Quelle structure de dépendance pour un générateur de scenarios économiques en assurance? Impact sur le besoin en capital

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1 Quelle srucure e épenance pour un généraeur e scenarios économiques en assurance? Impac sur le besoin en capial - Kamal ARMEL (Telecom Breagne EURIA) - Aymric KAMEGA (Universié Lyon, Laboraoire SAF, Winer & Associés) - Frééric PLANCHET (Universié Lyon, Laboraoire SAF, Winer & Associés) 00.5 (WP 34) Laboraoire SAF 50 Avenue Tony Garnier Lyon ceex 07 hp://

2 QUELLE STRUCTURE DE DEPENDANCE POUR UN GENERATEUR DE SCENARIOS ECONOMIQUES EN ASSURANCE? IMPACT SUR LE BESOIN EN CAPITAL Version.0 u /08/00 Kamal Armel Frééric Planche Aymric Kamega Universié e Lyon, universié Lyon ISFA - Laboraoire SAF WINTER & Associés TELECOM Breagne + EURIA ++ RESUME Ce aricle propose une analyse héorique e empirique e l'impac u choix e la srucure e épenance inégrée à un généraeur e scénarios économiques sur le niveau u capial e solvabilié ans le care u isposiif Solvabilié. Kamal Armel es acuaire e ingénieur e l Ecole Naionale Supérieure es Télécommunicaion e Breagne. Conac : kamal.armel@elecom-breagne.eu. Frééric Planche e Aymric Kamega son membres u laboraoire SAF, EA n 49 e acuaires chez WINTER & Associés. Conac : fplanche@winer-associes.fr. Insiu e Science Financière e Assurances (ISFA) - 50 avenue Tony Garnier Lyon Ceex 07 - France. WINTER & Associés 55 avenue René Cassin Lyon - France. + Ecole Naionale Supérieure es Télécommunicaion e Breagne (TELECOM Breagne) Technopole Bres-Iroise 900 Bres. ++ EURo Insiu Acuaria (EURIA) - 6 avenue le Gorgeu - CS BREST Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - -

3 SOMMAIRE. INTRODUCTION STRUCTURE DE DEPENDANCE NON LINEAIRE Noaions Tau e Kenall Présenaion es copules paramériques reenues Copules ellipiques Copules archiméiennes Calibrage es copules paramériques Esimaion par le maximum e vraisemblance Procéure esimaion IFM Méhoe es momens : calibrage par le au e Kenall Consrucion e copules empiriques La copule e Deheuvels Esimaion empirique par les ensiés e probabilié Simulaion es moèles muli-variés CHOIX DE LA COPULE OPTIMALE Esimaion e calibrage es ensiés e probabilié empiriques Esimaion e la ensié e probabilié empirique Calibrage es ensiés marginales e e la ensié joine Foncions e répariion uni-variées e leurs inverses généralisés Esimaion e la copule empirique Calibrage es copules paramériques Calibrage e la copule gaussienne Calibrage e la copule e Suen Calibrage es copules e Cook-Johnson, Franck e Gumbel Crières e sélecion e la copule opimale APPLICATION ET ETUDE DE L IMPACT DU CHANGEMENT DE STRUCTURE DE DEPENDANCE Choix e la copule opimale : applicaion Présenaion es onnées uilisées Calibrage es ensiés e probabilié empiriques Calibrage es copules Choix e la copule opimale Éue e l impac : calibrage u moèle Éue e l impac : consrucion e projecions Projecion avec la copule gaussienne Projecion avec la copule e Cook-Johnson Éue e l impac : comparaison es copules gaussienne e e Cook-Johnson Composiion u porefeuille e présenaion es ouils e comparaison Comparaison e la VaR u porefeuille Comparaison u besoin e capial Comparaison u besoin e capial avec le SCR marché e la formule sanar u QIS5 (Solvabilié ) CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE... 3 Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - -

4 . INTRODUCTION PLANCHET e al. [009] éfinissen un scénario économique comme sui : «un scénario économique correspon à une projecion e graneurs économiques e financières sur un horizon inérê». Les généraeurs e scénarios économiques (GSE) peuven prouire es scénarios conenan les ifférens inicaeurs e l économie, els que les aux inérê, le aux inflaion es prix e es salaires, le aux e renemen obligaaire, le renemen es acions, le renemen e l immobilier, les aux e change ou encore le aux e chômage (cf. AHLGRIM e al. [005]). La projecion e ces inices financiers e macroéconomiques perme avoir une esimaion es valeurs fuures es couples renemens/risques es acifs gérés (acions, immobilier, obligaions ), e la valeur fuure u passif (provisions echniques, ees financières ) ou u niveau u risque e ruine. C es à ce ire que les GSE consiuen un exercice inconournable pour les moèles ALM en assurance vie ou DFA en assurance non vie, pour l évaluaion Embee Value (EV) ou encore pour la éerminaion un besoin e capial, noammen ans le care u isposiif Solvabilié. Si l ienificaion es risques à inégrer à un généraeur e scénarios économiques peu êre consiérée comme relaivemen abouie (cf. PLANCHET e al. [009] pour une présenaion synhéique e FALEH e al. [00] pour une iscussion sur l éa e l ar en la maière.), la crise financière e 008 a mis en évience ceraines faiblesses ans leur moélisaion. Deux élémens son ainsi mis en évience e von sans oue onner lieu à e nombreux éveloppemens ans les prochaines années : - la srucure e épenance enre les acifs ; - le risque e liquiié, inimemen associé à la gesion efficace es couverures financières. On s inéresse ici plus pariculièremen à la srucure e épenance reenue e aux conséquences e ce choix sur les résulas obenus pour le calcul u capial économique ou prueniel en référence à un crière e conrôle e la probabilié e ruine. La quasi-oalié es moèles acuels s appuien sur es srucures e épenance ans lesquels la corrélaion ien une place cenrale. De nombreux ravaux en finance, on on pourra rouver une synhèse ans KHAROUBI-RAKOTOMALALA [009], meen ouefois en évience le caracère ynamique e l inensié e la épenance e sa srucure non linéaire. EMBRECHTS e al. [999] lisen les principaux éfaus u coefficien e corrélaion. On rerouve noammen les eux poins suivans : - Le coefficien e corrélaion e eux variables aléaoires peu s annuler sans que les eux variables soien inépenanes. L exemple classique consise à consiérer une variable normale X N0, corrélaion es nulle bien que X e, e à calculer sa corrélaion avec la variable Y X X soien parfaiemen épenans. Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega La

