La prise en compte des événements extrêmes pour la valorisation d options européennes

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1 La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes JULIEN IDIER CAROLINE JARDET GAËLLE LE FOL Banque de France, Banque de France Banque de France, Universié Paris I Universié d Évry, CREST ALAIN MONFORT Banque de France, CNAM e CREST FULVIO PEGORARO Banque de France, CREST Selon les modèles radiionnels de valorisaion d opions, les marchés i nanciers sous-évalueraien l inl uence des risques exrêmes. Dans ce aricle, nous proposons un modèle d évaluaion d opions européennes ondé sur des hypohèses garanissan enre aures une meilleure prise en compe des événemens exrêmes. À parir de simulaions, nous comparons les prix d opions obenus à parir du modèle classique de Black e Scholes, à ceux résulan de nore modèle. Nous monrons que le modèle radiionnel condui à une surévaluaion des opions «à la monnaie» qui son les plus échangées sur le marché. Les opions «dans la monnaie» e «hors la monnaie», les moins liquides, son en revanche sous-évaluées. NB : Les opinions exprimées dans ce aricle son celles de ses aueurs e ne corresponden pas nécessairemen à celles de la Banque de France. C. Black e Scholes (973) Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre

2 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» La liéraure associée à la héorie de la valorisaion d acis inanciers s es développée principalemen sous l impulsion des ravaux de Meron (973a, 973b, 974, 976), de Black e Scholes (973) e de Cox, Ingersoll e Ross (985a, 985b). En maière d évaluaion d opions, la réérence de base demeure le modèle de Black e Scholes (BS) de 973. Toueois, les hypohèses de ce modèle son inadapées e largemen reeées par les données. Par exemple, la ormulaion iniiale du modèle suppose que la volailié du aux de rendemen de l aci risqué, sous-acen du conra d opion, es consane. Ceci n es pas vériié empiriquemen. De plus, le aux de rendemen du sous-acen es supposé suivre une disribuion normale. Or, l hypohèse de normalié des aux de rendemens des variables inancières es largemen conesée, voire reeée, noammen parce qu elle sous-esime la réquence des événemens exrêmes. Nous nous concenrons ici principalemen sur cee dernière criique du modèle de Black e Scholes e proposons un modèle d évaluaion d opions européennes ondé sur des hypohèses plus réalises. Le modèle reenu s inscri dans le cadre plus général des modèles à aceurs en emps discre pour la valorisaion des acis inanciers ou physiques 3 selon le principe d absence d opporunié d arbirage (AOA). Sous l hypohèse d AOA, le prix d un aci inancier es égal à l espérance de ses lux uurs acualisés par un aceur d escompe représenan à la ois l aversion pour le risque e la préérence pour le présen. Ce principe de valorisaion implique deux ypes de modélisaion : d abord, déinir des aceurs représenan l inormaion des invesisseurs e proposer une modélisaion de la dynamique de ces aceurs ; ensuie, choisir une modélisaion du aceur d escompe en oncion de ces aceurs. En pariculier, ces deux élémens de modélisaion permeen de déinir une dynamique «viruelle» des aceurs, die dynamique «risque-neure» pour laquelle le prix de l aci devien égal à l espérance de ses lux uurs acualisés par le aux sans risque. Dans ce aricle, nous monrons commen ces principes généraux peuven êre appliqués au cas du calcul du prix d une opion européenne. Plus pariculièremen, une des hypohèses-clés du modèle es liée à la déiniion de la dynamique hisorique du aceur, supposée êre de ype mélange de lois gaussiennes. Cee hypohèse garani une meilleure modélisaion des événemens exrêmes. Pour simpliier la présenaion, nous choisissons un cadre saique. Nous monrons que le modèle présené généralise le modèle de Black e Scholes (c. encadré ) e perme noammen de mieux rendre compe du cas des risques exrêmes. Il ressor une surévaluaion