CHAPITRE 1-4 MESURE DE L'INÉGALITÉ ET DE LA CONCENTRATION

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1 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato CHAPITRE -4 MESURE DE L'INÉGALITÉ ET DE LA CONCENTRATION Pla -4. Le coeffcet de cocetrato de l'écoome dustrelle 4-4. L'dce de cocetrato de Hrschma-Herfdahl La courbe de Lorez et l'dce de cocetrato de G 5 La dfférece moyee de G 5 Calcul de l'dce de cocetrato de G 6 La courbe de Lorez 0 Calcul géométrque de l'dce de G au moye de la courbe de Lorez 5 Proprétés de l'dce de cocetrato de G Pour coclure à propos de la mesure de l'égalté... 8

2 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato CHAPITRE -4 MESURE DE L'INÉGALITÉ ET DE LA CONCENTRATION Référeces : Arraga, 975, p ; Taylor, 977, ; Mlls et Hamlto, 989, p ; Kedall et Stuart (99, p. 58) ; Jayet (993, p. 8-9) ; Valeyre (993) ; MacLachla et Sawada (997). Nous ous attachos das ce chaptre à l'exame des dfféretes aleurs d'ue même arable das u esemble d'obseratos. Ue mesure d'égalté (o dt auss «de dsparté») dque à quel degré les aleurs dffèret les ues des autres. Preos, par exemple, les reeus des habtats d'u pays ; ue mesure d'égalté du reeu sert à quatfer le degré d'égalté de la dstrbuto du reeu etre les habtats du pays, de faço à pouor le comparer à celu d'autres pays. Das cet exemple, la arable examée est le reeu et les obseratos correspodet aux habtats du pays. Lorsque les obseratos correspodet à des catégores et que la arable examée est le ombre d'ddus (d'obets) d'ue populato doée qu se troue das chaque catégore, alors ue mesure d'égalté est auss ue mesure de cocetrato. Par exemple, s l'o cosdère la dstrbuto de la populato humae etre les régos d'u pays, ue mesure d'égalté dque à quel pot la populato du pays est cocetrée. E sceces socales, o s'est téressé à la mesure d'égalté das pluseurs cotextes dfférets : égalté das la dstrbuto du reeu, cocetrato des parts de marché (mesure erse du degré de cocurrece), cocetrato spatale des populatos ou des acttés écoomques, etc. La costructo de mesures d'égalté ou de cocetrato pose u problème aalogue à celu de la multdmesoalté das la défto de ombres dces : l s'agt de résumer e u seul chffre ue caractérstque possédée par l'esemble des aleurs que pred ue arable. O peut doc s'attedre à ce qu'l 'y at pas de soluto uque. E gééral, ue mesure de l'égalté compare la dstrbuto obserée aec ue dstrbuto de référece, qu représete l'égalté parfate. Souet, la dstrbuto de référece reste mplcte. Mas l est parfos écessare de l'explcter. Par exemple, s'agssat de la répartto spatale d'ue populato etre des régos, ue cocetrato ulle correspod-elle à la stuato où le ombre d'habtats est le même das toutes les régos? Ou correspod-elle plutôt à la

