Fonctions - Cours Compétences Contenus Fonctions Applications des dérivées (scientifiques) Représentation graphique (Scientifiques)

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1 Foctios - Cours Compéteces Coteus,, 3, 4, 5, 6 Foctios - Foctio : déiitio, eemples, lecture grphique, imge d ue octio, représettio grphique, propriétés, résolutio des équtios et des iéqutios à l ide de l représettio grphique, octio composée - Foctios ijectives, surjectives, ijectives, octio iverse - Foctio du er degré, équtios, iéqutios, systèmes d équtios et d iéqutios - Foctio du d degré, ses de vritio, sige, équtios, reltios de Viète, iéqutios - Foctio rcie crrée - Foctio epoetielle - Foctio logrithme Applictios des dérivées (scietiiques) Tgete à ue coure, dérivée d ue octio à u poit détermié, octios dérivles, opértios, clcul des dérivées du er et d degré pour les octios étudiées Applictios de l dérivée du er degré : etremum, mootoie Applictios de l dérivée du d degré : cocvité, coveité, poits d ileio Représettio grphique (Scietiiques) Résolutio grphique des équtios, omre de solutios Représettio grphique pour les octios étudiées Itégrle déiie (Scietiiques) Formule de Leiitz Newto Méthodes de clcul : itégrtio pr prties, chgemet de vrile Clcul des itégrles

2 Leique l octio : A B déiie sur A yt vleurs e B A = esemle de déprt (de déiitio) B = esemle d rrivée l vrile ( ) = l imge de pr l octio l técédet : R R octio de R vers R l itervlle coure représettive représettio grphique octio ie octio crré octio cue octio rcie crrée (rdicle) octio iverse octio vleur solue octio puissce octio epoetielle octio logrithme ( épérie, déciml) octio polyôme octios trigoométriques ( sius, cosius, tgete ) octio rtioelle octio de I-er degré octio de II-ème degré prité périodicité ( périodique) période T, LA période T ses de vritio octios ijectives, surjectives, ijectives octio composée octio umérique octio réciproque octio cotiue cotiuité l limite de e dmet pour limite l e limite e l iii lim = l limite lorsque ted vers ormes idétermiées limite à guche / à droite symptote horizotle, verticle, olique ctoriser, simpliier, mettre e cteur l epressio (qutité) cojuguée voisige octio dérivle l dérivée sige itervlle ouvert ores tleu de vritio l primitive l itégrle itégrtio pr prtie itégrtio pr chgemet de vrile

3 COURS Déiitio: D étt ue prtie de l'esemle des réels, lorsque, à chque réel de D, o ssocie u seul réel y, o déiit ue octio sur l'esemle O ote : y ou y= ( ) O lit Foctio qui à ssocie y ou y égle de Ue octio est coue pr so epressio () Pour détermier l'imge d'u omre pr ue octio o clcule () e remplçt tous les de l'epressio pr le omre, puis o clcule e respectt les ordres de priorité () = 5 se lit : " l'imge de pr l octio est 5 " ; ou ie : " est u técédet de 5 pr " Le poit A(;5) est u poit de l coure G représett l octio Déiitio : Ds u repère du pl, l coure représettive de l octio est l esemle des poits M (, y ) tels que : l'scisse décrit l esemle de déiitio D ; l'ordoée y est l imge de pr Ue octio est coue pr s coure G Pour lire l'imge de pr : o repère l grdutio sur l'e des scisses, o trce l verticle jusqu'à l coure G, puis o lit l'ordoée du poit de l coure L'esemle de déiitio de l octio est l'esemle des scisses des poits de l coure, comme si o " pltissit " l coure sur l'e des scisses Pour lire les técédets du omre o repère l grdutio sur l'e des ordoées, puis o trce l droite horizotle prllèle à l'e des scisses : si l droite coupe l coure G, o lit les scisses de ces poits d'itersectio Déiitios : Le mimum d'ue octio sur u esemle D est l plus grde imge () tteite pour u omre de D: pour tout réel de D, o ( ) ( )

