Examen Gestion Financière II Mardi 3 Janvier Examen terminal Calculatrices, «smartphones», ordinateurs, notes de cours, ouvrages non autorisés

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1 xamen Gesion Financière II Mardi Janvier 0 xamen erminal Calcularices, «smarphones», ordinaeurs, noes de cours, ouvrages non auorisés Élémens de correcion Ce documen ne consiue pas un corrigé oiciel emarques à l inenion des éudians (année 0-0) Les problèmes (sau.) e avaien éé raiés lors des séances de cours l année dernière. Il avai éé convenu qu il n y aurai pas de calculs numériques. Ce ne sera pas le cas cee année. roblème : Conraines sur les choix d invesissemen. On considère acis risqués, meons des obligaions émises par des éas de la zone euro, noés,,. On suppose connues leurs espérances de renabilié, noées,,. our simpliier les noaions par la suie, on supposera que : < <. On s inéressera aux poreeuilles consiués de de ces rois acis. On noera,, les racions de la richesse invesies dans ces rois ires. a) Cherchan à limier la spéculaion, les auoriés de la zone euro déciden d inerdire les venes à découver sur ces ires. Écrire mahémaiquemen les conraines sur,,, induies par cee nouvelle réglemenaion. 0, 0, 0 b) émonrer que :,, ; la démonsraion éan idenique pour les rois acis, vous pouvez démonrer uniquemen que. aisonnons par l absurde. On rappelle que + +. Si >, comme 0, 0, alors + + >. où une impossibilié e. c) Écrire l espérance de renabilié d un poreeuille en oncion de,, e de,,. + +, de par les propriéés de linéarié de l espérance. d) Monrer qu il exise un poreeuille d espérance de renabilié maximale : donner son espérance de renabilié e sa composiion. Comme < < e 0, 0, 0, + + ( + + ). Un poreeuille el que 0, 0, saisai les conraines de vene à découver e perme d aeindre la borne supérieure. Le poreeuille d espérance de renabilié maximale es donc invesi à 00% dans le ire d espérance de renabilié maximale. e) Les auoriés déciden de durcir la réglemenaion en imposan aux invesisseurs qu une proporion minimale de leur richesse (en acis risqués) soi invesie dans chacun des rois ires ain de conribuer au inancemen des adminisraions publiques. lus précisémen, on impose aux invesisseurs de déenir au moins c % ( c 0 ) de la richesse dans chacun des rois ires. Quelle es la valeur maximale de c pour qu il puisse y avoir une demande en acis risqués? c 00 %. ) Monrer qu il exise un poreeuille d espérance de renabilié maximale : donner son espérance de renabilié e sa composiion.

