Interdisciplinarité sur le thème des équations différentielles en terminale scientifique

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1 APMEP 483 Inerdisciplinarié sur le hème des équaions différenielles en erminale scienifique Des professeurs de Mahémaiques e de Sciences physiques du Lycée Berrand d Argenré de Viré (*) Inroducion Les rès inéressans aricles récemmen publiés dans la revue sur le hème inerdisciplinaire des équaions différenielles en erminale scienifique, nous on décidés à apporer un émoignage sur les échanges enamés depuis deux ans enre professeurs de mahémaiques e de physique au sein de nore lycée. Plus précisémen nous présenons commen les nouveaux programmes nous on amenés à mere en place lors de nos séances de mahémaiques des aciviés plus en liaison avec les aures maières. L idée es bien que chacun rese maîre de son enseignemen mais aussi que la connaissance de l approche e des exigences de l aure sur un hème commun, ici les équaions différenielles, consiue un plus pour la praique de nore enseignemen propre e pour nos élèves. Nore fil conduceur a éé la méhode d Euler. Les programmes officiels de nos deux maières y fon référence. Cee démarche, nouvelle pour nos élèves e qui me en jeu équaion différenielle, approximaion, discréisaion e algorihme, es riche d enseignemen. Nous avons décidé d y accorder du emps, de manière progressive, d uiliser les cadres graphique e numérique, ainsi que la calcularice avec le plus de simplicié possible. Nore bu éai de promouvoir une démarche scienifique auprès des élèves e de favoriser un passage de émoin de l enseignan de mahémaiques à celui de sciences physiques. De fil en aiguille, nous nous sommes inéressés aux praiques dans nos deux maières concernan la résoluion d équaions différenielles e l exploiaion de leurs soluions en cherchan à faire ressorir les conceps mahémaiques. (*) Pour ou conac, uiliser le mail : roselyne.halber@ac-rennes.fr

2 484 APMEP I) Première approche des équaions différenielles e de la méhode d Euler 1) Le déroulemen d une séance sur l inroducion de la méhode d Euler Nous avons proposé la problémaique suivane : On cherche une approximaion, sur un inervalle donné, de la courbe représenaive d une foncion f égale à sa dérivée f sur R e vérifian f (0) = 1. Au niveau du cours de mahémaiques, ou es inconnu pour les élèves : manipuler une foncion don on ne connaî pas l expression analyique e qui es liée à sa dérivée, consruire une approximaion d une courbe à parir d une nouvelle démarche basée sur des aspecs locaux, «du proche en proche» e la répéiion d aces similaires, un algorihme. Voici les différenes éapes de la recherche, le professeur disposan évenuellemen d un vidéoprojeceur couplé à un ordinaeur exploian un logiciel de géomérie dynamique. L analyse des données e première éude globale «Commen exploier de elles données? Que veu dire approximaion? Es-ce l allure de la courbe?» son des quesions bien naurelles de la par de nos élèves qui s orienen vers une recherche globale de la courbe : posiion par rappor à l axe des abscisses, variaion de la foncion f. On saisi alors l opporunié de mere en œuvre un raisonnemen par l absurde e d exploier la coninuié de la foncion. Consa : sur l inervalle considéré, la foncion f, si elle exise, ne peu êre que posiive e donc (f =f) une foncion croissane. Cadrage de l approximaion recherchée sur la feuille. Vers une analyse locale e la discréisaion du problème Un nouvel aceur : la angene au poin d abscisse 0. Que dire de la courbe au voisinage du poin de coordonnées (0,1)? Reour sur l approximaion affine (cadre graphique, cadre numérique) e ses limies. Prise en compe d une première approximaion. Consa : on s oriene vers une discréisaion du problème e l inroducion d un pas h. y M 0 0 y 2 2 M 0 o h 1 1 x x

3 APMEP Équaions différenielles en Terminale 485 La naissance d un algorihme y Une définiion à exploier : f =f. y n+1 Mn+1 Que dire de la angene à la courbe au poin yn M n d abscisse h? D abscisse 2h? 2 Prise en compe d une deuxième approximaion. M 0 Une première consrucion «à la main» s engage, o 1xn xn+1 x prenan l allure d une ligne brisée. Consa : Cee consrucion es obenue par un procédé iéraif. Le codage de la figure obenue perme de mere en évidence une suie de poins (M n ) don les abscisses, x n, son en progression arihméique e les ordonnées, y n, en progression géomérique. x 0 = 0 e x n+1 = x n + h ; d où x n = nh. y 0 = 1 e y n+1 = y n + hy n = (1 + h) y n d où y n = (1 + h) n. Les expérimenaions e la conjecure La calcularice perme ensuie d obenir des approximaions pour d aures valeurs du pas h. Il suffi d uiliser deux insrucions (sans programme) accessibles sur praiquemen la oalié du parc des calcularices de nos élèves : Les données : H le pas e N, le nombre d iéraions pour couvrir un inervalle donné. Seq(X* H, X, 0, N, 1) L1 : Seq((1 + H)^X, X, 0, N, 1) L2 Les valeurs obenues on éé sockées, donc son accessibles. L affichage de la ligne brisée s opère en uilisan le module graphique de la parie saisique de la calcularice. Six lises au minimum son disponibles e la visualisaion simulanée de rois approximaions es possible.