4 Le miimum d'ue octio sur u esemle D est l plus petite imge () tteite pour u omre de D: pour tout réel de D, o ( ) ( ) U etremum est u miimum ou u mimum Ce omre est lu e ordoée et il doit être tteit Aisi l'iii e peut ps être u etremum Déiitio : L octio est dite ijective lorsque, il eiste ps deu vriles du domie qui ot l même imge pr - ue octio est ijective si l équtio ( ) = y mimum ue solutio ; - ue octio est ijective si toute prllèle à l e des scisses coupe l coure représettive de l octio e mimum u poit ; - pour motrer qu ue octio est ps ijective il est suismmet de trouver deu omres disticts qui ot l même imge pr :, mis ( ) = ( ) ; - pour motrer qu ue octio est ijective o peut prtir de l églité ( ) = ( y) pour deu vrile et y Si o otiet = y, l octio est ijective Déiitio : L octio : A B est dite surjective lorsque tout omre de B d técédet e A - ue octio est surjective si l équtio ( ) = y miimum ue solutio ; - ue octio est surjective si toute prllèle à l e des scisses coupe l coure représettive de l octio e miimum u poit ; - pour motrer qu ue octio est ps ijective il est suismmet de trouver u omre qui ps d técédet ; Déiitio : Ue octio est dite ijective lorsque elle est ijective et surjective - ue octio est ijective si l équtio ( ) = y ue solutio uique ; - ue octio est ijective si toute prllèle à l e des scisses coupe l coure représettive de l octio e ectemet u poit ; Résoudre grphiquemet l'équtio ( ) = k, où k est u omre cou, reviet à lire sur l coure G les técédets de y pr l octio O coît l coureg, et o cherche, c'est-à-dire l'scisse des poits de l coure Comme y est cou et qu'il doit être égl à (), o coît l'ordoée de ces poits Autremet dit, o cherche les scisses des poits de l coure G yt pour ordoée y

5 Équtio ( ) = k Équtio ( ) = Les solutios sot les scisses des poits de l coure G dot l'ordoée est le omre k Les solutios sot les scisses des poits d'itersectio de l coure G vec l'e des scisses L droite horizotle d'équtio y = k coupe l coure e deu poits ; o lit les scisses: S = {, } L coure coupe l'e des scisses e trois poits ; o lit les scisses : S = {,, } 3 Équtio ( ) = g( ) Les solutios sot les scisses des poits d'itersectio des coures G et g G Les coures se coupet e trois poits ; o lit les scisses : S = {,, } 3 Résolutio d ue iéqutio: Iéqutio ( ) > k Les solutios sot les scisses des poits de l coure G dot l'ordoée est supérieure u omre k Ue prtie de l coure G est située u-dessus de l droite horizotle d'équtio y = k: S = (, ) Iéqutio ( ) > Les solutios sot les scisses des poits de l coure G situés u-dessus de l'e des scisses Deu prties de l coure G sot situées udessus de l e des scisses : S = (, ) (, ) 3

6 Iéqutio ( ) > g( ) Les solutios sot les scisses des poits de l coure G situés udessus de l coure G g Deu prties de l coure G sot situées u-dessus de l coure G g : S = (, ) (, ) 3 Déiitio : Soit u et v deu octios déiies respectivemet sur les esemles Du et D v L octio oteue e ppliqut successivemet u, puis v, est l composée de u pr v, otée v u L octio v u est déiie sur l'esemle D des réels de Du tels que u() pprtiee à D v et pr (v u)()=v(u()) Déiitios : Soit ue octio déiie sur u itervlle I Dire que est ue octio strictemet croisste sur I sigiie que, pour tout couple (;) de réels de I : si <, lors ()<() Les imges des réels de I sot rgées ds le même ordre que ces réels Dire que est ue octio strictemet décroisste sur I sigiie que, pour tout couple (;) de réels de I :si <, lors ()>() Les imges des réels de I sot rgées ds l'ordre cotrire de celui de ces réels Dire que est ue octio strictemet mootoe sur I sigiie que est strictemet croisste ou strictemet décroisste sur I Théorème : Soit u ue octio déiie sur u itervlle I et v ue octio déiie sur u itervlle J qui cotiet tous les réels u() vec ds I Si les deu octios u et v sot strictemet mootoes et ot le même ses de vritio respectivemet sur I et J, lors l octio v u est strictemet croisste sur I Si les deu octios u et v sot strictemet mootoes et ot des ses de vritio cotrires respectivemet sur I et J, lors l octio v u est strictemet décroisste sur I Déiitio: L octio est dite pire lorsque, pour tout omre qui ue imge pr : - ue imge pr et ( ) = ( ) Dire qu ue octio est pire équivut à dire que s coure représettive reltivemet à u repère dmet l e des coordoées comme e de symétrie Déiitio: L octio est dite impire lorsque, pour tout omre qui ue imge pr : - ue imge pr et ( ) = ( ) Dire qu ue octio est impire équivut à dire que s coure représettive reltivemet à u repère dmet l origie du repère comme cetre de symétrie