3 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato stuato où le ombre d'habtats est proportoel à la superfce des régos? Ou ecore, à la superfce habtable? Quelles sot les proprétés désrables d'ue mesure d'égalté? Valeyre (993) propose les sx proprétés suates :. Ue mesure d'égalté dot predre des aleurs o égates, pusqu'l s'agt d'ue mesure de l'élogemet de la dstrbuto obserée par rapport à la dstrbuto de référece.. Ue mesure d'égalté dot predre la aleur zéro s, et seulemet s, la dstrbuto obserée est detque à la dstrbuto de référece. 3. Toutes les obseratos doet être tratées de la même maère. 4. Ue mesure d'égalté dot être dépedate de la aleur moyee de la arable examée ; ue mesure de cocetrato dot être dépedate de la talle de la populato dot o étude la dstrbuto. 5. L'agrégato d'obseratos affchat le même degré de spécfcté e dot pas chager la aleur de la mesure. 6. Prcpe de trasfert de Pgou-Dalto : ue mesure d'égalté dot dmuer s la dstrbuto est modfée d'ue faço qu rédut cotestablemet l'égalté. Ces prcpes permettet d'éaluer la aldté des dfféretes mesures d'égalté qu se proposet. As, l'écart-type ou la arace e possèdet pas la proprété 4. Par cotre, le coeffcet de arato possède les sx proprétés éocées : correctemet utlsé, l costtue doc ue boe mesure d'égalté. Voyos mateat quelques autres exemples de mesures d'égalté ou de cocetrato. La spécfcté réfère au rapport etre ue aleur obserée de la arable étudée et la aleur correspodate das la dstrbuto de référece. Par exemple, les quotets de localsato sot des dcateurs de spécfcté. Ue mesure de la cocetrato géographque de l'emplo d'ue brache d'actté doée e derat pas être affectée s l'o agrège deux régos dot les quotets de localsato sot égaux. Techquemet, cela se tradut par la codto suate : s la aleur de la arable dmue pour ue obserato et augmete d'u même motat pour ue autre obserato, et s le degré de spécfcté de l'obserato est supéreur à celu de l'obserato, alors la mesure d'égalté dot dmuer.

4 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato -4. Le coeffcet de cocetrato de l'écoome dustrelle Cette mesure est surtout utlsée e écoome dustrelle, mas elle a auss été utlsée pour mesurer le degré de cocetrato de la dstrbuto par talle des lles. C'est tout smplemet la somme des parts des plus grades ettés. Par exemple, Rose et Resck (980) mesuret le degré de cocetrato d'ue hérarche urbae au moye la fracto de la populato urbae totale qu se troue das les tros plus grades lles. E écoome dustrelle, o mesure souet la cocetrato de marché au moye de la somme des parts des quatre plus grades etreprses. Cette mesure a l'aatage de e pas être très exgeate e termes de doées, mas l lu maque la plupart des proprétés désrables : elle e possède que la premère et la quatrème. -4. L'dce de cocetrato de Hrschma-Herfdahl Cet dce est smplemet par la somme des carrés des parts. Par exemple, pour mesurer le degré de cocetrato das u système urba qu comporte lles, o peut calculer H s où s est la fracto de la populato urbae totale qu se troue das la lle. L'dce H are etre et : l pred la aleur quad toutes les lles sot de talle égale, et la aleur das le cas où toute la populato urbae est cocetrée das ue seule lle. O terprète parfos l'dce H e termes de «ombre équalet», otammet e écoome dustrelle : das u marché de, dsos quarate etreprses, s l'dce H a ue aleur de x, o dt que le degré de cocetrato «équaut» à celle d'u marché de marché égales. frmes ayat des parts de x L'dce de Hrschma-Herfdahl e possède pas les proprétés et 5. E outre, l déped du ombre d'obseratos. Il est à oter ef que l'dce H est très étrotemet lé à la arace des parts : celle-c est e effet égale à s H

5 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato -4.3 La courbe de Lorez et l'dce de cocetrato de G LA DIFFÉRENCE MOYENNE DE GINI L'dce de cocetrato de G est as ommé e l'hoeur du statstce tale Corrado G ( ). Il mesure l'égalté au moye des dfféreces etre toutes les pares d'obseratos (y, y k ). La somme podérée des dfféreces s'appelle la «dfférece moyee de G» et elle se calcule, pour des doées groupées, selo la formule suate 3 : N k y y k f f k où est le ombre de aleurs dstctes obserées où f est la fréquece de la aleur y das la dstrbuto, de sorte que N f est le ombre d'obseratos Par exemple, s'agssat de mesurer l'égalté de la dstrbuto du reeu au Québec, f serat le ombre de persoes qu ot u reeu de y ; N est le ombre de persoes das la populato. Lorsque les obseratos sot groupées par classes, la aleur y est la aleur moyee de la arable Y das la classe (et o pas le pot mleu de l'teralle de reeu de la classe ). Écros f, la fracto de la populato apparteat à la classe. N La aleur moyee de la arable Y s'écrt alors µ f y y N 3 Das cette formule chaque obserato est comparée à chacue des obseratos, y comprs à elle-même ; c'est la dfférece moyee aec répétto. Kedall et Stuart (99, p. 58) doet auss la formule sas répétto. Lorsque N est grad, la dfférece est églgeable.

