LEÇON N 2 : Dénombrement.

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1 LEÇON N : Déombremet Pré-requis : Vocabulaire esembliste ; Raisoemet ar récurrece ; Défiitio : U esemble E est dit fii et de cardial, soit s il est vide et alors 0, soit si N et s il existe ue bijectio de E [[1, ]] O dit alors que E est u -esemble et o écrit Card(E (ou E 1 Réuios et roduits d esembles fiis Soiet N et E 1,, E esembles Proositio 1 : Si E 1,, E est ue artitio fiie de E, alors : E E i i1 i1 E i démostratio : Il suffit de motrer que deux esembles A de cardial N et B de cardial N vérifiet A B A B lorsque A B Le résultat est évidet si A ou B Sio, B est e bijectio avec [[1, ]], doc avec [[ 1, ]], et ar suite, A B est e bijectio avec [[1, ]] [[ 1, ]] [[1, ]] Exemles : 1 Diagramme de Ve : Das ue classe, trois lagues sot ratiquées O sait que : 0 élèves fot de l aglais, 15 de l allemad, 18 de l esagol, 7 de l aglais et de l allemad, 9 de l allemad et de l esagol, 8 de l aglais et de l esagol et efi 5 ratiquet les trois lagues Quel est le ombre d élèves? Aglais Allemad 6 Esagol Solutio : Le ombre d élèves est doc de

2 Déombremet Tableau de Cator : Sur u échatillo de 100 ersoes, o sait que 68 sot des hommes, et que 43 d etre eux sot o fumeurs De lus, 1% de ces ersoes sot des femmes fumeuses Combie y a-t-il de o fumeurs? (les chiffres e rouge sot doc ceux qui sot doés ar l éocé Sexe / Fumeur OUI NON Total Homme Femme Total Solutio : O e déduit qu il y a e tout 63 ersoes o fumeuses 3 Exercice : Excluat les lettres U, I, O et la combiaiso SS, combie d immatriculatios estil ossible de faire avec e Frace (deuis 009, les laques sot de la forme MA-314-TH? Solutio : O a 3 ossibilités our la remière lettre et autat our la secode, ce qui doe 3 59 ossibilités O e elève deux our la bloc de gauche e raiso des combiaisos SS et WW, soit 57 Pour le bloc de droite, il y a que la série SS à exclure, doc 58 ossibilités Pour les chiffres, toutes les combiaisos de 001 à 999 sot tolérées, soit 999 combiaisos E tout, il y a doc : laques ossibles Pour iformatio, le ombre estimé de véhicules circulat e Frace e 011 est de 38 millios! Défiitio 1 : Le roduit cartésie de N esembles fiis est l esemble oté i1 E i : E i E 1 E {(x 1,, x, i [[1, ]] : x i E i } i1 Théorème 1 : O a l égalité suivate : i1 E i E i i1 démostratio : Rereos les otatios de la démostratio récédete Si A {a 1,, a }, B {b 1,, b } et our tout i etre 1 et, E i {(a i, y, y B}, alors A B i1 E i car les E i sot deux à deux disjoits Or E i B car (a i, y y est ue bijectio de E i B, et il e résulte que A B i1 E i i1 A B Exemle (arbre : O tire ue boule avec remise das ue ure e coteat 4, uis o retire ue boule das cette ure

3 3 Déombremet E E O a E 1 E {1,, 3, 4} et E E 1 E E E 1 E 16 Exercice : Les restaurat «Math ra» roose au choix 3 etrées, 5 lats et 4 desserts Combie de meus eut-o y costituer? Solutio : Notos resectivemet E, P et D les esembles costitués des 3 etrées, 5 lats et 4 desserts Notos ecore M l esemble des meus ossibles Alors M E P D E P D Ce restaurat eut doc costituer soixate lats différets Déombremet des arragemets et ermutatios Soiet A et B deux esembles fiis de cardiaux resectifs et 1 -listes d esembles fiis Défiitio : O aelle -liste d élémets de A toute liste (a 1,, a de élémets de A évetuellemet réétés L esemble des -listes de A est oté A Proositio 1 : A est fii, et A A démostratio : A A A i1 A thm 1 A i1 A A, et il e résulte que A est fii (arce que A l est Remarque 1 : Ue -liste d élémets de A eut être idetifiée à ue alicatio de [[1, ]] A, ar exemle i a i Théorème : A B, l esemble des alicatios de B A, est fii, et l o a A B A B démostratio : Si B {b 1,, b }, alors ( B et φ : A B A : f ( f(b 1,, f(b est bijective, doc A B A A A B

