Chapitre 7. Choix des projets Analyse coûts-avantages (Costs Benefits Analysis)

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1 Chapire 7 Choix des projes Analyse coûs-avanages (Coss Benefis Analysis) Principales quesions abordées dans ce chapire : Choix sans risque : crière de la valeur nee acualisée e crières auxiliaires opimisaion d'un proje projes incompaibles projes indépendans Choix avec risque : risques probabilisables : crière de l'espérance d'uilié acualisée Assurance Risques non probabilisables : crières "maxi-min" e "mini-max" Invesissemen e impô. Inroducion Ce chapire pore sur l analyse coûs-avanages (Coss Benefis Analysis). Cee analyse s applique au choix des projes publics ou privés. Dans le cas des projes publics, les coûs e les avanages son évalués sur la base de leur valeur socio-économique, qui ien compe des effes direcs, mais aussi des exernaliés (posiives ou négaives) ainsi que, par exemple, de la valeur (équivalen monéaire) du emps gagné grâce au proje (voir cours d économie publique e d économie des ranspors en deuxième année ; voir aussi insrucion-cadre du 25 mars 24 relaive aux méhodes d évaluaion des grands projes d infrasrucure de ranspor, minisère de l équipemen, des Transpors, du Logemen, du ourisme e de la mer). Dans le cas des projes privés, les coûs e les avanages son évalués sur la base de leur valeur puremen monéaire e financière. C es cee approche que l on reiendra exclusivemen dans le présen chapire de ce cours d iniiaion. Les moifs qui conduisen les enrepreneurs à déerminer leurs invesissemens peuven êre nombreux e son parfois complexes. Mais parmi les différens crières de décision, il en es un qui ne saurai êre ignoré sans de graves mécompes : c'es la renabilié que l'on peu aendre de l'invesissemen projeé. Nous aborderons cee éude de renabilié de façon simplifiée, en supposan que l'enrepreneur, qui éudie l'invesissemen, es aussi le propriéaire de l'enreprise. Il es alors possible d'éablir un lien direc enre la déerminaion de l'invesissemen e le niveau d'uilié du consommaeur-enrepreneur (CE).

2 Aure hypohèse simplificarice : on supposera qu'il exise un marché financier parfai, sur lequel l'enrepreneur peu empruner ou prêer sans limiaion de quanié, à un aux d'inérê annuel r exogène, que l'on supposera en oure indépendan de la durée de l'emprun ou du prê. On s'écarera ouefois du cadre du marché financier parfai dans quelques cas pariculiers, qui seron signalés au passage. Enfin, on fera absracion de la fiscalié, sauf en fin de chapire ( 4). 2. Choix des invesissemens en l'absence de risque 2.. Le crière d'uilié du consommaeur-enrepreneur Supposons que le consommaeur, don nous avons examiné au chapire le comporemen de consommaion e d'épargne, ai mainenan l'idée de fabriquer un produi correspondan à l'un de ses savoir-faire, e qu'il se livre à une éude d'invesissemen, en supposan 'pour le momen) qu'il sai en déerminer exacemen, sans risque d'erreur, oues les caracérisiques : coû de l'invesissemen, coûs variables de fabricaion e prix de vene du produi, quaniés écoulées, ec. Nore consommaeur-enrepreneur va alors se demander si e dans quelle mesure le lancemen du proje de ce ype lui permerai s'améliorer son niveau d'uilié ineremporelle, par rappor au "scénario de référence" dans lequel il s'absiendrai de ou proje. De cee maximisaion du niveau d'uilié ineremporelle du consommaeurenrepreneur découle le crière principal d'analyse de la renabilié prévisionnelle des projes ( 2.2), ainsi que les méhodes d'opimisaion ( 2.3) e les méhodes de chois des invesissemens incompaibles ( 2.4) ou indépendans ( 2.5) Renabilié prévisionnelle : crière de la "valeur nee acualisée" (ou de "bénéfice acualisé") On commencera par observer que la saisfacion ineremporelle opimale (ou «uilié indirece») de ou consommaeur croî avec son revenu acualisé : on mera cee propriéé en évidence dans le cas pariculier d une foncion d uilié ineremporelle de ype habiuel.. On considèrera alors un «scénario sans proje» e un «scénario avec proje» e on en déduira un crière de décision en en comparan mes revenus acualisés de l enrepreneurpropriéaire dans les deux cas Remarque préliminaire : la saisfacion ineremporelle opimale de ou consommaeur croî avec son revenu acualisé. Cee propriéé es inuiive. Elle es mise en évidence ci-dessous avec une foncion d uilié ineremporelle sandard. Considérons un consommaeur maximisan son niveau d uilié ineremporelle U en opimisan le programme de ses revenus R. Adopons les hypohèses suivanes : -le durée de vie du proje es T, que l on supposera provisoiremen infinie ; - le foncion d uilié ineremporelle du consommaeur es de la forme sandard séparable addiive avec aversion au risque consane : 2

