ou d un porefeuille) à la fin de la période e D l ensemble des paiemens inermédiaires obenus enre les daes e. Les peres e profis associés à la déenion de l acif (ou du porefeuille) son alors définis par la différence : P/ L= P + D P Dans ce cas, une valeur posiive correspond à un profi e une valeur négaive à une pere. Généralemen, ces peres e profis son exprimés sous la forme d un rendemen géomérique noé R : P + D R = ln P Les bases d exemples fournies sur ce sie (Nasdaq, SP500, Nikkei, CAC40) son consiuées de séries isoriques de rendemens géomériques (peres (-) e profis (+)). On suppose que le rendemen à la dae, i.e. R, es une variable aléaoire réelle. On appelle foncion de disribuion de peres e profis, la foncion de densié associée à cee variable aléaoire réelle, noée : fr () r r

9 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Cee densié peu êre différene d une dae à l aure, e sans là sans doue que réside la difficulé majeure de l évaluaion d une Value-a-Risk (non condiionnelle). Parallèlemen, on peu définir une disribuion de peres e profis condiionnelle, c'es-àdire une foncion de densié condiionnelle à un ensemble d informaion disponible à la dae, noé Ω. Cee densié condiionnelle es noée : f ( r Ω ) r R Cee densié condiionnelle peu elle aussi êre différene d une dae à l aure, mais généralemen on se resrein à des densiés condiionnelles invarianes dans le emps, i.e. elles que : f ( r Ω ) = f ( r Ω ) r, R R Cela revien à supposer que condiionnellemen à un ensemble d informaion Ω (ou Ω lorsque l on cerce à prévoir la Value-a-Risk), les rendemens son ideniquemen disribués. C es précisémen cee ypoèse qui perme de réaliser une prévision de Value-a-Risk dans le cas des modèles paramériques (modèles GARCH par exemple). La Value-a-Risk à la dae obenue condiionnellemen à l ensemble d informaion VAR α ( ) = FR ( Ω ) Ω s écri alors sous la forme : α Rédaceurs : Cevreau Anoine, Godin Sylvain, Ivanof Miaela e Pain Anoine Correcion : Hurlin Crisope Maser ESA, Universié d Orléans : Novembre 006

10 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice 3. Prévisions de Value-a-Risk e Modèle GARCH Sur ce sie peuven êre exécués en ligne différens programmes permean de réaliser des prévisions ou of sample de Value-a-Risk à l orizon d une période. Une prévision de Value-a-Risk pour un niveau de confiance de α% pour la dae + correspond à simplemen au fracile de niveau α % de la disribuion condiionnelle de peres e profis (voir Fice Disribuion de Peres e Profis). Formellemen on défini la prévision VAR ( α ) sous la forme suivane : + VAR ( α ) = F ( α Ω ) + R+ où F R+ ( α Ω ) désigne la foncion de répariion associée à la foncion de disribuion des rendemens à la dae +, noés R +, condiionnelle à l ensemble d informaion la dae. Ω disponible à Afin d illusrer cee définiion, considérons le cas des prévisions de Value-a-Risk obenues à parir des modèles paramériques de ype GARCH univariés.. Prévisions de Value-a-Risk e Modèles GARCH Commen obenir une prévision de Value-a-Risk à parir d un modèle GARCH? La démarce es indirece : dans un premier emps, on fai une ypoèse sur la disribuion condiionnelle des rendemens de l acif, puis l on esime les paramères du modèle GARCH sur les observaions de la période à T, généralemen par une procédure de ype maximum de vraisemblance. Dans une seconde éape, on dédui du modèle GARCH esimé une prévision de variance condiionnelle, qui couplée à l ypoèse reenue sur la disribuion des rendemens,

11 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée perme de consruire une prévision sur le fracile de la disribuion de peres e profis valable pour T+. Considérons l exemple d un modèle GARCH sous ypoèse de disribuion de Suden. On suppose ainsi que les rendemens d un acif, noés r, saisfon le modèle suivan : r = c+ ε ε = z = α + αε + β 0 z i.i.d. Suden ( v ) où zdésigne un brui blanc faible omoscédasique e où les paramères α0, α, β, vc, son des réels vérifian les conraines suivanes α 0 > 0,α 0, β 0 e v >. Le erme = E ε ε désigne (à un faceur consan près) la variance condiionnelle du résidu ε e donc des rendemens r. On suppose que l on dispose de la série isorique des rendemens { r,.., r T } observés enre les daes = e = T. Soien ˆ α ˆ 0, ˆ α ˆˆ, β, vc, des esimaeurs convergens (du maximum de vraisemblance par exemple) des paramères α 0, α, β, vc, (voir fice Modèle GARCH). Soi une condiion iniiale sur le processus de variance condiionnelle (dans le cadre de nos programmes cee condiion iniiale es fixée de façon arbiraire au niveau de la variance non condiionnelle). A parir de ces différens élémens, il es possible de prévoir la variance condiionnelle des rendemens pour la dae T + de la façon suivane : soi encore ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ T α + 0 αε + + T βt avec donné ( ) ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ T α + 0 α r T c + + βt avec donné On noe VAR ( α) la prévision de la Value-a-Risk de niveau α anicipée pour la dae T+ T T + condiionnellemen à l informaion disponible à la dae T. Par définiion de la Value-a- Risk (cf. Fice Définiion de la Value-a-Risk), on a : Pr rt VAR ( α) + < Ω T T T = α +