4 4 Déombremet Arragemets Défiitio 3 : U arragemet de élémets de A ( N est ue -liste d élémets deux à deux disjoits de A O le ote A et il est fii Par covetio, A 0 1 Remarque : Par suite, u tel arragemet eut s idetifier à ue ijectio de [[1, ]] das A Théorème 3 : Nous avos les égalités suivates :! A si (! 0 si > démostratio : Soit (a 1,, a u arragemet Il y a choix ossibles our a 1, ( 1 our a [e effet, les élémets devat être disjoits, le choix fait our a 1 e eut lus être ris i our a i our les suivats],, ( 1 our a D où A ( 1 ( 1 Alors si, o a bie le résultat recherché, et si >, l u des facteurs est ul, doc A 0 Exemle (arbre : Tirages successifs de deux boules d ue ure, sas remise Quels sot les différets coules résultat de ce tirage ((1, 4 sigifierait que la boule 1 a été tirée e remier, uis la boule 4? Solutio : O a déjà A 4 4! 1 coules ossibles Les voici : (4! (1; ; (1; 3; (1; 4; (; 1; (; 3; (; 4; (3; 1; (3; ; (3; 4; (4; 1; (4; ; (4; 3 Exercice : Motrer que A A 1 1 A 1 Solutio : Soit u esemble à élémets O suose que cet esemble a déjà subi u arragemet de élémet armi O souhaite alors démotrer qu e elevat u élémet quelcoque de cet esemble, o retrouve l arragemet déjà effectué autremet O décide doc de retirer u élémet de cet esemble : celui qui est retiré l est soit de l arragemet, c est-à-dire l u des élémets armi (doc ossibilités auquel cas il reste ( 1 élémets à arrager armi ( 1, soit il e l est as de l arragemet (ie o elève l u des élémets o arragés, et il reste élémets à arrager armi ( 1 Ces deux ossibilités état distictes, le cardial de leur uio est la somme des cardiaux (ro 1, d où : A A 1 1 A 1

5 5 Déombremet Exercice : Démotrer le théorème 3 de maière o esembliste Solutio : Soiet, deux etiers (avec O va motrer que A ( 1 ( 1 ar récurrece sur l etier Iitialisatio ( 1 : La roriété est évidete Hérédité : Suosos que la roriété est vraie au rag 1 et motros qu elle l est toujours au rag Soit E u esemble de cardial Si 1, alors A 1 est aturellemet e bijectio avec l esemble E, doc A 1 E revache, si > 1, alors o ote A(e (our tout e E l esemble des arragemets de élémets de E de remier élémet e Par défiitio, cet esemble e cotiet que des élémets disjoits, format ue artitio de A Il est aisé de costater que A(x est e bijectio avec l esemble des arragemets de ( 1 élémets de E\{e} (et E\{e} 1, doc A(e A 1 1 HR ( 1 (( 1 ( 1 1 ( 1 ( 1 Par suite, uisque les esembles {A(e, e E} formet ue artitio de A, la roositio 1 ous assure que A A(x ( 1 ( 1 ( 1 ( 1, e E e E }{{} idéedat de e ce qui achève otre récurrece Défiitio 4 : Ue ermutatio de A est u arragemet de élémets de A Le ombre de ermutatios de A (et doc de bijectios de E E est doc! (c est le cas articulier das A 3 Déombremet des combiaisos, coefficiets biomiaux 31 Défiitios et roriétés Défiitio 5 : Soit E u esemble fii de cardial N O aelle combiaiso de N élémets de E toute artie de E à élémets O ote ( le ombre de combiaisos de élémets d ue esemble e coteat (il se lit «armi» Les coefficiets ( sot aelés coefficiets biomiaux Remarques 3 : (res E est la seule artie de E à 0 (res élémets, doc ( 0 1 (res ( 1 ; ( N ar défiitio ; Si >, il e eut y avoir de arties de élémets d u esemble e coteat, doc si >, ( 0 Théorème 4 : Soiet, N tels que Alors (!!(! démostratio : Les ombre d esembles ordoés de élémets d u esemble à élémets est A Or il y a ( maières de choisir ue artie à élémets das u esemble à élémets, et! maières d ordoer les élémets das chaque arties Par le ricie multilicatif, o a doc l égalité A! (, d où le résultat, sachat que A!/(! Coséqueces : ( ( ( et ( 1 1