3 U = ( + a) ε C. ε T () = Le programme de consommaion es soumis à la conraine budgéaire acualisée : R C = avec R= R T e = ( + r) C= C T (2) = ( + r) Le programme d'opimisaion sous conraine du consommaeur le condui alors à considérer le Lagrangien : Λ C = U C +. R C (3) ( ε) ( ε) λ ( ) On monre alors (voir annexe ) que la soluion es de la forme : + r C = R. A. + a ε dans laquelle le faceur A dépend des paramères ( a, r,, T) ε, mais ne dépend pas de la période. (4) Donc si le revenu acualisé R augmene, la consommaion proporionnellemen. Or en revenan à (), on voi que U es une foncion croissane de chaque C de chaque période augmene C. Donc U augmene elle-aussi (mais, en général, non-proporionnellemen). Comme on pouvai s'y aendre, U (à l'opimum) es une foncion croissane de R Considérons mainenan le «scénario sans proje» e le «scénario avec proje» On suppose que dans la «siuaion de référence», c es-à-dire dans l hypohèse où il s absiendrai de réaliser ce proje, l enrepreneur-consommaeur disposerai d un revenu acualisé R sp appelé «revenu acualisé sans proje». L enrepeneur-consommaeur considère alors l hypohèse ou il réaliserai le proje e se demande quel serai alors son revenu acualisé R ap appelé «revenu acualisé avec proje». Supposons que le enrepreneur-consommaeur réalise en période un invesissemen I qu il finance de deux façons : - par appor personnel, ou «auofinancemen», prélevé sur son revenu R sp, à concurrence d un monan : α.i avec α α.i - par emprun, à concurrence du complémen ( ), qui sera remboursé par une série de versemens V, (en parie inérês, en parie principal), don la somme acualisée es équivalene 4 : ( α). I = = V ( + r) (8) 4 Voir encadré du chapire 3

4 EBE I, Supposons que l acivié de l enreprise dégage en période () un excéden bru d exploiaion ( ) excéden des venes sur les dépenses courans d exploiaion (consommaions inermédiaires, coûs salariaux, à l exclusion de ous frais financiers). Valeur ajouée : VA = CA CI avec : * Chiffre d affaire : CA = p * Y (prix de vene par quaniés vendues) * Consommaions inermédiaires : CI = pi * xi dépenses en produis consommables i Excéden bru d exploiaion : EBE = VA MS avec : * Masse salariale : MS = w j * L j où : j L j es le nombre d emplois de caégorie j w j es la «rémunéraion salariale» (salaire bru e coisaions sociales employeur) par emploi de caégorie j L esimaion de ces flux es à l évidence un élémen aussi délica que crucial dans le processus de décision : on y reviendra dans les peies classes. Le revenu acualisé avec proje de calcule comme sui : ( I ) ( r) EBE V Rap = Rsp α. I + (9) = + Noa : l EBE es évidemmen foncion du dimensionnemen du proje, donc de l imporance I de l invesissemen. Compe enu de (8), la relaion (9) s écri : ( I ) ( r) EBE R ap = Rsp I + () = + L augmenaion du revenu acualisé due au proje sera appelée «valeur nee acualisée (VAN)» ou «bénéfice acualisé ( B )» du proje : ( I ) ( r) EBE VAN ou B = Rap Rsp VAN ou B = I + () = + Comme on a vu ci-dessus que son niveau d uilié croî avec son revenu acualisé, l enrepreneur consommaeur a inérê à réaliser le proje si e seulemen si celui-ci dégage une valeur nee acualisée posiive (ou évenuellemen nulle) : VAN ou B (2) Tel es le crière principal, concernan la renabilié, à prendre en compe dans la décision d invesissemen privé. En anglais : Ne Presen Value(NPV) 4

5 Il es à noer que, sous les hypohèses de marché financier parfai e d absence de risque, ce crière es indépendan : des paramères de la foncion d uilié de l enrepreneur-consommaeur : - n inerviennen ni le aux d impaience a, ni l aversion au risque ε - du mode de financemen : le aux d auofinancemen α es indifféren. En revanche, il dépend expliciemen du aux d inérê r Remarques sur le aux d inflaion Nous avons jusqu ici raisonné en ermes «réels», le numéraire éan l unié de bien composie de l économie agrégée. Si l on saisi les flux monéaires, au prix de l année courane, il fau donc commencer par converir en prix de l année : (3) P EBEo = EBE. où P (Pour plus de déails, voir chapire ) Remarques sur le emps coninu P = indice des prix de l année e EBE = EBE nominal de l année. Nous avons jusqu ici raisonné en emps discre», par périodes généralemen d une année chacune Il es parfois, de sore plus commode de raisonner en emps coninu, en uilisan le aux d inérê insanané ρ = ln( + r) ρ. que : ( + r) = e (4) On peu alors écrire : ρ. ( I ). e. d VAN ou B I = + EBE (5) 2.3 Opimisaion d un proje Nous avons jusqu ici considéré le proje comme un ou, déerminé par la valeur donnée de l invesissemen I, par sa durée de vie T (provisoiremen supposée infinie), par de programme d exploiaion. EBE( I ) des excédens brus En fai, même en s en enan oujours à un ype de proje bien précis (ex : produire du issu de caracérisiques données pour un marché donné), la plupar de ces paramères comporen une marge de variaion, à l inérieur de laquelle il convien de rechercher s il exise une valeur opimale Aure présenaion : chercher à opimiser un proje revien à comparer les diverses varianes pour choisir la meilleure Dimensionnemen opimal ; choix de la aille I L enrepreneur es ainsi condui à s inerroger sur la capacié de producion opimale à mere en place e, pour aeindre celle-ci, sur la combinaison opimale des faceurs de producion (invesissemen en capial producif ; ravail ; voire consommaions inermédiaires), qui peuven êre plus ou moins subsiuables e qui, bien enendu, inerviennen dans le calcul du programme d excédens brus d exploiaion prévisibles. 5

