STATISTIQUE DESCRIPTIVE

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1 Statstque descrtve ECS STATISTIQUE DESCRIPTIVE I Vocabulare de la statstque descrtve ) Poulato La statstque descrtve est ue scece qu recuelle et aalyse des formatos sur u esemble f, dot le cardal est souvet très grad Défto : L esemble étudé s aelle ue oulato Les élémets de cet esemble s aellet des dvdus La oulato état e gééral très grade, o étude souvet ue arte seulemet Défto : U échatllo est ue arte de la oulato Le cardal de cette arte s aelle la talle de l échatllo Das la sute, Ω désgera la oulato ou l échatllo observé Plus tard (e secode aée), o dstguera les deux car o voudra, à artr d observatos sur l échatllo, dédure des rorétés de la oulato etère ) Caractère statstque La questo est mateat : qu est-ce qu o étude sur cette oulato? Exemle : la couleur des yeux, la talle, le ods, le ombre de frères et sœurs, Défto : O aelle caractère statstque ou varable statstque toute alcato X défe sur la oulato Ω S l alcato X est à valeurs das, o dra que le caractère est quattatf So, o dra que le caractère est qualtatf Le remer exemle est qualtatf, alors que les autres sot quattatfs 3) Etude du caractère Les dfféretes étaes d ue étude statstque sot : Recuellr les doées Les classer car o les obtet «e vrac» Les reréseter grahquemet our avor u asect vsuel Aalyser ces doées, c est-à-dre les résumer ar quelques ombres sgfcatfs Pour classer, la remère dée est de cosdérer toutes les valeurs ossbles du caractère, doc X ( Ω ) et de regrouer tous les élémets ω qu corresodet à la même valeur Par exemle s l o observe 0 dvdus umérotés de à 0 : X ( ω ) O reumérote et o va classer sous la forme : 3 4 x rerésete le ombre d dvdus dot le caractère red la valeur x C est l effectf de la classe x L esemble des coules ( x, ) est ue sére statstque Ceedat, das le cas d u caractère quattatf, lorsque les doées sot tro ombreuses ou tro roches, o les regroue e classes qu euvet être des tervalles de O dra que le caractère est quattatf cotu ar oosto aux autres qu sot quattatfs dscrets Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

2 Statstque descrtve ECS II - Varable qualtatve ) Classemet des doées Pour ue varable qualtatve, chaque classe corresod à ue valeur du caractère Le ombre d dvdus qu aarteet à cette classe s aelle l effectf de la classe La somme des effectfs de toutes les classes est l effectf total de la oulato Exemle : Moye de trasort our le traet domcle - traval Le tableau suvat doe les effectfs de chaque classe Recoer le tableau et calculer l effectf total Classe Car - Bus Auto - Moto Vélo A ed Tram - Métro Effectf L térêt d ue étude statstque état de ouvor réutlser les résultats obteus our d autres oulatos, ce est as l effectf d ue classe qu morte, mas la roorto d dvdus qu aarteet à cette classe Défto : O aelle fréquece de la classe le quotet de l effectf de la classe ar l effectf total La somme des fréqueces de toutes les classes est égale à Exemle : la fréquece de la classe «Vélo» est 8 0, 03 Il y a 3% des emloyés 600 qu veet à vélo Aouter au tableau récédet ue lge dquat les fréqueces de chaque classe et vérfer (aux erreurs d aroxmato rès) que la somme des fréqueces vaut ) Rerésetatos grahques La rerésetato la lus courate est le dagramme crculare : l agle du secteur rerésetat la classe est roortoel à l effectf (et doc à la fréquece) Exemle : l agle assocé à la classe «Vélo» serat de 0, , 8 Fare tout le dagramme