6 6 Déombremet 3 Quelques résultats sur les coefficiets biomiaux Proositio : Formule de Pascal : ( ( 1 ( 1 1 Formule itérée de Pascal : Soiet deux etiers aturels Alors ( ( 1 1 démostratio : Motros la formule de Pascal Soit u esemble E à élémets O suose que l o a «extrait» ue artie à élémets Si l o retire u élémet {a} à E, c est soit u élémet de la combiaiso, soit o Das le remier cas, les 1 élémets restats formet ue artie de l esemble E\{a} de cardial 1, et das le secod, ce sot les élémets qui formet ue artie de E\{a} Cette uio état disjoite, les cardiaux s ajoutet our aboutir à l égalité demadée Motros ecore la formule itérée ar récurrece sur l etier Iitialisatio : Lorsque, les deux membres valet 1 d arès la remarque 1 Hérédité : Suosos la formule vraie au rag, et motros qu elle l est ecore au rag 1 : 1 ( ( ( 1 HR ( 1 1 ( 1 ( 1 La derière égalité état justifiée ar la formule de Pascal Théorème 5 (formule du biôme : Soit A u aeau, a, b A qui commutet Alors N, (a b 0 ( a b démostratio : Par récurrece sur l etier Iitialisatio : Avec la covetio 0 0 1, lorsque 0, les deux membres sot égaux à 1 Hérédité : Suosos la formule vraie au rag, et motros qu elle est ecore au rag 1 : (a b 1 (a b(a b HR (a b 0 ( a 1 }{{} (1 a 1 b 1 ( 1 0 ( 1 a 0 b 1 0 ( 1 a b ( 0 ( a b a b 1 a b 1 b }{{} 1 (( 1 1 (0 ( ( 1 ( a b 1 a b 1 a b 1 0 ( 1 a 1 b 0 1 ( a b 1 La derière égalité utilise la formule de Pascal our l additio des deux coefficiets biomiaux

7 7 Déombremet Corollaire 1 : O a les égalités suivates : (i 0 ( ; (ii 0 ( ( 1 0 démostratio : Pour (i, o utilise le théorème récédet avec a 1 et b 1 Pour (ii, o l utilise avec a 1 et b 1 Remarques 5 : Le oit (i traduit le fait que le ombre de arties d u esemble à élémets est E effet, ce ombre est la somme des ombres de arties ayat resectivemet 0, 1,, élémets (le cardial d ue uio disjoite est la somme des cardiaux, ce qui corresod bie à la somme idiquée Le oit (ii traduit le fait qu il y a autat de arties de cardial air d u esemble à élémets que de arties de cardial imair Les quatre roriétés ci-dessus euvet servir à simlifier des calculs 4 Alicatios 41 Exemles triviaux Exercice : Soit les ombres obteus e ermutat 1,, 3, 4, 5 et 6 1 Quel est le ombre de ces ombres? Ragés ar ordre croissat, quel est le rag de ? 3 Motrer qu aucu de ces ombres est i remier, i u carré arfait 4 Quelle est la somme de ces ombres? Solutio : 1 Il y e a exactemet 6! 70 Parmi ces ombres, 5! commecet ar u 1, 5! ar u, 4 4! commecet ar 31, 3, 34 ou 35 et efi, 3! commecet ar 361 Le ombre suivat (ar ordre croissat e commeçat as ar 361 état 36145, il suffit de comter le ombre de ombres iférieurs à celui-ci : il y e a 5! 5! 4 4! 3! 34 Fialemet, est le 343 e de ces ombres 3 Pour tous les ombres, la somme des chiffres vaut 1, ils sot doc tous divisibles ar 3 et doc o remiers De lus, cette somme est as multile de 9, doc aucu de ces ombres est u carré arfait 4 Puisque chacu des six chiffres eut occuer les six laces, il y a 5! ombres où l u de ces chiffres est celui des uités, autat où le même chiffre est chiffre des dizaies, etc La somme des uités est doc égale à 1 ( ! La somme des dizaies est égale à 10 ( !, etc La somme recherchée est doc fialemet égale à 10( ( Cet exercice s achève doc ici O costate que si les autorités avaiet voulu mettre e lace u système d immatriculatio utilisat six chiffres, il aurait été tout aussi efficace que celui mis e lace actuellemet (voir exercice age Exercice : Détermier le ombre d arragemets ossibles avec les lettres de «SABRINA»

