PREMIER PROBLÈME. 1- Oscillations d une barre sur des rails. 2- Rails de Laplace

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1 PEMIE POBLÈME 1- Osciaions d un barr sur ds rais A- Un barr d mass m pu gissr sans fromns sur du rais paraès. Ls du rais a barr formn un pan horizona. Ls sus mouvmns possibs d a barr son ds ransaions rciigns paraèmn à a dircion ds rais noé O. La barr s ié à un rssor d raidur k. L origin ds abscisss s choisi orsqu rssor s au rpos. On pos ω avc a >. = km. À insan iniia, on âch a barr sans viss iniia à absciss = a k 1.1 Dérminr équaion différni du mouvmn par appicaion du princip fondamna d a dynamiqu. 1. Dérminr prssion d absciss d a barr n foncion du mps. 1.3 Dérminr prssion d énrgi mécaniqu n foncion du mps. 1.4 Monrr, qu n moynn sur un périod, énrgi cinéiqu s éga à énrgi poni. B- On rprnd probèm précédn mais, c fois, on suppos qu a barr subi un forc d fromns visquu F = αv où v s vcur viss d a barr α un cofficin posiif. On pos ω = km λ = α m. 1.5 Éabir équaion différni du mouvmn. 1.6 On suppos λ ω. Dérminr prssion d absciss d a barr n foncion du mps. 1.7 présnr aur du graph d n foncion d. 1.8 La condiion précédn éan oujours vérifié, monrr qu énrgi mécaniqu moynn sur un psudo-périod pu s mr sous a form approché : τ 1 EM = ka. On donnra prssion d τ. - ais d Lapac La barr d mass m pu gissr sans fromns sur ds rais paraès, disans d, disposés comm précédmmn. I n y a pus d rssor. En =, s rais son riés par un conducur. L nsmb ds rais, d a barr du conducur form donc un circui frmé. La résisanc écriqu d c circui s rprésné par un résisanc consan ocaisé sur conducur rian s du rais (cf. figur) L nsmb s pongé dans un champ magnéiqu saionnair uniform B. On défini un sns d circuaion posiiv sur circui comm indiqué sur a figur. Si un couran parcour circui, innsié sra compé 1

2 posiivmn si sumn si couran circu ffcivmn dans sns posiif choisi. On négig nièrmn s phénomèns d auo-inducion. A- La barr s ancé avc a viss iniia v dans sns ds croissans. Soi v = a viss d a barr à un insan. B.1 En appiquan a oi d Lnz-Faraday, dérminr prssion d a f.é.m. indui dans circui à un insan quconqu n foncion d v, B.. Si a barr s parcouru par un couran d innsié i, compé agébriqumn, dérminr a composan son O d a forc d Lapac subi par a barr..3 Fair un schéma écriqu équivan n déduir équaion écriqu du circui..4 Dérminr équaion mécaniqu par appicaion du princip fondamna d a dynamiqu..5 En déduir équaion différni vérifié par a viss v d a barr. On posra : m τ =. B.6 ésoudr compèmn c équaion racr graph d v n foncion d..7 Muipir chaqu mmbr d équaion écriqu par i chaqu mmbr d équaion mécaniqu par v. En déduir un bian d puissanc..8 Qu dvin énrgi cinéiqu iniia d a barr? B- On rprnd probèm précédn mais on rajou sur conducur rian s du rais, un généraur idéa d nsion d f.é.m. consan E (cf. figur). La barr s c fois iniiamn immobi. B E.9 Écrir équaion écriqu du circui équaion mécaniqu..1 En déduir prssion d a viss d a barr n foncion du mps. On pourra uiisr dans s prssions a consan τ défini au Tracr aur du graph d v n foncion d.1 Dérminr innsié i dans circui n foncion d racr graph corrspondan..13 Fair un bian d puissanc comm au.7. À quoi s uiisé a puissanc fourni par généraur?

