H HACHETTE Supérieur

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4 Créditsphotogrphiques Toutes lesphotogrphies de cet ouvrge provieet de l photothèque HACHETTE LIVRE. Compositio, mise e pge et schéms :Publilog Mquette itérieure :SG CrétioetPscl Plottier Mquette de couverture :AliVmbcs c HACHETTE LIVRE 4, 43 qui de Greelle 7595 Pris Cede5 I.S.B.N Tous droits de trductio, de reproductio etd dpttio réservés pour tous pys. Le Code de l propriété itellectuelle utorist, u termes des rticles L.-4 et L.-5, d ue prt, que les «copies ou reproductios strictemet réservées à l usge privé du copiste et o destiées à ue utilistio collective», et, d utre prt, que «les lyses et les courtes cittios»ds u but d eemple et d illustrtio, «toute représettio ou reproductio itégrle ou prtielle,fite ss le cosetemet de l uteur oudeses yts droitouyts cuse, est illicite». Cette représettio ou reproductio, pr quelque procédé que ce soit, ss utoristio de l éditeur ou du Cetre frçis de l eploittio du droit de copie (, rue des Grds-Augustis, 756 Pris), costituerit doc ue cotrefço sctioée pr lesrticles 45 et suivts du Code pél.

5 Avt-propos L objectif premier de cet ouvrge est lréussite u cocours et uemes. Pour cel, ous vos teté de redre itelligible et ttryte ue petite prtie des mthémtiques :celle du progrmme. Ds cette optique, ous souhitos que ce livre soit u outil de trvil efficce et dpté u besois des eseigts et des étuditsdetout iveu. Le coursest grémetédeombreu Eemples et Applictios. Les Eercices idet l étudit àtester scompréhesioducours,lui permettet d pprofodirscoissce des otios eposées... et de préprer lesoru des cocours. Les Eercices résolus et TD sot plus és vers lesécrits des cocours. L lgorithmique et le clcul formel fot prtie du progrmme des cocours. De ombreu eercices preet e comptecette eigece isi que des TD d Algorithmique etièremet rédigés. Lesuteurs c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

6 Sommire SÉRIES NUMÉRIQUES 5 ESPACES VECTORIELSNORMÉS 35 CONTINUITÉ 63 SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 9 DÉRIVATION, INTÉGRATION DES FONCTIONS VECTORIELLES 6 LIEN ENTRE DÉRIVATION ET INTÉGRATION 59 FONCTIONS INTÉGRABLES 9 SÉRIES ENTIÈRES 3 SÉRIES DEFOURIER 54 CALCUL DIFFÉRENTIEL 78 TD :INDICATIONS ET RÉPONSES 3 EXERCICES :INDICATIONS ET RÉPONSES 3 INDEX 379

7 Séries umériques Archimède (eviro 87- v.j.-c.) étudie l ire délimitée pr u rcdeprbole et l cordequi le sous-ted. Il itroduit lorslsérie : + 4, , et détermie s limite 4 3. Le XVI e siècle pporte u double progrès :u effort de symbolisme mthémtique red lesclculs plus isésetlotio de foctio se dégge de so origiegéométrique. Vers 66,soucieu d eprimer des foctios (isi l( + ) et ( + ) ) comme somme de séries, les mthémticies s itéresset àl étude systémtique desséries. Toutefois, l défiitio rigoureuse de l covergece et certis outils ci-dessous eposés pprîtrot qu u début du XIX e siècle, vec Abel,Cuchy et Guss. Les trvu de Dedekid, Weierstrss et Ctor,àl fi du XIX e siècle, permettrot de compléter lthéorie. Ce chpitrevous présete, ds le lgge mthémtique d ujourd hui, cette défiitio et les techiques qui e découlet. De plus, ous verros que ces outils peuvet évetuellemet êtremis e œuvre pour détermier l tured ue suite doée,lquelle est lorstrsformée e ue série. O B J E C T I F S Notio de série covergete. Somme et reste d ue sériecovergete. Compriso de séries à termes positifs pour e détermierlture. Séries de Riem. Compriso àue itégrle. Règle de d Alembert. Écriture décimled uréel positif (PSI). Critère de Cuchy des séries (PSI). Critère spécil des séries lterées. Séries bsolumet covergetes. Produit decuchy de séries bsolumet covergetes. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

8 Alyse PC-PSI Ds cechpitre, l ppelltio «série» désiger uiquemet des séries à termes réelsoucomplees. K est R ou C. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Géérlités.. Défiitio d ue série Soit u = (u ) ue suite d élémets de K. O pose, pour tout de N : S = u k. L suite isi défiie S = (S ) est ue suite d élémetsde K, ppelée série ssociée àlsuite u. O l ote u ou u, s il yu risque de cofusiosur l idice. L élémet de K : S = est ppelé l somme prtielle d idice de 6 l série u k. u k Eemple : L série determe géérl ppelée série hrmoique., c est-à-dire l série k k, est.. Covergece et divergece d ue série L série de terme géérl u k est dite covergete si l suite (S ), où S = u k, covergeds K. Sio, elle est dite divergete. k= Nottio Lorsque l série u k coverge,llimite de l suite (S ) des sommes prtielles est ppelée somme delsérie et otée ou u. = Théorème Si l série u coverge, soterme géérl ted vers. Démostrtio Le terme géérl de l série est : u = S S. Uesérie dot le terme géérl e ted ps vers diverge.elle est dite série grossièremet divergete. Eemple :Ue série géométrique estue série ssociée àue suite géométrique. Lsérie covergesi, et seulemet si, <. Plus géérlemet,pour <, p fiéds N et c fiéds C, lsériegéométrique u Il rriver que l suite u e soit défiie qu à prtir d u certi rg, le plus souvet k = ou k =. L série eser lors défiiequ à prtir de ce rg. E prtique, coisst (u ), l suite (S ) des sommes prtielles de l série u k est défiiepr l formule: S = u k. Réciproquemet,silsuite (S ) est coue, le terme géérl u de l série est détermié pr S = u et : N u = S S. L suite u est lorsprfitemet détermiéeetuique. Rpport Mies-Pots, 3 «De trop ombreu étudits cofodet l otio de série et l somme d ue telle série qud elle coverge. Plus géérlemet, o déploreumlgmeetre les ottios : u, + u, et u k.» = u Il fut bie distiguer l série uk de l somme, u, de l série qui est défiie que lorsque l série coverge. k= Deu séries qui diffèret pr u ombre fii de termes sot de même ture, c est-à-dire sot simultémet covergetes ou divergetes.

9 . Séries umériques de terme géérl c k kp covergeetpour somme : k=p c k = cp. Lorsque et c est o ul, l série est grossièremet divergete. L somme d ue série géométrique covergeteest doc obteue pr l formule : premier terme riso Théorème L suite (u ) coverge si, et seulemet si, lsérie (u + u ) coverge. Démostrtio Soit u = (u ) ue suite umérique. L somme prtielle S de l série (u + u ) est : S = (u k+ u k) = u + u. k= L série coverge si,et seulemet si, l suite u coverge. Rpport Cetrle, «Ilest très court de mipuler des séries oudes itégrles lors que ce e sot ecore que des symboles.» Cuchy,e8,écrivit : «J i été forcé d dmettre diverses propositios qui prîtrot peutêtre u peu dures ; pr eemple, qu ue série divergete ps de somme». Eemple : Nture de l série L suite (S ) des sommesprtielles de l série que celle, (T ), de l série ( +). De plus : O e déduit: ( +) ( ). T S T. Les suites (S ) et (T ) sot doc de même ture. L covergece de l suite etrîe celle de l série + celle de l série. Efi: T N = N,doc celle de l série ( +), puis (+) = L série ( +) N (+) = N+. covergedoc vers..3. Reste d ue série covergete Lorsque l série u k Pour s etrîer :e. à4. estcroisste, isi Avec Mple coverge, o peut lors, pour fiéds N, défiir R = S S, où S est lsomme de l série u k. R est ppelé rested ordre de l série u k. Rpport E4A, «Quelques erreurs trop souvet recotrées :sileterme géérique del série tedvers,lors celleci coverge ; u() est équivlet à,doc l série coverge.» ËÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ºº½¼¼¼µ ÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ºº½¼¼¼µ ËÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ººÒÒØݵ ÙÑ ½» Ò Ò ½µµ Ò½ººÒÒØݵ = ( +) = = ( +) = c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

10 Alyse PC-PSI Théorème 3 Soit uk ue série covergete et (R ) lsuite des restes de cette série. Alors : l suite (R ) ted vers ; pour tout, o R = u k ; pour tout, + u k = S + R. E clcul umérique, mjorer R = S S, c estmjorer l erreur commise e pproimt S pr S..4. Liérité Théorème 4 L esemble des séries covergetes àcoefficiets ds K est u K- espce vectoriel et l pplictio qui, àue série covergete, ssocie s somme,est liéire. Si les séries u et v coverget, lors l série (u + v ) coverge. Si l série u coverge etlsérie v diverge, lors l série (u + v ) diverge. Si les séries u et v diverget,oepeut rie dire, priori, de l série (u + v ). Les séries + et diverget, mis l série + coverge et l série + diverge. Applictio c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Motrer l divergece de l série hrmoique pr l comprisoàue itégrle. ) E utilist l comprisoàue itégrle,doeruéquivletde S = k. k= 3) Doer u développemet symptotique àdeu termes de S. 4) E utilist ce résultt, motrerque l série coverge et clculer s somme. ( +) ) Motros l divergece de l série. Étude delsérie hrmoique y k y = t + Doc.. t 8

11 . Séries umériques L foctio f : t est positive, cotiue et t décroisstesur R +. + d t O e déduit: t d t t. Sommoscette iéglité de k = à : + d t t k= k + dt t. E clcultles itégrles,oobtiet : l( +)S +l(). Doc, S tedvers + qud tedvers +, l série hrmoique diverge. S ) O obtiet même, plus précisémet, que l() dmet pour limite, c est-à-dire que : Avec Mple : S l(). ËÙÑ ½»Ò Ò½ºº½¼¼¼¼µ ÚÐ ÙÑ ½»Ò Ò½ºº½¼¼¼¼µµµ ÐÒ ½¼¼¼¼ºµ = = ) Remrquos tout d bord que : ( +) = + + et clculos l somme prtielle S N De plus : N = Doc : S N = + N = de l série. + +l(n)+g+o(). = N+ = N = = (l(n +)+g+o()) + S N = l + ++o(). N +(l(n)+g+o()). Filemet, ous pouvos coclure que l série covergeetque s somme est : ( +) ( +) = l+. 3) O pose, pour tout : = k l() et b = l( +) k et o étblit que les suites ( ) et (b ) sot djcetes.eeffet : l suite ( ) est décroisste; l suite (b ) est croisste; b =l( +) l() = l vers. + ted O ote g leurlimite commue. g,57. Le ombre g est ppelée l costte d Euler. Àce jour,oigoresi l costted Eulerestrtioelle ou o. = l + g + o() k k= Nicolus Merctor (6-687), mthémticie llemd. Il défii le logrithme épérie comme primitive de l foctio. C est lui qui, lepremier, compré l série hrmoique et le logrithme. Ses trvu coceret l trigoométrie sphérique, l stroomie, l cosmogrphie. Àlfidesvie, ilprticip à l costructio des jeu d eu deversilles. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

12 Alyse PC-PSI Séries à termes positifs.. Premiers critères Théorème 5 L suite (S ) des sommes prtielles de l série àtermes positifs u est croisste. Corollire5. Ue série u de réels positifs coverge si, et seulemet si, l suite (S ) des sommesprtielles de cette série est mjorée et,dscecs : L étude suivte s pplique églemet à des séries à termes égtifs, e dptt les éocés. Plusgéérlemet, elle s ppliqueà toutesérie réelle dotles termes sot de sige costt à prtir d u certirg. u = lim S = sup S. + N Théorème 6 Soit (u ) et (v ) deusuites réelles telles que,àprtir d u certi rg, oit : u v Si : v coverge, lors u coverge; u diverge, lors v diverge. Rpport Cetrle, «Ce estps prce que lessommes prtielles d ue série sot borées que celle-ci est covergete; ds le cs evisgé, cet rgumet suffisit prce que l série est àtermes positifs, mis ecore fllit-il le direetjustifier l covergece de l série vt d écrirel iéglité.» Eemple : Étude de l série si p 4 + Remrquos que : u = si p 4 + p =si p c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Pour, positif. Rppelos l iéglité sius sur, p. Nous e tiros : p 4 ++ est compris etre et p, doc u est si, due àlcocvité de l foctio p u p p Or l série + diverge. Doc l série u diverge. Pour s etrîer :e. 5à7.,6,4,,8,6,4, y,,4,6,8,,4 Doc.. Iéglité de cocvité de l foctiosius.

13 . Séries umériques.. Règle de compriso Théorème 7:(Règle de compriso) Soit (u ) et ( ) des suites de ombres réels positifs tels que u = O( ), lors l covergece de l série implique celle de l série u. Démostrtio L hypothèse u = O( ) setrduit pr : Le théorème 6permet de coclure. M R + N u M. Corollire7. Soit (u ) et (v ) des suites de ombres réels positifstelles que u v. Alors les séries u et v sot de même ture, c est-à-dire qu ellessot simultémet covergetes ou divergetes. Prcotrposée Soit (u ) et ( ) deu suites de ombres réels positifstels que u = O( ), l divergece de l série u implique celle de l série. Rpport Cetrle, 997 «Lrègle des équivlets e s pplique qu u séries àtermes réels de sige costt. Lejury trop souvet etedu u ( ), doc u coverge.» Pour s etrîer :e. 8et9. Eemple : L série b+c Soit u = b+c. Modifios l epressio de u fi depouvoirpréciserlture de l série u = + + b + c 3 = b 3 + +O 9. Pour que l sériecoverge, il est écessireque : Réciproquemet, si = 3 u coverge. = 3.3. Les séries de Riem et b = 5 8. et b = 5 8, lors u = O O ppelle série de Riem toute série de terme géérl réel fié. Théorème 8 L sériederiem covergesi, et seulemet si, >. et l série, où est u! L hypothèse«u est desige costt» est idispesble. Cosidérez l série + ( ) pour vous e covicre. Nous démotreros simplemet vec les séries de Fourier que : = p 6, et que : 4 = p4 9. Pour p etier turel o ul, o sit prouver que : p = pp q, où q est rtioel, mis o igore ctuellemet ce qu il e est de pour p. p+ Apéry démotré, ds les ées 97, que l somme 3 est uirrtioel. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

14 Alyse PC-PSI Démostrtio Pour, l série est grossièremet divergete. Pour b >, l série de terme géérl u k = k b Or u k = (k +) b + b k Aisi, pour b >, l série k b+ l série deriem Pour ds ],], b k b+. lorsque >. k = O (k +) b coverge. coverge, ce qui ous doe l covergece de. L divergece de l série hrmoique etrîe celle de l série de Riem. Berhrd Riem (86-866), c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Eemple Étudios l ture de l série, où est uréel fié. +Arct () Si, l série est grossièremet divergete. Si >, lors : L série +Arct () +Arct (). covergesi, et seulemet si, >..4. Compriso àue itégrle (PSI) Pour s etrîer :e.. Théorème 9 Soit f ue pplictio de [, + [ ds R +, cotiue pr morceu, positive et décroisste. L sériedeterme géérl u = Démostrtio Puisque f est décroisste, positive, o: doc : k N u k = k k f(k) k k f (t)dt f() est covergete. f(t)dt f(k ), f (t)dt f(k) f(k ) f (k). L série estàtermes positifs, étudios l somme prtielle S. S = u k f (k ) f (k) = f () f () f (). Les sommes prtiellesdelsérie sot mjorées doc l série coverge. mthémticie llemd, élève de Guss, reouvel profodémet les mthémtiques de sotemps. Peustisfit de l présettiotrop ituitive de l itégrle, il e doe ue costructiorigoureuse, prllèlemetàcuchy. D utres théories del itégrtio (Lebesgue...) verrot le jour plus trd. So trvil e Alyse (85) le coduit àcosidérer des foctios de l vrible complee, souvet défiies comme sommes d ue série. Les otios qu il itroduit egéométrie différetielle (854) permettrot àeistei de développer l théorie de l reltivité géérle. y fk () k k k + y = f() t Doc. 3. Compriso vec ue itégrle. Rpport Mies-Pots, 3 «Les ecdremetsdemdés pour S s ppuiet sur l techique de compriso série-itégrle, ils poset des difficultés àu ombre importt de cdidts.» t

15 . Séries umériques Théorème Soit f ue pplictio de R + ds lui-même, cotiue pr morceu, positive et décroisste. L série f () covergesi, et seulemet si,l suite f (t)dt dmetue limite fiie lorsque tedvers +. Rpport Mies-Pots, 3 «Lejuryétépeié de voirque certis cdidts eprvieet ps àobteir uéquivlet simple de k+.» k= Autres écritures possibles de u : u = [ f (t) f ()] d t ; Lorsque f est declsse C, u = (t +) f (t)dt. Pour s etrîer :e.. Applictio Lesséries de Riem, ecoreettoujours... ) Utiliser l compriso vec ue itégrle pour doer ue coditio écessire et suffiste de covergece des séries de Riem ( > ). ) Lorsque l série deriem coverge, doer u équivletdureste. ) L foctio f : t t est défiie, positive, cotiue et décroisstesur [, + [. Doc l série k covergesi, et seulemet si, l suite f (t)dt dmetue limite lorsque tedvers +. Si = : dt f(t)dt = t = + ( + ) qui dmetue limite réelle lorsque tedvers + si, et seulemetsi, +<. Si = : dt f(t)dt = =l t qui ted vers + lorsque tedvers +. E défiitive, l série de Riem covergesi, et seulemet si, >. ) Supposos >. O, pour tout > : + [( +) + + ] = = + d t t k d t t + [ + ( ) + ] Or,lsérie [( +) + + ] covergecr l suite (( +) + ) ted vers. Doc : + [(k +) + k + ] R + = Soit : + O e déduit k + [k + (k ) + ]. + ( +) + R +. R +. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

16 Alyse PC-PSI.5. Règle ded Alembert Théorème :Règle de d Alembert Soit u ue série àtermes réels strictemet positifs telle que l suite u+ coverge. u Si Si u + lim + lim + u u + u <, lors l série est covergete. >, lors l série est divergete. Démostrtio Soit u ue série àtermes réels strictemet positifs. u + Supposos que lim = L <. + u Fios > tel que L + < : N N N Doc, pour tout > N, u + < (L + )u. Ue récurrece simple ous doe lors : >N u+ u ]L, L + [. u <(L+ ) N (u N). Pr coséquet, àprtir du rg N, les termes de l sériesot mjorés pr ceu d ue série géométrique de riso (L + ), positive et strictemet iférieure à. Ceci ssure l covergece de l série. u + Supposos que lim = L >. + u Fios > tel que L >. De même : Je Le Rod d Alembert (77-783), mthémticie frçis, fut u pioier de l étude des équtios différetielles etdeleur utilistio e physique. Il tete de fourir, e 746, l première preuve du théorème fodmetl de l Algèbre. Mis celle-ci est ps ecte. Guss, e 799,doe uedémostrtiorigoureuse. Corédcteur de l Ecyclopédie, d Alembert y défiit l dérivée d ue foctio comme l limite du tu d ccroissemet (volume 4, rticle «Différetiel»). Puis : N N N u+ u ]L, L + [. > N (L ) N (u N ) < u. Le terme géérl de l série ted vers +, doc l série diverge. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Eemple u + L série! est telle que lim = e. Doc, elle covergeetso + u terme géérl ted vers. Nous retrouvos,! = o( ). Remrques Si lim + u + u =, l règle ded Alembert e s pplique ps. Oepeut rie dire, priori, cocert le comportemet de l série. Il suffit decosidérer lesséries de Riem pour s e covicre. u + Si + u + ou si, lors u e tedps vers, cr l suite u u (u ) croîtetlsérie est doc divergete. Pour s etrîer :e. 3. 4

17 . Séries umériques 3 Eemples d études de séries 3.. Utilistio de l iéglité de Tylor-Lgrge Rppel Vous vez étudié, e Premièreée, l iéglité de Tylor-Lgrge.Si f est ue pplictiodeclsse C +, d uitervlle I de R ds R, lors : Pour tout (, ) de I, eott J = [mi(, ), m(, )] : ( ) p f () f () f (p) () p! ( ) + sup f (+) (t). ( +)! t J Eemples p= L foctioepoetielle est declsse C Doc, pour tout réel et tout ds N, o: p e p! + ( +)! e. Fios u réel : lim + p= e p =. p! p= sur R et (ep) () = ep. Rpport X, 997 Les vetures dee.etc., l Emiteur et le Cdidt. «Lesoleil se lève timidemet surle lc. C., ue gréble cdidtequi tombesur le clculect de plusieurs sommes deséries, e s ffole ps. Elle remrque les télescopges, écrit vec soi les premiers termes, fie clmemet les idices de ses sommes prtielles. E. pese àtous les cdidts qui ot piqué pour écrire ue double somme, réidicer ue somme de k à k ou pour svoir silsomme s rrêtit à, ou +, lors qu ue petite vérifictioe = ou permet egéérl de fier ss erreurs ces détils. C.semblé perdre dutemps, mis elle e gge...» D où: et R e =! Les foctios cosius et sius sot de clsse C sur R. De même : si ( ) p p+ (p +)! + ( +)! Nous e déduisos : R si = p= cos ( ) p p (p)! p= ( ) p p+ (p +)! + ( +)!. et cos = ( ) p p (p)! Rpport Cetrle, 997 «Il est regrettble de perdre de précieuses miutes vt de recoîtrelsomme.» ( ) k k! c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

18 Alyse PC-PSI 3.. Les séries de Bertrd (l ) b 3.. Étude de l ture delsérie lorsque = L foctio f : t t(l t) b et : est positive,cotiue et dérivblesur ], + [ f (t) = l t + b t (l t) b+. Doc, pour t > e b, lfoctio f est décroisste. L ture d ue série étt idépedte delvleur des premiers termes, l série (l ) b covergesi, et seulemet si, lsuite f (t)dt dmetue limite (progrmme PSI). Si b =, o, e post u = l t : f (t)dt = l() l d u u b = (l ) b+ (l) b+ b + qui dmetue limite réelle e + si, et seulemetsi, b +<. Si b = : f(t)dt= l() tl t d t = d u = l(l()) l(l). l u Joseph Bertrd (8-9),mthémticie frçis, suivit, à s, les cours de préprtio à l École Polytechique. Ses trvu portet sur lgéométrie différetielle et les probbilités. Ilcojectur,e845,l eistece,pour tout etier > 3, d u ombre premier compris etre et. Ce résulttfut démotré, e85, pr Tchebychev et mélioré, e 93,pr Breusch.Pour tout etier 48, il eiste u ombre premier compris etre et 9 8. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Doc, l sériedebertrd (l ) b coverge si, etseulemet si, b >. 3.. Étude de l série lorsque = O v comprer l série de Bertrd (l ) b Si > : Alors : + (l ) b = o. (+)/ àue série deriem. L covergece de l série de Riem permet lors de coclure (+)/ àlcovergece de l série de Bertrd (l ) b. L étude des séries de Bertrd ous permet de mettre eœuvre des techiques «clssiques» d étude de séries à termes positifs. Toutefois, les coditios de covergece de ces séries e sot ps u progrmme. Il est pr cotre idispesble de svoir,soit ds le cs géérl,soit vec des vleurs prticulières de et b, détermier si ue telle sériecoverge. Rpport TPE, 997 «Rppelos que si u résultt hors progrmme (théorème de Césro, Règle de Bertrd, costted Euler) est utilisé, l emiteur peut e demder l démostrtio.» 6

19 . Séries umériques Si < : Alors : + = o (+)/ (l ) b. Rpport ENS Cch, «Cofusio etre les o() et les O() pour l covergece de séries.» Puisque l série (+)/ diverge, il e est demême de (l ) b Développemet déciml d u ombre réel positif (PSI) 3.3. Bref rppel sur les etiers Chcu sit, depuis l école primire, que l écriture (e bse ) = 7 5 sigifie que : = Si r, r,...,r k sot leschiffres de l écriture e bse de : k r j {,...,9} et = r j j L méthode suivtepermet de clculer leschiffres (r j ) jk : r i est le restedeldivisio euclidiee prdelprtieetièrede 3.3. L pproche epérimetle j= Lorsque o écrit p = 3, , oest certi que : i = 3,4 5 p = 3,4 6. Ueversiomodere, e glis, pour reteir lespremières décimles de p : «How I wt drik, lcoholic of course, fter the hevy lectures ivolvig qutum mechics.all of thygeometry,herrplck, is firly hrd...» L propositio suivte v ous ideràcompredre cette ottio. Théorème Soit ( k ) k N ue suite d etiers comprisetre et 9. Alors : l série umérique k k est covergete; s somme s est iférieure ou égleà; pour tout de N, o: k= k k s k= k k +. Les ombres sot étudiés pr Euclide (eviro v. J.-C.) ds les livres 7, 8 et 9 des Élémets. Ilyformule deombreuses propositios rithmétiques. Ldivisibilité est étudiée ds le livre 7, etlelivre 9 ous fourit ldémostrtio (ecore eseigée de os jours) de l eistece d ue ifiité de ombres premiers. Ce système de umértio, dit de positio, ous viet de l Ide, e psst pr les svts rbes pour rriver e Occidet u Moye-Âge. Voir le site : «Ahistory of Pi» àl dresse : history/. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

20 Alyse PC-PSI Démostrtio L série k est ue série àtermes réels positifs et, pour tout k : k k 9 k. k Mjorée pr lsérie géométrique covergete 9, elle coverge. k De plus : s 9 k = 9 =. Efi, puisque l série k est àtermes positifs, s somme s vérifiepour tout k de N : k s k k + k k. k k= k= k=+ E utilist k 9 etlcovergece de l série 9 k, oobtiet : k=+ k k k=+ 9 k = 9 + =. Commet pprut l ottio p? Oughtred, e 647, utilis le symbole d/p pour oterlequotiet du dimètre d u cercle à s circoférece. Dvid Gregory, e 697, ot p/r le rpport de l circoférece d u cercle u ryo. Willim Joes, e 76, écrivit le premier lesymbole p vec s sigifictio ctuelle. Euler dopt ce symbole e 737. Il devit lors rpidemet ue ottio stdrd. p est l première lettre dumot grec sigifit «périmètre» Deu suites distictes peuvet-elles représeter le même ombre? Soit ( ) et (b ) deusuites distictes de {,,...,9} N. L esemble {k N k = b k } est ue prtie o vide de N doc u plus petit élémet que ous otos N. Pour simplifierlrédctio, supposos N < b N. Alors qutre cs sot possibles : ) b N > + N. Ds ce cs : k= N k k = k k + + N N + k= k=n+ k k ; or: + k=n+ + k k k=n+ et dmet 9 k = N. Aisi, pr eemple :, =, Ici: N =5.,345bc... <,347def..., cr :,345bc..., <,347def... c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 8 Doc : D où: k= N k k k= k k + N N + N N < k= k= k k < b k k. k= ) b N = + N et il eiste m > tel que b N+m > Vous motrerez de même que : k= k k < b k k. k= b k k + b N N 3) b N = + N et ( k > b N+k = ) et ( m > N+m < 9). L coclusioest idetique. 4) b N = + N et ( k > b N+k = et N+k = 9). k= b k k.,345bc... <,346..., cr :,345bc..., <,346..., <, , cr :, <, =,346..

21 . Séries umériques Dscecs, l églité + k=n+ 9 k = permet de coclureque : N k= k k = b k k. k= O retrouve :, =, E coclusio, les deu suites distictes ( ) et (b ) représetet le même ombre si, etseulemet si : ce ombre est udéciml : = b, b...b ; k b k = k l suite ( ) est défiiepr : b = + k> k = 9 L représettio =, est ppelée représettio décimle illimitée ou impropre de. Tout ombre déciml dmet doc deu représettios décimles,dot l ue est impropre U ombre réel o décimldmet ue représettio décimle Soit u réel,o déciml,de], ] et i le reste de l divisioeuclidiee de E( i ) pr. O motre pr récurrece que, pour tout i de N : i i = k i k + i + r i, r i [,[. k= Tout réel dmet doc ue représettiodécimle = i k k où : est le restedeldivisio euclidiee de E( i ) pr. Avec l TI : i = Mod(Floor(ˆ i ), ) 4 Séries de ombres réels ou complees 4.. Covergece des séries complees Théorème 3 Ue série u Pour s etrîer :e. 4. de complees coverge si, et seulemet si, les séries réelles Re (u ) et Im (u ) coverget. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

22 Alyse PC-PSI Démostrtio Soit u ue série de complees et S l suite des sommes prtielles ssociées. Pour tout de N, o S = u k= Re (u k)+i Im (u k). k= k= L covergece de l suite complee (S ) équivut àlcovergece des deu suites réelles : Re (u k) et Im (u k), k= doc àlcovergece des séries réelles Re (u ) et Im (u). Eemple: Nture de l série si() Itroduisos l série cos() et cosidéros l sériecomplee: k= k= cos() +i si() = e i. Il s git d ue série géométrique de riso ei. Or e i <, doc les trois séries coverget. Vous clculerez leurs sommes. 4.. Critère decuchy (PSI) Nous dmettos provisoiremet qu ue suite de Cuchy de réels Ue suite ( p ) deréels ou de complees est ppelée suite decuchy lorsqu elle vérifie l coditio: oudecompleescoverge. Ce résulttser bordé ds le chpitre, ds u cdre plus > N N (p,k) N (p N p+k p ). géérl. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 4 :CritèredeCuchypour lesséries L sériedeterme géérl (u k ) covergesi, et seulemet si : > N N (, p) N + p N u k Démostrtio k=+ Soit u ue série àtermes réels oucomplees. L série coverge si, et seulemet si, l suite (S ) des sommes prtielles coverge, doc si, etseulemet si, c est ue suite de Cuchy, c est-à-dire : > N N (,p) N N S +p S. L formule demdée e découle Séries lterées Pour s etrîer :e. 5. Ue série réelle, de terme géérl u,est dite lterée lorsque l suite ( ) u est desige costt. Rpport Mies-Pots, «Questios de coursuquellesles étudits ot ps su répodre :...critère de Cuchy pour l covergece desséries umériques...» Rpport X-ESPCI, «Lecritère de Cuchy estrremet utilisé oucité spotémet pour étudier lcovergece d ue suite ou d ue série.» Rpport X-ESPCI, «Utilistio busive du critère des séries lterées isi ( ) k k même lorsque <.»

23 . Séries umériques Théorème 5 :Critèrespécil des séries lterées Soit u ue série lterée telle que l suite ( u ) tede vers e décroisst. Alors l série u coverge. De plus,ssomme est comprise etre deu sommes prtielles cosécutives. Pour tout, R = u k est dusige de u + et R u +. Démostrtio + Soit u ue série lterée telle que l suite ( u ) tede vers edécroisst. Supposos, pour l démostrtio, que les termes u u + égtifs (doc. 4). +u soiet positifs et les termes Résultt effectif de mjortio du reste d ue série covergete, cette iéglité est très importte pour lesclculsumériques. Rpport Mies-Pots, 3 «Beucoup de cdidts peset que l somme d ue série lterée covergete est toujours du sige du premier terme ou que l vleur bsolue de so -ième reste prtiel est toujours mjorée pr l vleur bsolue du premier terme égligé, cel ss s être ssuré que le critère spécil étit vérifié.» +u 3 u + u =S S 3 S u =S +u Doc. 4. Critère spécil des séries lterées. Cosidéros lesdeu suites (S ) et (S +). L suite (S ) est décroisste, cr : S + S = u + + u + = u + u +. L suite (S +) est croisste, cr : Rpport Mies-Pots, «Lecritère spécilsurlessérieslterées est souvet cité mis l hypothèse deldécroissce àprtir d u certi rg du module du terme géérl delsérie est oubliée ou est ps vérifiée!l ecdremet qui e résulte est ps doé.» S + S = u + + u = u u +. S + S = u +, doc l différece ted vers. Lessuites (S ) et (S +) sot djcetes. Pr coséquet, lsuite (S ) des sommes prtielles coverge etslimite S est telle que : N S + S S. Les deu premiers poits sot démotrés. L iéglité obteue se trduit imméditemet sur les restes pr : Doc : N S R + u k = S S R. N R R + R est doc du sige de u + et R u +. O S + +u + R + S +u + R S S + Doc. 5. Critère spécil des séries lterées. Le théorème s pplique àue série u qui e vérifierit le critère qu à prtir d u certi rg N. Les iéglités cocert s somme et so reste e sot lors vérifiées qu à prtir du rg N. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

24 Alyse PC-PSI Eemple L série ( ) coverge, cr elle est lterée et l suite l() vers edécroisst. l() ted Pour s etrîer :e. 6. Applictio 3 SériedeRiem lterée ) Doer l ture de l série u, vec u = ( ) et est uréel. ( +) ) Lorsque =, clculer l somme de l série. ( ) + p 3) Doer l turedes séries, ( +) ( ) +. ) Cette série est lterée. Pour, le terme géérl e ted ps vers. L série estgrossièremet divergete. Pour >, l suite ( u ) ted vers edécroisst. Le critère spécil des séries lterées permet d ffirmer l covergece de l série. ) Clcul de l somme O : k= ( ) k k + = = k= ( ) +. ( t) k dt +t dt+ ( ) t + dt. +t Or : Doc : Avec Mple ( ) t + dt +t t + d t +. ( ) + = dt =l(). +t ËÙÑ ¹½µ Ò» Ò ½µ Ò¼ºº½¼¼µ ÚÐ ÙÑ ¹½µ Ò» Ò ½µ Ò¼ºº½¼¼µµµ ÚÐ ÐÒ ¾µµ = ( ) + = ) L série ( ) + p pprît comme l ( +) somme d ue série covergete etd ue série divergete, elle diverge. ( ) + L série pprît comme l somme de deu séries covergetes,elle coverge. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4.4. Séries de ombres réels ou complees bsolumet covergetes 4.4. Défiitio Ue série u est dite bsolumet covergete lorsque l série u coverge. Théorème 6 Toute série bsolumet covergete est covergete. De plus,olors : u u. Rpport Cetrle, 997 «Démotrer que l suite (S ) des sommes prtielles d ue série u estborée e suffitps pour pouvoirffirmerquel sérieest bsolumet covergete.»

25 . Séries umériques Démostrtio Soit u ue série àtermes réels telle que l série u coverge. Remrquos que : u u u. Nous e déduisos : u + u u, puis lcovergece de l série u. Ue série covergete, mis o bsolumet covergete, est dite semicovergete. Aisi,lsérie ( ) est semi-covergete. Eemples :Trois séries Pour s etrîer :e. 7 et 8. L série ( ). Elle vérifie le critère spécil des séries lterées,doc coverge. L série Les séries ( ) +( ). ( ) = ( ) + ( ) +( ) ( ), coverget. L série ( ) +( ) L série ( ) +( ). = ( ) + O. 3/ 3/ 3/, ( ) ( ) + +( ) 3/ covergeett que somme de séries covergetes. ( ) +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + O. 3/ L covergece de l série ( ), etldivergece de l série permettet de coclureàl divergece de l série ( ). +( ) 4.4. Eemples clssiques L série géométrique L série z est bsolumet covergete si, et seulemet si, z < s somme est lors z. E outre, si z, l série diverge grossièremet. Cette série est jmis semi-covergete. Pour démotrer l covergece bsoluedelsérie u, ous disposos de tous les outils étudiés plus tôt cocert l covergece des séries àtermes positifset, e prticulier,lrègle de d Alembert, le théorème de compriso de séries àtermes positifs etlcompriso vec ue itégrle. Rpport Mies-Pots, «Pour des séries dot le terme géérl ps u sige costt, il y ps que l covergece bsolue oulecritère spécil des séries lterées :pr eemple il est possible d utiliser u développemet symptotique du terme géérl.» 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

26 Alyse PC-PSI L foctio epoetielle complee R si = R e = ( ) p p+ (p +)!! et cos = ( ) p p (p)! L série z est lsérie réelle covergete de somme e z. Pour tout! complee z, lsérie complee z est bsolumet covergete. O peut! lors défiir l foctio epoetielle : C C ep : z ep(z) = e z = z! E prticulier, pour u réel quelcoque, clculos e i : e i = (i )! = ( ) p p ( p)! +i ( ) p p+ = cos +isi ( p +)! Ceci justifie l défiitio itroduite e Première ée : R e i = cos +isi c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Séries de Riem lterées Il s git des séries de l forme ( ) u, vec u = ( R). L série u est bsolumet covergete si, et seulemet si, > et, ds ce cs, eséprt lestermes de rg pir et les termes de rg impir : ( ) = (p) = ( ) Elle estgrossièremet divergete si, et semi-covergetesi<, ce que ous vos déjà étbli e utilist le critère spécil des séries lterées (doc. 6) Produit de deu séries bsolumet covergetes O ppelle produit de Cuchy de deu séries u et v l série de terme géérl w = u p v q. (doc. 7.) p+q= p divergece grossière ] < Semicovergece [ > bsolue covergece Doc. 6. Séries deriem lterées : ( ). q p+= q 3 p Doc. 7. w = u p v q. p+q=

27 . Séries umériques Théorème 7 Soit u et v deu séries umériques bsolumet covergetes de sommes U et V. Alors,lsérie w défiiepr w = u p v q est bsolumet covergeteetdesomme UV. p+q= Rpport Mies-Pots, «Très muvise coissce du produitdecuchy de deu séries.» Démostrtio Étpe :U prélimiire sur les idices k w k = u i v k i = u i v j k= k= i= Étpe :Le cs des séries àtermes positifs i+ j Si ( ) et (b ) sot deu suites deréelspositifs, et A et B deu prties fiies de N telles que A B, ilest clir que : i b j i b j.oedéduit l double iéglité : i b j i+ j Si l o ote lors g k = d écrire, epost S = (i, j) [, ] i b j = (i, j) B i = i j = (i, j) A b j i + j i b j () k i b k i, l iéglité () et l première étpe permettet i= u k, pour toute suite u : k= S (g) S () S (b) S (g). O e déduit isémet que, si et b sot deu séries covergetes à termes positifs, lors l série produit de Cuchy de ces deu séries, otée g, est covergete et, de plus, pour les sommes : b = g. Étpe 3:Covergece bsolue de l série produit sot supposées bsolumet cover- Les deu séries complees u et getes. où l o oté g v. N w v u i v i =g () i= le terme géérl de l série produit decuchy de u et de D près l deuième étpe, l série g que l série w coverge. Doc l série w Étpe 4:Vleur de l somme de l série produit Il reste à prouver que : c est-à-dire que u v = lim S(u)S(v) S(w) =. + est covergete etl iéglité () prouve est bsolumet covergete. w L hypothèse decovergece bsolueest fodmetle. E effet, cosidéros les séries de termes gééru u et v vec : u = v = ( ) + Ces séries sot semicovergetes. L série produit de Cuchy est lsérie w, vec : w = u p v q p+q= = p+q= =( ) ( ) p ( ) q p + q + p+q= (p +)(q +) E utilist : b ( +b ), o e déduit: w p+q= = p+q= p+q+ + =+ +. L série w est grossièremet divergete. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

28 Alyse PC-PSI O peut écrire : S (u)s (v) S (w) = u i i= j= v j k u iv k i k= i= = u i v j u i v j = (i,j) [, ] i + j (i, j ) [, ] <i + j u i v j. (i, j ) [, ] <i + j Refist le trviliverse sur les idices, o peut écrire : S (u) S (v) S (w) u i v j u i v j (i, j) [, ] i+j u i v j et, eott u =, v = b et u i v i =g, ceci deviet : i= S (u) S (v) S (w) S () S (b) S (g). L deuième étpe permet de coclure. Eemple:L foctioepoetielle complee Pour s etrîer :e. 9. Nous vos prologé à C l foctioepoetielle réelle.motros que : (z, z ) C e z+z = e z e z O sit que e z z z = et e z = et que ces séries sot bsolumet!! covergetes.doc, leur produitdecuchy coverge.clculos-le. E coservtles ottios du théorème : w = p+q= z p z q p! q! =! p+q=! p! q! z p z q =! p= z p z p = (z + z ). p! c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit D où le résultt. Applictio 4 Trsformtio de ) Motrer que, si z est ucomplee demodule < et p u etier turel, l série + p z est bsolumet covergete, de p somme ( z) p+. e somme de séries ( z) p+ ) Motrerque,si esturéel >fié, pour tout complee z de module <, o : ( z) (p+) = + p p z (p++). 6

29 . Séries umériques ) Soit z tel que z < et p u etier turel. Motros que l série + p z estbsolumet covergetedesomme p ( z) p+. Procédos pr récurrece sur p. Pour p = et z < : z = z. Supposos que, pour u certi p, et pour tout z de modulestrictemet iférieur à, oit l série + p z bsolumet covergete p de somme ( z) p+. Les deu séries z + p et z sot p bsolumet covergetes, desommes respectives et. Nous pouvos ppliquer le z ( z) p+ théorème et e déduire que l série produitdecuchy de z et + p z covergebsolumet vers p ( z) p+. Clculos-l, e ppelt w soterme géérl : w = i+ j= j + p z i z j = z p i+ j= j + p p = p = Doc. 8. Le trigledepscl. Vous vérifierez, pr récurrece sur que, pour tous etiersturels et p : + p + j+p =. p+ p j= et e déduirez : + p + w = z. p+ L récurrece est chevée. ) Plusgéérlemet,si C, pour z < : ( z) (p+) = + p z p (p++) E effet, soit z tel que z <, lors o : z <, et o peut ppliquer le résultt précédet Étude de suites à l ide des séries. L formule de Stirlig 4.5. Commet motrer que l suite ( ) coverge? O pose u =. L suite ( ) covergesi, et seulemet si, lsérie u coverge. Jmes Stirlig (69-77), mthémticie britique, publie, e 73, Methodus differetilis. Ily trite des séries, des sommtios e utilist des méthodes différetielles Commet motrer que l suite réelle ( ) coverge vers =? E post = sg(), u-delà d u certi rg, o doit voir strictemet positif.ilsuffit de motrer que l suite (l( )) coverge. Pour cel, étudios l série determe géérl : u = l( ) l( ) = l L suite réelle ( ) dmet ue limite o ulle si, etseulemet si, lsérie l coverge. Pour s etrîer :e.. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

30 Alyse PC-PSI Applictio 5 L formule de Stirlig c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O pose: et : u =! +/ e w = l(u + ) l(u ). ) Étudier l série w. ) E déduire que l suite (u ) coverge vers u réel >. 3) Détermier e utilistl formule de Wllis : p +/ (!) +()! 4) Étblir l formule de Stirlig:! p +/ e. E déduire que l(!) l(). ) Clculos w. u+ w = l u = + + = + + = O. Doc l série w l + +O coverge. 3 ) L covergece de l série etrîe l eistece d ue limite L pour l suite l(u ). Doc l suite (u ) dmet ussi ue limite (pr cotiuité de l epoetielle)etcette limite est e L = >. Théorème 8 Formule de Stirlig:! p +/ e. 3) lim + u = se trduitpr :! +/ e Substituos, ds l formule de Wllis, les équivletsobteus pour! et ()!. O obtiet : et : p! p +/ e 4) Puisque! ted vers +, opeut écrire : l(!) l( p +/ e ) Or : l p +/ e = l p + + l() l(). Joh Wllis (66-73), mthémticie britique. Ds so Arithmetic ifiitorum (656), ilclcule les itégrles p cos t d t, p si t d t etedéduit u développemet de p e produit ifii : p =

31 . Séries umériques Pour motrer qu ue série àtermes positifs u coverge,opeut: motrer que l suite (S ) des sommesprtielles est mjorée ; chercher ue suite (v ) telle que :( u v et v coverge); chercher ue suite (v ) àtermespositifstelle que :(u =O(v ) et v coverge); chercher ue suite (v ) telle que :(u v et v coverge); clculer u développemet limité de u ; comprer u àue itégrledefoctiopositive décroisste; utiliser l règleded Alembert. Pour motrer qu ue série àtermes positifs u diverge,opeut: motrer que l suite (S ) des sommes prtielles estps mjorée ; chercher uesuite (v ) telle que :(v u et v diverge); chercher uesuite (v ) àtermespositifstelle que :(v =O(u ) et v diverge) ; chercher uesuite (v ) telle que :(u v et v diverge) ; comprer u àue itégrledefoctiopositive décroisste; utiliser l règleded Alembert. Pour motrer qu ue série àtermes complees u coverge,opeut: si l série est lterée, regrder si elle stisfit lecritèrespécil desséries lterées ; regrder si l série est bsolumet covergete(voir méthodes ci-dessusppliquées à u ); clculer l somme prtielle S et étudierlsuite (S ); regrder si l série vérifie le critère de Cuchy des séries. Pour mjorerlvleur bsolue du reste R = + k=+ u k d uesérie covergete : si l série est àtermespositifsdelforme u = f () vec f décroisste, lors : N+ lim N + + f R N lim N + si l série est lterée et vérifie le critère spécil, lors R u + ; si u peut être mjorée prue suite géométrique (cr ), vec r ], [, lors : R f cr + ( r). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

32 Alyse PC-PSI Eercice résolu Procédé d ccélértio de covergece ÉNONCÉ Le butdecet eercice est leclcul d ue vleur pprochée de S = Nous oteros S = k, et R = + k.. ) Mjortio du resteetpremièrepproimtio de S ) Motrerque, pour tout, + R = + k () b) E déduire ue vleur pprochée de S à 3 près. ) L ccélértio de l covergece, le pricipe Des iéglités (),ous déduisos : R, doc : R = o, soit (S S ) = o. Aisi, lors que S fouritue vleur pprochée de S vec ue erreur de l ordre de, lqutité corrigée S + ous doeue vleur pprochée de S vec ue erreur égligebledevt. E joutt u terme correctif à S, ous vos «ccéléré»lcovergece. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L epérimettio Nous dmettros, ds cet eercice, que l vleur ecte de S est vitessesdecovergece lors du clcul de S pr S et pr S +. ) Clculer S, S + p, 6 L mjortio de l erreur b) Prouver que : R = k=+ pour =, k (k ) et. Que costtez-vous? p. Ce résultt ser utilisé pour comprer les 6 E déduireque S + est ue pproimtiopr ecès de S (que dire de S?). c) Motrer que l erreur commise e pproimt S pr S + est mjorée pr l. E déduire que, pour, S S +. d) Détermieruéquivlet de R () 3

33 . Séries umériques CONSEILS Les formules suivtes serot utiles. k+ k d t k t k d t k t. = k k k=+ Sur lti, k, k,, S() et presser l touche «Dimt» vt «Eter»pour lcer le clcul umérique. Peser que : k k (k ) d t k t (t ). SOLUTION ) ) Pour tout etier k : k k+ k + = d t k t k k k d t t = k k O e déduit: + R. b) D près ), S S. Le clcul de S =, pred secodes eviro surlti. Ce clcul doe ue vleur pprochée de S à 3 près. ) ) Les deu écrs ci-cotre cofirmet que, pour =, et, S pproche S vec ue précisio de. De plus, S S + 5 3, S S + 5 5, S S b) R = k + k = k k (k ). + k=+ k=+ Doc : S S + <. Ceci prouveque S + estue pproimtio precès de S. De plus,lsuite (S ) est croisste, doc S est ue pproimtiopr défutde S. c) R = k. Pour tout etier k : (k ) + k k (k ) d t k t (t ) l + k t t k Aisi: R = k (k ) l. + Pour coclure:, l( )++. L iéglité S S + e découle. k+ d t d) L iéglité k t (t ) k, est imméditeetetrîe : (k ) l + R l Cet ecdremet permet de démotrer que : R. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

34 Eercices Étudier l covergece et clculer l somme des séries de terme géérl suivt : ) u = Arct ) u = Motrer que ( )(5 4 ) = 4. E les comprt à des séries de Riem, idiquer l ture des séries : ) l ; ) l ; 3) (l ) 3. Doer l ture de l série de terme géérl : ) u = k. ) v = k 4 + Doer l ture et, e cs de covergece, clculer l somme des séries de termegéérl : ) + + ; ) u = l cos, p Nture et somme de l série de terme géérl : p/ u = ( ) cos d.. ) 3) Nture des séries de termegéérl : ( +) ( R); ) (b > ) ; 4) ( + b k ) Nture de l série : Doer s somme à 4 près. ( R); ( +) + r (r > ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit (u ) ue suite àtermes positifs telle que : Motrer que l série u lim u = +. coverge. O cosidère deu séries u et v àtermes strictemetpositifs et o suppose que v pour tout, o u+ u v+ v. Motrer lcovergece de u. coverge etque, Motrerque l série ( / ) covergeelcomprt àue série géométrique. ) si Nture de l série ( ) u, vec u = +( ). l Nture des séries de terme géérl : ; ) Arccos /. 3 (PSI) ) Écrire,sous forme rtioelle, leréel : =, que ous oteros, ) Doer le développemet déciml de 4 et vérifier qu ilest 7 périodique. 3) Motrer qu u ombre réel o déciml estu rtioel si,et seulemet si,s représettio décimle est périodique à prtir d u certi rg. (PSI) ) Motrerque, si (u ) est ue suite décroisste telle que l série u coverge, lors u = o. ) L réciproque est-elle ecte? Pour chcue des séries suivtes :justifier l covergece ;préciser tel que S S ; edéduire u ecdremet de S de logueur. ) u = ( ) + ; ( ) ) u = 3 + ; Soit ue série àtermes complees bsolumet covergete. Motrer que l série est bsolumet covergete. 3