des opions «à la monnaie» e une sous-évaluaion des opions «dans la monnaie» e «hors la monnaie». DÉFINITION DE L ENSEMBLE D INFORMATION ET DE SA DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ Ain de valoriser l aci, l invesisseur déini un ensemble de aceurs ondamenaux suscepible d en inluencer le prix. On noe w la valeur des aceurs à la dae e w son hisorique passé 4. Les lux uurs générés par l aci son supposés dépendre des réalisaions uures de ces aceurs. Dans le modèle d évaluaion d opions présené ici, l inormaion don dispose l invesisseur à chaque dae es le aux de rendemen de l aci sous-acen. C es un aceur observable don la dynamique hisorique peu êre inérée à parir d un échanillon d observaions. Une hypohèse souven reenue dans la liéraure 5, bien que largemen conesée, es que le aux de rendemen de l aci risqué es disribué selon une loi gaussienne. Nous discuons cee hypohèse e proposons une alernaive. C. Mandelbro (96, 963, 967) ; Fama (965) 3 C. Berholon, Monor e Pegoraro (006) ; Pegoraro (006) 4 Ce aceur s inerprèe comme l inormaion disponible à la dae pour l invesisseur. Cee inormaion peu êre observable (rendemens d un aci sous-acen, aceurs macroéconomiques), pariellemen ou oalemen inobservable (régimes de volailié) par l économère. 5 C. Black e Scholes (973) 48 Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008

3 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» Encadré Le modèle de Black e Scholes Les hypohèses Le prix de l aci sous-acen S sui un mouvemen brownien géomérique : où μ e σ son consans. ds = μs d + σs dw Le aux de rendemen du sous-acen, x + = In(S + / S ) sui donc une disribuion gaussienne de moyenne µ σ e d écar-ype σ ; il n y a pas de resricion sur les venes à découver ; il n y a pas de rais de ransacion ou d impôs ; ous les sous-acens son paraiemen divisibles ; il n y a pas de dividende sur le sous-acen ; il n y a pas d opporunié d arbirage ; le marché oncionne en coninu ; le aux sans risque, r, es consan. La ormule de Black e Scholes Elle perme de calculer la valeur héorique C d une opion européenne à la dae, à parir des cinq données suivanes : S le prix à la dae du sous-acen ; T la dae d échéance de l opion ; K le prix d exercice i xé par l opion ; r le aux d inérê sans risque ; σ la volailié du prix du sous-acen. ( ) Le prix héorique relai en C d une opion d acha, noé c, avec échéance en T e de prix relai d exercice κ = K es : S c = N(d ) κe r (T ) N(d ). De même, le prix relai d une opion de vene es : p = κe r (T ) N( d ) N( d ), où : S N es la oncion de répariion d une loi normale cenrée réduie, N ( x ) d ln ( κ ) + ( r + σ / )( T ) = σ T, = x π u e du, d = d σ T, Plus pariculièremen, pour le cas d une opion d acha en de maurié une période (T = + ), on obien : r c = N ( d ) κ e N ( d ), avec : r ln ( κ ) σ d = +, σ d = d σ. r Par la suie, nous noerons σ, κ ) = N ( d ) κ e N ( d ). c BS ( Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre

4 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» Fais sylisés e limies de la loi gaussienne Pour illusrer les limies de l hypohèse de normalié des rendemens d aci, nous nous inéressons au cas du aux de rendemen hebdomadaire du CAC 40 sur la période allan du 3 anvier 996 au 30 avril 008. Le graphique repore la disribuion empirique de ce aux de rendemen. Dans un premier emps, nous approchons cee disribuion par une loi gaussienne N(µ,σ ). Les valeurs esimées de µ e σ son respecivemen la moyenne e la variance empirique des rendemens. La disribuion héorique, ainsi esimée, garani la reproducion exace de la moyenne e de la variance. En revanche, ceraines caracérisiques empiriques de la disribuion des rendemens ne son pas reproduies avec la loi gaussienne (c. ableau ) : La disribuion empirique présene des queues de disribuion plus épaisses que les queues de disribuion de la loi gaussienne : les rendemens élevés (posiis ou négais) son observés plus souven que