Dans ce cas chaque transition ne dispose que d'une place en DE. 2. les réseaux sans conflits par Stéphane MARIEL

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1 VADE-MECUM Source uis. les graphes d'éas Dans ce cas chaque ransiion ne dispose que d'une place en DE enrée e une place en sorie. L'ÉTUDIANT EN RÉSEAUX DE ETRI. les réseaux sans conflis par Séphane MARIEL Dans lesquels chaque place n'a qu'une ransiion en sorie. 3. les réseaux dis simples.marquages Avan ropos Réseaux avec conflis mais dans lequel chaque ransiion Les réseaux de eri, quoique peu à la mode, ne son paschaque place d'un réseau de eri peu n'inervien au plus que dans une siuaion de confli. préhisoriques, on les doi aux ravaux du mahémaicienconenir une ou plusieurs marques (on 4. les réseaux purs allemand Carl Adam eri dans les années 6. parle aussi de jeons). La configuraion Dans cee siuaion aucune place n'es à la fois en enrée e Ils on surou éé éudiés en Europe e au MIT e son à complèe du réseau, avec oues les en sorie de la même ransiion. l'origine du GRAFCET uilisé dans l'indusrie française emarques posiionnées, forme le Le ableau suivan illusre les définiions précédenes : mainenan européenne. marquage e défini l'éa du réseau (e Graphe d'éas Sans conflis Ils devraien aussi faire leur appariion dans la prochainedonc l'éa du sysème modélisé). ossible Impossible ossible Impossible version de la norme UML () e son aussi parfois uilisés dansdans la suie on raiera principalemen des réseaux marqués, l'indusrie du jeu vidéo. e de l'évoluion des marquages. I.NOTATIONS ET RÈGLES DE FRANCHISSEMENT.laces, ransiions e arcs Un réseau de eri es : un graphe, formé de deux ypes de noeuds appelés places e ransiions reliés par des arcs orienés, e bipari, c'es-à-dire qu'un arc relie alernaivemen une place à une ransiion e une ransiion à une place. Lorsqu'une place es reliée à une ransiion par un arc : i j, on parle de place en enrée de j. Lorsqu'une ransiion es reliée à une place par un arc j i, on parle de place en sorie de j. Une ransiion sans place en enrée es une ransiion source, une ransiion sans place en sorie es une ransiion puis. 3.Franchissemen de ransiions our rendre compe de l'évoluion du sysème modélisé, les réseaux de eri inègren un formalisme permean de passer d'un marquage à un aure : c'es le franchissemen des ransiions. Une ransiion es franchissable si chacune des places en enrée compore au moins un jeon. our les ransiions franchissables, on défini le franchissemen effecif selon les règles suivanes : le franchissemen es une Franchissemen de ur Simple ossible Impossible ossible Impossible II.RORIÉTÉS DES RÉSEAUX DE ETRI Dans la suie on appellera M le marquage iniial. E *M l'ensemble des marquages accessibles à parir du marquage M iniial. opéraion indivisible (aomique), On noera la franchissabilié d'une ransiion j à parir d'un un jeon es consommé dans chaque place en enrée, marquage M i comme sui: M i [ j > un jeon es produi dans chaque place en sorie. Si le marquage résulan es M' i alors on noera : M i [ j >M' i 4.Réseaux pariculiers Cee noaion es exensible aux séquences de ransiions. On noe dans ce cas la franchissabilié de la séquence comme Le graphe associé à un réseau de eri peu êre rès sui : M i [ j k > complexe. Un cerain nombre de siuaions présene un inérê ar ailleurs on défini une noion d'ordre sur les marquages en pariculier : définissan la noion de couverure. Un marquage M' couvre un marquage M (on di aussi : M' es supérieur à M) si le