7 Déiitio: L octio pour période T sigiie que, pour tout omre, o ( + T) = ( ) Déiitio : Soit u omre ié O ppelle octio liéire de coeiciet le processus opértoire qui u omre ssocie le produit Ue octio liéire de coeiciet ommée se ote : (o lit «l octio qui à ssocie») Déiitio : Soiet et deu omres iés O ppelle octio ie tout processus opértoire qui u omre ssocie le omre + : Ue octio ie ommée se ote : : + (o lit «l octio qui à ssocie +») + y= c U système d'équtios liéires à deu icoues peut s'écrire Résoudre ' + ' y= c ' u tel système, c'est trouver tous les couples (, y ) vériit e même temps ces deu équtios Déiitio: L octio crré est déiie pour tous les réels pr ( ) = L coure représettive de l octio crré est ue prole de sommet l'origie O(, ) du repère O dit que l octio crré est pire Ses de vritio de l octio crrée:,+, l octio crré est croisste Sur l'itervlle [ [ Sur l'itervlle ],], l octio crré est décroisste D'près le tleu des vritios, le omre zéro est le miimum d'u crré Déiitio: L octio iverse est déiie pour tous les réels, su zéro, pr ( ) L coure représettive de l octio iverse est ue hyperole de cetre O(,) O dit que l octio iverse est impire Les es de coordoées sot les symptotes de l'hyperole Ses de vritio de l octio iverse: Sur l'itervlle],+ [, l octio iverse est décroisste =

8 Sur l'itervlle ],[, l octio iverse est décroisste Déiitio : L octio logrithme épérie est l primitive de l octio iverse sur ];+ [ qui pred l vleur e O ote cette octio l L'esemle de déiitio de l octio l est ];+ [ O l()= L octio l est dérivle sur ];+ [ et, pour tout réel ds ];+ [, o l ()= Théorème : L octio l est strictemet croisste sur ];+ [ L coure représettive de l octio l dmet l'e des ordoées comme symptote Limites : lim l =+ ; lim l = Propriétés lgériques : Soiet et deu réels strictemet positi Alors : l( ) = l + l l l = l l l = l( ) = l, Z O sit que l octio l rélise ue ijectio de ],+ [ sur R L octio réciproque de l octio l s ppelle octio epoetielle Déiitio : Il eiste ue uique octio dérivle sur R qui est égle à s dérivée et qui pred l vleur e Cette octio est otée ep et ppelée octio epoetielle O : ep =ep et ep()= Pour tout etier ds Z, ep()=ep( )=(ep()) O oter e le réel ep() ; o lors, pour tout ds Z, ep()= e Pr covetio, pour tout réel, o ote e u lieu de ep() Avec cette ottio, les propriétés lgériques de l octio epoetielle se trduiset comme les règles de clculs sur les eposts déjà coues Ue vleur pprochée de e est e,7888 L octio ep est strictemet positive sur R et strictemet croisste sur R L octio epoetielle est ue ijectio de l'itervlle R sur l'itervlle ];+ [ e

