Vecteurs de variables aléatoires réelles Généralisation des propriétés de l espérance de la variance Dans tout le cours n désigne un entier naturel 2

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1 Vecteurs de varables aléatores réelles Gééralsato des proprétés de l espérace de la varace Das tout le cours désge u eter aturel a) Lo d u vecteur aléatore à valeurs das ) Défto La lo d u -uplet ou d u vecteur, de varables aléatores réelles défes sur le même espace probablsé, TP, est doée par la focto F défe sur par : ) Los margales,..., x,..., x, F x,..., x P x,..., Pour tout vecteur, de varables aléatores réelles défes sur le même espace probablsé, TP, et pour tout eter,, L applcato F : est appelée lo margale de x P x Cette applcato F est la focto de répartto de la varable aléatore 3) Caractérsato de la lo d u vecteur aléatore dscret La lo d u vecteur, de varables aléatores réelles dscrètes défes sur le même espace probablsé, TP, est caractérsée par la doée de l applcato : P... : x,..., x P x Remarque : Pour tout vecteur, de varables aléatores dscrètes défes sur le même espace probablsé, TP, et pour tout eter,, L applcato P : x P x 4) Proprété (admse) est appelée lo margale de S deux vecteurs, ety, Y,..., Y de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, ot même lo et s g est ue focto cotue sur à valeurs das alors les varables aléatores g et,,..., g Y, Y,..., Y ot même lo

2 5) Esperace d ue somme de varables aléatores Soet deux varables aléatores et Y défes sur le même espace probablsé, TP, S ety admettet chacue ue espérace, alors Yadmet ue espérace et o a E Y E E Y (léarté de l espérace) Gééralsato S, est u vecteur de varables aléatores réelles défes sur le même espace probablsé, TP, admettat chacue ue espérace alors... admet ue espérace et E... E... E, O peut auss gééralser certaes proprétés de l espérace à toutes les varables aléatores au programme a) Postvté S ue varable aléatore admet ue espérace et s presque sûremet, alors E b) Crossace S deux varables aléatores et Y défes sur le même espace probablsé,,p admettet ue espérace et s Y presque sûremet (c est à dre P Y ou Y ) alors E E Y P Coséquece : S deux varables aléatores dscrètes et Y défes sur le même espace probablsé,,p admettet ue espérace et s Y presque sûremet (c est à dre P Y ), alors E Y E c) Exstece d ue espérace par domato S deux varables aléatores et Y défes sur le même espace probablsé,,p vérfet Y presque sûremet et s Y admet ue espérace, Alors admet ue espérace et das ce cas, o a E E Y 6) Idépedace mutuelle de varables aléatores réelles Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, Les varables aléatores..., sot mutuellemet dépedates s et seulemet s x,..., x, F x,..., x P x F x,...,

3 7) Caractérsatos de l dépedace mutuelle a) Caractérsato Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, Les varables aléatores..., sot mutuellemet dépedates s et seulemet s pour tous tervalles,..., b) Caractérsato I I de, P I P I Les varables aléatores..., sot mutuellemet dépedates s et seulemet s toute famlle d évèemets A,..., A... T T est ue famlle d évèemets mutuellemet dépedats Rappel : O otet la trbu ou -algèbre egedrée par les évèemets x pour tout réel x c) Caractérsato de l dépedace mutuelle de varables aléatores dscrètes Sot u vecteur, de varables aléatores réelles dscrètes défes sur le le même espace probablsé, TP, Les varables aléatores dscrètes..., sot mutuellemet dépedates s et seulemet s x,..., x..., P x P x d) Idépedace mutuelle d ue sute fe de varables aléatores réelles dscrètes Sot ( ) ue sute de varables aléatores dscrètes défes sur le même espace probablsé. O dt que ( ) ue sute de varables aléatores dépedates s toute sous-sute fe extrate de cette sute est formée de varables aléatores mutuellemet dépedates. 3

4 B. Lemme des coaltos et coséqueces Le programme utlse le mot «lemme» Le lemme est u résultat termédare sur lequel o s'appue pour codure à u théorème (ou de pluseurs théorèmes) plus mportat. ) Lemme des coaltos (adms) Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, et sot p, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates, toute varable aléatore focto de,..., p est dépedate de toute varable aléatore focto de,..., p Exemples S et Y sot deux varables aléatores dépedates défes sur le même espace probablsé, alors Les varables aléatores ety sot dépedates Les varables aléatores ety sot dépedates Les varables aléatores e et Y sot dépedates S, Y et Z sot tros varables aléatores dépedates défes sur le même espace probablsé, alors Les varables aléatores Y et Z sot dépedates Les varables aléatores Y et Z sot dépedates Les varables aléatores max YZsot, dépedates e et ) Espérace du produt de varables aléatores dépedates S ety sot deux varables aléatores dépedates admettat chacue ue espérace, alors. E Y E E Y Yadmet ue espérace et o a Gééralsato : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et admettet chacue ue espérace alors... E... E... E admet ue espérace et 3) Varace d ue somme de varables aléatores dépedates S ety sot deux varables aléatores dépedates admettet chacue ue varace, alors Y V Y V V Y admet ue varace et o a 4