8 8 Déombremet Solutio : Il y e a 7!/! 50 O divise ar! car il y a deux lettres qui sot les mêmes das le mot «SABRINA» : c est le «A» E effet, «SABRINA» «SABRINA», bie que l o uisse eser que das le remier membre, le remier «A» est le remier du mot et das le secod, le remier «A» est le derier du mot ; ces deux mots seraiet doc différets, bie que ce sot les mêmes, et c est our cela que l o divise ar! Exercice : 17 chevaux sot au déart d ue course Détermier le ombre d arrivées ossibles our u quarté das l ordre et das le désordre Solutio : Das le désordre, il s agit de déombrer les 4-listes de l esemble des 17 chevaux : A Pour chaque combiaiso gagate, il y a 4! 4 combiaisos idetiques si l o e tiet as comte de l ordre, soit u total de 57 10/4 380 combiaisos teat comte de l ordre Remarquos que 380 ( 17 4 Le Loto : Il s agit de choisir 7 ombres armi 49 L ordre e comtat as, o déombre le ombre de arties de 7 élémets de l esemble {1,, 49} de cardial 49 : il y a doc ( 49 7 ossibilités, soit Déombremet : O tire au hasard 5 cartes d u jeu e comtat 3 Combie de tirages sot ossibles où l o ait ( exactemet trois rois? 43 ( ; ( au mois trois rois? 43 ( 8 ( 44 ( ; ( deux et trois? 8 ( ; 4 Sommes La formule itérée de Pascal ermet de détermier des sommes de la formes 0 our u certai doé Voyos ar exemle ce que cela doe avec 1, uis 1 : : 0 0 ( 0 ( 1 0 ( 1!! (! 0 ( 1 ( 1 ( 1, 3 les remières égalités état du calcul formel, et la derière l alicatio de la formule itérée de Pascal O e tire alors (coaissat le résultat our 1 : 1 0 ( ( 1( 1 3 ( 1 ( 1( Trigoométrie (liéarisatio Exercice : Liéariser si 3 (x

9 9 Déombremet ( e Solutio : si 3 (x ix e ix 3 1 i 8i (eix e ix 3 1 ( e 3ix ( 3 8i 1 e ix e ix ( 3 e ix e ix e 3ix 1 ( e 3ix e 3ix 8i 3(e ix e ix 1 4( si(3x 3 si x 44 Petit théorème de Fermat Théorème 6 : Soiet ue etier aturel remier et a Z Alors a a [] démostratio : Puisque est remier, alors our tout {1,, 1}, divise ( E effet, ( ( ( 1 ( 1/!! ( 1 ( 1 Comme est remier, il est remier avec tout etier le récédet, doc 1, et il viet que e divise as! Par le théorème de Gauss, il s esuit que divise ( Procédos esuite ar récurrece sur l etier a N : Iitialisatio : Si a 0, le résultat est évidet Hérédité : Suosos que (a 1 a 1 [] a (a 1 1 ( (a 1 (a 1 1 [] HR a 1 1 [] a [] 0 Si a ( N, alors a N ( a a [] Suosos alors u istat de sorte que la coditio remier soit équivalete à dire que est imair La relatio de cogruece récédete deviet alors a a [] a a [] Efi, si, alors quelque soit a, l etier a a est air, et doc divisible ar 45 Formule de Va der Mode Proositio 3 : Pour tous etiers m, et tels que m, o a l égalité ( m 0 ( ( m démostratio : Soit x u réel Alors (1 x m (1 x (1 x m (1 x m (1 x ( m i0 ( ( m ( x i x j m i j j0 i0 [( ( ] [(( ( ( m m m ( ( ( ( ] m m x [( ( ( ] m x i j m 0 i,j>0 ij j0 ( 0 m 0 ( ( m i j ] x ( m x ij [(( m 0 ( x Or

10 10 Déombremet Par idetificatio des coefficiets de ce olyôme de degré, o obtiet fialemet que our tout etier {0,, m }, ( m i,j>0 ij ( m i ( j i0 ( ( m i i Alhabet braille Avec ue cofiguratio de six oits disosés e rectagle et tels que chacu uisse être e relief ou o (au mois u e relief, o disose de siges différets our décrire des lettres, des chiffres, et les octuatios de la lague fraçaise E effet, chacu des six emlacemets eut être e relief ou o, o déombre doc les 6-listes de l esemble {relief, as relief}, soit 6 ossibilités, auxquelles o retrache celle où aucu des emlacemets e serait e relief «Maths» c 01 ar Martial LENZEN Aucue reroductio, même artielle, autres que celles révues à l article L 1-5 du code de la roriété itellectuelle, e eut être faite sas l autorisatio exresse de l auteur