2 Avec le même raisonnemen que précédemmen, c, c, c e l espérance de renabilié maximale es égale à c c ( c) c( ) c( ) g) Éudier l impac d une augmenaion de ce plancher de déenion c sur le poreeuille d espérance de renabilié maximale. Comme <, <, l espérance de renabilié maximale + c( ) + c( ) décroi avec c, ce qui es logique, puisqu une augmenaion de c rédui l ensemble des poreeuilles admissibles. h) On va mainenan s inéresser au risque de ce poreeuille d espérance de renabilié maximale. On noe,, les renabiliés (aléaoires) des obligaions d éa. Écrire la renabilié aléaoire du poreeuille (noée ) en oncion de,, e de c. Il es uile pour la suie d isoler l ee de c dans l écriure de. ( ) ( ) c + c + c + c +. i) On noe,, les écar-ypes des renabiliés,,. On supposera que < <. our simpliier la suie de l analyse, on supposera que les rois coeiciens de corrélaion enre les renabiliés (enre e, enre e, enre e ) son égaux à ρ e que ρ > 0. Ce coeicien ρ es associé à un risque sysémique dans la zone euro. Une augmenaion de ρ signiie que la diversiicaion au sein de la zone euro es moins eicace. Monrer que la variance du poreeuille de renabilié maximale s écri comme la somme de rois ermes, le premier ne dépendan pas de c, le deuxième éan proporionnel à c, le roisième éan proporionnel à c. our simpliier les noaions, on pourra poser e Y + e noer ρ la corrélaion enre e Y. n appliquan les règles de calcul de la variance à c( ) un rinôme en c : Var[ ] Var[ ] c Cov, c Var[ ], les écars-ypes de e de Y, Var[ ] + c ( ρ ) + c Y + +, on écri la variance de comme n noan Y Y j) Écrire le erme proporionnel à c en oncion de,, e de ρ. Cov, +. Au coeicien muliplicai Le coeicien du erme proporionnel à c es égal à ( ) près, il s écri Cov (, ) Cov (, ) Cov (, ) Cov (, ) ( ) + + ρ + ρ. k) n uilisan le ai que < e <, monrer que ce erme es négai. Le erme précéden es négai puisque ρ+ ρ < + < 0. l) n déduire que, quand c passe de zéro (inerdicion des venes à découver) à une peie valeur posiive (déenion obligaoire de ires), le risque du poreeuille de renabilié maximale diminue. L ee d une augmenaion d une peie augmenaion de c à parir de zéro, sur la variance du poreeuille de renabilié maximale se mesure à parir de la dérivée en zéro de la variance. Cee dérivée es égale au coeicien du erme proporionnel don on vien de vériier qu il es négai. Une peie augmenaion de c diminue donc le risque du poreeuille de renabilié maximale, risque mesuré par sa variance ou par son écarype. roblème : poreeuilles anicorrélés. On considère deux ires, noés e, de renabiliés,, d espérance de renabilié,, d écar-ype,. On suppose que le coeicien de corrélaion enre les renabiliés des ires e égal à. a) Écrire l espérance de la renabilié d un poreeuille consiué des ires e en oncion de, e de, la proporion de la richesse invesie dans le ire. +.

3 b) Écrire l écar-ype de la renabilié d un poreeuille consiué des ires e en oncion de, e de, la proporion de la richesse invesie dans le ire. ( ) +, d où ( ). c) Monrer qu il exise une allocaion en ires e que l on déerminera, elle que l écar-ype de la renabilié du poreeuille es nulle. 0, soi L écar-ype de la renabilié du poreeuille es nulle si e seulemen si +. +, d) On suppose qu il exise un aci sans risque, de renabilié. Indiquer le lien enre e les caracérisiques des ires,,, ainsi que le raisonnemen uilisé pour parvenir au résula. Le poreeuille précéden ayan une renabilié d écar-ype nulle a une renabilié (presque-sûremen) consane. Qu on invoque la loi du prix unique ou mieux, l absence d opporunié d arbirage, les deux acis sans risque doiven avoir le même aux de renabilié, ce qui donne : e) Écrire en oncion de, e, ) n déduire que le ire éai en ai un poreeuille consiué de ire e d aci sans risque, en précisan les proporions invesies dans le ire, l aci sans risque e leur signe. On peu écrire l équaion précédene comme +, soi * ( * + ) avec * * * +. On remarque que > 0 e < 0 (posiion longue en aci sans risque e coure en ire ). roblème : I de proje de ype «développemen durable» On considère l échéancier de lux ci-dessous : a) Écrire l équaion à résoudre pour obenir les I. On cherche r >, + 0 r ( r). + + b) Monrer que la recherche de I pour ce échéancier revien à résoudre une équaion du second degré. osons z + r ( r > z > 0 ), on obien les I en cherchan les racines (posiives) du polynôme z + z e en aisan le changemen de variable z r z. c) n déduire que l échéancier précéden n adme pas de I. our z > 0, z + z < z + z ( z ) 0. Il n exise donc pas de racine posiive e pas de I. La VAN rese sricemen négaive pour ou aux d acualisaion. roblème 4 : srucure inancière