3 3- Osciaions d un barr pongé dans un champ magnéiqu On rprnd disposiif du -A mais mainnan a barr s rié à un rssor d raidur k. L origin ds abscisss s pris orsqu rssor s au rpos. À insan iniia, absciss d a barr s éga à a (avc a > ) a barr s âché sans viss iniia. La barr pu gissr sans fromn sur s rais. B 3.1 Écrir équaion écriqu équaion mécaniqu. En déduir équaion différni vérifié par absciss d a barr. On posra : k m ω = τ =. m B 3. ésoudr compèmn c équaion si ωτ Tracr aur du graph d n foncion du mps. 3.4 Fair un bian d puissanc. Jusifir égaié suivan : 1 i d = ka. = 4- Osciaions d du barrs pongés dans un champ magnéiqu Du barrs paraès idniqus, d mêm mass m, puvn gissr sans fromn sur du rais, paraès, disans d. L nsmb ds rais ds barrs s dans un mêm pan horizona. Ls sus mouvmns possibs ds barrs son ds ransaions rciigns paraès à a dircion O ds rais. L nsmb s pongé dans un champ magnéiqu saionnair uniform B. Ls du barrs s ronçons d rais siués nr s barrs formn un circui frmé. C circui frmé possèd un résisanc écriqu (non rprésné sur schéma ci-dssous) qui sra supposé consan qu qu soi a posiion ds barrs. On défini un sns d circuaion posiiv sur c circui comm indiqué sur schéma. Chacun ds barrs s ié à un rssor d raidur k. La posiion d a barr 1 s rpéré par son absciss 1, compé à parir d a posiion pour aqu rssor auqu s ié s au rpos. D mêm, a posiion d a barr s rpéré par son absciss, compé à parir d a posiion pour aqu rssor auqu s ié s au rpos. On s rporra à a figur ci-dssous. 3

4 À insan iniia, s du barrs son âchés sans viss iniia au posiions 1 ( ) avc a >, ( ) =. B = a, Barr 1 Barr 4.1 Écrir équaion écriqu du circui. 4. Appiqur princip fondamna d a dynamiqu à chacun ds barrs n déduir du équaions mécaniqus. 4.3 Déduir d c qui précèd sysèm d équaions différnis vérifié par 1. On k m posra ω = τ =. m B 4.4 On pos X = 1 Y = 1. Dérminr équaion différni vérifié par X équaion différni vérifié par Y. 4.5 Qu s a imi d Y quand? En déduir au bou d un mps rès ong : s prssions d 1 n foncion d a naur du mouvmn ds du barrs ; innsié i. 4

5 SECOND POBLÈME LE CONDENSATEU On éudi un condnsaur pan. C condnsaur s supposé idéa, c s-à-dir qu on négig ou ff d bord. Ls armaurs on a form d disqu d a Oz d rayon a. L armaur 1 s siué n z = armaur n z =. On rpèr un poin d spac par ss coordonnés cyindriqus ( r,θ, z). On nora ( r, u uθ, u z ) a bas corrspondan. On s rporra au figurs ci-dssous. L spac nr s armaurs s défini par < z< < r < a. L miiu nr s armaurs s assimiab au vid (prmiivié µ prméabiié ). z y ε Armaur u θ u r z O r M θ a Armaur 1 O vu d dssus 5- Écrosaiqu On s pac n régim saionnair. L armaur 1 por a charg posiiv Q armaur a charg négaiv Q. L condnsaur pan éan supposé idéa, a charg surfaciqu s uniform sur un armaur ( σ sur armaur 1 σ sur armaur ). 5.1 Eprimr a charg surfaciqu σ. 5. Donnr prssion du champ écrosaiqu nr s armaurs n foncion d σ, ε u z. 5.3 Dérminr a différnc d poni nr s armaurs U = V 1 V où V 1 s poni d armaur 1 V poni d armaur. 5.4 Définir primr a capacié C d c condnsaur n foncion d ε, S où S rprésn a surfac d un armaur ( S = πa ). 5.5 Eprimr énrgi poni W p du condnsaur n foncion du champ écrosaiqu E, d S, ε. rouvr ainsi sur c mp prssion d a dnsié voumiqu d énrgi écriqu u. 5