4 486 APMEP Consa : une conjecure de l exisence d une foncion saisfaisan aux conraines. Quelques commenaires Tou d abord une remarque sur la mise en place de l algorihme sur calcularice : nous avons choisi dans un premier emps de ne pas sysémaiser le calcul de N, nombre d iéraions pour couvrir l inervalle considéré, pour faire prendre conscience de ce nombre. Pour une même abscisse, plus h es pei, plus N es grand (de peies erreurs mais plus nombreuses!). Il s agi aussi de familiariser l élève à son ouil de calcul e à ses limiaions (la dimension des lises par exemple). Ensuie, il nous a paru aussi imporan de faire consruire des approximaions sur des inervalles de R, la consrucion à la main n éan d ailleurs pas aisée pour les élèves. Enfin, au momen de conjecurer l exisence d une foncion f saisfaisan à l équaion différenielle avec condiion iniiale, nous sommes resés vigilans. Nous avons consrui des approximaions e rien d aure. En aucun cas, l une d elles n es la représenaion graphique d une foncion saisfaisan aux condiions imposées. Commen mere en évidence avec les élèves une convergence de la méhode e mesurer la qualié des approximaions? Au niveau de nore enseignemen, nous en sommes resés pour l insan à une analyse graphique de plusieurs approximaions e à la comparaison avec une courbe de référence, celle donnée par la calcularice en précisan bien qu elle aussi es une approximaion (ceres de meilleure qualié). Duran cee séance, les élèves on généré un algorihme en uilisan différens conceps mahémaiques qui ne son pas simples pour eux, mais qu ils on pu apprivoiser sous un nouvel angle. Ils on appris à manipuler une foncion sans connaîre ni sa courbe ni son expression analyique. Au momen du cours sur la foncion exponenielle, ils son apparus mieux préparés à prendre en compe que oues les démonsraions s appuien sur une aure manière de définir une foncion : une équaion différenielle avec sa condiion iniiale. 2) Les équaions différenielles y =ay e la radioacivié La physique e l éude de la radioacivié, par exemple, viennen donner du sens à nore recherche e meen en évidence des modélisaions où la foncion recherchée es proporionnelle à sa dérivée. Nous poursuivons alors avec l éude des équaions différenielles du ype y = ay (a 0), conjoinemen avec la physique : éude des foncions soluions, mise en évidence du emps caracérisique que nous exploierons plus loin, du emps de demi-vie qui de surcroî a éé exploié par cerains élèves dans le cadre de leur TPE mah-svt (cinéique pharmacologique par exemple). Enfin nous expérimenons à nouveau la méhode d Euler, dans le bu de mere en place un savoir-faire, avec une programmaion sur calcularice peu modifiée par rappor au premier exemple raié. Auan d occasions pour les élèves de manipuler de nombreuses noions e méhodes. En physique, les élèves on éudié une première méhode de daaion absolue (Carbone 14). Ils en éudieron d aures dans le cours de Sciences de la vie e de la

5 APMEP Équaions différenielles en Terminale 487 erre duran l année. Nous avons donc proposé quelque emps après en devoir surveillé un exercice don le cadre es une deuxième méhode de daaion absolue. Voici le exe don les données numériques son exraies d un manuel de SVT de TS. Soi λ e N 0 deux consanes réelles sricemen posiives. 1) a) Jusifier que la foncion N définie pour ou de R + par N() = N 0 e λ es l unique soluion sur R + de l équaion différenielle avec condiion iniiale : y = λy y() 0 = N0 b) On appelle T le emps de demi-vie, c es-à-dire le emps au bou duquel la populaion N() a diminué de moiié. Monrer que T = ln2. λ 2) On pose pour R +, F() = N 0 N(). a) Monrer que pour ou de R +, F() = N() (e λ 1) T F( ) b) En déduire que = ln + 1. ln2 N( ) 3) Applicaion : Daaion absolue Le poassium 40 es un isoope radioacif qui se désinègre en forman de l argon 40. La demi-vie de cee ransformaion es de 11, années. La longueur de cee période qui perme des daaions rès anciennes, e la disribuion universelle du poassium dans les roches fon du couple poassium/argon la méhode la plus uilisée en géologie. On a cherché par cee méhode à déerminer l âge d un gisemen de fossiles d hominidés dans le rif es africain. Un prélèvemen d échanillons a donné les résulas suivans : moles par gramme d' échanillon de poassium , moles par gramme d' échanillon d' argon 40 Les chercheurs on conclu que l âge des échanillons es d environ 2,3 millions d années. À l aide des quesions précédenes e des données de cee quesion, confirmer la réponse des chercheurs. II) Les équaions différenielles y = ay + b 1) Le cours Au niveau du cours de mahémaiques, les élèves doiven savoir démonrer que les soluions sur R de l équaion différenielle y =ay + b (a 0) son les foncions f ax b elles que pour ou x réel f( x) = K e où K es une consane réelle. a Quelle démarche es adopée par les professeurs de sciences physiques?