5 - La corrélaion linéaire n es pas invariane par une ransformaion croissane non linéaire, ce qui signifie un poin e vue économique e informaionnel que le coefficien e corrélaion linéaire n es pas une mesure e épenance cohérene. Par exemple, EMBRECHTS e al. [999] affirme que la corrélaion enre un couple e variables (eux inices financiers) X e Y es en général ifférene e la corrélaion enre le couple e variables ln X e ln Y. Les coefficiens e corrélaion son ifférens alors que le conenu informaionnel ans les eux couples es le même. Par ailleurs, en praique, l inensié e la épenance augmene ans les siuaions éfavorables, ce qui limie l efficacié es mesures e iversificaion calibrées avec es srucures ne prenan pas en compe ce effe. L inroucion e srucures e épenance non linéaires inégran e la épenance e queue apparaî ainsi comme un élémen inconournable e l évoluion es généraeurs e scénarios économiques. Dans ce conexe, ARMEL [00] propose une émarche sysémaique pour la sélecion une copule aapée ans le care u moèle Ahlgrim (cf. AHLGRIM e al. [005]). Le présen aricle es organisé e la manière suivane : ans une première éape on présene un poin e vue formel le care e ravail proposé (cf. paries e 3) e la secone éape es consacrée à un exemple applicaion à parir un porefeuille acifs. L approche proposée consise à parir e onnées hisoriques un ensemble inices financiers e macroéconomiques pour éuier leur srucure e épenance. Cee éue conui à choisir, parmi un ensemble e copules, la copule aapée à ces onnées. Cee copule opimale peu alors êre uilisée pour projeer les inices en passan par un moèle écrivan leurs ynamiques. La figure suivane schémaise cee approche : Ensemble e copules : Gauss, Suen, Gumbel Données hisoriques es inices financiers. Choix u moèle mahémaique es inices financiers. Choix e la copule opimale parmi les copules présélecionnées. Calibrage u moèle mahémaique. Projecions e/ou exploiaion u moèle en prenan en compe la copule opimale. Fig. - Schéma e l approche globale Les inices financiers e macroéconomiques éuiés son le aux inflaion, le aux inérê à long erme, le aux inérê à cour erme, le renemen un invesissemen en acions e le renemen un invesissemen en immobilier. Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 4 -

6 . STRUCTURE DE DEPENDANCE NON LINEAIRE La escripion e la srucure e épenance u moèle es effecuée ici e manière naurelle via l uilisaion e copules. Une aenion pariculière es accorée aux cinq copules qui nous inéressen ans le care e cee éue, à savoir : la copule gaussienne, la copule e Suen, la copule e Frank, la copule e Gumbel e la copule e Cook-Johnson. Le leceur inéressé par es présenaions complèes e la héorie es copules pourra se référer aux livres e NELSON [999] ou e JOE [997]... NOTATIONS On rappelle qu une foncion : 0, 0, C es appelée copule e imension, ou simplemen copule, si C es (la resricion à 0, e) la foncion e répariion une variable aléaoire U U U,, à valeurs ans son e lois uniformes sur, C u P U u X X,, X, où les variables aléaoires 0 : pour ou u 0, une variable aléaoire à valeurs ans k, soi F k la foncion e répariion e U...,U. Soi alors e foncion e répariion F. Pour X k. Le héorème e Sklar (cf. SKLAR [959]) précise le lien que éfini la copule C enre les foncions e répariion marginales e la isribuion joine F :,,,, F x x C F x F x F,..., F pour ou x ) [999] ou SKLAR [959]. ( x,..., x. On peu rouver la émonsraion e ce héorème ans NELSON D aure par, il es rappelé que la corrélaion es une mesure aapée aux isribuions ellipiques. En ehors e ce univers, nous avons recours à aures inicaeurs e épenance comme le au e Kenall ou encore le rho e Spearman. L'iée es e généraliser la noion e corrélaion e e synhéiser, ans un inicaeur numérique, l'inensié u lien enre eux variables aléaoires. La secion suivane présene le au e Kenall... TAU DE KENDALL Le au e Kenall es une mesure e concorance bien connue en saisiques. Elle onne une mesure e la corrélaion enre les rangs es observaions, à la ifférence u coefficien e corrélaion linéaire qui lui apprécie la corrélaion enre les valeurs es observaions. Elle offre par ailleurs l avanage e s exprimer simplemen en foncion e la copule associée au couple e variables aléaoires. Pour plus e éail le leceur pourra se référer à EMBRECHTS e al. [00], DEMARTA e MCNEIL [004] e LINDSKOG e al. [003]. Soien, X X e X ', X ' eux couples e veceurs aléaoires e même loi, le au e Kenall es éfini par : Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 5 -

7 X, X P X X ' X X ' 0 P X X ' X X ' 0 qui es onc la ifférence enre la probabilié e concorance e celle e iscorance. Si C es la copule associée au couple X X l expression u au e Kenall evien :, X, X E C U, U 4 4 C u, u C u, u 4 C u, u C u, u u u. 0, 0, Si on ispose un échanillon observaions e aille T e consruire l esimaeur empirique suivan u au e Kenall : La foncion T j ˆ X, X sign x x x x T T j i j i j i X, X, x, x T sign z es égale à si z es posiif e à - si z es sricemen négaif., on peu.3. PRESENTATION DES COPULES PARAMETRIQUES RETENUES La recherche e la copule opimale es réalisée sur un ensemble e cinq copules sélecionnées a priori e présenées ans cee secion. Ce ensemble présélecionné compren eux familles e copules. On rerouve ainsi eux copules e la famille es copules ellipiques e rois copules e la famille es copules archiméiennes..3.. Copules ellipiques Soi M l ensemble es marices carrées réelles e aille ellipique e paramère e posiion. Une loi coninue es ie,, e e marice e forme symérique éfinie posiive M si sa ensié f peu s écrire pour ou x x x e f x g x x ',, : où l on ésigne par z ' la ransposée e z e g es une foncion à valeurs posiives vérifian g xx' x. On noe,,g cee famille e lois (ies ellipiques car les courbes e niveaux e la ensié son en général es ellipses). La loi es ie sphérique si k 0 e I es la marice unié e M ki où. Les lois ellipiques associées à la même foncion g fon parie e la même famille ellipique, ans laquelle on isingue le représenan Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 6 -