6 D'où un processus d'opimisaion de l'invesissemen, qui conduira à choisir le niveau I d'invesissemen maximisan le bénéfice acualisé (valeur nee acualisée), c'es-à-dire soluion de : B I ( I ) EBE I = ( + r) ( I ) = = Inerpréaion : le dernier euro invesi doi êre exacemen compensé par la somme acualisée des EBE marginaux dégagés par ce invesissemen marginal. Noa : Il fau naurellemen vérifier que l'exremum fourni par (6) es un maximum e qu'il convien (grandeurs non-négaives) Dae opimale d invesissemen e aux de renabilié immédiae L enrepreneur es aussi condui logiquemen à choisir la dae opimale de l invesissemen : es-ce dès l insan, ou à une dae ulérieure θ? On supposera pour simplifier que le coû I de l invesissemen es indépendan de la dae θ. Si l enrepreneur choisi d invesir à la dae θ, la valeur nee du proje, acualisée à l insan, es : ρ.( θ) ρ. θ B( θ) = I + EBE. e. d. e soi : θ B ρ. θ ( θ) = I. e + θ EBE ρ.. e. d d où, en dérivan par rappor à θ : db( θ) ρ. θ EBE e.( ρ. I EBEθ) θ ρ dθ I On appelle aux de renabilié immédiae le raio EBE / I (6) (7). Le bénéfice acualisé à l insan augmene donc lorsque l on rearde la réalisaion du proje, an que le aux de renabilié immédiae es inférieur à ρ. L enrepreneur a donc inérê à rearder son invesissemen jusqu à l année θ où le «aux de renabilié immédiae EBE / I Durée de vie opimale T θ» dépasse (pour la première fois) le aux d inérêρ (assimilable à r ). Revenons plus précisémen sur la durée de vie T du proje, que l'on a provisoiremen supposée infinie. En fai, les équipemens subissen une usure physique, qui rend nécessaire des ravaux d'enreien e de grosses réparaions, de plus en plus coûeux d une année à l aure, qui viennen diminuer l'excéden bru d'exploiaion. La quesion se pose ainsi de savoir jusqu à quand il vau mieux réparer l'équipemen ancien ou à parir de quelle durée de vie T il vau mieux en acquérir un nouveau. Dans la réalié, la quesion es rendue beaucoup plus complexe par le progrès echnique (e l'évoluion des sandards de consommaion) : la nouvelle machine es loin d'êre idenique à l'ancienne, la producivié des faceurs a changé, enraînan une évoluion des prix relaifs, ec. A l'usure physique se subsiue donc le phénomène "d'obsolescence économique". Cependan, pour simplifier, faisons ici absracion du progrès echnique. 6

7 Imaginons par conséquen que l'enrepreneur s'inerroge sur la durée de vie opimale T de l'équipemen, en supposan qu'il le remplacera à l'idenique à cee dae e que la chronique des EBE se reproduira, elle aussi à l'idenique. Il es donc condui à maximiser le bénéfice acualisé calculé comme sui (il es plus aisé de raisonner en emps coninue) : (8) ρ. T ρ. 2. T ρ. n. T T ρ. B = B T. + e + e e +... avec B( T) = I + EBE ( ) I.e. d ( ) [ ] Soi finalemen : ( ) B T B = e ρ. T Opimisons par rappor à la variable T. La condiion du premier ordre s'écri : (9) B ρ. T ρ.t ρ.t = [ EBET I ). e ].[ e ] B( T). ρ. e = EBE I B T T. ρ T =. e ρ ( ( ) ( ) T Cee relaion peu s'inerpréer assez simplemen, en faisan appel à la noion "d'annuié consane équivalene" (ACE). Supposons en effe que nore consommaeur-enrepreneur reçoive de façon permanene un flux de revenus par unié de emps. Au cours d'une période de durée T il recevra l'équivalen d'un consan e égal à ( f) monan ( F ) acualisé en débu de période, égal à : ρ. T T ρ. e ρ F = f. e. d = f. f F. ρ e Le coefficien ρ e ρ.t = (2) ρ. T s'appelle "coefficien d'annuié consane équivalene" (ou loyer annuel moyen). Il es foncion croissane de ρ e de T. Il end vers T (simple moyenne arihméique par année) lorsque ρ end vers (équivalen à r end vers ). Il es donné dans les "ables d'annuiés" (voir annexe 3). Il apparaî alors que le second membre de (9) n'es aure que "l'annuié consane équivalen" (ACE) correspondan au proje pour la durée de vie T (e le aux d'inérê insanané ρ ). La règle es donc simple : on prolonge la durée de vie de l'équipemen an que l'excéden bru d'exploiaion de la dernière année es supérieur ou égal à l'annuié consane équivalene. On le remplace lorsque l'ebe devien inférieur à l'ace. Remarque : comme le bénéfice acualisé doi êre posiif ou nul (pour les projes à reenir), il en va nécessairemen de même pour l'annuié consane équivalene (ACE). Il en résule que l'on doi (en principe) oujours renouveler l'invesissemen avan que l'excéden bru d'exploiaion ne devienne négaif (sous l'effe du gros enreien) Opimisaion simulanée des différens paramères I,, On a opimisé par rappor séparémen par rappor aux paramères θ, en supposan les deux aures paramères «égaux par ailleurs». En réalié, il faudrai opimiser simulanémen T 7