6 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Sot y M f, la somme des aleurs de la arable Y, et µ µ k k k y N y f y f y f w, la fracto de la somme allouée à la classe. Rageos esute les obseratos, e ue de la costructo d'ue courbe de Lorez (or caprès), par ordre crossat des rapports w. Complétos la otato e posat k k w est la fracto cumulée des classes de à. E déeloppat la formule de calcul de la dfférece moyee de G, o obtet : µ Cela est démotré à l aexe -F. CALCUL DE L'INDICE DE CONCENTRATION DE GINI L'dce de cocetrato de G est smplemet le rapport de la dfférece moyee de G sur deux fos la moyee : ( ) + + G µ Arraga (975, p. 65-7), comme auss pluseurs géographes, déft le coeffcet G comme C C G où k k C

7 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Cette formule peut se dédure de la précédete. G G ( + ) ( C C )( + ) G C C + C + C où C C et C 0 0 0, de sorte que 0 C + C C + C C Et G C + C ce qu, pusque C 0 0 0, équaut à G G C + C C C Lorsque les obseratos sot groupées, l sufft doc, pour calculer l'dce de cocetrato de G, de coaître la répartto etre les classes de la populato (les ) et de la somme des aleurs de la arable Y (les w ). Le plus souet, la populato (ou les méages) sot d'abord ragés e ordre crossat de reeu ; o déft esute des catégores de talles égales : quartles, qutles, décles, etc. O dra as : «Les 0 % de la populato aec les reeus les plus éleés (le qutle supéreur) accaparet xx % du reeu global, tads que les 0 % aec les

8 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato reeus les mos éleés (le qutle féreur) 'e reçoet que zz %». De tels éocés doet auss ue mesure de la cocetrato, mas, cotraremet au coeffcet de G, ce sot des mesures partelles, qu e teet compte que d'ue parte de la dstrbuto. Voyos, par exemple, la répartto du reeu (Y) etre les famlles au Caada e 995 (la populato cosdérée est doc celle des famlles, et o des ddus). Statstque Caada a récemmet dffusé les doées suates, trées du Recesemet de la populato de Le Quotde, 3 mars 999. Il est à oter que les doées du Recesemet de 996 sur les reeus auels se rapportet à l'aée précédete.

9 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Tableau: Lmtes supéreures (e $ de 995) des décles du reeu famlal et répartto du reeu global famlal par décle, 995 Décle Lmte supéreure Part du reeu global (%) Premer 558,45 Deuxème 384 3,55 Trosème ,96 Quatrème ,4 Cquème ,86 Sxème ,37 Septème ,9 Hutème , Neuème ,85 Dxème 6,53 Les doées de ce tableau peuet être présetées autremet, comme cec : Classe de reeus ($ de 995) Fracto du ombre de famlles (%) Part du reeu global (%) ,00, ,00 3, ,00 4, ,00 6, ,00 7, ,00 9, ,00 0, ,00 3, ,00 5, et plus 0,00 6,53