8 sanar (cenré réui) pour lequel 0 e I «marice e corrélaion».. On appellera par la suie la marice la La loi un veceur gaussien es un exemple classique e loi ellipique, associé au choix / exp y / g y. Ces lois vérifien, comme les veceurs gaussiens, es propriéés algébriques inéressanes. La propriéé la plus imporane es que les lois ellipiques formen une classe sable par ransformaion affine. Pour une présenaion éaillée e ces lois, le leceur pourra se référer à FANG e al. [990]. Les copules ellipiques son éfinies à parir es familles es lois ellipiques. Une copule es ie ellipique si elle es la copule une loi ellipique. On en consière ici eux cas pariculiers, la copule gaussienne e la copule e Suen..3.. La copule gaussienne La copule gaussienne ne présene pas e épenance e queue e n es onc pas aapée à es valeurs exrêmes. L imporance e cee copule résie ans le fai qu elle es sous-jacene à la isribuion normale muli-variée. En effe, moéliser la srucure e épenance un échanillon par une copule gaussienne es cohéren avec la mesure e cee épenance par le coefficien e corrélaion linéaire. La foncion e isribuion e la copule gaussienne - imensionnelle, s écri pour ou,,, La foncion e isribuion es l inverse e la isribuion normale cenrée réuie univariée. La foncion x u u 0 :,,,, C u u u u exp x x' e / / es la foncion e répariion e la loi normale cenrée réuie e sa marice e variance covariance (égale à la marice e corrélaion ans ce cas). En érivan la formule éfinissan la copule gaussienne on peu facilemen exraire la ensié e la copule gaussienne -variée qui s écri : où cu u I e,, exp ' / I es la marice unié e M e u u,,..3.. La copule e Suen La copule e Suen ( copula) es la copule sous-jacene à une isribuion muli-variée e Suen. Cee srucure e épenance cape les épenances exrêmes posiives e négaives. Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 7 -

9 Elle es consruie e la même manière que la copule gaussienne mais à parir e la isribuion e Suen cenrée réuie. La foncion e ensié e la copule e Suen - variée, s écri pour ou,,, u u 0 : c u,, u f, u,, u f ui i La foncion e isribuion es l inverse e la isribuion e Suen cenrée réuie univariée à egrés e liberé. La foncion f, es la ensié e probabilié e la loi e Suen cenrée réuie, sa marice e corrélaion e f es la ensié uni-variée e la loi e Suen cenrée réuie (,, x x x : ). À ire e rappel sa ensié s écri pour ou f, x où es la foncion gamma. x x' e /.3.. Copules archiméiennes Les copules archiméiennes, éfinies par GENEST e MACKAY [986], permeen e écrire es srucures e épenance rès iverses. Soi une foncion sricemen écroissane e coninue sur 0,. La foncion éfinie pour ou,, 0, C u,, u u u es une copule si es fois érivable sur, i i u u par 0 e si pour ou i, 0 pour i pair e 0 sinon. Cee foncion éfini alors la copule archiméienne e généraeur. De la éfiniion précéene on éui que la ensié une copule archiméienne -variée s écri :,, ' i c u u u u u Les copules archiméiennes présenen un ouble inérê. D une par, elles permeen e consruire une grane variéé e familles e copules e permeen onc e représener une grane variéé e srucures e épenance. D aure par, les copules ainsi générées on es formes analyiques fermées e son faciles à simuler. Pour plus élémens sur cee famille e copules le leceur pourra se référer à NELSEN [999]. Les rois familles e copules archiméiennes qui nous inéressen ans le care e nore éue son présenées ci-après. i Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 8 -

10 .3.. La copule e Cook-Johnson La copule e Cook-Johnson, connue aussi sous les noms e copule e Clayon ou copule e Kimelorf-Sampson, es la copule archiméienne on le généraeur es éfini, pour 0 e pour 0, u, par u u. Elle s écri onc : / C u,, u ui. i Cee copule es ifféreniable e sa ensié s écri : c u u u u j i j,, i j La copule e Cook-Johnson présene une épenance asympoique à gauche (sur les valeurs négaives) ce qui n es pas le cas e la copule gaussienne..3.. La copule e Franck La copule e Franck ne présene pas e épenance e queue. Le généraeur e cee copule archiméienne es u s écri onc : u e ln e Pour le cas bi-varié la ensié es : où 0 e u 0, ui C u,, u ln e e i c u, u uu e e u u e e e. La copule e Franck -variée Par ailleurs, la ensié -variée e la copule e Franck s écri à l aie e l expression générale u ln e e présenée supra avec u. La éerminaion e la ensié e la copule e Franck pour un orre passe par le calcul e la érivée première e, ' u e e u u, e e la érivée orre e. Les imensions es moèles muli- Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 9 -

11 variés qui nous inéressen son la imension e la imension 5. Soi e, les érivées orre e 5 e 5 u u son égales à : e e e u u u u u u e e e e 5 e 50 e 60 e 4 e u u 3 3u 4 4u 5 5u u e u u u u e e e e La ensié e la copule muli-variée orres e 5 es éuie u calcul es érivées La copule e Gumbel Conrairemen à la copule gaussienne la copule e Gumbel, parfois appelée copule e Gumbel-Hougaar, perme e moéliser les épenances exrêmes. En effe, la copule e Gumbel appréhene les épenances posiives e possèe la caracérisique e pouvoir représener es risques on la srucure e épenance es plus accenuée sur la queue supérieure. Elle apparien à la famille es copules archiméiennes e son généraeur s écri u ln avec u e 0, u. La copule e Gumbel s écri onc : C u u u i,, exp ln i / Bien qu exisane pour ou enier posiif, l expression explicie e la ensié e cee copule es généralemen complexe noammen pour es lois muli-variées. Nous proposons ans la suie une méhoe afin e calculer cee ensié. On par e l expression générale : où u ln,, ' i c u u u u u u / e u exp u exp u, Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega i. La éerminaion e la forme analyique e cee ensié es élicae car le calcul e la érivée orre e lour e complexe. La majorié es ravaux réalisés à ce suje se conenen généralemen éuier la ensié bi-variée. La émarche que nous proposons sous forme algorihme, perme e calculer numériquemen la érivée orre e es e nous perme onc e calculer numériquemen la ensié e la copule. La méhoe consise à calculer, par récurrence, pour ou réel u la érivée orre en foncion es érivées jusqu à l orre. Plus précisémen, nous procéons pour chaque e orre,..., n au calcul es érivées n pour en éuire ensuie la érivée orre n. Par récurrence on

12 calcule ainsi la érivée orre pour chaque e Leibniz qui s écri pour eux foncions érivables en que l on uilise avec ' u ou n : ( ) u. Cee émarche se base sur la formule u : n n n k nk fg u f u g u k0 k u u. On en éui en noan g u u que, pour n n n ' n n k nk u u g u u g u k0 k On a par ailleurs k k g u u i enièremen éfinie par les érivées orres inférieurs e k i. On noe que la érivée orre e par récurrence il es simple e calculer la érivée orre e es e par les érivées e g. Donc. Ce résula nous onne la possibilié e calculer numériquemen la ensié -variée e la copule e Gumbel e nous perme éuier onc la srucure e épenance qu elle implique. Mainenan que les cinq copules paramériques reenues ans le care e ce ravail son présenées, il es imporan e pouvoir les calibrer. Cela fai l obje e la secion suivane..4. CALIBRAGE DES COPULES PARAMETRIQUES Trois méhoes e calibrage son présenées. Il es à noer que le choix une méhoe ou e l aure épen foremen e la complexié e e la naure e la copule..4.. Esimaion par le maximum e vraisemblance La ensié joine un veceur aléaoire X X X,, peu s écrire : f x,, x ; f x ; f x ; c F x ;,, F x ; ; où es le veceur es paramères à esimer, c la ensié e la copule associée à la loi e X X,..., X e pour i, F i es la foncion e répariion e la variable ensié e probabilié es x,, x T X i on la f i. Le calibrage e la copule paramérique sur un échanillon e aille T peu êre obenu irecemen par le maximum e la log- T vraisemblance qui s écri ln L ln f x,, x ;, ce qui es équivalen à : Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - -

13 T T i i ln L ln f x ; ln c F x ;,, F x ; ; i Bien que possible héoriquemen, la recherche u veceur qui maximise la logvraisemblance, pose plusieurs problèmes noammen en ermes e complexié e u emps e calcul. JOE e XU [996] proposen e calibrer séparémen les ensiés marginales pour ensuie calibrer la copule. La secion suivane présene brièvemen cee méhoe..4.. Procéure esimaion IFM L approche consise à esimer les paramères u moèle muli-varié en esiman abor les paramères es ensiés marginales par le maximum e la log-vraisemblance. Elle a éé proposée ans JOE e XU [996]. Dans la suie, on appellera cee méhoe : IFM (pour inference funcion for marging). Elle es aapée au cas où le veceur es paramères à esimer,, peu êre écoupé en sous veceurs où chacun es associé à l une es foncions e ensiés marginales ou à la ensié e la copule. Plus précisémen, on suppose que l on ispose un veceur e variables aléaoires X X,, X on les ensiés marginales f,..., f son paramérés respecivemen par les paramères,..., que,,,,, e on la copule es paraméré par e elle sore T. Les log-vraisemblance ln Lk k ln fk xk; k es lois marginales son maximisées afin obenir es esimaeurs ˆ ˆ ˆ,,, que l on uilise T ensuie pour maximiser en ˆ L c F x F ˆ x ln ln ;,, ; ;. La méhoe proposée par Joe e Xu es plus praique que l esimaion irece par le maximum e la vraisemblance classique. En effe, elle perme e réuire consiérablemen la complexié es calculs e ren ainsi le calibrage e plusieurs moèles muli-variés faisable e convergen. Par ailleurs, il es imporan e préciser que la comparaison irece e l IFM e e la méhoe esimaion par le maximum e vraisemblance classique es un poin assez ifficile à cause u emps e calcul nécessaire pour obenir les esimaions. Cepenan, e nombreux ess comparaifs effecués ans XU [996] sur plusieurs moèles muli-variés monren que l IFM es une méhoe rès efficace e onne es résulas proches e la méhoe classique Méhoe es momens : calibrage par le au e Kenall Pour ceraines copules, nous isposons es expressions analyiques lian le au e Kenall au paramère e la copule (exemple : la copule e Suen). L esimaion u au e Kenall perme onc, ans ces siuaions, e calibrer les copules. Pour mieux appréhener cee Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - -

14 procéure, se référer à la parie relaive au calibrage e la copule e Suen à la secion 3 ou à DEMARTA-MCNEIL [004]..5. CONSTRUCTION DE COPULES EMPIRIQUES Nous examinons ans cee secion eux procéures e consrucion e la copule empirique un ensemble e variables à parir e leurs hisoriques. La première procéure repose sur la saisique e rang (copule e Deheuvels) e la secone es fonée sur l esimaion empirique es ensiés e probabilié marginales e e la ensié joine..5.. La copule e Deheuvels DEHEUVELS [979] a inroui la noion e copule empirique. Celle-ci se base sur le rang es observaions pour exraire ensuie la srucure e épenance. Soi x,, x un T échanillon observaions e aille T e,, X X X, e soi r,, r la saisique e rang associée à ce échanillon muli-varié. Pour ou i, xi T T r i es le rang e x i ans. La copule empirique inrouie par Deheuvels es éfinie sur l ensemble,,, i, i 0,,, T T T par l équaion suivane : C T T T T ˆ T,, ri i i On peu monrer que cee copule empirique saisfai plusieurs propriéés, la convergence asympoique vers C en es un exemple. Cepenan, la copule empirique e Deheuvels peu représener plusieurs poins e isconinuié ce qui limie son uilisaion..5.. Esimaion empirique par les ensiés e probabilié Cee procéure consise à esimer empiriquemen les ensiés marginales ensié joine f un veceur e variables aléaoires X X X f,..., f e la,..., ce qui va permere ensuie esimer la ensié e sa copule en uilisan la formule suivane (en supposan qu aucun erme au énominaeur ne s annule) : c u,, u f F u,, F u f F u f F u Cee approche es présenée à la secion 3. L esimaion e la copule empirique es une éape imporane ans la éerminaion e la copule paramérique opimale. Cee copule opimale servira ensuie à simuler es rajecoires u moèle muli-varié résulan e la combinaison e Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 3 -

15 cee copule e u moèle Ahlgrim. Avan e s inéresser à cee associaion nous proposons ans la secion suivane une inroucion aux méhoes e simulaion es copules..6. SIMULATION DES MODELES MULTI-VARIES Dans le cas où les foncions e répariion marginales F e une copule C u u F,...,,, son spécifiées, on peu consruire un unique moèle muli-varié on la isribuion joine es,,,, F x x C F x F x. On souhaie simuler les réalisaions un veceur aléaoire X,, X on les foncions e répariion marginales son respecivemen F,..., F e on la srucure e épenance es la copule C. Globalemen, la émarche consise à simuler ans un premier emps les rajecoires un veceur aléaoire e variables uniformes U,, U on la foncion e répariion es la copule C. Ensuie, les rajecoires simulée e X,, X son obenues en s appuyan sur la propriéé selon laquelle le veceur aléaoire F U F U,, ame l unique foncion e répariion joine F qui vérifie :,,,, e onc que X,, X F U,, F U F x x C F x F x. Disposan es lois marginales, on remarque que la ifficulé se résume à la simulaion un veceur e variables uniformes on la foncion e répariion es C. Dans ce qui sui, on suppose que l on ispose e la forme paramérique e la copule. La méhoe repose sur es simulaions récursives uilisan les isribuions uni-variées coniionnelles (cf. EMBRECHTS e al. [00]). On consière le cas général e on inroui la noaion suivane pour ou i :,,,,,,, Ci u ui C u ui On écri aussi C u u e C u,, u C u,, u. EMBRECHTS e al. [00] proposen e consiérer les isribuions coniionnelles pour simuler les rajecoires un veceur e variables aléaoires uniformes U,, U. En effe, si l on suppose que la foncion e répariion joine e U,, U es C alors (cf. EMBRECHTS e al. [00]) : /,, /,, i i C u,, u C u,, u C u u u P U u U u U u i i i i i i i i i i i u u u u i i Dans le cas où l on ispose e la forme paramérique e la copule, le calcul u numéraeur e u énominaeur nous perme e isposer e /,, C u u u pour ou i. Dans i i i Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 4 -