9 Pour des vleurs de ssez grdes, l octio epoetielle croît eucoup plus vite qu'ue octio puissce ; ce qui justiie prois l'epressio du lgge court «croissce epoetielle» pour ue croissce rpide Il découle de cette propriété que, pour tout etier turel, o e > pour ssez grd Limites : lim e =+ ; lim e = l Pour tout réel > et pour tout réel, = e E d'utres termes, pour tout réel k strictemet positi, l'équtio e = k dmet ue uique solutio réelle, ppelée logrithme épérie de k et otée lk Ce résultt découle du théorème de l ijectio et des iormtios du tleu des vritios, puisque l octio ep est cotiue sur R Déiitio : Soit u réel strictemet positi et diéret de L octio déiie sur R s'ppelle l octio epoetielle de se ( )' = l Déiitio : Pour tout réel positi et tout etier turel o ul, il eiste u uique réel positi tel que = Le réel est oté et s'ppelle l rcie -ième du réel positi Limite et cotiuité Déiitio: Soit l u réel; ous diros que ( ) ted vers l lorsque ted vers + qud tout itervlle ouvert cotet l cotiet toutes les vleurs de ( ) pour ssez grd Nous oteros cel lim ( ) = l Déiitio: Soit ue octio déiie sur u itervlle I cotet O dit que est cotiue e si lim ( ) = ( ) O dit que est cotiue sur I si est cotiue e tout poit de I Géométriquemet, l cotiuité d ue octio sur u itervlle I correspod à l idée ituitive selo lquelle, sur I, ous pouvos trcer l coure représettive de d u trit cotiu de cryo Théorème ( des vleurs itermédiires ) : Soit ue octio déiie et cotiue sur u itervlle I et et des pots de I (<) Pour tout réel k compris etre ( ) et ( ) il eiste u réel c compris etre et tel que ( c) = k, Théorème : Soit ue octio cotiue strictemet mootoe sur [, ] Alors, pour tout k compris etre ( ) et ( ), l équtio ( ) = k ue solutio uique ds [, ]

10 Déiitio : Lorsque pour limite l e + (ou e - ), o dit que l droite d'équtio y = l est symptote horizotle à l coure représett e + (ou e - ) Déiitio : O dit que l droite d'équtio y =m + vec est symptote olique à l coure représett e + (ou e - ), lorsque : lim ( ) ( m+ ) = Déiitio : Lorsque pour limite + ou - e, o dit que l droite d'équtio = est symptote verticle à l coure représett ds u repère (O;i,j) Théorème des gedrmes : Si, pour «ssez voisi de» o l ecdremet u( ) ( ) v( ) et si u et v ot l même limite l e, lors lim ( ) = l A l iii, les puissce de l emportet sur le logrithme de et l epoetielle de e l emporte sur toute puissce de : lim = et lim = l Applictios des dérivées Déiitio: Soit ue octio dot l'esemle de déiitio D est u itervlle ou ue réuio d'itervlles et u réel pprtet à D Dire que l octio est dérivle ( + h) ( ) e sigiie qu'il eiste u réel L tel que : lim = L h h Le réel L s'ppelle le omre dérivé de l octio e ; o ote L = () Si est dérivle e, le réel () est le coeiciet directeur de l tgete à l coure représettive G u poit A(;()) Déiitio: Soit ue octio dot l'esemle de déiitio D est u itervlle ou ue réuio d'itervlles Si l'esemle D des réels, tels que soit dérivle e, est o vide, l octio dérivée de est l octio qui à tout réel de D ssocie le omre dérivé de e ' : '( ) Théorème : Soit ue octio d'esemle de déiitio D et I u itervlle iclus ds D Si l octio est dérivle sur l'itervlle I, lors est cotiue sur I Théorème : Si u et v sot deu octios dérivles sur u même itervlle I et λ u réel, lors les octios somme u + v et produit uv et λu sot dérivles sur I et, pour tout de I : (u+v) ()=u ()+v () (uv) ()=u ()v()+u()v () (λu) ()=λu () Théorème : Soit v ue octio dérivle sur u itervlle I, telle que v e s'ule ps sur I Alors l octio ' v est dérivle sur I et, pour tout réel de I, ( ) v '( ) = v v( ) ( )