12 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée On en dédui immédiaemen que : Pr z T+ VAR ( α) c T+ T < Ω T = α T + En remplaçan le paramère c par sa valeur esimée e la variance condiionnelle T + par sa valeur anicipée ˆT +, il vien : Pr z T+ ˆ VAR ( α) c T+ T < Ω T = α ˆ T + Sacan que l on suppose que la disribuion condiionnelle des rendemens es une disribuion de Suden à v degrés de liberés de variance égale à v/ ( v ) v (cf. Fice Disribuion Condiionnelle), on peu en déduire immédiaemen une prévision du fracile de la disribuion condiionnelle valable pour la dae T +, c'es-à-dire de la Value-a-Risk. Soi G( x; v ) la foncion de répariion de la loi de Suden à v degrés de liberé. La prévision de Value-a-Risk es finalemen définie par la quanié suivane : ˆ ( ˆ) ˆ T + α VAR ( α) = G ; v + c + T T où ˆv désigne la valeur esimée du paramère v.. Prévisions ou of sample La séquence décrie dans la secion précédene perme d obenir une prévision ou of sample de Value-a-Risk, dans le sens où la prévision es réalisée pour une période qui se siue à l exérieur de l écanillon uilisé pour l esimaion des paramères du modèle GARCH. En effe, comme l indique la Figure, les paramères du modèle son esimés à parir des observaions des rendemens { r,.., r T }, andis que la prévision pore sur la Value-a-Risk de la période T +. Figure. Prévision Ou-of-Sample Esimaion Prévision T T+ emps 3

13 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Ainsi, à l issue de l exécuion de nos programmes, pour caque modèle GARCH, es reporée la prévision ou of sample de la Value-a-Risk pour la dae T+ à parir des données isoriques de rendemens fournies par l uilisaeur pour les dae à T+. Afin de valider un modèle de calcul e / ou de prévision de Value-a-Risk, il es couran de séparer l écanillon iniial en deux sous écanillons : un écanillon d esimaion e un écanillon de prévision. Cela perme ainsi d obenir une séquence de prévisions de Value-a-Risk e de les comparer aux rendemens isoriques afin noammen de mere en œuvre des ess de validaion (cf. Fice Tess de Validaion). Supposons que l on dispose au oal de T observaions des rendemens e que l on parage l écanillon en deux sous écanillons : le second écanillon, di écanillon de prévision, comprenan N observaions. Dans nos programmes, l écanillon de prévision correspond aux 5% des observaions les plus récenes : T N = N 4 A parir des T N observaions du premier écanillon (écanillon d esimaion), on esime le modèle GARCH e l on consrui une prévision ou of sample pour la première observaion de l écanillon de prévision. On obien ainsi une prévision de la Value-a-Risk pour la dae T-N+, noée VAR ( α). On peu alors reproduire cee procédure afin d obenir une séquence T N+ T N VAR ( α ) T + T de N prévisions, noées { } = T N. Pour cela différenes approces peuven êre uilisées. La plus évidene consise à ré-esimer le modèles des daes à T-N+ inclus, puis à réaliser une prévision pour la dae T-N+ e ainsi de suie (rolling esimae ou esimaion par fenêre glissane) comme l indique la Figure. Figure. Prévisions Ou-of-Sample e Esimaion Glissane ère Esimaion GARCH Prévision T-N T-N+ emps ème Esimaion GARCH Prévision T-N+ T-N+ 4

14 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée L inconvénien de cee méode es qu elle nécessie d esimer successivemen N modèles GARCH, ce qui peu prendre beaucoup de emps pour des modèles plus compliqués. C es pourquoi, afin de limier le emps de calcul sur nos serveurs, nos applicaions en ligne permeen de consruire un ensemble de prévisions ou of sample sans ré-esimer les paramères des modèles GARCH. On esime une fois pour oue les paramères sur l écanillon d esimaion (soie les 75% d observaions des daes à T N ) e l on consrui ensuie la séquence des variances condiionnelles sur l écanillon de prévision à parir desquelles son déduies les prévisions de Value-a-Risk. Formellemen, dans le cas d un modèle GARCH sous loi de Suden, si l on noe ˆ, ˆ, ˆ, vc ˆˆ, α0 α β les esimaeurs des paramères 0 α, α, β, vc, obenus sur l écanillon d esimaion, on consrui alors la séquence des variances condiionnelles { } = T N+ ( ) ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ α + 0 α r c + + β = T N +,.., T e l on en dédui les prévisions successives de Value-a-Risk : ˆ ( ˆ) ˆ + α VAR ( α) = G ; v + c = T N +,.., T + ˆ T comme sui : où G( x; v ) la foncion de répariion de la loi de Suden à v degrés de liberé. Ainsi on obien, sans ré-esimaion du modèle GARCH, une séquence de N prévisions de Value-a-Risk aux dae T N +,.., T comme l indique la Figure 3. Figure 3. Séquence de Prévisions Ou-of-Sample Esimaion Prévision T-N T-N+ emps Naurellemen une elle démarce suppose que le modèle GARCH esimé sur la période d esimaion soi sable sur la période de prévision. Mais cee ypoèse de sabilié du modèle sur les 5% dernières observaions es le prix à payer pour accélérer le raiemen informaique de nos applicaions. Rédaceurs : Cevreau Anoine, Godin Sylvain, Ivanof Miaela e Pain Anoine Correcion : Hurlin Crisope Maser ESA : Janvier 007 5

