MAITRISE ECONOMIE APPLIQUEE ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Filières : Economie Internationale, Monnaie, Finance

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1 UNIVERSITE DE PARIS-DAUPHINE Février 2004 MAITRISE ECONOMIE APPLIQUEE ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Filières : Economie Inernaionale, Monnaie, Finance Noes de Cours Auorisées, seules les calcularices sans mémoire son auorisées Les rois exercices son indépendans. Exercice I (5 ps) : Prévision de venes d une marque de cigaree Soi les venes en Espagne d une marque de cigaree connue mensuellemen de janvier 1999 à ocobre On vous demande à parir des élémens donnés de calculer une prévision pour les mois de novembre e décembre La série VENTESSA désigne la série des venes corrigées des variaions saisonnières. Quesion 1 : Tesez la présence la non saionnarié de la série VENTESSA à parir des différens résulas fournis. Modèle [1] ADF Tes Saisic % Criical Value* 5% Criical Value 10% Criical Value Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(VENTESSA) Included observaions: 57 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. VENTESSA(-1) Modèle [2] ADF Tes Saisic % Criical Value* 5% Criical Value 10% Criical Value Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(VENTESSA) Included observaions: 57 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. VENTESSA(-1) C

2 Modèle [3] ADF Tes Saisic % Criical Value* 5% Criical Value 10% Criical Value Augmened Dickey-Fuller Tes Equaion Dependen Variable: D(VENTESSA) Included observaions: 57 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. VENTESSA(-1) C Dependen Variable: VENTESSA Mehod: Leas Squares Included observaions: 58 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C TEMPS R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 1.21E+11 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) 000 Quesion 2 : A parir des élémens fournis, proposez une représenaion saisique possible pour la série D(VENTESSA) définie par l accroissemen de la série VENTESSA. Vous jusifierez rès précisémen vore réponse. Corrélogramme D(VENTESSA) Sample: 1999: :10 Included observaions: 57 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob ****. **** *. ***** **** ***. ** *..* ** **.. ** * **. * **. ** *..* **. * ***..* **. * *..*

3 Quesion 3 : On se propose d esimer un modèle AR(2) pour la série D(VENTESSA). A parir des résulas d esimaion, consruisez une prévision sur la variaion des venes pour les mois de novembre e décembre A parir de ces résulas, consruisez deux prévisions pour les niveaux des venes pour les mois de novembre e décembre Dependen Variable: D(VENTESSA) Sample(adjused): 1999: :10 Included observaions: 55 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. AR(1) AR(2) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 1.05E+11 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) 000 Invered AR Roos i i Données Brues DATE VENTESSA 2003: : : : Quesion 4 : On adme que la série corrigée des variaions saisonnières correspond à la série brue divisée par un coefficien saisonnier (ableau ci-dessous). A parir des prévisions sur la série corrigée, calculez la prévision sur la série brue pour le mois de novembre Adjused Series: VENTESSA = VENTE CVS Coefficiens saisonniers:

4 Exercice II (8 ps) : Relaion enre l offre de monnaie e le aux d inérê en Allemagne (Source Thomas R.L. «Modern Economerics», Addison Wesley 1997). Les données son rimesrielles de 1982 à 1999 soi 72 observaions. Soi : LM = Le logarihme de l offre de monnaie LR = Le logarihme de la variable R (avec R = 1 + i / 100 e i = aux d inérê). Quesion 1 : On esime le modèle VAR(1) suivan à parir duquel on consrui les quare IRF suivan. Donnez deux preuves de la non saionnarié de cee représenaion. Sample(adjused): 1982:2 1999:4 Included observaions: 71 afer adjusing Sandard errors & -saisics in parenheses LM LR LM(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) LR(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) ( ) R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equaion Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependen S.D. dependen Response of LM o One S.D. Innovaions Response of LR o One S.D. Innovaions LM LR LM LR 4

5 Quesion 2 : On adme que les deux séries LM e LR son I(1), nous procédons au es de coinégraion de Johansen-Jusellius Sample: 1982:1 1999:4 Included observaions: 70 Tes assumpion: Linear deerminisic rend in he daa Series: LM LR Lags inerval: 1 o 1 Likelihood 5 Percen 1 Percen Hypohesized Eigenvalue Raio Criical Value Criical Value No. of CE(s) None * 5.15E E A mos 1 Les variables son elles coinégrées? Ecrivez précisémen la spécificaion uilisée pour effecuer ce es. Quesion 3 : Nous esimons le modèle VAR(1) suivan en différence. A parir de ces élémens, on vous demande de calculer une prévision pour D(LM) e D(LR) à l horizon de deux périodes (2000:1 e 2000:2) assories d un inervalle de prévision à 95%. Puis d en déduire une prévision pour LM e LR. Sample(adjused): 1982:3 1999:4 Included observaions: 70 afer adjusing Sandard errors & -saisics in parenheses D(LM) D(LR) D(LM(-1)) ( ) ( ) ( ) ( ) D(LR(-1)) ( ) ( ) ( ) ( ) C ( ) (67) ( ) ( ) DATE LM LR D(LM) D(LR) 1999: : : : Quesion 4 : A la lecure des foncions de réponses impulsionnelles, on vous demande d analyser précisémen les liens dynamiques enre les accroissemens de l offre de monnaie e des aux d inérê. Vous insiserez ou pariculièremen sur le schéma d orhogonalisaion des chocs reenus pour mener à bien cee analyse e les conséquences qui en découlen. 5