6 488 APMEP Parons d un exemple du chapire de sciences physiques «Évoluion des sysèmes élecriques» où il es éabli que la ension U C enre les bornes d un condensaeur iniialemen déchargé d un dipôle (R,C) soumis à un échelon de ension E es d soluion de l équaion différenielle E U U C = C + avec la condiion iniiale d U C (0) = 0. S agissan de déerminer l expression analyique de U C (), deux méhodes son proposées aux élèves dans nore lycée. La première prend en compe l éude faie dans le cours de mahémaiques : d U ransformaion de l équaion différenielle, C 1 pour d U E = C + l idenificaion des coefficiens a e b ; applicaion du héorème, UC() = Ke + E où K es une consane réelle ; uilisaion de la condiion iniiale U C (0) = 0 pour abouir à UC() = E 1 e. La deuxième es la suivane : on adme que les soluions son de la forme UC () A e α = + B où A, B e α (α > 0) son des consanes fixées ; uilisaion de la condiion iniiale U C (0) = 0 e de la condiion «à la limie», lim UC( ) = E, pour obenir A = E e B = E ; + en «injecan» U C () dans l équaion différenielle qu elle vérifie, on monre que α = 1. Cee méhode paraî vraimen incongrue aux professeurs de mahémaiques. En effe, l élève connaî précisémen les soluions de cee équaion différenielle d après le cours de mahémaiques. De plus, cee méhode uilise le comporemen en + de la soluion comme une donnée alors que la limie es enièremen déerminée par les consanes a e b (dès lors que a es négaif). Pour le physicien, il s agi d abord de réunir le plus de données liées à la réalié physique du sysème éudié, de donner du sens aux consanes e de développer une méhodologie dans le cas d équaions différenielles plus complexes. Nous avons relevé une roisième méhode dans cerains manuels de sciences physiques en TS : on adme que les soluions son de la forme UC () A e α = + B où A, B e α son des consanes fixées ;

7 APMEP Équaions différenielles en Terminale 489 en «injecan» U C () dans l équaion différenielle qu elle vérifie, on monre que α = 1 e B = E ; en uilisan la condiion iniiale U C (0) = 0, on monre que A = E. Cee méhode demande de connaîre la propriéé suivane : ( R) βe a = γ β = 0e γ = 0. D une par cee propriéé n a pas éé renconrée dans le cours de mahémaiques e d aure par cee méhode condui à manipuler six paramères. Que les élèves fassen le lien enre nos deux disciplines apparaî là for compromis. 2) Des quesions fréquemmen posées aux élèves en sciences physiques Pour poursuivre la discussion, nous avons recensé quelques quesions posées aux élèves, les données éan l équaion différenielle e sa condiion iniiale ciées plus hau. (Bac 2003 méropole) La soluion générale de cee équaion différenielle es de la forme ( ) UC () E e α = 1. En déduire l expression liérale de α. Vérifier que UC() = E e 1 es soluion de l équaion différenielle. Cee équaion adme des soluions de la forme UC() = Ae + B. Déerminer A e B. ( ) a) Vérifier que l expression UC () A e λ = 1 où A es une consane e λ = 1 es soluion de cee équaion. b) Déerminer la valeur à donner à A pour que l expression précédene décrive l évoluion de U C (). L invenaire, non exhausif, de ces quesions nous amène à réfléchir aux exigences que nous avons, e noammen lors d un examen, au niveau des réponses. Le erme «vérifier» es au cœur de nos discussions. En sciences physiques, il semble qu une soluion consisan à résoudre l équaion grâce au cours de mahémaiques ne soi pas une réponse correce. Il es aendu que l élève «injece» la forme donnée e sa dérivée dans l équaion différenielle dès lors qu il s agi d effecuer une vérificaion ou de déerminer des consanes. Ceci ne nous semble pas aller dans le sens de l inerdisciplinarié. Il rese néanmoins à remarquer qu en mahémaiques, au niveau