10 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Das le tableau qu précède, les w sot les parts du reeu global ; les sot tous égaux à 0 %. À partr de ce tableau, o peut effectuer les calculs prélmares comme das le tableau suat. Classe de reeus ($ de 995) Fracto du ombre de famlles (%) Part du reeu global (%) w ,00,45 0,045 0,005 0, ,00 3,55 0,0500 0,0050 0, ,00 4,96 0,0996 0,000 0, ,00 6,4 0,638 0,064 0, ,00 7,86 0,44 0,04 0, ,00 9,37 0,336 0,0336 0, ,00 0,9 0,445 0,0445 0, ,00 3, 0,5763 0,0576 0, ,00 5,85 0,7348 0,0735 0, et plus 0,00 6,53,000 0,000 0,0735 Total 00,00 00,00 0,3663 0,663 L'dce de cocetrato de G du reeu famlal au Caada par décles, e 995, est doc égal à : G (0, ,663) 0,3675 Deux remarques s'mposet c : Les doées utlsées c étaet d'emblée ragées par ordre crossat des rapports w. Ce 'est pas touours le cas! E gééral, aat de calculer l'dce de G, l faut préalablemet rager les doées das le bo ordre (or l'exemple tré de Taylor, 977, caprès). Aec des doées groupées, l'dce de cocetrato de G déped du groupemet ou schème de classemet utlsé. S la populato des famlles aat été groupée par qutles, ou par cetles, le résultat du calcul aurat été dfféret. Nous reedros sur ce pot. LA COURBE DE LORENZ La courbe de Lorez est u strumet de comparaso graphque etre deux dstrbutos. Rappelos que

11 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato C k k fracto cumulée de X (par exemple, c-haut, des famlles) w k k fracto cumulée de Y (par exemple, c-haut, des reeus) O a aturellemet : C Méthode de costructo de la courbe de Lorez (Vor l'exemple umérque c-après, tré de Taylor, 977, p. 79) :. Calculer les rapports w 5.. Réordoer les catégores e ordre crossat de w : w w < < L < w 3. Calculer les fractos cumulates C et 4. La courbe de Lorez est l'esemble des pots (C, ), où les C sot repérés sur l'axe horzotal. La courbe de Lorez a les proprétés suates :. C (par défto de C et de ) : la courbe part de l'orge ;. C (par défto de C et de ) : la courbe aboutt au pot de coordoées [,] (ou [00 %, 00 %]) ; 3. Lorsque les deux dstrbutos sot detques, o a, pour tout, C c'est-à-dre que la courbe de Lorez coïcde aec la dagoale. 4. C pour dfféret de 0 et de (par costructo, état doé le réordoacemet des catégores) : la courbe se stue sous la dagoale ou coïcde aec elle ; 5. La pete de chaque segmet de la courbe de Lorez est égale à la aleur l'dcateur de spécfcté assocé à l'obserato correspodate : w pete du segmet C C 5 Ces rapports e sot autre que les spécfctés assocées aux obseratos.

12 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato 6. La courbe de Lorez est cocae ers le haut, c'est-à-dre que chaque segmet a ue pete w w + plus abrupte que le précédet : cela découle de 5, pusque, par costructo, < +

13 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato CONSTRUCTION D'UNE COURBE DE LORENZ (EXEMPLE NUMÉRIQUE TIRÉ DE TAYLOR, 977, P. 79) Premère étape : calcul des w / Zoe x y w w / Nombre de Dstrb. de x Nombre de otes Dstrb. de y méages de classe moyee du part Républca A 30 0,5 30 0,30,0 B 0 0,7 5 0,5 0,90 C 0 0,08 8 0,08 0,96 D 0 0,08 5 0,05 0,60 E 0 0,7 9 0,9,4 F 30 0,5 3 0,3 0,9 Total 0,00 00,00 Deuxème étape : tr par ordre crossat des w / Trosème étape : calcul des C (abscsses) et des (ordoées) Zoe x y w w / C Écart Écart Abscsse Ordoée (C ) w 0,00 0,00 D 0 0,08 5 0,05 0,60 0,08 0,05 0,033 0,033 B 0 0,7 5 0,5 0,90 0,5 0,0 0,050 0,07 F 30 0,5 3 0,3 0,9 0,50 0,43 0,070 0,00 C 0 0,08 8 0,08 0,96 0,58 0,5 0,073 0,003 E 0 0,7 9 0,9,4 0,75 0,70 0,050 0,03 A 30 0,5 30 0,30,0,00,00 0,000 0,050 Total 0,00 00,00 0,47 Note : o peut costater que l'écart maxmum etre la courbe de Lorez et la dagoale est égal à w.