15 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice 4. Violaions de la Value-a-Risk e Expeced Sorfall A parir de la fin des années 90, plusieurs ess on éé proposés afin d évaluer la validié des mesures e des prévisions de Value-a-Risk. La plupar de ces ess de validaion son fondés sur les occurrences de violaions de la Value-a-Risk.. Violaions de la VaR Soi VaR ( α ) la Value-a-Risk pour un aux de couverure de α % prévue pour la dae condiionnellemen à un ensemble d informaion disponible à la dae, noé Ω. Formellemen, on noe : où FR ( u ) VaR ( α) FR ( α ) = Ω Ω désigne la foncion de répariion associée à la disribuion condiionnelle de peres e profis des rendemens de l acif financier (ou porefeuille), noés R. On défini la violaion comme une siuaion dans laquelle on observe ex-pos une pere plus imporane en valeur absolue que la VaR prévue ex-ane. Formellemen, il y a violaion si e seulemen si : ( ) R < VaR α Dans la praique, on défini souven une variable dicoomique associée à l occurrence d une violaion, appelée elle aussi violaion ou Hi funcion (Campbell, 006 ; Engle e Manganelli, 004) : si R < VaR I ( α) = 0 sinon ( α)

16 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée La séquence de violaions ou Hi (prenan successivemen les valeurs 0 ou ) idenifie les périodes pour lesquelles on observe une pere plus imporane en valeur absolue que la VaR anicipée, comme le monre l exemple de la Figure. Dans ce exemple, un rendemen ficif a éé iré dans une loi normale de moyenne égale à % e de variance égale à 4. A parir de ces irages, on a esimé une Value-a-Risk par une méode non paramérique die Méode Hybride, en uilisan un paramère de lissage égal à 0.95 (voir fice Méode Hybride). Comme on peu le consaer sur le grapique de la parie aue de la Figure, la VaR ainsi prévue n es pas consane (alors qu elle devrai éoriquemen l êre, la disribuion des peres e profis éan invariane dans le emps). Sur le grapique de la parie basse, son reporées les valeurs de la foncion de Hi prenan des valeurs ou 0. Lorsque la variable de Hi prend la valeur, cela indique une période de violaion. Figure. Grapique de Violaions (Hi Funcion) 0 Rendemens / VaR Rendemens VaR à 95% Daes 0.8 Violaions Daes. Expeced Sorfall Il es éviden qu en cas de violaion, il peu apparaîre réduceur de ne conserver au final comme informaion qu une variable indicarice prenan la valeur. Naurellemen, de nombreuses aures mesures on développés permean de prendre en compe l'ampleur des peres au-delà de la Value-a-Risk obenues en cas de violaions. La première mesure évidene es la TCE (Tail Condiional Expecaion) définie par l espérance condiionnelle de la pere en cas de violaion : TCEα ( R) = E R R < VaR( α)

17 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Une mesure alernaive es la mesure die de l Expeced Sorfall (ES). Cee mesure correspond à la moyenne des peres exrêmes elle que : α ESα ( R) = F ( p) dp α 0 où F (). désigne la foncion de répariion associée à la disribuion de peres e profis. Les deux mesures TCE e ES coïnciden dans le cas d une disribuion coninue. Les deux saisiques donnen finalemen une mesure de ce peuven êre les peres dans les pires éas du sysème financier. Un des avanages de l ES par rappor à la Value-a-Risk en an que mesure de risque es qu il s agi d une mesure coérene de risque au sens de Arzner e al. (997, 999). C es en pariculier une mesure qui vérifie l axiome de subaddiivié, conrairemen à la Value-a-Risk (voir fice Définiion de la Value-a-Risk). Rédaceurs : Cevreau Anoine, Godin Sylvain, Ivanof Miaela e Pain Anoine Correcion : Hurlin Crisope Maser ESA, Universié d Orléans : Janvier 007 3

18 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice 5. Méodes de Calcul de la Value-a-Risk On dénombre rois grandes classes de méodes de calcul de la VaR : Méodes Non-paramériques (Hisorical Simulaion, Weiged Hisorical Simulaion, Mone Carlo Simulaion, Filered Hisorical Simulaion...). Méodes Semi-paramériques (CAViaR, éorie des exrêmes). Méodes Paramériques Paramérique (ARCH, GARCH univarié, GARCH mulivarié, RiskMerics). Cee présenaion es inspirée de celle proposée par Dowd (005) ou Engle e Manganelli (00).. Les Méodes Non Paramériques Le principe général des méodes non paramériques d esimaion / prévision de la Value-a-Risk es que l on impose a priori aucune disribuion paramérique de peres e profis. Aui delà de ce poin commun, il exise une grande variéé de méodes non paramériques de calcul de la Value-a-Risk.. Hisorical Simulaion (HS) La simulaion isorique (Hisorical Simulaion, ou HS) es une méode rès simple d esimaion des mesures de risque fondée sur la disribuion empirique des données isoriques de rendemens. Formellemen, la VaR es esimée simplemen par lecure direce des fraciles empiriques des rendemens passés. Si l on considère par exemple un niveau de confiance de 95% e que l on dispose d un écanillon de 000 observaions isoriques de rendemens, la VaR es donnée par la valeur du rendemen qui correspond à la 50ème fore de pere... Boosrapped Hisorical Simulaion Une amélioraion simple de la méode HS consise à esimer la VaR à parir de données simulées par Boosrap. Le Boosrap consise à ré-écanillonner les données isoriques de rendemens avec