8 par rappor aux rois paramères, c es-à-dire considérer le sysème annulan les rois dérivées parielles. On ne développera pas davanage ce aspec, qui doi êre examiné proje par proje Projes incompaibles L'opimisaion d'un proje qui vien d'êre examinée consise à choisir la variane qui maximise la valeur nee acualisée e à éliminer oues les aures varianes ; c'es donc un processus de sélecion enre des projes incompaibles. On peu généraliser le raisonnemen lorsque l'on doi sélecionner un seul proje parmi un ensemble de projes incompaibles, qui ne son pas nécessairemen de simples varianes, mais peuven êre de naures rès différenes. Ce peu êre le cas par exemple si le consommaeur-enrepreneur souhaie rancher enre deux invesissemens dans des seceurs différens qu'il ne peu mener de pair, ne serai-ce que faue de emps disponible Crière principal : oujours le "bénéfice acualisé" La méhode la plus sûre pour comparer des projes incompaibles e sélecionner le meilleur es oujours d'appliquer le crière du "bénéfice acualisé" (ou "valeur nee acualisée") e de reenir le proje qui correspond au maximum (pourvu que celui-ci soi posiif). Il es pouran d'usage fréquen d'uiliser d'aures crières auxiliaires qui von êre abordés ci-après Deux crières auxiliaires : le "aux de renabilié inerne" (TRI) e la "durée de reour" (DR) "Taux de renabilié inerne" (TRI) Supposons qu'un proje d'invesissemen I de durée de vie T conduise, pour le aux d'inérê r du marché financier, à un bénéfice acualisé non-négaif : T EBE ( ) ( I ) B I, r I + (2) = ( + r) On a vu que (sauf peu-êre dans les premières années), EBE ( I ) devai êre posiif (sinon, il faudrai hâer le renouvellemen des équipemens... ou fermer l'usine!). Si les EBE ( I ) son non-négaifs quel que soi, il es clair que B décroî quand le aux d'inérê croî. Cee observaion condui inuiivemen à esimer le "aux de renabilié inerne" du proje qui, par définiion, es la valeur j que devrai prendre le aux d'inérê pour annuler le bénéfice acualisé : B( I, j ) = Avec l'hypohèse plausible des B( I, r ) j r ( I ) ( + j) T EBE - I + (22) = = EBE non-négaifs (sauf peu-êre les premières années), il apparaî alors que e son deux condiions équivalenes. D'où un crière auxiliaire courammen uilisé : peu êre considéré comme renable ou proje don le TRI es supérieur ou égal au aux d'inérê du marché financier. 8

9 Allan plus loin, peu-on uiliser le TRI comme un crière de sélecion, c'es-à-dire choisir, parmi les divers projes incompaibles, celui qui dégage le TRI le plus élevé? Il faudrai pour cela que l'ordre des TRI soi oujours le même que celui des bénéfices acualisés. Or, cee propriéé n'es pas oujours vérifiée, comme le monre le conre-exemple suivan (ableau ), concernan deux projes don la durée de vie es la même (2 ans) e qui dégagen ous les deux des EBE posiifs : le crière du bénéfice acualisé condui à reenir le proje n (choix correc), alors que le crière de TRI conduirai à reenir le proje n 2 (ce qui serai erroné). Tableau Proje n Duré de vie Invesissemen EBE EBE 2 B pour r = % TRI 2 ans MF 3 MF 2 MF 9,8 MF 22 % 2 2 ans MF MF 33 MF 8,2 MF 26 % Conclusion : Le TRI peu êre un "faux ami" dans la comparaison des projes. Il es recommandé d'uiliser le crière du bénéfice acualisé (ou valeur nee acualisée). Durée de reour (DR) Par définiion, c'es la durée au bou de laquelle le coû de l'invesissemen I es récupéré par le cumul des excédens brus d'exploiaion (hors inflaion). Ce cumul es le plus souven calculé sans acualisaion (crière TR TR) : I EBE ( ) = (23) I = Ce crière indique à parir de quand l'enrepreneur pourrai lancer un second proje analogue au premier, mais enièremen auofinancé par lui. Il condui impliciemen à considérer qu'un proje es d'auan plus renable que sa durée de reour es plus faible. Il es aisé de monrer des conre-exemples (cerains projes peuven aeindre une fore renabilié, mais sur une longue période). Ce crière peu donc aussi êre un "faux-ami". Il se jusifie davanage en cas d'avenir incerain (voir 3). Remarque : On uilise parfois une variane : la durée de reour avec acualisaion (crière TR ) ( ) Crière TR : = T R EBE I I (24) = + r 2.5. Projes indépendans ( ) Si les projes son indépendans les uns des aures, c'es-à-dire s'ils ne se nuisen ni ne se favorisen muuellemen, alors le crière fondamenal condui à un résula simple : il fau réaliser ous les projes don le bénéfice acualisé es "non négaif" (chacun d'eux éan en oure opimisé, au sens du paragraphe précéden) En fai, il inerviendra cerainemen des condiions qui viendron, sinon obliger à choisir un seul proje comme au 2.4., du moins limier le nombre des projes réalisables ou obliger à les éaler dans le emps. Parmi ces limiaions figuren non seulemen la "capacié de mise en oeuvre" du consommaeur-enrepreneur, mais aussi souven des conraines de financemen. 9