16 ce cas, nous uilisons l algorihme suivan pour simuler une rajecoire e U,, U on la foncion e répariion es la copule C : - simuler une valeur u on la loi es uniforme sur - simuler une valeur - coninuer la même procéure ; - simuler une valeur u on la loi es / C u u ; u e loi /,, C u u u., 0 noée ans la suie 0, U ; En général pour simuler une valeur e loi C u / u,..., u ) on simule une valeur u e loi i( i i i ( u i uniforme U (0, ) e on calcule ensuie C u / u,..., ). 3. CHOIX DE LA COPULE OPTIMALE Dans cee secion nous présenons la procéure e sélecion e la copule opimale. Cee copule sera choisie parmi les cinq copules présenées à la secion. Bien que la mise en œuvre ne concerne que le cas bi-varié, KHAROUBI-RAKOTOMALALA [008] e DURRLEMAN e al. [000] on éé un gran inérê pour la concepion e la srucure globale e la procéure présenée ici. Nous nous sommes inspirés u cas bi-varié pour l éenre au cas muli-varié. La émarche que nous proposons pour sélecionner la copule opimale en paran es séries hisoriques es inices financiers e macroéconomiques éuiés es éaillée ans la suie e se schémaise par : - Esimaion empirique e calibrage es formes paramériques es ensiés marginales e e la ensié joine es inices éuiés. Cee éape perme égalemen avoir l esimaion empirique es foncions e répariion. - Calibrage es copules paramériques présélecionnées. - Esimaion e la copule empirique. - Calcul es isances L enre la copule empirique e les copules paramériques. La copule opimale es celle qui minimise cee isance. 3.. ESTIMATION ET CALIBRAGE DES DENSITES DE PROBABILITE EMPIRIQUES 3... Esimaion e la ensié e probabilié empirique Dans le care e la présene éue, les formes paramériques es ensiés empiriques univariées e muli-variées son esimées à parir un esimaeur à noyau gaussien. La forme paramérique e la ensié joine empirique à noyau gaussien un veceur e variables Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 5 -

17 aléaoires X X X par la formule suivane :,, esimée sur un hisorique x,, x T e aille T es onnée avec pour ou z fˆ x K x x Th h T / K z exp zz'/ e le paramère h qui es la largeur e bane e caracérise la ensié. On peu l esimer par le maximum e vraisemblance. Les ensiés marginales s écriven e même pour ou i e pour ou y : T ˆ fi y K y xi Thi h. i Le paramère h i es la largeur e bane caracérisan la ensié e la variable X i Calibrage es ensiés marginales e e la ensié joine Pour calibrer les ensiés e probabilié empiriques, les largeurs e bane i h e h les caracérisan oiven êre esimées. Cee esimaion es basée sur la méhoe u maximum e vraisemblance. Par ailleurs, il es imporan e ne pas uiliser le même hisorique pour esimer la forme paramérique e la ensié e probabilié e pour la calibrer. En effe, ans ce cas, on peu prouver que lorsque le paramère à esimer ( i i i h ou h) en vers 0 la logvraisemblance e la ensié concernée en posiivemen vers l infini e es onc ivergene Foncions e répariion uni-variées e leurs inverses généralisés On peu éuire les foncions e répariion marginales en inégran la ensié e probabilié empirique après avoir esimé sa forme e l avoir calibré. On écri onc : T y s x i exp. Fˆ i y s Th h i i Remarquons que cela revien à une somme e T foncions e répariion normales on les moyennes respecives son T x,, x e on les volailiés son égales à h i. Cee remarque i i facilie consiérablemen l implémenaion e la foncion e répariion empirique. En oure, l esimaion numérique e la copule empirique présenée ans la suie nécessie le calcul e l ensemble es foncions F ˆi éfinies par ˆ F ˆ i inf y, Fi y. i Remarquons que la foncion e répariion es coninue e sricemen monoone, elle es onc Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 6 -

18 bijecive. Ainsi, l inverse généralisé e l inverse coïncien ce qui signifie que F soluion e l équaion : ˆi F y. ˆi es la 3.. ESTIMATION DE LA COPULE EMPIRIQUE La ensié e la copule empirique es esimée en s appuyan sur la formule suivane (il es facile e vérifier qu aucun erme au énominaeur ne s annule) : cˆ u,, u ˆ ˆ ˆ f F u,, F u ˆ ˆ ˆ fˆ F u f F u En effe, après avoir éerminé empiriquemen les formes analyiques e la ensié joine fˆ, es ensiés marginales fi numériquemen les inverses e la copule empirique. ˆ i Fˆi i e es foncion e répariion F ˆi i on peu esimer e ensuie esimer les valeurs numériques e la ensié Nore objecif es e pouvoir comparer la copule empirique aux cinq copules paramériques pour en choisir la copule opimale. Pour ce faire, les cinq copules paramériques oiven êre calibrées. Cela fai l obje e la secion suivane CALIBRAGE DES COPULES PARAMETRIQUES Afin e réaliser ce calibrage, nous uilisons la méhoe IFM. Cela signifie que nous procéons au calibrage es cinq copules paramériques après avoir calibré les ensiés e probabilié empiriques présenées ci-essus. Pour la copule e Suen la émarche es légèremen ifférene car la méhoe IFM n es pas irecemen uilisée pour la calibrer. En effe, nous procéons abor à l esimaion e la marice e corrélaion par la méhoe es momens pour uiliser ensuie la méhoe IFM pour l esimaion u nombre e egrés e liberé (cf. DEMARTA e MCNEIL [004]) Calibrage e la copule gaussienne Rappelons que la ensié e la copule gaussienne s écri : où u u,, e uni-variée. On consière x,, x cu u I e,, exp ' / es l inverse e la isribuion normale cenrée réuie T un échanillon une variable aléaoire vecorielle Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 7 -

