4. Calculer en utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
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- Marie-Françoise Henry
- il y a 7 ans
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1 1S DS o 1 Durée : h Exercice 1 ( 7 poits ) 1. La suite (u ) est défiie pour tout etier aturel par u = 3 + est-elle arithmétique? Pour tout etier aturel, o a : u +1 = ( + 1) 3( + 1) + = = La différece de deux termes cosécutifs est pas costate (déped de ) doc la suite (u ) est pas arithmétique. Remarque O peut aussi calculer u 0 = =, u 1 = = 0 et u = 6 + = 0 O a alors u 1 u 0 = 0 = et u u 1 = 0 0 = 0 La différece de deux termes cosécutifs est pas costate doc la suite (u ) est pas arithmétique.. (u ) est ue suite arithmétique de premier terme u 1 et de raiso r telle que u 1 = 5 et u 0 = 49. Exprimer u e foctio de puis calculer u 1 + u u 30. u 0 = u 1 + (0 1) r 49 = 5 + 8r 4 = 8r r = 3 O a alors u = u 1 + ( 1)r = = u = O a alors u 1 = = 8 et u 30 = = 79 u 1 + u u 30 = 30 u 1 + u 30 = = 1065 u 1 + u u 30 = 1065 Remarque Si le premier terme est u 1, o a u = u 1 + ( 1)r. O peut détermier u 1 e utilisat la relatio u 1 = u 1 + (1 1) 3 soit 5 = u (u ) est ue suite géométrique de raiso q = 0, 4 et de premier terme u 0 = 3. Etudier les variatios de la suite (u ). (u ) est ue suite géométrique de raiso q = 0, 4 et de premier terme u 0 = 3 doc u = u 0 q = 3 0, 4 et u +1 = 3 0, 4 +1
2 Pour tout etier aturel, o a : u +1 u = 3 0, 4 +1 ( 3 0, 4 ) = 3 0, 4 0, 4 ( 3 0, 4 ) = 3 0, 4 (0, 4 1) = 3 0, 4 ( 0, 6) = 1, 8 0, 4 0, 4 > 0 doc u +1 u > 0 doc la suite (u ) est strictemet croissate. 4. Calculer e utilisat ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme. O cosidère la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raiso q = et o a alors pour tout etier aturel, u = u 0 q = O cherche doc tel que u = = 3768 Avec la calculatrice (MENU TABLE puis Y 1 = X avec XSTART=1 et PITCH=1) o obtiet u 15 = = u u 15 = u = = = La suite (u ) est défiie pour tout etier aturel par u = Etudier les variatios de (u ). O pose f défiie sur [0; + [ par f(x) = x 3 x + 5x 3 et o a alors pour tout etier aturel, u = f(). f est dérivable sur [0; + [ et f (x) = 3x 4x + 5 Etude du sige de f (x) = b 4ac = ( 4) = 44 < 0 doc 3x 4x + 5 admet aucue racie et f (x) est de sige costat et du sige de a = 3 coefficiet de x O a doc f (x) > 0 doc f est strictemet croissate doc (u ) est strictemet croissate.
3 6. La suite (u ) est défiie pour tout etier aturel 1 par la relatio u +1 = u et u 1 =. O admettra que pour tout etier aturel 1, u > 0. Etudier les variatios de la suite (u ). E déduire, e utilisat la calculatrice, le plus petit etier aturel 3 tel que u < Pour tout etier aturel 1 : u +1 u = u = u u u = u u = u ( ) u > 0 et 1 doc u +1 u est du sige de. < 0 pour > doc pour 3 o a u +1 u < 0 doc la suite (u ) est strictemet décroissate pour 3. Avec le MENU RECUR puis e sélectioat TYPE=a +1, o a : O a alors u et u La suite (u ) est strictemet décroissate pour 3 doc pour tout etier 19, o aura u u 19 < Le plus petit etier aturel 3 tel que u < est 19. Exercice ( 7 poits ) Ue persoe loue ue maiso à partir du 1 javier 000. Elle a le choix etre deux formules de cotrat. Das les deux cas, le loyer auel iitial est de 3600 e et le locataire s egage à occuper la maiso pedat euf aées complètes.
4 1. Cotrat 1 : Le locataire accepte ue augmetatio auelle de 6 % du loyer auel de l aée précédete. O ote u le loyer auel auel pour l aée a) Que vaut u 0? Calculer u 1 et u. u 0 est le loyer auel de l aée = 000 doc u 0 = u 1 est le loyer auel de l aée = 001 doc u 1 = = 1, = u est le loyer auel de l aée = 00 doc u = = 1, = 4044, u 0 = 3600, u 1 = 3816 et u = 4044, 96. b) Quelle est la ature de la suite (u )? Justifier la répose. u est le loyer auel de l aée et u +1 est le loyer auel de l aée suivate soit u augmeté de 6%. u +1 = u u = 1, 06u doc (u ) est ue suite géométrique de raiso q = 1, 06. Rappel : relatio de récurrece pour ue suite géométrique de raiso q : u +1 = qu c) Exprimer u e foctio de. Calculer u 6 (arrodir le résultat à l uité) ; que représete ce résultat? (u ) est ue suite géométrique de raiso q = 1, 06 et de premier terme u 0 = 3600 doc u = u 0 q = , 06. u 6 = , Le loyer auel de l aée = 006 est de 5107 euros eviro. d) Soit G la somme payée à l issue de ( + 1) aées de cotrat. Exprimer G e foctio de. Le locataire loue pedat + 1 aées complètes sot jusqu à la fi de l aée doc il faut calculer G = u 0 + u u G = u 0 1 q+1 1 q (il y a + 1 termes de u 0 à u )
5 1 1, 06+1 = , 06 = , 06 (1 1, 06+1 ) = (1 1, ) = (1, ) Il va payer G = (1, ) euros pedat + 1 aées de locatio.. Cotrat : Le locataire accepte ue augmetatio auelle costate de 300 e du loyer auel de l aée précédete. O ote v le loyer auel pour l aée a) Que vaut v 0? Calculer v 1 et v. V 0 est le loyer auel de l aée = 000 doc v 0 = v est le loyer auel de l aée = 001 doc v 1 = = v est le loyer auel de l aée = 00 doc v = = 400 v 0 = 3600, v 1 = 3900 et v = 400 b) Quelle est la ature de la suite (v )? Justifier la répose. v est le loyer auel de l aée et v +1 est le loyer auel de l aée suivate soit v augmeté de 300 euros. v +1 = v doc (v ) est ue suite arithmétique de raiso r = 300. Rappel : relatio de récurrece pour ue suite arithmétique de raiso r : u +1 = u + r c) Exprimer v e foctio de. Calculer v 6 ; que représete ce résultat? (v ) est ue suite arithmétique de raiso r = 300 et de premier terme v 0 = 3600 doc v = v 0 + r = v 6 = = 5400 Le loyer auel de l aée = 006 est de 5400 euros.