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11 Logiquemen, si les marchés financiers son parfais comme nous l'avons supposé, le aux d'inérê devrai refléer l'équilibre enre l'offre e la demande de fonds préables. On peu ouefois imaginer qu'en sus de la limiaion provenan du "coû de l'argen" inerviennen d'aures resricions. Ainsi, l enrepreneur-consommaeur peu souhaier ne pas dépasser el plafond pour le oal de ses invesissemens dans un seceur donné. Ou encore, dans le cas où l'invesisseur es l'ea-acionnaire, il se peu qu'il doive limier ses concours indusriels pour ne pas accroîre son endeemen, ec. Le décideur es alors confroné au problème suivan : il a une collecion de n projes indépendans, qui respecivemen coûen I n e procuren un bénéfice acualisé B n (non négaif). Mais le monan oal invesi ne doi pas dépasser une limie J. Quels projes reenir? On présenera ci-après une méhode aisée à comprendre inuiivemen 2 : - On classe des projes par ordre décroissan de rappor B n I n (figure ). - On coupe ensuie par l'horizonale de coe θ, ce qui perme de repérer les ( ) - On calcule le monan J( θ) N ( θ) = I n - Paran de θ grand, on diminue θ an que J( θ ) J. - Enfin, on reien la plus peie valeur de θ vérifian cee inégalié. N θ projes els que : B I n n >θ. Auremen di, on a ici un nouveau crière de renabilié, qui es le bénéfice acualisé par euro invesi 3, à uiliser pour classer les projes lorsque le monan des financemens disponibles es limié Choix des invesissemens en présences de risques Nous avons supposé jusqu'ici que l enrepreneur-consommaeur connaissai exacemen, sans risque d'erreur, oues les caracérisiques du proje, concernan an l'invesissemen que le programme des excédens brus d'exploiaion que ce dernier procurerai. Il es bien rare qu'il en soi ainsi! Dans la praique, l'enrepreneur doi la plupar du emps prendre ses décisions en devan faire sur l avenir des hypohèses, plus au moins éayées, avec des risques d auan plus imporans d erreurs ou d imprévus que ce avenir es plus loinain. 2 La démonsraion rigoureuse fai appel au héorème de Kühn e Tücker, qui éend la méhode de Lagrange au cas où les conraines son des inégaliés (ex : h (x,y,z) ) au lieu d'égaliés (ex : h (x,y,z) = ). 3 Il s agi de la somme acualisée de ous les euros dépensés, non seulemen pour l invesissemen, mais aussi (le cas échéan) pendan oue la durée de b vie du proje. Pour plus de déail, voir cours d économie publique de deuxième année. 4 Il se peu aussi qu il exise une conraine de dépense annuelle. C es souven le cas pour les dépenses publiques, plafonnées par une enveloppe budgéaire. On peu alors associer à cee conraine un «prix ficif» (muliplicaeur de Lagrange ), parfois appelé «coû d opporunié des fonds publics». Cela revien, dans le calcul du bénéfice acualisé, à comper les dépenses publiques non pour leur valeur réelle, mais pour cee valeur majorée (par exemple) de 2%.

12 La quesion de la décision en avenir incerain ou en informaion incomplèe alimene un rès imporan couran de réflexions e de recherches, don on ne donnera ci-après qu un rès sommaire aperçu (pour une approche moins superficielle, voir les cours de héorie de la décision, de micro 2 e d économie indusrielle). Dans ce qui sui, on évoquera successivemen le choix des invesissemens en avenir probabilisable, le rôle des assurances, le cas du choix en avenir non probabilisable 5, enfin (rès brièvemen) le rôle de l informaion. 3.. Eas de la naure probabilisables : maximiser l'espérance d'uilié Les résulas d un proje son fréquemmen ribuaires d événemens difficilemen maîrisables affecan l environnemen naurel, économique, social, poliique, voire psychologique ou relaionnel dans lequel il se déroule. On désigne ces circonsances exérieures, don les aléas climaiques fournissen un exemple parlan, sous le erme d "éas de la naure" (ou "éas du monde"). On va supposer pour commencer que l on peu aacher à chacun de ces éas de la naure une probabilié, objecive (par exemple lois saisiques de la mééorologie 6 ) ou, à défau, subjecive. Prenons un exemple exrêmemen simplifié, couvran deux périodes noées e. L enrepreneurconsommaeur es un agriculeur qui dispose (sans proje) d un revenu acualisé cerain R sp e qui éudie un proje d emblavemen. Il se demande quelle quanié ( I ) du blé il va semer (invesissemen) en période, sachan que la quanié de blé qu il récolera en période dépendra non seulemen de ( ), mais aussi des condiions climaiques qui se produiron enre les s les e la moisson. On suppose ici que ces condiions climaiques suiven une loi de probabilié, qui a pu êre esimée (avec un inervalle de confiance plus ou moins éroi) à parir d'observaions enregisrées dans le passé, e que l agriculeur connaî cee loi. Toujours pour simplifier 7, on supposera : p e que dans ce cas la récole en - que l'éa de la naure es favorable avec la probabilié (p) ( ) période vau EBE( I ) - que l'éa de la naure es défavorable avec la probabilié (-p) e que dans ce cas la récole en période es nulle (hypohèse exrême!). En fai l agriculeur doi déerminer en période deux variables de commande inconnues : son invesissemen ( I ) mais aussi sa consommaion C. Il disposera donc en période d un reliqua ( R sp C I ), don l'équivalen capialisé en période sera ( r)(. Rsp C I ) +. A cela s'ajouerai la récole de la période. La consommaion en période sera alors (on suppose oujours le marché financier parfai) : I 5 Les asyméries d informaion e les mécanismes pour y remédier jouen un rôle de plus en plus imporan dans les développemens de l analyse économique conemporaine (voir chapire 7). 6 Ex: loi de Gumbel pour les crues d un fleuve. 7 On pourrai aisémen généraliser. 2