14 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Courbe de Lorez A Proporto cumulée de otes du Part Républca () D B F C() Proporto cumulée de méages de classe moyee C E Quatrème étape : calcul de l'dce de cocetrato de G Zoe x y w w / C - Abscsse Ordoée 0,00 0,00 D 0 0,08 5 0,05 0,60 0,08 0,05 0,004 0,000 B 0 0,7 5 0,5 0,90 0,5 0,0 0,033 0,008 F 30 0,5 3 0,3 0,9 0,50 0,43 0,08 0,050 C 0 0,08 8 0,08 0,96 0,58 0,5 0,043 0,036 E 0 0,7 9 0,9,4 0,75 0,70 0,7 0,085 A 30 0,5 30 0,30,0,00,00 0,50 0,75 Total 0,00 00,00 0,554 0,354 G (0, ,354) 0,09

15 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato CALCUL GÉOMÉTRIQUE DE L'INDICE DE GINI AU MOYEN DE LA COURBE DE LORENZ Ce fut ue réalsato remarquable de Corrado G que de démotrer, e 94, que l'dce de cocetrato qu porte so om est égal au rapport etre () la superfce comprse etre la dagoale et la courbe de Lorez et () la superfce totale sous la dagoale : Superfce comprse etre la dagoale et la courbe de Lorez G Superfce totale sous la dagoale La superfce totale du tragle sous la dagoale est doée par C La superfce comprse etre la dagoale et la courbe de Lorez est calculée comme la dfférece etre la superfce totale du tragle sous la dagoale ( ) et la superfce sous la courbe de Lorez. La superfce sous la courbe de Lorez (or l'exemple umérque précédet et la fgure c-après) est la somme de trapèzes dot chacu a ue surface égale à ( + ) La superfce sous la courbe de Lorez est doc la somme de ces surfaces : ( + ) Et le coeffcet G est doé par G ( ) + ( + ) µ ce qu correspod be à la formule éocée précédemmet. Pour faclter l'terprétato de la courbe de Lorez et de l'dce de G qu lu est assocé, l est utle de se rappeler que c'est la dstrbuto V qu oue le rôle de dstrbuto de référece (.e. d'égalté parfate ou de cocetrato ulle). Das la courbe de Lorez, les C sot repérés sur l'axe horzotal et les, sur l'axe ertcal.

16 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Exemples : S V est la répartto du terrtore etre les zoes et W, la répartto de la populato, le coeffcet G est ue mesure de la cocetrato géographque de la populato. S V est ue dstrbuto de la populato (ou des méages) e catégores et W, la dstrbuto du reeu agrégé par catégore, alors le coeffcet G est ue mesure de la cocetrato du reeu. Calcul géométrque de l'dce de cocetrato de G () C() C() C(3) C(4) 0.6 C(5) 0.8 C(6).0 C() PROPRIÉTÉS DE L'INDICE DE CONCENTRATION DE GINI L'dce de cocetrato de G possède les sx proprétés que dot aor ue mesure d'égalté, telles qu'éocées au début de ce chaptre. Il a e outre les proprétés suates :. L'dce de G are etre zéro et 6. La aleur mmum du coeffcet G, zéro, est attete lorsque les deux dstrbutos sot detques. Sa aleur maxmum théorque,, est attete lorsque la courbe de Lorez sut la base et le côté drot de la «boîte» ; mas pour 6 Ou etre 0 % et 00 % lorsqu'o l'exprme e pourcetage.