2 nombre de marques dans chaque place du réseau M'( i ) pour M' es supérieur au nombre de marques pour chaque place M( i ) dans M. Soi : M ' M i M ' i M i.réseaux bornés e/ou binaires Aenion : cee propriéé, comme les suivanes, es définie pour un marquage M donné. Sa validié pour un aure marquage n'es en rien garanie. Une place es die bornée pour un marquage iniial M si il exise un enier k el que pour ous les marquages accessibles Exemple de réseau vivan 3.Quasi-vivacié 5.Éa d'accueil e réseaux ré-iniialisables Un éa d'accueil pour un réseau e son marquage iniial es un marquage pariculier M a el qu'il exise un chemin (une séquence de ransiions franchissables) menan à M a pour ous les marquages accessibles. Il es donc oujours possible, quelques soien les ransiions La quasi-vivacié va définir une propriéé moins conraignanedéjà franchies, de revenir à l'éa Réseau réiniialisable depuis M e pour oues les places du réseau, le nombre deque la vivacié. Là ou la vivacié exige que la ransiion soi d'accueil en franchissan de jeons dans chaque place es inférieur à k. La place es die k-franchissable à parir de ou marquage, la quasi-vivacié nouvelles ransiions. borné. impose juse l'exisence d'une séquence de ransiionsi M s'avère êre un éa d'accueil, alors le réseau es di Un réseau don oues les places son bornées es lui même permean de franchir j, depuis le seul marquage iniial. réiniialisable. borné. Enfin un réseau -borné (chaque place conien au maximum 6.Composanes conservaives & invarians un jeon) es di sauf ou binaire. Réseau borné Réseau non borné Un invarian de marquage es une propriéé du marquage d'un ensemble de places du réseau. On es en présence d'un invarian de marquage si, pour un T es quasi vivane ensemble donné de places, il exise une combinaison linéaire Un réseau don oues les ransiions son quasi-vivanes es dides marques présenes dans les places de valeur consane quasi-vivan. quelque soi l'évoluion du réseau (e donc pour ous les On peu donc dire de manière simple qu'un el réseau nemarquages accessibles). compore pas de branches mores pour le marquage iniial, ilil exise donc dans ce cas un veceur V di de pondéraion : exise oujours au moins un moyen de franchir chaque V = ransiion en paran de M.,,..., n E l'invarian de marquage résule de la propriéé suivane : * 4.Blocage M M, i. M i =c e.vivacié Seules ceraines places inerviennen dans l'invarian de Un blocage correspond à un marquage du réseau de eri La vivacié pore sur les ransiions. Une ransiion j es die marquage (on a pour ces places : q i non nul), l'ensemble des pour lequel plus aucune ransiion n'es franchissable. vivane pour un marquage iniial M si depuis ou marquage places en quesion forme une composane conservaive noée Un réseau es di sans blocage si aucun marquage de accessible il es possible de rouver une séquence de (V). l'ensemble des marquages accessibles *M n'es un blocage. ransiions amenan à franchir j. Dans un el réseau il sera oujours possible de re-franchir j, peu impore les ransiions déjà franchies. La vivacié es donc une propriéé rès fore. Un réseau don oues les ransiions son vivanes es di vivan. 3 M M es un blocage 3 M

3 5 Dans le réseau ci-conre, on peu rouver deux invarians de marquages :. m()+m()+m(4) =. m()+m(3)+m(5) = Invarians correspondans à deux composanes conservaives :. {,, 4}. {, 3, 5}.Arbre e graphe de couverure d'incidence arrière La valeur du poids es lorsque l'arc exise e sinon (cee L'inconvénien de la méhode précédene es rédhibioire : ousdéfiniion es naurellemen exensible aux réseaux les réseaux n'on pas un graphe des marquages accessibles généralisés). fini... On propose donc une méhode alernaive. Le mécanisme de.marices d'incidence consrucion es le même que pour le graphe des marquages accessibles. A ceci prê que pour chaque nouveau marquageles ensembles e T son finis e discres, on peu donc (noeud du graphe) ajoué, on vérifie s'il n'es pas supérieur àreprésener les applicaions re e os sous forme maricielle. un marquage déjà présen sur au moins une séquence enreon défini ainsi W - la marice d'incidence avan comme sui : M e le nouveau marquage. [w i, j ] avec w i, j =re i, j Si el es le cas ous les marquages de place supérieurs son E W + la marice d'incidence avan : remplacés par ω. Ce symbole maérialise le fai que la place en quesion peu conenir auan de jeons que souhaié (elle [w + i, j ] avec w + i, j =os i, j es donc non bornée). Enfin on dédui la marice d'incidence W : W =W + W our le réseau suivan on a : III.GRAHE DES MARQUAGES ET DE COUVERTURE Jusqu'à présen aucune méhode n'a éé proposée pour déerminer les propriéés d'un réseau. Ce premier chapire va présener les méhodes «graphiques», le suivan les méhodes