11 Théorème : Soit u et v deu octios dérivles sur u itervlle I, telles que v e s'ule ps sur I Alors : u est dérivle sur I et, pour tout réel de I, v ' u u '( ) v( ) u( ) v '( ) ( ) = v v ( ) Théorème : Soit u ue octio déiie sur u itervlle I cotet le réel et v ue octio déiie sur u itervlle J cotet y = ( ) Si u est dérivle e et si v est dérivle e y, lors l octio = v u est dérivle e et '( ) = v '( y) u '( ) Théorème : Soit ue octio mootoe et dérivle sur u itervlle I Si est ue octio croisste sur I, lors, pour tout réel de I, () Si est ue octio décroisste sur I, lors, pour tout réel de I, () Si est ue octio costte sur I, lors, pour tout réel de I, ()= Théorème : Soit ue octio dérivle sur u itervlle I coteu ds so esemle de déiitio Si, pour tout réel de I, (), lors est croisste sur I Si, pour tout réel de I, (), lors est décroisste sur I Si, pour tout réel de I, ()=, lors est costte sur I Aisi, l étude de l vritio d ue octio dérivle se rmèe à l recherche des itervlles sur lesquels l dérivée grde u sige costt Théorème : Soit dérivle sur u itervlle ouvert I et u réel de I Si dmet u etremum locl e, lors '( ) = Si e l dérivée s ule e chget de sige, lors dmet u etremum locl e Les etremums locu d ue octio sot à chercher prmi les zéros de l dérivée, mis si '( ) = est ps orcémet u etremum locl Pour détermier ue équtio de l tgete à l coure représettive d'ue octio e so poit A d'scisse : o détermie le coeiciet directeur () ; o détermie esuite l'ordoée à l'origie e utilist les coordoées (;()) du poit A Remrque : o peut églemet utiliser directemet l ormule géérle : y = ()(-)+() E prtique, pour détermier le tleu des vritios d'ue octio dérivle sur D : - o prtge l'esemle D e itervlles sur lesquels l dérivée grde u sige costt ; - sur chque itervlle I, o pplique les résultts suivts : o si est positive et e s'ule qu'e u omre ii de poits, lors est strictemet croisste sur I ;

12 o si est égtive et e s'ule qu'e u omre ii de poits, lors est strictemet décroisste sur I Remrque : o peut coclure que l mootoie est stricte, cr 'est costte sur ucu itervlle [;] vec <, puisque 'est ps idetiquemet ulle sur cet itervlle Théorème : Si ue octio est dérivle et strictemet mootoe sur [, ] et si ( ) ( ) <, lors l équtio ( ) = ue solutio uique ds l itervlle ], [ Certis prolèmes, e prticulier e mécique, coduiset à s'itéresser à l vritio de l dérivée d'ue octio O est lors meé à cosidérer l octio dérivée secode de, otée, qui est l dérivée de l octio ( 3) L dérivée troisième de est l octio, otée, qui est l dérivée de Plus géérlemet, pour tout etier, o peut itroduire l octio dérivée -ième de ( ) ( + ) l octio, otée, qui est l dérivée de l octio Théorème : Soit ue octio mootoe et deu ois dérivle sur u itervlle I Si est ue octio covee sur I, lors, pour tout réel de I, () Si est ue octio cocve sur I, lors, pour tout réel de I, () Aisi, l étude de l coveité ou de l cocvité d ue octio se rmèe à l recherche des itervlles sur lesquels l dérivée secode grde u sige costt Si e l dérivée secode '' s ule e chget de sige, lors dmet u poit d ileio e Les poits d ileio d ue octio sot à chercher prmi les zéros de l dérivée secode, mis si ''( ) = est ps orcémet u poit d ileio Représettio grphique : pour ue oe représettio d ue octio, o esoi de : Esemle de déiitio Esemle d étude, propriétés géométrique de l coure Limites u ores de l esemle d étude Dérivilité, vritio Asymptotes L dérivée secode, coveité, cocvité Le tleu de vritio Primitives et itégrtio Déiitio : Soit et F deu octios déiies sur u itervlle I O dit que F est ue primitive de sur I, si l octio F est dérivle sur I et pour dérivée l octio Pour tout réel de I, F () = () Théorème : Soit F ue primitive d ue octio sur u itervlle I G est ue utre primitive de sur I, si et seulemet si, il eiste ue costte k R telle que pour tout I, G( ) = F( ) + k