8 490 APMEP des équaions, lorsque la quesion es formulée en erme de «vérifier», l élève n a pas en général les ouils pour procéder par résoluion. Une discussion au delà même de nore lycée devrai êre engagée au niveau des équaions différenielles du ype y =ay + b afin de prendre en compe les savoir faire issus de chaque maière. 3) Le emps caracérisique (pour a < 0) e la méhode d Euler La déerminaion graphique ou par le calcul du (D) emps caracérisique (ou consane de emps) noé τ (T) es souven demandée en physique. Lorsque a < 0, le (C) emps caracérisique τ es défini comme l abscisse du poin d inersecion de la angene à la courbe au poin de dépar e de l asympoe horizonale. Le programme de mahémaiques demande de mere O τ 5τ en évidence ce emps dans le cas des équaions différenielles du ype y =ay + b avec a < 0 e on monre que τ = 1 (D) : asympoe. (T) : angene à l origine a (C) : courbe représenaive de f Dans le cours de mahémaiques, pour a < 0, b > 0 e f (0) = 0, nous avons proposé l éude héorique de la soluion f, la déerminaion de τ, puis la résoluion de b f( x) a l inéquaion 001,. b a Nous en avons iré une figure-clé mean noammen en évidence la valeur 5τ fréquemmen uilisée en physique. Nous avons ensuie proposé de mere en œuvre la méhode d Euler sur un exemple en comparan les écriures propres à nos deux disciplines, à parir de l équaion d différenielle E U U C = C + e U C (0) = 0, avec les valeurs numériques d R = 100 Ω, C = 1 F, E = 5 V (voir ableau page suivane). Mais quel pas de discréisaion prendre? Que veu dire h ou pei? Sur quel inervalle consruire une approximaion de la courbe? Bien sûr, ceci es généralemen imposé mais, en s appuyan sur la figure-clé précédemmen donnée, les élèves conviennen assez facilemen de prendre h ou inférieur à τ e de choisir une représenaion sur [0 ; 5τ]. Remarquons que dans nore exemple τ = 100! Puis, ils s exercen à obenir des approximaions plus fines avec des valeurs du pas plus faibles en enan compe des limiaions de leur ouil de calculs. Théoriquemen, lorsque le pas de discréisaion (noé h ou ) es inférieur à τ, le sysème discre (obenu avec la méhode d Euler) a la même limie lorsque end vers + que la soluion analyique. Plus précisémen :

9 APMEP Équaions différenielles en Terminale 491 En sciences physiques Équaion différenielle d UC 1 d U E = C + U C (0) = 0 Approximaion Algorihme à fixé e pour pei U avec d UC( ) 1 = () d U C + 0 = 0 ; n+1 = n + ; U 0 = 0 ; U C ( + ) d UC( ) = UC() + d n+ 1 E 1 U U E = n + n + si a < 0 e 1 + ah < 1, la suie (y n ) qui es une suie arihméico-géomérique es convergene de limie b. a Concernan la mise en œuvre de l algorihme, dès lors que la calcularice possède un mode «suies», l obenion des valeurs des deux suies es aisée. Sinon, on peu avoir recours à un programme faisan appel à une boucle «For» par exemple. h = 50 h = 150 h = 100 En mahémaiques y =ay + b avec a = 1 e y(0) = 0 Soi f la foncion soluion. Pour x 0 un réel fixé e h proche de zéro, f (x 0 + h) f (x 0 ) + hf (x 0 ) avec f (x 0 ) = af(x 0 ) + b x 0 = 0 ; x n+1 = x n + h ; y 0 = 0 ; y n+1 = y n + h (ay n + b) b = E

10 492 APMEP Conclusion L échange des approches de nos deux maières sur le hème des équaions différenielles nous a permis d une par d apprécier la complémenarié des nouveaux programmes de Terminale Scienifique e d aure par de proposer à nos élèves des aciviés qui enen de rendre compe d une démarche scienifique. Il rese cependan quelques poins de divergence e noammen la faible implicaion des héorèmes démonrés dans le cours de mahémaiques dans les soluions de ceraines quesions posées en cours de sciences physiques. Nous milions foremen pour que des discussions à plusieurs niveaux soien engagées afin que l inerdisciplinarié soi efficace e conribue à la réussie de nos élèves. Sur le sie académique de Rennes, à l adresse hp:// plusieurs poins abordés ici, ainsi que d aures sur le même hème, on éé développés.