6 6- Charg du condnsaur ( ) L condnsaur précédn éan iniiamn déchargé ( ) Q = =, on charg à aid du généraur idéa d nsion d f.é.m. consan U. On no a résisanc du circui. On s rporra au schéma ci-dssous pour s orinaions. i() U C Q() Q() (armaur 1) (armaur ) U A- Champ écriqu 6.1 Dérminr a oi d évouion d a charg Q n foncion du mps. On fra inrvnir dans c prssion a capacié C du condnsaur, U a consan τ = C. 6. Tracr aur du graph d Q n foncion d. À quoi s homogèn a consan τ? 6.3 Dérminr, n foncion d C U, pndan a duré d a charg (c s-à-dir nr = infini) : énrgi W 1 fourni par généraur ; énrgi W mmagasiné par condnsaur ; énrgi W 3 dissipé par ff Jou. 6.4 On suppos qu a charg Q vari suffisammn nmn pour qu prssion du champ écriqu soi a mêm qu c obnu n écrosaiqu à a qusion 5.. L champ écriqu E() s prim donc n foncion d a charg surfaciqu insanané σ () au mêm insan son a mêm raion qu n régim saionnair. Écrir, n foncion d, ε, U,, a dnsié surfaciqu d charg σ champ écriqu E(). B- Couran d dépacmn E 6.5 On rapp équaion d Maw-Ampèr : ro B= µ j ε µ. On app dnsié E d couran d dépacmn : jd = ε. On rapp aussi égaié : ε µ c = 1. Écrir équaion d Maw-Ampèr dans cas paricuir d spac nr s armaurs du condnsaur. Eprimr a dnsié d couran d dépacmn j D n foncion d, U,, τ ε. 6.6 Écrir a form inégra d équaion d Maw-Ampèr. Monrr qu corrspond à un héorèm d Ampèr généraisé à condiion d incur dans innsié nacé fu du couran d dépacmn. C- Magnéosaiqu 6.7 Pour dérminr champ magnéiqu nr s armaurs du condnsaur, on éudi d abord disposiif suivan : un conducur cyindriqu infini, d a Oz (vcur uniair u z ) d rayon a, s parcouru par un couran saionnair d dnsié uniform j = ju z. En éudian s syméris du probèm monrr qu champ magnéiqu B τ ( ) 6

7 créé par c disribuion d couran s orhoradia n dépnd qu d r, c s-à-dir qu B pu s écrir sous a form : B = B r u. ( ) θ 6.8 En appiquan héorèm d Ampèr, dérminr compèmn champ magnéiqu n foncion d µ, j r pour r < a. D- Champ magnéiqu 6.9 On rvin au condnsaur. À parir d a qusion 6.6, n s inspiran d a qusion 6.8, monrr qu champ magnéiqu nr s armaurs s écri pour r < a : Ur τ B = u θ. τc E- Puissanc rayonné 6.1 appr a définiion du vcur d Poyning Monrr qu vcur d Poyning n r = a (à a imi d spac nr s armaurs) pu s écrir : εua Π ( r a, ) τ τ = = u r. τ 6.1 En déduir a puissanc rayonné soran d spac nr s armaurs Dérminr aors énrgi écromagnéiqu qui s nré dans spac compris nr s armaurs pndan a charg du condnsaur (c s-à-dir nr = infini). Comparr avc énrgi mmagasiné par condnsaur obnu à a qusion Condnsaur n régim sinusoïda prmann L condnsaur précédn s rié à un généraur idéa d nsion déivran un f.é.m. sinusoïda. La charg Q() poré par armaur 1 vari donc sinusoïdamn son a oi Q = Q co s( ω). L armaur por un charg opposé. La charg s répari ncor uniformémn sur s armaurs. On suppos qu s variaions mpors son suffisammn ns pour qu champ écriqu nr s armaurs consrv a mêm prssion qu n régim saionnair. 7.1 Eprimr champ écriqu nr s armaurs n foncion d Q, ω, ε, a. 7. Dérminr champ magnéiqu nr s armaurs (par a mêm méhod qu à a qusion 6.9). On primra B n foncion d Q, ω, µ, a, r. 7.3 appr a définiion d a dnsié voumiqu d énrgi écromagnéiqu u, d a dnsié voumiqu d énrgi magnéiqu u d a dnsié voumiqu d énrgi écriqu u. 7.4 Monrr qu rappor d a dnsié voumiqu moynn d énrgi magnéiqu sur a dnsié voumiqu moynn d énrgi écriqu s écri : um ω r =. u 4c 7.5 En déduir qu si ac s rès pi dvan a périod T = π ω, a dnsié moynn d énrgi écromagnéiqu s confond avc a dnsié moynn d énrgi écriqu. Si a = 3 cm, dans qu domain d fréqunc a condiion précédn s- vérifié (on 8-1 rapp qu c = 3.1 m.s )? C condiion s- vérifié dans s monags usus? Qu rprésn physiqumn a duré ac? m m 7