crculare de l exemle récédet Ue autre rerésetato ossble est le dagramme e bâtos : la hauteur du bâto rerésetat la classe est roortoelle à so effectf 3) Aalyse de la varable statstque O e eut défr qu ue seule caractérstque Défto : O aelle mode ou classe modale la classe (ou les classes) qu a le lus grad effectf Exemle : Détermer la classe modale de l exemle récédet III - Varable quattatve dscrète ) Classemet des doées Pour ue varable quattatve dscrète, chaque classe corresod auss à ue valeur du caractère, mas qu a ue valeur umérque réelle x Le ombre d dvdus qu aarteet à cette classe s aelle l effectf de la classe La somme des effectfs de toutes les classes est l effectf total de la oulato : (s l y a classes) La fréquece de la classe est le quotet de so effectf ar l effectf total : f O suosera que les classes sot umérotées ar ordre crossat de la valeur du caractère : x < x < < x L effectf est le ombre d dvdus ω tels que X ( ω) x La famlle ( x, est aelée sére statstque (dscrète) ) Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

3 Statstque descrtve ECS Exemle : O a relevé les otes obteues à u devor Le tableau suvat doe les effectfs de chaque classe Classe x Effectf Das cet exemle, l y a classes : La 5 ème modalté (valeur du caractère das la classe) est x 5 8 et l effectf corresodat est 5 3 : l y a 3 élèves qu ot eu 8 au devor Recoer le tableau, calculer l effectf total et comléter le tableau e calculat les fréqueces Défto : O aelle effectf cumulé crossat de la -ème classe : fréquece cumulée crossate : F N k L effectf cumulé crossat N est le ombre d dvdus ω tels que O eut remarquer que F f k N k k X ( ω) x Exemle : N, doc l y a élèves qu ot eu ue ote féreure ou égale à 8 et 5 F 5 0,33, doc l y a 33% des élèves qu ot eu ue ote féreure ou égale à 8 Comléter le tableau e calculat les effectfs cumulés crossats, as que les fréqueces cumulées corresodates ) Rerésetatos grahques O se lace das u reère orthogoal et o trace à artr du ot de coordoées ( x,0) u segmet vertcal de hauteur roortoelle à l effectf (et doc à la fréquece f ) O obtet as le dagramme e bâtos des effectfs (et des fréqueces) La lge olygoale qu ot les sommets des bâtos est aelée olygoe des effectfs (ou des fréqueces) O déft de même le dagramme e bâtos des effectfs (ou des fréqueces) cumulés as que le olygoe des effectfs (ou des fréqueces) cumulés Exemle : Tracer le dagramme e bâtos et le olygoe des effectfs, us sur ue autre fgure le dagramme e bâtos et le olygoe des effectfs cumulés crossats 3) Aalyse de la sére statstque a) Caractérstques de osto Il s agt de résumer la sére statstque ar u ombre qu doe ue mage de so comortemet O eut d abord eser à la valeur rse le lus souvet Défto : Le mode est la valeur (ou les valeurs) de la varable our laquelle l effectf est maxmal La (ou les) classe modale est la classe corresodate Exemle : Calculer le mode de la sére récédete Le mode doe u resegemet téressat, mas le smle fat qu l y e at luseurs e ermet as de l utlser valablemet O eut esute eser à la valeur qu artage la oulato e deux artes égales Défto : La médae est ue valeur m de la varable telle que le ombre d dvdus ω tels que X ( ω) < m sot égal au ombre d dvdus ω tels que X ( ω) > m et Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