T [ ] [ ] T3 fondées sur l'algèbre linéaire. M =[ ] [ ] [ ] T W =.Arbre e graphe des marquages accessibles T3 remière méhode : consruire de manière exhausive le [ ] 4 graphe des marquages accessibles. Cee méhode es exrêmemen simple. Dans la suie, les places non bornées le demeuren [ ] Les noeuds du graphe son formés des différens marquages naurellemen e ceci quelles que soien les ransiions 3 W + 4 = de *M. On démarre avec le seul marquage iniial, e l'on vafranchies, ainsi le symbole ω ne disparaî jamais. consruire les différens arcs e noeuds progressivemen. Cee méhode produi le graphe de couverure, un graphe fini 3 our chaque nouveau marquage on déermine l'ensemble des dans ous les cas. ransiions franchissables e pour chaque ransiion de ce Comme pour le graphe des marquages accessibles, on va ensemble on ajoue un arc vers le nouveau marquage. pouvoir déduire de l'observaion du graphe de couverure un Aenion : la marice d'incidence n'a de sens que dans le cas Si un marquage es déjà présen dans le graphe, on se cerain nombre de propriéés pour le réseau de eri. des réseaux purs. En effe, dans les réseaux non purs, où une place es en enrée e en sorie de la même ransiion, le solde conene de racer l'arc. des marquages es nul, la marice d'incidence perd donc une 3 M = [ ] T T [ ] [ ] T3 T IV.ALGÈBRE LINÉAIRE ET RÉSEAUX DE ETRI parie de l'informaion. Soi R un réseau de eri non marqué, on peu décrire R au moyen de deux applicaions : re : T {, }.Équaion fondamenale os : T {, } Soi S une séquence de franchissemen, elle que : ou es l'ensemble des places e T l'ensemble des ransiions. M i [ SM k re( i, j ) représene le poids de l'arc relian i à j e os( i, j ) On défini S, veceur caracérisique de la séquence S en représene le poids de l'arc relian j à i. précisan pour chaque ransiion le nombre de fois où la re es appelée foncion d'incidence avan, e os foncion ransiion es franchie dans la séquence.

4 our le réseau précéden, on a par exemple : S=, e S=, Compe enu de ces différenes définiions on a l'équaion fondamenale suivane : M k =M i W. S Cee équaion perme de calculer en une opéraion, sans parcours du réseau le marquage obenu après le franchissemen de la séquence complèe. Aenion : Les résulas de l'équaion fondamenale, même s'ils son oujours calculables, n'on de sens que si la séquence S es effecivemen franchissable. 3.Composanes conservaives & invarians La marice d'incidence perme aussi de déecer des invarians de marquage, en effe, en paran de l'équaion fondamenale on monre que, si V es un veceur de pondéraion, e (V) la composane conservaive associée, alors on a : V T.W = ou V T désigne la ransformée du veceur V. V.MÉTHODES DE RÉDUCTIONS L'inconvénien lorsqu'on applique les méhodes précédenes es la aille du réseau de eri. On a donc recherché des méhodes visan à réduire la aille du réseau ou en conservan les propriéés essenielles. Le réseau équivalen obenu permean alors plus simplemen de démonrer les propriéés du réseau original. 6 méhodes son déaillées ici. Noe : dans la suie les noaions,,, désigneron respecivemen les places en sorie, les places en enrée de la ransiion e les ransiions en sorie, les ransiions en enrée de la place..r : subsiuion de places 3 condiions à cee réducion :. les ransiions en sorie de la lace à subsiuer ( i ) n'on aucune aure place en enrée,. les ransiions en sorie de i ne son pas impures, 3. au moins une ransiion en sorie n'es pas une ransiion puis. Méhode de réducion :. On supprime la place,. On supprime les ransiions en enrée e sorie de la place ( e ), 3. On crée une ransiion i,j par couple ( i, j ) des ransiions en enrée e sorie don les places en enrée son celle de i e les places en sories celle de j. Si la place supprimée es marquée deux cas son possibles :. s'il n'exise qu'une ransiion en sorie, alors le marquageune ransiion en enrée aure que j (cee définiion peu êre es celui qui aurai éé obenu après franchissemen deéendue au réseaux généralisés). cee ransiion, La réducion consise à supprimer la ransiion e les arcs en. sinon, il fau considérer ous les cas de franchissemenenrée e sorie. possibles