Par Marcel Mountsiesse
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- Victorien Mélançon
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1 Article 36 Démostratio directe du derier théorème de Fermat Par Marcel Moutsiesse Résumé : Das ce travail, ous ous roosos de rouver ar ue méthode élémetaire l imossibilité de l équatio de Fermat das * 3. Mots clefs : Equatio de Fermat, biôme de Newto, iégalité triagulaire, fractios irréductibles. Itroductio Le théorème de Fermat, éoçat qu il est imossible de trouver trois ombres etiers o uls,,, vérifiat our etier 3, l égalité + coserve ecore tout so mstère. L éigme se ose e termes d eistece d ue reuve élémetaire, car Fermat a rétedu osséder ue démostratio de so théorème. Das ce travail, ous evisageos ue aroche qui motre que ce théorème de Fermat est démotrable das sa gééralité avec des outils qui étaiet cous de so tems. Domaie d étude Les ricies d équivalece des équatios algébriques motret que si trois ombres etiers o uls, et vérifiet l équatio de Fermat suivat l égalité +, alors il e est de même our, et, à ermutatio rès. E effet, si est u etier air, o a toujours : + + Si est u etier imair, il a toujours ue étae das la trile équivalece suivate où l égalité e cotiet que des ombres ositifs : + (-) + (-) (-) (-) + (-) + (-) Doc, our étudier le comortemet des solutios de l équatio de Fermat, o eut travailler uiquemet avec des ombres strictemet ositifs. 3 Pricie de la méthode La méthode s auie sur u ricie caractéristique des ombres etiers qui stiule : tout ombre strictemet comris etre deu etiers cosécutifs est as u etier. Aisi, our établir l imossibilité de l équatio de Fermat, il suffit de démotrer que si et/ou sot etiers, alors doit être écessairemet comris etre deu etiers cosécutifs. *Adresse de l auteur : Cetre Gabriel Lamé Laboratoire Africai de Mathématiques Elémetaires. BP : 63. Poite-Noire. Réublique du Cogo. lame_labo_mm@ahoo.fr
2 4 Méthodologie Soit (,, ) u trilet de ombres strictemet ositifs qui vérifiet l égalité : où est u etier suérieur ou égale à 3. + ( ) Alors, o eut écrire + + ( ) Ou ecore, d arès la formule du biôme de Newto, D où + Chaque terme de rag état ositif, o eut écrire : ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) Aisi, our le cas articulier, o a la double iégalité : ( 6 ) O déduit de ce résultat que : + ( 7 ) Pour comredre le comortemet de ar raort à et, o est ameé à distiguer deu cas : - er cas : - ème cas : > 4. Etude du remier cas ( ) La double iégalité obteue au ( 7 ) s écrit ecore : + ( 8 )
3 3 Comme, si est u etier ositif o ul, alors o a toujours : ( 9 ) D arès ( 8 ) et ( 9 ), il aaraît que : + ( ) Doc, e eut as être u etier e même tems que quad est etier. L équatio de Fermat est imossible das le remier cas. 4. Etude du deuième cas ( > ) Das ce cas, tout trilet (,, ) vérifiat l égalité ( ) doit aussi vérifier l iégalité : + ( ) O eut doc étudier le comortemet de suivat que : et. 4.. Suosos E cosidérat les valeurs absolues, o eut écrire la trile égalité suivate : + ( ) Or, l iégalité triagulaire ous ermet aussi d écrire : o ( 3 ) Doc ( 4 ) E rarochat ce résultat de celui obteu au ( ), o déduit que ( voir aee, age 6 ) : + ( 5 )
4 Ou, lus simlemet : ( 6 ) Chaque terme de rag état ositif, o a écessairemet, our tout : ( 7 ) Aisi, das le cas aticulier où, cette relatio ( 7 ) se résete comme suit : ( 8 ) Ou, lus simlemet ce qui sigifie, ( 9 ) - ou + ( ) Or, si est u etier strictemet ositif, o a toujours : Doc, d arès ( ), o doit avoir : ( ) - ou + ( ) e eut as être u etier e même tems que. L équatio de Fermat est imossible das le deuième cas si 4.. Suosos L équatio de Fermat s écrit alors : + ( 3 ) Celle-ci est équivalete au sstème d équatios suivat : a a (4 )' ( 4 ) (4 )' 4
5 D arès (4 ), o eut remarquer que : - si a, alors e eut as être u etier, ce qui e ous itéresse as ; - si a >, l étude 4. du remier cas motre qu o a toujours : a a + ( 5 ) Doc, les ombres et a e euvet as être tous les deu à la fois des etiers. Cosidéros our la suite que est u etier strictemet ositif : Si ous suosos que a est u ratioel o etier, alors il doit eister deu etiers u et v, remiers etre eu, tels que : a / u / v ( 6 ) Autremet dit, a doit ouvoir s écrire comme ue fractio irréductible. Or, d arès (4 ), o doit avoir : (u / v) - ( 7 ) Le membre droit état etier, cette égalité est imossible, car aucue uissace -ième d ue fractio irréductible, d eosat o ul, est égale à u ombre etier. Il découle de cette cotradictio que les etiers hothétiques u et v eistet as. Doc a est u ombre irratioel. Das ce cas, d arès ( 4 ), est aussi u ombre irratioel ( car roduit d u ombre etier ositif o ul ar u ombre irratioel ). E défiitive, ( 8 ) e eut as être u etier e même tems que. L équatio de Fermat est aussi imossible das le deuième cas si 5 Coclusio Le derier théorème de Fermat, éocé e 637, est démotrable das sa gééralité avec des outils qui étaiet cous de so tems. Référeces [] Caratii R. Dictioaire des découvertes, Editio, 99. [] Chemol M., Combrade M., Boeval L-M., Gaud D., Jussiaume L., Terrochaire R., Mathématiques Secode. Breal, Ros,. [3] Codamie M. Algèbre, Termiale C-E. Collectio P. Vissio, Delagrave, 97. [4] Revue Scieces et vie 9, Août
6 Aee : justificatio du assage (5) Pour redre lus évidete la relatio (5), o eut erimer la somme ci-dessous otée S (), S (), e foctio de e ². O obtiet l eressio équivalete suivate que l o ote δ (e) : + e δ (e) (A.) ² O eut aisi remarquer lus clairemet ue itéressate roriété : S () S ( ² - e ) S ( ² + e ) δ (e) (A.) Or, d arès (4), o sait aussi qu o a toujours : (A.) ci-dessus, o eut écrire de maière lus détaillée : S (). Doc, e utilisat la roriété - si > ( c est-à-dire ² + e ), alors δ (e) (A.3 ) - si ( c est-à-dire ² - e ), alors Sachat que, d arès (), o a toujours : (A.3 ) la double iégalité suivate : + δ (e) δ (e) ( A.3 ), il découle des relatios (A.3 ) et + (A.4) E remlaçat δ (e) ar S () qui est so eressio équivalete o trouve : D où l iégalité (5) : S () + (A.5) + 6
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