prévu par la disribuion gaussienne. La valeur du coeicien d aplaissemen (ou kurosis) es ainsi supérieure à 3, qui es celle d une loi normale. La disribuion es aussi plus poinue en zéro avec des queues épaisses (c. ableau ). En conséquence, la probabilié héorique de survenance Tableau Disribuion empirique Disribuion gaussienne Moyenne 0,3 % 0,3 % Écar-ype,48 %,48 % Skewness - 0,4 0 Kurosis 6,6 3 Noe : La moyenne e l écar-ype son relais aux rendemens hebdomadaires du CAC 40 ( au ). d une valeur exrême es sous-esimée lorsque le aux de rendemen es supposé gaussien. La disribuion empirique n es pas symérique conrairemen à la disribuion gaussienne : les rendemens négais son observés plus souven que ce que prévoi la disribuion gaussienne. Le coeicien d asymérie (ou skewness) es négai pour la disribuion empirique, raduisan une queue plus longue sur la gauche, conrairemen à celui de la loi gaussienne égal à zéro. Les mélanges de lois gaussiennes : déiniion e inerpréaion Dans la liéraure, plusieurs amilles de disribuions on éé proposées pour pallier les insuisances de la loi gaussienne : les disribuions alpha-sables 6 ; les mélanges inis de disribuions, comme les mélanges de gaussiennes 7 ; les lois de Suden simples e généralisées 8 ; les disribuions hyperboliques 9. Graphique Disribuion empirique du aux de rendemen hebdomadaire du CAC 40 e disribuion gaussienne (en abscisses : aux de rendemen du CAC 40 ; en ordonnées : densié de probabilié) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0-0,0-0,6-0, - 0,08-0,04 0 0,04 0,08 0, 0,6 0,0 Disribuion empirique Loi gaussienne 6 C.Mandelbro (997) ; Minick e Rachev (993) ; Adler e al (998) 7 C. Kon (984) ; Akgiray e Booh (987) ; Tucker e Pond (988) 8 C. Bollerslev (987) ; Baillie e Bollerslev (989) ; Lamber e Lauren (000, 00) 9 C. Barndor-Nielsen (994) ; Eberlein e Keller (995) ; Kuechler e al. (999) Nous nous inéressons ici au cas du mélange de deux gaussiennes pour plusieurs raisons : il perme d approcher correcemen oues les disribuions alernaives ciées ci-dessus ; il présene ceraines propriéés héoriques permean des manipulaions aciles dans le cadre d un modèle héorique d évaluaion de prix d acis, comme les prix d opions par exemple ; il es rès simple à simuler ; il perme de reproduire divers ensembles (moyenne, variance, skewness e kurosis) observés dans les données, y compris dans le cas le plus simple où le mélange n implique que deux lois gaussiennes. 50 Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008

5 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» De açon plus ormelle, reenir l hypohèse d une disribuion sous la orme d un mélange de deux gaussiennes revien à supposer que la variable aléaoire x (le aux de rendemen par exemple) peu prendre ses valeurs dans deux régimes possibles : le régime ayan une probabilié de survenance égale à p e le régime don la probabilié de survenance es p. La disribuion de probabilié sous le régime es une disribuion gaussienne, de moyenne µ e de variance σ, noée N(µ, σ ). Sous le régime, la disribuion de probabilié es une gaussienne de moyenne µ e de variance σ, noée N(µ, σ ). Au oal, la disribuion de probabilié de la variable aléaoire x (mélange de deux gaussiennes) dépend de cinq paramères, µ, σ, µ, σ e p. La densié de probabilié du mélange de deux gaussiennes s écri : (x)=pn(x;µ, σ )+( p)n(x;µ, σ ) () avec n(x;µ i, σ i )= σ i π e (x u i ) la densié de probabilié d une loi gaussienne de moyenne µ i e de variance σ i. Ce raisonnemen peu êre généralisé à plus de deux régimes, la disribuion éan gaussienne sous chacun des régimes (c. hypohèse de l encadré ). Un aure avanage du mélange de gaussiennes se rappore à son inerpréaion, ce qui n es pas ouours le cas d aures disribuions comme la loi hyperbolique ou la loi de Suden. Par exemple, dans le cas d un mélange de deux gaussiennes, chaque régime peu représener des éas du marché ayan diérens niveaux de