e ravailler sur auan de réseaux (on a donc rédui la aille du réseau, mais on en a désormais plusieurs à éudier). R3 Exemples : 3 R.R : suppression des places implicies Une place es die implicie si :. son marquage n'a aucun impac sur le franchissemen de ses ransiions en sorie,. ce même marquage es une combinaison linéaire des marquages des aures places du réseau soi : M i = a k. M k k i b Une place implicie es supprimable, la méhode consise à supprimer la place e les arcs en enrée e sorie. R 3.R 3 : suppression des ransiions neures Une ransiion neure es une ransiion don les places en enrée son aussi les places en sorie. On peu supprimer une elle ransiion j si par ailleurs chaque place en enrée ou sorie de de j dispose d'au moins 4.R 4 : suppression des ransiions ideniques Deux ransiions i e j son ideniques si elles on les mêmes ensembles de places en enrée e les mêmes ensembles de places en sorie. La réducion R 4 consise à supprimer l'une des deux ransiions ainsi que les arcs associés. R4 5.R a : suppression des ransiions impures Une ransiion impure es une ransiion don au moins une des places en enrée es aussi place en sorie. La réducion R a consise à supprimer les arcs enran e soran correspondan aux places à la fois enrée e sorie. Ensuie à supprimer la ransiion elle même si elle es isolée (non reliée à une place).

5 6.R b : suppression des ransiions pures.réseaux généralisés our les ransiions pures (non impures) il es possible de procéder à une réducion si la ransiion n'es ni une ransiionjusqu'à présen le franchissemen de ransiion ne consomme source, ni une ransiion puis. qu'un jeon par place. Il es possible de valuer les arcs du La réducion consise à : réseau en indiquan un poids. De els réseaux son di. supprimer la ransiion, généralisés.. remplacer les places en enrée e en sorie par de Le franchissemen d'une ransiion peu alors consommer nouvelles places correspondan aux couples ( i, k ) els que i es une place en enrée e k es une place en sorie, 3. Relier ces nouvelles places selon la méhode suivane : les ransiions en enrée de ( i, k ) son celles des deux places sauf j, les ransiions en sorie de ( i, k ) son celles des deux places sauf j. 4. Marquer chaque couple ( i, k ) avec un nombre de jeons égal à la somme des jeons de i e k. Ra +3 des propriéés présenées conserven les invarians deemporisés) ou des durées aux ransiions (on parle de réseaux marquage e permeen de déerminer les composanest-emporisés). De els réseaux von permere d'éablir des conservaives. propriéés en foncionnemen à viesse maximale ou en régime saionnaire. VI.EXTENSIONS DES RÉSEAUX DE ETRI En allan plus loin on peu même définir les réseaux de eri Différenes exensions aux réseaux de eri on éé proposées, inerpréés qui son : en général les propriéés des réseaux de eri s'éenden à ces réseaux (parfois moyennan des ajusemens). Le réseau de eri inerpréé va donc permere de décrire des sysèmes don le foncionnemen es lié à des élémens exérieurs e don l'évoluion provoque la réalisaion d'acions. plusieurs marques (selon le poids de l'arc) dans chaque place Ce ype de réseaux es à l'origine du GRAFCET proposé en en enrée e en produire plusieurs dans chaque place en sorie..réseaux avec arcs inhibieurs Une aure exension des réseaux ordinaires consise à permere de eser l'absence de marques dans une place, alors que lors d'un franchissemen classique, on vérifie au conraire la présence d'une marque qui es consommée. Lorsqu'une place en enrée es reliée à une ransiion par un des réseaux synchronisés (le franchissemen es condiionné à des événemens exérieurs), des réseaux -emporisés, des réseaux qui comporen une parie opéraive : c'es à dire que des acions peuven êre associées à chaque place. Ces acions agissan noammen sur des variables d'éa du sysème. 977 par l'afcet (Associaion française pour la cybernéique économique e echnique) aujourd'hui devenue ASTI en collaboraion avec les aceurs indusriels majeurs du seceur (EDF, eugeo, Merlin-Gérin, Télémécanique)..