19 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée remise. Plus précisémen, dans nore conexe, la procédure consise à créer un grand nombre d écanillons de rendemens simulés, où caque observaion es obenue par irage au asard à parir de l écanillon original. Caque nouvel écanillon consiué de la sore perme d obenir une esimaion de la VaR par la méode HS sandard, e l on défini au final une esimaion en faisan la moyenne de ces esimaions basées sur les ré-écanillonnages..3 Simulaion Hisorique e Esimaion Non Paramérique de Densié Une aure amélioraion possible de la basic HS es d uiliser une esimaion non paramérique de la disribuion condiionnelle de peres e profis. On sai en effe que l isogramme associé aux réalisaions isoriques des rendemens n es pas un bon esimaeur d une foncion de densié. Des esimaeurs obenus par lissage, comme les esimaeurs à noyau, présenen généralemen de meilleures propriéés (Yacew, 00). Dans cee perspecive, la méode HS éendue consise à esimer par une méode de noyau la densié condiionnelle de peres e profis, puis de calculer à parir de cee densié esimée le fracile correspondan à la Value-a-Risk (Buler e Scacer, 998). Cela nous perme noammen d esimer la Value-a-Risk pour n impore quel niveau de confiance (e ainsi d évier les problèmes dus aux conraines imposées sur la aille des écanillons)...4. Weiged Hisorical Simulaion (WHS) La caracérisique essenielle de la méode HS radiionnelle es que l on accorde le même poids aux observaions isoriques, quelles soien relaivemen récenes ou au conraire rès anciennes. Concrèemen, si l on considère une esimaion HS de la Var à 5% à parir d une fenêre glissane de 000 observaions, cela revien à prendre le 50 ème rendemen le plus faible parmi les 000 observaions les plus récenes. Dès lors, dans cee esimaion oues les observaions isoriques de rendemen daées de plus de 000 périodes n inerviennen pas dans le calcul de le VaR, ou comme oues les observaions de moins de 000 périodes inerviennen avec la même poids dans la consrucion de l esimaion. Une approce alernaive consise à aribuer aux observaions de rendemens des poids en foncion soi de leur ancienneé, de la volailié observée des marcés, ou de ou aure faceur. Cee approce, qualifiée par le erme générique de WHS (Weiged Hisorical Simulaion) recouvre noammen : - La méode Aged-weiged HS où les poids dépenden de l ancienneé des observaions (Boudouk, Ricardson e Wielaw, 998). - La méode Volailiy-weiged HS où les poids dépenden de la volailié. L idée de base, suggérée

20 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée par Hulle e Wie (998) es de prendre en compe les cangemen récens de volailié. - La méode Correlaion-weiged HS où l on ajuse les rendemens passés de façon à ce qu ils reflèen les cangemens enre les corrélaions passées e fuures..5. Filered Hisorical Simulaion (FHS) La méode FHS es une forme de Boosrap semi-paramérique qui vise à combiner les avanages de la simulaion isorique avec la puissance e la flexibilié des modèles à volailié condiionnelle el que le modèle GARCH. Elle consise à faire un Boosrap sur les rendemens dans un cadre de volailié condiionnelle, le Boosrap préservan la naure non paramérique de la simulaion isorique, e le modèle à volailié condiionnelle donnan un raiemen sopisiqué de la volailié..6. La méode de Mone Carlo La méode de Mone Carlo consise à simuler un grand nombre de fois les comporemens fuurs possibles des faceurs de risque selon un cerain nombre d ypoèses, e d en déduire une disribuion des peres e profis à parir de laquelle on esime finalemen un fracile. Si cee approce peu s appliquer, en éorie, quelles que soien les lois de probabilié suivies par les faceurs de risque, elle es courammen uilisée en praique, pour des raisons ecniques, en supposan que les variaions relaives des paramères de marcé suiven des lois normales. Cee méode convien égalemen à ous les ypes d insrumens, y compris opionnels, e perme de eser de nombreux scénarios e d y inclure expliciemen des queues de disribuion épaisses (événemens exrêmes pris en compe dans une ceraine mesure).. Les Méodes Semi-Paramériques.. Téorie des Valeurs Exrêmes Parmi les méodes semi-paramériques figuren ou d abord l ensemble des méodes e approces qui relèven de la éorie des exrêmes (EVT) qui diffère de la éorie saisique abiuelle fondée pour l esseniel sur des raisonnemens de ype endance cenrale. Les exrêmes son en effe gouvernés par des éorèmes spécifiques qui permeen d éablir sous différenes ypoèses la disribuion suivie par ces exrêmes. Il exise deux principales brances de la éorie des valeurs exrêmes : la éorie des valeurs exrêmes généralisée e la loi de Pareo généralisée (ou l approce POT - peaks-over-resold ). L approce POT perme l éude de la disribuion des peres excessives au dessus d un seuil (élevé), andis que la éorie des valeurs exrêmes généralisée perme de modéliser le maximum ou le minimum d un rès grand écanillon. 3