17 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato que ce maxmum théorque sot attet, l faut que le ombre de catégores tede ers l'f, de sorte que tede ers zéro 7.. O peut démotrer que l'dce de G est symétrque, c'est-à-dre que les rôles des deux dstrbutos sot terchageables ; e d'autres mots, s l'o terertt les rôles, la aleur du coeffcet G est chagée. 3. Lorsque les doées sot groupées, l'dce de G est sesble à la défto et au ombre des catégores utlsées (classes, zoes). 4. Lorsqu'o l'utlse comme mesure de cocetrato spatale, le G e tet aucu compte de la proxmté das l'espace des dfféretes zoes de forte desté (l'espace est traté comme u puzzle défat). À propos de la aleur maxmum que peut attedre le coeffcet de G lorsque le ombre de catégores 'est pas f, précsos qu'elle est égale à. Cette proprété est llustrée das la fgure suate. 0,8 0,6 () 0,4 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 C() Das cet exemple, le lecteur peut faclemet érfer, e applquat la méthode de calcul géométrque, que 0, et G ( 0,) 0,8. La trosème proprété mérte ue atteto plus poussée. Elle se mafeste otammet par cec : l'agrégato de deux ou pluseurs catégores a touours pour effet de rédure la aleur calculée du coeffcet G (à mos que les deux catégores 'aet la même spécfcté, auquel 7 Autremet, lorsque > 0, la aleur maxmum de G est égale à.

18 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato cas la proprété 5 des mesures d'égalté se mafeste). Cela se érfe asémet s l'o pese au calcul géométrque fat au moye de la courbe de Lorez : l'agrégato de deux catégores oses rédut l'espace comprs etre la courbe de Lorez et la dagoale. Cela est égalemet coforme à l'tuto que l'agrégato de catégores a pour effet de gommer ue parte des dfféreces. Cette sesblté du G à la défto des catégores peut séreusemet compromettre sa fablté comme mesure de la cocetrato, otammet lorsque les catégores sot de talles égales. Pour llustrer ce phéomèe, magos que l'o eulle comparer la cocetrato de la populato à deux momets das le temps, sur u terrtore découpé e tros zoes de même superfce (dsos égale à ) : Superf. Populato Desté au temps 0 au temps t au temps 0 au temps t Zoe Zoe Zoe Il est édet das cet exemple que la cocetrato est restée la même à l'échelle cosdérée (G 0,47), même s le cetre de graté de la populato s'est déplacé ers la Zoe. Supposos mateat que l'o at agrégé les Zoes et 3 : Superf. Populato Desté au temps 0 au temps t au temps 0 au temps t Zoe Zoes et Les doées agrégées doet l'lluso que la cocetrato a augmeté, pusqu'o a G 0,3 au temps 0 et G 0,47 au temps t (oter que l'dce de G calculé est plus fable aec les doées agrégées au temps 0, mas qu'l est le même au temps t, pusque das ce derer cas, les zoes agrégées sot de même desté, c'est-à-dre de même spécfcté) Pour coclure à propos de la mesure de l'égalté... Nous 'aos éoqué c que quelques-ues des multples mesures d'égaltés qu sot mateat proposés. Parm les mesures que ous aos lassées de côté, metoos celles qu sot des mesures d'etrope, comme la mesure de Shao, ou la mesure du ga d'formato de Kullback-Lebler (auss assocée au om de Thel). Le lecteur téressé pourra cosulter le surol de Valeyre (993).

19 Méthodes quattates, Adré Lemel, Iégalté et cocetrato Rappelos ef que les mesures d'égalté sot des mesures d'élogemet d'ue dstrbuto obserée par rapport à ue dstrbuto de référece. Elles sot e cela étrotemet apparetées aux mesures de dssmlarté, qu comparet deux dstrbutos, dot les rôles sot toutefos symétrques (aucue des deux e oue le rôle de référece).