4 Statstque descrtve ECS Détermato ratque : S l effectf total de la oulato est, o classe ar ordre crossat les valeurs X (ω) corresodates S est mar ( q+ ), la médae est la valeur de rag ( q + ) S est ar ( q ), la médae est la moyee des valeurs de rag q et ( q + ) Exemle : Das la sére récédete, détermer la arté de, us la valeur de q, us à l ade des effectfs cumulés la médae La médae résete u térêt certa, mas se rête mal aux calculs théorques C est falemet la moyee arthmétque qu est la lus ustée Défto : O aelle moyee de la sére statstque ( x, d effectf total le réel x x f x ) C est la caractérstque la lus rerésetatve C est la moyee arthmétque smle de toutes les valeurs X (ω) obteues our tous les dvdus ω ou ecore la moyee arthmétque de toutes les valeurs x du caractère odérées ar les effectfs ou les fréqueces Exemle : Calculer la moyee de la sére récédete Prorété : S a et b sot des réels, ax + b ax+ b Démostrato : O ose Y ax + b Doc our tout ω, Y ( ω ) ax ( ω) + b S a 0, our tout, Y red la valeur y ax b s et seulemet s X red la + valeur x, doc l effectf de la classe y est Doc : ax+ y y ax + b a x + b ( ) S a 0, Y est costate et red ue seule valeur b Doc y b ax+ b b) Caractérstques de dserso Il s agt de mesurer la réartto de X autour de sa moyee car u seul ombre e sufft as à récser le comortemet de la sére Par exemle, la sére étudée récédemmet et les séres suvates ot même moyee, mas la réartto des otes est tout à fat dfférete Classe x Effectf Celle-c est beaucou lus dsersée La suvate est beaucou lus cocetrée Classe x Effectf O veut doc mesurer la dserso de X, doc les écarts à la moyee, c est-à-dre étuder la varable cetrée assocée à X : Y X x Il y a dverses maères de mesurer ces écarts La méthode la lus courate est le calcul de l écart-tye, moyee quadratque des écarts Défto : O aelle varace de la sére statstque ( x, d effectf total le b ) réel V ( X ) ( x et écart-tye le réel σ x V (X ) (car V ( X ) 0 ) Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

5 Statstque descrtve ECS Prorétés : ) V ( X ) x x Démostrato : ) V ( X ) ) V ( ax + b) a V ( X ) et σ ax + b a σx ( x ( x x x+ x ) x x x x x x + + V ( X ) x x x ) S a 0, Y ax + b est costate, égale à b Il y a qu ue classe et y b Doc : V ( Y ) 0 Doc V ( ax + b) 0 a V ( X ) S a 0, Y ax + b red les valeurs y ax + b avec l effectf et Doc : V ( Y ) ( y y) [( ax + b) a ( x a ( x V ( Y ) ( ax+ b)] a V ( X ) y ax+ b Exemle : Calculer les écarts-tyes des tros séres ctées et les comarer O démotre que «e gééral» l tervalle x σ, + σ ] cotet evro 68% de [ x x x la oulato et que l tervalle [ x σ x, x+ σ x ] cotet evro 95% de la oulato O e verra la ustfcato théorque e robabltés lus tard IV - Varable quattatve cotue ) Classemet des doées O regroue les valeurs rses ar la varable e tervalles adacets qu ot d alleurs as forcémet tous la même largeur : a, [, a, [,, a, [ où [ a [ a 3 [ a + [ a, a + les a sot des réels qu vérfet a < a < < a < a + La -ème classe [ est l esemble des dvdus ω tels que a X ( ω) < a+ Il eut égalemet y avor des classes «Mos de a» (esemble des dvdus ω tels que X ( ω) < a ) ou «Plus de b» (esemble des dvdus ω tels que X ( ω) b ) Les déftos des effectfs, de l effectf total, des fréqueces restet les mêmes que our ue sére statstque dscrète O otera l effectf de la -ème classe, f sa fréquece et l effectf total Par cotre, o déft deux tyes d effectfs et de fréqueces cumulés e vue du calcul de la médae L effectf cumulé crossat de la -ème classe [ a, a + [ est N k cumulée crossate est : F N k f k k et la fréquece L effectf cumulé décrossat de la -ème classe [ a, a + [ est N' k et la fréquece cumulée crossate est : N' F' fk k k Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