35 . Séries umériques Étudier les sériesdeterme géérl : 3 3 ) u = ) u = (discuter suivt z). +z Motrer lcovergece et doer l somme de l série de terme géérl w = p ( p)!. Soit u = k= + ( )k. k Étudier l suite u, puis lsérie u. Soit (u ) ue suite de réels >. u O pose v = ( + u )( + u )...( + u. ) Motrerque : ) l série v coverge etclculer s somme ; ) v = si, et seulemet si, lsérie u diverge. * Soit ue suite (), àtermes >, telle que l série diverge. O ote (S ) lsuite des sommes prtielles. ) Motrer que l série S ) Motrer que l série S diverge. coverge. ** e i O cosidère l série, étt u réel fié de ],p[. ) Motrer que cette série coverge. ) Clculer s somme. 3) E déduire l covergece et l somme des séries : cos si et. * Soit (u) ue suite strictemet croisste deréels >, divergete, telle que l suite (u + u ) soit borée. u k u k Motrer que l(u ). u k Préciser l ture de l série de terme géérl : ( ) u =, efoctio de et b. +( ) b * ) Soit u ue série àtermes positifs, covergete et R = u k. + Motrer que les séries u et R sot de même ture. ) Lorsque ces séries coverget, doer ue reltio etre les sommes. série : * ) Motrer l covergece et clculer l somme de l ( ) k (k +) ) E déduire l turedelsérie de termegéérl : ( ) k u = l t (k +) ** Motrerque l série ( ) O ote S s somme. +( ) + coverge. Détermier N pour que S S N+. E déduire ue vleur pprochée de l somme à près. ) Motrerque, pour tout ds N, l équtio t = ue uique rcie ds l itervlle : p + p, p + p. ) Doer u développemet symptotique de à trois termes. Comprer vec le développemet fouri pr Mple. 3) O pose u = p + p. Étudier l ture des séries u, ( ) u ( > ) et cos m ( ) (m N ). ** Soit (u) ue suite positive. Opose : u + u+ + +u v = et o ote S (u) et S (v) les sommes prtielles des séries u et v. ) Motrer que, pour tout, ileiste réels de [, ] tels que : S (v) = k, u k. k= E déduire que, si l série u coverge, lors lsérie v coverge. ) Prouver que : k [[, ]] k,. E déduire que lesséries u et v sot de même ture. 33 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

36 Alyse PC-PSI (D près Nvle, 99.) ) Soit ( ) ue suite de réels > telle que l série divergeet (b ) ue suite de complees.oote S (b), S () lessommes prtielles des séries b et. ) O suppose que b = o( ). Motrer que : S (b) = o(s ()). b) Les b sot des réels > etles suites ( ) et (b ) sot supposées équivletes. Motrer que lessuites (S (b)) et (S ()) sot équivletes. c) E déduire u équivlet de k. u + ) ) Motrer que, si (u ) est le terme géérl d ue série positive et que, pour, = l + v, où v est le u termegéérl d ue série bsolumet covergete, lors : u+ l = l + w, est le terme géérl d ue série bsolumet cover- où w gete. u b) E déduire qu il eiste A > tel que u A l. c) Étudier l série de terme géérl : u = 3 ( ) 4 ( +). ** Soit u ue série covergete àtermes positifs, de somme S. Étudier : ) l série v, vec v = u k. E cs de covergece, doer l somme ; ) l série w, vec w = ( +) 3) l série, vec = u k. (O pourr clculer (k +) k k k ku k ; et cosidérer ( +).) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 34

37 Espces vectoriels ormés L démrcheque ous vous proposos est illustrée pr cet etrit de l itroductio de l thèse de Stef Bch (9)qui fode l théorie des espces vectorielsormés : «L ouvrge préset pour butd étblir quelques théorèmes vlbles pour différets chmps foctioels,que je spécifieds l suite. Toutefois, fi de e ps êtreobligédeles démotrer isolémet pour chque chmp prticulier, ce qui serit bie péible, j i choisi uevoie différete que voici :jecosidère d ue fço géérle les esembles d élémets dot je postule certies propriétés, j e déduis des théorèmes et je démotre esuite de chque chmp foctioelprticulier queles postults doptés sot vrispour lui.» Vous vez défii, e Première ée,lstructure d espce vectoriel qui eglobe ussi bie R que des espces de suites et de foctios. Vous vez églemet étudié lessuites et les foctios à vleursréellesoucomplees. Ds le butd étedreles otios de covergece et de limite àdes suitesetdes foctios àvleurs vectorielles, ous llos, ds ce chpitreetles suivts, itroduiredifféretes otios. O B J E C T I F S Étude des propriétés fodmetles des espcesvectoriels ormés. Notiodesuite covergete. Compriso des ormes sur u espce vectoriel. Étude du cs prticulierd u espce vectoriel ormédedimesiofiie. Suites de Cuchy (PSI). Quelques otios topologiques. Compriso dessuites. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35

38 Alyse PC-PSI Dstout le chpitre, K désige R ou C et E, F sot des espces vectorielssur K. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 36 Norme et distce.. Défiitio d ue orme Ue pplictio N du K -espce vectoriel E ds R vérifit les qutre propriétés suivtesest ppelée orme sur E. ) E N() ) E N() = = E 3) (l, ) K E N(l) = l N() 4) (, y) E E N( + y) N()+N(y) U espce vectoriel E mui d ue orme N est ppelé espce vectoriel ormé et oté (E,N). Ue orme suruespce vectoriel E ser prfoisussi otée. L espce vectoriel ormé est lors oté (E,). Si F est usous-espce vectoriel de E, lrestrictio delorme N à F muit F d ue structure d espce vectoriel ormé. U vecteur de orme est dit uitire. Pour tout vecteur o ul de (E, ),le vecteur.. Quelques eemples de ormes.. E = C([,b],K) Pour tout f de E, odéfiit f = est ue orme sur E. b est uitire. Pour s etrîer :e. et. f (t) d t. L pplictio E effet, f est ue foctio cotiue et positive, l implictio ( f = f = ) e découle... E = K Pour tout = (,..., ) de E, opose: N ()= i et N () = m { i,i}. Les deu pplictios N et N sot des ormes sur K. Nous vous lissos le soi de le cotrôler. De plus,si K=R, vous vez vu e Premièreée que l pplictio: E E R (,y) y = i y i est uproduitsclire sur E. Rpport X-ESPCI, «Qut à l emploi de l iéglité trigulire, ils ccompge souvet de rccourcis icorrects, voired erreurs.» Ue orme N sur E vérifie doc l propriété: (,y) E E N() N(y) N( y) Cette iéglité et l iéglité 4) cidessus géérliset l propriété bie coue : «Ds u trigle, l logueur de chque côté est iférieure à l somme des deu utres côtésetsupérieure àleur différece (doc. et).» L propriété 4) estppelée iéglitétrigulire. y Doc.. Doc.. y z y

39 . Espces vectoriels ormés L orme euclidiee ssociée àceproduitsclire est : N ()=. De même, lorsque E = C, l pplictio w défiiepr : w (,..., ), (y,...,y ) = est ppelée le produitsclire coique de C. L ormessociée àceproduitsclire est : N ()= i y i Au VI e siècle v. J-C, ds les cités grecques d Asie Mieure pprît ue forme de pesée ouvelle. Ds u effort d eplictio du mode, hors des mythes et de l religio, l sciece grecque secostruit, ourrie des coissces du mode tique. Aisi, Thlès (eviro v. J-C), commerçt hbile et grd voygeur,coscr l fi de s vieàl étude de l philosophie, de l stroomieetdes mthémtiques. Trois siècles plus trd, Euclide d Aledrie (eviro v. J-C) itroduit les otios de défiitios, iomes, postults et propositios. So livre Les Elémets est lepremier trité logique de mthémtiques. Il rssemble les résultts mthémtiques de so temps, les structure eue sciece déductive et pporteombre de découvertes ouvelles. L géométrieeuclidiee estlgéométriefodée surles iomes et postults itroduits preuclide...3 E = C([,b],R) Abrégédes Élémets d Euclide. (Muscrit rbe) O pose, pour tout f de E, f = sup { f(t), t [,b]}. Cette défiitioest justifiée prle fit qu uefoctiocotiuesur u segmet [, b] etàvleurs réellesest borée. L pplictio est ue orme sur E...4 E = M m (K) L clcultrice TI proposeds le meu «Mths,mtri, ormes» d, 5, 4, B,trois ormes surl espce vectoriel M m (K) des mtrices réelles ou complees. Rpport Mies-Pots, 3 «Les ormes de foctio prêtet souvet à cofusio, et l écriture f () estsouvet l preuve que le cdidt e compred ps bie ce qu il fit.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 37

40 Alyse PC-PSI E ott A = ij im,ces ormes sot : j m orm(a) = ij i= j= m colorm(a) = m ij j i= roworm(a) = m ij im j=..5 E = K[X] Soit P u polyôme de degré iférieur ou égl à : P = k X k. O pose: N (P)= k ; N (P)= k ; N (P)=sup k k N Vérifiezque N, N et N sot des ormes sur K[X]. Rpport TPE, «Certiscdidtsecoisset ps l défiitio d ue orme et cofodet orme, orme euclidiee et produitsclire.».3. Complémet Notos : (K) = (u ) K N ; u coverge.3. L esemble (K) et (K) = (u ) K N ; u coverge. (K) est le K -espce vectoriel desséries bsolumet covergetes. L pplictio N, défiiesur (K) pr N (u) = u, est ue orme sur (K). De plus,pour toutesuite u de (K), o : u u =N (u)..3. L esemble (K) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Si les séries u et v coverget, lors l série u v coverge bsolumet. E effet, u v u + v. (K) est u K -espce vectoriel. (K) est u sous-espce vectoriel de (K), cr si u <, lors u < u. L pplictio w, défiie sur (K) (K) pr w(u, v) = u v, si K = C, est u produitsclire sur (K). Si K = R, opredr w(u, v) = u v. L orme N ssociée àceproduitsclire est N (u) = u. Pour s etrîer :e. 3et4. 38

41 . Espces vectoriels ormés.4. Distce G étt u esemble o vide, ue distce sur G est ue pplictio de G G ds R telle que : ) (, y) G G d(,y) ) (, y) G G d(,y) = = y 3) (, y) G G d(,y) = d(y,) 4) (, y, z) G G G d(,y) d(,z)+d(z,y) Théorème Soit (E, ) u K -espce vectoriel ormé. L pplictio : d : E E R + (, y) d(, y) = y est ue distce sur E. Elle est ppelée distce ssociée àlorme sur E. L itérêt de l otiodedistce provietdufitque, si l o se restreit à ue prtie o vide A de l espce vectoriel ormé (E, ), l restrictio deldistce d àl esemble A A défiit toujours ue distce sur A,ss que A soit écessiremet u sous-espce vectoriel de E. Aucue structure lgébrique est écessire pour prler d ue distce sur u esemble, lors que, pour prler d ue orme, il fut u espce vectoriel. O : =d( E, ). Pour s etrîer :e. 5et6. Boules d u espce vectoriel ormé Ds ceprgrphe, (E, ) est u espce vectoriel ormé et d l distce ssociée àcette orme... Défiitio d ue boule.. Boule ouverte étt u poit de E et r u réel strictemet positif, lboule ouverte de cetre et de ryo r est l esemble oté B(, r) ou BO(,r) etdéfii pr : BO(,r) = {y E y <r}.. Boule fermée L boule fermée de cetre et de ryo r est otée BF(,r) etdéfiie pr : BF(,r)={y E y r} Eemples E = (R, ) L boule ouvertedecetre et de ryo r estl itervlle ] r, + r[, l boulefermée de cetre et de ryo r est l itervlle [ r, + r]. E = R. = E, r =. E est mui des ormes : N (, y) = + y ; N (, y) = + y ; N (, y) = m(, y ). y B N (,) B N (,) B N (,) Doc. 3. Trois boules ds R. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 39

42 Alyse PC-PSI Les boules B N (, ), B N (, ), B N (, ) ot été représetées. O costte que lesboules obteues dépedet de l orme choisie. Pour s etrîer :e Prties borées Lorsqu o prledesuite ou de foctio borée, ue référece Ue prtie A de l espce vectoriel ormé (E, ) est dite borée si : implicite est fite àue orme. Que se psse-t-il sil o chge K R + A K. de orme? Théorème Les propriétés suivtessot équivletes : ) A est ue prtie borée de (E, ) ) Il eiste u réel M tel que : (, y) A y M 3) L prtie A est icluse ds ue boule del espce vectoriel ormé (E, ) Eemple Toutebouleest borée. U sous-espce vectoriel o réduità { E } estps boré. y A (( ) ) B,, Doc. 4. Ueprtie borée de R..3. Suites et foctios borées Il reviet u même de dire que l esemble { p, p N} est Ue suite ( p ) d élémetsdel espce vectoriel ormé (E, ) est dite borée si : ue prtie borée de (E, ). K R p N p K Il reviet u même de dire que A étt u esemble o vide, ue pplictio f de A ds l espce l esemble { f (), A} est vectoriel ormé, (F, N), est dite borée si : ue prtie borée de (F, N). K R A N( f()) K O ote B(A, F) l esembledes pplictios borées de A ds (F, N). Rpport X-ESPCI, «L otio de foctio borée est souvet mlcomprise.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4 Applictio Soit (F, N) u espce vectoriel ormé. ) Motrer que B(A, F) est usous-espce vectoriel de F A. ) Pour tout f de B(A,F), o pose: f =sup N( f ()). A L espce vectoriel B(A, F) Motrerque est ue orme sur B(A, F). 3) Défiir ue orme sur l espce vectoriel B(E) des suites borées de l espce vectoriel ormé (E, N). ) B(A, F) est ue prtie o vide de F A (l foctioulle est borée).

43 . Espces vectoriels ormés Si f et g sot deu foctios borées sur A et, b deu sclires,lors : A N ( f + b g)() = N ( f ()+bg() N( f()) + b N(g()) K f + b K g vec K f et K g deu réelstelsque : A N f() K f et N(g()) K g B(A, F) est doc stblepr combiisoliéire, c estusous-espce vectoriel de F A. ) Si f est ue pplictio borée sur A, l esemble N f () ; A est ue prtie o vide, mjorée de R +, elle dmet doc ue bore supérieure, otée f. Cosidéros l pplictio: B(A,F) R + : f f Lespropriétés), ), 3) del défiitiod ueorme sot simples àvérifier. Soit f et g deu pplictios borées sur A. Alors : A Doc : N (( f + g)()) = N ( f ()+g()) f + g D où l propriété 4). N ( f ()) + N(g()) f + g = sup N ( f + g)() A f + g. 3) E pret A = N et F = E, l espce vectoriel B(N, E) est utre que l espce vectoriel des suitesborées B(E). Les résultts de l questio ) s ppliquet et l pplictio, défiie sur cet espce pr u = sup N (u ),est N ue orme. 3 Suites covergetes, ormes équivletes 3.. Suites covergetes Ue suite ( p ) d élémets del espce vectoriel ormé, (E, ), est covergete ds (E, ) (ou ecore covergepour l orme ) si: E > N N p N (pn) ( p ) Théorème 3 Soit ( p ) ue suite covergeted élémets del espce vectoriel ormé, (E, ). Alors, l élémet de E tel que lim p = est p + uique. Il est ppelé l limite de l suite ( p ) etoté: = lim p + p.! L ordre des qutificteurs est fodmetl. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4

44 Alyse PC-PSI Eemples ) Motrer que l suite ( p ) E = C([, ], R) mui de l orme f = f (t) d t. coverge vers E équivut à motrer que l suite réelle ( p ) ted vers. Soit l suite ( f ) défiie pr f (t) = t. Alors f = ) Motrer que l suite ( p ) + coverge vers équivut à Doc l suite de foctios ( f ) coverge vers lfoctio ulle reltivemet motrer que l suite ( p ) à. tedvers E. Ue suite dermuj O cosidère l foctio f défiiesur R + pr : f () = ( +) et l suite (u ) défiie pr: u = f(), u = + f(), u 3 = + + f(3) et,pour tout 3 : u = ( ) + f() Clcul des premierstermes : u = u = 3 = u 3 Rpport Mies-Pots, 997 «Qud o étudie ue suite (ou uesérie),il peutêtre utile d observer le comportemet des premiers termes.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Pour tout : f()= +(+)( +3). Doc, pour tout 3 : + f()= + + f(+). Et u = u +. L suite (u ) est costte, égle à Propriétés des suites covergetes Théorème 4 L esemble des suites covergetes d élémets d u espce vectoriel ormé, (E, ), estusous-espce vectoriel de E N et l pplictioqui, àue suite covergete ( p ),ssocie s limite, lim p, est liéire. p + Autremetdit, si les suites ( p ) et (y p ) coverget: (,b) K lim ( p + b y p ) = p + lim p + b p + lim y p. p + Théorème 5 Si ( p ) est ue suite covergete del espce vectoriel ormé, (E, ), de limite, lors toutesuite etrite de ( p ) covergeussi vers. Théorème 6 Toutesuite covergeted élémetsd u espce vectoriel ormé, (E, ), est borée. Rmuj (887-9), mthémticieidie, utodidcte, estu des grds mthémticies du XX e siècle. So etrordiire ituitio lui fitdécouvrir de ombreuses formules mthémtiques, dot beucoup restet àdémotrer. Citos : = 4 6 p dot l justifictio est ps évidete. 4

45 . Espces vectoriels ormés 3.3. Suites divergetes Ue suite ( p ) d élémets del espce vectoriel ormé, (E, ), qui e covergeps,est dite divergete. Ceci peut se trduire pr : E prtique, pour étblir qu ue suite diverge, o utiliser fréquemmet u risoemet pr cotrposée etles théorèmes du prgrpheprécédet. E > N N p N (p N et p > ) 3.4. Défiitios de ormes équivletes Sur u même espce vectoriel, o peut utiliser plusieurs ormes, et à chque ormecorrespod u esembledesuitescovergetes. Le problème qui se pose lors est : àquelle coditio deu ormes sur u même espce vectoriel doet-ellesles mêmes suitescovergetes? Rpport Mies-Pots, 3 «Svoir trcer les boules uité ds R ou R 3 permet demieu compredreceque sot des ormes équivletes.» Théorème 7 Soit E u K -espce vectoriel et N et N deu ormes sur E. Les deu propriétés suivtessot équivletes : ) R + E N () N (). ) Toutesuite ( p ) d élémetsde E qui covergevers E reltivemet àlorme N covergeussi vers E pour l orme N. Démostrtio O suppose ).Soit ( p) ue suite d élémets de E qui coverge vers E orme N. Alors : N( p) =. Doc lim p + lim p + N( p) =. L suite coverge vers E pour l orme N. Risoos pr cotrposée. L propriété ) est ps vrie. pour l N E N ( ) > N ( ) Nous e déduisos que N ( ) >, puis que = E et que N ( ) >. Posos lors : Pr costructio : N (y )= y = N ( ) N N()>; N(y) = ( ) N N()= ( ). Doc, l suite (y ) ecoverge ps vers E pour l orme N. Mis elle coverge vers E pour l orme N. Deu ormes N et N sur lemême espce vectoriel E sot dites équivletes si : (, b) (R + ) E N () N () bn (). chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 43

46 Alyse PC-PSI Applictio Csde K Soit E = K et,pour = (,..., ), posos : N () = i ; N () = i ; N () = m { i,i} Motrerque ces ormes sot équivletes. O peut écrire : N () N () = N (). Et, si i est tel que i = N (), lors : N () = Doc : i i = N () Les deu ormes N et N sur K sot équivletes. Avec N, oussi : N () N () = N () De même si i = N () : N () i = i =N () Doc, les ormes N et N sur K sot équivletes. O e déduit: K N ()N ()N () N () N (). K N () N () N () Les ormes N et N sot doc équivletes. Théorème 8 Si E est u K-espce vectoriel, l reltio défiie sur l esemble des ormes de E, «N et N sot deu ormes équivletes», est trsitive. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3.5. Applictio u suites, u prties borées et u boules Théorème 9 Soit E u K-espce vectoriel, N et N deu ormes sur E. Les propriétés suivtessot équivletes : ) Les ormes N et N sot équivletes. ) Uesuite ( p ) d élémetsde E covergevers E reltivemet àl orme N si,etseulemet si,elle covergevers E pour l orme N. 3) Ue suite ( p ) d élémetsde E covergeversuélémet de E reltivemet àlorme N si,etseulemet si,elle covergevers pour l orme N. 44

47 . Espces vectoriels ormés Applictio 3 Normes sur C([, ], R) ) Motrerque l pplictio N : C ([, ], R) R f N ( f ) = f (t)dt défiitue orme sur C ([, ], R). ) Comprer les ormes N et N, puis N et N. Sot-elleséquivletes? ) L pplictio (f,g) f (t) g(t)dt défiit u produit sclire sur C ([, ], R). N est l orme ssociée. ) De plus, N N. Mis N et N e sot ps équivletes, cr l suite de foctios, ( f ), défiiepr f (t) = t est telle que : N ( f ) = t d t = + et N ( f ) =. L suite ( f ) covergedoc vers l foctioulle pour l orme N, misps pour l orme N. De même, N N, mis l même suite de foctios permet de prouver que lesormes N et e sot ps équivletes. N L iéglité de Cuchy-Schwrz doe : f C([, ], R) f (t) d t f (t)dt soit : N N Utilisos ecore l suite ( f ) : N ( f ) N ( f ) = + + et ce rpport ted vers +. Les ormes N e sot doc ps desormes équivletes. N et Théorème Soiet E u espce vectoriel et N, N deu ormes équivletes sur E. Les prtiesborées de (E, N ) etles prtiesborées de (E, N ) coïcidet. Les boulesouvertes de (E, N ) etles boules ouvertes de (E, N ) sot emboîtées (doc. 5) : E r > (r, r ) (R + ) B (, r ) B (, r) B (, r ) Le cs de l dimesio fiie Coformémet u progrmme, ous dmettros le théorème : Théorème Toutes les ormes sur uespce vectoriel de dimesio fiie sot équivletes. Rpport X-ESPCI, «Lemot mgique «ormeséquivletes»est souvet ivoqué (c est bie, mis je e suis ps sûr que tous schet ce que cel veut dire...)» O y Doc. 5. Ds R. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 45

48 Alyse PC-PSI Théorème Soit E u K -espce vectoriel de dimesiofiie, B = (e,...,e ) ue bse de E et p ue suite d élémetsde E. p O ote p = i, p e i. i= Alors,lsuite ( p ) p covergeds E vers l élémet = i e i si, etseulemet si, pour tout i de [[, ]],lsuite de sclires i, p p covergevers i. Démostrtio E étt de dimesio fiie, toutes les ormes sur E sot équivletes. Nous llos utiliser : = ie i i = Supposos que l suite ( p) coverge vers ds E. O : p N i,p i p D où lim ip = i. p + L réciproque découle de: pn p = ip i. i= i= i= i= Remrque L itérêt de ce théorème réside ds le fit fodmetl que, sur u espce vectoriel de dimesiofiie, les suites covergetes sot toujours lesmêmes idépedmmet de l orme choisie. O se permet lors d utiliser des phrses telles que :«Soit ( p ) ue suite covergete de K», ss préciser l orme utilisée pour défiirlcovergece. A cotrrio, dire «Soit ( f ) ue suite covergete de C([, ], R)» ps deses, cr o e précise ps de quel type de covergece il s git. Rpport X-ESPCI, «Siovit lechoi delorme sur R,ilest idispesblederppelerque toutes sot équivletes.» Applictio 4 Normes sur K[X] c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Nous vos déjàrecotré lesormes suivtes. Si P(X) = k X k : N (P) = N (P) = sup k. k N k ; N (P) = k ; Motrerque ces ormes e sot ps équivletes. Cesormes sot comprbles : P K[X] N (P) N (P) N (P) Mis, ellessot deu àdeu o équivletes. E effet, e pret P (X) = N (P )=; N (P)=+ X k, o: N (P )= +; L esemble {P N} estdoc ue prtie borée de (K[X], N ). Mis ce estps ueprtie boréede l espce vectoriel ormé (K[X], N ). Nous e déduisos que N et N e sot ps équivletes. Lemême rgumet s pplique à N et N,ces ormes e sot ps équivletes. P De plus, l esemble N est ue + prtie borée de l espce vectoriel ormé (K[X], N ), mis ps de l espce vectoriel ormé (K[X], N ). Les ormes N et N e sot ps équivletes. 46

49 . Espces vectoriels ormés 3.7. Suites de Cuchy (PSI) Ue suite ( p ) del espce vectoriel ormé, (E, ), est ppelée suite de Cuchy de E si elle vérifie l coditio: > N N (p,k) N (pn p+k p ) Rpport X-ESPCI, «U +p () U () C U p () e prouve ps que l suite est de Cuchy.» Théorème 3 Toutesuite covergetede (E,) est ue suite de Cuchy de E. Démostrtio Soit ( p) ue suite covergete delimite. Fios >. O sitque : D où : pn N N p N p. p p+k. Théorème 4 Toutesuite de Cuchy de (E, ) est borée. Théorème 5 Toute suite de Cuchy d u espce vectoriel ormé de dimesiofiie est covergete. Ce théorème estdmis.ilser trité ds le livre d eercices,mis s démostrtioest hors progrmme. Richrd Dedekid (83-96), mthémticiellemd. Ue théorie complète des ombres réels été écessire pour que le critère de Cuchy, d bord dmis, puisse être démotré.ces théories dtet desées et sot l œuvre de Dedekid, WeierstrssetCtor. Rpport Mies-Pots, «Lcoditio b b ted vers ssure ps que l suite b soit de Cuchy...» Applictio 5 O cosidère, ds l espce vectoriel euclidie R 3,lsuite (Z ) = u v défiiepr : Z = u v w w et, pour tout : u + = 3 u 6 w 6 v + = 3 u + v 3 w +6 w + = 3 u + 3 v 3 w +6 Ue suite decuchyds R 3 L orme euclidiee est otée. ) Motrer que l suite (Z ) vérifie ue reltio mtricielle de l forme Z + = AZ +B. Préciser A et B. ) Motrer que,pour tout vecteur X de R 3, o AX kx, où k est u réel de ],[. 3) E déduire que l suite (Z ) est ue suite de Cuchy de R 3. 4) Motrer qu elle coverge et clculer s limite. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 47

50 Alyse PC-PSI ) Pour tout, o: 3 6 Z + = Z ) Posos X = y. Nous obteos : z AX = ( z) +(+3y z) 6 +4(+y z) y +9z 6 X. 33 Le réel k = = 6 coviet. 3) Vous motrerez que, pour tout : Z + Z k Z Z. Alors,pour tout etier et tout p : Z +p Z = p (Z +j Z +j ) j= p k +j Z Z j= = k Z Z. L suite (Z ) est doc ue suite de Cuchy. 4) L espce vectoriel R 3 est dedimesio fiie, doc l suite (Z ) coverge. Notos L = b s limite et utilisos les opértios sur les suites covergetes. Levecteur L c vérifie : L = AL. D où = 99, b = 36 et c = 3. 4 Ue oce de topologie Ds tout ce prgrphe, (E, ) est u espce vectoriel ormé et d est l distce ssociée àlorme. Rpport X-ESPCI, «Lecours sur l topologie est ml su ou mlssimilé.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4.. Poit itérieur (PSI) U poit d ueprtie A de E estppelé poit itérieur à A s il eiste ue bouleouvertedecetre icluseds A (doc. 6) : r > Eemple E = R, =, A = ], ]. est upoit itérieur à A cr BO estps u poit itérieur à A. BO(,r) A, 4 = 4, 3 A (doc. 7). 4 Pour s etrîer :e. 8. v A BO(,r) u Doc. 6. ] ] [ Doc. 7. [ 48

51 . Espces vectoriels ormés 4.. Esemble ouvert Ueprtie A de E estuouvert (ou ue prtie ouverte)de E si,pour tout poit de A,ileisteue bouleouvertedecetre, coteue ds A. A r > BO(,r) A (PSI) L défiitiosigifie que tout poit de A est poit itérieur à A. Eemples E et [ sot des ouvertsde (E,). ], ] estps u ouvert de R. Pour s etrîer :e. 9. Applictio 6 Les boules ouvertes Motrer que toute boule ouverte de E est u ouvert de E. Soit ds E, r > et A = BO(,r ). Nous voulos prouver que : y A d > BO(y,d) BO(,r ) BO(, r ) Puisque y est ds BO(,r ):d(y, )<r. L ituitioissue delgéométrie ivite àposer : d = r d(y, ) Prouvos que BO(y,d) BO(,r ) = A. Soit z ds BO(y,d), lors : d y d(z, ) d(z, y)+d(y, ) <d+d(y, )=r. Doc. 8. Doc z BO(,r ). Théorème 6 L itersectiodedeuouverts de E est uouvert de E. Démostrtio Soit A et A deu ouverts de E (doc. 9). ) Si A A = [, lerésultt est cquis. ) Si A A = [, soit ds A A. A est ouvert : r > BO(,r ) A. De même, A est ouvert : r > BO(,r ) A. Notos r = mi(r, r ). Alors : BO(,r) BO(,r ) BO(,r ) A A. B (, r ) A A Br (, ) Doc. 9. Itersectio de deu ouverts. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 49

52 Alyse PC-PSI Théorème 7 Soit (A i ) i I ue fmille quelcoque d ouverts de E. L réuio i I A i de cette fmille est u ouvertde E. Les otios de covergece et d ouvert sot e reltio pr le résultt suivt que ousvous lissos démotrer àtitre d eercice. Pr récurrece, o étblit que toute itersectio fiie d ouverts de E estuouvert de E. Mis, c est fu pour ue itersectio quelcoque. Il suffit, pour s e ssurer,decosidérer,sur R : N, = {}. Théorème 8 Si ( p ) est ue suite covergetede E, delimite, lors tout ouvert de E cotet cotiet tous les termes delsuite àprtir d u certi rg Poit dhéret Soit A ue prtie de E et u poit de E. Le poit est dit dhéret à A si toutebouleouvertede E, decetre, u poit commu u mois vec A, c est-à-dire : Théorème 9 (PSI) r > BO(,r) A = [. Le poit de E est dhéret àlprtie A de E si, et seulemet s il eiste ue suite d élémets de A qui covergevers, c est-à-dire : ( p ) A N lim p =. p + c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Démostrtio Soit ( ) ue suite d élémets de A qui coverge vers et r >. Puisque l suite ( ) coverge vers, ileiste p tel que p BO(,r). Doc : BO(,r) A = [. Réciproquemet,pour tout p de N, ileiste p L suite ( ) d élémets de A coverge vers. Eemples Tout poit de A est upoit dhéret à A (doc. ). E = R, =, A = ],]. pprtiet ps à A, misilest dhéret à A (doc. ). ds A telque p BO, Si A est ue prtie mjorée o vide (respectivemet miorée) de R, l bore supérieure (respectivemet iférieure) de A est upoit dhéret à A. E effet, A étt ue prtie o vide et mjorée de R, elle dmet ue bore supérieure. Soit lors r >. estleplus petit des mjorts de A :] r,] A=[. O e déduitque est dhéret à A. Pour s etrîer :e. (PSI).. p A v Doc.. Les poits et sot dhéretsà A. ] Doc.. est dhéretà A. [ u 5

53 . Espces vectoriels ormés 4.4. Esemble fermé. Lie etre ouverts et fermés Ue prtie A de E est dite fermée ds E si tout poit dhéret à A est u poit de A. O dit ussi que A est ufermé de E. Eemples E et [ sot des fermés de E. [, [ estps u fermé de R.! Ue prtie de E peut être i ouverte,ifermée. Aisi E = R, A =], ]. Théorème A est ufermé de E si, et seulemetsi, E A est uouvert de E. Démostrtio Supposos que A soit ue prtie fermée de E. Soit u élémet de E A, est ps u poit dhéret à A, doc : r > BO(,r) A = [. Ceci équivut à: r > BO(,r) EA. Doc E A est u ouvert de E. Réciproquemet,supposos que E A soituouvertde E. Pour tout de E A : r > BO(,r) A = [. Si deu ormes N, N sur E sot équivletes, lors les ouverts (respectivemet fermés) de (E,N ) et (E,N ) sot idetiques. O prledoc d ouvert de R ou de K, ss fire référece à l orme, cr, e dimesio fiie, toutes les ormes sot équivletes. est ps dhéret à A. Lesseulspoits dhérets à A sot lespoitsde A. est fermé. A Pour s etrîer :e.. Eemple Toute boule fermée de E est ue prtie fermée de E. E effet, si pprtiet ucomplémetire de BF(,r), l boule BO(, ) est ( r) coteue ds le complémetire de BF(,r). Théorème L réuio de deu fermés de E est ufermé de E. Théorème Soit (F i ) i I ue fmille quelcoque de fermés de E. L itersectiodecette fmille : F i = { E i I, F i } est ufermé de E. i I O e déduit, pr récurrece, que l réuio d ue fmille fiie de fermés de E estufermé de E. Mis, l eemple suivt motre que ceci estfu pour ue fmille ifiie. E = R et, pour ds N, F =, Alors : N F = ],[ c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

54 Alyse PC-PSI Démostrtio Fios u poit dhéret à F i. i I Pour tout réel r >, BO(,r) F i = [. i I Pour tout i de I, est doc u poit dhéret à F i. Mis F i est fermé, doc pprtiet à F i. F i est doc bie u fermé de E. i I Rpport X-ESPCI, «Ds le cs boré, l compcité de F est souvet ivoquée mis des démostrtios... sot frchemetbsurdes,eprticuliercelles qui se réfèret à l eistece de mjortspour des prtiesde R.» Pour s etrîer :e Prties compctes Ue prtie ferméeet boréed uespce vectorielormédedimesiofiie est dite prtie compcte de cet espce. Eemples Touteprtie A fiie d u espce vectoriel ormé (E, N) est compcte. Soit u ue suite d élémets de (E,N) coverget vers L. L prtie A = {L} {u ; N} est ucompct de E. E effet, l suite covergete est borée. A l est ussi. De plus, si est ds E A, lors N( L) = >. L boule ouverte decetre L et de ryo cotiet tous lestermes de l suite àprtir d u rg N. r > BO(,r) A = [. A est fermé. Rpport Mies-Pots, 3 «Ds cette prtie du progrmme, les iéglités se creuset etre les étudits : certis, plus qu vt, l mîtriset très correctemet et d utres, u cotrire, ot beucoup de difficultés àjustifier, pr eemple,de l ture topologique d usous-esemblede R (ouvert, fermé, compct).» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5 Compriso de suites Dsceprgrphe, (u ) N estue suite d élémets du K-espce vectoriel ormé (E, ), et ( ) N ue suite d élémetsde K. 5.. Reltio de domitio L suite (u ) est dite domiée pr l suite ( ) sielle vérifie ue des deu propriétés suivtesqui sot équivletes : O écrit lors u = O( ). K R N u K M R > u M. Vous prouverez isémet le théorème suivt. Théorème 3 Lorsque l suite de sclires ( ) es ule ps, lsuite (u ) est domiée pr ( ) si, et seulemet si, l suite vectorielle u est ue suite borée de (E, ). Rpport X-ESPCI, «Opeut lire ds les copies des epressios comme fermé boré, o e sit i de quel fermé ils git, i pr quoi il est boré.» Rpport Mies-Pots, «Lotio decompct est souvet igorée ;certis secotetet du crctèrefermé de S.» Rpport X-ESPCI, «De ombreuses erreurs provieet d uemuvise utilistio de l ottioo.» Rpport ENS Cch, «Les ottios de Ldu e sot ps toujoursbiecomprises.» 5

55 . Espces vectoriels ormés 5.. Reltio de égligebilité L suite (u ) est dite égligeble devt l suite ( ) si: > N N N u O écrit lors u = o( ). Théorème 4 Lorsque l suite sclire ( ) es ule ps, lsuite (u ) est égligeble devt ( ) si, et seulemet si, l suite vectorielle u covergevers E Équivlece de deu suites Deu suites sclires ( ) et (b ) es ult ps, sot dites équivletes si : lim =. + b Rpport Mies-Pots, «Ilreste ecore beucoup de problèmes qut à l utilistio des équivlets.» O écrit lors : b. Théorème 5 Soit ( ) et (b ) deu suitessclires e s ult ps. Les propriétés suivtessot équivletes : b ( ) K N N = b ( + ) lim + = = b + o(b ) Compriso des suites de référece Rppelosles résultts vus e Premièreée : Avec > et >, = o( ) et = o(!). Avec > et b >, (l ) b = o( ).! = o( ). Pour s etrîer :e. 3. Rpport Mies-Pots, 3 «Les opértios surles équivlets (produit, compositio, somme) sot mystérieuses.» Il est importt decoître ces différets poits devue ;àvous de démotrer leséquivleces e questio.! Les équivlets e s dditioet ps. Rpport ENS Cch, «...quelques erreurs de risoemet : mipultio erroée d équivlets,...» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 53

56 Alyse PC-PSI Applictio 7 Epoetielles et logrithmesdesuites équivletes c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) O pose u = et v = l(). Prouver que les deu suites (u ) et (v ) sot équivletes et que les suites (ep(u )) et (ep(v )) e le sot ps. ) Étt doées deu suites réelles (u ) et (v ), prouver que les deu suites ep(u ) et ep(v ) sot équivletes si, et seulemet si, lim (u v ) =. + 3) O pose = + et y = +. Prouver que les deu suites ( ) et (y ) sot équivletes et que les suites l( ) et l(y ) e le sot ps. 4) Soit ( ) et (y ) deu suites équivletes de réels strictemet positifs. Prouver que, si l suite (y ) dmet ue limite ds R\{}, lorsles suites l( ) et l(y ) sot équivletes. Rpport TPE, 997 «Lottio O est souvet cofodue vec l ottio o. Pour de ombreu cdidts, o : u v e u e v.» ) O costte que v = l() u. Doc lim + v u = etles suites (u ) et (v ) sot équivletes.pr cotre : ep(v ) ep u ) = ep( l() =, doc les suites ep(u ) et (ep(v )) e sot pséquivletes. ) Puisque ep(u ) ep(v ) = ep(u v ), o : lim (u ep(u ) v ) = lim + + ep(v ) =. D où l équivlece demdée. 3) Il est clir que lim + doc lim + l( ) l( ) l(y ) = +. y =. De plus : et l(y ) Les suites l( ) et l(y ) e sot ps équivletes bie que ( ) et (y ) lesoiet. 4) Puisque les suites ( ) et (y ) sot équivletes, opeut écrire = y ( + ()), où () =. lim + Doc l ) = l(y +l + () et : l( ) + ()) = +l( l(y ) l(y ) (Le quotiet pr l(y ) est possible pour ssez grd.) L hypothèse sur l suite (y ) permet de coclureque : sot équiv- Les suites letes. l( ) lim + l(y ) =. l( ) et l(y ) 54

57 . Espces vectoriels ormés Pour motrer que l pplictio N de E ds R estue orme,opeut: si N se présetesous l forme d ue rcie, regrder si elle dérive d u produitsclire ; sio, motrer qu elle vérifie les qutreiomes de l défiitio d ue orme. Pour motrer qu ue prtie A de l espce vectoriel ormé (E, ) est borée,oprouveque : K R + A K ou BO(,r) A BO(,r) Pour motrer que l suite ( p ) covergevers E ds (E, ),prouver que lim p + p =. Pour motrer que l suite ( p ) covergevers ds (E, ),opeut: prouver que lim p = ; p + lorsque E estmui d ue bse (e i ) i [[,]] et que, pour tout p, p = étblir que, pour chque i de [[, ]], lsuite ( i, p ) p covergevers i. Pour motrer que les ormes N et N sot équivletes ds E, opeut: i,p e i, et = i= i e i si E est dedimesiofiie, rppeler que toutes lesormes sur E sot équivletes; si E estps u espce vectoriel de dimesiofiie, chercher deu réels >, et b, telsque : E N () N () bn (). Pour motrer que deu ormes N et N e sot pséquivletes,opeut: chercher ue suite ( p ) d élémetsde E,coverget vers E pour N, misps pour N ; chercher ue suite ( p ) d élémets de E\{ E },telle que N ( p ),oul iverse, tede vers + N ( p ) ou l iverse. i= (PSI) Pour motrer qu u poit de A est itérieur à A,opeut chercher ue bouleouverte de cetre, coteue ds A. Pour motrer qu u poit de E est dhéret à A,opeut: motrer que toutebouleouvertedecetre recotre A ; (PSI) chercher ue suite d élémets de A coverget vers ; Pour motrer que A est ouvert,opeut: motrer que, pour tout poit de A, opeut trouver ue boule ouverte decetre coteue ds A ; motrer que E A est fermé. Pour motrer que A est fermé,opeut: motrer que tout poit dhéret à A est ds A ; motrer que E A est ouvert. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 55

58 Alyse PC-PSI Eercice résolu ÉNONCÉ ) Motrer que l pplictio. Ue curieuse bouleds R (, y) N(, y) = ) Détermierlbouleuité B = (, y) R N(, y). + tydt est ue orme sur R. 3) L représeter grphiquemet ds le pl rpportéàu repère orthoormé (O; i, j). O motrer que B est délimitée pr des segmets et deu courbes dot l équtio se simplifie e effectut ue rottio du repère. CONSEILS L seuledifficulté résideds : N(, y) = (, y) = SOLUTION ) Soit (, y) tel que N(, y) =. L foctio : t + ty est cotiue et positive sur [, ]. Doc, pour tout t de [, ], o : + ty=, puis + ty=. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit y Doc.. ÛØ ÔÐÓØ µ ÑÔÐØÔÐÓØ Ü ¾ ÕÖØ ¾µ Ü Ý Ý ¾ ¹ ÕÖØ ¾µ Ý Ü¹ ºº ݹ ºº µ Cette foctiopolyôme s ult sur [, ] est ulle : = y =. ) Détermios l esemble B = (, y) R N(, y). Puisque N(, y) = N(, y), il suffit dedétermier : B {(,y) y}. Si ety, lors N(, y) = Si et y, lors N(, y) = + ty dt=+ + tydt. y. L foctio: t + ty estffie, elle croît de à + y lorsque t croîtde à. Si + y, lors N(, y) = + ty dt= + y. Si + y >, lors y > et N(,y) = y + + y. 3) Si et y, lors B est délimitée prldroite d équtio: + y = Si, y et + y, lors B est délimitée pr l droite d équtio: + y= Si, y et + y >, lors B est délimitée pr l courbe (C) d équtio(doc. ) : y + + y =, soit + y + y y =. 56

59 . Espces vectoriels ormés Comme l idique l éocé, cosidéros l rottiod gle. Si M pour coordoées (, y) ds le repère (O; i, j) et (X,Y) ds le repère (O; I, J), o : cos si X = y si cos Y Prcoséquet : M (C) + y+y y= (cos X si Y ) + (cos X si Y )(si X +cos Y ) +(si X +cos Y ) (si X +cos Y ) =. Le terme e XY pour coefficiet cos. Choisissos = p, l équtio sesimplifie et près fctoristio coique 4 : + X + Y + =. O recoît l équtio d ue ellipsedecetre le poit :,+, de grd e = + et de petit e b =. Y y Doc.. ÓÐÚ ßÜ ÕÖØ ¾µ Ý»¾½ ܾ ÕÖØ ¾µ Ü Ý Ý¾ ¹ ÕÖØ ¾µ ݼРßÜ Ýе y =, =, y =, = ÓÐÚ ßÜ ÕÖØ ¾µ Ý»¾¹½ ܾ ÕÖØ ¾µ Ü Ý Ý¾ ¹ ÕÖØ ¾µ ݼРßÜ Ýе y =, =, y =, = ÓÐÚ ßÜ ÕÖØ ¾µ Ý»¾¹½ Ü ÕÖØ ¾µ ݼРßÜ Ýе y =, = p + y = p p + y = O + y = p X p c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 57

60 Alyse PC-PSI Eercice résolu ÉNONCÉ Héro d Aledrie utilisit ue suite pour détermierdes vleurs pprochées des rcies des etiers. Nous llos étudier cette méthode et l ppliqueresuite àdes complees. ) ) désigt u réel fié, étudier l suite (u ) défiie pr: u R, N u + = u + u b) Afi de préciser l vitesse de covergece de l suite (u ), o pose: v = u,. L lgorithme de Héro c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit puis e = v. Motrerque, pour tout, o : e + e. L covergece est lors dite qudrtique. Héro d Aledrie ( er siècle près J.-C.), mthémticie grec. Nous lui devos lformule lit l ire, lepérimètre etles troiscôtés d u trigle : S= p(p )( p b)( p c) c) O fie = 7 et u =. Détermier pour que u fourisse ue vleur pprochée de 7 à 7 près. Doer ue vleur pprochée de 7 à 7 près. ) désige mitet u compleefié oul, et sesrcies crrées. ) L suite (z ) est défiiepr : si z = z C, N z + = z + z si z = O supposequ elle e s ule ps. E utilist l suite (w ) défiie pr: motrer qu il est possible dechoisir z géométriquemet ce choi. w = z z +, tel que l suite (z ) coverge vers (respectivemet ). Iterpréter b) Motrer que, si l suite (z ) s ule, le poit d ffie z pprtiet àue droite d origie O quevous décrirez géométriquemet.précisez les poitsdecette droite dot l ffiecoduitàue suite sttioire ulle. c) Décrire, e foctiodelpositiodupoit d ffie z, lturedelsuite (z ). d) O fie = i et z =. Détermierllimite de l suite (z ). CONSEILS SOLUTION ) ) L suite (u ) est ue suite récurretessociée àlfoctiocotiue sur R : f : f () = +. Si l suitecovergevers l =,lors l =. 58

61 . Espces vectoriels ormés 6 Si <, l suite diverge. Le documet permet de le vérifier. Si =, l suite covergevers. 5 4 y 4 5 t = 7 Si >, l équtiodmet deu solutios.lfoctio f étt impire, ous ous limiteros u cs u >. O motre lors prrécurrece que, pour tout, o u. L foctio f étt croisste sur [,+ [, l suite (u ) est mootoe. Or, u u, doc l suite est décroisste. Miorée pr, elle coverge.lseule limite possible est (doc. ). Si u <, l suite coverge vers. b) Si u >, o N v + = v + v et v >. 6 Ö ØÖØÛØ ÔÐÓØ µ ܹ ½»¾µ ܹ»Üµ f := 7 ܳܳ ½ÔÐÓØ ß Øµ Ø Ø»¾Ð ع½¼ºº½¼ ݹºº ÓÒØØÖÙµ Ö ÆÍÄÄ Ü ½º¼ res := ØÓ Ó Ö Ö Ü Üµ ܵ ܵ Ü Üµ Ó ½¼ ÔÐÓØ Ö µ ÔÐÝ ß½ ½¼Ðµ Doc.. v coverge vers e décroisst, àprtir du rg. (e ) coverge vers etdécroîtussi àprtir du rg. De plus,pour tout : e + = e e +. D où: e + e et e c) e. u 7 = 7(v ) = 7 e 3 e 6 Ici : u = 4, e = Avec Mple e =7 ÓÐÚ»½¼µ ¾ Ò¹½µµµ½¼ ¹µ Òµ et = 5 coviet. Nous obteos : Avec Mple Ù ½ ØÓ Ó Ù ½»¾µ ٻٵ Ó Ù ÚÐ Ùµ ÕÖØ ºµ t Ö ØÖØÛØ ÔÐÓØ µ ܹ ½»¾µ ܻܵ f := + 7 ܳܳ ½ÔÐÓØ ß Øµ Ø Ø»¾Ð ؼºº ݼºº½¼ ÓÒØØÖÙµ Ö ÆÍÄÄ Ü ¼º res := ØÓ ½ Ó Ö Ö Ü Üµ ܵ ܵ Ü Üµ Ó ½¼ ÔÐÓØ Ö µ ÔÐÝ ß½ ½¼Ðµ Doc ) ) Le terme w est défii si, etseulemet si, z =. C est-à-dire si, et seulemetsi, z =. Si z = ou z =, lsuite (z ) est costte, doc covergete. Supposos z différet de et et clculos w +. w + = (w ). Prcoséquet,pour tout, o w =(w ). Si w <, l suite (w ) covergevers, doc l suite (z ) coverge vers. Il suffit pour celdechoisir z telque z < z +. Si w >, ( w ) covergevers +, et (z ) covergevers. Il suffit pour celdechoisir z telque z + < z. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 59