4 Écrire la renabilié des acions,, + en oncion de la renabilié des acis, A, + e de la renabilié de la dee. On suppose ici qu il n y a pas d impô sur les bénéices des sociéés e que les hypohèses de Modigliani e Miller son vériiées. On noera A,,, les valeurs de marché des acis, des acions e de la dee à la dae courane. Il n es pas nécessaire de donner le déail de la démonsraion ; quelques indicaions sur la manière d obenir le résula suisen. Il sui de parir de A, ce qui monre que les acions son un poreeuille ormé d une posiion longue en aci e d une posiion coure en dee. La renabilié des acions s écri comme une moyenne pondérée de la renabilié de A l aci e de la renabilié de la dee (résula de base de héorie du poreeuille) :, A, +,, où + +, + es le aux de renabilié de la dee. Si la dee es non risquée, avec les noaions du cours, A +, on obien,, + A, + ( A, + F) roblème 5 : Modigliani e Miller. + F +, qui ai apparaîre l ee de levier de l endeemen. On se place dans le cadre du modèle de Modigliani e Miller en présence d impô sur les bénéices des sociéés. On noe c le aux d imposiion. On considère une enreprise don la valeur de marché des acions e des dees son noées respecivemen e (à la dae courane ). a) appeler la valeur acuelle de l économie iscale de la dee. c b) écrire le lien enre la valeur d une enreprise non endeée e,, c. On noera A U, la valeur de l enreprise non endeée. A + +. U, c c c) Monrer que la valeur de l enreprise non endeée es égale à la valeur d un poreeuille consiué d acions e de dee émise par l enreprise, don on précisera les quaniés. La valeur de l enreprise non endeée es celle d un poreeuille consiué de la oalié des acions e de x la dee de l enreprise (endeée). d) On suppose que la dee es sans risque de déau e on noera son aux de renabilié. Écrire la renabilié de l enreprise non endeée, U, + en oncion de la renabilié des acions,, +, du aux sans risque e de,, c en uilisan le résula précéden. On peu uiliser les résulas du cours donnan la renabilié d un poreeuille, ce qui donne immédiaemen : ( c) U, +, + + F + + Quesions à choix muliples c c our le QCM oue absence de réponse ou réponse erronée reire un poin. Indiquez si les asserions ci-dessous son vraies ou ausses. Sur vore copie, reporez le ableau ci-dessous en compléan les cases vides par des O e des N. O signiie «vraie» e N signiie «ausse». Asserion éponse N O N O N N N O N O c 4

5 ) La «securiy marke line» se siue dans un plan où les beas des ires son en ordonnée e les espérances de renabilié en abscisse. ) La «capial marke line» e la «securiy marke line» relien oues les deux le poreeuille de marché e l aci sans risque. ) Le aux acuariel des obligaions d éa ialiennes es d environ 7%, celui des obligaions d éa allemandes es d environ %. Le crière du I aboui-il à invesir dans les obligaions d éa ialiennes? 4) our deux invesissemens simples incompaibles, les crières de la VAN e du I peuven conduire à des décisions d invesissemens diérenes. 5) our éablir la ormule de Miles-zzell, il es supposé que le monan de l endeemen es consan e que le proje d invesissemen a une durée de vie ininie. 6) Quand on inerdi les venes à découver, la ronière eiciene des acis risqués n es plus orcémen concave. 7) Soi deux enreprises don les acions son coées en bourse, les risques sysémaiques des acions émises par ces enreprises son oujours posiivemen corrélés. 8) On considère une dee conracée à la dae courane e devan êre remboursée en +. la probabilié de aire déau es nulle. Alors, le bea de la dee es nul. 9) l écar-ype de la renabilié d un poreeuille es une moyenne pondérée des écar-ypes des ires le consiuan. 0) Le risque spéciique d une acion es oujours non corrélé avec son risque sysémaique. 5