volailié. Le régime aichan la volailié la plus élevée peu alors s inerpréer comme un régime de crise inancière. Nous avons vu qu une disribuion gaussienne ne peu pas reproduire oue la disribuion empirique des rendemens (c. graphique ). Pour obenir une meilleure esimaion de la disribuion empirique du aux de rendemen du CAC 40, nous esimons les paramères du mélange de deux gaussiennes présené ci-dessus 0. Les valeurs esimées des paramères son reporées dans le ableau. Dans ce exemple, la probabilié d êre dans le premier régime, c es-à-dire le régime de ore volailié, es 0,. Dans ce régime, la volailié es 4,96 % σ i, Tableau Disribuion gaussienne Régime Disribuion gaussienne Régime Mélange de Disribuion gaussiennes empirique Moyenne - 0,34 % 0,9 % 0,08 % 0,3 % Écar-ype 4,96 %,9 %,96 %,48 % Skewness 0 0-0, - 0,4 Kurosis 3 3 5,4 6,6 Noe : p=0, es la probabilié d occurence du régime, régime de volailié élevée. La moyenne e l écar-ype son relais aux rendemens hebdomadaires du CAC 40 ( au ). e la moyenne 0,34 %, soi une volailié e une moyenne annualisées de 35,7 % e 7,7 % respecivemen. Ce régime s inerprèe comme un régime de crise inancière. Dans le second régime, la volailié e la moyenne son,9 % e 0,9 %, soi 3,7 % e 9,88 % en valeurs annualisées. Le graphique représene la disribuion empirique des données ainsi que ses approximaions par le mélange de lois gaussiennes (en rai plein) e la loi gaussienne (en poinillé). Le mélange de gaussiennes reprodui mieux la disribuion des données. En pariculier, les queues e l asymérie de la disribuion empirique son mieux esimées. Par exemple, un aux de rendemen de rois écars-ypes (événemen exrême) es observé oues les 4 semaines en moyenne sur les données. Ce événemen es prévu oues les 60 semaines en moyenne avec la loi gaussienne e oues les semaines en moyenne avec le mélange de gaussiennes. Graphique Disribuion empirique du aux de rendemen du CAC 40 e approximaion par un mélange de gaussiennes (en abscisses : aux de rendemen du CAC 40 ; en ordonnées : densié de probabilié) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0-0,0-0,6-0, - 0,08-0,04 0 0,04 0,08 0, 0,6 0,0 Disribuion empirique Mélange de lois gaussiennes Loi gaussienne 0 Nous uilisons pour cela la méhode du maximum de vraisemblance. Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008 5

6 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» Encadré Le modèle d évaluaion d opions de Berholon, Monor, Pegoraro (006) Les hypohèses S + H : la disribuion hisorique du aux de rendemen du sous-acen, x = + ln où S es le prix en de l aci S sous-acen, es un mélange de J lois gaussiennes. Sa densié de probabilié es donnée par : où, pour =,,J : J ( x ) = p n ( x, μ, σ, = ) n ( x, μ, σ ( x μ ) σ ) = e es la densié d une gaussienne de moyenne μ e de variance σ π σ ; 0 p e J = p =. H : le aceur d escompe sochasique es caracérisé par une orme exponenielle ai ne M = exp( α x + β ), + +. Résulas Résula : Sous les hypohèses H e H, le aceur d escompe sochasique adme une unique soluion en (α, β ), noée (α, β) vérii an les deux condiions d absence d opporunié d arbirage :, + E ( ) M, + exp r + =, soi sous H : E ( M exp x ) = + exp( r + + β exp( β ) E ) E ( exp α x ) =, ( exp( α + ) x ) =, + + r où + es le aux sans risque enre les daes e + (connu en ). La première condiion es la condiion d absence d opporunié d arbirage appliquée à l aci sans risque. La seconde es la condiion d absence d opporunié d arbirage appliquée au sous-acen de l opion. Résula : sous les hypohèses H e H, la disribuion risque-neure du aceur es unique e es égalemen un mélange de gaussiennes. Sa densié de probabilié, Q J Q (x), es donnée par : ( x ) = ν n ( x, μ + ασ, σ ), = où, pour =,,J : α p exp αμ + σ J ν =, 0 ν J, ν =. α = p + exp αμ σ = Résula 3 : Sous les hypohèses H e H, le prix héorique de l opion d acha européenne de maurié une période es : J c = c κ ν γ σ, BS = γ, σ où c BS (.,.) es la ormule de Black e Scholes d une période déinie dans l encadré e γ = exp μ + ασ r +. 5 Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008