21 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée.. L approce par régression sur quaniles CAViaR Une seconde grande caégorie de méodes semi-paramériques uilisées acuellemen pour le calcul e la prévision de la Value-a-Risk relève plus généralemen de l approce de la régression quanile. L idée es la suivane : pluô que de modéliser une disribuion e d en déduire un quanile (la Value-a-Risk), cee approce consise à modéliser direcemen le quanile lui-même en uilisan des méodes de régression quanile. Un exemple de ces méodes es le modèle Condiional Auoregressive Value a Risk (CAViaR) de Engle e Manganelli (004), qui spécifie commen la dynamique auorégressive pour le quanile condiionnel. 3. Les Méodes Paramériques La déerminaion de la VaR paramérique se fai au moyen d un calcul analyique relaivemen aisé en praique mais sous des ypoèses éoriques assez conraignanes, l exemple le plus connu d un el modèle éan sans doue RiskMerics. Les principales ypoèses simplificarices consisen à supposer, d une par, que les lois de probabilié qui régissen les disribuions des variaions des prix de marcé son normales e, d aure par, que les insrumens présenen un profil de risque linéaire. Sous ces ypoèses, la marice de variances/covariances peu êre appliquée assez direcemen aux posiions déenues pour calculer la VaR. Les calculs uilisés dans la méode RiskMerics son rapides e simples, e requièren uniquemen la connaissance de la marice des variances/covariances des rendemens du porefeuille. Néanmoins, cee méode s avère êre inadapée aux porefeuilles non linéaires (insrumens opionnels), e éoriquemen peu adapée aux queues de disribuion épaisses e aux disribuions non normales des rendemens. Enfin, figuren parmi les méodes paramériques l ensemble des méodes de calcul e de prévision de la VaR fondées sur des modèles GARCH univariés ou mulivariés (Engle, 00). Ces modèles permeen de modéliser e de prévoir la variance condiionnelle de la disribuion de peres e profis, ce qui perme dans un second emps d en déduire une modélisaion ou une prévision de la Value-a- Risk sous un cerain nombre d ypoèse sur la disribuion condiionnelle des rendemens. Rédaceurs : Albayrak Adem e Arnoul Benoi Maser ESA, Universié d Orléans : Janvier 007 4

22 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice 6. Modèle GARCH Le modèle GARCH (General Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) a éé inrodui par Bollerslev (986). C es une exension du modèle ARCH iniialemen développé par Engle (00). Ces modèles permeen une represenaion auorgressive de la variance condiionnelle d un processus, ce qui perme de les uiliser noammen à des fins de prévisions de la volailié sur les marcés financiers.. Présenaion du Modèle GARCH L écriure du modèle GARCH pore sur la variance condiionnelle du processus considéré. Soi un processus y, d espérance E( y ) = 0 processus s écri sous la forme suivane :, saisfaisan une représenaion de ype GARCH (p,q). Ce y = c + ε ε = z où q p = α0 + αε i i + βi i i= i= z désigne un brui blanc faible omoscédasique el que E ( ) = 0 e z Var ( z ) σ z = e où les paramères αi, β son des réels. De façon usuelle, la quanié i désigne la variance condiionnelle du processus V y y V ε = où y désigne l ensemble des valeurs = ε y elle que ( ) ( ) passées{ y,.., y 0 }. Afin de garanir la posiivié de la variance condiionnelle, on suppose que α >, αi 0, i =,..., q, βi 0, i =,..., p. 0 0

23 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée. Esimaion des Paramères Les paramères du modèle GARCH peuven êre esimés selon différenes méodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méode des momens ec. (pour plus de déails, voir Gouriéroux, 997). Les méodes généralemen reenues son celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L avanage du PMV réside dans le fai que l esimaeur obenu converge malgré une mauvaise spécificaion (supposée normale) de la disribuion condiionnelle des résidus, à condiion que la loi spécifiée apparienne à la famille des lois exponenielles (Gouriéroux e Monfor, 989). Ainsi, l esimaeur du MV obenu sous l ypoèse de normalié des résidus e l esimaeur du PMV son ideniques, seules leurs lois asympoiques respecives diffèren. Touefois dans les deux cas (MV ou PMV), sous les ypoèses sandards, l esimaeur es asympoiquemen convergen e asympoiquemen normal. Considérons le cas d un modèle GARCH(,) sous l ypoèse de normalié des innovaions. y = c + ε ε = z = α + αε + β 0 z i.i.d. N(0,) où les variables z son ideniquemen e indépendammen disribuées (i.i.d.) selon une loi normale cenrée e réduie. La foncion de log-vraisemblance associée à un écanillon de T observaions { y,.., } y T obenue sous l ypoèse de normalié de la loi condiionnelle de y sacan son propre passé s écri : T [ y m θ ] T T ( ) ² log L( θ) = log( π) log( ( θ)) ( θ ) = = où θ désigne l ensemble des paramères du modèle, m ( θ ) désigne l espérance condiionnelle e ( θ ) désigne la variance condiionnelle. Dans le cas du modèle GARCH(,) présené ci-dessus : m ( ) θ = c ( ) θ = α + α ε + β 0