6 d) Soit A la somme payée à l issue de ( + 1) aées de cotrat. Exprimer A e foctio de. Le locataire loue pedat + 1 aées complètes sot jusqu à la fi de l aée doc il faut calculer A = v 0 + v v A = ( + 1) v 0 + v = ( + 1) = ( + 1) = ( + 1) ( ) Il va payer A = ( + 1) ( ) euros pedat + 1 aées de locatio. 3. Quel est le cotrat le plus avatageux pour le locataire à l issue des 9 aées? Justifier la répose. Après 9 aées de locatio o a doc : G 8 = (1, ) euros et A 8 = 9 ( ) = 4300 euros Le cotrat 1 est plus avatageux pour euf aées de locatio. 4. O suppose maiteat que le locataire reste das la maiso 0 as aux mêmes coditios d augmetatios auelles. A partir de quelle aée le cotrat aura été le plus avatageux? Justifier la répose. Avec le MENU TABLE ou RECUR de la calculatrice, o peut calculer les termes A et G pour 0 0. Das TABLE, o peut saisir Y 1 = (1, 06 X+1 1) et Y = (X + 1) ( X) puis XSTART=0, XEND=0 et PITCH=1 O a alors A 16 < G 16 et A 17 > G 17 doc = 17 et cela correspod à l aée = 017 soit la 18ième aée de locatio. doc le cotrat est plus avatageux à partir de 017.
7 Exercice 3 ( 6 poits ) Partie A O cosidère l algorithme suivat : Les variables sot le réel U et les etiers aturels k et N. Etrée Saisir le ombre etier aturel o ul N. Traitemet Affecter à U la valeur 3 Pour k allat de 0 à N Affecter à U la valeur 1 4 U + 3 Fi pour Sortie Afficher U Quel est l affichage e sortie lorsque N =? (justifier) Si N =, o a : Premier passage das la boucle POUR : k = 0 et U = = 15 4 Deuxième passage das la boucle POUR : k = 1 et U = = Troisième passage das la boucle POUR : k = = N et U = = Arrêt de la boucle puisque k = N = Il va s afficher Partie B O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 3 et, pour tout etier aturel, u +1 = 1 4 u Calculer u 1 et u. E preat = 0 : u 1 = 1 4 u = 15 4 E preat = 1 : u = 1 4 u = u 1 = 15 4 et u = Justifier que la suite (u ) est i arithmétique i géométrique. Si (u ) est arithmétique, o a pour tout etier aturel : u +1 = u + r
8 doc (u ) est pas arithmétique (coefficiet 1 4 devat u ) Si (u ) est géométrique, o a pour tout etier aturel : u +1 = qu doc (u ) est pas géométrique ( o ajoute 3) La suite (u ) est i arithmétique, i géométrique. 3. Soit la suite (v ) défiie, pour tout etier aturel, par v = u 4. a) Motrer que v +1 = 1 4 v. Pour tout etier aturel, o a : v +1 = u +1 4 = 1 4 u = 1 4 u 1 = 1 4 (u 4) = 1 4 v v +1 = 1 4 v E déduire que (v ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme. La suite (v ) est géométrique de raiso q = 1 4 et de premier terme v 0 = u 0 4 = 3 4 = 1 b) Doer l expressio de v e foctio de, et e déduire que u = 4 ( 1 4 ), ( ) 1 v = v 0 q = 1 = v = u 4 doc u = v + 4 = u = a) Motrer que (u ) est ue suite croissate sur N. u +1 = u +1 u = (4 1 4 ) =
9 = = 1 4 ( ) = > 0 doc u +1 u > 0 doc la suite (u ) est strictemet croissate. b) Détermier à l aide de la calculatrice le plus petit etier tel que u 3, 99. MENU TABLE ou RECUR de la calculatrice. Avec le meu TABLE Y 1 = 4 1 et XSTART=1 et PITCH=1. 4X O a alors u 3 3, 984 et u 4 3, 996 (u ) est strictemet croissate doc pour 4, o a u u 4 > 3, 99. Le plus petit etier tel que u 3, 99 est 4. c) Modifier l algorithme pour qu il affiche e sortie la valeur du plus petit etier tel que u 3, 99. Il faut alors utiliser ue boucle TANT QUE : Traitemet Affecter à la valeur 0 Affecter à U la valeur 3 Tat que U < 3, 99 Affecter à U la valeur 1 4 U + 3 Affecter à la valeur + 1 Fi Tat que Sortie Afficher
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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