6 Statstque descrtve ECS L effectf cumulé crossat tads que l effectf cumulé décrossat X ( ω) a O remarque que Et doc : N est le ombre d dvdus ω tels que ( ω) < a+ X, N' est le ombre d dvdus ω tels que N N' et que our tout, N N ' + + F F' et our tout, F ' + F + Exemle : Le tableau suvat doe la réartto des âges des 5 ouvrers d ue etrerse Classe Mos de 0 [0,5[ [5,30[ [30,35[ [35,40[ [40,50[ [50,60[ Plus de 60 Effectf La trosème classe est [5,30[ L effectf est 3 8 : l y a 8 ouvrers qu ot au 8 mos 5 as et mos de 30 as La fréquece est f 3 0, 84 : l y a 8,4% des 5 ouvrers das cette catégore d âge L effectf cumulé crossat est N 3 36 et la 36 fréquece cumulée crossate est F 3 0, 37 : l y a 3,7% des ouvrers qu ot 5 mos de 30 as L effectf cumulé décrossat est N ' 3 44 et la fréquece cumulée 44 décrossate de la classe est F ' 3 0, 947 : l y a 94,7% d ouvrers qu ot au 5 mos 5 as Recoer le tableau récédet et le comléter ar des lges doat les fréqueces, les effectfs et les fréqueces cumulées crossats et décrossats ) Rerésetatos grahques O se lace das u reère orthogoal et o rerésete chaque classe [ a, a + [ ar u rectagle dot la base est le segmet qu ot les ots de coordoées (a,0) et (a,0) et dot l are (et o la hauteur) est roortoelle à l effectf (et doc aux fréqueces) Ue telle rerésetato s aelle u hstogramme Remarque : O cosdère l are et o la hauteur our comeser le fat que les classes ot as toutes la même largeur Das l exemle, les classes [40,50[ et [50,60[ ot ue largeur double des autres classes Elles serot rerésetées ar des rectagles dot la hauteur sera resectvemet 3 et 4 Le lus souvet, ue classe de largeur double sera rerésetée e réalté ar deux rectagles accolés de même largeur que les autres classes (ar exemle, la classe [40,50[ sera rerésetée ar deux rectagles de base 5 et de hauteur 3, comme s l y avat 3 ouvrers etre 40 et 45 as et 3 ouvrers etre 45 et 50 as) O dra que l o a utlsé des classes utares Lorsque la classe est «Mos de a» ou «Plus de b», sa rerésetato sera fate ar u rectagle dot la base aura même largeur que la classe vose Exemle : Das toute la sute, la classe «Mos de 0» sera detfée à ue classe de même largeur que [0,5[, c est-à-dre [5,0[, et doc rerésetée ar u rectagle de base 5 et de hauteur, alors que la classe «Plus de 60» sera detfée à [60,70[ et doc rerésetée ar u rectagle de base 0 et de hauteur 0,5 Pour costrure le olygoe des effectfs (ou des fréqueces), o cosdère l effectf (ou la fréquece) cocetré au cetre de chaque classe (évetuellemet utare), c est à dre e x ( a + a+) et o ot les ots de coordoées ( x, ) ou ( x, f ) Exemle : Tracer sur ue fgure l hstogramme et le olygoe des effectfs de la sére récédete L effectf cumulé crossat N de la classe a, [ rerésetat le ombre [ a + d dvdus ω tels que X ( ω) < a+, o le cosdère cocetré e a + et doc le Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

7 Statstque descrtve ECS olygoe des effectfs cumulés crossats est obteu e ogat les ots de coordoées ( a +, N ) Même chose our le olygoe des fréqueces cumulées crossates L effectf cumulé décrossat N' de la classe a, [ rerésetat le ombre [ a + d dvdus ω tels que X ( ω) a, o le cosdère cocetré e a et doc le olygoe des effectfs cumulés décrossats est obteu e ogat les ots de coordoées ( a, N' ) Même chose our le olygoe des fréqueces cumulées décrossates Exemle : Sur ue même fgure, tracer les olygoes des effectfs cumulés