19 X X,, X on les foncions e répariions marginales calibrées son F,, F e on noe u,, u,, u u, T l échanillon uniformisé. On noe égalemen T, e sore que la log-vraisemblance e c s écri : T T ln L lne I '. La log-vraisemblance ame un maximum. Celui-ci es aein quan la marice es égale à (cf. CHERUBINI [004]) : T ˆ '. Nous remarquons que cee écriure a exacemen la même forme que celle uilisée pour le calcul empirique es corrélaions linéaires. Donc, calibrer la copule gaussienne revien à esimer la marice e variance-covariance (ou e corrélaion) e la variable aléaoire F X,, F X. Cee marice es généralemen ifférene e la marice es corrélaions linéaires e X X X,,. Les eux marices son égales si par exemple les lois marginales es variables X,, X son normales cenrées e réuies Calibrage e la copule e Suen Le calibrage e cee copule consise à esimer les paramères e. Conrairemen à la copule gaussienne, nous ne isposons pas e formule explicie onnan les paramères maximisan la log-vraisemblance e la ensié e cee copule. En oure, la recherche numérique es paramères n es pas pariculièremen simple, noammen quan la imension u moèle es imporane (esimaion e e es ( ) / paramères e la marice ). Ainsi, afin e surmoner cee ifficulé, nous proposons e calibrer la copule e Suen en passan par la méhoe es momens. Cee procéure consise, ans un premier emps, à esimer la marice à parir e l esimaion u au e Kenall e uiliser, ans un secon emps, la marice esimée pour rouver une esimaion u egrés e liberé. Cee méhoe es uilisée ans les ravaux e MASHAL e ZEEVI [00] e onne es esimaions rès proches e celles rouvées par la méhoe u maximum e vraisemblance Esimaion e la marice e corrélaion On peu monrer (cf. LINDSKOG e al. [003]) qu il exise une relaion simple lian le au e Kenall à la marice : Xm, Xn arcsin m, n Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 8 -

20 La méhoe esimaion e la marice e corrélaion consise à esimer empiriquemen le au e Kenall pour chaque couple es variables aléaoires X,, X par l esimaeur non biaisé suivan : Ensuie, l esimaeur e s écri : T j ˆ X, X sign x x x x T T j i j i j i m n m m n n ˆ ˆ m, n sin Xm, Xn Cepenan, nous n avons a priori aucune garanie que la marice ˆ soi éfinie posiive. Si ce cas se présene, cee marice peu êre approchée par une marice éfinie posiive, ce qui revien à résoure un problème opimisaion Esimaion u nombre e egrés e liberé e la copule e Suen La émarche la plus simple pour esimer le nombre e egrés e liberé es e consiérer le maximum e la vraisemblance e la copule e Suen on la marice e corrélaion es égale à la valeur esimée par la méhoe es momens ˆ. Cela se raui par : T ˆ arg max ln f, ˆ u,, u f ui i Calibrage es copules e Cook-Johnson, Franck e Gumbel Nous appliquons irecemen la méhoe IFM pour calibrer le moèle muli-varié on la srucure e épenance es l une e ces rois copules archiméiennes. Noons que quelque soi la imension e la variable aléaoire vecorielle X X X e ces rois copules nécessie l esimaion un seul paramère.,,, le calibrage e chacune 3.4. CRITERES DE SELECTION DE LA COPULE OPTIMALE Pour choisir la copule opimale parmi les cinq copules présélecionnés, la isance, au sens e la norme L, enre la ensié empirique e les ensiés e ces cinq copules es éuiée. Il es rappelé que la ensié e la copule empirique présenée ci-essus a une forme paramérique coninue sur 0, e es onc inégrable. Si c es la ensié une copule paramérique calibrée parmi les copules présélecionnées e si ĉ es la ensié e la copule empirique alors la norme L s écri : Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 9 -

21 N cˆ u,, u cu,, u u u 0, La ensié e la copule paramérique opimale oi êre a priori proche e la ensié empirique e onc elle oi minimiser la norme / L. En oure, la norme infinie, L, es calculée pour se faire une iée sur la isance maximale enre une copule paramérique e la copule empirique. Cee norme s écri : 0, N sup cˆ u,, u c u,, u Il es ouefois rès complexe e calculer irecemen les eux normes présenées ci-essus noammen lorsque la imension u moèle es imporane. La soluion alernaive es approximer numériquemen ces eux normes par es séries : i i i i N ˆ c,, c,, n i,, i n n n n n / i i i i N sup ˆ c,, c,, i,, i n n n n n Mainenan que la procéure e sélecion e la copule opimale es présenée, la parie suivane (cf. secion 4.) illusre son applicaion pour la éerminaion e la copule opimale un ensemble inices financiers e macroéconomiques sur un hisorique aan e janvier 997 à juin APPLICATION ET ETUDE DE L IMPACT DU CHANGEMENT DE STRUCTURE DE DEPENDANCE Cee parie consise en une réflexion sur la moélisaion inices financiers e macroéconomiques en inégran le choix e la copule opimale pour prenre en compe la srucure e épenance. Le moèle qui es à la base e cee réflexion es le moèle Ahlgrim (cf. AHLGRIM e al. [005]). Le leceur pourra rouver une présenaion éaillée e ce moèle ans l aricle original e ses concepeurs ainsi que ans PLANCHET e al. [009]. Nous uilisons ici une variane ans laquelle l excès e renemen es acions es gaussien. Oure sa flexibilié, ce moèle présene l avanage e fournir es formules fermées pour le prix es zéro-coupon (cf. HIBBERT [00]). Après avoir choisi la copule opimale (cf. secion 4.), on projee ici les inices éuiés en subsiuan la copule opimale à la copule gaussienne uilisée par éfau ans le moèle reenu (cf. secions 4. e 4.3), ce qui perme ensuie évaluer les performances un fons composé Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 0 -

22 obligaions, acions e immobilier e e calculer le besoin en capial associé à la pere maximale au niveau seuil e 99,5 % (cf. secion 4.4). 4.. CHOIX DE LA COPULE OPTIMALE : APPLICATION Nous examinons ans cee secion la srucure e épenance u aux inflaion, u aux inérê nominal long, u aux inérê nominal cour, u renemen un invesissemen en acions e u renemen un invesissemen en immobilier enre 997 e 009. Le premier paragraphe es consacré à la présenaion es onnées, le secon au calibrage es ensiés e probabilié empiriques e le roisième présene les résulas u calibrage es copules paramériques. Le ernier paragraphe es consacré à la présenaion e la copule opimale Présenaion es onnées uilisées Les séries e onnées reenues aen e janvier 997 à juin 009. Mis à par la série e l immobilier on le aux e renemen annuel es à fréquence rimesrielle, oues les séries représenen es aux annuels à fréquences mensuelles : - L hisorique u aux annuel inflaion es consrui à parir e l inice es prix à la consommaion (IPC) publié sur le sie e l INSEE. - Le aux nominal à long erme reenu correspon au aux moyen es empruns éa (TME) publié par la Caisse es Dépô e es Consignaions sur le sie e la Banque e France. - L hisorique u aux nominal à cour erme reenu correspon au aux moyen u marché monéaire (TMM ou T4M) publié par la Caisse es Dépô e es Consignaions sur le sie e la Banque e France 3. - L hisorique es renemens es acions correspon à l hisorique e l inice SBF 50 avec ivienes réinvesis (oal reurn). Ce hisorique es en éléchargemen libre sur le sie Euronex 4. - L hisorique u renemen e l immobilier es consrui à parir e l inice es prix es logemens en France (IPL) isponible sur le sie e l INSEE 5. Les hisoriques es aux inérê réels (à long e à cour erme) son consruis à parir es valeurs hisoriques es aux inérê nominaux auxquels on reranche les valeurs hisoriques Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - -

23 u aux inflaion. Le ableau suivan présene les saisiques escripives e base e l ensemble es séries hisoriques 6 : Saisiques escripives Taux inflaion Taux long nominal Taux cour nominal Acions Immobilier Moyenne,56 % 4,53 % 3,0 % 6,70 % 6,97 % Volailié 0,74 % 0,67 % 0,9 % 6,36 % 5,6 % Méiane,6 % 4,4 % 3,9 % 5,53 % 7,76 % Maximum 3,55 % 5,87 % 5,4 % 45,7 % 4,85 % Minimum -0,49 % 3,7 % 0,68 % -53,58 % -9,75 % Skewness -0,03 0, -0, -0,70-0,80 Kurosis 3,6,0,7,3 3,53 Tes Jarque-Bera La mesure e la épenance par la corrélaion repose fonamenalemen sur l hypohèse e normalié muli-variée (e onc sur l hypohèse que les lois marginales son normales). Or nous observons que eux es cinq séries éuiées (acions e aux long) ne réponen pas au es e normalié e Jarque-Bera. Cela implique noammen que la isribuion muli-variée n es pas normale. Ainsi, se conener e écrire la srucure e épenance par la mesure es coefficiens e corrélaion s avère insuffisan Calibrage es ensiés e probabilié empiriques Le ableau suivan présene les valeurs es largeurs e banes es ensiés empiriques es cinq inices ainsi que la largeur e bane e la ensié joine : Densié e probabilié Largeur e bane «h» Taux inflaion 6,646E-04 Taux long nominal,6379e-05 Taux cour nominal 8,8596E-05 Taux e renemen es acions,85e-04 Taux e renemen e l immobilier 8,0078E-03 Loi joine es cinq inices 7,748E-03 Afin e eser l aéquaion es foncions e répariion esimées aux séries e onnées, cinq ess e Kolmogov-Smirnov 7, comparan chaque série e onnées hisoriques à sa foncion e répariion esimée empiriquemen, son réalisés. Tous ces ess accepen l hypohèse e l aéquaion es séries e es foncions e répariion avec un niveau e significaivié e 5 % e onc on peu ire que les foncions e répariion on les ensiés son esimées à parir e noyaux gaussiens son aapées aux onnées éuiées. 6 Tes e Jarque-Bera : l hypohèse nulle es celle e la normalié e l inice. Ce es vau si on peu refuser l hypohèse nulle avec un niveau e significaivié e 5 % e vau 0 sinon. 7 Tes e Kolmogov-Smirnov : es 'hypohèse uilisé pour éerminer si un échanillon sui bien une loi onnée connue par sa foncion e répariion coninue, ou bien si eux échanillons suiven la même loi. Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - -

24 4..3. Calibrage es copules La copule gaussienne La éerminaion es foncions e répariion à parir e l esimaion e leurs ensiés par l esimaeur à noyau gaussien perme e calculer numériquemen la marice e corrélaion e ainsi e calibrer la copule gaussienne. Copule gaussienne Taux 'inflaion Taux long nominal Taux cour nominal Acions Immobilier Taux 'inflaion 00,00 % -3,09 % 35,5 % -9,85 % 38,0 % Taux long nominal -3,09 % 00,00 % 45,05 % 5,5 % -8,9 % Taux cour nominal 35,5 % 45,05 % 00,00 % 7,73 % -,6 % Acions -9,85 % 5,5 % 7,73 % 00,00 % 3,89 % Immobilier 38,0 % -8,9 % -,6 % 3,89 % 00,00 % La copule e Suen Le calibrage e la ensié e la copule e Suen nécessie l esimaion e la marice e corrélaion e le nombre e egrés e liberé. Suen : corrélaion Taux 'inflaion Taux long nominal Taux cour nominal Acions Immobilier Taux 'inflaion 00,00 % -5,97 % 8,05 % -3,70 % 55,5 % Taux long nominal -5,97 % 00,00 % 54,74 %,74 % -43,7 % Taux cour nominal 8,05 % 54,74 % 00,00 % -,87 % -37,7 % Acions -3,70 %,74 % -,87 % 00,00 % 9,75 % Immobilier 55,5 % -43,7 % -37,7 % 9,75 % 00,00 % Le nombre e egrés e liberé esimé es 4, Le calibrage es copules archiméiennes : Cook-Johnson, Gumbel e Franck Le calibrage es copules e Cook-Johnson, Gumbel e Franck ne nécessie que l esimaion un seul paramère (noé ). Ainsi aucun problème opimisaion n apparai e la recherche u maximum e vraisemblance converge rapiemen. Le ableau suivan présene les résulas obenus : Cook Johnson Gumbel Franck Copule 9,098E-0,006E+00 4,888E-05 Mainenan que les cinq ensiés es copules paramériques son calibrées sur l hisorique es cinq inices, on peu calculer e puis comparer les isances enre les ensiés e ces copules paramériques e la ensié e la copule empirique. Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 3 -

25 4..4. Choix e la copule opimale Les normes son esimées sur veceurs e imension 5, ce qui correspon à un pas e iscréisaion n 5. Le ableau suivan onne la valeur e la norme L e la norme pour les cinq copules paramériques éuiées. Les valeurs minimales son soulignées : Copule La norme La norme Gaussienne,408 3,476 Suen,96 58,4 Cook Johnson 0,974 3,786 Gumbel 0,989 3,865 Franck 0,988 3,857 L L L On observe en premier lieu que la copule e Suen n es pas aapée aux onnées. Parmi les possibiliés resanes, la norme infinie n es pas iscriminane. En oure, à parir e la norme L, il apparaî que les isances enre la copule empirique e les rois copules archiméiennes son significaivemen inférieures à celles enre la copule empirique e les eux copules ellipiques (gaussienne e Suen). La copule opimale es onc une copule archiméienne. Au final, le calcul es normes L place en êe la copule e Cook-Johnson. On en conclu que la copule e Cook-Johnson représene une forme paramérique appropriée pour moéliser la srucure e épenance es inices financiers e macroéconomiques éuiés sur la périoe Dans ce qui sui, on propose e projeer les inices financiers e macroéconomiques éuiés en combinan cee srucure e épenance avec le moèle AHLGRIM e al. [005]. 4.. ÉTUDE DE L IMPACT : CALIBRAGE DU MODELE Le moèle es calibré sur les séries hisoriques présenées supra. Le ableau suivan résume les résulas u calibrage : Calibrage u moèle Ahlgrim Inflaion Taux long Taux cour Immobilier Espérance à long erme : μ,7 % 3,04 % NA 5,80 % Écar ype e l erreur : σ,00 %,04 %,00 %,69 % Viesse reour à la moyenne : k 0,6 0,46 0,0 0,09 R² ajusé 85,64 % 9,90 % -0,45 % 9,63 % P-value Ficher <.e-6 <.e-6 0,56 <.e-6 Tes Jarque-Bera sur les résius Nous remarquons que pour l inflaion, les aux long e l immobilier, l ensemble es résulas e es ess valie les hypohèses posées a priori pour la valiaion es moèles e u calibrage. Nous observons en pariculier que les rois résius réponen au es e normalié e Jarque-Bera. Cepenan, en ce qui concerne le aux réel à cour erme, nous observons que les ess ne valien pas les hypohèses u moèle e e son calibrage. Aussi, les résius Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 4 -