24 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Les esimaeurs du maximum de vraisemblance son alors obenus par résoluion analyique d un sysème de K = p + q + (nombre de paramères à esimer) équaions non linéaires : log L( θ ) θ ² log L( θ ) < 0 θ ² θ =θˆ Dans le cas général du PMV, l esimaeur du PMV es asympoiquemen convergen e normal (Gouriéroux, 997). T ( ˆ θ θ ) N J = E 0 d T θ =θˆ = 0 ( 0, J IJ ) ² log L( θ ) θ θ ' log L( θ ) log L( θ ) I = E0 θ θ ' où E 0 désigne l espérance prise par rappor à la vraie loi. Si la vraie disribuion des erreurs es une loi normale (cas du MV) alors I = J. 3. Problèmes de convergence e coix des condiions iniiales Il n exise pas de soluion analyique à la maximisaion de la vraisemblance dans le cas général des modèles GARCH. On doi donc recourir à une opimisaion numérique de la vraisemblance ou de la pseudo vraisemblance suivan les cas. Dans la praique, se pose alors le problème de la convergence de l algorime d opimisaion reenu e plus spécifiquemen du problème du coix de condiions iniiales. En ce qui concerne l algorime d opimisaion, deux coix son disponibles dans le cadre de la procédure MODEL sous SAS uilisée pour esimer les modèles GARCH : la méode de Gauss Newon Rapson e la méode de Marquard Levenberg. C es cee dernière qui es uilisée dans nos programmes. Pour ce algorime, nous avons reenu pour condiions iniiales sur les paramères α i e β i les valeurs esimées dans le cas d un modèle GARCH sous ypoèse de normalié. 3

25 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée 4. Exemple Considérons l exemple d un modèle GARCH(,) esimé à parir de la série des rendemens quoidien du Dow Jones sur la période 0 ocobre 996 au 6 novembre 006. On considère ici une procédure de maximum de vraisemblance sous une ypoèse de disribuion condiionnelle normale. On noe rd la série de rendemen. Soi le modèle suivan. rd = c + ε ε = z = α + αε + β 0 z i.i.d. N(0,) La sorie SAS issue de la procédure MODEL reenue (Hurlin, 006) débue par un ensemble d informaions fournies sur la srucure du modèle. Te Equaion o Esimae is rd = VAR(rd) = F(inercep()) H(alpa0, alpa, bea, inercep) Il s agi d informaions poran sur l écriure du modèle qui rappelle que l espérance du rendemen es une consane e que la variance condiionnelle du rendemen, c es-à-dire le processus, s écri comme une foncion des paramères α0, α e β. NOTE: A FIML Ieraion 7 CONVERGE=0.00 Crieria Me. Puis, la sorie indique que l algorime d opimisaion numérique a convergé au bou de 7 iéraions, selon un crière d arrê de la convergence de Enfin, différenes informaions son fournies quan à l ajusemen du modèle (voir PROC MODEL). 4

26 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Final Convergence Crieria R PPC(arc) RPC(arc) Objec 4.E-6 Trace(S) Gradien norm Log likeliood La log vraisemblance es ici égale à -847, puisqu il es imporan de préciser que SAS minimise l opposé de la foncion de vraisemblance. Ce ableau fourni en oure parmi un ensemble d informaions, la valeur de la norme du gradien de la log-vraisemblance au poin opimal. Enfin, figuren les résulas à propremen parler de la pase d esimaion des paramères du modèle GARCH. Nonlinear FIML Parameer Esimaes Parameer Esimae Approx Sd Err Value Approx Pr > inercep arc0.553e E <.000 arc <.000 5

27 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Nonlinear FIML Parameer Esimaes Parameer Esimae Approx Sd Err Value Approx Pr > garc <.000 Dans ce ableau, figure en première la réalisaion des esimaeurs du MV de cacun des paramères. Dans la seconde colonne, figure la réalisaion de l esimaeur de l écar ype asympoique de l esimaeur du MV, à parir de laquelle es consruie la valeur de la saisique de Suden associée au es du nullié du paramère considéré (roisième colonne). Enfin, figure dans la dernière colonne la p-value associée à la loi asympoique de la saisique de Suden. Rappelons que pour un risque de première espèce de α %, si la p-value es inférieure au seuil de α %, on es condui à rejeer l ypoèse nulle de nullié du coefficien. Le coefficien es donc significaivemen différen de zéro. On observe que dans le cas de nore exemple, ous les paramères α 0, α e β son significaivemen différens de zéro au seuil de risque de %. A parir de ce modèle, on peu enfin proposer une esimaion de la variance condiionnelle, selon l équaion : ou encore = α + α ε + β ˆ 0 i où 0,, ( ˆ) = α + α rd c + β ˆ 0 i avec ĥ donné ˆ α ˆ α ˆ β désignen les esimaeurs du MV. Les valeurs esimées de la variance condiionnelle obenues dans nore exemple son reproduies sur la Figure suivane e renden bien compe des clusers de volailié, c'es-à-dire de la succession de périodes de urbulences e de calme sur le marcé considéré. 6

28 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Rédaceurs : Edwige Ballie, Carole Njoya e Sidina Medani Correcion : Hurlin Crisope Maser ESA. 4 Novembre 006 7

