SUITES. I. Suites géométriques. 1) Définition

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1 SUITES I Suites géométriues ) Défiitio Exemple : Cosidéros ue suite umériue (u ) où le rapport etre u terme et so précédet reste costat et égale à 2 Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sot : u 0 = 5, u = 0, u 2 = 20, u 3 = 40 Ue telle suite est appelée ue suite géométriue de raiso 2 et de premier terme 5 Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite géométriue s'il existe u ombre tel ue pour tout etier, o a : u + = u Le ombre est appelé raiso de la suite Retour à l'exemple : La suite itroduite plus haut est défiie par : u 0 = 5 u + = 2u Exemple cocret : O place u capital de 500 sur u compte dot les itérêts auels s'élève à 4% Chaue aée, le capital est multiplié par,04 Ce capital suit ue progressio géométriue de raiso,04 Méthode : Vérifier si ue suite est géométriue ) La suite (u ) défiie par : u = 4 2 est-elle géométriue? u + = 42 + = 42+ u = 2 42 = 6 Le rapport etre u terme et so précédet reste costat et égale à 6 (u ) est ue suite géométriue de raiso 6 2) La suite (v ) défiie par : v 2( ) 3 v v 0 ( + ) ( + ) 3 2 v = = 8 et v 2 ( + ) ( + ) = + est-elle géométriue? = = La suite (v ) 'est pas géométriue 3 Yva Moka et tiues

2 Propriété : (u ) est ue suite géométriue de raiso et de premier terme u 0 Pour tout etier aturel, o a : u Démostratio : La suite géométriue (u ) de raiso et de premier terme u 0 vérifie la relatio u + = u E calculat les premiers termes : u = u 0 2 u = u = u = u u = u = u = u u = u = u = u 0 0 Méthode : Détermier la raiso et le premier terme d'ue suite géométriue Cosidéros la suite géométriue (u ) tel ue u 4 = 8 et u 6 = 52 Détermier la raiso et le premier terme de la suite (u ) Les termes de la suite sot de la forme u = u 0 Aisi u 4 = 4 u 0 = 8 et u 6 = 6 u 0 = 52 Aisi : u 6 u 4 = 6 u 0 4 u 0 = 2 et u 6 u 4 = 52 8 = 64 doc 2 = 64 Aisi = 64 = 8 Comme 4 u 0 = 8, o a : 8 4 u 0 = 8 et doc : u 0 = 52 2) Variatios Défiitios : Soit ue suite umériue (u ) - La suite (u ) est croissate sigifie ue pour tout etier, o a u + u - La suite (u ) est décroissate sigifie ue pour tout etier, o a u + u Propriété : (u ) est ue suite géométriue de raiso et de premier terme positif et o ul u 0 - Si > alors la suite (u ) est croissate - Si 0 < < alors la suite (u ) est décroissate Yva Moka et tiues

3 Démostratio: u + u = + u 0 u 0 ( ) - Si > alors u + u > 0 et la suite (u ) est croissate - Si 0 < < alors u + u < 0 et la suite (u ) est décroissate Exemple : La suite arithmétiue (u ) défiie par u = 4 2 est positif et la raiso est supérieure à est croissate car le premier terme II Sommes de termes cosécutifs Propriété : est u etier aturel o ul et u réel différet de alors o a : = Remarue : Il s'agit de la somme des premiers termes d'ue suite géométriue de raiso et de premier terme Démostratio : S = S = Aisi : S S = S S = S = S = + Yva Moka et tiues

4 Méthode : Calculer la somme des termes d'ue suite géométriue ) Calculer la somme S suivate : S = S = = 34 3 = ) U jeue etrepreeur ivestit u capital de départ de pour so etreprise Afi de la dyamiser, il ijecte chaue mois ue somme supplémetaire à so capital, celle-ci dimiue de 30% chaue mois Calculer le total du capital ivesti à la fi de la première aée O ote ( u ) le capital ijecté au -ième mois Alors u + = 0,7u ( u ) est doc ue suite géométriue de raiso = 0,7 et de premier terme u 0 = Le total du capital ivestit à la fi de la première aée est : S = u + u + u + + u 0 2 = u + u + u + + u ( ) = u = u0 0,7 = , III Limites ) Limite de la suite ( ) : 0 < < = > lim = Exemples : - lim 4 = lim = Yva Moka et tiues