62 Alyse PC-PSI B( i ) B Covergece vers ( + i ) Covergece vers A A( + i ) ( + i ) L suite (z ) coverge vers si, etseulemet si, lepoit d ffie z pprtietudemi-plouvertlimité,prl méditricede A() et B( ) cotet A. Elle coverge vers si, etseulemet si, lepoit d ffie z pprtiet àl utre demi-pl ouvert (doc. 3). b) Si z + = et z =, lors z = ± i. Plusgéérlemet,si z + i R lors z i R. Doc, s il eiste tel que z + =, écessiremet z i R. Lespoitsimges descomplees z tels que l suite (z ) s ulepprtieet àlméditrice de [A, B]. Cosidéros u complee z = i y (y R ). Il eiste u ds ] p, p[ tel que t u = y. Alors: + =( + i ) = i Doc. 3. w = iy iy+ = cos u +isi u = ei(p u). Pour tout, o w = (w ) et z est ul si, etseulemet si, w =. Doc (z )s ulesi, et seulemet s il eiste u etierturel p telque : p u = p(mod p). () Dscecs,otos p le plus petit etiertel que () : Il eiste u etier telque : ( +)p p u = p +p et z = i t. p+ c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L esemble des poits de l méditrice de [A, B] dot les ffies coduiset àue suite sttioire ulle estl esemble des poitsde ( +)p cette droite dot les ffies s écrivet sous l forme i t vec p ds N et ds Z. c) Si le poit d ffie z est A ou B, lsuite est costte. p+ S il pprtiet ps àlméditrice de [A, B], l suite coverge. ( +)p S il pprtietàl méditrice de [A, B] etsi z =it, p+ l suite est sttioire, ulle àprtir d u certirg, doc coverge. Sio, l suite (z ) es ule ps. Deplus, e post lors z = i k (k R), vous motrerez prrécurrece que, pour tout, o: z =ik, vec k + = k k. L suite (k ) est bie défiie mis elle divergeisi que (z ). d) L limite de l suite (z ) est lors le complee: p = ( +i) et w = e ip/4 si +e ip/4 = 8 p p = t. cos 8 8 6

63 Eercices Motrer que, ds u espce vectoriel ormé, l pplictioorme est covee, c est-à-dire vérifie : (, y) E t [,] N(t +( t)y)tn()+( t)n(y) Soit (E, ) u K -espce vectoriel ormé et f u edomorphisme de E. O défiit l pplictio N sur E e post N(X) = f (X). Détermier ue coditio écessire et suffiste pour que N défiisse ue orme sur E. Motrer que si u est ue série àtermes réelspositifs covergete, lors lsérie u coverge. Motrer que, pour toute série réelle (u ) bsolumet covergete, o : u p u. 6 Soit E = R et,pour tout = (, b) de R : N() = +b +5b. Motrer que N est ue orme sur R. Soit A ue prtie de l espce vectoriel ormé (E, ) et O u ouvert de E. Motrer que A + O est u ouvert de E. Soit A ue prtie o vide de l espce vectoriel ormé (E, ). Pour tout de E, opose : d(, A) = if y. y A Motrer que d(, A) = si, et seulemet si, est u poit dhéret à A. fiie. Soit (E, ) uespce vectoriel ormé de dimesio ) Motrer que tout sous-espce vectoriel F de E est fermé ds E. ) Motrer que E est le seul sous espce-vectoriel de E qui soit ussi ouvert. (PSI)Motrer que l esemble des poits itérieurs àl boule fermée BF(,r) est l boule ouverte BO(,r) etque l esemble des poits dhérets àlboule ouverte BO(,r) est l boule fermée BF(,r). fiie. (E,) est u espce vectoriel ormé de dimesio Soit l u sclire o ul et A u compct de E. Motrer que l A est u compct de E. f est ue foctio cotiue de [,] ds R +. O cosidère l pplictio: K[X] R N f : P N f (P) = sup [,] f ()P() Doer ue coditio écessire et suffiste sur f pour que N f soit ue orme sur K[X]. Motrer que, ds l espce vectoriel ormé, (E, ): ) (, y) E r R + + B(y, r) = B( + y, r) ) E r R + l K\{} lb(,r)= B(l, l r) Soit (E, ) u K -espce vectoriel ormé et F u sous-espce vectoriel de E. O suppose qu il eiste ds F et r > telsque BO(,r) est coteue ds F. Motrer que F = E. défiit : * O pose E = C ([,], R). Pour tout f de E, o N( f)= f() d N ( f)= f() + f () d N ( f ) = f () + f () + f () d ) Motrer que ces trois pplictios sot des ormes. ) Prouver que, pour tout f de E, N( f ) N ( f ) N ( f ). 3) Prouver que, deu àdeu, ces ormes e sot ps équivletes. * Soit E = C ([,], R). Pour f E, opose : N( f ) = / f ()+ f (t)dt. 6 chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

64 Alyse PC-PSI ) Motrer que N est ue orme sur E. ) Motrer que f N( f ). 3) N et sot-elles équivletes? ** ) ) Motrer que l pplictiodéfiie pr : w(a, B) = tr( t AB) est u produit sclire sur M (R). b) Préciser l orme ssociée que l o oter N. ) Comprer N(A) et N( t A). 3) ) Motrer que N(AB) N(A)N(B), pour tous A et B. b) Crctériser les couples (A, B) pour lesquels : N(AB) = N(A) N(B). * ) Motrer lelemme de d Alembert:si () est ue suite de réelsstrictemet positifs tels que : + lim = l >, + lors lsuite ( ) ted vers +. ) Soit u réel positif. Étudier l suite défiie pr u et u + = f (u ) vec : f()= ( +) +. Rpport CCP,997 :«L étude des suites récurretes est souvet fort ml tritée, les cdidts essyt rremet de fire u dessi les idt àecompredre lecomportemet.» * (PSI) Soit C ue prtie covee de l espce vectoriel ormé (E, ). O ote C l esemble des poits dhérets à C et C l esemble des poits itérieurs à C. Motrer que C et C sot covees. * Soit k R +. Pour tout de N, opose : B = (, y) R + y k et B = B. Doer ue coditio écessire et suffiste sur k pour que B soit fermé. O fie u réel ds ],[ et o cosidère l espce vectoriel E = C([, ], R) mui de l orme N défiie pr : N ( f ) = sup f (). [,] ) Prouver que l suite ( f ) defoctios de E, défiies pr : f () = k coverge ds (E, N ) vers lfoctio f :. ) E déduire u sous-espce vectoriel de E qui e soit ps fermé. ** (PSI) Uespce vectoriel E de dimesio fiie est mui d ue orme N. Soit f ue pplictiode E ds E telle que :, (, y) E N( f () f (y)) N f () + N( f (y) y). Motrer que f dmet upoit fie uique. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6

65 Cotiuité 3 Leibiz, e 69,utilise,ds u cdre géométrique, le terme de foctio. E étudit l solutio de l équtio des cordes vibrtes doée pr d Alembert e 747,Euler, e 748,libère l otio de foctio de ce cdreet itroduit l ottio f (). L idéeituitivesuivt lquelle uefoctio estcotiue si so grphe peut êtretrcé ss lever le cryo est ttribuée à Euler. Mis cette idée e s pplique qu u foctios défiies sur u itervlle et àvleurs ds R. BolzoetCuchy,vers 8,défiisset correctemet les foctios cotiues de R ds R. Au début duxx e siècle, cette défiitio ser géérlisée àdes foctios vectorielles d ue vrible vectorielle. L otio de limite d ue foctio e u poit et plus géérlemet l étudedeso comportemet et s comprisoàd utres foctios u voisige d u poit est fodmetle e lyse (c est l étudelocle d ue foctio e u poit). Ds ce chpitre,ous étudieros cette otio ds le cs d ue foctio d u espce vectoriel ds u utre, puis lesfoctios cotiues sur ue prtie. Nous cosidéreros esuite le cs despplictios liéires. O B J E C T I F S Limite e u poit d ue foctiod u espce vectoriel ormé ds u utre. Priciples opértios surces limites. Compriso des foctios u voisige d u poit. Cotiuité e u poit,sur ue prtie. Utilistio de l cotiuité :imges réciproques d ouverts etdefermés (PSI), imge directe d u compct. Applictios lipschitziees. Cotiuité des pplictios liéires etre espces vectoriels ormés de dimesiofiie. Cotiuité des pplictios biliéires etre espces vectoriels ormés de dimesio fiie. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 63

66 Alyse PC-PSI Ds tout ce chpitre, K est R ou C et (E, E ), (F, F ) et (G, G ) sot trois K-espces vectoriels ormés de dimesio fiie. A est ue prtie de E et f ue pplictiode A ds F. Nous dopteros lescovetios suivtes : Si estupoit de E dhéret à A, odit que f possède l propriété (P) uvoisige de si f possède l propriété (P) sur l itersectio de A vec ue boule decetre. (Eemple :lfoctio si est borée u voisige de.) Si E = R, odit que f posséde l propriété (P) uvoisige de + si f possède l propriété (P) sur u itervlle du type ]c,+ [. (Eemple : l foctio est borée u voisige de +. ) O procèdedemièresimilire«u voisigede». Limites.. L défiitio Cosidéros u poit dhéret à A et u poit b de F. O ditque f dmet b comme limite u poit si : > d > A ( E d) ( f () b F ) Théorème L limite de f e, lorsqu elle eiste,est uique. Lorsque f dmet b comme limite u poit, oote: lim f () = b ou lim f = b c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O désige pr BF E (,d) lboule fermée de cetre et de ryo d ds (E, E ) etpr BF F (b, ) lboulefermée de cetre b et de ryo ds (F, F ). Théorème L pplictio f Eemple dmet b comme limite e si, et seulemetsi: > d> f(a BF E (,d)) BF F (b, ) Preos E = R, F = R, A = E\{(, )} et f (, y) = y + y. Motros que f dmetue limite e = (, ) et détermios cette limite. 64

67 3. Cotiuité L utilistio descoordoées polires est très efficce. E effet : Doc : et f (r cos u, r si u) = r cos u si u r. f (, y) + y lim (,y) (,).. Limite e + et e f (, y) =. Supposos ici que E = R et otos b u poit de F. Si f est défiie sur uitervlle de l forme A =],+ [, o dit que f dmet b comme limite e + si : O écrit lors : > y R A ( y) ( f () b F ) lim + f () = b ou lim f = b ou comme limite Ici, F = R et est upoit dhéret à A. O ditque f dmet + comme limite u poit si : Et l o ote: K R d > A ( E d) ( f () K ) lim f () = + ou lim f = + Rpport Mies-Pots, 3 «Qud o demde d étudier les vritios d ue foctio sur l itervlle [, + [, il e fut ps oublier d étudier le comportemet de l foctiou deu bores de l itervlle.» De même, doer u ses à: ou : lim f () = b lim f = b. Doer u ses à: ou : lim lim f () = f =. Pour s etrîer :e.... Limites d pplictios et suites covergetes Théorème 3 L pplictio f dmet b comme limite e si, et seulemet si, pour toute suite ( p ) p N d élémets de A qui coverge vers ds (E, E ), l suite ( f ( p )) p N covergevers b ds (F, F ). Démostrtio O suppose que f dmet b comme limite e et o fie ue suite ( p) p N d élémets de A qui coverge vers ds (E, E). Soit >. f dmet b comme limite e, doc : d > A L suite ( p) p N coverge vers : E d f() b F. N N N E d. E combit les deu : N f ( ) b F. L suite ( f ( p)) p N coverge doc vers b ds (F, F). Réciproquemet, supposos que f dmette ps b comme limite e, lors : > d > A E d et f () b F. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 65

68 Alyse PC-PSI E pret d = p, oobtiet : > p N p A p E p et f ( p) b F. L suite ( p) p N coverge doc vers ds (E, E), mis l suite ( f ( p)) p N e coverge ps vers b ds (F, F). Pour s etrîer :e.. Eemple Motros que l foctio f défiiesur R pr : f () = si ps de limite e. Pour p ds N, posos p = p + pp, f ( p p) = ( ) L suite ( p ) p N covergeverset l suite ( f ( p )) p N diverge. Doc f ps de limite e..3. Limites d pplictios à vleurs ds u espce vectoriel ormé de dimesio fiie Supposos que l espce vectoriel F soit de dimesio fiie et otos B = (v,...,v ) ue bsede F. Pour tout de A, ileiste ( f (),..., f ()) ds K tel que : f () = f i () v i. L pplictio f i : A K estppelée l i-ième pplictio composte de f reltivemet àlbse B (o peut ussi prler d pplictio coordoée ou de foctiocomposte ou de foctiocoordoée). Doc.. Représettio, sur clcultrice, du grphe de si vec p, p. Rpport Mies-Pots, 3 «Des limitesussi clssiques que : lim l(t) t,lim t l(t) et lim + ( ) permettet d obteirles résultts les plus frfelus.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 4 L pplictio f pour limite b = b i v i u poit si, et seulemet si,pour tout i de [[, ]], l pplictiocomposte f i pour limite b i u poit..4. Combiiso liéire delimites Théorème 5 Soit f et g deu pplictios de A ds F. Si f (respectivemet g )dmet pour limite b (respectivemet c )upoit, lors,pour tout couple (,b) de K, lfoctio f + bg pour limite b + bc u poit : lim( f ()+bg()) = lim f ()+blim g().! Ce théorème suppose l eistece de limites pour f et g e. 66

69 3. Cotiuité.5. Produit de limites Théorème 6 Soit f ue pplictiode A ds F dmettt b comme limite e et u ue pplictiode A ds K yt comme limite e. Alors,leproduit uf dmet b comme limite u poit :! Ici églemet, l eistece des limites e pour les foctios u et f est écessire. lim u() f () = lim u() lim f () Démostrtio O peut écrire : Doc : A A u() f() b = (u() ) f()+( f() b). u() f () b F u() f() F + f() b F Or lim f () = b, doc il eiste r > tel que : BF E(,r) A f() F b F f() b F BF E(,r) A f() F b F + O e déduit que, pour tout de BF(, r) A : u() f() b F u() (b F +)+ f() b F. Or lim u() = lim f () b F = d oùlerésultt..6. Iverse de limites Théorème 7 Étt doé ue foctio u de A ds K, delimite b e, vec b =. Alors : r > BF(,r) A u() = E post B = BF(,r) A, lfoctio estdéfiie sur B, est u u poit dhéret à B et u dmet pour limite u poit : b lim u() = lim u(). Démostrtio Puisque b =, b >. Il eiste r > tel que : A E r u() b b O pose B = BF(,r) A. B u() b u() b b D où < b u() 3 b. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 67

70 Alyse PC-PSI Motrer que est dhéret à B est ueercice élémetire. Deplus : B u() b = u() b u() b. u() b b Rppelos qu u quotiet de termes positifs se mjore e mjort so umérteur ou e miort so déomiteur. Pour s etrîer :e. 3et4..7. Compositio des pplictios Dsceprgrphe, (E, E ), (F, F ), (G, G ) sot trois espces vectorielsormés, A est ue prtie de E, u poitdhéret à A, B ue prtie de F. Théorème 8 Si f est ue pplictio de A ds B qui dmet comme limite b u poit, lors : le poit b est dhéret à B ; si, de plus, l pplictio g de B ds G dmet llimite c e b, l pplictio g f dmet c comme limite e. E d utres termes : lim g f () = lim g(y). y b Démostrtio Le poit est dhéret à A, doc il eiste ue suite ( p) p N d élémets de A qui coverge vers. L suite ( f ( p)) p N est ue suite d élémets de B qui coverge vers b, cr f dmet b pour limite e. Doc, b est dhéret à B. Fios >. L pplictio g dmet c comme limite e b : d > y B (y b F d g(y) c G ). U tel d > étt détermié, osit ussi que : m > A ( E m f() b F d). O e déduit : A ( E m g(f()) c G ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Cotiuité e u poit.. Défiitio etcrctéristios Lorsque est ds A et f dmet e l limite b, lors : b = f (). O ditque f est cotiue u poit. Mthémtiquemet,l pplictio f est cotiue u poit si : ( A)et > d> A ( E d) ( f() f() F ) Pul Dirc (9-984),mthémticie etphysicieglis, fode l théorie complète de l mécique qutiqueet publie «The priciples of qutum mechics» e 93. Pour ce trvil, il reçoit le pri Nobel de physique e 933. Après voireseigé lesmthémtiques à Cmbridgepedt trete-sept s, il deviet, à69 s, professeur de physique àflorid StteUiversity. 68

71 3. Cotiuité L propositio suivte trduit l otio de cotiuité e u poit à l ide des suites. Théorème 9 L pplictio f est cotiue u poit de A si, etseulemet si, pour toute suite ( p ) d élémetsde A qui covergevers ds (E, E ), l suite ( f ( p )) covergevers f () ds (F, F )... Prologemet pr cotiuité Si est upoit dhéret à A pprtet ps à A, l pplictio f estps défiie e. Cepedt,si f dmet b comme limite u poit, lors o peut défiir l pplictio : f : A {} F f () si = f () = b si = Pr costructio, f est cotiue u poit. f est ppelée le prologemet pr cotiuitéde f u poit. Eemples Nous vos déjàrecotré l pplictio: R \{(, )} R et étbli que lim (,y) (,) (,y) f (, y) = y + y. f (, y) =. Nous pouvos doc prologer pr cotiuité f e (, ) e post f (,)=. Cosidéros l pplictio: R \{(, )} R f : (,y) f(,y)= y + y f est-elle prologeblepr cotiuité e (, )? Remrquos que N f, = et f, =. Les deu suites, et, coverget vers (, ) ds R. Doc f estps prologeblepr cotiuité e (, ) (doc. 3). Soit U = {z C; z = }. ] p,p[ U\{ } L pplictio: est bijective. u e i u S bijectio réciproque est l pplictio Argumet, otée Arg. Elle est défiie pr: U\{ } ] p,p[ Arg : y u = +iy Arg u = Arct + Elle est cotiue sur U\{ } et e peut ps être prologée e ue pplictio cotiue sur U. y j O Doc.. L foctio de Dirc. Elle est ps cotiue e,mis dmet comme limite àdroite et à guche e. E prtique,etbie que ceci soit u bus de ottio(cr o modifie l esemble dedéprt de f ), o s utorise àdiresimplemet que l o prologe f pr cotiuité e post f () = b, et ssutiliser l ottio f. z= f(, ) = z = y i y z= f(,) = Doc. 3. Le grphe de f ds R 3 est l esemble des triplets (, y, z) tels que z = f (, y). Ici, o représete seulemet les poits (, y, z) tels que : = y, z = f (, ) = et y =, z = f(,)=. Cel permetdevisuliser l discotiuité de f e (, ). 69 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

72 Alyse PC-PSI Soit u = + iy U\{ } ( et y sot les prties réelle et imgiire de u). O cherche u ds ] p, p[ tel que = cos u et y = si u. u Si u ] p, p[, lors p, p. Il fudr doc que : Doc : + = t u = cos u = +t u +t u = et t u et y = +t u. y + =t u, d où u = Arct y +. O obtiet u uique u dot o vérifie isémet qu il est bie solutio. Ceci ssure l bijectivité de l pplictio. L foctioargumet est doc défiiepr l formule: u U\{ } Arg (u)=arct Im u +Reu. Or, les pplictios u Im u et u Re u sot cotiues de C ds R, et + Re u e s ule ps sur U\{ }. De plus, l foctio Arctgete est cotiue sur R, lcotiuité de l foctioargumet e découle. Notos u = e i(p ) et v = e i( p+ ). Alors : lim u = lim v = ; Arg(u ) = p + + ;Arg(v ) = p +. Les suites (Arg(u )) et (Arg(v )) ot ps l même limite. LfoctioArgumet est ps prologeblepr cotiuité e. Pour s etrîer :e. 5. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3 Reltios de compriso des foctios Ds ceprgrphe, (E, E ) et (F, F ) sot deu espces vectoriels ormés, f désige ue pplictio de A ds F et w ue pplictio de A ds K, est upoit dhéret à A. O suppose que w e s ule ps u voisige de, suf peut-être e, c est-à-dire : r > B r = A BO(,r)\{} w() =. 3.. Reltio de domitio L foctio f est dite domiée pr w u poit si : K R d > A BO(,d)\{} f() F K w() O écrit lors f = O(w), ou, s il estécessire de préciser le poit, f = O(w). Rpport Mies-Pots, 3 «Les otios de limite et d équivletsot vgues...» 7

73 3. Cotiuité Théorème L foctio f est domiée pr w u poit si, et seulemet si, l foctio w f est ue foctioborée u voisige de. 3.. Reltio de égligebilité L foctio f est dite égligeble devt w u poit si : > d > A BO(,d)\{} f() F w() O écrit lors f = o(w), ou, s il estécessire de préciser le poit, f = o(w). Théorème L foctio f est égligeble devt w u poit si, et seulemet si, l foctio w f dmet pour limite F u poit Foctios équivletes (rppel) Soit I u itervlle de R, u poit dhéret à I, g et h deu pplictios de I ds R e s ult pssur I\{}. O dit que lesfoctios g et h sot équivletes u voisige de ou équivletes e si : O écrit lors : g() h(). h() lim g() =. Théorème Les propriétés suivtessot équivletes : g() h(). w R I h() = g()( + w()) lim w() = h() = g()+o(g()). Vous démotrerez ces équivleces Compriso des foctios de référece (rppel) Au voisigede +, lorsque, b et g sot > : (l()) g = o( b ) et b = o(e ). Au voisige de, lorsque et b sot >, (l()) = o b. Pour s etrîer :refire les eercices de Première ée sur lesujet. Les ottios : f = o(w) et f = O(w) e sot ps des églités, mis des reltios d pprtece. Écrire f = o(w) sigifie que f pprtiet à l esemble des foctios égligebles devt w u poit. Rpport ENS Cch, «Lottioo() désige ue clsse de foctios et s mipultio ds des epressios lgébriques écessite u miimumdesoi.» Rpport Mies-Pots, 3 «Orecotre: t ep( t) + ep( t). De tels bus e peuvet être cceptés.» Les mêmes précutios que pour les suites équivletes sot à predre vec les foctios équivletes. Rpport Mies-Pots, 3 «De ombreu étudits cofodet développemets limités et équivlets, isi il est ps rre de recotrerpr eemple : cos. De plus, l recherche d équivlets, même simples, posesouvet problème» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

74 Alyse PC-PSI Applictio Étude d ue foctiodécroisste (etrit de Cetrle 93, mth ) O désige pr f ue pplictiocotiue,positiveetdécroisstede R + ds R. ) Ds cette questio, o supposeque : f () = +. lim + Motrerque + f (t)dt = + o( f()). ) Ds cette questio, o suppose que f est de clsse C. Motrerque : ( f () = + o( f ())) ( f () + f ( +)). Esuppostdeplusque f est covee,prouver l réciproque. ) Pour tout ],[ : + f (t)dt = + f(t)dt f()+( ) f ( + ) f (t)dt O e déduit: ], d[ G() f(). O prouvé que G() = + o( f ()). ) Nous llos prouver que : f () f ( +)= + o( f()). Puisque f est décroissteetdeclsse C : + f () f ( +)= + = f (t)dt f (t) d t. Fios >, scht que f = + o( f ), il eiste A > tel que : (t A) ( f (t) f (t)). y f()+ f() () O e déduit que, pour A et t ds ], +[ : f (t) = f (t) f(t) f(). Itégros sur [, +]: c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit f () f ( + ) + + Doc. 4. Puisque f est décroisste, l ire représetée pr + f (t)dt est plus petite que l somme des iresdes rectgles trmés. Notos G() = + ],]. D près (),o: G() f()+ f Scht que telque : f (t)dt et fios ds f = f () + f () lim f () = +, ileiste d > + ], d[ f f (). + O doc : + f (t)dt = f() f( +) f ()dt = f(). ( A) ( f () f ( +) f()). Ceci prouveque : c est-à-dire : f () f ( +)= + o( f()) f () + f ( +). L pplictio f estdeclsse C et le théorème des ccroissemets fiis permet de dire que : > c ], +[ f(+) f()= f (c). 7

75 3. Cotiuité De plus, f est covee et décroisste, doc : et f (c) f ( +) f ( +) f() f(+). Fios >. Scht que f () + f ( +), il eiste A > tel que, pour A : f () f ( +) f(+). Doc : ( A) ( f ( +) f(+)). Nous vos prouvé que : f ( +)= + o( f(+)) doc : f = + o( f ). 4 Applictio cotiue sur ue prtie 4.. Défiitio et propriétés de bse O ditquel pplictio f est cotiue sur A (oucotiuede A ds F) si f est cotiue e tout poit de A. Rpport CCP,997 «Deombreu risoemets fu oubsurdesliés à l otiode foctiocotiue suruitervlle.» Nottio L esemble des pplictios cotiues de A ds F est oté C(A, F) ou C (A,F). Lorsque F = K, obrège C(A, K) e C(A). C(A,F) est u sous-espce vectoriel de F A = F(A, F). C(A) est ue sous-lgèbre de K A. Si u est ue foctio cotiue de A ds K et f ue foctio cotiue de A ds F, lors l foctio uf estue foctiocotiue de A ds F. Si F estdedimesio et si l o ote B uebsede F, et f,..., f lespplictios compostes de f ds l bse B, lors : f C(A, F) i [[, ]] f i C( A). Si f estue foctiocotiue de A ds K qui e s uleeucu poitde A, lors l foctio f est cotiue sur A. Notos B ue prtie de F. Si f est cotiue de A ds F, g cotiue de B ds G, etsi f(a) B, lors g f est cotiue de A ds G. Eemples Soit f : R (,..., ) f (,..., ) R Si f est cotiue sur R, lors, pour tout (,..., ) de R, les pplictiosprtielles : f i R R f (,..., i,, i+,... ) sot cotiues sur R. (Utiliser l compositiodes pplictios cotiues.) L réciproque est fusse. Rpport Mies-Pots, «Lcotiuité est souvet ml justifiée... L cotiuité prtielle etrîe ps forcémet l cotiuité u ses de l orme e géérl.» 73 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

76 Alyse PC-PSI L foctio f défiiesur R pr : y f (, y) = +y si (, y) = (, ) si (,y) = (, ) estps cotiue e (, ). Cepedt les pplictios prtielles ( f (,)) et (y f (, y)) sot cotiues e. (E, E ), (F, F ) et (G, G ) sot trois espces vectoriels ormés. Soit I ue prtie o vide de G et g ue pplictiocotiue de I ds F. O ote w l pplictiosuivte: E I F w: (,t) w(, t) = g(t) L pplictio w est cotiue sur E I. Aisi,l pplictio h de R ds R, défiie pr: est cotiue sur R. h(,t)=(t+t,+). Rpport X-ESPCI, «...cotiuité souvet ffirméess preuve.» Rpport X-ESPCI, «Ilest rre de trouver ue démostrtio correcte de l cotiuité de y f(, y, u(y)).» Toutefoctiopolyôme des vribles (,..., ) est cotiue sur K. (PSI). Aisi,le cours d lgèbre liéire motre que l foctiodétermit : M (C), C M = (m ij ) Det(M) est ue foctio polyôme des vribles m i, j. C est doc ue foctio cotiue. Ue foctio rtioelle de Toute foctio rtioelle f des vribles (,..., ) est cotiue vribles estuquotiet de foctios polyômes de ces vribles. surso domiededéfiitio D. Pour s etrîer :e. 6. Applictio c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Motrerque l foctio f, défiiesur R 3 pr f (, y, z) = ( +y,si(y), z ), estcotiue sur R 3. ) Motrerque l pplictio g :(,t) t e t est cotiue sur R. Troiseemples de foctios cotiues +t + 3) Motrer que l pplictio h, défiie pr h(, y) = y est cotiue sur R R +. ) L pplictio f est ue pplictio de R 3 ds R 3. Notos f, f et f 3 les pplictios compostes de f. O remrque que f et f 3 sot des foctios polyômes e (, y, z). De même, l pplictio (,y,z) y est ue foctio polyôme e (, y, z) etlfoctio sius est cotiue sur R. Le théorème de compositiodes pplictios cotiues permet d e déduire que f est cotiue sur R 3. Doc f est cotiue sur R 3. ) L pplictio g est leproduit des deu pplictios (, t) t +t + et (, t) et. t L pplictio: (,t) +t + est ue foctiortioelle cotiue sur R. 74

77 3. Cotiuité L pplictio (,t) e t est lcomposée de l pplictio epoetielle, qui est cotiue sur R et de l pplictio (,t) t, qui est ue foctiopolyôme cotiue sur R. Doc g est cotiue sur R. 3) Puisque h(, y) = ep( l(y)), u risoemet similire u deu précédets permet de coclure. 4.. Imges réciproques d ouverts et de fermés (PSI) Théorème 3 Soit f ue pplictiocotiue de E ds F. Pour tout fermé (respectivemet ouvert), W, de (F, F ), l imge réciproque de W pr f, f (W) = { E f () W}, est u fermé (respectivemet ouvert) de (E, E ). E F W Démostrtio Soit W u fermé de F et u poit dhéret à f (W). Il eiste ue suite ( p) d élémets de f (W) qui covergevers ds (E, E). Or f est cotiue sur E, doc l suite ( f ( p)) coverge vers f () ds (F, F). De plus, pour tout p, f ( p) est ds W, cr p pprtiet à f (W). Doc f () est l limite d ue suite d élémets de W. Il est dhéret à W. O prouvé que f (W) est u fermé de (E, E). Soit W u ouvert de F. Rppelos que : f ( F W) = { E f () W} f ( W) Doc. 5. f (W) est l esemble des técédets des élémets de W. = E ( f (W)). W étt u ouvert de F, F W est u fermé de F, doc f ( F W) est u fermé de E. Filemet, f (W) est u ouvert de E. Eemple Soit g C(E, C). Détermios l ture topologique des esembles : B = { E Re (g()) > } B = { E Im (g()) = } B 3 = { E < Im (g()) p} Notos W = {z C Re (z) > }. Pr défiitio, B = g (W). Or, l pplictioprtie réelle est cotiue de C ds R et W = Re (], + [), doc W estuouvert de C. Scht que B = g (W) etque g est cotiue, B est uouvert de E. Posos V = {z C Im (z) = }.V estufermé de C et B = g (V ). L cotiuité de g permet de coclure que B est ufermé de E. Lorsque E = C et g = Id C (doc. 6), Cet esemble estiouvert,ifermé Imge d u compct B 3 = {z C < Im (z) p}. Théorème 4 Si f est cotiue sur A et si K est ue prtie compcte de (E, E ) icluseds A, lors f (K ) est ue prtie compctede (F, F ). p z = w=pi B 3 Doc. 6. z = est dhéret à B 3, mis estps ds B 3. w = ip estds B 3, mis est ps u poit itérieur à B 3. L démostrtiodecethéorème est pseigibledes étudits. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 75

78 Alyse PC-PSI Dslecs où F = R, ucorollire du théorème précédet s éoce comme suit : Corollire4. Soit A ue prtie compcte o vide de l espce vectoriel ormé (E, E ) et f ue pplictio cotiue de A ds R, lors f est borée et tteitses bores sur A. E d utres termes,sous ces hypothèses,opeut écrire : M R A A A Démostrtio f () M f( ) = if f () = mi { f (), A} A f( ) = sup f () = m { f (), A} A D près le théorème précédet, f ( A) est u compct de R, doc ue prtie fermée, borée de R. L pplictio f est doc borée. De plus, l bore supérieure d ue prtie o vide et mjorée de R est upoit dhéret àcette prtie. Doc sup( f (A)) est u poit dhéret à f(a), mis f (A) est ue prtie fermée de R, doc sup( f (A)) est ds f (A). Le risoemet est idetique pour l bore iférieure Applictios lipschitziees Pour s etrîer :e. 7. L pplictio f de A ds F est dite lipschitziee sur A si : Rudolph Lipschitz (83-93), mthémticiellemd. So trvil sur les équtios différetielles le coduit à itroduire l otio defoctios que ous ppelos mitet lipschitziees. k R + (, y) A f () f (y) F k y E. O ditussi que f est k-lipschitziee sur A. Théorème 5 :Cotiuitédes pplictioslipschitziees Toutepplictiolipschitziee de A ds F est cotiue sur A. Cocours Mies-Pots, 997 «Lotio d pplictio lipschitziee estps ssimilée.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Eemples fodmetu E utilist l iéglité des ccroissemets fiis,vous prouverez : Uepplictiodeclsse C et de dérivée borée d u itervlle I ds R est lipschitziee sur I. Étt doé u espce vectoriel ormé (E, E ), o sit que : (, y) E Ceci permet de coclure que E (E, E ) ds R. E y E y E est ue pplictio -lipschitziee de Elle est doc cotiue sur E. O e déduit que si (u ) est ue suite de vecteurs de E qui coverge vers ds (E, E ), lors l suite réelle (u E ) covergevers E.! Il eiste des pplictios cotiues, o lipschitziees. Pr eemple,lfoctio: R + R f :. E effet : y y = y et, pour tout réel M, il eiste (, y) (R + ) telque y M. O e déduit que f est ps lipschitziee.

79 3. Cotiuité Théorème 6 :Compositiod pplictioslipschitziees A étt ue prtie de E, B ueprtie de F, si f estue pplictio lipschitziee de A ds B et g ue pplictio lipschitziee de B ds G, lors g f est ue pplictiolipschitziee de A ds G. Pour s etrîer :e. 8. Applictio 3 Quelques propriétés des foctios lipschitziees de R ds R (D près Cetrle 96, Mth, optio MetP ) O désige pr f et g deu pplictios de R ds R. ) O supposeque f est dérivblesur R. Prouver que f est lipschitziee sur R si, et seulemetsi, f est borée sur R. ) O suppose que f et g sot lipschitziees et borées sur R. Motrerque l foctioproduit fg est lipschitziee sur R. 3) Motrerquele produitde deufoctioslipschitziees est ps écessiremet ue foctio lipschitziee. 4) O suppose que f est lipschitziee sur R. Motrer qu il eiste deu réels positifs Aet B tels que : R f () A + B. 5) O suppose que f vérifie lpropriété suivte: M R (,y) R ( y ) ( f () f (y) M y ). Prouver que f est lipschitziee sur R. ) Supposos f K-lipschitziee sur R. Pour tout couple (,y) deréels disticts, o : f() f(y) y K. Puisque f est dérivble, pssosàllimite qud y tedvers, ous obteos : R f () K. Réciproquemet, l iéglité des ccroissemets fiis permet d ffirmer que, si f estborée, lors f est lipschitziee. ) Supposos que f et g soiet respectivemet k-lipschitzieeet l-lipschitziee. Notos f = sup f et g = sup g. Pour tout couple (,y) deréels, o sit que : f ()g() f (y)g(y) = f ()(g() g(y)) O e déduitque : + g(y)( f () f (y)). f ()g() f (y)g(y) ( f l+g k) y. Doc fg est lipschitziee. 3) Cosidéros le cs où f = g = Id R. Les foctios f et g sot -lipschitziees.leur produit est l foctio ( ) qui est dérivble et de dérivée o borée sur R. Doc fg est pslipschitziee sur R. 4) Supposos que f soit A -lipschitziee. Alors : (, y) R f () f (y) A y E pret y =, o trouve: R f() f() f() + f () A + f () 5) Fios et y deu élémets disticts de R. Pour l rédctio, supposos : < y. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 77

80 Alyse PC-PSI Si y, o sit déjàque : f () f (y) M y. Si y >, l esemble des etiers compris etre et y est o vide. Notos-les ds l ordre croisst,..., p et posos = et p+ = y (doc. 7). = 3 p p E y + E ( ) = y = p+ Doc. 7.,..., p sot lesetiers compris etre et y. O peut écrire : p f (y) f () = ( f ( i+ ) f ( i )) p f ( i+ ) f ( i ). Prcostructio, i+ i, doc : p f (y) f () M i+ i = M y. L pplictio f est lipschitziee. 5 Cs des pplictios liéires c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 78 Théorème 7 Étt doé deu espces vectoriels ormés de dimesiofiie, (E, E ) et (F, F ), et f ue pplictioliéirede E ds F, lors : K R E f() F K E ; f est lipschitziee sur E et cotiue de E ds F. Démostrtio Notos (e,...,e ) ue bse de E. U élémet de E s écrit: = ie i, : i= f() F = i f(e i) i= F i f(e i) F. Posos M = m f (ei)f, lors : f ()F M i. Misous svos que i i= l pplictio N défiie sur E pr : N () = i est ue orme sur E qui est de dimesiofiie, doc : i= L eistece de K =cm est doc étblie. i= c R + E N () c E. Pour le secod poit, lcostte K détermiée u premier poit et l liérité de f permettet d écrire : Eemple (,y) E f() f(y) F = f( y) F K y E. O muit E = R du produit sclire coique et l o ote l orme euclidiee ssociée. Soit f u utomorphisme orthogol de E. E f () =.Ici, K = coviet. L hypothèse deldimesio fiieest essetielle. Cosidéros,eeffet : E = R[X] = F et posos, pour tout polyôme P tel que p P(X) = j X j : j= N(P) = m { j j p} (E,N) est u espce vectoriel ormé de dimesioifiie; l opérteurdedérivtio: E E D: P D(P) = P est uedomorphismede E ; pour tout : N(D(X )) =, lors que : N(X ) =. E fit, D est ps ue pplictio cotiue de (E, N) ds (E, N). X Regrder l suite X suite imge D. et l

81 3. Cotiuité Applictio 4 Liérité et mjortio Soit E = R [X] et S lfoctio défiie sur E pr S(P) = sup P(). [,] ) Motrerque,pour tout complee z, il eiste u réel k > tel que : P E P(z ) ks(p) () ) Détermier l plus petite costte k permettt d obteir l reltio () lorsque = et lorsque =. ) L pplictio S estue orme surle R-espce vectoriel de dimesio fiie E et, si l o cosidère C comme u R -espce vectoriel, l foctiov- leurbsolue est ue orme sur C. E C L pplictio f : est liéire. P P(z ) Le théorème 7 ous ppred l eistece d u réel c > tel que : P E f (P) = P(z ) cs(p). ) Lorsque =, L plus petite costte cherchée est k =. Lorsque =, les élémets de E sot de l forme P() = + b et pour u telpolyôme : S(P) = sup P() = + b. [,] Prilleurs : P(z ) = z + b et P(z ) z + b. Si z, lors : P(z ) + b S(P). Ceci est vlble pour tout élémet P de E. De plus, pour les polyômes costts, o toujours P(z ) = S(P). Doc, ds cecs, l plus petite costtecherchée est k =. Si z >, lors : P(z ) z + b z z S(P). Ceci est vlble pour tout élémet P de E. De plus, pour les moômes de degré : P()=, o P(z ) = z S(P). Doc, ds ce cs, l plus petite costte cherchée est k = z. O prouvé que : P R [X] P(z ) m(, z )S(P). Et k = m(, z ) est l costte l plus petite possiblevérifit (). 6 Cs des pplictios biliéires Théorème 8 (E, E ), (F, F ), (G, G ) étt trois espces vectoriels ormés de dimesiofiieet B ue pplictiobiliéirede E F ds G, lors : K R (,y) E F B(,y) G K E y F B est cotiue sur E F. Démostrtio Notos (e,...,e ) ue bse de E et ( f,..., f p) ue bse de F. U élémet de E s écrit : = B(, y) = B ie i, i= ie i et u élémet y de F : y = i= p y j f j = j= i= p i y j B(e i, f j) j= p y j f j, j= c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 79

82 Alyse PC-PSI Doc B(, y) G i= p i y j B(e i, f j) G. j= Procédos de mière logue àceque ous fîmes pour lespplictios liéires. Notos : p N E ie i = m i et NF y j f j = m y j. i jp i= N E et N F sot respectivemet des ormes sur E et F et o peut écrire : p (, y) E F B(, y) G N E ()N F (y) B(e i, f j) G. j= Utilisos le fit que E et F sot de dimesio fiie : (M, M ) (R + ) (, y) E F N E() M E et N F (y) M y F. i= j= p Posos M 3 = i= j= B(e i, f j) G,oobtiet : (, y) E F B(, y) G M M M 3 E y F. Pour étblir l cotiuité de B, fios et y ds E F. Doc : (, y) E F B(,y) B(,y ) = B(,y y )+B(,y ) B(, y) B(, y ) G B(, y y ) G + B(, y ) G B(, y) B(, y ) G K E y y F + K E y F () Or, E F est u espce vectoriel de dimesio fiie cr E et F le sot. Doc, si (, y) ted vers (, y ) ds E F, lors ted vers ds E et y ted vers y ds F. L iéglité () se trduit pr : lim B(, y) B(, y)g = (,y) (,y ) et ceci prouve lcotiuité de B. Eemples c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit E u R-espce vectoriel de dimesiofiie, u produitsclire sur E et l orme euclidiee ssociée. L iéglité de Cuchy-Schwrz ous ppred que : (, y) E E y y. Tout produitsclire sur E est ue pplictiocotiue sur E E. Soit (F, F ) u K -espce vectoriel ormé de dimesiofiie. O sit que : (, ) K F F = F. L pplictio ((,) ) est cotiue sur K F. (PSI)Soit E u R -espce vectoriel de dimesiofiie. Motros que A = {(v, w) E (v, w) est ue fmille libre} est uouvert de E. Notos u produitsclire sur E et l orme ssociée. 8

83 3. Cotiuité D prèsl iéglité de Cuchy-Schwrz et socs d églité : Défiissos l pplictio: A = (v, w) E vw v w >. f : E E R (v,w) f(v, w) = vw v w Les pplictios : (v, w) v, (v,w) w, (v,w) v w sot cotiues sur E E. Doc f est cotiue sur E E. A = f (], + [) est uouvert de E E. Pour s etrîer :e Norme d pplictio liéire (PSI) 7.. Défiitio de f (E, E ) et (F, F ) étt deu espces vectoriels ormés de dimesio fiie et f ue pplictio liéire de E ds F, ous svos qu il eiste u réel K tel que : E prticulier : E E f () F K E. E f() F K. Doc, l esemble { f () F ; E } est ue prtie o vide et mjorée de R. Il dmetue bore supérieure que ous otos. Aisi : 7.. Propriétés de f = sup f () F. E O désige pr f ue pplictioliéirede E ds F. Théorème 9 Pour tout de E, o: Démostrtio f() F f E. Pour = E, outilise le vecteur uitire y = E.! L vleur de f déped desormes E et F utilisées, même si l ottio f y fit ps référece. Rpport Cetrle, «L idée de orme d ue pplictio liéire est mifestemet très mlcomprisedeltrèsgrde mjorité des cdidts. E effet, très peu ot compris que c est decel qu il s gissit et... beucoup de ml àtriter lquestio qui reposit sur lesimple fit que l orme clculéeduprojecteur est.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 8

84 Alyse PC-PSI Corollire9. Pour tout de E, o: f = sup = E f () F E. Démostrtio Du théorème 9, ous déduisos l iéglité : f () F sup = E E f. Pour l iéglité iverse, pour tout y o ul de E tel que y E, o remrque que : Et comme f = f(y) F f(y)f y E sup = E f () F E. sup f (y) F, oobtiet bie : y E f sup = E f () F E. L secode propriété étudiée ds ce prgrphe cocere l compositio des pplictios. Cosidéros (E, E ), (F, F ), (G, G ) trois espces vectoriels de dimesio fiie pour simplifierles ottios,ous écriros : u L(E, F) u = sup u() F E v L(F, G) v = sup v(y) G y F w L(E, G) w = sup w() G E c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème Pour tout u de L(E, F) ettout v de L(F, G), o : v u v u. Théorème L pplictio défiitue orme sur L(E, F), ppelée orme d pplictio liéire subordoée à E et F. Démostrtio Prcostructio : f L(E,F) f Si f =, d près l défiitio, o : E f() F f E =. Doc : E f() = F, et f est lfoctioulle. Rpport X-ESPCI, «L otio de orme subordoée est coue de beucoup ;certies copies, émois fot étt de choses délirtes...» 8

85 3. Cotiuité l K f L(E,F) l f = sup l f () F = sup l f() F = l f. E E Efi, étt doés deu élémets f et g de L(E, F), o peut écrire, pour tout tel que E, Aisi : ( f + g)() F f () F + g() F f + g. f + g = sup ( f + g)() F f + g. E 7.3. Le cs de L(E) Lorsque E = F et E = F, lfoctio défiit lors ue orme sur l lgèbre L(E). Cette orme vérifie de plus les deu propriétés suivtes que ous vous lissos prouver : Id E = (f,g) L(E), f g f g Ue orme défiie sur ue lgèbre et vérifit ces deu propriétés supplémetires est ppe- O e déduitpr récurreceutroisièmerésultt bie utile : f L(E) N f f. lée orme d lgèbre. Applictio 5 Pour s etrîer :e.. Quelques clculs de ormes d edomorphismes L espce vectoriel R estmui de s structureeuclidiee usuelle et désige l orme euclidiee : (, y) = + y. O ote L l orme d edomorphisme sur L(R ) ssociée à : (, y) (,) f L = y sup f (, y). (,y) (,) (,) yy (,) y (,) (,) ( y,) (,) Doc. 8. Le projecteur sur R(, ) prllèlemet à R(, ). Clculer f L lorsque f est : ) ue rottioouue symétrie orthogole; b) le projecteur sur R(, ) prllèlemet à R(, ). ) Les rottios et symétries orthogoles de R sot des isométries.si f estue isométrie, lors : (, y) R O e déduit f L =. f (, y) = (, y). b) Soit f le projecteur sur R(,) prllèlemet à R(, ). L églité (, y) = ( y,)+(y,y) prouveque f (, y) = ( y,). Doc : f (, y) = ( y) = + y y ( + y ). Doc f (, y) (, y). et f L. De plus f (, ) = = (, ). O e déduit f L =. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 83

86 Alyse PC-PSI 7.4. Eemples Les vecteurs sot otés mtriciellemet et o idetifie L(E, F) et M p, (K). (Ici E = K et F = K p.) y p Pour X =. et Y =., X E = j et Y F = y i. y j= i= p Si M = (m i, j ) est ue mtrice de M p, (K), ous vos déjàrecotré : p Nous oteros ussi Motros que colorm(m) = m j i= m i, j M = sup {MX F X E }. M = colorm(m). Notos (V,...,V ) lbsecoique de K. Soit X u vecteur de K : MX = M j V j = j MV j, j= j= et p MX F j m MV j F = X E m m i, j. j j j= Doc MX F X E colorm(m) et M colorm(m). p p Soit j tel que m ij = m m i, j = color m(m), puisque j i= MV j est levecteur coloe d idice j de l mtrice M, o: i= MV j F = colorm(m) et V j E =.. i= Doc colorm(m) = MV j F M V j E = M. L espce vectoriel M (K) est mui de l orme colorm. M (K) M (K) L pplictiodetrspositio: F: M F(M) = t M c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit est liéire et M (K) est de dimesiofiie. Doc F est cotiue. Clculos F = sup {colorm(f(m)) colorm(m) }. Si M = (m i, j ) est ue mtrice de M (K), ous svos que : p colorm(m) = m m i, j. j O e déduitque si colorm(m), lors,pour tout (i, j), m i, j et: colorm (F(M)) = m m i, j. i Pour prouver que F =, ilsuffit de trouver ue mtrice M telle que : i= j= colorm(m) = et colorm(f(m)) =. Essyer: M =

87 3. Cotiuité Pour prouver que l foctio f dmet b comme limite u poit, opeut: utiliser l défiitio; utiliser les foctios compostes de f lorsque l espce F est dedimesiofiie ; décomposer f et utiliser les opértios surles limites. Pourprouverquel foctio f est cotiue upoit, omotreque f dmet f () comme limite e. Pour prouver que l foctio f dmet ps b comme limite upoit, ocostruitue suite ( ) d élémetsdeequi covergevers et telle que l suite ( f ( )) e covergeps vers b. Pour prouver que l foctio f dmet psdelimite upoit, opeut: trouver ue suite ( ) d élémets de E qui coverge vers et telle que l suite ( f ( )) it ps de limite ; motrer que f estborée ds ucue bouledecetre ; costruire deu suites ( ) et (y ) d élémetsde E qui coverget vers et telles que les suites ( f ( )) et ( f (y )) e coverget ps vers l mêmelimite. Pour pouvoir prologer pr cotiuité lfoctio f u poit, il suffitdemotrer que f dmetue limite e. Pour prouver qu ue foctio f est cotiue sur A, o peut : décomposer f e foctios plus simples (polyômes, frctios rtioelles, produits, composées,...) et utiliser les opértios sur lesfoctios cotiues ; motrer que f est cotiue e chque poit de A ; motrer que f est lipschitziee sur A. Progrmme PSI Pour prouver qu ue prtie V de E estfermée (respectivemet ouverte), il suffitdetrouver ue pplictio cotiue de E ds F, f, etue prtie fermée (respectivemet ouverte) de F, W, telle que f (W) = V. Sur L(E, F), l orme d pplictio liéiresubordoée à E et F est défiie pr: f () F f = sup f () F = sup. E = E E Pour clculer f, o peut procéder comme suit : trouver ue costte K telle que f () F K pour tout telque E ; ou trouver ue costte K telle que f () F K E pour tout de E. Ds les deu cs f K. Esuite ds le cs où E est dedimesiofiie : lorsque l o pese voir «l meilleure costte» K, o s e ssure e chercht u vecteur o ul v tel que f (v) F = K v E. O peut lors coclureque f = K. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 85