7 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» Le mélange de lois gaussiennes es ainsi clairemen plus adapé à la modélisaion de la dynamique hisorique du aux de rendemen du sous-acen. C es donc cee hypohèse qui es reenue dans la suie du papier. L ACTUALISATION DES FLUX FUTURS DE L ACTIF ET SON APPLICATION À LA VALORISATION DES OPTIONS Le principe de base du modèle de prix d aci repose sur l idée d une acualisaion des lux uurs engendrés par l aci. Ce poin soulève la quesion du aceur d escompe à employer. Cee quesion peu êre envisagée de deux açons, selon «l univers» dans lequel on décide de raisonner. Dans l univers «risque-neure», le aux d acualisaion es le aux sans risque. Dans l univers «réel» ou «hisorique», l acualisaion es opérée via le aceur d escompe sochasique. Nous revenons sur ces deux approches en précisan les hypohèses aies dans le cadre de nore modèle e les liens qui peuven êre éablis enre les deux univers. L univers hisorique : le aceur d escompe sochasique Si l hypohèse d absence d opporunié d arbirage es vériiée, il exise une variable aléaoire posiive, permean de calculer à oue dae, le prix d un aci ournissan des lux uurs aléaoires dépendan des aceurs. Cee variable es appelée aceur d escompe sochasique. Plus précisémen, le prix de l aci à la dae, es égal à l espérance des lux uurs engendrés par l aci, acualisés par le aceur d escompe sochasique. En noan M,+ le aceur d escompe sochasique enre e +, P le prix de l aci en, g + = g(w + ) le lux de résorerie engendré par l aci enre e +, on a : P =E (M,+ g + ). () La première éape de la modélisaion a permis de déinir e d ideniier la disribuion de probabilié condiionnelle au passé du aceur w +, e donc celle de g + =g(w + ). La seconde éape consise à aire la même chose pour le couple (w +, M,+ ). Une ois la disribuion condiionnelle de (g +, M,+ ) ideniiée, on peu déerminer analyiquemen ou par simulaions l espérance condiionnelle du produi M,+ g + e donc le prix P. L approche considérée dans ce aricle s appuie sur une spéciicaion du aceur d escompe sochasique de ype exponenielle-aine : M,+ =exp(α (w ) w + +β (w )). (3) Dans cerains conexes, les coeiciens de la orme linéaire, α (w ) e β (w ), peuven êre déerminés de açon unique par les condiions d absence d opporunié d arbirage. Le aceur d escompe sochasique es alors ixé de açon unique dans la amille exponenielle aine. Pour spéciier complèemen la orme du aceur d escompe sochasique, on doi déerminer les coeiciens α e β. En appliquan la ormule () au aux de rendemen de l aci sous-acen d une par, au aux de rendemen de l aci sans risque d aure par, il es possible de dériver deux condiions dies d absence d opporunié d arbirage (c. encadré ). On peu alors monrer que ce sysème adme une unique soluion en (α β ), permean de caracériser enièremen la orme du aceur d escompe sochasique en oncion de la dynamique hisorique des aceurs. L univers risque-neure L univers «risque-neure» correspond à une économie viruelle où les agens seraien neures ace au risque. La renabilié aendue de ous les acis serai alors égale au aux sans risque. En conséquence, le aux d acualisaion ne serai aure que le aux d inérê sans risque. Un el univers se consrui acilemen à l aide de la dynamique hisorique des aceurs e du aceur d escompe sochasique (c. annexe ). C. Hansen e Richard (987) C. Gouriéroux e Monor (007) Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre

8 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» 3 Applicaion à la valorisaion des opions Dans le cadre de nore modèle, on peu monrer que lorsque la disribuion hisorique des aceurs es un mélange de gaussiennes e que le aceur d escompe sochasique es de ype exponeniel aine, alors la disribuion risque-neure es unique e es égalemen un mélange de gaussiennes. Ce résula perme, enre aures, l obenion d une ormule analyique e unique pour le prix d une opion sur acion. En ee, lorsque le aux de rendemen du sous-acen es supposé suivre un processus-ype mélange de gaussiennes à oue dae e que le aceur d escompe sochasique es de ype exponeniel aine, on monre que la ormule de valorisaion des opions es une combinaison linéaire de ormules de ype Black e Scholes. Le prix dépend des moyennes e des variances des gaussiennes uilisées dans la disribuion mélange. Dans le cas gaussien, c es-à-dire si on ai l hypohèse qu un seul régime exise, on rerouve les ormules classiques d évaluaion d opion du modèle de Black e Scholes (c. annexe e encadré ). On peu égalemen monrer que cee ormule es généralisable au cas d une opion don l échéance es supérieure à une période. 3 ÉVÉNEMENTS EXTRÊMES ET VALORISATION : EXEMPLE D UNE OPTION D ACHAT EUROPÉENNE Dans cee secion nous monrons à l aide d un exemple numérique commen la prise en compe des événemens exrêmes (variaions imporanes dans le rendemen des acis risqués) dans un modèle de valorisaion, peu changer sensiblemen le prix de l aci inancier que l on veu valoriser. Nous avons vu que le mélange de lois gaussiennes perme de reproduire de açon plus saisaisane la kurosis élevée e la skewness négaive observées empiriquemen à parir de la série du aux de rendemen du CAC 40. Ce résula es aussi vériié dans l univers risque-neure où la orme gaussienne e mélange de gaussiennes du aceur es préservée grâce à la spéciicaion exponenielle aine du aceur d escompe sochasique (c. encadrés e ). Graphique 3 Prix Black e Scholes (BS) e mélange de gaussiennes, opion call (en abscisses : srike relai ; en ordonnées : prix relai opion call) 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99,0,0,03,04,05,06 Prix BS Prix mélange de gaussiennes Nous considérons une opion d acha (call) européenne ayan comme aci sous-acen l indice CAC 40 (observé sur la période menionnée à la secion ), une échéance résiduelle d une semaine e un aux sans risque consan r = 0,0007 (base hebdomadaire). Nous comparons le prix obenu à parir du modèle de Black e Scholes (c. encadré ), à celui correspondan à un mélange de deux gaussiennes (c. encadré ). Les résulas, présenés dans le ableau 3, monren que le modèle de Black e Scholes, en sous-esiman la réquence des événemens exrêmes, produi une surévaluaion du prix des opions «à la monnaie» (κ, celles les plus échangées sur le marché) e une sous-évaluaion du prix des opions «dans la monnaie» (κ < ) e «hors la monnaie» (κ >, les moins liquides) (c. graphiques 3 e 4). Graphique 4 Écar de prix relai : Prix BS Prix mélange Prix mélange (en abscisses : srike relai ; en ordonnées : erreur relaive de valorisaion) 0,4 0, 0-0, - 0,4-0,6-0,8 -,0 -, 0,85 0,90 0,95,05,0,5 54 Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008

9 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» L écar relai (c. ableau 3) 3 enre le prix obenu par mélange de gaussiennes e le prix issu du modèle de Black e Sholes (prix BS) es inerpréé comme la réévaluaion opérée lorsque les risques exrêmes son mieux pris en compe dans la valorisaion du call européen (passage d un modèle ype Black e Scholes gaussien à un modèle avec mélange de gaussiennes). On consae que ces écars son imporans dans ce exemple Tableau 3 Prix BS Prix mélange Prix mélange Opion call «dans la monnaie» 0,85 κ < 0,95 Opion call «à la monnaie» 0,95 κ <,05 Opion call «hors la monnaie»,05 κ <,5-0, % 3,76 % - 88,5 % où l échéance es coure. Ces écars se réduiraien pour des échéances plus longues. Ce aricle reprend un modèle d évaluaion d opion européenne capable de prendre en compe les risques exrêmes. Les illusraions numériques monren qu un modèle ondé sur une sous-esimaion de la réquence des événemens exrêmes produi sysémaiquemen une surévaluaion des opions «à la monnaie», qui son les plus échangées sur le marché. Les opions «dans la monnaie» e «hors