1.1. Suites géométriques

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1 . Sites géométries.. Sites géométries Défiitio : Dire e site est géométrie de raiso sigifie e tot etier atrel,. Exemles Troer des sites La site de terme gééral, où aartiet à, est e site géométrie ise or tot de, + + K La raiso est, le remier terme est. Exressio exlicite d terme e foctio de Proriété : Por e site géométrie de remier terme et de raiso, o a : or tot de. or tot de et etier comris etre et. REMARQUE : O et reteir : ombre de termes aat (remier terme) x (raiso) Démostratio D arès la défiitio, os oos écrire : Por <, o a, aisi ( ) 3 3 ( ) et aisi de roche e roche, o a : ( ) + ( ) 3. Recoaissace d e site géométrie Proriété : Si est e site telle e or tot de, a (aec a ombre réel), alors est la site géométrie de raiso. Pree : il sffit d écrire e a a + + or reeir à la défiitio Cors Termiale E. Poli Page

2 4. Ses de ariatio de la site Proriété 3 : est e site défiie sr ar aec >. La site géométrie est croissate si >, décroissate si < < et costate si. +. Doc + est d même sige e Remare : Les sites géométries de raiso > corresodet à des éoltios exoetielles + Pree : ( ) ( ) Lorse, si < Exemle : La site défiie sr ar, le ses de ariatio de est iersé ar raort à est croissate. 3 E effet la site défiie ar est décroissate d arès la roriété, mais 3 chae terme est mltilié ar -, ombre égatif, doc la site est croissate. 5. Somme de K+ Proriété 4 : La somme des issaces sccessies d ombre réel, s exrime sos la forme : K + Démostratio S S S S S( ) + d où S Remare : si, S+ + K Projectio Tabler Recherche d rag.. Limites de la site. Aroche de la otio de limite Exemle : a est la site défiie or tot ombre etier atrel ar a, 3 a est e site croissate d arès la roriété 3 car,3>. A l aide d tabler, o et motrer e o Por 56, a > o Por 34, a > o Por 3, a > Cors Termiale E. Poli Page

3 Pls gééralemet, o et démotrer e, or tot ombre réel A, assi grad e l o et, a déasse défiitiemet A à artir d certai rag. O dit e la site (,3 ) a or limite + et o ote lim,3 + + Exemle 3 : b est la site défiie or tot ombre etier atrel ar b, 8 b est e site décroissate d arès la roriété 3 car <,8<. A l aide d grahie, o et motrer e o Por, b <, o Por, a >, o Por 3, a <, Projectio Algos Pls gééralemet, o et démotrer e, or tot ombre réel A, assi roche de e l o et, b est défiitiemet comris etre et A à artir d certai rag. O dit e la site (,8 ) a or limite et o ote lim,8 + Algorithme : Algorithme ermettat de détermier le rag N a artir d el < 4 or, 8 CASIO TEXAS A red_la_aler A : A K red la aler K : K Tat e A> - faire While A>^(-) :While A>^(-) K red_la_aler K+ K+ K :K+ K A red_la-aler,8*a.8ˣa A :.8ˣA A Fi Tat e WhileEd :Ed Afficher K K Dis K. Limite de la site aec > Proriété 5 : Admise désige ombre réel strictemet ositif Si >, alors lim + + Si < <, alors lim + Remare : si, alors lim + Cors Termiale E. Poli Page 3

4 Exemle 4 : Etdios la somme S D arès la somme étdiée a aragrahe récédet, o a + S Doc S /. Or, lim car < <, doc lim S + + /8/4.3. Sites arithmético-géométries. Site de tye a b + + Défiitio : Ue site arithmético-géométrie est e site défiie ar la doée de et de la relatio de récrrece : or tot de, + a + b (où a et b sot des ombres réels doés) Cas articliers : a, est e site costate à artir d rag a mois a et b, or tot, + a doc est e site géométrie de raiso a. a b, or tot, + + b doc est e site arithmétie de raiso b. Por os traax, l étde d e telle site sera rameée à l étde d e site géométrie. Exemle 5 : Ue rche ossède 8 abeilles. Chae jor elle erd % de sa coloie mais e acceille 5 oelles. Soit la site i doe le ombre d abeille chae jor ( 8 ). ) Qel est le ombre d abeille le soir d er jor? le soir d dexième? ) Motrer e la sitatio et être modélisée ar e site arithmético-géométrie 3) Cojectrer à l aide d grahie la limite de la site.. Rerésetatio grahie d e site aritmético-géométrie Por reréseter grahiemet les termes d e site arithmético-géométrie, o et tiliser le rocédé géométrie ci-dessos, i e écessite as de calcler les alers des termes sccessifs. Méthode est e site défiie ar et or tot de, + a + b. Por reréseter grahiemet cette site das reère orthoormé : () O trace la droit D d éatio y x O trace la droite d éatio y ax + b () O lace sr l axe des abscisses, (3) O tilise la droite or lacer a + b sr l axe des ordoées, O tilise la droite D or lacer sr l axe des abscisses, O recommece l étae (3) or lacer,... sr l axe des abscisses., 3 /6 Cors Termiale E. Poli Page 4

5 Rereos l exemle récédet. O rerésete les droites D et d éatio resectie y x et y,9x O obtiet le grahie siat : y,9x + 5 yx O cojectre e la limite de la site est 5. Cosidéros la site défiie ar 5 4) Motrer e la site est e site géométrie de raiso,9 et détermier l exressio de e foctio de 5) Démoter e or tot etier, 4, ) E dédire la limite de la site. Iterréter ce résltat or la sitatio de la rche. Cors Termiale E. Poli Page 5

6 Pree : O a : ,9,9,9,9 5 ( 5) ) Doc est e site géométrie de raiso,9 et de er terme Aisi 4, 9 4,9 + 5 O sait e lim 4,9 car <,9<. + Doc lim 5. + Cors Termiale E. Poli Page 6