88 Alyse PC-PSI Eercices résolus. Ue équtio foctioelle ÉNONCÉ Nousllosdétermierl esemble desfoctiosde R ds R, cotiuese u poitet vérifitl reltio suivte ds lquelle désige ue costteréelle : ) Que remrquez-vous? (, y) R f ( + y)+ f( y)=f()f(y) () ) Prouver que (u, v) R f (u)+ f(v) = f(u+v)f(u v).e déduire l cotiuité de f e. 3) O fie f. Clculer lim y 4) Prouver que f est declsse C sur R. 5) Motrerque (, y) R f () f (y) = f (y) f (). 6) Détermiertoutes lessolutios de (). f ( + y)+ f( y) et lim y f ( + y) f ( y). E déduire que f estcotiue sur R. CONSEILS Cherchez lesfoctios costtes solutios du problème. Que dire si =? Peut-o clculer fcilemet certies vleursde f? SOLUTION ) Soit k u réel. L pplictio costte ( k) est solutio si, et seulemet si, k = k. O trouve k = et, lorsque =, k =. Si =, o pred y = ds ().Lfoctioulle est l seulesolutio de (). Si =, le problème ue solutio costte o ulle. Ds l suite, o suppose = etodésige pr f ue solutioo ulle de (). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L recherche de «propriétés évidetes»est toujours ouverte. Àvous, le jour de l orl, del erichir de remrquespertietes. Soit u réel tel que f () = et y =. D près (), f () =. ) Il suffit deposer = u + v et y = u v pour obteir: (u,v) R f(u)+ f(v) = f(u+v)f(u v). () Ds (), preos pour u u poit de cotiuité de f et fisos tedre v vers. lim v f ( v) = f (u) f( u) = f (). O e déduitlcotiuité de f e. 3) Fios ds R. O sit que lim y f (y) = f () =. Doc : E utilist (),otrouve: lim[ f ( + y)+ f( y)] = f (). y lim f ( + y) f ( y) = y ( f ()+ f()) = f (). 4 Doc : lim f ( + y)+ f( y) f(+y) f( y) =. y 86

89 3. Cotiuité Trouver ue reltio etre l foctio cotiue f et ue primitive F de f. Aisi : f ( + y)+ f ( y) lim y O e déduit: lim f ( + y) = f (). y C est lcotiuité de f e. 4) O pose F() = = f() et lim f ( + y) f ( y) =. y f (t)dt. L pplictio f est cotiue sur R et f est ps lfoctioulle, doc s primitive F o plus.soit b réel tel que : F(b) = b f (y)dy =. Itégros (y f ( + y)+ f( y)) sur [, b]. R b f ( + y)dy+ b f( y)dy =f() b f(y)dy. E post u = + y ds l première itégrle et v = y ds l deuième, o obtiet : R F( + b) F( b) = f()f(b). (3) Or f est cotiue sur R, doc F est declsse C sur R. De plus, F(b)=. O déduit de(3) que f est declsse C sur R, doc F est declsse C. Prrécurrece, o prouveque f est declsse C. 5) Cosidérosl églité () pour y fié : f(+y)+ f( y)=f()f(y). Dérivos deu fois(l vrible est ) : f ( + y)+ f ( y) = f () f (y). Procédos de même e fit et e dérivt pr rpport àlvrible y : f ( + y)+ f ( y) = f()f (y). Doc : (, y) R f () f (y) = f () f (y). 6) Soit y u réel telque f (y) =. Notos k = f (y). L foctio f (y) f est solutiodel équtiodifféretielle : f = kf. (4) Si k =, lors f estue foctiopolyôme de degré etlreltio () vous permettrdeprouver que f est costte. O est rmeé u ). Si k = >, lors f est delforme : f () = c ch ( )+c sh ( ). L vleur e etlreltio () permettet de prouver que : R f () = ch ( ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 87

90 Alyse PC-PSI Si k = <, lors f est delforme : f () = d cos( )+d si( ). L vleur e etlreltio () permettet de prouver que : R f () = cos( ). Réciproquemet,vous vérifierez que, pour tout réel, les foctios : ch ( ) et cos( ) sot solutios du problème.. Ue suite demtrices (PSI) ÉNONCÉ ) Soit B, C deu mtrices de M (C) et (M p ) ue suite covergetede M (C). Prouver que : lim (BM pc) = B( lim M p)c. p + p + Dslsuite, N est ue orme sur E = M (C) telle que : (A, B) (M (C)) N(AB) N(A)N(B). () ) Motrer que, si N(A) <, lors I A est iversible. Eprimer lors (I A) e foctio des puissces de A. 3) Soit A et B deu mtrices de M (C). Prouver que I AB est iversible si, etseulemet si, I BA est iversible et eprimer lors (I BA) e foctiode (I AB). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit CONSEILS Utiliser l suite géométrique de mtrices (A p ). SOLUTION ) L pplictio (M BMC) est u edomorphismede M (C). C est doc ue pplictiocotiue sur M (C) et: C. lim (BM pc) = B p + lim p + M p ) Notos I l mtrice idetité M (C) etcoveos que A = I. Il est élémetire de prouver : p (I A) A k = I A p+ () p Si ous posos S p = A k, ous défiissos ue suite d élémets de M (C) et: m+p m+p N(S m+p S m )=N A k N(A k ) m+ m+ m+p (N(A)) k = (N(A)) m+ N(A). m+ 88

91 3. Cotiuité O pourr étudier d bord le cs : N(A) < et N(B) <. O déduit deces iéglités que l suite (S p ) est ue suite de Cuchy de l espce vectoriel ormé de dimesio fiie M (C). Elle coverge vers ue mtrice S. Or, lsuite (A p ) covergevers l mtrice ulle. L reltio () ous doe lors (I A)S = I, cequi etrîel iversibilité de l mtrice (I A) etlformule: (I A) = S = lim p + p A k. 3) D près l questio précédete, si A et B ot toutes deu ue ormestrictemetiférieureà,lors AB et BA ussi d près (),doc I AB et I BA sot iversibles. De plus,olors : (I AB) = lim p + p (AB) k = = I + lim p + =I + A lim p + lim p + p (AB) k = I + p I + p (AB) k lim A p + p (BA) B k (BA) B k =I + A(I BA) B. Soit A et B deu élémetsquelcoques de M (C) telsque I BA soit iversible. Motros qu il e est de même de I AB et que : Pour cel, il suffit declculer : (I AB) = (I + A(I BA) B) (I AB)(I + A(I BA) B) =I AB+A(I BA) B ABA(I BA) B =I AB+A (I BA) BA(I BA) B =I AB+A(I BA)(I BA) B=I. D où le résultt. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 89

92 Eercices c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit u réel.pour tout de R, opose : +si f () =. Étudier, efoctio de, les limites àdroite et àguche de f e. Soit (E, ) uespce vectoriel ormé de dimesio fiie et h ue pplictio de E ds E. O suppose que : h dmet ue limite, L, e E. E h = h(). Prouver que h est costte. Ds cet eercice, et b sot des réels > ete désige l foctioprtie etière. b ) Clculer lim + E b et lim + E. b ) Clculer lim E b et lim E. O fie et b deu réels >. Clculer : + lim. + b Soit h ue pplictiodeclsse C de R ds R et : D = (, y) R = y. O défiit l pplictio f sur R \D pr : f(,y)= h() h(y). y Prouver que f est prologeble eue foctio cotiue sur R. Soit l foctio f défiie pr : l( + y) si = f (, y) = y si =. Détermier so domie de défiitio et prouver qu elle est cotiue sur ce domie. Soit f et g deu foctios cotiues de [, b] ds R tellesque : [, b] f () > g(). Motrer qu il eiste l > tel que : [, b] f () l + g(). (PSI)Soit (E, ) uespce préhilbertie. ) Motrer que, pour tout de E, l pplictio : E C f : est cotiue sur E. ) E déduire que, pour touteprtie A de E, l orthogol de A est u sous-espce vectoriel fermé de E. Soit N ue orme sur M (K). Prouver : k R + (A, B) M (K) N(AB) kn(a)n(b) (PSI) L espce vectoriel R est mui de s structure euclidiee usuelle et désige l orme euclidiee : (, y) = + y. O ote L l orme d edomorphisme subordoée à sur L(R ): f L= sup f (, y). (,y) Soit u réel quelcoque. O désige pr p le projecteur sur R(,) prllèlemet à R(,) etpr q le projecteur sur R(,) prllèlemet à R(,). ) Clculer p L et q L. ) O ote f l ffiité pr rpport à R(,) prllèlemet à R( 3, ) de rpport. Clculer f L. c) Soit u u edomorphisme utodjoit de R. Eprimer u L e foctio des vleurs propres de u. * Soit f ue pplictiocovee de R + ds R. ) Motrer que, pour tout de R +, lfoctio: f () f () est croisste sur ],+ [. ) Motrer que ted vers +. f () 3) O suppose que l limite l de dmet ue limite ds R lorsque f () est réelle. Motrer que f () l dmet ue limite l ds R. 9

93 3. Cotiuité * Soit f et g deu foctios de [,] ds [,], croisstes et tellesque f g = g f. Motrer que f et g ot u poit fie commu. Idictio :Cosidérer : A = { [,] f() et g() } et s bore supérieure. * Détermier toutes lespplictios h de R ds R yt ue limite fiie e et telles que : t R h(t) = h(t)cos(t). * Soit (E, ) uespce vectoriel ormé et A ue prtie de E. Doer ue coditio écessire et suffiste sur A pour que l foctio crctéristique de A, A soit cotiue. Soit (E, ) uespce vectoriel ormé, d l distce ssociée à et A ue prtie o vide de E. Pour tout de E, oote d(, A) = if d(, ). O ppelle A cette qutité l distce dupoit àlprtie A. E R Motrer que l pplictio d : est d() = d(, A) -lipschitziee. que : (, y) K ( = y f() f(y)< y). Motrer que f dmet upoit fie etuseul. Soit (E, ) et (F,N) deu espces vectoriels ormés, et f ue pplictioliéire de E ds F telle que, pour toute suite borée (u ) de E, lsuite ( f (u )) soit borée. Motrer que f estcotiue sur E. Soit (E, ) uespce vectoriel ormé de dimesio fiie, F ue prtie fermée et o borée de E et ue pplictio f cotiue de F ds R telle que : lim + F f () = +. ) Soit y ds F. Motrerque f ], f(y)] est ue prtie fermée et borée de E. ) E déduire qu il eiste ds F telque : f () = if F f (). ** Motrerque, si est ds N et p ds [[, ]], l esemble {A M (R) rg (A) < p} est u fermé de M (R). O utilise lesottios de l eercice 5. ) Soit A et B deu fermés o vides de (E, ). Prouver que : (A B = [) ( E d(, A)+d(,B)=). ) Soit A et B deu fermés o vides et disjoits de (E,). Costruireue pplictio f, cotiue de E ds R et telle que : f A = et f B =. E déduire l eistece de deu ouverts disjoits U et V tels que : A U et B V. * Soit (E, ) u K -espce vectoriel. Oote L l esemble des pplictios lipschitziees de (E,) ds lui-même qui s ulet e E. Pour tout élémet f de L, o ote I f l esemble des réels k tels que f soit k -lipschitziee. ) Prouver que, pour tout f de L, I f est u itervlle. ) Motrer que ( f, g) L I f + I g I f +g. 3) Pour tout f de L, opose N( f ) = if I f. Motrer que N est ue orme sur L. * Soit K ue prtie compcte d u espce vectoriel ormé (E,) et f ue pplictio de K ds K telle * (PSI) Soit (w) ue suite d élémets de L(E) où E est u espce vectoriel de dimesio fiie. ) O suppose que, pour tout de E,lsuite (w ()) coverge ds E et l o ote f () = lim + w(). Motrer que f est u edomorphisme de E. ) Motrerque l suite (w ) covergeds L(E) si, et seulemet si,pour tout vecteur de E, lsuite (w ()) coverge ds E. (PSI) Soit (E,) uespce vectoriel ormé de dimesio fiie. O ote L de E. l orme de L(E) ssociée àlorme ) Motrer que, si p est u projecteur o ul, lors p L. ) O suppose que l orme est l orme ssociée àu produit sclire,, sur E. Crctériser les projecteurs de E tels que p L =. * (PSI) Odésige pr N, N et N les ormes usuelles sur M (K) Sur L(M (K), K), o défiit les trois ormes d pplictios liéires correspodtes,, tr est l foctio trce. Clculer tr, tr et tr. 9 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

94 Suites et séries de foctios 4 O B J E C T I F S c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9 L otio de limite de suite (ou de série umérique) coduit, lorsque l suite déped d u prmètre, àcelle de limite de suite (ou de série)defoctios. Abel,udébut du XIX e siècle, fourit, vec ( ) si(), u eemple de foctio o cotiue,somme d ue série de foctios cotiues. Cet eemple, qui serétudié vec les séries de Fourier,cotrigit sescotemporis à pprofodir l otio de covergece. Nous devos àweierstrss (84) l défiitio rigoureuse de l covergece uiforme et les propriétés développées ds les chpitres suivts sur les suitesetséries defoctios. Bire, e 98,itroduit l covergece ormle. Deu problèmes pprisset esuite.. Ue suite (ou ue série) de foctios covergete éttdoée, lfoctio limite est-elle cotiue?. Quellessuitesdefoctios «simples» pprochet ue foctio cotiue? Covergece simple d ue suite ou d ue sériedefoctios. Covergece uiforme d ue suite ou d ue sériedefoctios.(psi) Covergece ormle d ue série defoctios. Théorème d iterversio des limites pour ue suite de foctios uiformémet covergete.(psi) Théorème d iterversio des limites pour ue série defoctios ormlemet covergete. Cotiuité de l foctio somme d ue sériedefoctios ormlemet covergete. Approimtio uiforme sur [,b] des foctios cotiues pr morceu sur [,b] pr desfoctios e esclier. Approimtio uiforme sur [,b] des foctios cotiues pr des foctios polyomiles. Approimtio uiforme sur R des foctios cotiues périodiques prdes polyômes trigoométriques complees.

95 4. Suites etséries de foctios K désige R ou C. Lesfoctios cosidérées sot défiies suruitervlle I de R, (o vide et o réduit àu sigleto) et, suf metio eplicite du cotrire, àvleurs ds K. O ote F(I) le K-espce vectoriel de ces foctios. L esemble des foctios borées de I ds K, B(I), est u sous-espce vectoriel de F(I). De même, l esemble C(I) des foctios cotiues de I ds K est usous-espce vectoriel de F(I). Reé Bire (874-93), mthémticie frçis. O lui doit cerésultt étot :«l esemble des poits de cotiuité d ue foctio dérivée est dese.» Modes de covergece.. Covergece simple.. Covergece simple d ue suite de foctios Uesuite ( f ) defoctios de I ds K est dite simplemet covergete sur I si, pour tout de I, lsuite umérique ( f ()) dmet ue limite. E désigt cette limite uique pr f (), o défiitue pplictio f de I ds K, ppelée limite simple de l suite ( f );o dit que l suite de foctios ( f ) covergesimplemet sur I vers f. ( f ) covergesimplemet sur I vers f si : Eemples I > N N N f () f () () f (t) = t sur I = [, ]. L suite ( f ) defoctios covergesimplemet vers l foctio f défiie sur [, ] pr f () = et, pour t <, f (t) =. (doc..) f () = si()cos () cos(), p Soit fiéds sur I =, p., lors cos() pprtiet à [, [. L suite de foctios ( f ) coverge doc simplemet sur foctioulle. (doc..).. Covergece simple d ue série de foctios De même, l sériedefoctios u tout de I, lsérieumérique u () coverge., p vers l Pour s etrîer :e.. covergesimplemet sur I, si, pour O ppelle lors foctiosomme de l série l foctio S défiie sur I pr : S() = u ().,8,6,4, y k= k= k=3 k=4 k=5,,4,6,8 Doc.. Covergece simple sur [, ] de l suite de foctios ( f ) ÙÑ Ø¼ ؽµ Ò Ò Øµ¹ØÒ ÙÒÔÔÐÝ ÐÑØ Ò Ò Øµ ÒÒÒØݵ ص ÔÐÓØ ß Øµ Õ Ò Øµ ½ººµÐ ؼºº½µ f :=(,t) t f := 5 5 y k=,,4 k=,6,8,,4 Doc.. Covergece simple sur, p de l suite de foctios ( f ). 93 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

96 Alyse PC-PSI L série defoctios u coverge simplemet sur I vers S si : I > N N N S () S() Étudier l covergece simpled ue suite de foctios ou d ue sériedefoctios reviet àétudier l covergece d ue suite ou d ue sérieumérique dépedt duprmètre. Le domie de covergece simple est le domie de défiitiodelfoctiosomme. Rpport Mies-Pots, 3 «Pour étudier l covergece d ue suite de foctios, l représettio grphique des premières foctios de l suite (à l ide de l clcultrice évetuellemet) permet de s orieter vers letype de covergece que semble posséder l suite.» Applictio L foctio z de Riem et l foctio m O cosidèreles foctios : z() = et m() = ( ) +. z est ppelée l foctio z de Riem.,8,6 y y= S 7 ( ) y= S 5 ( ) Détermier les domies dedéfiitio deces deu foctios.,4, y= S 4 ( ) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3,5,5 y S 5 () S 4 () S 7 () Doc. 3. L foctio z de Riem. Ö ØÖØÒ Ò Üµ¹Ò ¹Üµ ËÒ Ò Üµ¹ ÙÑ ³³ ¹Üµ ³³½ººÒµ ÔÐÓØ ßËÒ Üµ ËÒ Üµ ËÒ ½ ܵРܽº¼½ººµ f:=(,) ( ) S := (, ) k ( ) k = Doc. 4. L sériedefoctios coverge verslfoctio m. Ö ØÖØÒ Ò Üµ¹ ¹½µ Ò ½µ Ò ¹Üµ ËÒ Ò Üµ¹ ÙÑ ¹½µµ ³³ ½µ ³³ ¹Üµ ³³½ººÒµ ÔÐÓØ ßËÒ Üµ ËÒ Üµ ËÒ ½ ܵРܼº¼½ººµ f:=(,) ( ) (+) ( ) S := (, ) ( )( k +) k ( ) k = L foctio z et soprologemet à C sot fodmetu e théorie des ombres. Cette foctio est eprticulier l objet d ue cojecture de Riem (86-866), reprise pr Hilbert ds so huitième problème, et toujourso élucidée. Aussi cette foctio, et l foctio m, igrédiets clssiques desproblèmes de cocours,ous fourirotelles ufilcoducteur pour les chpitres d étude des suites etséries de foctios. Aufur et àmesure de l pprofodissemet de os coissces, 94

97 4. Suites etséries de foctios ous e verros l mise e œuvre vec ces deu foctios. ) L série umérique coverge si, et seulemet si, >. Le domiededéfiitiode l foctiosomme z est ], + [ (doc. 3). ) De même, l sérieumérique ( ) + est grossièremet divergetepour fié, iférieur ou égl à.elle coverge pour > comme le motre le critère spécil des séries lterées. L foctio somme m de cette série de foctios est doc défiiesur ], + [ (doc. 4)...3 L espce vectoriel ormé (B(I), ) Cosidéros l espce vectoriel, B(I), des foctios borées de I et l pplictio: :B(I) R + f f = sup f (). I ds K Nous vos, ds le chpitre, recotré cette pplictio et motré qu elle est ue orme sur B(I ).! Nous costtos isique prler delcovergece d ue suite de foctios de ses que si l o préciseletype de covergece evisgé et l itervlle d étude... Covergece uiforme de suites et séries de foctios (PSI).. Covergece uiforme de suites de foctios Uesuite ( f ) defoctios de I ds K covergeuiformémet sur I s il eiste ue foctio f de I ds K telle que lim f f =. + Pour lespc:goto.3 Rpport Mies-Pots, 3 «...lcues ds les coissces de secode ée (covergece uiforme)...» L suite ( f ) covergeuiformémet sur I vers f équivut à: soit à: > N N N f f > N N N I f () f() () L covergece uiforme de l suite de foctios ( f ) est doc l covergece de l suite ( f f ) defoctios borées de B(I), reltivemet àl orme, verslfoctioulle. L covergece uiforme de l suite de foctios ( f ) vers f sur u itervlle I de R s eprime isi :pour tout >, il estpossiblede trouver u etier N telque, pour tout N, legrphe de f soit coteu ds l bde du pl (Oy) (doc. 5) : {(, y) I, y [ f (), f ()+ ]}. L reltio () ressemble beucoup àlreltio (), mis l positio du«i» est pslmême. Dslreltio (), l etier turel N déped de, lors que ds lreltio (), le même N covietpour tous les. Ceci justifie l termiologie «uiforme». O retrouve lefit que l covergece uiforme etrîe l covergece simple, l réciproque étt fusse, comme le motre l eemple du prgrphe suivt. Àcuse de cette défiitio, l orme est ussi ppelée orme delcovergece uiforme. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 95

98 Alyse PC-PSI Théorème Si ( f ) est ue suite de foctios de B(I) coverget uiformémet sur I vers f, lors l suite de foctios ( f ) covergesimplemet sur I vers f. Théorème :Coditio suffiste de o-covergece uiforme I étt uitervlle de R et ( f ) ue suite de foctios de I ds K coverget simplemet vers f, s il eiste ue suite ( ) depoits de I tels que l suite umérique ( f ( ) f ( )) e tede ps vers, lors l covergece de l suite ( f ) vers f est ps uiforme sur I. ε O y= f() y= f () [ ] y Doc. 5. Covergece uiforme sur [, b]. b Démostrtio E effet : N f ( ) f( ) f f Pour s etrîer :e. et3. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit.. Quelques eemples Eemple O cosidère l suite de foctios ( f ) défiie pr: R + R f : e. Étudios l covergece de cette suite de foctios. Fios d bord pour étudierlcovergece simpledelsuite ( f ). L suite ( f ) covergesimplemet vers l foctioulle sur R +. Cette covergece est-elle uiforme? Pour tout, l foctio f est dérivble et f () = e ( ). Prcoséquet : R + f () f = 4 e. L suite de foctios ( f ) covergedoc uiformémet sur R + vers l foctioulle. Eemple :Foctio«bosse glisste» Soit l foctio f défiiesur R + pr (doc. 6) : f () = si f () = si f () = si,, Ds Les méthodes ouvellesdel mécique céleste (89), Poicré voulit crctériser complètemet tous les mouvemets de systèmes méciques. Ilmotr otmmet que des développemets e série, utilisés ds le problème des trois corps, étiet covergets, mis ps uiformémet covergets e géérl,remettt isiequestio les démostrtios de stbilité de LgrgeetLplce. O y y= f () y= f () Doc. 6. Foctio «bosse glisste». 96

99 4. Suites etséries de foctios Vous prouverez que l suite de foctios ( f ) covergesimplemet vers l foctioulle. L covergece estps uiforme sur R +, cr : f = sup t R + f (t) =. Toutefois, si ous choisissos > et si ous cosidéros l restrictio des f à [,+ [, l suite de foctios ( f [,+ [ ) covergeuiformémet vers l foctioulle sur [,+ [...3 Covergece uiforme sur tout segmet J étt ue prtie de I, lorsque ( f f ) est borée sur J,oote: sup f () f () = f J f J. J Ue suite de foctios ( f ), défiies sur I et coverget simplemet sur I vers ue foctio f, covergeuiformémet vers f sur tout segmet coteu ds I si, pour tout segmet J de R coteu ds I, lsuite ( f J ) des restrictios de f à J covergeuiformémet vers l restrictio f J de f à J. E d utres termes, lsuite de foctios ( f ) coverge uiformémet vers f sur tout segmet coteu ds I si, pour tout segmet J de R coteu ds I, o: lim f J f J =. + Nous utiliseros ussi l covergeceuiforme sur des itervlles coteus ds I.Vous e verrez u eempleds l Applictio...4 Eemples Eemple Soit f :[, [ R, t t. Pour s etrîer :e. 4. Le grphe et le clcul ous idiquet que : f = sup t = t [,[ L covergece de l suite de foctios ( f ) vers l foctio ulle est ps uiforme sur [, [. Mis,si J =[,b] est u segmet de [, [, o : f J =b Lorsque ted vers +,b ted vers, doc l suite de foctios ( f ) coverge uiformémet sur tout segmet de [, [ vers l foctioulle. (doc. 8.) Eemple Soit l suite ( f )defoctios défiies sur [, + [ pr f () = ( 3 + )e. + Fios ds [,+ [: L suite umérique ( f ()) coverge. L suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur [, + [ vers l foctio f défiiepr : si = f () = ( +)e sio. Rpport X-ESPCI, «Il est fortemet coseillé u futurs cdidts de réviser les différets types de covergece des séries de foctios.» Rpport Mies-Pots, 3 «L covergece été ecore plus rremetétudiée.» y y= f() + y= f() y= f() [ ] y= f () O b Doc. 7. Covergece uiforme sur tout segmet. Lesfoctios f f doivet doc être borées sur tout segmet J de I, àprtir d u certi rg. L covergece uiforme sur I etrîe l covergece uiforme sur tout segmet de I. Mis lréciproque est fusse. Il suffit de cosidérer le premier eemple ci-cotre.,8,6,4, = = = 3 = 4 = 5,,4,6,8 Doc. 8. Covergece uiforme sur tout segmet de [, [. ÙÑ Ø¼ ؽµ Ò Ò Øµ¹ØÒ ÙÒÔÔÐÝ ÐÑØ Ò Ò Øµ ÒÒÒØݵ ص ÔÐÓØ ß Øµ Õ Ò Øµ ½ººµÐ ؼºº½µ f:=(,t) t f:= 97 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

100 Alyse PC-PSI L covergece est-elle uiforme sur [, + [? Fisos ppel àmple, ou àue clcultrice grphique, pour le grphe de et celui des f, pour llt de à. (doc. 9.) L distce etre les réels f () et f() est proche de pour proche de. t > f (t) f (t) = (t 3 + t)e t (t +)e t = e t t + t + (t +). D où: f f e /. L covergece de l suite ( f ) vers f sur [, + [ est ps uiforme. Cosidéros les restrictios de ces foctios àusegmet [, b] ( < < b). t [, b] f (t) f (t) = e t t + (t +) +b +. f [,b] f [,b] +b +. L covergece de l suite de foctios ( f ) vers f est uiforme sur tout segmet [, b] de ], + [...5 Cs des foctios borées Théorème 3 Soit ( f ) ue suite de foctios borées coverget uiformémet vers f sur I, lors l foctio f est borée. f,8,6,4, y Doc. 9.,,4,6,8 y= f( ) k= k=3 k= k= Ö ØÖØÒ Ò Üµ¹ Ò Ü Üµ ÜÔ ¹Üµµ» Ò Ü ½µ ÙÒÔÔÐÝ ÐÑØ Ò Ò Üµ ÒÒÒØݵ ܵ ÔÐÓØ ß Üµ Õ Ò Üµ ½ºº½¼µÐ ܼºº½µ f:=(,) (3 +)e ( ) + f := ( +)e ( ) Démostrtio I f () f f + f. L covergece uiforme d ue suite ( f ) defoctios borées sur I, vers f, est l covergece ds l espce vectoriel ormé (B(I), ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 4 Soit ( f ) ue suite de foctios borées sur I coverget uiformémet vers f sur I, lors l suite ( f ) vérifie le critère de Cuchy de covergece uiforme : > N N N p N f +p f <...6 Covergece uiforme d ue série de foctios Soit (u k ) ue suite de foctios de I ds K. Alors, lsuite des sommes prtielles (S ), défiie pr S () = u k (), est ue suite de foctios défiies sur I.Silsérie defoctios u k coverge simplemet sur I, o peut défiirlfoctioreste d idice sur I e post : N I R () = u k (). k=+ Rpport Mies-Pots, 3 «Certis semblet ml mîtriser l otio de covergece uiforme cr ils e préciset ps le domie de vritiodelvrible.» 98

101 4. Suites etséries de foctios L série defoctios u k de I ds K est dite covergete uiformémet (ou uiformémet covergete) sur I lorsque l suite des foctios sommesprtielles (S ) ssociée covergeuiformémet sur I. Théorème 5 Ue série defoctios u k de I ds K est uiformémet covergetesi, et seulemet si,lsérie de foctios u k coverge simplemet sur I et si l suite des foctios restes (R ) covergeuiformémet sur I vers l foctioulle. Rpport Mies-Pots3 «Il y toujours cofusio etre covergece uiforme sur tout segmet de I et covergece uiforme sur I.» Rpport X-ESPCI, «grves cofusios etre covergece simple, uiforme, uiforme surtout segmet.»..7 Covergece uiforme sur tout segmet d ue série de foctios L série defoctios u k est dite covergete uiformémet sur tout segmet de I lorsque, pour tout segmet J de I, lsérie defoctios uk J coverge uiformémet sur J. Rpport Cetrle, «Et toujours l erreur clssique : l covergece uiforme sur tout segmet [, b] de ],+ [ implique l covergece uiforme sur ],+ [.» Pour s etrîer :e. 5. Applictio Utilistioducritèrespécildes séries lterées :lfoctio m L foctio m est défiie sur R + pr ( ) m() =. ) Étudier l covergece uiformesur tout segmet de R + de l série defoctios défiisst l foctio m. ) Motrer que cette covergece est ps uiforme sur R +. ) Soit b > fié. Le critère spécil des séries lterées s pplique. b R () ( ) ( +) (+) b..3. L covergece ormle.3. Défiitio Étt doé ue suite (u k ) defoctios borées sur I, odit que l série de foctios u k coverge ormlemet sur I si l série u k coverge. Le mjort est idépedt de et ted vers. L série defoctios de somme m() coverge uiformémet sur [b,+ [, pour tout b >. ) Motros que l covergece de cette série de foctios estps uiforme sur R +. Pour tout, ( ) u + = R R +. Les foctios u, différeces de foctios borées sur R +, sot borées sur R +. Si l covergece de l série defoctios étit uiforme sur R +, lsuite (u ) urit pour limite ds l espce vectoriel ormé des foctios borées sur R +, mui de. Or, u =, ce estps le cs.! L covergece ormle e cocere que les séries de foctios. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 99

102 Alyse PC-PSI Théorème 6 Toute série defoctios u k, ormlemet covergete sur I, est simplemet covergetesur I. Rpport Mies-Pots, «Muvise coissce de l covergece ormle.» Démostrtio Soit uk ue série de foctios ormlemet covergete sur I et u poit de I. Alors, l série umérique u k() est àtermes positifs, et mjorée pr l série covergete u k, doc coverge. L sérieumérique u k() coverge bsolumet, doc l série de foctios u k coverge simplemet sur I. Rpport Mies-Pots3 «Lotio même decovergece ormle est ml coue et ecore moisbie mîtrisée.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 7(PSI) Toutesérie defoctios u k ormlemet covergetesur I est uiformémetcovergete sur I. Démostrtio I R () u k() u k =. + est le reste d ue série umérique covergete, doc ted vers lorsque ted vers +. L suite des foctios reste coverge uiformémet vers l foctio ulle sur I..3. Covergece ormle sur tout segmet O ditque l sériedefoctios u k + covergeormlemet surtout segmet de I si,pour tout segmet J de I, lsérie u k J Eemple coverge. L série qui défiit lfoctio epoetielle covergeormlemet! surtout segmet de R..3.3 Méthode prtique Théorème 8 Soit u k ue série defoctios défiies sur I, à vleursds K. S il eiste ue suite de réels ( ) telle que : N I u () l série k coverge, lors l série defoctios u k covergeormlemet sur I. Pour s etrîer :e. 6et7.! L réciproque est fusse. Cosidéros l sériedefoctios costtes ( ). Cette série de foctios est ps ormlemet covergete. Cepedt, elle coverge pour tout réel cr l série umérique ( ) vérifie le critère spécil des séries lterées et, pour tout : ( ) k R = sup k +, t R + doc l série de foctios coverge uiformémet sur R. Rpport Mies-Pots, 3 «Ecore cette ée le jury rppelle qu ilfut précisersur quel esemble lieu telle ou telle covergece.» Rpport E3A, «Les mjortios permettt d étblir l covergece ormle sot presque toujours iectes voire frfelues.» Rpport Mies-Pots, 3 «Il fllit mjorer pr ue epressio idépedtede pour obteirlcovergece ormle.»

103 4. Suites etséries de foctios Théorème 9 Si l sériedefoctios u k estormlemet covergetesur I, lors : u u. L covergece ormleest u puisst outil pour étblir l covergece uiforme d ue sériedefoctios. Démostrtio Posos S () = u k() et S() = u k(). O sit que : N I S () u k Il e résulte : I S() u k. Puis : S = u u. Applictio 3 u k. (PSI) Lorsqu ue série defoctios coverge ormlemet sur tout segmet de I, elle coverge uiformémet sur tout segmet de I. Lesfoctios z et m Rppelos que : ( ) + z() = et m() = et que z est défiie sur ],+ [ et m sur ], + [. ) Étudier l covergece ormle de l série de foctios défiisst z. ) (PSI) Étudier l covergece uiforme de l série defoctios défiisst z. 3) Étudier l covergece ormle de l série de foctios défiisst m. 4) Doeruereltio etre les foctios z et m. ) Motros d bord que z est ormlemet covergete sur tout itervlle [,+ [ ( > fié). [,+ [, L sérieumérique coverge, doc l série de foctios estormlemet covergete sur [,+ [. Mis l covergece de l série de foctios défiisst z estps ormlesur ], + [. ) (PSI) Si l covergece de l série de foctios étit uiforme sur ], + [, o urit: ], + [ + k R () R. E fist tedre vers, o obtiedrit: k R, + ce qui cotreditlcovergece uiforme. 3) O e déduit que l série de foctios ( ) + covergeormlemet sur tout itervlle [,+ [ ( > fié). 4) Reltioetre m() et z(). Pour tout > : m()= () = ( ) = z()( ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

104 Alyse PC-PSI.4. Etesio A estue prtie de C. Étt doée ue suite (u k ) defoctios borées de A ds K, odit que l série defoctios u k coverge ormlemet sur A si l série u k coverge. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O ditque l sériedefoctios u k covergeormlemet surtout compct de A si, pour tout compct J de A, lsérie u k J coverge. Les théorèmes 6et7se géérliset àdes séries défiiessur ue prtie de C. Eemple Cosidéros l série defoctios défiies sur C, u, vec: Covergece simple u (z)= z!. Nous vos déjà étbli que, pour tout z de C, lsérie umérique z! covergebsolumetetousvosomméepoetielle l foctiosomme: ep(z) = z! = ez. L série defoctios covergedoc simplemet sur C. (doc..) Covergece ormle surtout compct de C Soit J u compct de C. O : Aisi : z J M R z J z M. u (z) M! et u J M!. coverge doc or- L série umérique M coverge. L série u! mlemet surtout compct de C. (PSI) Coverge-t-elle uiformémet sur C? Soit fié. L foctioreste d ordre est défiie pr R (z) = O remrque que : Or, lim t + t R + R (t) t+ ( +)!. A + + z k k!. t + ( +)! = +. L suite de foctios (R ) ecovergedoc ps uiformémet vers l foctioulle sur C. Cette etesio ous ser utile lorsde l étudedes séries etières. k=9 6 k= k=7 k= y 4 Doc.. Sommes prtielles de l série!. Ö ØÖØ ÔÐÓØ ß Õ ÓÒÚÖØ Ö ÜÔ Üµ Ü µ ÔÓÐÝÒÓѵ ºº½¼µÐ ܹººµ ÔÐÓØ ÜÔ Üµ ܹººµ ÛØ ÔÐÓØ µ ÔÐÝ ß Ð ØØÐÝÜÔ Üµµ Icovéiets de l covergece simple O e mîtrise ps les propriétés lytiques :cotiuité, dérivbilité de l foctiolimite e cs de covergecesimple del suite ou de l série defoctios.

105 4. Suites etséries de foctios Cotiuité de l limite d ue suite (ou d ue série) de foctios.. Théorème d iterversio des limites (PSI).. Le théorème Théorème Soit ( f ) ue suite de foctios de F(I, K) et dhéret à I. Si l suite vérifie : ( f ) covergeuiformémet sur I vers f ; chque foctio f dmetue limite b e. Alors : l suite (b ) covergevers u sclire b ; f dmete l limite b : f () = lim lim + lim lim f (). +,8,6,4, y,,4 k=,6 k=5,8 Doc.. L foctio limite est ps cotiue sur [, ]. f:=(,t) t f := t Démostrtio Motros que l suite (b ) est ue suite de Cuchy de K. Fios u >. L suite ( f ) coverge uiformémet vers f sur I, et: N N N p N f +p f. Doc : N N N p N I f +p() f (). L pplictio ( ) est cotiue. Fisos tedre vers : Rpport Mies-Pots, «L iterversio des pssges àl limite ou l justifictio de l covergece de l série sot ml tritées ou pssées sous silece.» N N N p N b +p b. L suite (b ) est doc ue suite de Cuchy de K, elle coverge vers u sclire b. Motros que f dmet e l limite b. f () b f () f () + f () b + b b. Fios >. Il eiste N tel que : O e déduit : N f f et b b. N I Termios e suppost réel. f() b + f () b. Soit N, lfoctio f dmet b comme limite e, doc : > ], + [ I f () b. E défiitive,pour cet fié, pour ce et pour tout de ], + [ I, o: f() b f() f () + f () b + b b 3. O prouvé que : lim f () = b. Le théorème s pplique doc u etrémités des itervlles de défiitio des foctios f. Il s pplique ussi e + si I cotiet u itervlle de l forme [c,+ [ ete si I cotietuitervlle de l forme ],c]. Lorsque = +, o substitue à u réel M et à ], + [ l itervlle ]M,+ [. Adpter pour =. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

106 Alyse PC-PSI.. Les coséqueces Corollire. Soit ( f ) ue suite de foctios de F(I, K) et u poit de I. Si toutes les foctios f sot cotiues e et si l suite de foctios covergeuiformémet sur I vers f, lors f est cotiue e. Soit ( f ) ue suite de foctios de C(I) coverget uiformémet vers f sur I.Alors f est cotiue sur I. Soit ( f ) ue suite de foctios de C(I) coverget vers f uiformémet surtout segmet de I. Alors f est cotiue sur I. Si l suite ( f ) de foctios cotiues sur I coverge uiformémet vers f sur tout segmet de I, lors f est cotiue surtout segmet de I, doc cotiue sur I. Pour s etrîer :e. 8et9. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4 Corollire. :Théorème d iterversio des limites pour ue série de foctios Soit (u ) ue suite de foctios de F(I) et dhéret à I. Si : l série defoctios u coverge uiformémet sur I vers S ; chque foctio u dmetue limite b e ; lors: l série b covergeversusclire b ; l foctiosomme S dmet e l limite b. u () = lim lim u () Corollire.3 Soit uk ue série de foctios cotiues sur I, uiformémet covergetesur toutsegmetde I. Alors l foctiosomme S = est cotiue sur I...3 Eemples L foctio z de Riem k= u k Pour s etrîer :e. à. Supposos l série defoctios uiformémet covergete sur ], + [. O peut lors ppliquer àlfoctio z le théorème d itervetiodes limites, cr : O e déduitque l série lim =. coverge. Ce qui est fu. O peut voir f = lim f cotiue e, ss que les f soiet cotiues. Aisi, l suite de foctios ( f ) défiies sur R + pr f () = E() ( +) coverge simplemet vers l foctio ulle. Elle coverge ussi uiformémet sur tout segmet de R +, mis les f e sot ps cotiues, bie que f le soit. O peut ussi voir f = lim f cotiue e, ss que l covergece soit uiforme. Aisi, l suite de foctios ( f ) défiies sur R + pr f () = t coverge simplemet sur [, [ vers l foctio ulle f. Il y ps covergece uiforme, mis les f et f sot cotiues sur [, [.

107 4. Suites etséries de foctios L foctio m Si l o supposel série de foctiosdéfiisst m uiformémetcovergete sur ], + [, o peut ppliquer le théorème d iterversiodes limites, vec: ( ) + lim = ( ) +. O obtiet l covergece de l série ( ) +, cequi est fu. L série defoctios u k défiiepr : u k (t) = ( ) k l + t k( + t ) Si t est uréel fié, l série umérique u k (t) est ue série lterée qui vérifie le critère spécil des séries lterées, etdoc coverge. De plus, pour tout, o: S(t) S (t) = R (t) u + (t) + l E distigut lescs t, et t <, o obtiet : R l +. + t (+)( + t ) L sériedefoctios u k covergeuiformémet sur R vers S (doc. ). De plus, lim u k(t) = ( ) k l +. Doc, ous pouvos ppliquer le t + k théorème d iterversio des limites. Oobtiet : l covergece de l série umérique ( ) k l lim S() = ( ) k l + + k. + k S = ( ) k l + k + = ( ) k l k k k= k= ( ) ( +) ( +)(( )!) =l 4...( ) ( ) = l 4 (!) 4. Utilisos l formule de Stirlig:! +/ e p, oedéduit: S p l. Doc lim p S = lim S = lim S() = l Le théorème d iterversio des limites (PC) ; p Théorème :Théorème d iterversio des limites pour ue série de foctios Soit (u ) ue suite de foctios de F(I) et dhéret à I. Si : l série defoctios u coverge ormlemet sur I vers S ;.,5,4,3,,,,,3 y y = S () y = S 5 () y = S () Doc.. Covergece uiformesur R de l série defoctios. Rpport Cetrle, «Les théorèmes d iterversio (limites, séries, itégrle) sot évidemmetàjustifier vec soi.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

108 Alyse PC-PSI chque foctio u dmetue limite b e ; lors: l série b covergeversusclire b ; l foctiosomme S dmet e l limite b. u () = lim lim u () Rpport Mies-Pots, «L iterversio des pssges àl limite ou l justifictio de l covergece de l série sot ml tritées ou pssées sous silece.» L démostrtio est pseigibledes cdidts et écessite desoutils qui e sot ps àotre progrmme. Corollire. Soit u k ue sériedefoctios cotiues sur I, ormlemet covergetesur tout segmet de I. Alors l foctiosomme S = est cotiue sur I. k= u k Rpport E3A, «Ils ffirmetque S est forcémet cotiue,vuqu ue somme d pplictios cotiues est cotiue.» Pour s etrîer :e. et. Applictio 4 Lesfoctios z et m c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Motrerque lim m() =. ) Clculer m(). 3) Doer lim z() et lim + m(). + 4) Motrer que : R z() + préciser. 5) Retrouver ce résultt eutilist l reltioétblie etre z et m ds le chpitreprécédet. 6) Motrer l cotiuité des foctios z et m sur ], + [. 7) (PSI) Préciser le domie de cotiuité de l foctio m. Rppelos que : et : z() = m() = ( ) + et et que z est défiie sur ], + [ et m sur ], + [. y Doc. 3. L foctio z. ÔÐÓØ Ø Üµ ܽºº½¼µ

109 4. Suites etséries de foctios,8,6,4, y Doc. 4. L suite de foctios coverge vers l foctio m. Ö ØÖØÒ Ò Üµ¹ ¹½µ Ò ½µ Ò ¹Üµ ËÒ Ò Üµ¹ ÙÑ ¹½µ ³³ ½µ ³³ ¹Üµ ³³½ººÒµ ÔÐÓØ ßËÒ ¾ ܵ ËÒ ¾ ܵРܼº¼½ººµ f:=(,) ( ) (+) ( ) S := (, ) ( ) ( k +) k ( ) k = ) Déclos les termes ds l epressio de m(). D où: +m()= m() = + = ( ) + ( +). ( ) + ( +) = L étude, sur [, + [, de l foctio: u u (u +). permet d ppliquer le critère des séries lterées. Nous pouvos écrire : Puis,.3. Etesio +m(). m(). Doc : lim m() =. ) m() = ( ) + = l. lim z() = et lim m() = ) Procédos églemet e comprt itégrle. Soit > fié. k ce qui doe : k+ k d t t k + [(k +) + k + ] D où: k k d t t. àue k + [k + (k ) + ]. [ (+) + +] k + [ + +]. Fisos tedre vers +, oobtiet : z() +, d où : z(). 5) Immédit. 3) De même, les séries defoctios défiisst les foctios z et m étt ormlemet covergetes sur l itervlle [, + [, o peut ppliquer pour chcue le théorème de l double limite et o obtiet: 6) Il suffit derppeler que les séries défiisst ces foctios coverget ormlemet surtout segmet de ],+ [etque l foctio: estcotiue sur R + Ds ce prgrphe, les pplictios cosidérées sot défiies sur ue prtie A de C et àvleurs ds K. k pour obteirlerésultt souhité. 7) (PSI) Nous vos, ds l pplictio, étbli l covergece uiforme, sur tout segmet de R +, de l sériedefoctios défiisst m. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

110 Alyse PC-PSI Nous dmettros que le théorème d iterversio des limites se géérlise u cs d ue série defoctios coverget ormlemet sur A. Théorème :Théorème d iterversio des limites pour ue série de foctios Soit (u ) ue suite de foctios de F(A) et dhéret à A. Si : l série defoctios u coverge ormlemet sur A vers S ; chque foctio u dmetue limite b e ; lors: l série b covergeversusclire b ; l foctiosomme S dmet e l limite b. u () = lim lim u () Le choi d ue prtie A de C été dicté pr lécessité d étudier plus loi l cotiuité de foctios sommes de séries etières sur le disque ouvert de covergece. Corollire. Soit u k ue sériedefoctios cotiues sur A, ormlemet covergete sur tout compct de A. Alors l foctiosomme S = est cotiue sur A. k= u k Eemple Nous vos étbli que l série defoctios z est ormlemet covergete sur tout compct de C. C est ue série defoctios cotiues sur C,! doc l foctiosomme, l epoetielle,est cotiue sur C. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 8 3 Approimtios Ds ceprgrphe, les foctios cosidérées sot défiies sur R ou sur u segmet de R et àvleurs ds K. 3.. Foctios e esclier O ppelle subdivisio d u segmet [, b] de R, toute suite fiie et croisstedepoitsde[,b], ( i ) i [[,]],telle que = < < < =b. O ppelle foctio e esclier sur [,b], toute foctio f à vleurs ds K, défiie sur [, b], pour lquelle il eiste ue subdivisio ( i ) i [[,]] de [, b], telle que l restrictio de f àchque ] i, i+ [ (i [[, ]]) soit ue foctiocostte(doc. 5). L esembledesfoctiose escliersur [, b] est usous-espcevectorielde l espce vectoriel F([, b], K). Cet espce vectoriel est oté Esc([, b], K). y [ ] O b Doc. 5. Foctio e esclier sur [, b].