13 - si l'éa de la naure es favorable : C = ( + r) ( Rsp C I ) + EBE ( I ). ( I ) C EBE C + = Rsp I + + r + r Probabilié = p (25) - si l'éa de la naure es défavorable : C2 C2 = ( + r).( Rsp C I ) C + Rsp I + r Probabilié = -p (26) Le niveau d'uilié du enrepreneur-consommaeur sera donc : U(C, C ) avec la probabilié p (27) U(C, C 2 ) avec la probabilié (-p) (28) Précisons sa foncion d'objecif. Il es classique de supposer que, en choisissan C e I, l enrepreneurconsommaeur va chercher à maximiser l'espérance mahémaique de son niveau d'uilié 8, sous les conraines (25) e (26) : Max E( U) = p.u( C,C) + ( p).u( C, C2) (29) Le Lagrangien s écri : (3) Λ + = p.{ U( C,C) + λ.[( + r).( R C I) + EBE( I) C] } ( p).{ U( C,C ) + λ.[( + r).( R C I ) C ]} 2 2 Supposons comme habiuellemen que la foncion d'uilié soi addiive-séparable à aversion par le risque consane : ε ε C C U( C,C ) = +. (3) + a ε ε Condiions du premier ordre (annulaion des dérivées parielles du Lagrangien) : Λ = p. λ.[ ( + r) + EBE ( I) ] ( p). λ2.( + r) = I p λ2 debe( I ) EB E ( I ) = ( + r). +. où EBE ( I ) = p λ di (32) Λ = = ( p. λ+ ( p). λ2).( + r) C ε C (33) Λ =. = λ C + a ε C (34) Λ =. = λ2 C2 + a ε C2 (35) Λ = C = ( + r).( R C I) + EBE( I) λ (36) Λ = C2 = ( + r).( R C I) λ2 (37) 2 8 Ce crière de l espérance mahémaique de l uilié préconisé par Von Neumann e Morgensern peu en fai se déduire d un ensemble d axiomes sur les foncions d uilié (voir cours de micro-économie approfondie). 3

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15 = 2 I (38) De (36) e (37) ou de (25) e (26), on ire la relaion suivane : C C + EBE ( ) Eliminons λ e λ2. On obien aisémen : E ( I ) = ( + r) p. +. p ε ( + r).( R C I) + EBE( I) ( ) ( ) + r. R C I EB (39) + r = ε C + a. p p ε ε [( + r).( R C ) + ( )] [( + ) ( )] I EBE I r. R C I + (4) Le sysème des équaions (39) e (4) déermine les deux inconnues I e C. Pour le résoudre complèemen, il faudrai spécifier la foncion EBE ( I ) observaions suivanes., ce que nous ne ferons pas ici 9. On se limiera aux On rerouve bien enendu le cas "sans risque" en supposan p =. Désignons les soluions correspondanes par Î, Ĉ e Ĉ : (4) ε ( I ) = r EB E ˆ + e Noa : $ I es alors indépendan de a e de ε C$ C$ r = + + a Si p<, on ne peu plus calculer I indépendammen de a e de ε. L équaion (39) monre que le croche es supérieur à. Il en résule que EB E I ) > EBE ( ˆ ), ce qui enraîne, si l on suppose que la foncion ( ) I I ( I EBE es à rendemen décroissan (voir figure 2) : < I $ (42) Ainsi, la prise en compe du risque condui à décider un invesissemen de producivié marginale plus élevée, donc de moindre volume que dans la soluion "sans risque". Ce résula es général. Il en découle en oure une règle de prudence. En effe, s'il suresimai EBE ( I ) ou p, volonairemen ou involonairemen, l agriculeur n'aurai pas de revenus suffisans en période pour avoir une consommaion C 2 > ou en remboursan ses empruns... Il pourrai donc alors êre ené de ne pas assurer (oalemen) le service de sa dee! Pour prévenir ce risque "d'erreur", les banques demanden souven que l'invesisseur auofinance une parie suffisane (de 3 à 4 % courammen) de l'invesissemen oal ; elles demanden en oure des garanies mobilisables en cas de non-remboursemen du prê conseni. 9 Vous pourrez par exemple examiner le cas EBE ( I ) = A.I avec < β < Si l agriculeur n es pas averse au risque ( ε= ), alors p EBE ( I ) = + r. : l espérance du gain doi permere de rembourser l invesissemen marginal plus le aux d inérê. β 5