13 Théorème: Si est ue octio cotiue sur u itervlle I, lors dmet des primitives sur I Ce théorème doe ue coditio suiste pour justiier l'eistece des primitives d'ue octio, mis cette coditio 'est ps écessire : certies octios discotiues peuvet dmettre des primitives, mis d'utres 'e dmettet ps Propositio : Si est ue octio déiie sur u itervlle I qui dmet ue primitive F sur I, lors : - les primitives de sur I sot les octios de l orme F() + k, vec k réel ; - pour tout couple (, y ), vec I et y R, il eiste ue uique primitive F de sur I qui pred l vleur y e O clcule ue primitive quelcoque de sur I et o détermie l vleur de l costte à l'ide de l coditio imposée Théorème : Soit ue octio cotiue sur u itervlle [;] L octio F déiie sur [;] pr F( ) = ( t) dt est l'uique primitive de sur [;] qui s'ule e Déiitio : Soit ue octio cotiue et positive sur u itervlle [;] et C s coure représettive ds le repère (O;i,j) L'itégrle de à de est le réel oté ( ) d égl à l'ire, eprimée e uités d'ire, du domie D délimité pr C, l'e des scisses et les droites d'équtios = et = Formule de Leiitz Newto: Soit ue octio cotiue sur u itervlle I et F ue primitive quelcoque de sur I Pour tous réels et de I, l diérece F()-F() e déped ps de l primitive de choisie, doc ( ) d = F()-F() Propriété : Soiet deu octio et g dérivle sur u itervlle I, et deu réels de I O : ( + ) = ( ) + ( ) o ( ) ( ) g d d g d o ( ) = ( ) k d k d, k étt u omre réel ié c c o ( ) + ( ) = ( ) d d d ( reltio de Chsles ) o ( ) = ( ) o Si d d et, lors ( ) d

14 o pour tout de I, ( ) d= o Si g, lors ( ) d g( ) d Propriété ( iéglités de l moyee): Soit ue octio cotiue sur u itervlle I, et et deu réels de I Si et s'il eiste deu réels m et M tels que m () M, pour tout réel de [;], lors m(-) ( ) d M(-) S'il eiste u réel M positi tel que M sur I, lors ( ) d M - O ppelle vleur moyee de sur [, ] le omre réel ( ) Itégrtio pr prtie : Soit u et v deu octios dérivles sur u itervlle I, telles que u et v sot cotiues sur I Pour tous réels et de I, o : ( ) '( ) = ( ) ( ) '( ) ( ) u v d u v u v d d

15 Eercices Eercice : Clculer le plus petit etier tel que: Questios complémetires : 3 d ) m étt u turel, trouver l'etier tel que: d Les iéglités peuvetelles être strictes? m+ ) E déduire le sige de : d ( ) et m+ c) Clculer d ( ) et m m m+ d m m+ m m+ m d ; Eercice : Étt doé u réel λ ié, o cosidère l octio λ, déiie sur R, pr ( ) λ λ = e O ote C λ s représettio grphique ds u repère orthoormé ) Étudier, suivt les vleurs de λ, les vritios de λ ; ) O suppose que λ > Motrer qu'il eiste sur le C λ deu poits Aλ et B λ e lesquels l tgete psse pr l'origie Clculez les coordoées de ces poits e octio de λ Questios complémetires : * ) Quel est l'esemle ormé pr les poits Aλ et Bλ lorsque λ décrit R? ) Quel est le omre de solutios de l'équtio ( ) = e = Eercice 3 : Pour tout N, o cosidère ( l ) ) Clculer I ; I d λ? ) Motrer que pour tout N *, I + = e ( + ) I ; E déduire I, I 3 et I 4 Questios complémetires : ) L'églité est-elle vrie pour =? ) Motrer que I+ E déduire l limite de I +