111 4. Suites etséries de foctios Uefoctio f de R ds K est dite e esclier sur R s il eiste u segmet [, b] de R tel que f [,b] soit e esclier sur [,b] et f R [,b] soit ulle. Eemple : L foctio f défiiesur R pr : si < f () = E() si < p si p. 3.. Foctios cotiues pr morceu O ppelle foctiocotiue prmorceu sur [,b], toute foctio f àvleurs ds K, défiie sur [, b] pour lquelle il eiste ue subdivisio ( i ) i [[,]] de [, b], telle que l restrictio de f àchque ] i, i+ [ (i [[, ]]) puisse se prologer e ue foctio cotiue sur [ i, i+ ]. Uetelle subdivisio est ppelée subdivisio dptée àlfoctio f. L esemble des foctios cotiues prmorceu sur [,b] est u sousespce vectoriel de l espce vectoriel des foctios de [, b] ds K. Cet espce vectoriel est oté CM([, b]). Uefoctio f d u itervlle I de R ds K est dite cotiue pr morceu sur I si s restrictioàtoutsegmetcoteuds I estcotiue prmorceu. L esemble des foctioscotiues prmorceu sur I estu sous-espce vectoriel de l espce vectoriel des foctios de I ds K. Cet espce vectoriel est oté CM(I). Eemple : L foctio prtie etière, E, est cotiue pr morceu sur R. O y Doc. 6. Foctio e esclier sur R. Rpport X-ESPCI, «Les difficultésprovieet... de l cotiuité pr morceu.» y π 3.3. Approimtio uiforme des foctios cotiues pr morceu sur [,b] Théorème 3 (Théorème d pproimtio) Toute foctio cotiue pr morceu sur usegmet [, b], àvleurs ds K, peut être pprochée uiformémet pr des foctios e esclier sur [,b]: f CM([, b]) > g Esc([, b]) f g. Démostrtio (PSI) Soit f ue foctiocotiue pr morceu sur [,b], àvleurs ds K. Fios u réel > etotos A l esemble des c de [, b] tels que f puisse être pprochée uiformémet sur [, c], à près, pr des foctios e esclier sur [, c]. A estue prtie o vide de R, mjorée pr b. Elle possède ue bore supérieure M. Motros que : M = b. Posos lim f () = l. > ], + [ f () l L foctio g défiie sur [, + ] pr : g() = f () et ], + ] g() = l est e esclier sur [, + ] etpproche uiformémet f à près sur cet itervlle. Doc : M +. Si < M < b, urisoemet logue, costruit vec les limitesàguche et àdroite de f e M, permet de motrerl eistece de b > telque f soit pprochée uiformémet à près sur [, M + b] pr ue foctioe esclier sur cet itervlle. Doc : M = b. [ ] O b Doc. 7. Foctio cotiue pr morceu sur [, b]. y [ ] O b Doc. 8. Foctioo cotiue pr morceu sur [, b]. L démostrtio est hors progrmme e PC c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

112 Alyse PC-PSI Géérlistio :Si E est uespce vectoriel de dimesio fiie, o défiit de mière logue l otio de foctio e esclier, de foctio cotiue pr morceu de [, b] ds E.Le théorème ci-dessus est ecore vérifié. S justifictioreposesur le fit que lesfoctios coordoées d ue foctio cotiue pr morceu àvleurs ds E sot cotiues prmorceu Approimtio uiforme des foctios cotiues sur [,b]pr des foctios polyomiles Théorème 4 :Premier théorème de Weierstrss Toute foctio umérique, cotiue sur usegmet [, b], peut être pprochée uiformémet sur [,b] pr des foctios polyomiles sur [, b]. (PSI) Cethéorème sigifie que toute foctio de CM([, b]) est l limite uiforme d ue suite de foctios e escliersur [, b]: f CM([, b]) ( f ) (Esc[, b]) N lim f f =. + L démostrtiodecethéorème et celle du théorème suivt sot hors progrmme. Eemple : Cosidéros l foctio epoetielle, uréel > etles foctios polyômes P défiies pr P () = k k!. Pour tout ds [, ] k= ep() P () + + k k!. Si > est fié, il eiste tel que [, ] ep() P. Pour s etrîer :e. 3 et 4. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3.5. Approimtio uiforme des foctios cotiues sur [,b]pr des polyômes trigoométriques O ppelle foctio polyôme trigoométrique toute foctio de R ds C, combiiso liéire des foctios e k :(t e i kt ), où k est u etier reltif. Vous vérifierez ss difficulté que toute foctio polyômetrigoométriqueest combiiso liéire, àcoefficietscomplees,des foctios : c k : t cos(kt)(k N) et s k : t si(kt)(k N ). Iversemet,toute combiiso liéire de foctios c k et s k est ue foctiopolyôme trigoométrique. Théorème 5 :Secod théorème de Weierstrss Toute foctio àvleurs complees, cotiue et p-périodique sur R, peut être pprochée uiformémet prdes polyômes trigoométriques. Eemple Le courssur les séries de Fourierpermetdeprouverquel foctio Arccos (cos) peut être pprochée uiformémet sur R pr l suite des polyômes trigoométriques: p 4 p N = cos ( +) ( +). Ce théorème, publié e 885 pr Weierstrss, fut géérlisé, e 937, pr l mérici Stoe, u foctios àvleurs réelles oucomplees cotiues sur u compct de R. Si f pour période T >, o substitue e ipt/t à e it. Nous reverros ceci ds le chpitre sur les séries de Fourier. Ds cechpitre, ous verros églemet ue pplictio importte de ce théorème.

113 4. Suites etséries de foctios L étude d ue suite (ou d uesérie) defoctioscommecele plussouvetprcelle de l covergece simple. O fielvrible et o étudie l suite (ou l série) umérique ssociée. Pour étudier l covergece ormle d ue sériedefoctios borées sur I,oessye de mjorer u () prleterme géérl e dépedtps de d uesérie covergete : I u () et coverge. Pour motrer qu ue foctio S, somme d ue série de foctios u, est cotiue sur I, il suffit d étblir que : lesfoctios u sot cotiues sur I ; l covergece de l série u vers S est ormle(ou uiforme (PSI)) surtout segmet de I. Progrmme PSI L covergece uiforme d ue suite (ou d ue série) de foctios est l étude de l covergece ds l espce vectoriel ormé (B(I), ). Pour étudier l covergece uiforme d ue suite de foctios borées sur I,opeut: chercher àmjorer f () f () pr u réel e dépedt ps de et tedt vers lorsque tedversl ifii ; firel étude, étt fié, de l foctio f f, ds le but dedétermier f f. Lorsqueles foctios f e sot ps borées sur I, oulorsque l suite de foctios e coverge ps uiformémet sur I, opeut chercher à étblir l covergece uiforme surtout segmet de I. Pour étudier l covergece uiforme d ue série u de foctios borées sur I : si l sérieumérique u () vérifie,pour tout, lecritère spécil des séries lterées,omjore le reste R () pr u + (), puis otete demjorer u + () pr u réel e dépedt ps de et tedt vers lorsque tedversl ifii ; sio, o peut essyer de prouver l covergece ormledelsérie de foctios. Pour motrer qu ue foctio suffit d étblir que : f, limite d ue suite defoctios ( f ), est cotiue sur I, il lesfoctios f sot cotiues sur I ; l covergece de l suite ( f ) vers f est uiforme surtout segmet de I. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

114 Alyse PC-PSI TD Polyômes d iterpoltiodelgrge et covergece (D près ENSI, 99.) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Ds tout cet eercice, désige u etier turel o ul, R [X] l espce vectoriel des polyômes àcoefficiets réels dedegré, et b deu réels tels que : < b et,,...,, + réels disticts tels que : < < < b. f est ue foctiocotiue sur [,b]. ) Doer l epressio du polyôme P de R [X] tel que, pour tout j de [[, ]] : P ( j ) = f ( j ). Nous llos étudier l covergece de l suite (P ) ds deu cs prticuliers. A) Premier eemple : f est declsse C sur [,b] ettoutes les dérivées de f sot borées sur [,b] pr ue même costteréelle M. ) étt u réel de [, b] différet de tous les j, oote w l foctiodéfiiesur [, b] pr : w(u) = f (u) P (u) f () P () q (u), q () où q est lepolyôme défiipr q () = ( j ). j= E utilistplusieurs fois le théorème de Rolle,motrer qu ileisteuréel v de [, b] tel que : f () P () = f (+) (v) ( +)! q (). ) Pour chque etier, o choisitrbitriremet lesréels,,..., tels que : et o défiitisi ue suite de foctios polyômes (P ). < < < b Motrer que l suite de foctios (P ) pproche uiformémet Doer u eemplepour f et [, b]. f sur [,b]. B) Secod eemple : L foctio f est défiie sur [, ] pr f () = et, pour tout etier j de [[, ]], o pose: j = + j +. ) p et q éttdes etiersturelstels que p < q, motrer : p k= ( ) k q k q k k + m désigt l prtie etière de, opose: A()= m k= ) Motrerque P () = A() B(). ( ) k k k k + =+( ) p q p et B() = k=m+ 3) Clculer A()+B() etedéduire P () e foctiode et de m. 4) Clculer P () lorsque est pir. 5) Clculer P () lorsque est impir. Doer lorsuéquivlet e + de f () P (). 6) E déduireque l suite (P ) estps simplemetcovergetesur [, ]. q p p + ( ) k k. k k + ()

115 4. Suites etséries de foctios Eercice résolu ÉNONCÉ L série defoctios sh () O cosidère l série defoctios u où, pour >, u est défiie sur R + pr u () = ) Doer le domie de défiitio de l foctiosomme S = ) Doer u équivlet e ete + de S. CONSEILS Regrder le domie de covergece simple delsérie de foctios.,5 y SOLUTION + sh (). u. Etudier l covergece ormle. ) Étudios d bord l covergece simple delsérie de foctios.soit fié, strictemet positif. u () e. L série umérique e est ue série géométrique de riso e. L série defoctios u coverge simplemet sur R +. Précisos le mode de covergece de l sériedefoctios. Si est uturel o ul fié, l foctio sh () est croisste sur R +, de à +. L foctio u estps borée sur R ,5 ÔÐÓØ ÙÑ ³½» Ò Ò Üµ³ ³Ò³½ºº½¼¼µ ܹ½¼ºº½¼ ݹ½ºº½µ Utiliser l décroissce de l foctio positive t pour ecdrer sh (t) so itégrle sur [,+] etcomprer S() àue itégrle. Cosidéros u réel >. u [,+ [ =. L covergece sh () de l sérieumérique etrîe l covergece ormle(doc sh () uiforme) de l série defoctios sur [,+ [. ) Si > : N+ d t sh (t ) N Clculos,pour < < b et >, b b dt sh (t ) d t sh (t ) = = b sh () N sh () + b du sh (u) = b u b l th d t sh (t ). d t sh (t ). du u th ch u b = l th. th Puis : (N +) N l th N th sh () sh () + l th th c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

116 Alyse PC-PSI Les termesdecette iéglité ot ue limite lorsque N tedvers + : th l S() sh () l th () De plus,lorsque ted vers, o : l th l l() et sh (). Nous e déduisos,lorsque tedvers: S() l(). sh () + e et l th + th + e. Pour l étudee +, l iéglité () esuffit plus. Procédosplus fiemet e isolt sh (). (N +) N l th N th () sh () l th th D où: Avec : sh () l(th()) S() sh () l th sh () e, l th e, l(th()) e. Les deu deriers termes sot doc égligebles devt le premier. Nous e déduisos,lorsque tedvers +,S() e. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4

117 Eercices Soit ( f ) ue suite de foctios mootoes coverget simplemet vers f sur u itervlle I de R. Motrer que l foctio f est mootoe. (PSI)Étudier l covergece sur[,] de l suite de foctios f () = ( ). (PSI) Costruire, le plus simplemet possible, ue suite de foctios e esclier coverget uiformémet sur [, p] vers l foctio sius. O pose f () = cos() 3/ Motrer que f est défiie et cotiue sur R. (PSI) Étudier l esemble D de défiitiode: f()= ( ) +. f est-elle cotiue sur D? Détermier f (). (PSI) Étudier l covergece de l suite de foctios : ) f () = (si ) sur, p. ) f () = ( ) sur [,]. 3) f () = (l ) (l ) + sur R+. (PSI) Étude de l série de foctios ( ) +. Soit l série de foctios u défiie sur R + pr : si si [ p,(+)p[ u () = ( +) si [ p,(+)p[ Étudier l covergece de cette série de foctios. Étudier l covergece simple, ormle de l série de foctios e l (et uiforme e PSI). (PSI) Peut-otrouver ue suite de foctios polyômes coverget uiformémet sur ], ] vers t? t (PSI) Ocosidère lsuite de foctios ( f ) défiies pr : f () = ep( ). Étudier l covergece simple de l suite ( f ). Est-elle uiforme sur [,+ [ lorsque < <? Soit >. Même questio sur [,+ [? Clculer: e ) lim. ) lim ( + ) + et lim + e. Soit >, f ue foctiocotiue de [,+ [ ds R et l u réel tels que f () =. lim + Motrer que, pour tout >, il eiste ue foctio polyôme P telle que l foctio, P, pproche uiformémet f, à près sur [,+ [. Soit f ue foctiocotiue de [,] ds R telle que, pour tout de N, oit Motrer que f est lfoctioulle. t f (t)dt =. Soit l suite de foctios ( f ) défiie, sur R +, pr : f () = e. Étudier,selo lesvleurs du réel, lcovergece de l série de foctios f. * (PSI) Soit (P) ue suite de polyômes de R p[x] ( p > fié). O suppose que l suite de foctios polyômes ssociée coverge simplemet sur R vers ue foctio f. ) Motrer que f est ue foctio polyôme de degré p et que l covergece est uiforme sur tout segmet de R. ) Que dire si cette suite coverge uiformémet sur R? O cosidère l foctiodéfiie pr : f () = Arct (). ) Doer sodomie de défiitio et de cotiuité. ) Étudier ses limitesu bores du domie. 3) Doer u équivlet e + de f () lim + f (). 5 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

118 Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles 5 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Les prdoes de Zéo d Élée (V e sièclev. J.-C.) poset le problème de l divisioàl ifii. L méthode d ehustio, mise u poit pr Eudoe (IV e sièclev. J.-C.) estutiliséedefço très fructueuse pr Archimède (III e sièclev. J.-C.) pour des clculs d ires et de volumes. Les mthémticies rbes (à prtir du IX e siècle p. J.-C.) développet ces méthodes. Au XI e siècle,l-birui coçoit lesotios de vitesse et d ccélértio. Fute de culturemthémtique suffiste,ces trvu ot recotré ucu écho e Europe vtlexvi e siècle.les recherches de ombreu svts (Stevi, Kepler, Glilée, Cvlieri, Pscl, Fermt, Descrtes...), u XVI e et XVII e siècles, surles cetresdegrvité,les mesures de volume, ltgete,lcycloïde,... préludet à l issce, àlfiduxvii e siècle, du clcul différetieletitégrl modere. Progressivemet, le support géométrique fit plce u otios bstrites de limite et d ifiimet petit. E 696,Guillume de L Hospitl publie le premierlivredeclcul ifiitésiml. Ce puisst outilest misupoit pr Newto (643-77) et Leibiz (646-76) vec des lggesdifférets, misles ottios de Leibiz s imposet. Il permet de résoudre des problèmes qui se rmèet àdes équtiosdifféretielles. O B J E C T I F S Dérivbilité e u poit,foctiodérivble suruitervlle. Opértios sur les foctios dérivbles. Foctios de clsse C k ou C k pr morceu sur uitervlle. Itégrle d ue foctio vectorielle cotiue pr morceu sur usegmet. Sommes de Riem d ue foctiocotiue. Liérité de l itégrle, iéglité de l moyee. Reltio de Chsles, ivrice prtrsltio. Covergece e moyee et e moyee qudrtiqued uesuite ou d uesérie de foctios cotiues surusegmet. 6

119 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Les foctios étudiées ds ce chpitre sot défiies sur uitervlle I de R, o vide et o réduit àu poit. Elles sot àvleurs ds u K-espce vectoriel E de dimesio fiie (K = R ou C). De telles foctios serot dites àvleurs vectorielles (ou simplemet vectorielles).lorsque E = K, ces foctios serot dites àvleurs umériques (ou umériques). Nous oteros F(I, E) lek-espce vectoriel de ces foctios. Soit I u itervlle d etrémités et b, vec < b. L esemble des poits de ], b[ est ppelé l itérieurde I et ces poitssotdits itérieursà I. U itervlle o vide et o réduit àu poit est uitervlle d itérieur o vide. Si I estpsborésupérieuremet,ousdopterosl ottio sup I = +. De même, si I estps boré iférieuremet, if I =. Dérivtio Isc Newto (643-77), physicie, mthémticie et stroome glis... Foctio dérivble sur u itervlle.. Défiitios... Dérivbilité eupoit Soit u poit de I et f ue foctiode I ds E. f est dite dérivble e de I si l pplictio de I\{ } ds E, défiie pr: f () f ( ) dmet ue limite e. Alors, llimite est ppelée dérivée de f e et otée f ( ) ou Df( ) ouecore d f d ( ) etelle pprtietà E. Théorème Soit u poit de l itervlle I et f ue pplictiode I ds E. L pplictio f est dérivble e si, et seulemet s il eiste ue pplictio de I ds E et u vecteur V de E tels que : I f() = f( )+( )V +( ) ()etlim () = E () Lorsque f est dérivble, l propriété ()s écrit églemet : f () = f ( )+( ) f ( )+o( ) Théorème Soit u poit de l itervlle I et f ue pplictiode I ds E. Si f est dérivble e, lors f est cotiue e. L réciproque est fusse. L foctio vleur bsolue fouritucotre-eemple. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

120 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit... Dérivées à guche, à droite Si est upoit dhéret à I, différet de sup I, odit que f dmet ue dérivée àdroite e si l pplictio de I\{ } ds E défiie pr : f () f ( ) dmetue limite àdroite e. L limite est lorsppelée dérivée àdroite de f e et otée fd( ) ou Df( + ) ouecore d f d ( + );elle pprtietà E. O défiit de même l dérivée à guche, otée fg( ), D f ( ) ou d f d ( )....3 Propriétés Les propriétés suivtess étblisset ss peie : ) Soit u poit de I. Si f est dérivble àdroite (respectivemet à guche) e, lors f est cotiue àdroite (respectivemet àguche) e. ) Soit u poit itérieur à I. Si f est dérivble àdroite et àguche e, lors f est cotiue e. 3) Soit u poit itérieur à I. f estdérivble e si, et seulemetsi: f est dérivble àdroite e ; f est dérivble àguche e ; f d ( ) = f g ( )... Iterpréttios géométrique et ciémtique de l dérivtio... Iterpréttio géométrique L étude des courbes est développée ds le volume Algèbre-Géométrie. Soit (I, f, S) ue courbe de E et t u poit itérieur à I. Supposos f dérivbleetdedérivéeo ulle u poit t de I. L courbe dmet u poit f (t ) ue tgete qui est l droite ffie T t = f (t )+Rf (t ). Cette droite est l positio limite de l sécte D t t lorsque t tedvers t (doc. ).... Iterpréttio ciémtique L ciémtique du poit permet de doer l iterpréttio suivte àl étude d uecourbe (I, f, S). Le prmètre t est ppelé le temps ;ilvrie ds l itervlle I. Le support S de l courbe estltrjectoire du poit mobile dot o étudiele mouvemet. Doc.. L foctio: m, + estdérivbleàdroite et àguche e et e. Rpport TPE, 997 «Les cdidtsrecotret de plus e plus de difficultés e clcul : clcul de dérivées, de primitives, décompositioe élémets simples, voire même clcul lgébrique élémetire.» S etrîer àclculer des dérivées. z S y ft ( ) Doc.. L droite ffie : f ( t) ft () T t = f (t )+R f (t ) T t D tt est tgete à l courbe (I, f, S) u poit f(t ) lorsque f (t ) = E. L foctio f est lloi horire du mouvemet. Rpport Mies-Pots, L vitesse moyee du poit mobile sur strjectoire S etre les istts t «Cofusio etre cotiuité et dérivbilité.» est : f(t) f(t ) = f(t) f(t ) t t t t et t. Rpport E3A, «...oublit mlheureusemet souvet l justifictio de l eistece L limite e t de l foctioumérique t f (t) f (t ) t t,lorsqu elle eiste, est lvitesse isttée du poit mobile àl istt t. desdérivées.» y 8

121 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles L limite e t de l foctio vectorielle t f (t) f (t ), lorsqu elle t t eiste, est levecteur dérivé f (t ). Il est ppelé vecteur vitesse du poit mobile àl istt t. O remrque que si f est dérivble e t, lors l vitesse isttée du poitmobile e t est lorme du vecteur vitesse e ce poit...3 Foctio dérivble sur u itervlle Pour s etrîer :e.. Ue foctio dérivble e tout poit de l itervlle I est dite dérivble sur I. Lorsque f est dérivble sur I, opeut défiir l foctio dérivée de f : D f = f I E : f () Applictio Rpport Cetrle, «Ce estps prce qu o puclculer ldérivée d ue foctio que celle-ci est dérivble, mis prce que l foctio est dérivble qu o peut clculersdérivée.» L églité des ccroissemets fiis est vlble que pour les foctios àvleurs réelles. Nous verros l iéglité des ccroissemets fiis pour les foctios àvleurs vectorielles.ds l pplictio qui suit, ous démotros cette iéglité ds le cs prticulier d ue foctio à vleurs ds u espce euclidie. Iéglitédes ccroissemetsfiis ds u espce euclidie Soit (E, ) u espce euclidie, l orme ssociée à et [, b] u segmet d itérieur o vide de R. Motrer que si f est ue pplictio de [,b] ds E, cotiue sur [, b] et dérivble sur ], b[, lors: c ],b[ f() f(b)(b ) f (c) Défiissos l pplictio F : [, b] R F : t f (b) f () f (t) F est àvleurs ds R, cotiue sur [,b] et dérivblesur ], b[ ;o peut doc lui ppliquer le.. Opértios sur les foctios dérivbles.. Liérité deldérivtio théorème des ccroissemets fiis : c ], b[ F(b) F() = (b ) F (c). Prdéfiitiode F, ous obteos : c ], b[ f (b) f () f (b) f () = (b ) f (b) f () f (c). Et grâce àl iéglité de Cuchy-Schwrz : c ], b[ Théorème 3 Soit f et g deu pplictios de I ds E, dérivbles surl itervlle I, et et b deu sclires. L pplictio f + b g est dérivble sur I et, de plus : ( f + b g) = f + b g f (b) f () (b ) f (b) f () f (c) L iéglité recherchée e découle. Rpport E3A, «Ue miorité ivoque l liérité de l dérivtio.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

122 Alyse PC-PSI.. L espce vectoriel C (I, E) Les foctios f dérivbles sur I dot l dérivée f est cotiue sur I sot dites cotiûmet dérivbles ou de clsse C sur I. L esemble de ces foctios est oté C (I, E). Pour s etrîer :e.. Rppelos que C(I, E) ou C (I,E) désige l esemble des pplictios cotiues de I ds E. Théorème 4 C (I, E) est u sous-espce vectoriel de C (I, E). L pplictio D de C (I, E) ds C (I, E), défiiepr D( f ) = f est liéire...3 Composée d ue pplictio liéire et d ue pplictio dérivble Théorème 5 Soit E et F deu espces vectoriels de dimesio fiie, u ue pplictio liéire de E ds F, f ue pplictio de I ds E et u poit de I. Si f est dérivble e, lors l pplictio u f est dérivble e et : (u f ) ( ) = u f ( ) Si f est declsse C sur I, lors u f l est ussi et : (u f ) = u f Démostrtio Si f est dérivble e, ileiste ue pplictio de I ds E telle que : I f() = f( )+( ) f ( )+( ) () et lim () = E. Pr coséquet : I u f() = u f( )+( )u f ( ) +( )u (). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit De plus, toute pplictio liéire etre espces vectoriels ormés de dimesio fiie est cotiue, doc lim u () = F...4 Dérivtio composte pr composte Dsceprgrphe, o ote B = (e i ) i [[, p]] ue bsede E. Pour tout i de [[, p]], o cosidère l pplictio i-ième coordoée ds l bse B (odit ussi i e composte), otée e i : ei : v = E K p j e j ei (v) = i j= O costte que e i est ue pplictioliéirede E ds K.

123 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Pour toute pplictio f de I ds E et tout i de [[, p]], oote f i = e i f. L pplictio f peut s écrire : I E f : p f () = i= f i () e i Les pplictios f i, de I ds K, sot ppelées les pplictioscoordoées ou pplictioscompostes de f reltivesàl bse B. Théorème 6 Soit B = (e i ) i [[, p]] ue bse del espce vectoriel E, u poit de l itervlle I et f ue pplictiode I ds E. f est dérivble e si, etseulemet si, les pplictios coordoées de f reltivesàl bse B sot dérivbles e. Alors : p f ( ) = fi ( ) e i. i= Lorsque f est dérivble sur I, les pplictios coordoées de f sot lesdérivées des pplictios coordoées de f : I f () = p i= f i ()e i. f est ue pplictio declsse C de I ds E si, et seulemet si, chque pplictiocoordoée de f est ue pplictiodeclsse C de I ds K. Corollire6. Soit I u itervlle de R, E u K-espce vectoriel de dimesiofiie et f ue pplictio cotiue de I ds E,dérivble sur l itervlle I = ]if I,sup I[. Alors f est costte sur I si, etseulemet si, pour tout de cet itervlle f () = E. Le cs desfoctios àvleurs complees Soit f ue pplictio de I ds C. Les foctios Re f, Im f et f sot défiies sur I pr : Re f () = Re f () ; Im f() = Im f () ; f () = f (). L fmille (,i) est ue bse de C, R-espce vectorielde dimesio,etles foctios Re f et Im f sot lespplictios coordoées de f ds cette bse. Le théorème des ccroissemets fiis ppliqué àchque pplictiocoordoée de f permet de prouver ce corollire. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

124 Alyse PC-PSI Corollire6. Soit I u itervlle de R et f ue pplictio de I ds C. Les propriétés suivtessot équivletes : f est dérivble sur I ; Re f et Imf sot dérivbles sur I ; f est dérivble sur I. Lorsqu ellessot vérifiées,o: Df =D(Re f )+id(im f ), D f = D f = D(Re f ) id(im f ). Corollire6.3 Soit I u itervlle de R et f ue pplictio de I ds C. Les propriétés suivtessot équivletes : f est declsse C sur I ; Re f et Im f sot de clsse C sur I ; f est declsse C sur I...5 Composée d ue pplictio biliéire et de deu pplictios dérivbles Théorème 7 Soit E, F et G trois espces vectoriels de dimesios fiies, I u itervlle de R, f ue pplictio de I ds E, g ue pplictio de I ds F et B ue pplictiobiliéirede E F ds G. O défiit l pplictio B( f, g) de I ds G e post : I G B( f, g) : B( f, g)() = B( f (), g()) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Si f et g sot dérivbles u poit de I, lors l pplictio B( f, g) est dérivblee et : B( f, g) ( ) = B f ( ), g( ) + B f ( ), g ( ). Si f et g sot de clsse C sur I, lors B( f, g) est de clsse C sur I et : B( f, g) = B( f, g)+b( f,g ). Démostrtio L dérivbilité de f et de g e se trduit pr l eistece des pplictios et, défiies sur I, à vleurs ds E et F respectivemet et tellesque : I f() = f( )+( )f ( )+( ) () et lim () = E I g() = g( )+( )g ( )+( ) () et lim () = F

125 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles O e déduit, pour tout de I : B( f, g)() = B( f ( ), g ) +( ) B f ( ), g( ) + B f ( ), g ( ) Avec : +( ) () () = ( )B f ( ), g ( ) + B (), g( )+( )g ( ) +( ) () + B f ( )+( )f ( )+( ) (), () Or, toute pplictio biliéire etre espces vectoriels ormés de dimesio fiie est cotiue. De plus : B E, g( ) = B f ( ), F = G. O e déduit que.3. Eemples lim () = G. Le théorème e découle. Soit f,..., f pplictios de I ds K, dérivbles sur I et g l pplictioproduit: g: I K g() = f () f ()... f (). O motre pr récurrece que l pplictio g est dérivble sur I et que : g () = k= f ()... f k () f k() f k+ ()... f () Soit E u K-espce vectoriel de dimesiofiie, f ue pplictiodérivble de I ds E et w ue pplictio dérivble de I ds K. Alors, I E l pplictio w f : est dérivble sur I (w f )() = w() f () et (w f ) = w f + w f. Il suffit, pour prouver ceci, de cosidérer l pplictio biliéire : K E E B : (l, ) l. Soit (E, ) uespce préhilbertie de dimesio fiie, f et g deu pplictios dérivbles de I ds E. Défiissos l pplictio f g e post : I K f g : f g() = f () g() Le produit sclire étt ue pplictio biliéire de E E ds K, l pplictio f g est dérivble sur I et f g = f g + f g. E prticulier,l pplictio: I K f f: f f () = f () f () = f () est dérivble sur I et de dérivée f f = f f. O sit que l foctiorcie crrée est dérivblesur R +. Supposos que l foctio f e s uleps sur I, lors l foctio f f eststrictemet positive. Notos f (t) = OM(t). Choisissos ue utre origie A : t I f (t) = OM(t) = OA+ AM(t) Le vecteur OA est costt, doc : t I f (t) = d OM (t) = d AM (t) dt dt Doc, le vecteur vitesse du poit mobile M sur strjectoire e déped ps de l origie utilisée pour effectuer les clculs. C estpourquoi o le otesouvet d M d t (t). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

126 Alyse PC-PSI Le théorème de dérivtiodes foctios composées vous permettrdeprouver quelfoctio f est dérivble sur I et que f = f f f. De l eemple précédet, o déduit le résultt géométrique suivt : Soit (E, ) uespce vectoriel euclidie, f C (I, E) et R R +. O ote l orme sur E ssociée à et o supposeque : t I f (t) = R. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4 L pplictio (t f (t) f (t)) est costte sur I, doc s dérivée est ulle : t I f (t) f (t) =. O viet de prouver que, si l courbe (I, f, S) del espce euclidie E so support S trcé sur lsphère de cetre E et de ryo R, lors pour tout poit t de I, les vecteurs f (t) et f (t) sot orthogou (doc. 3). Ds cet eemple, R 3 est mui de s structure coique d espce vectoriel euclidie orieté et désige le produitvectoriel sur R 3. Soit f et g deu pplictios dérivbles de I ds R 3. O défiit f g e post : I R 3 f g : ( f g)() = f () g() Le produit vectoriel étt ue pplictio biliéire de R 3 R 3 ds R 3, l pplictio f g est dérivble sur I et :.4. Foctios declsse C k.4. Défiitios ( f g) = f g. + f g Soit k u etierturel,ue pplictio f de I ds E est dite : de clsse C sur I si elle est cotiue sur I ; de clsse C k+ sur I si elle est dérivble sur I et si s dérivée f est de clsse C k sur I ; de clsse C sur I si elle est de clsse C k sur I pour tout etier k. Pour tout k N { }, oote C k (I, E) l esemble des pplictios de clsse C k sur I, àvleursds E. Il est clir que : k N C k (I, E) C k+ (I, E) C (I, E) Si f est declsse C sur I, l pplictiodérivée de l pplictio f est otée f, f (), D f ou ecore d f d. Elle est ppelée dérivée secode de f. dm! dt Mt () z O Doc. 3. Mouvemet d u poit mobile surue sphère. Rpport CCP, «Lefit que r est declsse C été étbli que pr u petit ombre...» Si E = K, oote C k (I). Pour k, l formuledeleibiz doe l dérivée à l ordre p, p du produit dedeu foctios de C k (I). C k (I) l structure de K -espce vectoriel et d eu. R R y

127 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Soit k N et f C k (I, E). L dérivée k -ième de f est l pplictio otée f (k), D k f ou ecore dk f d k. Elle est défiie prrécurrece prlformule suivte: f () = f et f (k) = f (k ). Pour s etrîer :e. 3,4 et5. Rpport Mies-Pots, 997 «Ue proportio reltivemet importte decdidts (plus de %) trouve le moye de se tromper dès ledébut ds le clcul del dérivée secode de si. C est difficilemetecusbleàbc +!».4. Opértios sur les pplictios de clsse C k à vleurs vectorielles Dsceprgrphe, suf spécifictiocotrire, k N { }. Théorème 8 L esemble C k (I, E) des pplictios de clsse C k de I ds E est u espce vectoriel sur K. Si k N, l pplictio «dérivée k -ième», défiiepr : C k (I, E) C (I, E) D k : f D k ( f ) = f (k) est liéire. Théorème 9 Soit E u K-espce vectoriel de dimesio p, B = (e i ) i [[, p]] ue bse de E, k u élémet de N { } et f ue pplictio de I ds E dotles pplictios coordoées reltivemet àlbse B sot otées f,..., f p. Alors : f C k (I, E) i [[, p]] f i C k ( I, K) De plus,si k est ds N et si f est declsse C k sur I, lors : I f (k) () = p i=.4.3 Composée defoctios de clsse C k f (k) i ()e i Théorème Soit J u itervlle de R, w ue foctio declsse C k de J ds I et f ue pplictiodeclsse C k de I ds E, lors l pplictio f w est declsse C k sur J. Eemple Si u est ue foctio declsse C k (k ) sur uitervlle I àvleurs ds R, lors l foctio ( l u() ) est de clsse C k sur I et, de plus : dl u() I = u () d u() Gottfried Wilhelm vo Leibiz (646-76), mthémticie et philosophe llemd. Il étudied bord l philosophie, le droit etlthéologie. Agé de 6 s, lors d ue missio diplomtique àpris, ilrecotre Huyges qui l icite àpprofodir scoissce des mthémtiquesetdel physique.nous lui devos les ottios moderes du clcul différetiel etitégrl : d y d,... Ses très ombreuécrits témoiget d u esprit uiversel. C estleseul cs où il estpossible de dériver directemet ue foctiocotet ue vleur bsolue ss distiguer les différets cs suivt le sige de u, i utiliser l foctiosige. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

128 Alyse PC-PSI Applictio Utilistio de l formule de Leibiz c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit y = f() =, réel >. ) Étblir que : d d f () = f () P () () = ( ), / où P est ue foctiopolyomile. ) Préciser le môomedeplushut degréde P (). [Distiguer lescs =, = et.] 3) Étblir que : P + ()+A ()P ()+B ()P ()=, où A () et B () sot des polyômes àpréciser. (Prouver que ( ) f () = f() et lui ppliquer l formule de Leibiz d {u() v()} =...) d 4) Démotrer que P() = ( ) P () pour tout. Clculer P (). 5) De tout ce qui précède, déduire que ( ) f () () > si. ) P () =. Supposos que, pour u etier, o it f () () = vec P foctiopolyôme. Alors : f (+) () = Posos : P () ( ) / P () ( ) P () ( ) +/. P + () = P () ( ) P () () C est ue foctiopolyôme et : f (+) () = P + () ( ) (+) / ) P () =, so moôme de plus hut degré est. f ()=. Doc P () = so moôme de plus hut degré est. f () =. 3/ Doc P () =, so moôme de plus hut degréest. L églité () vous permettr deprouver que, pour, le moôme de plus hut degré de P () est : ( )!. 3) De l églité f () =, odéduit: f ()= f() () Scht que, pour k, (k) =, l formuledeleibizpermet d écrire, pour : [( ) f ()] () = ( ) f (+) () De même : + ( ) f () ()+( ) f ( ) () [ f()] () = f () ()+ f ( ) () Doc, d près () : f (+) ()+( ) f () () +( ) f ( ) () = Prdéfiitio despolyômes P, otrouve: P + ()+( ) P () +( )( ) P () = (3) Pour : A () = ( ) et B () = ( )( ). Vous vérifierez que l formule reste vlble pour =. 4) De () et (3),ous déduisos : P ()+ P () = D où l formulesuivtepour tout : De (3),odéduit: P () = ( ) P () (4) P + () +( ) P () = 6

129 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Scht que P () =, o e déduit pr récurrece que P + () = ( ) ( i ) et : i= P () = ( ) ( )! ( )! 5) Le sige de ( ) f () () sur ],+ [ est celui de ( ) P (). Pour =, ( ) P () = >. Supposos que, pour u etier, o it ( ) P () > pour tout. O sit que ( ) P + () > et, d près (4) : d d [( ) P + ()] = ( ) ( +)( ) P () > Doc l foctio ( ) P + () est strictemet positive sur [, + [. O prouvé pr récurrece que, pour tout, ( ) f () () > pour tout >..4.4 C k -difféomorphismes Ds ceprgrphe, I et J sot deu itervlles de R d itérieurs o vides et k est uélémet de N { }. Uepplictio w de J ds I estuc k -difféomorphisme de l itervlle J sur l itervlle I si : w est bijective ; w est declsse C k sur J ; w est declsse C k sur I. Rpport ENSAM, «Peu de cdidtssvet ce qu est u difféomorphismeetceu qui s e souvieet, tout e igort le théorème qui s yrpporte...» Eemples L foctio ( l ) défiituc -difféomorphismede R + sur R. L foctio ( 3 ) est ue bijectio de R ds R qui est de clsse C sur R, mis est ps uc -difféomorphisme de R ds R. E revche, srestrictio del pplictio 3 à R + défiit uc - difféomorphismede R + ds R +. Soit et b deu réelstelsque < b. Lfoctio t + t (b ) défiit uc -difféomorphismede [, ] sur [,b]. Lfoctio t + b + t b défiit uc -difféomorphisme de [, ] sur [,b]. Théorème Soit J u itervlle de R, k u élémet de N { } et w ue pplictio declsse C k de J ds R. L pplictio w iduit uc k - difféomorphisme de l itervlle J sur l itervlle w( J) si, et seulemet si : t J w (t) =. Rpport Cetrle, «Les défiitios de bse e sot ps coues : [...] C - difféomorphisme...» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

130 Alyse PC-PSI Démostrtio Supposos que w soit u C k -difféomorphisme de l itervlle J sur w(j ). Alors w est de clsse C k. De plus, w w = Id J. Dérivos cette epressio. t J (w w) (t) = (w ) w(t) w (t) =. Doc : t J w (t) = Supposos que : t J w (t) =. w est ue pplictiocotiue de J ds R qui e s ule ps sur l itervlle J. Elle est doc de sige costt et l foctio w est strictemet mootoe, doc ijective sur J. O prouvé que w iduit ue bijectio de J sur w( J ). w est cotiue, strictemet mootoe, doc w est cotiue. Soit t u poit de w(j ) et t ds w(j ) \{t }. Alors, e post w() = t et w( ) = t : w (t) w (t ) = t t w() w( ) w (t) w (t ) dmet l limite t t w est doc dérivble e t. De plus : est cotiue sur w(j ). w ( ) w = cr w ( ) est ps ul. L pplictio w w Si k >, o motre pr récurrece que w est de clsse C k sur w(j ). Applictio 3 Étude d u C -difféomorphisme c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit lfoctio f défiie pr f () = +l sur R +. ) Motrerque f est u C -difféomorphismede R + sur R. ) Doer u développemet limité àl ordre 3de f u voisige de. 3) Doer u développemet symptotique àdeu termes de f () e +. ) Vous motrerez que f est declsse C sur R +, que s dérivée e s ule ps sur R + et que : f (R + ) = R f est doc u C - difféomorphismede R + sur R. 3 y y = y = f() y = Doc. 4. Lesgrphes de f et f. 3 y= f () y = + 8

131 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles ) Première méthode L pplictio f est declsse C sur R. L formule detylor-youg ous e doe u développemet limité à tout ordre u voisige de. À l ordre 3, il s écrit: f ( + h) = f ()+h f () De plus : + h f h 3 () + f (3) () + o h 3 f () = +l= = Détermios les dérivées successivesde f e : f = f f et f (y) = + y f () = f () =. R f () = f f () f f () 3 R 6 f () = 8 f (3) () = f (3) f () f f () 4 + f f () ( 3) f f () f f () 5 f (3) () = 3 Et ous obteos : f ( + h) = + h + h 6 h3 9 + o(h3 ) Secode méthode Puisque f () =, le développemet limité de f e vous permettredetrouver celui de f. Posos = +h. Doc : f( + h) = ( + h)+l( + h) = +h h +h3 3 +o h 3 f f ( + h) = +h = f +h h +h3 3 +o h 3 () Notos u = h h + h3 3 + o h 3. Lorsque h ted vers, u ted ussi vers. f ( + u) = + u+ u + 3 u 3 +o u 3 () Clculos lespuissces de u : u = h h + h3 + o h 3 3 u = 4 h h 3 + o h 3 u 3 = 8 h 3 + o h 3 O déduitlors de () et () que: +h=+ h+ +4 h h 3 +o h 3 L uicité du développemet limité d ue foctio e u poit permet de clculer : =, = 6 et 3 = 9. f ( + u) = + u + u 6 u3 9 + o u 3 3) Lorsque tedvers +, f () ted vers +. De plus : Doc : Soit : vec : E reportt: soit : d où : Filemet, = f ()+l( f ()). f (). f () = + (), lim () =. + =+ ()+l + () ; l +l + () = (), () = l + o(). f () = l + o(). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

132 Alyse PC-PSI Doc, le grphe de l foctio ( l ) est symptoteàcelui de f. Epérimetlemet, le tbleu suivt idique que le grphe de f est u-dessus de celui de ( l ) pour lesvleurs clculées. t 3 4 = f (t),3 4,6 6,9 9, y = f () y = l 9,79 99,95 999, , Foctios declsse C k pr morceu Dsceprgrphe, k est uélémet de N { }. Ue pplictio f défiie sur u segmet [, b] à vleurs ds E est dite de clsse C k pr morceu sur [,b], s il eiste ue subdivisio (,,..., ) de [,b] telle que l restrictio de f àchcu des itervlles ] i, i [ soit prologeble e ue foctio de clsse C k sur [ i, i ]. Uetelle subdivisio est dite subordoée à f. Eemples Toute foctio eesclier sur [, b] est de clsse C [, b] (doc. 5). pr morceu sur L foctio Arccos cos est cotiue, pire et p périodique. Elle estussi de clsse C pr morceu surtout segmet de R (doc. 6). y = 3 b = Doc. 5. Ue foctioeesclier est de clsse C pr morceu y y p p p p p 3p Doc. 6. L foctio Arccos cos.,73,4,7 4 3,5 3 4 Doc. 7. L foctio. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L foctio estcotiue sur R et de clsse C sur R. Elle estps de clsse C pr morceu sur [, ] (doc. 7). E prtique, pour prouver que f est declsse C k pr morceu sur [,b], il suffit detrouver ue subdivisio (,,..., ) de [,b] telle que, pour tout i [[, ]] : f est declsse C k sur ] i, i [; f dmetue limite àdroite e i ; f dmetue limite àguchee i ; l pplictio f i, défiiesur [ i, i ] pr : lim f (t) si = i t i + f i () = f() si ] i, i [ f (t) si = i lim t i est declsse C k sur [ i, i ]. 3

133 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Ue pplictio f est dite de clsse C k pr morceu sur uitervlle I quelcoque si s restrictioàtout segmet est declsse C k pr morceu. L esemble des foctios de clsse C k pr morceu sur l itervlle I, à vleursds E, est u sous-espce vectoriel de F(I, E), oté CM k (I, E). Eemples L foctio vleur bsolue est cotiue et de clsse C pr morceu sur R. Pour tout de N, l pplictio + est declsse C sur R et ussi de clsse C + pr morceu. Soit k N et f F(I, E). O remrque que, si f estdeclsse C k pr morceu sur I, lors les dérivées successivesde f : O retrouve l crctéristio des foctios costtes prmi les foctios cotiues sur I et dérivbles sur l esemble des poits itérieurs à I (cf. corollire 6.). f (), f (),..., f (k) () sot défiies e tout poit de I suf sur uesemble P. L esemble P lprticulrité suivte :tout segmet [, b] iclus ds I e cotiet qu u ombre fii depoitsde P. Ds cecs, pour j [[, k]], oote D j f ou f ( j) l foctiode I \P ds E défiiepr f ( j) (). Théorème Soit I u itervlle de R et f ue pplictiode I ds E. Si f est cotiue sur I et de clsse C pr morceu sur cet itervlle, lors f est costtesur I si, et seulemetsi, D f =. Itégrtio sur u segmet.. Itégrle d ue foctio e esclier.. Défiitios i= Soit Esc ([, b], E) l esemble des foctios e esclier de [,b] ds E, w u élémet de Esc ([, b], E). Notos ( i ) i [[,]] ue subdivisio de J = [, b] subordoée à w et l i l vleurprise pr w sur ] i, i [. Le vecteur de E : I (w) = i i li est idépedt de l subdivisio subordoée à w utilisée pour le clculer. Le vecteur I (w) = i i li est ppelé itégrle de l foctio w i= surlesegmet [, b]. Nous le oteros [,b] w ou J w. L itégrle e déped psdes vleurs prises pr w u poits de l subdivisio. Si w est ue foctio costtesur J, devleur l : w = w = (b ) l [,b] J Ds lecs d ue foctio à vleurs réelles positives, o retrouve l iterpréttio clssique e terme d ire. C est d illeurs l origie historique de l otio d itégrle (doc. 8). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

134 Alyse PC-PSI.. Propriétés Théorème 3 Soit J usegmet de R. L pplictio de Esc ( J, E) ds E, qui à w ssocie w, est liéire: J (,b) K (w,c) (Esc (J, E)) J (w + bc) = w + b c. J J Théorème 4 Soit E et F deu K -espces vectoriels de dimesio fiie, J = [, b] u segmetde R, w uepplictioe esclier de J ds E et u ue pplictioliéirede E ds F. Alors : u w Esc (J, F); u w=u w. J J Théorème 5 Soit J u segmet de R et w u élémet de Esc (J, E). Si est ue orme surl espce vectoriel E. Alors : w Esc (J, R) w w. J J l 3 l l = 3 b 4 = Doc. 8. Ici, w est àvleurs ds R + et : w = i i li [,b] i= représetel ire de l portiocolorée. = b b =c c c b c b b 3 c 4 c 5 3 = Doc. 9. Costructiod ue subdivisio subordoée simultémet à deu foctios e esclier. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Démostrtio Soit ( i) i [, ] ue subdivisio de J subordoée à w. Sur chque itervlle ] i, i[, l foctio w est costte, doc l foctio w l est ussi. Notos l i l vleur prise pr w sur ] i, i[. O : w = ( i i )l i ( i i )l i= w J i= Corollire5. Soit [, b] usegmet de R, w u élémet de Esc ([, b], E), ue orme sur l espce vectoriel E et M u réel tel que : [, b] w () M. Alors : w w M (b ). [,b] [,b] E prticulier,si w =sup {w () ; [, b]}, lors : w w w (b ). [,b] [,b] i= J 3

135 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles.. Itégrle d ue pplictio cotiue pr morceu sur usegmet.. Défiitio de l itégrle Soit [, b] usegmet de R. Toute foctiovectorielle cotiue pr morceu, f, de [,b] ds u espce vectoriel de dimesio fiie E ou C peut être pprochée uiformémet prdes foctios e escliersur [, b]. Cette propriété v ous permettre de défiir l itégrle d ue pplictio cotiue prmorceu sur u segmet. Théorème 6 Soit [, b] usegmet de R et f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E. Si (w ) est ue suite de foctios e esclier de [,b] ds E qui covergeuiformémet vers f sur [,b], lors l suite de vecteurs w covergeds E. [,b] Si (w ) et (c ) sot deu suites defoctios e esclier de [,b] ds E qui coverget uiformémet vers f sur [,b], lors : w = lim + [,b] lim + c [,b] Ce résultt été vu ds le chpitre 4. (PC) Il eiste doc ue suite (w ) de foctios e esclier de [, b] ds (E, E ) telle que, pour tout > : sup { f (t) w (t) E ; t [, b]}. O dit, ds ce prgrphe, que l suite (w ) coverge uiformémet vers f sur [,b]. Démostrtio (PSI) Pour toute pplictio f de CM ([, b], E), posos : f = sup { f ( t) E t [, b]}. Ds l suite de l démostrtio, o fie uélémet f de CM ([, b], E). Soit (w ) ue suite de foctios e esclier de [,b] ds E qui coverge uiformémet vers f sur [, b]. C est ue suite de Cuchy de l espce vectoriel ormé (CM([, b], E), ) et: > N N N p N (N) w +p w Les foctios w +p et w sot des foctios e esclier sur [, b] ; w +p = w+p w [,b] [,b]w E [,b] w +p w (b ). E O e déduitque l suite de vecteurs w est ue suite de Cuchy de E ;elle [,b] coverge doc ds E. Notos (w ) et (c ) deu suites defoctios e esclier de [,b] ds E telles que : lim f + w = lim f c =. + Opeut écrire : w c f w + f c. O e déduit : lim w c = + Les suites w et c coverget ds E. Notos : [,b] [,b] L (w) = lim w et L (c) = lim c + [,b] + [,b] E d utres termes, l covergece des suites (w ) et (c ) vers f,ds l espce vectotiel ormé (CM([, b], E), ), etrîe l covergece de l suite (w c ) vers l foctio ulle. Lorsque f est elle-même ue foctio e esclier, o peut choisir w = f pour tout. O obtiet l itégrle telle qu elle vit été défiie ds le prgrphe précédet. L itégrle qui viet d être défiie pour les foctios cotiues pr morceu sur usegmet est bie ue géérlistiodel itégrle desfoctios e esclier. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 33

136 Alyse PC-PSI Ositque : N [,b] w c = [,b] E [,b] Le théorème d ecdremet permet de coclure que : L (w) = L (c). (w c ) E w c (b ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 34 Le théorème 6 permet de défiirl itégrled ue foctiocotiue pr morceu surusegmet. Soit f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E et (w ) ue suite de foctios e esclierde [,b] ds E qui covergeuiformé- metvers f sur [,b]. L itégrle de f sur lesegmet [, b] est l limite de l suite w. O l ote f ou f ( t)dt. [,b] [,b] [,b] f est uvecteur de E. Prdéfiitio: [,b] lim w = + [,b] [,b].. Sommes de Riem f = [,b] f uepplictiocoti- Soit [, b] usegmetde R d itérieurovideet ue de [, b] ds E. Pour tout etier >, o pose: S = b f i= +i b et T = b f ( t)dt. i= f + i b O ppelle S et T des sommes de Riem* de f sur lesegmet [, b]. * Nous devos àcuchy, e83, l première défiitio rigoureuse de l itégrle. Il étblit que, si f est ue foctio réelle, cotiue ds u itervlle [, X] et < < = X poits del itervlle [, X], lessommes S = ( ) f ( )+( ) f( )+ +(X ) f( ) dmettet,lorsque : m { i+ i i [[, ]]} ted vers, ue limite :«limite qui dépedr uiquemet de l foctio f () etdes vleurs etrêmes, X ttribuées àlvrible. Cette limite est ce que l o ppelle ue itégrle défiie».riem motre que cette défiitio de l itégrle s pplique à u esemble de foctios plus vste. y f ( 4 ) f ( ) f ( 3 ) f ( ) = y=f() 3 4= b Doc.. Sur ce schém, = 4, i = + i b et l ire hchurée représete : y f ( ) f ( 3 ) f ( ) f ( ) S = i= = f ( i ) b. 3 4 Doc.. Sur ce schém, = 4, i = + i b et l ire hchurée représete : T = i= f( i ) b.