6 Response of D(LM) o One S.D. Innovaions Response of D(LR) o One S.D. Innovaions D(LM) D(LR) D(LM) D(LR) Response of D(LM) o One S.D. Innovaions Response of D(LR) o One S.D. Innovaions D(LM) D(LR) D(LM) D(LR) Exercice III (7 ps) : Un peu de echnique On considère un processus ARMA(1,1) el que : où le processus X 2 ε es i. d. ( 0, σ ) i.. ε 0.5X 1 = 2 + ε 0. 2ε 1 Quesion 1 : Eudiez les condiions de saionnarié e d inversibilié de ce processus. Calculez l espérance E ( X ) Quesion 2 : On adme que pour ou réel a < 1, si l on noe L l opéraeur reard on a : ( ) 1 1 al = i= Donnez une représenaion de ype moyenne mobile infinie du processus X. Monrez que cee représenaion se ramène à : 1 a i L i 6

7 X A quoi correspond cee représenaion? = 4 + ε i= 1 i ( 0.5) Quesion 3 : A parir de la définiion iniiale du processus, monrez que la foncion d auocovariance du processus X pour ou ordre k vérifie : γ ε i 2 () 1 = 0.5 γ ( 0) 0.2 k = 1 γ σ ε ( k) = 0.5γ ( k 1) k 2 Quesion 4 : Monrez que la foncion d auocorrélaion noée ρ ( k) du processus X vérifie les équaions de Yule e Walker. Résolvez cee équaion. Quelle es le profil de l auocorrélaion de ce processus ARMA(1,1) lorsque k varie de 1 à l infini? Quesion 5 : Rerouvez la foncion d auocorrélaion du processus obenue à la quesion 2. X à parir de l expression 7

8 Elémen du Corrigé Exercice I : Après jusificaion soigneuse par la sraégie de es séquenielle (2 ps), on conclue que le processus es un TS, la bonne méhode de prévision es donc l exrapolaion de la endance e de la saisonnalié (3 ps). Daes VENTESSA PREVUES CS VENTES PREVUES nov ,41 0, ,202 déc ,5 1, ,525 Exercice II : 1) Les racines du VAR son à l inérieur (j ai perdu le fichier du calcul e j ai la flemme de le refaire!) du cercle unié du plan complexe e les foncions de réponses impulsionnelles ne convergen pas vers 0. 2 ps 2) Pas de relaion de coinégraion. 1 p Le modèle esé s écri : D(LM) = α0 + α1 D(LM(-1)) + α2 D(LR(-1)) + β *(LM(-1) a1*lr(-1) a0) + ε 1 p 3) DATE LM LR D(LM) Ecars ypes D(LR) Ecars ypes 1999:4 5, , , , :1 5, , , , , , :2 5, , , , , , Inervalle de confiance D(LM) Inervalle de confiance D(LR) IC1 IC2 IC1 IC2 0, , , , , , , , p = Pour Prévision de D(LM) e D(LR) 2 ps = Pour inervalle de confiance 1 p = Pour prévision LM e LR 8

9 4) Puisque le es de Granger indique que LR cause LM e sans réciproque, seules les premières foncions de réponses impulsionnelles son à inerpréer (1 p) Le aux d inérê influence l offre de monnaie mais pas réciproquemen, un choc sur le aux d inérê a un effe négaif immédia sur l offre de monnaie e s esompe rès rapidemen. Un choc d offre de monnaie a un effe négaif le rimesre suivan e s esompe rès rapidemen. (1 p) Exercice III : - x = - x -1 + ε soi (1 + B) x = ε T = x = (1 - B) x D où x = (1 - B) -1 T. En remplaçan ce résula dans l équaion de dépar, nous obenons : (1 + B) (1 - B) -1 T = ε Soi : (1 + B) T = (1 - B) ε T = -T -1 + ε - ε -1 Ce processus a pour racine -1 pour son polynôme opéraeur de sa parie AR e pour racine 1 pour son polynôme opéraeur de sa parie MA. Il es donc non saionnaire e non inversible. 1 p - x = a + b + ε v = x = (1 - B) x = [a + b + ε - a ( - 1) - b - ε -1 )] v = a +(1 - B) ε Ce processus es un MA(1) avec consane donc saionnaire, par définiion, e non inversible puisque le polynôme opéraeur de sa parie MA a pour racine B = 1. 1 p - x = a 2 + b + c + ε v = 2 x = (1 - B) 2 x = (1 - B) [(1 - B) x ] = (1 - B) w w = x - x -1 = a 2 + b + c + ε - a (-1) 2 - b (-1) - c - ε -1 w = 2 a + b - a + ε - ε -1 v = (1 - B) w = w - w -1 v = 2 a + b - a + ε - ε -1-2 a ( - 1) - b + a - ε -1 + ε -2 v = 2 a + ε - 2 ε -1 + ε -2 v = 2 a + (1-2 B + B 2 )ε = 2 a + (1 - B) 2 ε Ce processus es un MA(2) avec consane donc saionnaire, par définiion, e non inversible puisque le polynôme opéraeur de sa parie MA a pour racine double B = 1. 3 ps 9

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