la monnaie» (les moins liquides) son en revanche sous-évaluées. Pour des raisons de simplicié, nous avons uilisé dans la présenaion un modèle saique dans lequel les rendemens son indépendans avec pour loi un mélange de deux gaussiennes. Un modèle plus réalise serai un modèle dynamique 4 dans lequel la loi condiionnelle au passé du rendemen serai ouours un mélange de gaussiennes mais avec des paramères dépendan du passé. L ee de la prise en compe des événemens exrêmes dépendrai alors de l environnemen présen e passé en ermes de rendemens e de volailié. À ce égard, le modèle saique présené ici peu êre vu comme reproduisan un ee moyen. 3 Un pas de 0,0 es uilisé dans chaque ranche de srike relai. 4 C. Berholon, Monor e Pegoraro (006) Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre

10 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» ANNEXE Passage de l univers hisorique à l univers risque-neure La disribuion de probabilié condiionnelle risque-neure peu généralemen se déduire de la disribuion de probabilié hisorique e de la spéciicaion du aceur d escompe sochasique. Plus précisémen, si on noe (x + ) la oncion de densié de probabilié condiionnelle hisorique du aceur, c es-à-dire la disribuion du Q ( + aceur observée dans le monde «réel» e x ) la oncion de densié de probabilié condiionnelle risqueneure du aceur, c es-à-dire la disribuion du aceur qui serai observée dans un univers risque-neure, le passage de l univers hisorique à l univers risque-neure es donné par la ormule : Q ( x+ ) M, + = ( x + ), E M ) (, + (A.) où M,+ es le aceur d escompe sochasique. En noan P le prix à la dae de l aci sans risque à une période e en appliquan la ormule de valorisaion () à ce aci, on obien : où P + =. P, + + = E ( M P ), (A.) Si on déini r = log, le aux sans risque enre e + (connu en ), on a alors : P + ( M ), + = exp( r ). E + En réécrivan la ormule de valorisaion () en uilisan (A.) e (A.3), on obien : (A.3) = exp( ) Q P r E ( g ), + + ce qui es la ormule de valorisaion dans un monde risque-neure. 56 Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008

11 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» ANNEXE Prix d une opion d acha européenne de maurié une période C Considérons le cas d une opion d acha européenne de maurié une période. Nous noons c = le prix relai S à la dae de l opion (S es le cours du sous-acen e C le prix de l opion en ). Son prix relai d exercice K en + es noé κ, où κ= avec K le prix d exercice en +. Le cours relai du sous-acen en + es égal à S exp(x + ). Le lux uur en + de l opion, noé g +, es donc exp (x + ) κ si l opion es exercée, 0 sinon. Auremen di, on a : Le prix relai de l opion en es alors : + g = ( exp ( x ) κ,0 ) = ( exp ( x ) κ). (A.) + max c = E ( M x ) ), (A.), + (exp( + ) κ où E (.) es l espérance condiionnelle calculée sous la disribuion hisorique (mélange de gaussiennes). Dans l univers risque-neure, ceci s écri : c + ) Q + ( (exp( ) E x + ), (A.3) = exp( r κ ) où r + es le aux sans risque enre e + (connu en ) e E Q (.) es l espérance condiionnelle calculée sous la disribuion risque-neure. Rappelons que sous les hypohèses du modèle, la disribuion risque-neure es égalemen un mélange de processus gaussiens. En calculan le membre de droie de l équaion (A.), on monre que la ormule de valorisaion des opions es une combinaison linéaire de ormules de ype Black e Scholes. Cee ormule dépend des moyennes e des variances des gaussiennes uilisées dans la disribuion mélange. Dans le cas gaussien, c es-à-dire si on ai l hypohèse qu un seul régime exise, on rerouve les ormules classiques d évaluaion d opion du modèle de Black e Scholes (voir encadré ). On peu égalemen monrer que cee ormule es généralisable au cas d une opion don l échéance es supérieure à une période. S + Par déiniion x = + ln où S es le prix du sous-acen en. S Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre

12 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» BIBLIOGRAPHIE Adler (R. J.), Feldman (R.) e Taqqu (M.) (998) A pracical guide o heavy ails: saisical echniques and applicaions, Birkhäuser, Boson, Basel, Berlin Akgiray (V.) e Booh (G. G.) (987) Compound disribuion models o sock reurns: an empirical comparison, The Journal o Financial Research, 0, p Baillie (R. T.) e Bollerslev (T.) (989) The message in daily exchange raes: a condiional-variance ale, The Journal o Business and Economic Saisics, 7, p Barndor-Nielsen (O. E.) (994) Gaussian inverse Gaussian processes and he modelling o sock reurns, Technical Repor, Aarhus Universiy Berholon (H.), Monor (A.) e Pegoraro (F.) (006) Pricing and inerence wih mixures o condiionally normal processes, Banque de France, Working Paper 88 Black (F.) e Scholes (M.) (973) The pricing o opions and corporae liabiliies, Journal o Poliical Economy, 8, p Bollerslev (T.) (987) A condiional heeroskedasic ime series model or speculaive prices and raes o reurn, Review o Economics and Saisics, 69, p Cox (J.), Ingersoll (J.) e Ross (S.) (985a) An ineremporal general equilibrium model o asse prices, Economerica, 53, p Cox (J.), Ingersoll (J.) e Ross (S.) (985b) A heory o he erm srucure o ineres raes, Economerica, 53, p Eberlein (E.) e Keller (K.) (995) Hyperbolic disribuions in inance, Bernoulli,, p Fama (E.) (965) The behaviour o sock marke prices, Journal o Business, 38, p Gouriéroux (C.) e Monor (A.) (007) Economeric speciicaions o sochasic discoun acor models, Journal o Economerics, 36, p Hansen (L. P.) e Richard (S.) (987) The role o condiioning inormaion in deducing esable resricions implied by dynamic asse pricing models, Economerica, 55, p Kon (S. J.) (984) Models o sock reurns: a comparison, The Journal o Finance, 39, p Kuechler (U.), Neumann (K.), Soerensen (M.) e Sreller (A.) (999) «Sock reurns and hyperbolic disribuions, Mahemaical and compuer modeling, 9, p. -5 Lamber (P.) e Lauren (S.) (000) Modeling skewness dynamics in series o inancial daa using skewed locaion-scale disribuions, Working Paper Lamber (P.) e Lauren (S.) (00) Cenral bank inervenions and umps in double long memory models o daily exchange raes, Working Paper Mandelbro (B.) (96) Pareian disribuions and income maximisaion», Quarerly Journal o Economics, 76, p Mandelbro (B.) (963a) New mehods in saisical economics, Journal o Poliical Economy, 7, p Mandelbro (B.) (963b) The variaion o some oher speculaive prices, Journal o Business, 36, p Mandelbro (B.) (967) Variaion o some oher speculaive prices, Journal o Business, 40, p Mandelbro (B.) (997) Fracal and scaling in inance. Disconinuiy, concenraion, risk, Springer, New York, Berlin, Heidelberg Meron (R. C.) (973a) Theory o raionale opion pricing, Bell Journal o Economics and Managemen Science, 4, p Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre 008

13 J. Idier, C. Jarde, G. Le Fol, A. Monor e F. Pegoraro : «La prise en compe des événemens exrêmes pour la valorisaion d opions européennes» Meron (R. C.) (973b) An ineremporal capial asse pricing model, Economerica, 4, p Meron (R. C.) (974) On he pricing o corporae deb: he risk srucure o ineres raes, Journal o Finance, 9, p Meron (R. C.) (976) Opion pricing when he underlying sock reurns are disconinuous, Journal o Financial Economics, 3, p Minick (S.) e Rachev (S. T.) (993a) Modeling asse reurns wih alernaive sable disribuions, Economeric Review, 3, p Minick (S.) e Rachev (S. T.) (993b) Reply o commens on modeling asse reurns wih alernaive sable disribuions and some exensions, Economeric Review,, p Pegoraro (F.) (006) «Modèles à aceur en emps discre pour la valorisaion d acis inanciers», Thèse, Universié Paris-Dauphine Tucker (A. L.) e Pond (L.) (998) The probabiliy disribuion o oreign exchange price changes: ess o candidae processes, Review o Economics and Saisics,, p Banque de France Revue de la sabilié inancière N Valorisaion e sabilié inancière Ocobre