137 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Corollire6. Soit f ue pplictio cotiue de [, b] ds E. Les suites de sommes de Riem (S ) et (T ) coverget vers f : [,b] f = b lim + i= b = lim + i= f f [,b] + i b + i b Rpport CCP,997 Vous e pourrezps buser lesemiteurs «E ce qui cocere l itégrtio, plusieurscdidtsot ffirmé voir jmis etedu prler de sommes de Riem.» Lorsque f est àvleurs ds R +, ilest isé de voir que S et T représetet dessommes d ires de rectgles (doc. et ). L démostrtioest horsprogrmme cr elle utilise ue otioqui e figure ps u progrmmes PC et PSI. Toutefois, il ous prît itéresst de vous fireremrquer qu elle reposesur l idée suivte. O désige pr w l foctioeesclier sur [,b] défiie, pout tout i etre et, sur chque i(b ) (i +)(b ) itervlle +, + pr (doc. ) : i(b ) w () = f + et w (b) = f (b). y = =b Doc.. L foctio e esclier w. L suite de foctios e esclier que ous veos de costruire, (w ), covergeuiformémet vers f sur [,b]. Pour s etrîer :e. 6. Applictio 4 Utilistio des sommes de Riem ) Clculer lim + ip i si. i= ) O fie u réel =. Détermier uéquivletdelsuite (u ) défiiepr u = k. k=+ 3) Triter l questio ) ds le cs où =. ) Notos : S = ip i si = i= i= i ip si E post f () = si (p), o costte que f est cotiue sur [, ] et que S de Riem de f sur [, ]. Doc : ) k=+ est ue somme lim S = t si (pt)dt = + [,] p. k = i= ( + i) = + i. i= Posos g () =. L foctio g est ( + ) cotiue sur [, ]. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35

138 Alyse PC-PSI i= i g sur [, ], doc : lim + O e déduitque : u = est ue somme de Riem de g i= k=+ i g =. k. 3) Lorsque = : k = + i = k=+ i= i= + i O recoît làue somme de Riem de l foctio cotiue t sur lesegmet +t [, ]. Doc : lim k = dt =l(). [,] +t + k=+..3 Liérité de l itégrle d ue pplictio cotiue pr morceu sur u segmet Théorème 7 Soit J u segmet de R. L pplictio de CM (J, E) ds E, qui à f ssocie f, est liéire: J (,b) K ( f,g) (CM (J, E)) ( f + bg) = f +b g. J J J Démostrtio Soit (w ) et (c ) deu suites defoctios e esclier de J uiformémet vers f et g respectivemet. ds E coverget L suite de foctios e esclier (w + bc ) coverge uiformémet vers f + bg et : ( f + bg) = lim (w + bc + ) = f + b g. J J J J Pour s etrîer :e. 7. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 8 Soit [, b] usegmet de R, f et g deu foctios cotiues prmorceu de [, b] ds E. Si f et g coïcidet,suf sur ueprtie fiie de [, b], lors : f = g. [,b] [,b] Coséquece importte (PSI) Si f est ue foctiodéfiie sur u segmet J = [, b] privé d ue subdivisio S = (,,... ) de [,b]ettelle que l restrictiode f àchcu des itervlles ouverts ] i, i+ [ est prologeble eue foctio cotiue sur [ i, i+ ], f peut être prologée e ue foctio cotiue pr morceu sur [,b], que ous oteros f. L itégrle de f sur [,b]edéped ps Àvous de prouver, leplus brièvemet possible, ce résultt e cosidért f g. 36

139 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles des vleurs choisies pour prologer f.nous l ppelleros itégrle de f sur [,b] etloterosecore : f ou f. J [,b] Aisi, si g est ue foctio declsse C pr morceu de J ds E, opeut clculer g bie que g e soit ps défiieetout poit de J...4 Itégrle et pplictios liéires J Doc. 3. Le grphe de si est e tritplei et celuidesdérivée e poitillé. Théorème 9 Soit E et F deu espces vectoriels de dimesio fiie, u ue pplictioliéirede E ds F, J u segmet de R et f ue pplictio cotiue pr morceu de J ds E. Alors : u f CM (J, F) u f = u f J Démostrtio J. O ote E ue orme sur E et F ue orme sur F. Puisque u L (E, F), o sit qu il eiste u réel M tel que v E u(v) F Mv E (cf. Alyse, chpitre 3). Pour toute pplictio f de CM (J, E), o pose f = sup f ( t) E. t J Pour toute pplictio g de CM (J, F), o pose g = sup g ( t) F. t J L pplictio f de CM (J, E) étt fiée, o itroduitue suite (w ) defoctios e esclierde J ds E qui coverge uiformémet vers f sur J. O doc : lim + f w = De plus, les foctios u w sot des foctios e esclier de J ds F et : N t J u f ( t) u w ( t) F = u ( f ( t) w ( t)) F Doc. 4. Àvous de prouver, leplus brièvemet possible,cerésultt. O e déduit : M f ( t) w ( t) E M f w N u f u w =sup u f ( t) u w ( t) F M f w t J L suite de foctios e esclier (u w ) coverge uiformémet vers u f sur J. D où : u f = lim u w J + J Or, w est ue foctioeesclier, doc u w = u w. L cotiuité de l pplictioliéire u permet d écrire : u f = lim u w = u lim w = u + + J J Dslsuite du prgrphe, o ote B = (e i ) i [[, p]] ue bsede E. J J J J f chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 37

140 Alyse PC-PSI Corollire9. Soit J u segmet de R et f ue pplictio cotiue pr morceu de J ds E. O ote (f i ) i [[, p]] les pplictios coordoées de f reltivesàl bse B. Le clcul de l itégrle de f peut être effectué compostepr composte: J f = p i= J f i e i Démostrtio E ott ei l foctio i-ième composte ds l bse B : i [[, p]] f = e i f = e i J J J Doc : p f = f i e i. J i= J f i. E prticulier, si f est ue foctio cotiue pr morceu sur le segmet J, à vleurs complees,lors : J f = Re J J J f= Re f +i f = J J f = J Im f ; Re ( f ), Im J Re f i J J f = J Im f. Im ( f ); Applictio 5 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Pour tout etier, o pose: et = cos ()si ()d, [, p ] S = ( ) k k. k= ) Prouver que l suite ( ) ted vers. [O pourr utiliser l iéglité cos ()d.] [, p ] Utilistio de foctios complees ) O s itéresse à l ture de l série ( ). Étblir l formule : d S = Im [, p ] +e i cos () R (), vec R () = Im [, p ] e i cos () + +e i d. cos () 3) Démotrerque R () ted vers qud ted vers +. 4) E déduire l somme s de l série ( ). 38

141 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles ) Notos b = cos ()d. [, p ] Pour tout de, p : b + b. L suite (b ) coverge. b = cos ()d = [, p ] 4 = e i 4 + +e i d [,p] [,p] cos ()d Développos pr l formuledubiôme de Newto. O sit que, si k est u etier o ul, e ik d =. O e déduit: [,p] b = p 4 + = p i= = p. i p Doc l (b ) = l + i= i= i (i) i= Or l série àtermes égtifs l divergete. Doc lim + l (b ) = et ) ( ) = Im l. i i lim b =. + [, p ] cos ()e i d est. Pour tout de S = ( ) k k k=, p, cos ()e i =, doc : cos()e i + = Im [, p ] +cos()e i d = Im [, p ] +cos()e i d R (). 3) O sit que, pour tout ombre complee z, Im (z) z,doc : R () [, p ] cos() + +cos()e i d Or +cos ()e i, doc R () b +. Cette mjortioprouveque lim R () =. + 4) De ce qui précède, o déduit l covergece de l suite (S ) et: s= lim + S = ( ) k k k= = Im d [, p ] +cos ()ei cos ()si() = [, p ] +3cos d () E post u = cos(), o trouve: u s= +3u du= l() 3. [,]..5 Cs des foctios àvleurs ds R + Théorème :Positivité et croissce de l itégrle Soit [, b] usegmet de R, f et g deu foctios cotiues pr morceu de [, b] ds R. Alors : f f ; fg [,b] [,b] f [,b] g. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 39

142 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Démostrtio Soit (w ) ue suite de foctios e esclier coverget uiformémet vers f sur [, b]. Pour fié ds N, défiissos l foctio c e post : Vous prouverez que : t [, b] c ( t) = m (, w ( t)). c est ue foctio eesclier sur [, b] ; c est ue foctio positive sur [, b] ; N f c f w. L suite de foctios (c ) est ue suite de foctios e esclier sur [, b] qui coverge uiformémet vers f sur [, b]. Doc : f = c [,b] lim + Théorème Soit J u segmetde R et f ue foctiocotiueet positive sur J. Alors : f = f =. Démostrtio J Cosidéros ue foctio f cotiue positive sur J et o idetiquemet ulle. Alors ileiste upoit itérieur à J, que l o oter c,tel que f (c) >. L cotiuité de f e c etrîe (doc. 6) : y fc () fc () [,b] > [c,c+] c c c+ y= f() y= g() f() f(c) Doc. 6. L itégrle de f sur J est plus grde que l ire hchurée. Appelos g l foctio défiie pr : g() = f (c) g() = g estue foctio de CM (J, R) et si [c, c + ] sio f g,d où J f g = f (c) >. J Pour s etrîer :e. 8et9. y i i y= f() Doc. 5. Si sur ] i, i [ : w () = l i, lors: ] i, i [ y= ( ) w [w ()=l i c ()= f() Rpport Mies-Pots, 997 «Les futes de clcul sot trop fréquetes, elles sedoublet prfois d bsurdités (trouver ue vleur positive pour : d, pr eemple).» L hypothèse de cotiuité est fodmetle comme l illustre le schémsuivt (doc. 7). y b Doc. 7. Grphe d ue foctio positive et d itégrle ulle sur [, b],misqui estps idetiquemetulle surcet itervlle. 4

143 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles..6 Ue iéglité fodmetle Soit ue orme sur E. L pplictio estue pplictiocotiue de E ds R. Si [, b] est u segmet de R et f ue pplictiocotiue pr morceu de [, b] ds E, lors f est ue pplictio cotiue prmorceu de [, b] ds R. Théorème Si [, b] est u segmet de R et f ue pplictiocotiue pr morceu de [, b] ds E, lors : f f (b ) f. [,b] [,b] Ue mjortio effectuée vec soi rpporter des poits: Rpport Mies-Pots, 997 «Les futes de mjortio-miortio sot fréquetes (même les plus grossières,dutype cos( t) implique cos( t) ).» Rpport E3A, 997. «Rres sot les cdidts qui preet desprécutios de vleurs bsolues vt de mjorer...» Démostrtio Soit (w ) ue suite de foctios e esclier de [,b] ds E coverget uiformémet vers f sur [,b]. Pour tout etier, lfoctio w est ue foctioeesclierde [,b] ds R. De plus : t [, b] f(t) w (t) f(t) w (t) f w L suite de foctios e esclier w coverge uiformémet vers l foctio f sur [, b]. Doc : w = f lim + [,b] Pr illeurs, pour tout, w est ue foctio eesclier de [,b] ds E, doc : w w () [,b] [,b] Scht que lim w = f et que l foctio est cotiue sur E, + [,b] [,b] o peut psser àllimite ds (). O obtiet : f [,b] t [,b] f(t) f. Doc : f ( t) d t [,b] [,b] [,b] [,b] f f = (b ) f Applictio 6 L églité Si f est ue pplictiocotiue pr morceu de [, b] ds C, lors: f f [,b] [,b] Pour s etrîer :e.. [,b] f = [,b] f Ds cette pplictio, ous llos étudier le cs d églité lorsque f est cotiue. ) Soit f ue pplictio cotiue de [, b] ds R. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4

144 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Prouver que : [,b] f = [,b] f si, etseulemet si, fechge ps de sige sur [, b]. ) Soit f ue pplictio cotiue de [, b] ds C. Prouver que : [,b] si, et seulemetsi, f = [,b] f R [, b] f () R + e i. Remrque : Géométriquemet, cel sigifie que les vleurs prises pr f sot toutes sur ue demidroite du pl compleeissue de. ) Si f est desige costt sur [,b], lors : f = f [,b] Réciproquemet,si [,b] [,b] [,b] f, lors : f f = L foctio f f est cotiueet positive sur [, b]. Soitégrleest ulle, doc elle est idetiquemet ulle. Si f <, o pplique le cs précédet àl [,b] foctio f. ) Supposos que : Alors Doc : et R [, b] f () R + e i [, b] f () = f () e i. [,b] [,b] f ()d =e i f ()d = [,b] [,b] f() d f() d. Réciproquemet,supposos que : Csprticulier : Alors [,b] [,b] f = [,b] f = [,b] f f =. L foctio f est cotiue et positive sur [,b]. So itégrle est ulle. Elle est idetiquemet ulle et le problème est résolu. Csgéérl : f = [,b] f [,b] est uombre compleeo ul que l o metsous forme trigoométrique : R [,b] f = e i O peut doc écrire : f = f e i [,b] [,b] = Re f e i +i [,b] O e déduit: et [,b] Doc : f = [,b] [,b] [,b] Im f e i = [,b] f = [,b] [,b] f f Re f e i =. Or,pour tout t de [, b] : f(t) Re f ( t)e i Im f e i Re f e i = f ( t)e i Re f ( t)e i cr, pour tout ombre complee z, z Re z. L foctio f Re f e i est cotiue et positive sur [,b].puisque so itégrle sur [, b] est ulle,elle est idetiquemet ulle. 4

145 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Applictio7 Ecore u peu de ciémtique Il semble évidet que l distce prcourue pr u poit mobile de l espce E est iférieure u produit dutemps de prcours pr l vitesse mimle du poit.prouvez-le. Notos et b les istts dedéprt et d rrivée du poit mobile et ue orme euclidiee sur E. L trjectoire du poit est prmétrée pr l pplictio: [,b] E f : t f ( t) que l o supposedeclsse C,comme toujours e ciémtique. L distce prcourue pr le poit mobile etre les istts et b est : d= b f (t)dt. L vitesse mimle dupoit mobile est f. O : d(b )f...7 Vleur moyee, iéglité de l moyee L vleur moyee de f sur lesegmet [, b] est le vecteur de E : f. b [,b] Corollire.:Iéglitédelmoyee Soit [, b] usegmet de R et f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E. L orme de l vleur moyee de f sur [,b] est iférieure àlvleur moyee de l orme de f qui est elle-même iférieure à f. f b f f. b [,b] [,b]..8 Itégrle et pplictios biliéires Ds ceprgrphe, E, E, F,F et G, G sot trois espces vectorielsormés de dimesios fiies. Corollire. Soit [, b] usegmet de R, f CM ([, b], E), g CM ([, b], F). O ote f = sup f ( t) E et g = sup g( t) F. t [,b] t [,b] Si B est ue pplictiobiliéirede E F ds G, lors : B( f, g) CM ([, b], G); K R + B( f,g) [,b] G K f [,b] g(t) F dt K (b ) f g. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 43

146 Alyse PC-PSI Démostrtio Lorsque E, F et G sot de dimesio fiie, toute pplictio biliéire B de E F ds G estcotiue et ileiste u réel K telque : (v, w) E F B (v, w) G K v E w F. Puisque f et g sot cotiues prmorceu sur [,b], l pplictiosuivte : [,b] E F t ( f ( t), g( t)) est cotiue pr morceu sur [,b]. O e déduit que l pplictio B ( f, g) :(t B ( f ( t), g( t))) est cotiue pr morceu sur [,b]. De plus : Doc : [,b] [,b] B ( f, g) G B ( f, g) [,b] G [,b] B ( f ( t),g(t)) G d t. K f ( t) E g( t) F d t K (b ) f g.3. Itégrle sur u segmet d ue foctio cotiue pr morceu sur u itervlle Dsceprgrphe, E est u K-espce vectoriel de dimesiofiie. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L foctio crctéristique Soit K ueprtie de R. L foctio crctéristique de K est l pplictio de R ds R, otée K, etdéfiie pr: Eemples K : R R t K ( t) = si t / K si t K L foctio crctéristique de [ est l foctioulle. L foctio crctéristique de Z legrphe ci-cotre (doc. 8). Théorème 3 Soit J et K deu segmets tels que K J et f ue pplictio cotiue pr morceu de J ds E. O ote f l restrictiode f à K. Les deu propriétés suivtessot vérifiées : f CM (K, E); f K = f. J K Dslsuite,ous oteros cette itégrle K f (doc. 9). y Doc. 8. Z () = si est ps u etier. Z ( ) = si est u etier. y c d y= f() b Doc. 9. Sur ce schém: J = [,b], K = [c, d], f est ue foctiode [,b] ds R +. E oir,setrouve le grphe de f. E couleur, se trouve le grphe de f K. L ire de l prtie grisée représete f = f K. K J

147 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles.3. L reltio dechsles Théorème 4 Soit [, b] usegmet de R, f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E et c u poit de ], b[. Alors : f = f + f. [,b] [,c] [c,b] Démostrtio Les foctios [,c] f + [c,b] f et f sot cotiues pr morceu sur [,b] et diffèret uiquemet e c.doc leurs itégrles sur [,b] sot égles..3.3 Etesio de l itégrle f est uepplictiocoti- Dsceprgrphe, I estuitervllede R et ue pr morceu de I ds E. Si J est usegmet iclus ds I, lors l restrictiode f à J est cotiue pr morceu et soitégrle surcesegmet est otée f. Étt doés deu élémets et b de I, odéfiit l itégrle de à b de f, otée b O remrque que : f ou b b f ( t)dt, pr l formule: f si < b [,b] f = E si = b f si > b (, b) I.3.4 Ivrice pr trsltio [b,] b f = b Théorème 5 :Ivrice pr trsltio Soit [, b] usegmet de R, f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E et u réel. O défiit l pplictio g sur [ +, + b] epost : [ +, + b] E g : g() = f ( ) Alors : g CM ([ +, + b], E). f = g. [,b] [ +, +b] f J Michel Chsles, mthémticie frçis (793-88). Polytechicie, il deviet get de chge. Ruié, il retoure u mthémtiques et ecelle e géométrie. Si f est cotiue pr morceu suruitervlle I, pour tous et b de I, o: b m(,b) f(t)dt f (t) d t mi(,b) L ivrice pr trsltio est ue coséquece de l formule de chgemet de vrible: b f()d = b+ + f(t )dt que ous géérliseros u foctios vectorielles. Ce théorème estimmédit pour des foctios e esclier. Pour ue foctio cotiue pr morceu, f, reveiràl défiitiode: f. [,b] chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 45

148 Alyse PC-PSI.4. Des ormes sur C ([, b], K).4. Norme delcovergece e moyee L espce vectoriel C ([, b], K) est mui de l orme N défiiepr : C ([, b], K) R N : f N ( f ) = [,b] f Cette orme est ppelée orme de l covergece e moyee. L orme N été doée comme eemple de orme u chpitre. L cotiuité de f estessetielle pour obteirl im- plictio: N ( f)= f =..4. Covergece uiforme et covergece e moyee (PSI) L espce vectoriel C ([, b], K) est mui de l orme de l covergece uiforme. f C ([, b], K) f f = N ( f ) (b ) f. [,b] O e déduitlethéorème suivt: [,b] Théorème 6 Soit f ue foctio cotiue de [, b] ds K et ( f ) ue suite de foctios de C ([, b], K) coverget uiformémet vers f sur [,b]. Alors : l suite ( f )covergeemoyee vers f : lim N ( f f ) = ; + lim f = f. + [,b] [,b] Eemples Étudier l suite (u ) où u = e + d = f. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Pour tout, f estue pplictiocotiue de [, ] ds R (doc. ). L suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur [, ] vers l foctio f défiiesur [, ] pr f () = e. L covergece est-elle uiforme? [, ] f () f () = e (+) 4 L suite de foctios ( f ) coverge uiformémet vers sur [, ]. L suite (u ) covergeet: lim + e + d = e d = e f. Doc.. Sur cet écr de TI, setrouvet, debs e hut, les grphes de f, f 5 et f. L feêtre utilisée est et y,5. Lesgrdutios surles es sot espcées de,.! Si l suite de foctios cotiues ( f ) coverge simplemet, mis o uiformémet vers f, le théorème e s pplique plus (cf. eercice ). 46

149 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Étudier l suite de foctios ( f ) défiies sur [, ] pr f () =. L suite de foctios ( f ) coverge simplemet vers l foctio e esclier f, défiie pr: f()=si= f() = L suite de foctios ( f ) ecovergeps uiformémet sur [, ] cr estps cotiue. Pour tout etier, f = +. Doc l suite de foctios ( f ) coverge e moyee vers l foctioulle sur [, ]. O e déduit que l orme de l covergece uiforme et l orme de l covergece e moyee N e sot ps des ormes équivletes sur C ([, b], K). f Théorème 7 Soit u ue série d pplictios cotiues de [, b] ds K, coverget uiformémet sur [,b] vers S, lors l série umérique u est covergete et : [,b] u ()d = S = u () d. [,b] [,b] [,b] = =.4.3 Covergece ormle etcovergece e moyee Théorème 8 Soit u ue série defoctios cotiues de [, b] ds K, coverget ormlemet sur [,b], lors : l série umérique N (u ) = u est covergete; [,b] oote S l foctiosommedelsérie, elle est cotiuesur [,b] et: u ()d = S = u () d = [,b] [,b] [,b] = S N (S) N (u )(b ) u. Démostrtio [,b] = L série àtermes réels u est covergete. De plus, ous svos que : = N N (u ) (b ) u () Cet ecdremet permet decoclure que l série umérique N (u ) est covergete. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 47

150 Alyse PC-PSI Les foctios u sot cotiues sur [,b] etlsérie de foctios coverge ormlemet sur le segmet [, b]. Doc S est cotiue sur [, b]. S S = N (S). [,b] [,b] De l ecdremet (), o déduit ussi : N (u ) (b ) u. = = u Notos S = u k l foctiosomme prtielle d idice de l série u. O sitque : k= N N (S ) = u k u k = u k = N (u k) [,b] k= O e déduit lederier poit du théorème. [,b] k= k= [,b] k= Corollire8. Soit I u itervlle de R et u ue série defoctios cotiues de I ds K. Si cette série defoctios covergeormlemet sur tout segmet iclus ds I, lors : y y (, y) I u ( t)dt = u (t) dt = = (PSI) Ce résultt s pplique si l série de foctios coverge uiformémet sur tout segmet coteu ds I. Pour s etrîer :e.. Applictio 8 Développemet e sériedelfoctio logrithme sur ],] c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Pour tout etier et tout réel de ], [, o pose u () = ( ). ) Soit ], [. Motrer que l série defoc- tios u coverge ormlemet sur [, ]. ) Motrerque,pour tout de ], [, l ( + ) = = l ( ) = ( ) + + = ) Que dire des deu foctios et des deu séries pprisst àlquestio précédete lorsque estps ds ], [? 4) Motrerque,pour tout de ], ] : l = ( ) ( ) +. + = ) Ce résulttdéjà été vu. O peut écrire : [, ] u () 48

151 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Le mjort estidépedt de. L covergece de l série géométrique permet de coclure. ) Les hypothèses du corollire 8. sot stisfites, doc : ], [ Soit : = ( ) + + = = u ( t)dt = u (t) dt = dt =l ( + ) +t E remplçt pr, otrouve ldeuième églité. 3) L foctio ( l ( + )) est défiie pour >. L sériedefoctios ( ) + ], ]. De plus, le clcul de + = N = + covergesur ( ) +, t dt motre que l = e écrivt = ( ) +. O procède de même pour l foctio ( l ( )) e remplçt pr. 4) Pourtout de ],], est ds ], ] ( )+ et l = l ( +( )) = ( ). + =.4.4 Norme de l covergece e moyee qudrtique sur C ([, b], K).4.4. Le cs réel L pplictiosuivte: C([, b], R) C ([, b], R) R : ( f, g) f g = défiit uproduit sclire sur le R-espce vectoriel des pplictios cotiues de [, b] ds R. O ote N l orme sur C ([, b], R) ssociée àceproduitsclire. Elle est ppeléelorme de l covergece e moyee qudrtique. [,b] Prdéfiitio, si f est ue foctiocotiue de [, b] ds R : O rppelle l iéglité suivte : N ( f ) = f [,b] Théorème 9-R.IéglitédeCuchy-Schwrz Soit f et g deu élémets de C ([, b], R). Alors : [,b] fg [,b] f f g N ( f ) N (g) L églité lieu si, etseulemet si, [,b] f et g sot liées. g fg! L cotiuité est essetielle pour prouver l implictio f f = f =. E effet, si f f =, lors : f = et l pplictio f [,b] est cotiue et positive sur [, b]. So itégrlesur [, b] est ulle, doc f est idetiquemetulle. Herm Schwrz, mthémticie llemd (843-9). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 49

152 Alyse PC-PSI E prticulier,epret g =, o trouve: [,b] f (b ) [,b] f. L églité lieu si, etseulemet si, f est costte Le cs complee L pplictiosuivte: C([, b], C) C ([, b], C) C : ( f, g) f g = [,b] fg défiituproduit sclire surlec-espce vectoriel despplictios cotiues de [, b] ds C. Comme ds le cs réel, oote N l orme sur C ([, b], C) ssociée à ce produit sclire. Elle est ppelée l orme de l covergece e moyee qudrtique. Prdéfiitio, si f est ue foctiocotiue de [, b] ds C : De même que ds le cs réel, l cotiuité de f est essetielle pour obteir lderière implictio. N ( f ) = [,b] f Théorème 9-C.IéglitédeCuchy-Schwrz Soit f et g deu élémets de C ([, b], C). Alors : [,b] fg f g [,b] f g [,b] [,b] L églité fg = f g lieu si, etseulemet si, f et g sot [,b] [,b] [,b] liées. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Eemples E utilistl foctiocostte g =, vousprouverezque : [,b] f Vous démotrerez ussi que : [,b] (b ) f. [,b] tf(t)dt b3 3 3 [,b] f. Pour s etrîer :e. et 3. 5

153 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Applictio9 b Étude de f b f Soit et b deu réels tels < b. O désige pr F l esembledes foctios cotiues de [, b] ds R qui e s ulet ps sur [, b]. b b ) Clculer if f F f ) Détermier pour quels élémets de f cette bore iférieure est tteite. b b 3) Clculer f ds le cs où f () = e. Qu e cocluez-vous? ) D près le théorème des vleurs itermédiires, tout élémet de F est de sige costt sur [, b].de plus : b b b b f = f f f Doc : b b f if f F f f b = if f f G. f b f où G estl esemble desélémets de F àvleurs strictemet positives. Pour tout élémet f de G, l iéglité de Cuchy-Schwrz permet d écrire : b b b b f = f f f b f =(b ) f.4.5 Compriso des trois ormes Théorème 3 Pour toutepplictio f de C ([, b], K): N ( f) b f De plus,si f estue pplictiocostte, lors : b b f =(b ) f Doc : if f F b f b =(b ) f ) O viet de voir que cette bore iférieure est tteite pour toutes lesfoctios costtes. Réciproquemet,pour tout élémet de G tel que : b o : b b f f b f f = =(b ) b f f C est le cs d églité de l iéglité de Cuchy- Schwrz. Les foctios f et sot coli- f éires. O e déduit que f est costte. Pour les foctioségtives, o pplique ce qui précède à f. b b 3) e d e d O trouveque : b b f sup f F = e(b ) +e (b ). =+. f chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

154 Alyse PC-PSI L fi de ce prgrpheest u progrmme de l sectio PSI uiquemet. Pour toutepplictio f de C ([, b], K): N ( f) b N ( f). L covergece uiforme d ue suite de foctios etrîe s covergece e moyee qudrtique et l covergece e moyee qudrtique d ue suite de foctios etrîe s covergece e moyee : lim f f = lim N ( f f ) = ; + + lim N ( f f ) = lim N ( f f ) =. + + Misles réciproquesdeces implictios sot fusses. E combit les deu, o retrouvelerésultt vu u.4..: lim f f = + lim N ( f f ) = + y Eemples [, b] = [, ] et f () =. L suite ( f ) covergevers l foctio ulle e moyee qudrtique, mis ps uiformémet. [, b] = [,]. Pour tout de N et tout de [, ] (doc. ) : ( ) si, g () = si, L suite (g ) coverge emoyee vers l foctio ulle, mis ps e moyeequdrtique. Doc.. Grphe des foctios g et g. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

155 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles Pour motrer qu ue pplictio utiliser les opértios surles foctios dérivbles ; chercher si f peut s écrire : f de l itervlle I ds E est dérivble e,opeut: f () = f ( )+( )V +( ) (), vec lim () = E ; motrer que l limite,lorsque tedvers, de f() f( ) eiste ; choisirue bse de E et motrer que lespplictios coordoées de f sot dérivbles e. Pour motrer qu ue pplictio w de l itervlle J ds l itervlle I de clsse C k C k -difféomorphisme de J sur I, oprouveque : w est declsse C k sur J ; t J w (t) = ; w(j)=i. estu Pour motrer qu ue pplictio f de I ds E,declsse C pr morceu, est costte sur I,ilsuffit de prouver que : f est cotiue sur I ; D f =. (PSI) Soit [,b] usegmet de R, E u espce vectoriel ormé de dimesio fiie, f ue foctiode C([, b], E) et ( f ) ue suite de foctios de C([, b], E) coverget simplemet vers f sur [,b]. Pour motrer que lim f = f, ilsuffit de prouver que l suite de foctios ( f ) + [, b] [, b] covergeuiformémet vers f sur [,b]. Soit u ue série d pplictios cotiues de [, b] ds E, coverget simplemet sur [, b] vers S. Pour motrer que l série umérique [, b] u coverge,opeut: motrer l covergece ormlesur [, b] delsériedefoctios u ; (PSI) étblir que l sériedefoctios u covergeuiformémet sur [,b] vers S ; prouver que u () d ted vers lorsque N tedvers +. O lors : [, b] =N u ()d = [, b] = [,b] S = [,b] u () d. = chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 53

156 Alyse PC-PSI TD Les formules de qudrturedeguss (formulesd itégrtio pprochée) Cette méthode été publiéee86. Nottios (les résultts éocés ici serot dmis) O désige pr E = C [,], R l espce vectoriel des pplictios cotiues de [, ] ds R que l o muit de l orme.pour g E : g = sup { g( t), t [, ]}. Pour m N, P m désige l espce vectoriel despolyômes de degré iférieurouégl à m. Dsleproblème, w désige u élémet de E vérifit : [,], w() >. Pour f et g ds E,(( f,g)) désige le réel : ( f, g) = f () g()w()d () ce qui défiit ue pplictiobiliéiresymétrique de E E ds R. Premièreprtie ) Motrer que ((.,.)) est uproduitsclire sur E. O se proposedecostruire ue suite ( p ) N d élémets de E qui vérifie : ) p est upolyôme prrpport àlvrible, dedegré et dot le coefficiet de est ; b) pour tout etpour tout q P,o ((p, q)) = (c est-à-dire que p est orthogol à P ). ) Motrerqu il eiste u plus ue telle suite. 3) Motrerque p = et p () = ((p, )) (p, p ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4) O supposeque etque p et p sot cous.soitlors et b lesombres réels: (p,p ) b = (p,p ), (p, p ) = (p, p ) Motrer que : p = ( )p b p () vérifie () et (b) si les p m, pour m {,..., }, vérifiet () et (b).coclureàl eistece des (p ). 5) Applictio O supposeque w() =. Clculer p, p, p, p 3, et p 4. O reviet u cs géérl où w est quelcoque. O désiremotrer que p possède rcies simplesetréelles. Preos doc. 6) Motrer que p possède ds ], [ u mois ue rcie réelle de multiplicité impire (o pourr remrquer que p ()w()d =). 54

157 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles 7) Soit lors (,..., m ) pour m les rcies de p qui pprtieet à ], [ et qui sot de multiplicité impire. E cosidért le polyôme p tel que p() = ( )...( m ) etl itégrle (p, p), motrer que m = et coclureque p possède rcies distictes qui pprtieet à ], [. Deuième prtie Ue formule d itégrtio pprochée sur [, ] est ldoée de k + élémets disticts de [, ] otés ( i ) ik et de k + ombres réels l i :(l i ) ik. O écrit lors : k f () w()d l i f( i ) (3) i= Ds cette défiitio, k est uetier turel rbitrire, o dir que (3) est ue formule à k+ poits. O ssocie lors à (3) uepplictio D de E ds R défiieisi. Pour f E, D( f ) = k f () w()d l i f( i ) (4) i= O dir que (3) est d ordre m N si : p P m, D( p) = (5) ) Motrer que D : E R est ue pplictio liéire de l espce vectoriel ormé E ds R. ) Motrer qu ue formuled itégrtiopprochée à k + poitsd ordre m est telle que m k +. O se proposedemotrer qu ileisteue formuled itégrtiopprochée à k + poitsqui soit d ordre k +. O désige pr,... k les k + rcies de p k+ (voir lquestio I.7). O ote l i, pour i {,...,k}, le polyôme de Lgrge : l i () = j i j et o itroduitles réels: l i = (l i,) = jk j=i l i ()w()d (6) Soit lors,pour f E, p( f ) lepolyôme d iterpoltiodelgrge de f u poits,... k. k 3) Motrerque p( f ) = f ( i )l i. 4) Motrer que : i= k l i f ( i ) = i= p( f )() w()d (7) 5) E déduire que,pour ce choide i et l i,lformuled itégrtiopprochée (3) est umois d ordre k. k 6) Soit p P k+. Motrer qu ileiste q P k et r P k telque p = ql +r,où l estlepolyôme ( i ). 7) Motrer que (vecles ottios de l questio précédete) : p() w()d = r()w()d 8) Coclure que si les ( i ) sot les rcies de p k+ et les (l i ) sot doés pr (6), lors (3) est ue formule d itégrtiopprochée à k + poitsqui est d ordre k +. i= chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 55

158 Alyse PC-PSI Troisièmeprtie Dscette prtie, osupposeque w() = pour tout de [, ] et o choisit pour ( i ) et (l i ) ceu obteus àlquestio de l deuième prtie de sorte que (3),qui s écrit ici : k f ()d l i f( i ) (8) i= soit d ordre k + (k est u etier rbitrire). O dmetlors l estimtiod erreur suivte. Pour f C k+ ([, ]; R), o : D( f) k+3 (k +)! 4 (k +3) (k +)! 3 f (k+) (9) ) E utilistque p 3 () = 3 3, motrer que (8) s écritpour k = : 5 f()d 3 5 f +8 f() +5 f () ) Écrire (9) ds ce cs. 3) Clculer +d. 4) Motrerque (9) s écritpour f () = + : D( f) 3 =9, ) Avec combie de chiffres sigifictifsfut-il évluer le secod membre de ()? 6) Évluer le secod membre de () et D( f ). Coclusio? 7) O rppelle l formuled itégrtiopprochée de Simpso (formuleà3poits) : f ()d [ f( ) +4f() + f ()] () 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Comprer,sur l eemple précédet f () = +, les vleurs pprochées obteues pr () et (). E étudit l ordre de (),epliquez ce que vous vez costté. 56

159 Eercices ) Soit f ue foctio dérivble sur l itervlle I et à vleursréelles. Écrire l équtiodeltgeteetdelormle u grphe de f u poit d bscisse. ) Soit I u itervlle de R et G ue pplictiodeclsse C de I ds R : G(t) = ((t), y(t)). Écrire l équtio deltgete etdelormle àlcourbe prmétrée pr G e G(t ), lorsque le vecteur vitesse e ce poit est ps ul. 3) Écrire l équtio deltgete upoit (, y ) ducercle de cetre O et de ryo R. ) Motrerque l foctiodéfiiepr f () = si est prologeble pr cotiuité à ] p,p[. ) Le prologemet obteu est-ildeclsse C sur ] p,p[? Clculer les dérivées -ième de g et h défiies pr : g() = ; h()= 8 ( ) ( ). Clculer l vleur de d d 34 6 e pour tout. Soit f () = Arct (). Utiliser l reltio ( + ) f () = etlformule deleibiz pour clculer f () (). Détermier les limites des suites défiies pr : u = k= +k ; v / = (k+) +k k= O ote et b lesrcies du polyôme X X+. Prouver que, pour tout P de R 5[X] : P = 5 P()+8P +5P b. 8 [,] e t ) Clculer lim + [,] +t dt. ) Clculer lim cos [,p/] si(t) d t. Soit f ue pplictiocotiue de [,] ds R telle que f =. [,] Prouver l eistece d u de ], [ tel que f () =. Ds cet eercice, E est u R -espce vectoriel de dimesio fiie, [,b] usegmet de R d itérieur o vide et f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E. Pour tout etier >, o pose : R = [, b] f (t)dt k= b ) E = R et f est croisste. Prouver que : R b f ( f (b) f ()). +k b. ) désige ue orme sur E et c u réel >.O suppose que f est c-lipschitziee pr rpport àcette orme. Prouver que : R c(b ). Ds cet eercice, t est u réel fié. Pour tout de [,] ettout etier, o pose : u () = ( ) +t, S () = u k(), f () = t +. k= ) Prouver que l série de foctios moyee vers f sur [,]. u ) Cette série coverge-t-elle simplemet sur [,]? coverge e Pour tout etier >, o défiit lfoctio f sur le segmet [,] à l ide du schém suivt. y y = f () 57 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

160 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Prouver que l suite de foctios ( f ) covergesimplemet vers l foctio ulle sur [,]. ) Motrer que cette suite e coverge ps e moyee. 3) Que dire de l covergece e moyee qudrtique? Soit [, b] usegmet de R cotet plus de deu poits et f ue pplictiode [,b] ds R, cotiue et positive. Pour tout etier, o pose I = que : b N I I + (I +) Que dire si f est ps àvleurs positives? f (t)dt. Motrer Soit f ue foctiodeclsse C sur ], + [. ) Pour tout etier >, o pose f () = f. Motrerque : f () ( ) () = f () + () ) E déduire que : ],+ [ 3) Prouver de même que : ],+ [ d d [ e / ]= ( ) e / ( + ) d d [ l()] = * Théorème de Drbou. ( )!. Soit I u itervlle de R cotet u mois deu poits et f ue foctio de I ds R, dérivble sur I. Prouver que f (I) est u itervlle. N. B. : Ici, o e suppose ps f cotiue. * Soit (P, Q) ucouple depolyômes réels, o costts, scidés ds R[X] et dmettt que des rcies simples. O suppose, de plus, qu etre deu rcies de l u, il ytoujours ue rcie de l utre et qu ils ot ps de rcie commue. ) Motrer que le polyôme P + b Q reste scidé et à rcies simples ds R[X] lorsque (, b) décrit R. ) Motrer que, pour tout réel, lepolyôme P + P est scidé ds R[X] et dmet que des rcies simples. 3) Soit R = X + X + + X+ u polyôme scidé de R[X], de degré. Prouver que le polyôme : S = P + P + + P ( ) + P () est scidé ds R[X] et dmet que des rcies simples. * Détermier l limite de T = k=+ ch k. Clculer,àl ide de sommes de Riem, l itégrle : p cos k t d t. ** Soit (E, ) uespce vectoriel euclidie et l orme ssociée à. O cosidèreue foctio f cotiue de [, b] ds E telle que : b b f = f ) Motrer que f pred ses vleurs ds ue demi-droite vectorielle de E. ) E est-il demême si l orme de E e proviet ps d u produit sclire? * Soit (E, ) uespce vectoriel ormé de dimesio fiie et f ue pplictio cotiue de [,] ds E. Clculer : lim t f (t)dt. + ) Prouver que, pour tout etier >,il eiste u uique polyôme P de R[X] tel que : ( X) 4 = P (X)( + X )+( ) 4. ) Détermier ue suite (u ) telle que : P (t)dt =u + O. ** Soit et b deu réels tels que < b et f ue pplictio cotiue de [, b] ds R +. Pour tout etier p >, o ote : b /p p u p= f(t) dt Motrer que lim u p + p = sup f (t). t [,b] 58

161 Lie etre dérivtio et itégrtio 6 O B J E C T I F S Ds ce chpitre, ous défiissos les primitives d ue foctio cotiue pr morceu sur u itervlle,àvleurs ds u espce vectoriel ormédedimesio fiie et mettos isi e évidece le lie etredérivtio et itégrtio ds le cdredes foctios cotiues pr morceu sur u segmet. Nous eploitos lorslethéorème fodmetl du clcul différetiel et itégrl pour l étude globle des foctios de clsse C k pr morceu. Nous sommes esuite e mesured effectuer ue étude globle d ue foctio défiie comme limite d ue série (ou d ue suite e PSI) defoctios. Propriétés de l pplictio : f (t)dt. Défiitio des primitives d ue foctio cotiue pr morceu suruitervlle. Itégrtio pr prties etchgemet de vrible. Iéglité des ccroissemets fiis. Les troisformules de Tylor. Dérivbilité d ue foctio limite d ue suite de foctios (PSI). Dérivbilité d ue foctio limite d ue sériedefoctios. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 59

162 Alyse PC-PSI Ds ce chpitre, I est uitervlle de R d itérieur o vide, K désige R ou C et E est uk-espce vectoriel de dimesiofiie. Primitives d ue foctio cotiue pr morceu.. L foctio f ( t) d t Théorème Soit E u K-espce vectoriel de dimesio fiie, f ue pplictio cotiue de I ds E et u poit de I. L pplictio F défiie comme suit : I E F : F() = f ( t)dt est ue pplictiodeclsse C de I ds E et vérifie : Ce théorème été étbli e Première ée pour des foctios à vleurs umériques.lepssge à des foctios vectorielles sefit e risot surles pplictios coordoées. I F () = f(). Géérlistio Cosidéros le cs où f estcotiue pr morceu surl itervlle I. Nous llos d bord itroduire quelques ottios. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Nottios (doc. ) : Lorsque I est uitervlle mjoré, ous désigeros pr I S l itervlle I\{sup I }. Lorsque I estps mjoré, I S = I. Pour tout de I S, lfoctio f ue limite àdroite e ;olote f d () = lim f (t). t + Lorsque I est uitervlle mioré, ous désigeros pr I I l itervlle I\{if I }. Lorsque I est ps mioré, I I = I. Pour tout de I I, lfoctio f ue limite àguche e :olote f g () = lim f (t). t Théorème Soit f ue pplictio cotiue pr morceu de I ds E et u poit de I. I E L pplictio F : est dérivble àdroite F() = f ( t)dt (respectivemet àguche) e tout poit de I S (respectivemet I I ) et, de plus : Fd () = f d() et Fg () = f g(). I= I I I S Doc.. Ds cet eemple, I = I I = ],]et I S = ],[. Cette géérlistio ous ser écessire lors de l étude des séries de Fourier. 6

163 6. Lie etre dérivtio etitégrtio Démostrtio Notos ue orme sur E. Soit u poit de I S, ileiste > tel que ], + [ soit coteu ds I et : h ], [ Doc : Fios lors >. F( + h) F() h F( + h) F() h f d() = h f d() h +h +h f (t)dt h +h f d()dt f (t) f d() d t () Rpport Mies-Pots, «Les primitives usuellesefot ps toujours prtie du bgge de certis cdidts dmissibles, isi que certies propriétés élémetires des foctios hyperboliques. De mièregéérle, le clculprtique des itégrles est uécueil, même pour les meilleurs.» d ], [ t I ( < t + d) ( f (t) f d() ). Pr coséquet, pour tout h tel que < h d, ettout t ds ], h], d près (), o : F(+h) F() f d() h +h dt=. h Ceci permet decoclure que : F( + h) F() lim f d() = E. h + h Corollire. Soit f ds CM(I, E) et u poit de l itervlle I. O défiit F sur I e post F() = F est cotiue sur I ; f (t)dt. Alors : e tout poit de cotiuité de f, F estdérivble et F () = f (); F est declsse C pr morceu sur I. Rpport Mies-Pots, «Dérivtiofusse pour f cotiue, del itégrle sur [, ] de f () f ().».. Les primitives Soit f ue pplictio cotiue sur l itervlle I, à vleurs ds E, o ppelle primitive de f toutepplictio F dérivblesur I telle que : I F () = f(). Soit f ue pplictio cotiue pr morceu de I ds E. O ppelle primitive de f toutepplictio F cotiue sur I, declsse C pr morceu sur I et telle qu e tout poit de I e lequel f estcotiue, F est dérivble et F () = f (). Le corollire. peut s éocer isi: Pour toute pplictio f de CM(I, E), l pplictio F défiie sur I pr F() = f (t)dt est ue primitive de f sur I. Si l foctio f est cotiue sur I lors, toute primitive F de l foctio f est de clsse C sur I puisque F = f. Le théorème prouvequ ue foctio cotiue sur u itervlle dmet toujours ue primitive sur cet itervlle. Rpport Mies-Pots, «Primitives clssiques o coues.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6

164 Alyse PC-PSI O e déduitlethéorème fodmetl du clcul différetiel et itégrl : Théorème 3 Soit f ue pplictio cotiue pr morceu de I ds E et u poit de I. Si F et F sot deu primitivesde f sur l itervlle I, lors F et F diffèret d ue costte: V E I F () = F ()+V. L foctio F défiie epost F() = primitive de f qui s ule e. Si G est ue primitive de f sur l itervlle I, lors : (u, v) I G(v) G(u) = v u f (t)dt est l uique f (t)dt. Uepplictiotrès clssique de ce qui précède(et très utile ds les problèmes de cocours!) est lecorolliresuivt : Corollire3. Soit f ue pplictiodeclsse C de I ds E. Alors : (, ) I f () f () = Applictio f (t)dt. Rpport Cetrle, «Ds des eercices utilist ue foctio f de clsse C sur u itervlle, les cdidts epeset jmis àécrire f u moye d ue itégrleportt sur f.» Rpport E3A, «Notos les difficultésdeclcul de ombreu cdidts eclcul itégrl.» Rpport E3A, «O isi vu des cdidts trouver l vleur pour l itégrled ue foctiostrictemetpositive, doer comme primitive de cos k cos k+ () (), (k +)si.» O retrouvelethéorème suivt: Si f est cotiueet positive sur [, b]etsi b f =, lors f =. E effet, pour ue telle foctio f, opose F() = f (t)dt. F est declsse C et croisstesur [, b] ( F = f ). De plus, F(b) = F() =. Doc F = et F = f =. Iterpréttio ciémtique de l formule de l moyee c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit M u poit mobile du pl dot l trjectoire est prmétréepr (I, f ), où I est u itervlle de R et f ue pplictio declsse C de I ds R telle que t I OM(t) = f(t). Motrer que l vitesse moyee du poit mobile etre les istts t et t (t t ) est égle à l vleur moyee de l vitesse etre ces deu istts. O ote l orme euclidiee usuelle de R. L éocé e précise ps s il s git devitesse vectorielle f (t) = d M d t (t) ou de vitesse umérique f (t). Tritos les deu cs. L vleur moyee de l vitesse vectorielle etre lesistts t et t est : Or t t t t f (t)dt = f(t ) f(t ) t t. f (t ) f (t ) = M (t ) M (t ) et M (t ) M (t ) t t est l vitesse moyee vectorielle etre t et t. D où le résultt. Rppelos que, puisque le prmètrge est de clsse C, lvitesse umérique du poit mobile est ldérivéedel bscisse curvilige : f (t) = d s d t (t). 6