5 Gééralsato : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et admettet chacue ue varace alors... V... V... V admet ue espérace et 4) Stablté par la somme a) Stablté de la lo bomale Rappel : Soet et Y sot deux varables aléatores dépedates défes sur le même espace probablsé B, p Y B m, p Y B m, p S et alors Gééralsato : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s,, B m, p... B m... m, p alors Cas partculer : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s B p alors B p,,..., La somme de varables aléatores de Beroull dépedates et de même paramètre B, p p (ou de même espérace p ) sut la lo bomale b) Stablté de la lo de Posso Rappel : Soet et Y sot deux varables aléatores dépedates défes sur le même espace probablsé S P Y P Y P et alors Gééralsato : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s P alors... P...,, 5

6 5) Somme de varables dépedates de lo pett gamma Rappel : stablté de la lo par la somme Soet ety deux varables aléatores à desté dépedates défes sur le même espace probablsé S et s Y alors Y Gééralsato : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s alors......,, Coséqueces mmédates : Soet et Y sot deux varables aléatores dépedates défes sur le même espace probablsé S E Y E Y et s alors Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s,, E alors... Remarque : smulato à l ade de la focto rad d ue lo avec l Y O a vu (cours d formatque) s Y U, alors Z sut la lo expoetelle de paramètre : doc Z l Y E. * fucto =gamma() s= for =: s=s-log(-rad()) ed =s edfucto 6

7 Remarque : Lo d Erlag (méthode à coaître) Ager Krarup Erlag (978-99) mathématce daos S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s,, E O sat que pour tout réel, E Y E C est-à-dre auss Y E Y E Doc s E alors, par multplcato par, E,, Et S o ote S, o a, La focto de répartto F de la varable aléatore S x, F x S pusque,,, S est telle que S x, F x P x P x G x où G est la focto de répartto de Z qu a pour desté la focto g défe sur par g x s x x x e x s O vérfe que la focto F est la focto de répartto d ue varable aléatore à desté E effet F est cotue et C sur, et sur,, de plus lm F x, F g x dx, F cotue à drote e comme toute focto de répartto Doc S est ue varable aléatore à desté x Je preds pour desté la focto f défe sur f x par s x x x g x x e x e s x!! (lo d Erlag) 7

8 Coséquece : smulato d ue lo de Posso à l ade de la focto rad Rappel (vor page 7) : s les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s,, E S o ote S, o a S, et la varable S est ue varable aléatore à desté Je preds pour desté la focto f défe sur par f x s x x x e x! s O trodut la varable aléatore N égale au plus grad eter aturel, tel que S avec par coveto N s (alors,, S ) O a N S car N égal à ce qu se résume S Traval prélmare Motros que, sgfe que le plus grad des tel que S est au mos P S e t Utlsos la formule de Taylor avec reste tégral : e e dt!!! u u!! E posat u tdas l tégrale, e e du E dvsat chaque membre par e, u u!! O effectue mateat le chagemet de varable v v!! e e dv e e du u v sotu v, O a doc falemet e PS et doc Coséqueces :! Motros alors que, P N e P N P S e! Doc! P N P N P N e, Pour P N P N P N e, P S e!!! 8

9 (Vrae pour pusque P N P N P P e e ) La varable N sut la lo de Posso de paramètre Smulato : O cherche doc le plus grad, tel que S E otat, pour tout,, U U : o a, O cherche doc le plus grad, l plus grad tel que l U sot U U E (smulato de chaque ) l U tel que ce qu revet à chercher le O peut motrer faclemet que s U U alors U, U, e 6) Somme de varables dépedates de lo ormale Rappel : Soet ety deux varables aléatores à desté dépedates défes sur le même espace probablsé N m, Y N m, Y N m m, S et alors Gééralsato : Sot u vecteur, de varables aléatores défes sur le même espace probablsé, TP, S les varables aléatores..., sot (mutuellemet) dépedates et s,, N m, alors... N m... m ;... 9