29 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Maser Economérie e Saisique Appliquée Universié d Orléans Sie Value-a-Risk p:// /esa_prof/index.pp Fice 7. Modèle EGARCH (Exponenial GARCH) Le modèle EGARCH (Exponenial General Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) a éé inrodui par Nelson (99). C es un modèle ARCH non linéaire qui perme de rendre compe de l asymérie dans la réponse de la variance condiionnelle à une innovaion. Plus précisémen, le modèle EGARCH auorise une forme d asymérie qui dépend non seulemen du signe posiif ou négaif de l innovaion, mais aussi de l ampliude de ce coc. Par ailleurs le modèle EGARCH présene en oure l avanage, par rappor au modèle GARCH sandard, de ne nécessier aucune resricion de non négaivié sur les paramères afin de garanir la posiivié de la variance condiionnelle.. Présenaion du Modèle EGARCH L écriure du modèle EGARCH pore sur le logarime de la variance condiionnelle du processus considéré. Soi un processus y, d espérance ( y ) c EGARCH(p,q). Ce processus s écri sous la forme suivane : y E =, saisfaisan une représenaion de ype = c + ε ε = z où log( ) = α g( z i q p 0 + α i g( z i ) + β i log( i ) i= i= ) = θ z + γ i ( z E z ) z désigne un brui blanc faible omoscédasique el que E ( ) = 0 e i i z Var ( z ) σ z = e où les paramères α i, β i, γ e θ son des réels. De façon usuelle, la quanié désigne la variance

30 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée condiionnelle du processus valeurs passées { y,.., y 0 }. y elle que V ( y y ) = V ( ε ) = ε où y désigne l ensemble des La valeur de E z i dépend naurellemen de la loi supposée de z. Pour les lois usuelles reenues dans nos applicaions, cee quanié es définie de la façon suivane : Loi Normale: E z = π Loi de Suden (v) : E z = Γ( v ) v π ( v ) Γ( v ) où Γ (). désigne la foncion gamma. Loi GED (v) : E z = Γ( v) Γ( v) Γ(3 v) Dans le cas du modèle EGARCH, il es inuile d imposer des conraines sur les paramères pour saisfaire la condiion de posiivié de la variance condiionnelle en raison de son écriure logarimique. Le paramère θ perme de modéliser un effe asymérique lié au signe de l innovaion z. Si θ > 0 (respecivemen si θ < 0 ), un coc posiif sur la variance condiionnelle à la dae se raduira à la dae + par une augmenaion (respecivemen une diminuion) de la variance condiionnelle, c'es-à-dire de la volailié, du processus y. Le paramère γ perme de prendre en compe une asymérie liée à l ampliude de l innovaion z mesurée par l écar z E z. Si γ = 0, alors une innovaion posiive aura le même effe (en valeur absolue) sur la variance condiionnelle qu une innovaion négaive. En revance, si γ > 0 un coc de fore d ampliude aura relaivemen plus d effe (en valeur absolue) sur la variance condiionnelle qu un coc de faible ampleur.. Esimaion des Paramères Les paramères du modèle EGARCH peuven êre esimés selon différenes méodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méode des momens ec. (pour

31 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée plus de déails, voir Gouriéroux, 997). Les méodes généralemen reenues son celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L avanage du PMV réside dans le fai que l esimaeur obenu converge malgré une mauvaise spécificaion (supposée normale) de la disribuion condiionnelle des résidus, à condiion que la loi spécifiée apparienne à la famille des lois exponenielles (Gouriéroux e Monfor, 989). Ainsi, l esimaeur du MV obenu sous l ypoèse de normalié des résidus e l esimaeur du PMV son ideniques, seules leurs lois asympoiques respecives diffèren. Touefois dans les deux cas (MV ou PMV), sous les ypoèses sandards, l esimaeur es asympoiquemen convergen e asympoiquemen normal. Considérons le cas d un modèle EGARCH(,) sous l ypoèse de normalié des innovaions. y = c + ε ε = z exp( α 0 + αθ z + α ( z π ) + β log( )) = z i.i.d. N(0,) où les variables z son ideniquemen e indépendammen disribuées (i.i.d.) selon une loi normale cenrée e réduie. Le paramère γ a éé normalisé à puisque dans le cas du EGARCH(,) il y a 4 régresseurs e 5 paramères à esimer. La foncion de log-vraisemblance associée à un écanillon de T observaions { y,.., } y sacan son propre passé s écri : y T obenue sous l ypoèse de normalié de la loi condiionnelle de T log L( ρ ) = log(π ) T log( ( ρ)) T [ y m ( ρ) ] = = ( ρ) où ρ désigne l ensemble des paramères du modèle, m (ρ) désigne l espérance condiionnelle e (ρ) désigne la variance condiionnelle. Dans le cas du modèle EGARCH(,) présené ci-dessus : m ( ρ ) = c ( ρ ) α + α z + α ( z π ) β log( )) = + exp( 0 ² Les esimaeurs du maximum de vraisemblance son alors obenus par résoluion analyique d un sysème de K = p + q + (nombre de paramères à esimer) équaions non linéaires : 3