165 6. Lie etre dérivtio etitégrtio L vleur moyee de l vitesse umérique etre les istts t et t est : t f (t)dt= t ds t t t t t dt (t)dt t = s(t ) s(t ) t t. Or s(t ) s(t ) est l distce prcourue pr le poit mobile etreles istts t et t, doc : s(t ) s(t ) t t estlvitesse moyee du poit mobile etre lesistts t et t. Corollire3. :Etesiou cs où f est cotiue sur I et de clsse C pr morceu sur I Soit f ue pplictio cotiue de I ds E et de clsse C pr morceu sur I. Alors : (, ) I f () f () = f (t)dt. Pour s etrîer :e. et. Applictio L pete moyee d ue lige brisée O cosidère ue lige brisée du pl (M,...,M ) telle que les bscisses (,..., ) des poits (M,...,M ) formet ue suite strictemetcroisste. y M M M 3 M M M 5 Doc.. Commet clculer lpete dusegmet de droite [M, M 5 ] e foctiodecelles dessegmets [M, M ], [M, M ],...,[M 4,M 5 ]? O ote p i l pete du segmet de droite [M i, M i ]. Prouver que l pete m du segmet de droite [M, M ] est lebrycetre delfmille de poits podérés (p i, i i ) i [[,]]. C est-à-dire que l pete moyee est lmoyee podérée des petes, les coefficiets de podértios étt les ( i i ) i [[,]]. (L idée de cette pplictio est etrite de l revue «Chtier»de l A.P.M.E.P.dejvier 998, rticle de Sylvie Gsquet.) O veut prouver que : m = p i ( i i ). i= Notos f l foctio ffie pr morceu dot le grphe est llige brisée (M,...,M ). Cette foctio est cotiue et C pr morceu sur [, ]. Doc : f (t)dt = f( ) f( ). Prilleurs,pour tout i [[, ]], f est costte surl itervlle ] i, i [ etvut p i, doc : i f (t)dt = f (t)dt i= i = p i ( i i ). i= E divist pr, otrouve lformule demdée : p i ( i i ) = f (t)dt i= = f( ) f( ) =m. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 63

166 Alyse PC-PSI.3. Itégrtio pr prties Vous vez recotré e Première ée u outil fodmetl, l itégrtio prprties.cet outil se géérlise de l mièresuivte: Théorème 4 Soit f ue pplictiode I ds K et V ue pplictiode I ds E. O suppose que f et V sot cotiues et de clsse C pr morceu sur I. Alors : (, b) I b f ()V ()d =[ f()v()] b b f ()V ()d. Rpport Mies-Pots, «Recherche d équivlet d ue foctio défiie pr ue itégrle, les cdidts e peset ps à l utilistio d ue itégrtio pr prties ou d u chgemet de vribles.» Démostrtio D près les hypothèses sur f et V, l foctio produit f V est ue pplictio cotiue de I ds E et de clsse C pr morceu sur I. E tout poit e lequel f et V sot dérivbles, o peut écrire : O pplique le théorème 3 pour termier. ( fv) ()= f ()V()+ f()v (). Rpport Cetrle, «Il est idmissible de e ps svoir itégrer ue frctio rtioelle ;e revche, il est illusoire de rechercher les primitives de certies foctios.» Applictio 3 Itégrtio prprties géérlisée c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Soit f et g deu foctios de C (I, K). Motrer que : (, b) I b f () g = f ( ) g f ( ) g ) Clculer : + +( ) ( ) fg ( ) b +( ) b l e 3 ( + +)d..4. Chgemet de vribles fg () ) L formulesedémotre pr récurrece. l e ) e 3 ( 3 + +)d = 3 ( + +) l l e 3 ( +)+e Et doc : l Pour s etrîer :e. 3. Théorème 5 Soit [, b] usegmet de R, w ue pplictio declsse C de [, b] ds R telle que w([, b]) I et f ue pplictio cotiue de I e 3 ( + +)d = (l) 4 5l Rpport TPE, «Leclcul itégrl est ml mîtrisé, les chgemets devribles clssiques sot mécous.» 64

167 6. Lie etre dérivtio etitégrtio ds E. Alors : w(b) Démostrtio w() f (t)dt = b f(w(u))w (u)du. Soit F ue primitive de f sur I, lors F w est de clsse C sur [, b] et (F w) = ( f w)w. Doc : b f (w(u))w (u)du = F w(u) b = F(w(b)) F(w()) = w(b) w() f (t)dt. E prtique, lorsque les hypothèses sot vérifiées, opose t = w(u) et dt = w (u)du, etomodifie lesbores. Rpport Mies-Pots, «Impossibilité de clculer des primitives simples comme celle de +cos et grde difficulté à (t) mettre e oeuvre uchgemet de vriblee t t pr eemple.» Il e fut ps remplcer l hypothèse «w([, b]) coteuds I»pr «w() et w(b) pprtieet à I». Peser à: p cos u d u et à t = t u. Corollire5. Soit I et J deu itervlles de R, w ue pplictiostrictemet mootoe et de clsse C de J ds I, et f ue pplictio cotiue pr morceu de I ds E. Alors : Démostrtio (, b) J w(b) w() f (t)dt = b f(w(u))w (u)du Itroduisez ue subdivisio du segmet d etrémités w() et w(b) dptée à reltiodechsles etlethéorème 5 vous permettrot de coclure. Eemples f. L Soit T u réel > et f ue pplictio cotiue pr morceu, T - périodique de R ds C. Prouvos que : Avec : t = u + T : +T +T (, ) R, R, f (t)dt = T f (t)dt = f(t)dt = f(u+t)du = +T +T +T f(u)du. Pour l secode reltio, utilisos l reltiodechsles : T f (t)dt = D près ce qui précède : T +T f (t)dt = D où l églité demdée. f(t)dt + +T T + +T f(t)dt = f(t)dt f(t)dt. f(t)dt. f(t)dt. f(t)dt. y y Rpport CCP,997 L etrit durpport suivt motre l importce de l remrque précédete: «Certis hésitetpsà fire des chgemets devrible discotius ou du gere logrithme complee ets étoet d boutir prfois à des itégrles dot les deu bores (réelles oucomplees) sot égles.» T + T T + T + T Doc. 3. Deu propriétés del itégrle d ue foctiopériodique. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 65

168 Alyse PC-PSI Soit [, b] usegmet de R et f ue pplictio cotiue pr morceu de [, b] ds E. Eprimer b f (t)dt e foctiod ue itégrlesur [, ] ou sur [, ]. Avec : t = (b )u +, dt = (b )du : b f(t)dt =(b ) E utilist: t = b u+ +b b, dt = b b f(t)dt = b f f((b )u + )du. du : u+ +b du. Les primitives d ue foctio f, cotiue et périodique de R ds C, sot périodiques si,etseulemet si,l itégrlede f surue période estulle. E effet,otos T l période de f et F ue primitive de f : R F( + T ) F() = +T f (t)dt = T f(t)dt. Pour s etrîer :e. 4. et 5. Rpport Mies-Pots, «Peu de cdidts semblet svoir que, si f est dérivble et p-périodique, s dérivée est ellemême p-périodique. D utres cdidts écrivet que les primitives d ue foctio cotiue ppériodique sot p-périodiques.» Iéglité des ccroissemets fiis c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 6:Iéglité desccroissemets fiis Soit f ue pplictiode I ds E,[,b]usegmet coteu ds I et ue orme sur E. Si lestroishypothèses suivtessot vérifiées : f est cotiue sur [,b]; f est declsse C sur ],b[; l R t ],b[ f (t) l. Alors : Démostrtio f (b) f () l(b ). f est cotiue sur [, b] etdeclsse C sur ], b[. Pour tout > tel que < b, f est de clsse C sur [ +, b ] : Soit : f (b ) f ( + ) = f(b ) f( + ) = b + b + f (t)dt. f (t)dt l(b ) l(b ). Or, f est cotiue sur [, b] etl pplictio orme est cotiue de E ds R ; doc, e fist tedre vers, f (b) f () l(b ). 66

169 6. Lie etre dérivtio etitégrtio Iterpréttio ciémtique Lorsque E est de dimesioou 3, l pplictio f :(t f (t)) représete l trjectoire d u poit mobile e foctio du temps et le théorème précédet se lit isi : Si, etre les istts et b, l ormedu vecteurvitesse est toujoursmjorée pr l, lors l distce prcourue pr le mobile etre ces deu istts est iférieure à l(b ). Théorème 7 Soit [, b] usegmet iclus ds I et f ue pplictiocotiue de I ds E, declsse C pr morceu sur ],b[. O suppose qu il eiste uréel l tel qu e tout poit t de ], b[ e lequel f est dérivble, o it f (t) l. Alors : f (b) f () l(b ). Démostrtio Il eiste ue subdivisio ( i) i [, ] du segmet [, b] telle que f soit de clsse C surtout itervlle ] i, i+[. Le théorème précédet s pplique sur le segmet [ i, i+] et : i [[, ]] f ( i+) f ( i) l( i+ i). Sommos ces iéglités. O obtiet : f (b) f () f ( i+) f ( i) l(b ). Théorème 8 Soit f ue pplictiode [,b] ds E telle que : f est cotiue sur [,b]. f est declsse C sur [,b[. f ue limite l (l E) e b. Alors f est declsse C sur [,b] et f (b) =l. Démostrtio Défiissos l pplictio g isi : [, b] E f () si [,b[ g : g() = lim f (t) si = b t b t<b Pr costructio, g est cotiue sur [, b], doc si l o défiit G e post G() = g(t)dt, opeut dire que G est de clsse C sur [, b]. Pr illeurs, pour tout de [, b[, o : G()= f() f() () Ce théorème est prfois ppelé «théorème de prologemet». Cette ppelltioest dgereuse. Il e s git ps de prologer l foctio f e b.erélité, o démotre que f estdérivble (à guche) e b. Ue démostrtio utilist les foctios coordoées de f est ussi possible. Rpport Cetrle, «Ocompred très bie ce que sigifie «prologer ue foctio pr cotiuité u poit,»mis que peut bie vouloir dire «o prologe l dérivée pr cotiuité e,»près voir étbli l eistece de lim f ().» 67 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

170 Alyse PC-PSI et l cotiuité de G et de f sur [,b] permet d ffirmer que () est ussi vrie pour = b. Doc : [, b] f () = f ()+G() et f C ([, b], E) Corollire8. Soit f ue pplictiode [,b]ds E et k u etier > telsque : f est cotiue sur [,b]; f est declsse C k sur [,b[; pour tout r de [[, k]], f (r ) ue limite l r (l r E) e b. Alors f est declsse C k sur [,b] et, pour tout r de [[, k]], f (r ) (b) = l r. Applictio 4 L foctio ep c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Cosidéros l foctiodéfiiesur R pr: f()=ep si = f () = ) Prouverque f est cotiue sur R. ) Prouver que f est de clsse C sur R et que, pour tout etier, il eiste u polyôme P telque : R f () () = P () 3 ep. 3) E déduire que f est de clsse C sur R et que,deplus: N f () () =. ) L cotiuité de f sur R est immédite. De plus : lim ep =. Doc f est cotiue sur R. ) L formule est vrie pour = epost P () =. Supposos que, pour u etier : où P f () () = P () 3 est upolyôme. ep Alors : f (+) () = P () 3 3 ep + P () 3 ep = P ()+ 3 P () 3 P () 3(+) O poselors : + P () 3 ep 3+ ep P + () = P ()+ 3 P () 3 P (). Puisque P estupolyôme, P + e estuussi et l formule océe est démotrée pr récurrece. 68

171 6. Lie etre dérivtio etitégrtio 3) O sit que : Doc : lim ep 3 =. N lim f () () =. Le corollire 8. permet d e déduire que f est de clsse C sur R et que, de plus : N f () () = = lim f () () Doc. 4. Le grphe de ep ds u repère orthoormé vec,33,33. Pour s etrîer :e. 6. et 7. 3 Les formules de Tylor Ue des idées met àl étude des formules de Tylor est lgéérlistio de l reltiocrctéristldérivbilité d ue foctio f e u poit : f ( + h) = f ()+hf ()+o(h). Le but deceprgrphe est degéérliser u foctios àvleurs vectorielles ces formules vues e Première ée pour lesfoctios umériques. 3.. Formule de Tylor vec reste itégrl Théorème 9 Soit f ue foctio declsse C de I ds E, declsse C + pr morceu sur I. Alors : (, b) I (b ) k b f (b) = f (k) (b ) ()+ f (+) ()d. k!! k= Brook Tylor, Mthémticie glis (685-73). Il ivete l itégrtio pr prties. E 75, il publie Methodolus icremetorum direct et ivers, qui cotiet s formule : f ( + h) = f () +hf ()+ h f () + h3 6 f ()+... ss précisio sur le reste. L itérêt de cette formule pprît qu e 77 lorsque Lgrge y voit ue des bses du clcul différetiel. Il doe e prticulier le premier ecdremet du reste. L formule de Tylor vec reste itégrl est due à Cuchy. Il l démotre ds s 35 e leço àl École polytechique (83). Il doe,ds l 38 e leço, l eemple ( e / ) étudié àl pplictio précédete. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 69

172 Alyse PC-PSI Démostrtio L démostrtio s effectue pr récurrece. Le cs =. Soit f ue foctio cotiue de I ds E, declsse C pr morceu sur I et, b deu poits de I. O sitque f (b) f () = Le pssge de à +. b f ()d. Soit u etier. Supposos que, pour toute foctio f de clsse C de I ds E et de clsse C + pr morceu sur I, oit : (, b) I f (b) = (b ) k k= k! b f (k) (b ) ()+! f (+) ()d. Rpport Mies-Pots, «Les hypothèses des théorèmes coduist u différetes formules de Tylor sot tout ussi difficilesà obteir. Le reste itégrl est le plus populire, mis so écriture ecte lisse bie souvet àdésirer.» Cosidéros ue foctio g de clsse C + de I ds E et de clsse C + pr morceu sur I. L hypothèse de récurrece permet d écrire : (,b) I g(b)= (b ) k k= k! b g (k) ()+ (b ) g (+) ()d.! L pplictio g (+) est cotiue et de clsse C pr morceu sur I. Itégros pr prties le reste itégrl, ous obteos l formule à l ordre +. Remrque Cette églité s écrit églemet f (b) = T (b)+r (b), vec : (b ) k T (b) = k! k= f (k) () et R (b) = b (b )! f (+) ()d. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7 T (b)est ppelé l prtie régulière de l formuledetylor et R (b) lereste itégrl. 3.. Iéglité de Tylor -Lgrge L formule de Tylor vec reste itégrl est ue églité. Pour mjorer ldis- tce etre f (b) et f (k) (), ue iéglité suffit. (b ) k k! k= Soit f ue pplictio declsse C + pr morceu de I ds E et J u segmet iclus ds I. O sit qu il eiste ue subdivisio ( i ) i [[,]] de J telle que f est + fois dérivble etout poit de J\{ i i [[, ]]} et que l restrictio de f àchque itervlle ] i, i+ [ est prologebleeue foctiodeclsse C + surles segmets [ i, i+ ]. O e déduit que f (+) est borée sur chque itervlle ] i, i+ [ etsur J\{ i i [[, ]]}. Si désige ue orme sur E, oote: sup f (+) = sup f (+) () J\{i i [[, ]]} J Efi, si et b sot deuélémets de l itervlle I, o ote: C est le segmet d etrémités et b. J,b =[mi(, b), m(, b)]. Joseph Lgrge, mthémticie et physiciefrçis (736-83). Mthémticie, il développe l théorie des foctios. Chercht à pproimerue foctiopr u polyôme, il repred l formule de Tylor et précise le reste. Ds le domie des équtios différetielles, ous luidevos l techique de vritios des costtes. Physicie, ses trvu portet sur l propgtio duso, l théorie des cordes vibrtes et l méciquecéleste.il prticipeà l crétio de l École polytechique et y eseige.

173 6. Lie etre dérivtio etitégrtio Théorème Soit f ue foctio declsse C de I ds E, declsse C + pr morceu sur I et ue orme sur E. Alors : (, b) I (b ) k f (b) f (k) b + () sup f (+). k! ( +)! J,b Démostrtio k= Fios et b ds I. D près l formule detylor vec reste itégrl, o: f(b) (b ) k f (k) () k! (b ) f (+) ()! d. Doc : f (b) k= k= (b ) k f (k) () k! J,b b J,b! E distigut les cs b et b, vous prouverez que : d sup f (+). J,b Rpport CCP, «Lethéorème des ccroissemets fiis est souvet ivoqué (ps toujours correctemet d illeurs...) mis o recotre prfois des horreurs.» Rpport Mies-Pots, «L iéglité de Tylor-Lgrge semble peu coue.» b J,b d =! b + ( +)!. Applictio 5 Développemetesérie de ( + ) Soit R \ N. Pour tout réel >, posos : f () = ( + ) et pourtout etier > : M ()=sup f () ( t) ; t [mi(, ), m(, )] ) Motrerque,pour tout réel > et tout etier >, M () i. E déduire que : i= [, [ f () = = f () ()!. ) Motrer que, pour tout réel de ], ] et tout etier > : M () ( ) i. i= E déduire que :, f()= = f () ()!. Remrque : Le résultt obteu est symétrique (covergece sur, ). Nous verros ultérieuremet, e utilist ue méthode différete, que l formule: f()= f () ()! = est vlblesur ], [. ) Fios u etier >. Pour tout réel t, o (+t). Or : f () (t) = ( i) ( + t). i= Doc : > M () i. i= c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

174 Alyse PC-PSI De l iéglité de Tylor-Lgrge ous déduisos, pour > : > f () f (k) () k k! i! k= i= () Posos = i ;vous vérifierez isé-! met que lim + i= + =. Si est ds ], [, l règle de d Alembert permet de coclure que lim + = et, d près(): [, [ f () = = f () ()!. ) Fios u etier >. Pour tout de ], [ et tout t de [,], o : Doc : ], [ ( + t) ( + ). M () ( + ) i i= = ( ) i. i= De l iéglité de Tylor-Lgrge ous déduisos, pour > : ], [ f () f (k) () k k! Posos : k= ( )!( ) i () i= d = ( )!( ) i ; vous vérifierez isémet que : De plus : i= d + lim = + d. < < < <. L règle ded Alembert permet de coclure que lim d = si est ds, + et, d près ():, f()= = f () ()!. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3.3. Développemet limité d ue primitive d ue foctio cotiue Théorème Soit f ue pplictiocotiue de I ds E et u poit de I. Si f dmet e le développemet limité d ordre : f () = ( ) i V i + o(( ) ) lors toute primitive F de f dmet e le développemet limité d ordre +: ( ) i+ F()=F()+ V i +o(( ) + ) (i +) Démostrtio Notos, pour tout de I\{}: r()= ( ) ( f() ( ) i V i) et r() = E Rpport Mies-Pots, «Développemets limités usuels o cous.» Rpport Cetrle, «L uicité du développemet limité est rremet citée.» Rpport CCP, «...s etrîer u méthodes clssiques et svoirles mîtriser défiitivemet (DL, clcul itégrle...)» Rpport CCP, «Ilyue grde mécoissce des développemets limités (même desplussimplescomme l(+).» 7

175 6. Lie etre dérivtio etitégrtio r est cotiue sur I,lim r() = E et,pour tout de I : f () = ( ) i V i +( ) r() Si F est ue primitive de f sur I, o: vec R +() = F()=F()+ = F()+ (t ) r(t)dt. (t ) i V idt+ ( ) i+ V i+r +(), (i +) Pour coclure, il suffit deprouver que R +() = o(( ) + ). (t ) r(t)dt Notos ue orme sur E et fios >, o sit qu il eiste d > tel que : O e déduit : I t I d R +() Doc R +() = o(( ) + ). t d r(t) m(,) mi(,) m(,) mi(,) t r(t) d t t + d t = + Corollire.:Développemet limité de l dérivée d ue pplictio de clsse C Soit f ds C (I, E) et u poit de I. Si f dmet e u développemet limité d ordre, lors f dmete u développemet limité d ordre +. Si celui-ci est : + f()= ( ) i V i + o(( ) + ) lors le développemet limité de f e est : + f ()= i( ) i V i + o(( ) ) Pour s etrîer :Revoyez les développemets limités fits e Première ée L formule de Tylor-Youg Théorème :Formule de Tylor-Youg Soit f ue pplictiodeclsse C de I ds E. Alors, f dmet e tout poit de I u développemet limité àl ordre doé pr : ( ) k f () = f (k) ()+o(( ) ) k! Rpport CCP, «Les développemets limités sot peu cous et les iterpréttios géométriques élémetires poset de gros problèmes.» Rpport E3A, «Les correcteursespériet u peu plus qu ue simple évoctio de l formuledetylor-youg.» L hypothèse «f dmet e u développemet limité d ordre»est fodmetle comme le prouvel eemple suivt: O pose: f()= 3 si si = si = Vous motrerez que : f C (R). f dmet u développemet limité àl ordre e. f ps dedéveloppemet limité àl ordre e. Willim Youg, mthémticie glis (863-94). Il géérlise l formule detylor u foctios de plusieurs vribles et détermie le reste qui porte soom. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 73

176 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Démostrtio Puisque f est de clsse C sur I, f () est cotiue e tout poit de I, cequi peut s écrire : (H ) f () ()= f () ()+o() Et ceci représete udéveloppemet limité àl ordre de f () u poit. Soit lors k [[, ]]. Supposos que : k (H k) f ( k) ( ) i () = f ( k+i) ()+o(( ) k ) i! L pplictio f ( k) est cotiue sur I et f ( k ) est ue primitive de f ( k) sur I. O termie e ppliqut le théorème précédet. 4 Suites et séries de foctios p de clsse C k Les foctios cosidérées ds ce prgrphe sot défiies suruitervlle I de R et àvleurs ds K. 4.. Suites de foctios (PSI) 4.. Covergece uiforme etitégrtio Nous vos étbli ds le chpitre précédet que l covergece uiforme etrîe l covergece e moyee. E voiciue coséquece. Théorème 3 Soit u poit de l itervlle I,( f ) ue suite de foctios cotiues sur I àvleurs ds K et, pour tout, h l primitive de f sur I telle que h () =. Si l suite de foctios ( f ) covergeuiformémet sur tout segmet de I vers f, lors l suite de foctios (h ) coverge uiformémet sur tout segmet de I vers l primitive h de f telle que h() =. Et, pour tout de I, o: lim + f (t)dt = lim Dérivtio d ue suite de foctios f (t) d t. Théorème 4 Soit ( f ) ue suite de foctios de I ds K telle que : pour tout, f est declsse C sur I. l suite ( f ) covergesimplemet sur I vers f. l suite ( f ) covergeuiformémet surtout segmet de I vers g. Alors f est declsse C sur I et f = g. Nous veos de prouver qu ue foctiodeclsse C suruitervlle dmet u développemet limité àl ordre e tout poit de l itervlle. L réciproque est fusse : ue foctio dmettt u développemetlimité àl ordre e tout poitd u itervlle est ps écessiremet de clsse C. L eemplesuivt le prouve. O fie ds N et o défiitlfoctio f de R ds R pr : f () = si = + si si = O prouveisémet que : f est declsse C sur R. R f() +. Doc f est cotiue sur R. f () = o( ). Doc f dmet u développemet limité àl ordre e. f () psdelimite e et f psdedérivée secode e. Ce théorème découle des iéglités recotrées ds le.4. du chpitre précédet. 74

177 6. Lie etre dérivtio etitégrtio Démostrtio Soit u poit de I, o: I Posos h = f f (). f () = f ()+ f (t)dt. h estlprimitive sur I de f quis ulee. Il suffit d ppliquer le théorème précédet àlsuite de foctios ( f ) pour coclure.! C est l suite ( f) qui doit coverger uiformémet, comme le prouve l eemplesuivt : f () = +. O déduitduthéorème précédet ue etesio u cs des foctios de clsse C k, dot ous vous lissos le soi de rédiger l démostrtiopr récurrece. Corollire4.:Etesio u foctios de clsse C k Soit k N {+ } et ( f ) ue suite de foctios de I ds K telle que : pour tout,( f ) est de clsse C k sur I ; l suite ( f ) covergesimplemet sur I vers f ; pour tout etier o ul p k, lsuite ( f (p) ) coverge uiformémet sur tout segmet de I vers ue foctio g p. Alors f est declsse C k sur I et, pour tout etier p o ul et iférieur ou égl à k : f (p) = g p. Rpport Mies-Pots, 997 «Beucoup plus grve est devoir omiprésete l ffirmtio que l covergece uiforme de l série etrîe l covergece de l série dérivée, etjustifie de dériver terme àterme.» Eemple Cosidéros, pour tout de N, lfoctio f défiie sur ], + [ pr f () = +. L suite de foctios ( f )covergesimplemet sur ], + [ vers l foctio epoetielle. Les foctios f sot de clsse C sur [, + [ et, pour tout p et tout p, o: e ( f ) (p) () = h(). L foctio h est declsse C Or : h ()=e ( f ) (p+) () = e sur [, + [ et: ( )...( p) + p. p+ ( )...( p) + p p+ + p + e. L foctio h est croisste sur [, + [. Pour tout b > ettout de [, b], o : h()h(b). Sur tout segmet de ], + [, l suite de foctios (( f ) (p) ) coverge uiformémet vers l foctioepoetielle. Nous retrouvos le fit que l foctio epoetielle est de clsse C et que s dérivée est ellemême. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 75

178 Alyse PC-PSI 5 Séries de foctios 5.. Covergece ormle et itégrtio Rppelos ce théorème étblids le chpitre précédet. Théorème 5 Soit u poit de l itervlle I,(u ) ue suite d pplictios cotiues sur I, à vleurs ds K. Si l série defoctios u covergeormlemet surtout segmet de I lors, pour tout de I : u (t) d t = u (t)dt Rpport Mies-Pots, «Lethéorème de dérivtio terme à terme d ue série de foctios étt ps souvet ps ppliqué correctemet, deombreu cdidts ot pu démotrer que l foctio c étit declsse C sur R.» Eemples t ], [ sot vérifiées,doc : t R e t = t / e t d t = = t. Les hypothèses du théorème ci-dessus d t t = l = + ( +) t k. De l même fço, ous obteos,pour tout : k! t k d t = k! k+ (k +)! = e Les élèves depsi svet que ce théorème s pplique dès que l série defoctios coverge uiformémet surtout segmet de I. Rpport E4A, «les théorèmes d iterversio série-itégrle e sot ps toujours bie mîtrisés.» Pour s etrîer :e. 8et9. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5.. Dérivtio des séries de foctios Théorème 6 Soit (u ) ue suite de foctios de I ds K telle que : pour tout, u est declsse C sur I ; l série defoctios u covergesimplemet sur I ; l série defoctios u de I. coverge ormlemet sur tout segmet Alors,lfoctiosomme S de l sériedefoctios u estdeclsse C sur I et : I S () = u (). 76

179 6. Lie etre dérivtio etitégrtio Sous ces hypothèses,eott DS = S, opeut églemet écrire : Démostrtio D u = Du. O pplique le théorème 5 à l sériede foctios ormlemet covergete : u. Pour les élèves de PSI, ce résultt est ue coséquece du théorème 4. Le théorème s pplique dès que l série de foctios covergeuiformémet sur tout segmet de I. Corollire6. Soit k N {+ } et (u ) ue suite de foctios de I ds K telle que : pour tout, u est declsse C k sur I ; l série defoctios u covergesimplemet sur I ; pour tout etiero ul p k, lsériedefoctios u (p) ormlemet sur tout segmet de I. coverge Alors l foctiosomme S de l série defoctios u est declsse C k sur I et, pour tout etiero ul p k : I S (p) () = u (p) (). Applictio 6 Lesfoctios z() = et m() = ( ) + ) Motrer que l foctio z est declsse C sur ], + [ et clculer sesdérivées successives. ) Étudier cette foctioettrcer sogrphe. 3) (PSI) Motrer que l foctio m est declsse C sur ], + [ et clculer ses dérivées successives. 4) (PC) Motrerque l foctio m estdeclsse C sur ], + [ et clculer ses dérivées successives. ) L foctio z est défiie sur ], + [. Cherchos si elle vérifie les hypothèses du corollire 6.. Posos u () = pour ], + [. Nous remrquos que : pour tout de N, lfoctio u est de clsse C sur ], + [ et, si p : u (p) () = ( l ) p ; coverge simple- l série defoctios u met sur ], + [ ; si p et <<b,pour tout de [, b], o : ( l ) p = (l ) p (l ) p ; et l série (l ) p coverge. Doc, l série defoctios u (p) covergeormlemet surtout segmet de ], + [. L foctio z estdoc de clsse C sur ], + [ et,pour tout de ], + [ ettout p, o : z (p) ()= ( l ) p c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 77

180 Alyse PC-PSI ) E prticulier, z () = ( l ) et z () () = ( l ). L foctio z est doc décroissteetcovee.nous svos que lim z() = + et lim z() = + + Avec Mple : Motros que l sérieumérique : ( ) ++p (l ) p est, lorsque est fié, ue série lterée vérifit le critère spécil. Ds ce but, otos v l foctio défiie sur R + pr v(t) = (l t) p t. Cette foctioest dérivbleet: c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ÔÐÓØ Ø Üµ ܽºº½¼µ Doc. 5. L foctio z. 3) (PSI)Posos v () = ( ) + pour ],+ [. Nous remrquos que : pour tout de N, lfoctio v est de clsse C sur ], + [ et, si p ; v (p) ()=( ) + ( l ) p ; l série defoctios v coverge simplemet sur ], + [ cr elle vérifie, pour tout de ],+ [, le critère spécil des séries lterées. Soit p fié, pour tout de ], + [ ettout de N, o: v (p) ()=( ) + ( l ) p. v (t)=(l t) p t (p l t) p Lorsque est supérieur à ep, lfoc- tio est décroisste. L série umérique ( ) ++p (l ) p vérifie doc le critère spécil. L série de foctios ssociée coverge simplemet sur ], + [. Cosidéros esuite < < b, p fié p et ds [, b]. Si ep, lors l sé- rie ( ) ++p (l ) p cil et : vérifie le critère spé- R () ( l( +)) p ( +) (l( +)) p ( +) Doc, l série defoctios v (p) covergeuiformémet surtout segmet de ], + [. L foctio m est doc de clsse C sur ], + [ et, pour tout de ], + [ et tout p, o : m (p) ()= 5.3. U eemple importt :l foctio epoetielle O fie z ds C et o défiit l pplictio u : u : R C t u (t) = t z ) Motrerque l série defoctios u coverge simplemet sur R. ) Motrer que l série defoctios u coverge ormlemet sur tout segmetde R.! ( ) + ( l ) p 4) Procéder comme ds l questio ). 78

181 6. Lie etre dérivtio etitégrtio 3) Motrerque l foctiosomme de cette sériedefoctios que l o oter e z estdeclsse C sur R et est l solutio de l équtiodifféretielle liéire y (t) = zy(t), vérifit l coditio iitile y() =. Lorsque z =, u = et u = pour. Les questios, et 3 sot imméditemet résolues. Supposos doc z =. ) Pour t =, l série u () coverge. Pour t =, o peut ppliquer l règleded Alembert. u + (t) u (t) = tz et lim u + (t) + + u (t) = < Doc l sérieumérique u (t) est bsolumet covergete. ) Soit [c, d] usegmet de R. Notos R = m( c, d ). Alors [c, d] [ R, R]. t [c, d] u (t) = t z R z!! L série defoctios u covergeormlemet sur [c,d]. 3) Pour tout, lfoctio u est ue foctio polyôme de l vrible t, elle est doc de clsse C sur R. L série defoctios u coverge simplemet sur R. Pour =, d u =, et pour >, d u d t d t (t) = t z = zu (t).! Or, lsérie defoctios u coverge ormlemet sur tout segmet de R, doc l série defoctios zu ussi. Aisi, lsérie defoctios d u covergeormlemet sur tout segmet de R. d t Nous pouvos doc ppliquer le théorème et coclure que l foctio e z, somme de l série defoctios u est declsse C sur R et est telle que : t R d e z d t (t) = d u d t (t) = zu (t)=ze z (t) De plus, e z () =. Doc e z est bie l solutio del équtio y = zy vérifit lcoditio iitile y() =. Pour coclure que e z estdeclsse C, ilsuffit de rédiger ue récurrece e prtt de e z est declsse C et ez = ze z. Pour s etrîer :e.. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 79

182 Alyse PC-PSI Soit f ue pplictio cotiue de I ds E et de clsse C pr morceu sur I. Pour motrer ue propriétéouue iéglitésur f,peser àécrire : (, ) I f () f () = f (t)dt. Pour motrer qu ue pplictio f de [, b] ds E, de clsse C sur [,b[, est declsse C sur [,b], o peut motrer que : f est cotiue sur [,b] et f ue limite l (l E) e b. Pour motrer qu ue pplictio f de [, b] ds E, de clsse C k sur [,b[, est declsse C k sur [,b], o peut motrer que : f est cotiue sur [,b] et, pour tout r de [[, k]], f (r ) ue limite l r (l r E) e b. Pour clculer u développemet limité,opeut: utiliser les opértios sur les foctios dmettt u développemet limité ; utiliser l formuledetylor-youg, si l foctio est fcile àdériver; itégrer le développemet limité de f. Suites de foctios (PSI) Soit ( f ) ue suite de foctios de I ds K coverget simplemet vers f sur I. Pour motrer que f est declsse C sur I,ilsuffit d étblir lesdeu propriétés suivtes: pour tout, f est declsse C sur I ; l suite ( f ) covergeuiformémet surtout compct de I vers g. Lorsque ceci est rélisé, o : g= f. Séries de foctios c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit (u ) ue suite de foctios de I ds K telle que l série de foctios u covergesimplemet sur I vers S. Pour motrer que S est declsse C sur I,ilsuffit d étblir lesdeu propriétés suivtes: pour tout, u est declsse C sur I ; l série defoctios u coverge ormlemet (PSI uiformémet)sur tout segmet de I. Lorsque ceci est rélisé, o S = u. 8

183 6. Lie etre dérivtio etitégrtio TD. Suites récurretes et poit fie A. Le théorème du poit fie (E, ) est u espce vectoriel ormé de dimesiofiie, F estufermé de E, f ue pplictiode F ds F qui est cotrctte (k-lipschitziee vec k < ). ) Justifierque, pour tout élémet u de F, opeut défiir ue suite (u ) telle que : N u + = f (u ) () Dslsuite de cette prtie, u est fié ds F et l suite (u ) est défiiepr (). ) Démostrtiodelcovergece de (u ) (PSI) Motrer que l suite (u ) est ue suite de Cuchy de (E, );e déduire qu elle covergevers uélémet l de F. Les étudits PC dmettrot ce résultt. 3) Motrerque le poit l est l uique poit fiede f. 4) Prouver que, pour tout etier : u l k k u u Cette questiocomplètelerésulttdecovergece pr ue idictiosur l vitesse de covergece. B. Poitsfiesttrctifs,poitsfies répulsifs Dscette prtie et ds l suivte, I estuitervlle de R d itérieur o vide et I. O supposeque f dmet u poit fie, oté. f ue pplictiode I ds ) Soit u u poit de I et (u ) lsuite récurrete défiie pr u + = f (u ). Motrer que, si pour u etier N, u N =, lors l suite (u ) est costteàprtir du rg N. O dit qu u poit fie de f est ttrctif s il eiste u réel > tel que, pour tout u de [l, + ] I, l suite récurrete défiie pr u + = f (u ) covergevers. O dit qu u poit fie de f est répulsif si toute suite récurrete (u + = f (u )) qui coverge vers est écessiremet sttioire. Dslsuite,osuppose f de clsse C sur I. ) Motrer que, si f (l) <, il eiste u réel > tel que l restrictio de f à J = I [,+] soit ue pplictiocotrcttede J. E déduire que est upoit fiettrctif de f. 3) Motrer que, si f () >, lors est upoit fierépulsifde f. 4) Leseemples suivts motret que, lorsque f () =, tout est possible. Étudier,pour chque eemple, si le poit fie est ttrctif ou répulsif : ) f () = +3 et = ; b) f () = e ( ) et = ; c) f () = Arct () et = ; d) f () = 3 + et = ; c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 8

184 Alyse PC-PSI e) f () = +,5( ) et = ; f) f () =, 5( ) et = ; C. Vitesse de covergece pour u poitfie ttrctif Dscette prtie,osupposeque f () = g <. O sit, d près l deuième prtie,que estupoit fiettrctif de f soit ue pplictiocotrcttede J =I [,+]. Dslsuite, u estchoisi ds J et l suite (u ) est défiiepr u + = f (u ). ) Dscette questio, g =. Soit u réel > tel que g > et g+ <. Prouver l eistece d u etier tel que : p N (g ) p u u +p (g + ) p u L miortio (g ) p u l u +p l prouveque l o e peut guère firemieu. ) Dscette questio, g = et f est declsse C. O ote M = sup f (t). t J ) Étudier brièvemet le cs où M =. b) Prouver l eistece d u etier tel que : f. O supposecou u réel > tel que p N u +p M p Pour simplifier, o peut dire qu à prtir du rg, à chque itértio du clcul de u k o double leombre de décimles coues ds l pproimtiode pr u k. Attetio, toutefois, u cs prticuliers. L vitesse de covergece est beucoup plus rpide que ds le cs précédet. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit TD. Clculs pprochés d itégrle, mjortios de l erreur LessommesdeRiempermettetderéliserle clculpprochéd itégrles.cette méthodeélémetireestppelée méthode des rectgles. So efficcité umérique est ssez limitée cr l icertitude est u O, isi que ous le motros ds l eercice du chpitre 5. Ds cetd, ous eposos trois utres méthodes simples de clcul pproché d itégrles. Pour deu d etre elles (méthodes des trpèzes et des tgetes), l icertitude est u O ;pour l troisième (méthode de Simpso) c estu O 4. 8

185 6. Lie etre dérivtio etitégrtio A. L méthode destrpèzes et l méthode destgetes Dscette prtie, f est ue pplictiodeclsse C de [, b] ds C et M = sup f (t). t [,b] L méthode des trpèzes (b )( f ()+ f(b)).) Iterpréter e terme d ire de trpèze. b) Motrer que : b f (t)dt c) E déduire que : b (b )( f ()+ f(b)) f (t)dt ) Prouver que, pour tout etier >, o : b f(t)dt b f() + f L méthode des tgetes = b (b )( f ()+ f(b)) k= (t )(t b) f (t)dt M (b ) 3. +k b + f(b) M (b ) 3. 3) E vous idt d u schém, prouver que : b +b f (t)dt (b ) f M (b ) ) Prouver que, pour tout etier >, o : b f(t)dt b k= f + k b M (b ) ) Prouver que, si f est covee (ou cocve)sur [, b], lors les deu pproimtiosprécédetes de e fourisset u ecdremet. B. l méthode de Simpso b f (t)dt Ds les deu méthodes qui vieet d être eposées, opproime d bord l itégrle de f sur [,b] pr ue formule utilist lvleur de f e u (ou deu) poit(s). L méthode de Simpso doe ue pproimtiodel itégrlede f e utilist, u déprt,trois poitsd iterpoltio. Dslsuite,pour toutepplictio ) O pose P k (t) = D( f)= t + b k. f cotiue de [, b] ds C, oote: f(t)dt b +b f()+4 f + f(b). 6 b Clculer D(P k ) pour k ds {,,, 3}. E déduireque D(P) = pour toutefoctiopolyôme P de degré 3. Thoms Simpso, mthémticieglis (7-76). Il eerce le métier de tisserd, ppred seul les mthémtiques, écrit et publie plusieurs ouvrges de mthémtiques à prtir de 737. S formule prît e 743 ds le cs des rcs de prbole. Elle étit toutefois déjà coue de Cvlieri e 639. Le grd mérite de Simpso est d voir pesé à découper [, b] e morceu pour méliorer l pproimtio. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 83

186 Alyse PC-PSI ) Dscette questioetds l suivte, f est ue pplictiodeclsse C 4 de [, b] ds C. O ote M 4 = sup f (4) (t) et : t [,b] ) Prouver que D( f ) = D(R 4 ). b) Motrer que : R 4 () = +b ( t) 3 [, b] R 4 () M 4 4! E déduire que D( f ) M 4(b ) ! f (4) (t)dt. + b 4. Remrque : U trvilplusfipermet de mjorer D( f ) pr M 4(b ) 5 u lieu de M 4(b ) L recherche decemeilleur mjort est ps ds l esprit des sectios PC et PSI. Aussi, ous cotetos-ous de sigler ce résultt. Lesmteursdeclculsvérifierot isémetque,si f = P 4, lors D( f ) = M 4(b ) O e peut doc ps méliorercette mjortiovlblepour l esemble des foctios de clsse C 4. 3) Pour tout etier >, o pose: Prouver que : S ( f)= b 6 b f()+ +4 k= k= f f +k b + f(b) + k b f (t)dt S ( f) M 4(b ) ) Comprez vec votreclcultrice lesvleurs pprochées obteues prces troisméthodes pour : p si(t)dt c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Algorithmique, TD L méthode de Newto, résolutio d équtios umériques. Prtie mthémtique. Algorithme de Newto-Rphso. Si f est ue foctio umérique cotiue sur ],b[, telle que f () f (b) <,lors ous svos qu il eiste c ds [, b] tel que : f (c) =.Quelques dichotomies permettet d pprocher c pr u réel,miscette méthode covergeletemet. O cherchelors ue foctio g,défiietelle que : suruitervlle cotet f () = g ( ) = et c, k-cotrctte(cf TD), 84

187 6. Lie etre dérivtio etitégrtio L suite défiie pr u et, pour tout etier, u + = g(u ),coverge vers c.lcovergece est d utt plus rpide que k est proche de. Si f est declsse C sur [,b],l foctio g est lors choisie delforme : g() = f (),vec proche de f (c). Toutefois f (c) est ps cou, mis, lorsque f e s ule ps u voisige de c,lechoi de = f () y remédie. c estlors u poit fiettrctif pour l foctio h défiiepr : h() = f () f (). L suite défiie pr et, pour tout : + = h( ) coverge vers c et l covergece est qudrtique. Le ombre de décimles correctes est pproimtivemet doubléàchque itértio. L epressio de l suite correspod àue liéristiodelfoctio f u voisigede. E effet, si est clculé, o cherche + telque : f ( + ) = = f ( + h) = f ( )+ f ( )h+h (h). E égliget le terme h (h),o obtiet h = +,puis +. Cette méthode été eposée e 669 pr Newto pour l résolutiodel équtio 3 5 =,vec =. L formule de liéristio est due à Rphso e 69. L iterpréttio géométrique est simple. L foctio est pproimée prstgete. > plot({^3-*-5,*-},=...); Prtie iformtique E clcul formel,les ombres flottts (décimu) sot représetés pr des couples (m, e) d etiers,respectivemet l mtisse et l epost. Tous lesclculs flotttsegrde précisio (précisio de l mchie)sot bsés sur les clculsetre grds etiers. Les lgorithmes etre grds etiers réliset lesclculs élémetires comme l somme,ldifféreceetleproduit c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 85

188 Alyse PC-PSI Le premier qui it mis upoit ue méthode de multiplictio rpide semble être A. Krtsub. Il remrque e 96 qu u etier de tille k peut s écrire + b k L multiplictiodedeutels etiers: (+b k )(c + d k ) = c +[( b)(c d) c bd] k + bd k écessite doc trois multiplictios d etiers de k chiffres, plus desdéclges et desdditios. ) E utilist l méthode de Newto-Rphso, idiquer u lgorithme de clcul de l iverse d u etier utilist que des dditios et des produits. > restrt:b:= : :=^(-): to 3 do :=*-b*^; od; := := := > b:= :digits:=: :=^(-): to 6 do :=.*-b*^; od; > >./b; := := := := := := ) Idiquer u lgorithme de clcul de. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Modifier cet lgorithme pour predre e compte le ombre de décimles clculées. Comprer vec l versio précédete. > f()=^-; (+)=()/+/() > restrt::=7/5:st:=time(): to 5 do :=/+/; od;time()-st; 99 := 7 96 := := := :=

189 6. Lie etre dérivtio etitégrtio L istructio Mple suivtedoe décimles ectes de rcie. Nous vous lissos l joie de lesdécouvrir. > restrt:digits:=::=.4:st:=time(): to 9 do :=/.+/: od:r:=;evlf(sqrt());time()-st; 3) Idiquer u lgorithme de clcul de l rcie k-ième d u etier m >. > f()=^k-m et (+)=(k-)()/k+m()^(-k)/k. > restrt: :=3/: k:=3: m:=5: to 4 do :=(-/k)*+m/k*^(-k); od; 47 := := := := > restrt: Digits:=: :=.5: k:=3: m:=5: to 6 do Digits:=*Digits: :=(-/k)*+m/k*^(-k); od; evlf(5^(/3)); Digits := :=.8 Digits := 4 :=.75 Digits := 8 := Digits := 6 := Digits := 3 := Digits := 64 := c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 87

190 Alyse PC-PSI Eercice résolu Ue série defoctios c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ÉNONCÉ O cosidère l série defoctios de terme géérl u () = e + sur R +. ) Motrer que l sériecovergeormlemet sur R +. Qu e déduisez-vous? e ) Motrer que l foctio S = + est declsse C sur R +. 3) Motrerque S vérifie ue équtiodifféretielle simpledusecod ordre sur R +. 4) Motrer que l foctio S estps dérivblee. 5) Clculer lim + S(). CONSEILS O motre, pour tout k, l covergece ormledelsérie des dérivées k -ièmes sur tout itervlle [,+ [ vec >. SOLUTION ) Pour tout de N, ettout : u () = e +. Les foctios u sot cotiues sur R + et u coverge ormlemet sur R +. S foctiosomme, S, est cotiue sur R +. ) Les foctios u sot de clsse C sur R + et, pour tout p : u (p) e () = ( )p +. Soit >. [,+ [ u (p) () e p. L série e p coverge, l série defoctios u (p) coverge ormlemet sur [,+ [. L foctio S est declsse C sur R +. 3) Pour tout >, o : S ()+S()= u ()+ u ()= e = 4) Pour >, S () = e + Doc pour tout N de N : S () =. Soit A >, il eiste u etier N tel que e + > N e. N e +. > A et il eiste + > tel que, pour tout de [, [ ettout N, o e >. Filemet,oobtiet : A > N N > [, [ S () > A. E d utres termes: lim S () =. Le grphe de S dmet ue tgeteverticleupoit d bscisse. 5) L covergece ormlesur R + de l sériedefoctios u permet d écrire: lim S() = e lim =. 88

191 Eercices Soit F l foctiodéfiiepr F() = Étudier l dérivbilité de F. Idictio :Poser u = t. l(+t)dt. Soit f ue pplictio cotiue de [, b] ds R telle que : b O fieuetier >. f (t)dt =. Prouver l eistece d ue fmille (,i) i [, ] de réels telle que : =, <, <...<, =b ; i [[, ]],i,i f (t )dt = b f(t)dt. Clculer les primitives des foctios suivtes e précist le domie de défiitio. ) f () = [si() cos(3)]e. ) g() = Arccos (). Clculer I = p/4 Clculer ue primitive de,+. d t cos(t) 3 +cos(t). (t +) /3 (t +) / sur Idictio : (t +) /3 et (t +) / sot des puissces etières de (t +) /6. Soit f ue foctiocotiue de [,] ds R, dérivble e. Motrer que l foctio F défiie sur ],] pr F() = tf(t)dt peut être prologée e ue foctio de clsse C sur [,]. Soit f ue foctio declsse C de R + ds R + et u élémet de ],[ { }. O suppose que lim + f () f () =. Détermier l ture de l série f (). (PSI) Étudier l covergece de l suite ( f ) sur [,] vers f. Peut-o e déduire que : f = ) f () = ep( ); ) f () = ; + 4 3) f () = +. lim f +? (PSI) Détermierles domies de covergece simpleet uiforme delsérie de foctios ( ) e. Clculer l somme S de cette série. O pose, pour réel, u () =. Clculer l somme u () lorsqu elle eiste. que : Soit f ue foctio cotiue de R + ds R +, telle k > R + f () k Motrer que f =. * O cosidère l rc défii pr : (t) = cos 3 (t) ) Trcer cet rc. y(t) = si 3 (t) t f (t)dt, p ( >, fié) ) O le découpe e rcs de même logueur délimités pr les poits M, M,...,M,M. OM i Détermier l limite de +. i= * ) Soit g ue pplictio declsse C ds C. O ote M = sup g (t). t [,b] Motrer que : +b g(b)+g() g M(b ). 4 de [, b] 89 chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