16 3.2 Assurance Revenons à nore agriculeur e, faisan désormais absracion du choix de l invesissemen, concenrons-nous sur la consommaion prévisible en période, qui peu prendre deux valeurs évenuelles, C avec la probabilié p e C 2 avec la probabilié ( p ) ; l espérance de la consommaion en période es : E( C) = p. C+ ( p). C2. (43) Aux deux valeurs possibles de la consommaion corresponden respecivemen les uiliés U( C) e U( C2), don l espérance es : E( U) = p.u( C) + ( p).u( C 2 ) (44) L aversion pour le risque se radui par la forme concave de la foncion d uilié, qui signifie : U[ p.c+( p).c2] p.u( C) + ( p).u( C2) (voir figure 3) (45) Auremen di : le consommaeur averse au risque préfère une consommaion ceraine (la même quel que soi l éa de la naure) à une consommaion variable de même moyenne. Le passage de la variabilié à la sabilisaion lui procure un gain d uilié. Il en résule qu il va rechercher à diminuer la variabilié de sa consommaion (ou de ses revenus), quie à sacrifier pour cela une parie de son gain, c es-à-dire quie à payer une prime d assurance. Considérons alors deux agens A e A* (consommaeurs ou enrepreneurs) qui son soumis aux mêmes éas de la naure (l éa e l éa 2 dans nore exemple), mais qui diffèren par les consommaions qu ils prévoien e/ou par leur aversion à l égard du risque : ils peuven êre amenés à s assurer muuellemen en passan un conra éabli selon le principe suivan. Tou se passe comme si chaque agen disinguai deux produis différens : le blé B dans l éa de la naure e le blé B 2 dans l éa de la naure 2 ; ils peuven alors chercher à échanger ces deux biens, exacemen comme dans le cas décri au chapire. Considérons ou d abord l agen A. Supposons qu il consomme la quanié de blé x (au lieu de C ) dans l éa de la naure e la quanié de blé y (au leu de C 2 ) dans l éa de la naure 2. Dans le plan ( X,Y), on ε ε peu racer (voir figure 4) la courbe d indifférence correspondan à l uilié ε ε x y U = p. + ( p). de la soluion sans échange ; elle ourne sa concavié vers le nordes (si ε> ) e passe par le poin M de coordonnées ( x y) en l absence d échange : il consommerai alors x ( ) kg de blé dans l éa de la naure e ( ),, représenan les consommaions de l agen A M y M kg de blé dans l éa de la naure 2. On race aisémen la courbe d indifférence correspondan à une uilié U Propriéé commune à chacune de ces courbes d indifférence( U ) bissecrice, la pene de la courbe (aux marginal de subsiuion TMS) vau : On peu effecuer les mêmes opéraions pour l agen A*. > U. : à son inersecion avec la première (46) dy p = dx U,x= y p Une présenaion commode es celle de la boîe d Edgeworh (voir chapire, annexe ). On ne discuera pas ici oues les possibiliés d échange ; on se bornera à la procédure concurrenielle, qui passe par l uilisaion de prix d échange, en siuaion de «price aker». Le mécanisme d offre e de demande déermine alors l échange ε En effe, en différenian à U consan on obien : ( ε) + ( ) ( ε) Or à l inersecion avec la première bissecrice, x = y. Donc: p. dx + ( p). dy = ε p.. x. dx p.. y. dy =, cqfd.. 6

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18 concurreniel opimal (représené par le poin Ω ) qui fourni simulanémen le prix d équilibre e les quaniés échangées. Ainsi, s il se réalisai l éa de la naure, l agen A devrai livrer à l agen A* la quanié de blé x( M ) x( ) y( Ω) y( M ). Ω ; s il réalisan l éa de la naure 2, l agen A* devrai livrer à l agen A la quanié de blé Cee procédure es décenralisable, c es-à-dire applicable quel que soi le nombre des demandeurs e des offreurs. Un cas pariculier noable es celui où l agen A* (par exemple) a une aversion nulle à l égard du risque (son uilié dépend alors seulemen de la moyenne de ses consommaions e es indifférene à leur variabilié 2 ). Ses courbes d indifférence son alors des droies, d équaion ( ) p. x* + l p. y* = U (on suppose oujours dans ce exemple simplifié que les éas de la naure on la même probabilié pour les deux consommaeurs). Le poin d échange concurreniel opimal se rouve alors à l inersecion de la droie d indifférence de l agen A* avec la première bissecrice relaive à l agen A qui se rouve ainsi oalemen assuré conre les aléas : sa consommaion (après a change) es la même dans les deux éas de la naure Éas de la naure non-probabilisables Il es fréquen que l on ne dispose ni de «loi de probabilié objecive», ni de dire d exper pour apprécier les risques qui pèsen sur un proje, e qu il ne soi pas possible de souscrire une assurance. On peu alors avoir recours à des crières de choix discre, en envisagean un cerain nombre (M) de décisions I,... I,... I e en imaginan par exemple un cerain nombre (N) de scénarios d invesissemen ( ) l m M (,...,... ) S S S. l n N On présenera ci-après sommairemen les deux crières les plus courans de choix en avenir incerain (non probabilisable). Pour une présenaion plus approfondie, voir le cours de héorie de la décision e des jeux. On se limiera ici (sans pere de généralié) à l hypohèse de deux décisions e de rois scénarios (M=2, N=3). Crière «maximum du minimum de profi» (ou «maximin») : Faisan l hypohèse qu il es dans le scénario S n e qu il décide de réaliser l invesissemen m l invesissemen peu (on le suppose) calculer le bénéfice acualisé (ou valeur nee acualisée) par euro invesi, que nous appellerons B mn. Considérons alors le ableau de ces valeurs dans l exemple suivan : Tableau 3 Bénéfice acualisé B mn m \ n S S 2 S 3 I I I, 2 C es le cas par exemple d une compagnie d assurance qui agrège les revenus d un grand nombre d assurés soumis à des aléas indépendans. 8