16 l Eercice 4 : Soit l octio déiie pr ( ) = Démotrez que l octio dmet u mimum u poit d'scisse +e Questios complémetires : ) Il y utres poits critiques? ) Trouver l'itervlle sur lequel : e l Eercice 5 : Soit l octio de R ds R, déiie pr : () = + Motrer que étlit ue ijectio de [, + ) sur ( ; ] Questios complémetires : ) E octio de l méthode de résolutio proposée pr le cdidt, o l iterroger sur l utre méthode ; ) L octio dmet-elle des etremums? c) O pourr demder u cdidt de démotrer les propriétés utilisées 3 = 5 5 Eercice 6 : Étudier l mootoie de l octio ( ) + Questios complémetires : ) Si le cdidt utilise ue méthode lgérique, o pourr lui demder de démotrer l propriété suivte: "l somme de deu octios décroisstes est décroisste" Si le cdidt utilise ue méthode lytique, o pourr lui demder de motrer que l < et 5 3 que l < ; 5 ) E déduire que l'équtio + 3 = 5 ue solutio uique sur R Eercice 7 : O cosidère l suite d itégrles déiie pr e I = d et pour tout etier turel pr I = e d ) Clculer l vleur I ;

17 + ) E utilist ue itégrtio pr prties, démotrer l églité I = ( ) e + (+ ) I 3) E déduire les vleurs I et I Eercice 8 : O ote l octio déiie sur l esemle R pr ( ) ) Détermier les limites de e et ) Clculer '( ) pour tout réel ; 3) E déduire le tleu de vritio de + ; Eercice 9 : Soit l octio déiie sur R pr représettive ds le pl mui d u repère orthogol + ; = (+ )e () = + et C s coure O ote D et D les droites d équtios respectives y = -3 et y = ) Etudier les limites de e + et e - ; g ) Motrer que, pour tout réel, ( ) ( ) ' =, où g est l octio déiie sur R pr ( ) = g + + 3) Scht que le tleu de vritios de l octio g est : g () g() - + e déduire le tleu de vritios de l octio 4) Détermier l limite e - de ( ) ( 3) Quelle coséquece grphique peut-o déduire de ce résultt? 5) Motrer que l droite D est symptote à l coure C e + ; 6) Etudier l positio de C pr rpport u deu droites D et D ; 7) Trcer l coure C, isi que les droites D et D = + Eercice : L suite (u ) est déiie sur N pr : u l( ) ) Détermier le ses de vritio de l suite (u ) L suite (u ) coverge-t-elle? d

18 ) Démotrer que pour tout etier turel o ul : E déduire l limite de l suite (u ) l u + Eercice : O cosidère l coure (C) ci-près, qui représete ds le pl rpporté à u repère orthoormé ue octio, déiie sur l itervlle [-,5 ;,5 ] ) Prmi les tleu de vritios suivts, idiquer celui qui correspod u tleu de vritio de l octio : -,5 -,5 () () 4-6,5, 5 -,5,5 () () -6,5 c -,5 -,5 () () 4, -6,5 5 d -,5 -,5 () ,5 () 4, 5 ) L octio : [ -,5 ;,5 ] R est telle que () = O ote s octio dérivée ) Détermier l octio ) Résoudre l équtio () = Questio complémetire : Soit l solutio égtive de l équtio de l questio ) Dire si les irmtios suivtes sot vries ou usses Justiier : «Le omre représete : p ) Le mimum de l octio sur [ -,5 ; ] ; p ) L scisse du poit dot l ordoée est le mimum de l octio sur [ -,5 ; ] ; p 3 ) L ordoée du poit A ; A

19 p 4 ) L scisse d u poit de l coure où l tgete est prllèle à l e des scisses» Eercice : O se propose d étudier l octio : D R, () = l( ) ) ) Étudier les vritios de l octio g : R R, g() = ; ) E déduire le sige de g() ; c) Préciser les limites de g e + et - ) ) À l ide des résultts du I, préciser D, étudier les vritios de et détermier les limites de e + et - ; ) Trcer les coures représettives de et g ds u même repère orthoormé 3) ) Résoudre l équtio () = l 5 ; ) À l ide des vritios de, déduire l esemle solutio de l iéqutio () l 5 Questio complémetire : Que peut-o dire du poit d scisse = 4? 4 e g() = e 4 Eercice 3 : Soit g l octio déiie sur [ ;+ ) pr + et (C g) s coure représettive ' ) Motrer que l octio g vériie les coditios suivtes : ( ) = 4 ( () ) et () = ; ) Motrer que (C g ) dmet ue symptote dot o e doer ue équtio ; 3) Étudier les vritios de g sur [ ; + ) ; 4) Détermier l scisse du poit d itersectio de et de l tgete à (C g ) à l origie 3 Eercice 4 : Soit (u ) l suite déiie pr u = + 3 ) Clculer les 4 premiers termes de l suite et cojecturer le ses de vritio de cette suite ; ) Détermier ue octio déiie sur l itervlle [ ; + ) telle que, pour tout etier, o it u = ( 3 ) ; 3) Etudier les vritios de l octio et e déduire le ses de vritio de l suite (u ) Eercice 5 : ) O cosidère l octio g déiie sur ( ; + ) pr g( ) = + + l( + ) Détermier les réels et pour que l coure représettive de g dmette ue tgete prllèle à l e des scisses u poits d scisses et 3 ; ) Soit l octio déiie sur ( ; + ) pr () = + 5 5l( + ) et C s coure représettive ds u repère orthoormé ) Détermier l limite de () qud ; ) Détermier l limite de + 5 qud + et e déduire l limite de e + ;

