STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES

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1 STAGE DE MISE A NIVEAU EN MATHEMATIQUES Les foctios racie carrée, valeur absolue ou partie etière Eercice Détermier la limite de + + quad ted vers Eercice Vérifier que ( 5) = 6 5 A-t-o l'égalité 6 5 = 5? Eercice O souhaite étudier la parité de la foctio f défiie par f ( ) = + Deu étudiats répodet à cette questio de la faço suivate : répose a) f ( ) = f ( ) doc f est paire répose b) f ( ) = + doc f ( ) = f ( ) ce qui motre que f est impaire Que pesez-vous de ces réposes? Eercice 4 Détermier lim + Eercice 5 Calculer 0 ( ) d Eercice 6 a) Étudier la représetatio graphique de la foctio défiie sur IR par : f ( ) = E( ) b) Après avoir remarqué que, pour tout réel, < E( ), doer u ecadremet de E ( ) Eercice 7 Etudiez la représetatio graphique de la foctio défiie sur IR par f ( ) = E( )

2 L'élévatio à la puissace Eercice Quel est le moôme de degré das P ( ) = ( )( + )? Eercice Trouver le terme de degré das ( + + ) (o pourra réaliser u arbre) Les symboles et Eercice Ecrire à l aide du symbole, les sommes suivates : a) (, IN ) 4 + b) f ( + ) + f ( + ) + + f ( ) ( ) Eercice + cos( ) + cos( ) + + cos( ), Ecrire à l aide du symbole le produit ( ) Les simplificatios Eercice a Motrer que la suite défiie par so terme gééral u =, où a est u ombre réel strictemet ( )! compris etre 0 et est ue suite strictemet décroissate Eercice ( + ) Retrouver rapidemet le résultat suivat: pour tout etier aturel, = E déduire, pour tout etier aturel, ( + )! Eercice

3 Démotrer que le produit de l'iverse de la somme de deu ombres et de la somme des iverses de ces deu ombres est égal à l'iverse de leur produit Eercice 4 Démotrer que C p C p+ C p+ + = + Eercice 5 Soit ( u ) la suite défiie par so terme gééral u+ u = Etudier le sige de 4 u Eercice 6 Soit f ue foctio réelle défiie par sige de f ' sur cet itervalle f ( + ) = Calculer '( ) f si ], [ et étudier le Eercice 7 Eprimer e foctio de les réels : 4 e l( e ), l( e ),l( ) l( e 4 + Les complees Eercice ) Doer la partie réelle et la partie imagiaire des complees z = ( + ) et z ( ) i = i Eercice Écrire sous forme algébrique les ombres complees suivats : ( i)( + i) ; + i i Eercice Détermier les ombres réels et y solutios des équatios suivates : a) ( + i) + y = i + i + 5 i y = b) ( ) ( ) i Eercice 4 Pour quelles valeurs du ombre réel, [ 0 + i( + ) ]( i) Eercice 5 Détermier les ombres complees z tels que : z z i soit u ombre réel a) ( )( ) b) ( i) z ( + i) = ( z + i) est-il u réel?

4 Eercice 6 Calculer le module des ombres complees suivats : i ; + i ; 5 + i Eercice 7 Détermier les ombres complees z tels que z, z et z aiet même module Eercice 8 Doer le module et u argumet des ombres complees suivats : + i a) z = b) z = c) z = + i i + i Le calcul usuel de limites Eercice Calculer lim (+ ) Eercice Soit f : a et soit g : a + Etudier lim f ( )g( ) + La compositio des foctios Eercice O cosidère la foctio f, défiie par f ( ) = cos, qui est la composée de la foctio cosius et de la foctio carré π «La foctio cosius est décroissate sur ;π et la foctio carré est croissate sur π ;π : π o e déduit que f est décroissate sur ;π» π Pourtat f ( ) = 0 et f ( π ) = Où est l'erreur? Eercice Les foctios f et g sot défiies sur IR par f ( ) = et g ( ) =

5 Calculer g o f () pour tout réel La dérivatio d'ue foctio composée Eercice O cosidère des foctios u et v dérivables sur IR telles que: u(0 ) = 5, u' (0 ) =, u' (6 ) = et v(0 ) = 6, v' (0 ) = 4, Calculer les ombres ( u o v )'(0 ) et ( v o u )'(0 ) v' ( 5 ) = 5 Eercice O cosidère ue foctio f défiie et dérivable sur l'esemble IR-{} telle que: 4 pour tout IR {}, f ' ( ) = ( ) O admet qu'ue telle foctio eiste et o e cherchera pas à calculer f() Das chacu des cas suivats, détermier sur quels itervalles o est sûr que la foctio est dérivable et epliciter sa dérivée a) g : a f ( ) ; b) h : a f ( ) ; c) i : a f (cos ) ; d) j : a cos( f ( )) Eercice Détermier sur quel itervalle la foctio suivate est dérivable et calculer sa dérivée : f ( ) = l( + ) Utiliser et établir des iégalités Eercice Détermier l'esemble des réels vérifiat l'iégalité > 0 + U étudiat a répodu de la maière suivate: La résolutio algébrique de > est doée par + >, c'est-à-dire >0 + Qu'e pesez-vous? Plus précisémet, dessier les courbes des foctios défiies par g ( ) =, puis résoudre graphiquemet l'eercice proposé f ( ) = et + Eercice Etablir les iégalités:

6 4 a) pour tout ombre réel, si ( ) si ( ) b) pour tout ombre réel 0, π,si Utilisatio d'u tableau de variatios Eercice La foctio f défiie par f ( ) = 4 + a pour tableau de variatios - + f() 6 4 Combie de solutios possède l équatio f ( ) = 0? Détermier a pour que l équatio f ( ) = a possède eactemet deu solutios Doer u ecadremet de f() sur [ ;] puis sur [ ;] Eercice O coaît le tableau de variatios d'ue foctio réelle f: f'() f() Doer l'allure de la courbe de cette foctio das u repère orthoormé Eercice Détermier u ecadremet de e pour 0;

7 Eercice 4 5 a) e utilisat les dérivées successives de la foctio si +, démotrer que, pour tout! 5! 4 5 ombre réel 0, o a cos + et si +!! 4!!! 5! si cos b) détermier la limite de lorsque ted vers 0, > 0 Etude de courbes Eercice e Soit f la foctio défiie sur IR par f ( ) = e Justifier que f est défiie sur IR Calculer les limites de f e + et e et iterpréter graphiquemet Etudier les variatios de f et costruire la courbe C de f Eercice Soit f la foctio défiie sur IR\{ } par courbe C de f f ( ) = Étudier les variatios de f et costruire la + Les esembles Eercice Soit E l esemble des cartes d u jeu de trete deu cartes Quel est le sous-esemble complémetaire de la réuio de l esemble des trèfles et de l esemble des as? Quelle est l itersectio des complémetaires das E de l esemble des trèfles et de l esemble des as? Quel est le sous-esemble complémetaire de l itersectio de l esemble des cœurs et de l esemble des dames? Quelle est la réuio des complémetaires das E de l esemble des cœurs et de l esemble des dames?