Évoluion de la noaion A l'origine l'afcet a proposé pour le GRAFCET une noaion quasi-idenique à celle déjà uilisée dans les réseaux de eri. Cependan ce n'es pas la noaion uilisée par les arc inhibieur, cee ransiion n'es franchissable que si la professionnels qui on adopé e défini une noaion place es vide (à ceci peu s'ajouer les condiions sur lesnormalisée. aures places naurellemen). R Lors du franchissemen la place en quesion rese vide. Rb VII.GRAFCET Acion 3 +3 Dans le cas du GRAFCET on ne parlera pas de place, mais.origine d'éape (correspondan au processus modélisé). Lorsque le Jusqu'à présen les seuls réseaux de eri décris son desjeon (dans un GRAFCET, une place conien au maximum un 7.Récapiulaif des propriéés conservées réseaux auonomes. C'es à dire que le franchissemen effecifjeon) es dans une place, on parle d'éape acive. d'une ransiion n'es condiionné à aucun élémen exérieur. On remarque que le GRAFCET n'oriene pas ces arcs. Cee Les réducions R à R 4 conserven les propriéés décries Un aure caégorie de réseaux consise jusemen à lier lesimplificaion es rendue possible car un GRAFCET se li de précédemmen, à savoir : réseau borné, vivan, quasi-vivan, franchissemen à des conraines (condiions, survenue d'unhau en bas. Seul l'arc allan de bas en hau e permean de avec éa d'accueil, avec ou sans blocage. événemen,...), on parle de réseaux non auonomes. revenir à l'éa iniial es oriené. En revanche ces 4 méhodes ne permeen pas de conserver armi les réseaux non auonomes le plus éviden es le réseau Il s'agi donc d'une différence de présenaion essenielle : les caracérisiques liées aux invarians de marquage. de eri emporisé dans lequel on impose un délai d'aenequand un réseau de eri pouvai s'écrire dans oues les A l'inverse, les méhodes R a e R b si elles ne conserven aucune aux marques dans les places (on parle de réseaux -direcions, le GRAFCET impose un sens de lecure.

6 En oure le GRAFCET adope une noaion pariculière pourinsan : maérialiser le marquage iniial : Dans un réseau de eri ordinaire, on choisi de franchir une ransiion parmi les deux, ici on va franchir les ransiions ensemble : Éape iniiale Éape acive Éape inacive Concernan le franchissemen des ransiions le GRAFCET adope à la fois une noaion e un vocabulaire pariculier. joncion ET OU m.c V 3 V disribuion ou c c4 Les condiions de franchissemen Ri son appelées : récepiviés. Ces condiions son foncion : des variables d'éa du GRAFCET, de l'éa inerne du réseau (éapes acives ou pas). our ces récepiviés les convenions suivanes son appliquées : la somme logique (OU) es désignée avec le signe : +, le produi logique (ET) es désigné avec le signe :. On noe ainsi «a e b» comme sui : «a.b». En oure la noaion «/a» désigne la négaion. 3.Foncionnemen Les règles d'évoluion d'un GRAFCET son proches de celles des réseaux de eri, noammen emporisés. Une ransiion es franchissable si :. oues les éapes qui précèden la ransiion son acives (dans un réseau de eri on dirai : les places en enrée comporen au moins un jeon),. la récepivié de la ransiion es validée. Le franchissemen effecif d'une ransiion es comparable au cas du réseau emporisé lors d'un foncionnemen à viesse maximale :. oue ransiion franchissable es immédiaemen franchie, 4.Exemple de modélisaion avec le GRAFCET Dans ce exemple nous modélisons un sysème permean de raier l'eau de deux bassins d'élevage. Les bassins peuven êre de ailles différenes, mais le raiemen diffusé es idenique. Le sysème es consiué d'un réservoir pour le produi raian,. si plusieurs ransiions son simulanémen franchissablesde deux réservoirs doseurs e de 4 vannes. L'ensemble es alors elles son franchies simulanémen, piloé par un conac m e dispose de 5 capeurs posiionnés 3. pour une éape (place) impure, l'éape rese acive (elle comme ci-conre. n'es pas désacivée, puis réacivée). A chaque pression sur le conac, chacun des doseurs es Ce foncionnemen à viesse maximale indui un changemenrempli puis déversé dans le bassin correspondan. imporan par rappor au franchissemen décri précédemmenune modélisaion possible sous forme de GRAFCET es la lorsque plusieurs ransiions son franchissables au même suivane : c c c3 V V3 B B c4 c5 m B3 V V4 V3 3 V4 c3 c5