20 c) Clculer () et e déduire le ses de vritio de l octio Eercice 6 : Soit l octio déiie sur R pr g() = - + ) Étudier les vritios de l octio g ; ) Motrer que l équtio g() = dmet ue solutio uique α que l o détermier ; 3) E déduire le sige de g sur R Eercice 7: Soiet et g les octios déiies sur R pr ()= cos( ) cos( ) et g ( ) = si( ) si( ) ) Vériier que l octio - g s écrit sous l orme cos(u), où u est ue octio que l o préciser E déduire ue primitive sur R de - g ; ) Détermier ue primitive sur R de + g ; 3) E déduire les primitives des octios et g Eercice 8 : ) O cosidère l octio g déiie sur ( ; + ) pr : g( ) = l O doe cidessous le tleu de vritio de g : e + g() - + Démotrer toutes les propriétés de l octio g regroupées ds ce tleu ; 5l ) Soit l octio déiie sur ( ; + ) pr ( ) = Démotrer que ( ) = où est le réel pprisst ds le tleu ci-dessus ; 3) Soit u réel Pour >, eprimer ( t) dt e octio de Eercice 9 : O cosidère l octio : ( ; + ) R déiie pr () = o désige pr C s coure représettive ) Étudier les limites de e et e + ; ' l et ) Motrer que, pour tout réel ( ; + ), o ( ) = et e déduire le ses ( + )( ) de vritio de sur cet itervlle ; 3) ) Motrer que l droite D d équtio y = + 4 est symptote à l coure C e + ; + ) Motrer que, pour tout ( ; + ), > et e déduire l positio de C pr rpport à D ; 4) Détermier les coordoées du poit de C où l tgete à l coure u coeiciet 5 directeur égle à et doer ue équtio de cette tgete ; 3

21 5) Motrer que, sur l itervlle [4 ; 5], l équtio ()= dmet ue solutio uique Eercice BAC 8 ) Clculer lim( + ) ; + ) Clculer lim( + + ) si( + ) + Eercice Le ut de cet eercice est d étudier l covergece de l suite (u ) déiie sur N* pr u = k si k= ) Motrer que pour tout réel positi o ul o si tdt ; e déduire que cos ) E réitért le procédé, motrer que pour tout réel positi ou ul o + si ; e déduire u ecdremet desi k 3) Motrer que pour tout, k k u 4 k+ k 4 k= k= k= k= que l suite (u ) coverge et doer s limite Eercice 3 * Soit N et l octio déiie ds R pr ( ) ) Motrer que pour tout réel, [ ] ; e déduire [ ] + [ ] + [ 3] + [ ] + = < + + ) E déduire que pour tout réel, ( ) ( ) 3) Vers quelle octio ted lors l octio lorsque +? Eercice 4 Soit u etier turel O déiit l octio sur [ ; e] pr () = ( l ) e = ( ) d et o pose I

22 e ) Motrer que I + = + ( + ) I ) Prouver que I =! e k! k= I 3) Motrer que I ; e déduire que lim =! 4) Prouver que lim = e k k=! Eercice 5 : Résoudre les équtios : (E ) : R, e + 5e - 6 = (E ) : = Eercice 6 : 3 Résoudre ds R l équtio + 5= 3 3 Eercice 7 : Détermier les rtioels tels que : 3 = 9