26 associés au aux inérê réel à cour erme ne réponen pas au es e normalié e Jarque- Bera. L excès e renemen es calibré sur l inice SBF 50 iviene réinvesi. Le ableau suivan présene les résulas obenus : Moyenne 3,60 % Volailié 6,38 % Tes Jarque-Bera La marice suivane es la marice e corrélaions es résius l excès e renemen q,, l,, r, e Im, ainsi que x. Cee marice servira pour la projecion u moèle ans le cas où l on suppose que la srucure e épenance es écrie par la corrélaion. Corrélaions hisoriques Inflaion Taux long réel Taux cour réel Excès e renemen Immobilier Inflaion 00,00 % -83,73 % -79,87 % 8,87 % 5,0 % Taux long réel -83,73 % 00,00 % 69, % -,39 % -,39 % Taux cour réel -79,87 % 69, % 00,00 %,9 % -,30 % Excès e renemen 8,87 % -,39 %,9 % 00,00 %,73 % Immobilier 5,0 % -,39 % -,30 %,73 % 00,00 % Sur la base u calibrage présené ans cee secion, la secion suivane illusre les projecions es inices financiers e macroéconomiques en prenan en compe eux srucures e épenance, la copule gaussienne e la copule e Cook-Johnson ÉTUDE DE L IMPACT : CONSTRUCTION DE PROJECTIONS Les projecions son réalisées sur une périoe e 0 ans à fréquence rimesrielle rajecoires son simulées à chaque rimesre. Par ailleurs, pour l ensemble es projecions, on suppose que la ae iniiale, 0, correspon à la fin u mois e juin 009. Les valeurs iniiales reenues son : Inices Valeurs iniiales Taux inflaion -0,49 % Taux inérê réel à long erme 4,45 % Taux inérê réel à cour erme,8 % Taux e renemen e l immobilier 5 % Mis à par l immobilier, ces valeurs iniiales corresponen aux valeurs observées au mois e juin 009. La valeur iniiale e l immobilier es ajusée à 5 % au lieu e -9,75 % observée au mois e juin 009 afin e se mere ans un univers e projecion plus réalise. Plusieurs ess réalisés monren que l impac u changemen es valeurs iniiales sur les inicaeurs numériques reenus pour comparer la copule gaussienne e la copule e Cook-Johnson es faible (cf. secion 4..3 pour la présenaion e ces inicaeurs). Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 5 -

27 4.3.. Projecion avec la copule gaussienne Dire que la srucure e épenance es résius e e l excès e renemen es écrie par la corrélaion es équivalen à ire que la srucure e épenance es inices financiers e macroéconomiques éuiés es écrie aussi par la corrélaion (e es onc gaussienne) puisque les relaions qui lien ces inices aux résius e à l excès e renemen son linéaires. La émarche globale consise à projeer ans un premier emps les résius u aux inflaion, es aux inérê réels e e l immobilier ainsi que l excès e renemen ( q,, l,, r,, Im,, x ) en prenan en compe leur marice e corrélaion hisorique (écomposiion e Cholesky). Ensuie les projecions es inices financiers e macroéconomiques s en éuisen par les formules iscrèes es moèles associés. À ire illusraion, le graphique ci-essous présene la projecion u aux inflaion lorsque l on uilise la copule gaussienne. Fig. - Projecion u aux inflaion par l approche basée sur la copule gaussienne Projecion avec la copule e Cook-Johnson Afin e combiner le moèle Ahlgrim e la copule e Cook-Johnson, on simule abor es rajecoires e variables uniformes U,, U 5 on la foncion e répariion es la copule e Cook-Johnson. Ensuie, on uilise l inverse es foncions e répariion es inices financiers e macroéconomiques onnées par le moèle Ahlgrim pour avoir les rajecoires simulées e ces inices. Les inices moélisés ans AHLGRIM e al. [005] suiven ous une loi normale. Il es rappelé aussi que ans le care e ce moèle il fau combiner les lois es aux inérê réels e la loi e l inflaion pour isposer es lois es aux nominaux. Il s agi opéraions aiives qui permeen à la fin e isposer es écriures récurrenes es aux nominaux, e aussi u renemen es acions en inrouisan les corrélaions hisoriques enre les résius e l excès e renemen. Afin illusrer nore émarche e simulaion, nous Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 6 -

28 expliquons ci-après commen simuler une rajecoire e l inflaion en paran e sa formule récurrene. Consiérons le moèle Ahlgrim pour l inflaion e supposons que l on ispose à l insan e la valeur simulée e l inflaion ainsi que la valeur parir e la copule e Cook-Johnson : u une variable uniforme simulée à exp kq q q exp kq q exp kq q q, q q, k q où représene le pas e la iscréisaion. Alors la valeur simulée e l inflaion à 4 l insan es l inverse e la foncion e répariion e la loi normale Nq, e u. Le graphique ci-essous présene la projecion u aux inflaion lorsque l on uilise la copule e Cook-Johnson. Fig. 3 - Projecion u aux inflaion par l'approche basée sur la copule e Cook-Johnson 4.4. ÉTUDE DE L IMPACT : COMPARAISON DES COPULES GAUSSIENNE ET DE COOK-JOHNSON Globalemen, les valeurs moyennes projeées u aux inflaion, es aux inérê (nominaux e réels), u renemen es acions e u renemen e l immobilier ne varien pas par changemen e la srucure e épenance. Ce consa éai aenu car la valeur moyenne e chaque inice correspon à l espérance mahémaique e sa loi marginale e es onc inépenane e la srucure e épenance. Srucure e épenance Armel - Planche - Kamega - 7 -