19 Si l invesisseur choisissai l invesissemen I, son bénéfice pourrai êre imporan ( dans le scénario S 3 ). Il risquerai de se ransformer en pere non négligeable (-3 dans le scénario S ). S il choisissai l invesissemen I 2, son bénéfice ne pourrai êre que modéré (5 dans le scénario S ), mais il n aurai jamais de pere. Le crière «maximin» consise à procéder en deux éapes : a) Pour chaque invesissemen I m, on cherche la plus peie valeur passan les N scénarios en revue : X = inf Bmn pour n=,..., N. Dans nore exemple : pour I X = 3 pour I 2 X 2 = m n X m des bénéfices acualisés B mn en b) On choisi ensuie l invesissemen qui donne le plus grand nombre des X m, en passan en revue les M décisions. Dans nore exemple, ce crière condui donc à choisir l invesissemen I 2. Crière «minimum du maximum de regre» (ou «minimax») L applicaion de ce crière compore rois éapes. a) On consrui d abord le ableau des regres, de la façon suivane : Supposons que l invesisseur ai choisi I. S il se produi le scénario S 2 ou S 3, il n aura aucun regre. Mais s il se produi le scénario S, en choisissan I 2, il aurai obenu au lieu de perdre 3 ; il éprouve donc un regre qui peu se chiffrer à : -(-3) = 4. Supposons mainenan qu il ai choisi l invesissemen I 2. Sil el scénario qui se réalise es S, il n aura aucun regre. Mais si c es S 3, en choisissan I, il aurai obenu au lieu de 5 ; il éprouvera donc un «regre», qui peu se chiffrer à : -5 = 5. R = B B D où le ableau de ses regres : mn ( m ) sup mn mn Tableau 4 Regres R m \ n S S 2 S 3 mn I 4 I 2 5 9

20 On déermine ensuie pour chaque invesissemen I m la plus grande valeur Y m du regre N scénarios en revue : Y = sup R pour n=,..., N m n mn Dans nore exemple : pour I Y = 4 pour I 2 Y 2 = 5 R mn, en passan les On choisi ensuie l invesissemen qui donne le plus pei Y m, en passan en revue les M décisions. Dans nore exemple, ce crière condui à reenir l invesissemen I Informaion imparfaie Tou ce qui précède suppose que ous les agens soien au même niveau d informaion. En pariculier, chacun es censé connaîre non seulemen ses propres caracérisiques, mais aussi celles des aures agens. Dans la réalié, l informaion es asymérique : par exemple, un enrepreneur ne connaî pas nécessairemen oues les caracérisiques de ses cliens. Il peu, par exemple avoir deux «ypes» de cliens, l une des caracérisiques par un paramère θ, l aure par un paramère θ ; mais lorsqu un clien se présene, l enrepreneur peu êre dans l incapacié d en deviner le ype, voire êre dans l obligaion légale de ne pas «faire de discriminaion». On y reviendra au chapire Fiscalié e choix des invesissemens On a jusqu ici fai absracion de la fiscalié. En fai, elle inervien de muliples façons, qui ne peuven êre évoquées que sommairemen dans un cours d iniiaion. L impô sur les sociéés frappe les résulas (posiifs) des enreprises, au aux τ. Le résula s obien en reranchan de l excéden bru d exploiaion EBE : - les frais financiers FF (payés par l enreprise sur ses dees à cour, moyen, long erme) - l amorissemen A (fracion de la valeur d acha de l invesissemen) e diverses provisions. L impô sur les sociéés e sur les résulas de l année ( ) es donc : IS τ.( EBE FF A) = (47) * Il es payé l année ( + ). De sore que le flux ne d encaisse E de l enreprise l année ( ) es : * E EBE.( EBE FF A ) = (48) τ En oue rigueur, l opimisaion du (2.2.2.) devrai donc enir compe de l impô, qui inrodui ainsi une inciaion à financer l invesissemen par emprun pluô que par auofinancemen, puisque les frais financiers FF son déducibles de l assiee imposable. 2

21 Le problème es plus complexe encore puisque, par le biais de l avoir fiscal, le consommaeur propriéaire peu déduire de son impô sur le revenu l impô sur les sociéés qui a éé reiré sur les bénéfices avan disribuion des dividendes. Ajouons que la TVA grevan le coû des invesissemens es déducible par les enreprises. Au oal, les crières de choix des invesissemens présenés aux 2 e 3 son donc rès simplificaeurs : la complexié de la fiscalié des enreprises condui à affiner les éudes en recouran à des simulaions beaucoup plus sophisiquées. ********** 2

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