5 2) Limite d'ue somme lim + u = L L lim + v = L' + ( u v ) lim + = L + L' + + Exemple : lim ( 4 3) O a lim + + +? 4 = + doc lim ( 4 3) + 3) Limite d'u produit + = + lim + u = L L > 0 L < 0 lim + v = L' + + ( u v ) lim + = L L' + Exemple : lim ? lim = 0 doc lim = 2 lim = 0 doc lim = 3 D'où : lim = 2 5 = ) Limite d'ue suite géométriue Propriété : (u ) est ue suite géométriue positive de raiso et de premier terme o ul u 0 - Si > alors lim u + = + - Si = alors lim u + - Si 0 < < alors lim u + = 0 Yva Moka et tiues

6 Démostratio : (u ) est ue suite géométriue de raiso et de premier terme positif o ul u 0 doc u Doc lim u 0 lim = u + + Méthode : Utiliser la limite d'ue suite géométriue Détermier les limites suivates : 2 a) lim + 3 b) lim c) lim ( 3 2 ) + a) 2 3 est le terme gééral d'ue suite géométriue de premier terme 3 et 2 > de raiso 2 2 Doc lim + 3 = + b) lim 3 = car 3 5 est le terme gééral d'ue suite géométriue de premier terme 3 et de raiso 5 et < 5 < Doc lim + 3 = + 5 c) = 3 Or 2 lim = car 2 3 est le terme gééral d'ue suite géométriue de raiso 2 3 et < 2 3 < Doc : 2 lim = + 3 Or lim 3 = + car 3 est le terme gééral d'ue suite géométriue de raiso 3 et + Yva Moka et tiues

7 3 > Doc par limite d'u produit Et doc lim ( 3 2 ) + = + 2 lim 3 = ) Limite de la somme des premiers termes d'ue suite géométriue Propriété : (u ) est ue suite géométriue positive de raiso et de premier terme positif et o ul u 0 - Si > alors lim u u + u u = + - Si 0 < < alors lim u u + u u Démostratio : u + u + u + + u 0 2 = u + u + u + + u ( ) = u = u0 + - Si >, lim + + = + doc lim ( + ) = et doc lim ( + ) + + Or u 0 > 0 et < 0 doc lim u + 0 = + - Si 0 < <, lim + + D'où lim u = 0 et doc ( + ) lim = + + = 6) Algorithme permettat de détermier u rag à partir duuel ue suite ( ) est iférieure à u ombre réel A : O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 2 et pour tout etier, u + = 4 u Voici u algorithme écrit e lagage aturel : Yva Moka et tiues

8 Lagage aturel Etrée Saisir le réel A Iitialisatio Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur 2 Traitemet des doées Tat ue u > A Faire Affecter à la valeur + Affecter à u la valeur u/4 Sortie Afficher E appliuat cet algorithme avec A = 0,, o obtiet e sortie = 3 A partir du terme u 3, la suite est iférieure à 0, E lagage calculatrice, cela doe : TI CASIO III Suites arithmético-géométriue Défiitio : Ue suite (u ) est dite arithmético-géométriue s'il existe deux ombres a et b tels ue pour tout etier, o a : u + = au + b Exemple : U ivestisseur dépose 5000 sur u compte rémuéré à 3% par a Chaue aée suivate, il dépose 300 de plus O ote (u ) la somme épargée à l'aée O a alors : u + =,03u et u 0 = 5000 La suite (u ) est arithmético-géométriue Méthode : Etudier ue suite arithmético-géométriue O cosidère la suite (u ) précédete défiie pour tout etier par u + =,03u et u 0 = 5000 Yva Moka et tiues

9 ) À l'aide du tableur, calculer la somme totale épargée à la 0 ème aée 2) Prouver ue la suite (v ) défiie pour tout etier par v = u est géométriue et doer sa raiso et so premier terme 3) Exprimer v e foctio de 4) E déduire u e foctio de Retrouver alors le résultat de la uestio par calcul 5) Etudier les variatios de (u ) 6) Calculer la limite de (u ) ) Avec le tableur, o obtiet : La somme totale épargée à la 0 ème aée est égale à eviro 058,75 2) v+ = u =, 03u =, 03u ( u ) =, =,03v Doc (v ) est ue suite géométriue de raiso,03 et de premier terme v = = ) Pour tout, v = 5000,03 4) Pour tout, u = 5000, O a alors : u 0 = 5000, ,75 5) Pour tout, + u u = 5000, , = 5000, 03, 03 = 5000, 03, 03 = 450, 03 > 0 Yva Moka et tiues

10 Doc la suite (u ) est strictemet croissate 6) Comme,03 >, lim,03 = + doc lim ( 5000,03 ) + + Et doc lim ( 5000, ) = + + lim u + = + = + Aucue reproductio, même partielle, autres ue celles prévues à l'article L 22-5 du code de la propriété itellectuelle, e peut être faite de ce site sas l'autorisatio expresse de l'auteur Voir le cotrat : Yva Moka et tiues

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