crossats et décrossats de la sére récédete 3) Aalyse de la sére statstque a) Caractérstques de osto O aelle classe modale toute classe corresodat à u effectf maxmal et mode le cetre de cette classe Il eut y e avor luseurs Exemle : Détermer la classe modale et le mode de la sére récédete Défto : La médae est ue valeur m de la varable telle que le ombre d dvdus ω tels que X ( ω) < m sot égal au ombre d dvdus ω tels que X ( ω) > m Cela revet à dre, e suosat ue évoluto cotue des effectfs cumulés, que l effectf cumulé crossat assocé à m est égal à l effectf cumulé décrossat, doc à u effectf usque la somme des effectfs crossats et décrossats est Détermato ratque : O la déterme grahquemet e reat l abscsse du ot d tersecto des olygoes des fréqueces cumulées crossates et décrossates Elle se calcule e détermat d abord la classe médae (classe das laquelle se trouve la médae), us e fasat ue terolato léare e suosat la réartto uforme à l téreur de cette classe Exemle : Das la sére récédete, la classe médae est [35,40[, usque c est das cette classe que l effectf cumulé crossat déasse 76 (moté de 5) Sur le olygoe des effectfs cumulés crossats, o trouve les ots P (35,7) et Q (40,7 ) O cherche sur le segmet [PQ] l abscsse m du ot M d ordoée 76 S l équato de la drote (PQ) est y ax+ b, alors yq yp ym yp a Doc : x x x x Q m 40 35, doc m 35+ (76 7), doc m 35, 44 a Effectuer le même rasoemet sur le olygoe des effectfs cumulés décrossats et motrer que l o trouve la même valeur de m O eut auss fare u calcul aalogue sur le olygoe des fréqueces cumulées crossates (ou décrossates) our trouver l abscsse du ot d ordoée 0,5 sur le segmet corresodat à la classe médae La défto de la moyee est la même que our ue varable dscrète Défto : S l o suose l effectf de la classe a, [ cocetré au cetre P M P [ a + a + a+ x, la moyee de la sére statstque est : x x Be sûr, les classes «mos de» et «lus de» sot touours suosées detfées à des classes de la forme [ a, a + [ Exemle : Calculer l âge moye des ouvrers de l etrerse Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0

8 Statstque descrtve ECS b) Caractérstques de dserso Avec les covetos récédetes, les déftos de la varace et de l écart-tye sot les mêmes que our ue varable dscrète : V ( X ) ( x x x σ x V (X ) Exemle : Calculer la varace et l écart-tye de la sére récédete Pour évaluer la réartto de la sére de maère lus fe, o trodut les quartles (o artage la oulato e 4 artes de même effectf) et les décles (o artage la oulato e 0 artes de même effectf) : Défto : Sot k u eter égal à, ou 3 O aelle k-ème quartle de la sére statstque la valeur q k de la varable qu corresod à u effectf cumulé crossat de k et à ue fréquece cumulée crossate de 0,5k 4 Il y a 5% des dvdus ω de la oulato tels que X ( ω ) < q, 50% tels que X ( ω ) < q (doc q est la médae), 75% tels que X ( ω ) < q3 L tervalle [ q, q 3] s aelle l tervalle terquartle et rerésete l esemble des valeurs du caractère assocées à 50% de la oulato (e élmat les dvdus les mos «sgfcatfs» ) Défto : Sot k u eter comrs etre et 9 O aelle k-ème décle de la sére statstque la valeur d de la varable qu corresod u effectf cumulé crossat de k k et à ue fréquece cumulée crossate de 0,k 0 Il y a k 0% d dvdus ω de la oulato tels que X ( ω) < dk La médae est égale au 5-ème décle Les quartles et les décles se détermet comme la médae ar terolato léare Cours de mathe matques - ECS - Cathere Ladebeure - Lyce e Albert Schwetzer, Le Racy - 0