32 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée log L( ρ) ρ ρ= ˆ ρ log L( ρ) ρ ρ= ˆ ρ Dans le cas général du PMV, l esimaeur du PMV es asympoiquemen convergen e normal (Gouriéroux, 997). d = 0 < 0 ( ) T( ˆ ρ ρ) N 0, J IJ T J ²log L( ρ) = E0 ρρ ' I log L( ρ) log L( ρ) ρ ρ' = E0 où E 0 désigne l espérance prise par rappor à la vraie loi. Si la vraie disribuion des erreurs es une loi normale (cas du MV) alors I = J. 3. Problèmes de convergence e coix des condiions iniiales Il n exise pas de soluion analyique à la maximisaion de la vraisemblance dans le cas général des modèles GARCH. On doi donc recourir à une opimisaion numérique de la vraisemblance ou de la pseudo vraisemblance suivan les cas. Dans la praique, se pose alors le problème de la convergence de l algorime d opimisaion reenu e plus spécifiquemen du problème du coix des condiions iniiales. En ce qui concerne l algorime d opimisaion, deux coix son disponibles dans le cadre de la procédure MODEL sous SAS uilisée pour esimer les modèles GARCH : la méode de Gauss Newon Rapson e la méode de Marquard Levenberg. C es cee dernière qui es uilisée dans nos programmes. Pour ce algorime, nous avons reenu pour condiions iniiales sur les paramères α i e β i les valeurs esimées dans le cas d un modèle GARCH sous ypoèse de normalié. Concernan le paramère θ, non définis dans un modèle GARCH, nous considérons une condiion iniiale fixée à 0, iniialisan ainsi l algorime d opimisaion sur un modèle symérique. 4

33 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée 4. Exemple Considérons l exemple d un modèle EGARCH(,) esimé à parir de la série des rendemens quoidiens du Nasdaq sur la période allan du er janvier 996 au 3 ocobre 006. On considère ici une procédure de maximum de vraisemblance sous une ypoèse de disribuion condiionnelle normale. On noe rd la série de rendemen. Soi le modèle suivan. rd = c + ε ε = z = 0 + exp( α + αθ z + α ( z π ) β log( )) z i.i.d. N(0,) La sorie SAS issue de la procédure MODEL reenue (Hurlin, 006) débue par un ensemble d informaions fournies sur la srucure du modèle. Te Equaion o Esimae is rd = VAR(rd) = F(inercep()) H(alpa0, alpa, bea, ea, inercep) Il s agi d informaions poran sur l écriure du modèle qui rappelle que l espérance du rendemen es une consane e que la variance condiionnelle du rendemen, c es-à-dire le processus, s écri comme une foncion des paramères α 0, α, θ e β. NOTE: A FIML Ieraion 40 CONVERGE=0.00 Crieria Me. A warning in e log indicaes a possible problem wi e model. Puis, la sorie indique que l algorime d opimisaion numérique a convergé au bou de 40 iéraions, selon un crière d arrê de la convergence de Enfin, différenes informaions son fournies quan à l ajusemen du modèle (voir PROC MODEL). Final Convergence Crieria R

34 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Final Convergence Crieria PPC(inercep) RPC(inercep) Objec.589 E -6 Trace(S) Gradien norm Log likeliood Lambda E-7 La log vraisemblance es ici égale à -766 puisqu il es imporan de préciser que SAS minimise l opposé de la foncion de vraisemblance. Ce ableau fourni en oure parmi un ensemble d informaions, la valeur de la norme du gradien de la log-vraisemblance au poin opimal. Enfin, figuren les résulas à propremen parler de la pase d esimaion des paramères du modèle EGARCH. Esimaions FIML Parameer non linéaires Parameer Esimaion Erreur sandard appr. Valeur du es Approx Pr > alpa <.000 alpa <.000 bea <.000 ea <.000 inercep Dans ce ableau, figure en deuxième colonne la réalisaion des esimaeurs du MV de cacun des paramères. Dans la roisième colonne, figure la réalisaion de l esimaeur de l écar ype 6

35 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée asympoique de l esimaeur du MV, à parir de laquelle es consruie la valeur de la saisique de Suden associée au es du nullié du paramère considéré (quarième colonne). Enfin, figure dans la dernière colonne la p-value associée à la loi asympoique de la saisique de Suden. Rappelons que pour un risque de première espèce de α %, si la p-value es inférieure au seuil de α %, on es condui à rejeer l ypoèse nulle de nullié du coefficien. Le coefficien es donc significaivemen différen de zéro. On observe que dans le cas de nore exemple, les paramères α 0, α, β e ϑ son significaivemen différens de zéro au seuil de risque de %. La consane es quand à elle significaive pour un risque de première espèce de 7%. A parir de ce modèle, on peu enfin proposer une esimaion de la variance condiionnelle, selon l équaion : ˆ = exp( ˆ α + ˆ αθˆz + ˆ α ( z π) + ˆ β log( ˆ )) 0 où ˆ α ˆ 0, ˆ α, β e ϑˆ désignen les esimaeurs du MV e où ĥ es donnée. Les valeurs esimées de la variance condiionnelle obenues dans nore exemple son reproduies sur la Figure e renden bien compe des clusers de volailié, c'es-à-dire de la succession de périodes de urbulences e de calme sur le marcé considéré. 7

36 Sie Value-a-Risk. Maser Economérie e Saisique Appliquée Rédaceurs : Oureville Séverine e Guillaumin Claire Correcion : Hurlin Crisope 8