192 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9 Idictio :utiliserl églité de Tylor vec reste itégrl. ) Soit f ue pplictio declsse C de [,] ds C. O pose : k + u = f k= v = f k= f k + f k+ ; k Motrerque lesdeu suites (u ) et (v ) coverget vers ue même limite que l o détermier. Idictio :Étudier u + v et u v. 3) E déduire ( +)( +3)...(4 ) lim + ()( +)...(4 ). * Trouver toutes les foctios de clsse C de R ds R tellesque : R f ()+ ( t)f(t)dt = () * Ds cet eercice, E = R3[X] et, pour tout réel et tout élémet P de E, opose f (P) = P() isi que F(P) = b P(t)dt. Ds l suite,, b et c sot trois réelsdisticts. N.B. :L utilistioduclcul formel est itéresste. ) Motrer que les qutre formes liéires f, f b, f c et F formet ue fmille libre de E si, et seulemet si, b (t )(t b)(t c)dt =. ) Trouver ue coditio simple lit, b et c pour que b 3) O suppose que (t )(t b)(t c)dt =. b Détermier, b et g tels que : (t )(t b)(t c)dt =. F = f + b f b + g f c. Edéduireue epressio simplede tout polyôme de degré 3. b P(t)dt vlblepour Ds cet eercice, E = C (R) et, pour tout élémet f de E, o défiit l pplictio F( f ) e post : F( f )() = tf(t)dt. ) Prouver que F est uedomorphisme de E. ) Étudier l ijectivité et l surjectivité de F. 3) Détermier les élémets propres de F. * ) Motrer que, pour tout etier 3, l équtio = e dmet ue uique solutiosur [, ], otée u. ) Démotrer que l suite (u ) est covergete etpréciser s limite L. 3) Détermier u développemet limité de u àlprécisio o. f () = * ) Motrer que, pour tout réel >, o peut poser e t t d t, etdétermier le sige de ) Prouver que f est de clsse C sur R +. f (). 3) Clculer f et prouver que f s uleue seulefoissur R + e u poit de ],[. 4) E utilist l décroissce delfoctio (t e t ), détermier uecdremet simplede f() etdétermier les limitesde f e + et e +. 5) Dresser le tbleu des vritios de f et doer l llure de so grphe. * Étude et grphe de l foctio défiie pr : F() = d t l t. ** O ote E = C (R, C) etodéfiit l edomorphisme T de E pr : T ( f )() = f (t)dt. Pr récurrece, o défiit T = Id E et,pour : ) Motrer que : T + = T T. N R T ( f )() = ( t) ( )! f (t)dt ) Détermier Ker(T ) et Im(T ) pour tout etier >. E déduire que (T ) iduit uisomorphisme de C (R, C) ds Im(T ). 3) Détermier les spectres de T et T. 4) Motrer que, pour tout élémet f de E, lsérie de foctios T ( f ) coverge simplemet sur R et doer ue epressio itégrle de T (f)(). =

193 6. Lie etre dérivtio etitégrtio O cosidère l foctio f défiie pr : f () = ( ) + ) Doer le domie de défiitio de f. Clculer f (). ) Doer ue epressio de f () l sous l forme de l somme d ue série de foctios. E déduire l limite de f e +. 3) Motrer que f est cotiue, puis declsse C. ** Soit g ue pplictio cotiue de [, T ] ds R. Motrer que : t [, T ] t g(u)du = lim + k= ( ) k k! T e k(t u) g(u)du coverge. Pour réel, opose f () = qud l série ) Détermier l esemble E de défiitiodelfoctio f. ) Doer pour l dérivée f () ue epressio simple vlble sur ], [. Edéduire le tbleu de vritios de f. 3) O doe : Clculer f ( ). f () = p 6. 4) Préciser les tgetes e = et = à l courbe d équtio y = f (). 5) Trouver l esemble D de défiitiodelfoctio w telle que : w() = f ()+ f. Clculer w (). E déduire l vleur de f. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

194 Foctios itégrbles 7 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L histoiredelthéorie de l itégrtio esttypique du chemiemet des idées mthémtiques. Les mthémticies du XVIII e siècleot utilisé le clcul différetiel et itégrl sur des bses ituitives. E 83,les trvu de Cuchy sur l otio de limite lui permettet de défiir rigoureusemet l itégrle d ue foctio f cotiue sur u segmet [, b]. E 854,Berhrd Riem, ds so mémoire sur les séries trigoométriques, élrgit le problème e chercht àpréciser lesfoctios uquelles cettedéfiitio s pplique.ilitroduit lesfoctios itégrbles u ses de Riem, u esemble complee, difficile àmipuler. Au début duxx e siècle, Émile Borel défiitles esembles de réelsdemesureulle. Heri Lebesgue, ds s thèse de 9,repred certies idées de Borel et fourit u cdreplus simple àl itégrtio. Des théorèmes puissts vot s ppliquer u suites et séries de foctios, isi qu u foctios défiiespr des itégrles. Nous préseteros certis d etreeu e ous limitt àdes foctios cotiues pr morceu. Nous vos déjà défii l otio d itégrle d ue foctio cotiue pr morceu sur u segmet. Nous llos mitet géérliser cette défiitio àdes foctios cotiues pr morceu sur u itervllequelcoque. O B J E C T I F S Covergece d ue itégrle géérlisée. Itégrlebsolumet covergete. Foctio cotiue pr morceu sur uitervlle I, itégrblesur I. Critères d itégrbilité d ue foctio cotiue pr morceu sur I. Espces vectoriels ormés de foctios itégrbles. Théorème de covergece domiée. Itégrtio terme àterme d ue série de foctios. Cotiuité d ue foctio défiie pr ue itégrle. Dérivbilité d ue foctio défiie pr ue itégrle. 9

195 7. Foctios itégrbles I désige u itervlle d itérieur o vide et K est R ou C. Les foctios cosidérées ds ce chpitre serot des foctios cotiues pr morceu sur I, àvleursds K. Covergece des itégrles géérlisées.. Itégrles covergetes L étude des séries ous coduit àdéfiir les séries umériques covergetes et les séries bsolumet covergetes. Nous llos, eprocédt de même, étedrelotiod itégrle. Soit f CM ([, b[, K) b R. Pour tout de [, b[, o pose: F()= f(t)dt. Si F ue limite àguchee b, odit que l itégrle f (t)dt (ou f (t)dt )covergeetoote: [,b[ b f(t)dt = f(t)dt = lim f (t)dt. b [,b[ b Nous trvilleros toujours vec des foctios cotiues pr morceu sur u itervlle I. Lorsque l itervlle I cosidéré est ps u segmet de R, les itégrles sot qulifiées d impropres ou de géérlisées. O défiit, de mière logue,si f estue foctiode CM (], b],k), b ( R), lorsqu elle coverge, l itégrle f = f. Soit f ue foctiode CM (], b[, K) (, b) R,etcu poit de ], b[. c Si lesfoctios f (t)dt et f (t)dt dmettet c ue limite, réelle ou complee, respectivemet e et e b, lsomme b de ces limitesest otée, de mière impropre, f = f. O dit ],b[ b lors que l itégrle f (ou f )est covergete. ],b[ ],b] Ueitégrlegéérlisée qui e covergeps est dite divergete. Eemple L foctio [p,+ [ C, Doc : p i t e it d t = i e i e it t p est cotiue sur [p,+ [. = ei lim i t + p e it d t = eip p. eip p. Lorsque I = [, b], et f est ds CM [, b], l itégrle b f défiie ds le chpitre 5, est l limite e b de ( f ). Il est cohéret d utiliser l même ottio. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 93

196 Alyse PC-PSI L itégrle + p i t e it d t est covergete et : + p i t e it d t = eip p. E défiitive,si I est uitervlle, et f uefoctiode CM(I, K), l ottio f désige : I si I est usegmet,l itégrledéfiieds le chpitre 5; sio, lorsque l itégrle f coverge, l vleur de cette itégrle impropre. I.. Les eemples à coître Les itégrles géérlisées Riem. + d t t et d t t sot ppelées itégrles de Nture de l itégrle + d t, où est réel. t Les foctios f défiies sur [, + [ pr f () = sot cotiues sur [, + [. Si =, lors l itégrlediverge. Si = lors,pour tout > : L itervlle [,+ [ est ps boré. dt t = t + = +. Filemet : c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 94 L itégrle géérlisée + Ds ce cs : + Nture de l itégrle d t t coverge si, et seulemet si, >. d t t =. d t, où est réel. t Les foctios f défiies sur ], ] pr f () = sot cotiues sur ], ]. Si =, lors l itégrlediverge. Si = lors,pour tout > : dt t = t + =. Rpport TPE, «Oisi vudes cdidts ffirmer (et même teter de démotrer) l itégrbilité de ( ) sur ], [.» L itervlle ],] est boré, mis les foctios f e sot ps borées sur cet itervlle si >.

197 7. Foctios itégrbles L itégrle d t t covergesi, et seulemet si, <.Ds ce cs : d t t =. L itégrle géérlisée : + d t t est toujours divergete. Nture de l itégrle l(t)dt. L foctiodéfiiesur ], ] pr f () = l() est cotiue sur ], ]. Pour tout > : L itégrle covergeet Nture de l itégrle + l(t)dt =[tl(t) t]. l(t)dt =. ep( t)dt, où est réel. Les foctios f, défiies sur [, + [ pr f () = ep( t), sot cotiues sur [, + [. Si =, l itégrle diverge. Si =, pour tout > : L itégrle + ep( t)dt = ep( t). ep( t) dt covergesi, et seulemet si >..3. Itégrles bsolumet covergetes. Soit I u itervlle qui est ps u segmet de R. O dit qu ue foctio f de CM(I, K) ue itégrle bsolumet covergete sur I,ouest itégrble sur I si l itégrle f coverge. I L esemble des foctios cotiues pr morceu et itégrbles de I ds K est oté I(I, K). Théorème Ue itégrle bsolumet covergete est covergete. Démostrtio Rédigeos l démostrtio ds le cs où I = [, b[ etk = R. Soit f ds I(I, R). Nous svos que : f + f f. L foctio ( b coverge. ( f + f )(t)dt) est croisste sur [, b[, mjorée pr f (t)dt.elledmet ue limiteréellee b. L itégrle géérlisée Lorsque l foctio f est à vleurs complees, o utilise : f = Re( f )+iim( f ). f (t)dt L itervlle ],] est boré, mis l foctio l est ps borée surcet itervlle. L itervlle [,+ [ est ps boré. L ottio I(I, K) est ps uiverselle. Vous recotrerez prfois L (I, K). Attetio! Ds les ouvrges de mthémtiques plus vcées, cette ottio désige u esemble plus vste que I(I, K), ds le cdre d ue théorie plus complee. Ce résultt est dmis e sectio PC c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 95

198 Alyse PC-PSI Théorème Ue foctio f de CM(I, K) est itégrblesur I si, et seulemets il eiste uréel positif M tel que, pour tout segmet J coteu ds I, o it : f M. J Démostrtio Soit f ue foctiode CM(I, K). Si f est itégrble sur I, leréel M = f (t) d t coviet. Réciproquemet, rédigeos ds le cs où I = [, b[. Pour tout < < b, f (t) d t M. L foctio croisste ( réelle e b. L itégrle géérlisée Eemples I f (t) d t coverge. f (t) d t) doc ue limite Rpport CCP, «L itégrbilité de b et g est rremetcovicte.» Rpport Cetrle, «...Ce que l o doit vérifier ds le cdre strict du progrmme est l cotiuité, ou l cotiuité pr morceu de l itégrde.» Rpport Mies-Pots, «Deplus, o peut ttedre decdidts ucocours commu qu ils justifiet ds u premier temps l eistece des itégrles qu ils mipulet.» L foctio f : ( e ) est cotiue et positive sur R +. Si [, b] R +, lors : b e t d t = [ e b +e ]. Doc f est itégrblesur R +. De plus : e t d t =. R + L foctio f :( si()e ) est cotiue sur R. Sur R +, lfoctio f est itégrblecr,pour tout [, b] R + : b f () d b e d = e e b c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 96 Elle est églemetitégrblesur R,cr,pour tout [, b] R : b f Elle est doc itégrblesur R. b e d. Pour s etrîer :e.. E prtique, pour motrer que l itégrle coverge, ous essieros d bord de prouver que l foctio f estitégrblesur I.Lorsque I =], b[, l itégrbilité sur I de f équivut àl itégrbilité sur ],c] etsur [c, b[, de f vec < c < b. Toutefois, il eiste des foctios o itégrbles sur I dot l itégrle coverge. Rpport Cetrle, «Les théorèmes gééru sur l itégrbilité sot e géérl cous, les défiitios le sot beucoup mois!» Rpport ENSAM, «L otio d itégrbilité de foctios àvleurs complees est mîtrisée pr trop peu d étudits.»

199 7. Foctios itégrbles Applictio L itégrle si t d t t O cosidère l foctio défiie sur R + pr f (t) = si t si t =, f () =. t ) Motrerque l foctio f estps itégrble sur R +. si t ) Motrer que l itégrle d t est t covergete. 3) E déduire que l itégrle + si(e t )dt est covergete, mis o bsolumetcovergete. ) f est cotiue sur R +. Cosidéros lesitégrles Doc, p f = k= kp p = p lim + f = + et f est ps itégrblesur R +. k= k= p (k+)p f. si u u si t t + kp d t (k +)p p d u si t d t. ) Itégros pr prties. Pour tout > : si t cos t cos t d t = + t t t d t. L foctio g : R + t cos t t estcotiue sur et prologeblepr cotiuité e. g estboréeetdoc itégrblesur ], ]. Pour tout t : cos t t t. Doc g est itégrble sur [, + [ cr so itégrle sur tout segmet coteu ds [, + [ est mjorée pr t d t. [,+ [ si t L itégrle d t dmet doc ue limite fiielorsque tedvers + et t : si t si t lim d t = d t + t t cos t = t d t. 3) L foctio h : (t si(e t )) est cotiue sur R. Soit et b deu réels, b >. Nous vos : b si(e t ) d t = e b si u u d u. L foctio h estps itégrble sur R +. Mis : b + si e t d t = si(e t )dt = O e déduit que l itégrle e b e si u u si u u + d u d u. si(e t )dt covergete, mis o bsolumet covergete t Doc.. (t si(e t )).,5,5 est c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 97

200 Alyse PC-PSI Critères d itégrbilité de foctios positives.. Itégrbilité etprimitives Lorsqu ue primitive F de l foctio f est coue, soutilistio esttrès efficce. Théorème 3 Soit f ue foctio cotiue pr morceu de I ds R + et F ue primitive de f sur I. Alors : f est itégrble sur I si, etseulemet si, lfoctio F est borée sur I ; si f est itégrblesur I, o: f = lim y sup I if I I Eemple Posos f (t) = +t. f est cotiue, positive sur R. S primitive F : (t Arct t) est borée sur R. Elle est itégrble sur R et d t R +t =p. Pour s etrîer :e. et3. Applictio Covergece et limite delsuite u = k( k) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Étudier l suite défiiepr : Posos f (t) = u = k( k). t( t) sur ], [. L foctio f est cotiue et positive sur ], [. Sogrphe dmet l droite d équtio = pour edesymétrie. Ue primitive de f sur ], [ est l foctio (t Arcsi (t )) (doc. ). Avec Mple : ÒØ ½» ÕÖØ Ø ½¹Øµµ ص Arcsi (t ) Doc.. Ueprimitive de f. Cette primitive est borée sur ], [, doc f est itégrblesur ],[. u = = = k( k) Posos v = f k. E(/) f k k k. Lorsque estpir, v = u + et lorsque est impir, v = u. De plus, l foctio f est décroisste sur,. 98

201 7. Foctios itégrbles 3 y Doc. 3. Comprisoitégrleetsuite Pour tout k de [[, E ]] : (k+) k f k f Et pour tout k = E Nous e déduisos : Puis lim + E ( ) : E ( ) f = f k (k ) f. k k (k ) f v f. D où : lim u = lim v = + + ],[ f. f = p. f... Compriso à ue série umérique (PSI) Théorème 4 Soit f ds CM(R +, R + ), décroisste, lors l foctio f est itégrblesur R + si, et seulemetsi, l série f () coverge: y y = f() f I R +,R + f() coverge. Démostrtio Reportez-vous u chpitre sur lessériesumériques. + Doc. 4. Compriso d ue itégrleàue série umérique. Eemples :Les itégrles de Riem Les foctios f défiies sur [, + [ pr f () = sot cotiues et positivessur [, + [. Lorsque >, l foctio f estpositive,cotiue et décroisstesur R +. Le théorème précédet ous idique qu elle est itégrble si, etseulemet si, l série coverge, doc si, etseulemet si, >. Lorsque, l foctio f estps itégrble sur R + cr sesprimitives e sot ps borées. Si b est uréel fié, les foctios g, défiies sur ]b,+ [ pr : g () = ( b), sot cotiues et positives sur cet itervlle. Pour quelles vleurs de sotelles itégrbles sur [b+,+ [? Rpport Cetrle, «Les erreurs les plus fréquetes sot de croire que t est itégrblesur R +.» L foctio g est ps itégrble sur ]b,+ [. Elle est itégrble sur ]b, b +] lorsque <. 99 chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

202 Alyse PC-PSI Soit e repret le clculprécédet, soit e effectut le chgemet de vrible défii pr u = b, vous motrerez isémet que : L foctio ( ) est itégrble sur [b +,+ [ si, et seulemet ( b) si, >..3. Critères d itégrbilité defoctios àvleurs positives pr compriso.3. Croissce del itégrle Pour s etrîer :e. 4. Théorème 5:Croissce de l itégrle Soit f, g ds CM I, R + telles que f g. Si g est itégrblesur I, lors f est itégrblesur I et : f g. I I Les critères éocés ds ce prgrphe sot des coditios suffistes d itégrtio. Si f estps itégrble sur I, lors g e l estps. Démostrtio Si g est itégrble sur I, lors, pour tout segmet [, b] coteu ds I, o: f g g=m. [,b] Doc f est itégrble sur I, et [,b] I f g. Pr cotrposée, si f est ps itégrble sur I, g e l est ps. I I Pour s etrîer :e. 5. Applictio 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Motrer quel foctio t est t( + t ) itégrblesur R + d t et clculer t( + t ). R + ) Soit >. Préciser pour quelles vleurs de, l foctio t Arct t t estitégrblesur R +. 3) Clculer R + Arct t dt. t 3/ Deu clculsd itégrle ) L foctio positive sur R +. t t( + t ) est cotiue et De plus, et l foctio t( + t ) t t t est itégrblesur ], ]. Pour tout t, o t( + t ) ( + t )

203 7. Foctios itégrbles et l foctio [,+ [. Doc l foctio est itégrblesur R +. d t t( + t ) = t ( + t ) t t( + t ) lim + est itégrble sur ( + t ) d t t. Effectuos le chgemet de vrible u = t. d t t( + t ) = d u ( + u 4 ) = p. Avec Mple Doc. 5. ÒØ ¾» ½ Ù µµ Ù¼ººÒÒØݵ ) L foctio positive sur ], + [. p t Arct t t est cotiue et Or,sur ], ], o: t Arct t t t. L foctio (t t ) est itégrble sur ],] si, et seulemetsi, <. Et, sur [, + [, p 4 t Arct t t p t. L foctio t estitégrblesur [, + [ t si, et seulemetsi, >. Doc l foctio t Arct t est itégrble sur ], + [ si, et seulemet si, <<. 3) Fios < < A et itégros pr prties: A Puis : t Arct t d t = Arct t Á + t 3/ t Arct t d t = t 3/ A d t t( + t ). d t t( + t ) = p..3. Itégrbilité et compriso de foctios u voisige d u poit Théorème 6 Soit b ds R {+ } et f, g deu foctios de CM [, b[, R +. Si f = b O(g) et g est itégrble sur [, b[, lors f est itégrble sur [,b[. Démostrtio Soit f et g deu foctios de CM [, b[, R +. Si f = b O(g), lors : f K > c ], b[ [c, b[ f() Kg(). est doc itégrble sur [c, b[. Elle l est sur [,b[. Corollire6. Soit b ds R {+ },et f et g deu foctios de CM [, b[, R +. Si f b g, lors f est itégrble sur [, b[ si, et seulemet si, g l est. O obtiedrit u théorème logue vec des foctios cotiues pr morceu sur ], b], R { } et f = O(g) Rpport Cetrle, «Pour l étude de l itégrbilité, o ffirme (plus qu o e motre) qu o ffire à u o( t). Le désrroi est grd lorsqu o e peut ps coclure isi. Étudier l itégrbilité de si ( +si ) est ueercice isurmotble.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

204 Alyse PC-PSI.3.3 Quelques eemples f Cosidéros l foctio f défiiesur [, + [ pr : f () = e ( N, R + ). est cotiue sur R +, positive. Auvoisige de +, f () = O et l foctio g, défiie sur [, + [ pr g() = [,+ [;doc f est itégrblesur [, + [. De plus : Doc : t e t d t = t e t t e t d t = + t e t d t. Uerécurrece simplevous permettrdeprouver que :, est itégrble sur t e t d t.! Approfodissez l étude de ces eemples,ils vous resservirot. t e t d t =! +. Soit l foctio f défiiesur [, + [ pr f () = e/ +. f est cotiue sur [, + [, positive. Au voisigede +, f() = O, qui est itégrblesur [, + [. f est doc itégrblesur [, + [. Soit et b deu réels ( < b) et f ue foctio cotiue pr morceu, positive et borée sur [,b[. Alors l foctio F défiie sur [, b[ pr F() = f (t)dt est mjorée. E effet : [, b[ F() (b ) sup t [,b[ f est doc itégrblesur [, b[. f (t). Aisi, l foctiodéfiie sur ], ] pr f () = si ],]. est itégrblesur c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Applictio 4 Cosidéros les foctios défiies sur R + \{} pr : f,b () = l b, où et b sot deu réelsfiés.ces foctios sot cotiues et positives sur R + \{}. Pour s etrîer :e. 6à8. Itégrles de Bertrd ) Pour quelles vleurs de et b, ces foctios sot-ellesitégrbles sur,? ) Pour quelles vleurs de et b, ces foctios sot-ellesitégrbles sur [, + [?

205 7. Foctios itégrbles Attetio! Cotriremet àl étude des itégrles de Riem, dot les résultts sot eploitbles ds ue copie oupour résoudre u eercice, cet eemple esttrité que pour vous motrer des méthodes très importtes d étude d itégrbilité. Ds uproblème ou u eercice de cocours, les résultts suivts devrotêtre redémotrés. ) Étudios l itégrbilité de f,b sur,. Si =, ous llos comprer f,b u foctios g c, défiies pr g c () = c. Pour <, e choisisst c ds ],[, o, u voisigede: l b = o c. c Doc. 6. Choide c. Or, g c estitégrblesur ussi.,, f,b l estdoc Pour >, e choisisst c ds ], [, o, u voisigede: c =o l b. c Doc. 7. Choide c. Or, g c est ps itégrble sur l est doc ps o plus. Si =, soit ds [,/] d t t l t b = d u [l, l ] u b,, f,b e,. Alors : (e post u = l t). Lorsque ted vers, l ted vers + et ous sommes rmeés àue itégrle deriem sur [l, + [. L foctio est itégrble si, et seulemet si, b >. ) Étudios l itégrbilité de f,b sur [, + [. E procédt de mière logue, vous motrerez que, lorsque =, f,b est itégrble sur [,+ [ si, et seulemet si, >, et lorsque =, si, etseulemet si, b >. 3 Propriétés de l itégrle 3.. Liérité de l itégrle Théorème 7 I(I, K) est u K-espce vectoriel. L pplictio f f est ue forme liéire sur I(I, K). 3.. Reltio de Chsles I Théorème 8 Soit f ue foctio cotiue pr morceu et itégrble sur deu itervlles I et J. Si I J est uitervlle et si I J est vide ou réduit àupoit,lors f est itégrblesur I J et : f = f + f. I J I J c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

206 Alyse PC-PSI Démostrtio Ces résultts se démotret e utilist des primitives de f et f sur I J. Applictio 5 Deséquivlets c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Soit f et g deu foctios cotiues pr morceu sur [, b[(b R {+ }), àvleurs respectivemet ds R + et ds C, telles que g = b O( f ). ) Motrer que, si f est itégrble sur [, b[, b b lors g = b O f. b) Motrer que, si f est ps itégrble sur [, b[, lors g = b O f.. ) E déduireque,si f b g etsi f estps itégrblesur [, b[, lors g b f. b) Doer u équivlet de lorsque ted vers +. Arct t dt t ) ) Il eiste K > et c ds [, b[ tels que, pour tout de [c, b[ : g() Kf(). Alors,pour tout c, o: b b b g g K f. b b D où: g= b O f. b) Utilisos les mêmesottios que ds l questio précédete. c g g = g + g c g + K c f. c L foctio tedvers b et c f tedvers + lorsque g est uréel fié. Doc : g = b O f. ) ) Si f b g, lors f g = b o( f ). Démotrer, demême que ds l questio ) b), qu lors : Doc ( f g) = b o f b g. f. b) L foctio t Arct t est cotiue sur t ], + [ etseprologe e pr cotiuité. De plus Arct t p +. Doc elle est ps t t itégrblesur ],+ [ et: Or : Soit : Arct t t Arct t t Arct t t d t + d t + Arct t t p t d t. d t + p l. d t. 4

207 7. Foctios itégrbles 3.3. Itégrle et cotiuité Théorème 9 Soit f ue foctio cotiue, positive et itégrble sur I. L itégrle de f sur I est ulle si, et seulemetsi, f est ulle. Rpport Mies-Pots, «Il coveit depréciser que l foctioàitégrer étit cotiue et strictemet positive.» Démostrtio f est ue foctio cotiue, positive et itégrble sur I. Supposos que f = etrédigeos l démostrtio ds le cs où I = [, b[. I Pour tout de [, b[ : f f =. [,] f est cotiue et positive sur [, ], elle est doc ulle sur [, ]. Doc f est ulle sur I. I Rpport Mies-Pots, «Utrcé rpide,direct ou àl ide de l clcultrice, de l foctio à itégrer peut permettre d orieter soétude.» Applictio 6 L foctiogmm : G() = R + e t t d t Le réel étt fié, o défiit l foctio f sur R + pr f (t) = e t t. ) Étudier soitégrbilité sur R +. ) O défiitsur R + l foctio G pr G() = e t t dt. R + Motrerque : R + G( +)=G(). 3) Epliquer pourquoi l foctio G peut être cosidérée comme u prologemet de l fctorielle. ) f est cotiue et positive sur R +, que ous llos scider e ], ] et [, + [. Au voisigede, f(t) t. Doc : f I (], ], R) >. Au voisigede +, f(t) = o t. Doc : f I ([, + [, R). f est itégrble sur R + si, et seulemet si, >. ) Soit >, A > et >, fiés. Itégros pr prtiessur [, A] : A e t t dt =[ e t t ] Á + = e A A +e + A A e t t dt e t t dt. Lorsque A ted vers + et vers, o obtiet: lim A + e A A = ; Doc : G( +)=G(). lim e =. 3) E prticulier : G() = e t d t =, R + puis prrécurrece : G( +)= t e t dt =! R + Cette églité ous permet de compredre que l foctio G, itroduite pr Euler, peut être cosidérée comme u prologemet de l fctorielle. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

208 Alyse PC-PSI 3.4. Iéglité delmoyee Théorème Soit f ue foctioitégrblede I ds K. Alors : f f. I I 3.5. Chgemet de vribles Théorème Soit f ue foctio itégrble sur u itervlle I et w ue bijectio d u itervlle J sur I, declsse C sur J. Alors : f = f w w. I J E ott, b les etrémités de J et, b les limites e, b respectivemet de w : b f (t)dt = b f(w(u)) w (u)du. Démostrtio Nous llos effectuer l démostrtio ds le cs où J = [, b[. Le C -difféomorphisme w est ue pplictio strictemet mootoe, o pourr supposer que w est strictemet croisst. Ds ce cs, w est de clsse C et w est strictemetpositive sur J, deplus : I = w(), lim w() = [w(), b[. b c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Nous pouvos procéder pr équivlece : f est itégrble sur I si, et seulemet si, lim f (t) d t eiste. b w() Or lim f (t) d t = lim b w() w () b = lim w () b cr w est strictemet positive sur J. De plus, w est cotiue sur I, ussi : Or l limite w () lim b itégrble sur J. y lim y b f w(u) w (u)du f w(u) w (u) du f w(u) w (u) du = lim y b y f w(u) w (u)du. f w(u) w (u)du eiste si, et seulemet si, ( f w)w est Nous obteos filemet f est itégrble sur I si, et seulemet si, ( f w)w est itégrble sur J. 6

209 7. Foctios itégrbles Ds ces coditios : I f = lim f (t)dt = lim b w() w () b y = lim f w(u)w (u)du = y b Ds lecs où w eststrictemet décroisste, I = et w I est strictemet égtive. w() f = lim f (t)dt = lim f w(u)w (u)du b b w () f w(u)w (u)du ( f w)w. J lim w() ; w() b y y = lim f w(u)w (u)du = lim f w(u) w (u) d u = y b y b l t Eemple:Clcul de L foctio f : t + t d t l t + t est cotiue sur ], + [. De plus : l t + t l t et l t + t = o Cette foctioest doc itégrblesur ], + [. t 3/. =]b; w()] ( f w) w. J L foctio (u t = u) est bijective etdeclsse C de R + ds R +. Posos t = u, lors : + l t + t d t = l(u) ( + u ) d u = l p + + l u +u du. L foctio t u = t est bijective et de clsse C de ], ] ds Rpport CCP, «les itégrles simples devieet pr leur covergece, ettrop souvet leur clcul,ucuchemr prtgé pr les cdidtsetles emiteurs.» [, + [. Posos u = t, lors : Nous e déduisos : 4 Espces + + l t +tdt = l t +tdt =, puis: + l u +u du. l t + t d t = l p. vectoriels ormés de foctios itégrbles 4.. L orme N Pour s etrîer :e. 9. et. Les foctios cotiues et itégrbles sur I àvleurs ds K costituetu sous-espce vectoriel de l espce vectoriel C (I, K) des foctios cotiues de I ds K. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

210 Alyse PC-PSI Cetespce vectoriel estmui de l orme N, dite orme de l covergece e moyee,défiie pr: N ( f)= f I 4.. Foctios de crré itégrble Ue foctio cotiue, àvleurs ds K, f, est dite de crré itégrble sur I lorsque f estitégrblesur I. Notos E l esemble de ces foctios.c est ue prtie o vide de C(I, K). Théorème Le produit dedeu foctios de crré itégrble sur I est itégrble sur I. Le produit dedeu foctios itégrbles sur I est ps écessiremet itégrble sur I. Il suffitdecosidérer l foctio: f : ], ] R, et de predre f = g. Démostrtio Soit f et g deu foctios de E. Alors, fg est cotiue sur I, etdeplus, fg f + g. L foctio fg est mjorée pr ue foctio itégrble sur I, doc est itégrble sur I. L foctio f, défiie sur R + pr f (t) =, est cotiue +t et de crré itégrble sur R + et o itégrblesur R +. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 3 L esemble E des foctios cotiues,àvleurs ds K, decrré itégrblesur I, est u sous-espce vectoriel de C(I, K) U produit sclire sur E Théorème 4 Lorsque K = R, l pplictio : (f,g) ( f g) = I fg défiit uproduitsclire sur l espce vectoriel des pplictios cotiues de crré itégrblesur I, àvleurs réelles. Lorsque K = C, l pplictio: ( f,g) ( f g) = fg défiit u produitsclire compleesur l espce vectoriel despplictios cotiuesdecrré itégrblesur I, àvleurs complees L orme N L orme défiie pr ce produit sclire est ppelée orme de l covergece e moyee qudrtique,etotée N. / f E N ( f) = f. I I l foctio g défiie sur R + pr : si t ], ] g(t) = t si t est cotiue, itégrble sur R +, mis estps de crré itégrble sur R +. 8

211 7. Foctios itégrbles Théorème 5IéglitédeCuchy-Schwrz Soit f et g deu foctios cotiues et de crré itégrblesur I, lors : f g N ( f )N (g). L églité lieu si, etseulemet si, f et g sot liées. Corollire5. Soit f et g deu foctios cotiues et de crré itégrblesur I, lors : ( f g) N ( fg) N ( f)n (g). Démostrtio E effet : ( f g) fg = N ( fg) = f g N f N g = N( f)n (g) I Augusti-Louis Cuchy ( ), mthémticiefrçis. Corollire5. Si ( f ) et (g ) sot deu suites defoctios cotiues de crré itégrble sur I coverget e moyee qudrtique vers f et g, lors f g tedvers f g. O ditussi que le produitsclire est cotiupour l orme N. Démostrtio Doc : Or ( f g) ( f g ) = ( f f g)+( f g g ). ( f g) ( f g ) ( f f g) + ( f g g ) lim N( f f) =, lim + N ( f f )N (g)+n ( f )N (g g ). N(g g) = et: + N ( f )=N ( f f + f)n ( f f )+N ( f) est borée. D oùlerésultt. Applictio 7 Soit I u itervlle ouvert eto vide de R et k ue foctiocotiue de I ds R + tels que, pourtout etier, l foctio k() est itégrblesur I. Pour s etrîer :e.. Fmilles de polyômes orthogou O désige pr E l esembledes pplictios f de I ds R, cotiues sur I et telles que l foctio f ()k() est itégrblesur I. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

212 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Vérifier lesssertios suivtes : si f et g sot deu élémets de E, lors l foctio ( f ()g()k()) est itégrble sur I. E est u sous-espce vectoriel de C (I, R) ; l pplictio: E E R, : ( f,g) f g = défiituproduitsclire sur E. I f ()g()k()d ) ) Prouverque toutefoctiopolyômeest ds E. b) Motrer l eistece d ue uique fmille de polyômes (P ) N telle que : pour tout, P est uitirededegré ; si et k sot deu etiers disticts, lors P P k =. c) Démotrerque,pour tout etier, le polyôme P dmet rciesdistictes ds I. d) E costtt que : (P, Q) R[X] XP Q=P XQ prouver l eistece de deu suites réelles (u ) et (v ) telles que : XP = P +u P +v P ) Quelquesfmilles clssiques ) Lespolyômes de Legedre: I =],b[, k() =. Prouver que P () = d [( ) ( b) ], où est uréel que vous clculerez. Epliciter P,...,P 4. d b) Lespolyômes de Tchebychev: I =], [, k() = Prouver que P () = d [( ) / ] où est uréel que vous clculerez. Epliciter P,...,P 4. c) Lespolyômes de Lguerre : d I = ], + [, k() = e. Prouver que P () = e d d [e ] où est uréel que vous clculerez. Epliciter P,...,P 4. d) Lespolyômes de Hermite : I = ],+ [, k() = e. Prouver que P () = e d ] où [e est u réel que vous clculerez. Epliciter P,...,P 4. ) ) Toute foctio polyôme est cotiue sur I. L coditio d itégrbilité est vérifiée pr toute foctiomoôme, doc, pr liérité del itégrle, pr toutefoctiopolyôme. b) Fios N > ettrvillos ds R N [X] mui du produit sclire et de l bse (, X, X,...,X N ). Orthogolisos cette bsepr le procédé de Schmidt. Nous posos P = etsupposos l fmille (P,...,P j ) costruite jusqu à l ordre j fié de [[, N ]]. Appelos p j l projectio orthogole de R N [X] sur le sous-espce vectoriel R j [X]. Le polyôme X j+ p j (X j+ ) est orthogolà R j [X] etpprtiet à R j+ [X]. Posos P j+ = X j+ p j (X j+ ). Il vérifie les coditios imposées. Tout polyôme les vérifit lui est coliéire. Deu polyômes uitires coliéires sot égu. O Doc. 8. (P ) N d j+ j+ X j+ X p j ( X ) p ( X ) j j+ R j [ X] De plus, les polyômes isi défiis edépedet psde N. Il eiste doc ue uique fmille de polyômes (P ) vérifit lescoditios requises. c) L propriété est vrie pour =. Fios >. Nous svos que P P =, doc que P ()k()d =. Si P e s ule ps ds I I, lfoctio cotiue P k est desige costt ds I. Soitégrle sur I e peut s uler.

213 7. Foctios itégrbles Supposos lors que P dmette p rcies de multiplicité impire sur I, vec p <. Appelos,..., p ces rcies et Q le polyôme Q(X) = (X )...(X p ). Ce polyôme pprtietà R [X] doc P Q =. Le polyôme QP que des rcies de multiplicité pire sur I, ilest doc de sige costt sur cet itervlle et ceci ous motre lorsque l hypothèse p < est impossible. d) Il est immédit que : (P, Q) R[X] XP Q=P XQ. Motros l eistece dessuites (u ) et (v ). Pour tout etier,lepolyôme XP P + pprtiet à R [X], doc peut s écrire sous l forme : De plus,si i : XP P + = i P i. i= XP P + P i = i P i P i = XP P i =P XP i = si i. O e déduit = =... = =. Doc : (u +, v + ) R XP P + = u + P + v + P ) ) Nous cotrôlos d bord que, pour tout de N, lfoctio ( ) est itégrblesur ], b[. Vérifios que, pour tout p et pour u certi p que ous préciseros,lepolyôme P p est uitire et que lespolyômes (P ) sot orthogou. Pour tout p de N, P p uitireetrîe: p = (p)(p )...(p+). Soit < m. Clculos P P m. P P m = m b d d [( ) ( b) ] d m d m [( )m ( b) m ]d. Vous effectuerez + itégrtios pr prties successives. E tet compte dufit que et b sot rcies d ordre m de [( ) m ( b) m ], doc rcies de sesdérivées jusqu à l ordre m, vous obtiedrez : P P m = ( ) + m b =. d + d + [( ) ( b) ] d m d m [( )m ( b) m ]d Les polyômes de Legedre sot fouris pr ue petite procédure Mple (doc. 9). Avec Mple ÄÒÖÔÖÓ Òµ ܹµÒµ ܹµÒµ Ü Òµ» ÔÖÓÙØ Ò ½ººÒµµ Ò Legedre := proc()diff(( ) ( b), $ )/ product( + i, i =..) ed ÄÒÖ ½µÄÒÖ ¾µÄÒÖ µäòö µ ÓÖ ÖÓÑ ½ ØÓ Ó ÓÐÐØ ÄÒÖ µ ܵ Ó b ( b) + ( )( b)+ ( ) ( b) ( )( b) + 9 ( ) ( b) + ( ) 3 ( b) ( )( b) ( ) ( b) ( ) 3 ( b) + ( ) b +( b)+ b + + b b b + 9 b b 3 9 b 9 b 3 4 +( b) b+ 9 b b 3 b b b b b b Doc. 9. Polyômes de Legedre. b) c) d) O procède de même (doc. ). Mple dispose d u pckge de polyômes orthogou et coît les polyômes de Lguerre et Hermite. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

214 Alyse PC-PSI Attetio! les polyômes fouris pr Mple e sot ps uitires. ifiity Avec Mple : ÛØ ÓÖØÓÔÓÐݵ [G, H, L, P, T, U] Ì ½ ÜµÌ ¾ ÜµÌ ÜµÌ Üµ ÔÐÓØ Ì Üµ ܹ½ºº½µ ifiity ,5 - -,5,5 -,5 À ½ ܵÀ ¾ ܵÀ ܵÀ ܵ ÔÐÓØ À ܵ ܹÒÒØݺºÒÒØݵ ifiity - Ä ½ ÜµÄ ¾ ÜµÄ ÜµÄ Üµ ÔÐÓØ Ä Üµ ܼººÒÒØݵ + -ifiity ifiity Doc.. Polyômes de Tchebychev, Lguerre et Hermite. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5 Suites et séries de foctios itégrbles 5.. Théorème de covergece domiée Théorème 6 :Théorème de covergece domiée de Lebesgue Soit ( f ) ue suite de foctios cotiues pr morceu de I ds K telles que : l suite de foctios ( f )covergesimplemet sur I vers ue foctio f cotiue pr morceu sur I ; L démostrtiodecethéorème est hors progrmme

215 7. Foctios itégrbles il eiste ue foctio w cotiue pr morceu, positive et itégrble sur I telle que, pour tout etier, f w (hypothèse dite dedomitio). Alors : les pplictios f et f sot itégrbles sur I ; l suite umérique f covergevers f : I lim + I f = I lim f = + I I f. Rpport X-ESPCI, «...difficultés recotrées pour utiliser l covergece domiée.» Rpport X-ESPCI, «Ilsemble que, devt ue questio decetype, lecdidt choisisse u peu u hsrdetre covergece uiforme, domiée...» Pour s etrîer :e. et 3. Heri Lebesgue (875-94),mthémticiefrçis. D origietrèsmodeste, il etre à l École ormle supérieure près des études brilltes. Élève de Borel, il costruit e 9 l théorie de l itégrtio qui porte so om. Le théorème de covergece domiée dtedecette période. Applictio 8 Clcul de D près École tiole dugéie del Eu etde l EviroemetdeStrsbourg, 996. O pose, pour B = C = d. ) Soit.Clculer I = p d + et cos w d w. ) Motrer que, pour fié, l foctio g : + estitégrblesur R +. e t d t 3) Motrerque : R e R e + + 4) Clculer B e post = t w. E déduire e t d t. 5.) Motrerque l suite (C ) coverge vers : e t dt. b) Clculer C. E déduire 6) Motrerque e t d t = G e t d t.. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

216 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) I = = 4 = 4 p p cos w d w e i w +e iw dw p. ) L foctio g est cotiue et positive sur R +. De plus, g () = + O et l foctio ( ) est itégrblesur [,+ [ 3) L iéglité, pour tous et réel : < l découledelcocvité de l foctio l. L iéglité : R l est vérifiéepour l même riso. L iéglité : R est ue coséquece de l formule du biôme. 4) Clculos B e post = t w. O obtiet: B = p cos w d w = p. Dslebut de motrer l covergece de l suite (B ), cosidéros l suite de foctios (g ) vec: g ()= +. Les foctios g sot cotiues, positives etitégrbles sur R +. L suite de foctios (g ) covergesimplemet sur R + vers l foctiocotiue ( e ). L foctiopositive et itégrble + mjorechcue des foctios g. Le théorème de covergece domiéepermet d ffirmerque l suite (B ) covergeet: lim B = + e d. Utilisos l formule de Stirlig: D où B p. e d = p. 5) ) Posos si f : si >. Appliquos àlsuite ( f ) lethéorème de covergece domiée. Les foctios f, pour, sot cotiues prmorceu sur R + et itégrbles sur R +. L suite de foctios ( f ) covergesimplemet sur R vers f : e, cotiue. Et efi,les foctios f sot mjorées pr f, quiest itégrblesur R +. Doc l suite (C ) covergevers e d. b) Clculos C e post = si w. O obtiet: D où: C = p Doc C ;d où p/ o cos + w d w. I+ C I. e d = p. 6) L derière questio résulte du chgemet de vrible u =. A e d = lim = lim u = G lim A + lim U +. U D où e t d t = G = p. Ce résulttest àcoître. u e d e u u d u 4

217 7. Foctios itégrbles 5.. Itégrtio terme à terme d ue série de foctios Coformémet u progrmme, ous dmettros le théorème suivt. Théorème 7 Soit (u ) ue suite de foctios cotiues pr morceu de I ds K et telle que : pour tout, u est itégrblesur I ; l série defoctios u covergesimplemet sur I et s foctio somme, S, est cotiue pr morceu sur I ; l série umérique u (t) d t coverge. I Alors : S est itégrblesur I ; S = u = I I Eemple:D ue itégrleàue série O cosidère l foctio f : u Motros que série. I u. l u +u. f I(], ], R) eteprimos L foctio f est cotiue et égtivesur ], ]. De plus, f (u) l u, qui est itégrblesur ], ]. Doc f est itégrblesur ], ]. Nous svos que : u ],[ Posos f (u) = u l u. Alors: +u = ( u ). lesfoctios f sot cotiues et itégrbles sur ], ] ; f sous l forme d ue l sériedefoctios f covergesimplemet sur ], ] vers f,cotiue sur I ; l sérieumérique : f = u l u d u. coverge. E effet: u l u d u = lim Doc : f = u + + l u [,] u + du l u ( ) + +u du= ( +). Ce théorème e règle pscertis cs très simples, pr eemple, lorsque l sériedefoctios est ue série géométrique. Cosidéros : = = Or, ( t) d t = Doc : ( t) dt+ k ( t) d t + lim + ( ) + = ( t) + +t d t +t ( t) k d t + ( t) + +t d t +t Doc : ( t) d t = dt. dt =. =l. ( t) d t. Mis le théorème précédet e s pplique ps, cr l série t d t diverge. Rpport Cetrle, «Oubli des vleurs bsolues lors de l hypothèsedecovergece de l série f.» I = ( +) Rpport Cetrle, Pour s etrîer :e. 4. «Foctio G souvetmécoue.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

218 Alyse PC-PSI Applictio 9 L foctio G et l foctio z Rppelos que lesfoctios G et z sot défiies, respectivemet sur ], [ et ], + [,pr : G() = e t t d t et z() = Motrerque > z()g() = Premièreétpe Fios >. z()g() = Secode étpe = = e t t d t = = = e t t d t e u u d u (e post t = u) t e t d t. Pour itervertir le sige et l itégrle, vérifios leshypothèses du théorème. O ote f lesfoctios défiies sur R + pr : u e u u. Ces foctios sot positives, cotiues et itégrbles sur R + d près le clcul ci-dessus. L série defoctios f coverge simplemet sur R +, cr, pour u fié strictemet positif, l série umérique e u u est ue série géométrique, de riso e u. L série umérique e u u d u coverged près le clcul de l première étpe. Doc, l foctio somme de l série defoctios est itégrblesur R + et, de plus : z()g() = = e u u d u = u e u d u u e u = e u d u = u e u d u. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6 Foctios défiies pr ue itégrle I et J sot deu itervllesde R. 6.. Cotiuité Théorème 8 :Cotiuitéd ue foctiodéfiie prue itégrle Soit f :((,t) f (, t)) ue foctiode I J ds K. O suppose que : f est cotiue pr rpport àlpremièrevrible, ; f est cotiue pr morceu prrpport àlsecode vrible, t ; il eiste w ds I(J, R + ) telle que : (, t) I J f (, t) w(t) (hypothèse de domitio). Rpport X-ESPCI, «Trèspeu de cdidts utiliset les théorèmes u progrmme vec hypothèsededomitio.» Rpport TPE, «...isuffismmet ppris e lyse, le théorème de cotiuité d ue itégrledépedt d u prmètre. L pplictio w e déped ps de. 6

219 7. Foctios itégrbles Alors : pour tout de I, lfoctio (t f (, t)) est itégrblesur J ; l foctio F, défiiesur I pr F() = f (, t)dt, est cotiue sur I. Démostrtio Cette démostrtio est ue pplictio duthéorème de covergece domiée. L foctio (t f (, t)) est cotiue pr morceu sur J. De plus, l mjortio t J f (, t) w(t) etrîe l itégrbilité sur J de l foctio (t f (, t)). Notos u poit de I et fios ue suite ( ) depoits de I coverget vers. Pour tout, cosidéros l pplictio: J Les hypothèses de cotiuité sot vérifiées e prticulier lorsque f est cotiue sur I J. Lorsque I et J sot des segmets de R, l hypothèse de domitio est vérifiée pr l foctio costte sup I,t J f (, t). g : J K t g (t) = f (, t) Les hypothèses cocert f pr rpport à t et l hypothèse de domitio permettet d ffirmer que : l foctio g est cotiue pr morceu de J ds K ; il eiste ue foctio w de I(J, R + ) telle que g w ; l suite de foctios (g ) coverge simplemet sur J vers l foctiocotiue pr morceu g, défiiepr g(t) = f (, t) cr l foctio f est cotiue pr rpport à l première vrible. O peut ppliquer le théorème de covergece domiée etcoclure pr : g = g. Ou ecore lim F() = + lim + L foctio F est cotiue e. lim + J J f (, t)dt = J J f(,t)dt = F(). Corollire8. f est ue foctiode I J ds K. O supposeque : f est cotiue pr rpport àlpremièrevrible; f est cotiue pr morceu prrpport àldeuième vrible ; pour tout segmet [, b] coteu ds I,ileiste w,b ds I(J, R + ) telle que (hypothèsededomitio surtout segmet de I ): Alors : (,t) [,b] J f(,t) w,b (t). pour tout de I, lfoctio (t f (, t)) est itégrblesur J ; l foctio F, défiie sur I pr F() = f (, t)dt, est cotiue sur I. J Rpport CCP,997 «Les problèmes d itégrles dépedt d u prmètre sot souvet bie trités,... l eceptio de l cotiuité et de l dérivbilité sous le sige somme d ue foctio défiie sur u itervlle ouvert pr ue itégrle impropre :les cdidts essiet e géérl de vérifier le critère dedomitiosur l itervlle ouvert tout etier, lors que cotiuité et dérivbilité étt des propriétés locles, il suffit l pluprt du temps de le vérifier pour tout segmet coteu ds l itervlle ouvertdedéfiitio.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

220 Alyse PC-PSI Corollire8. f estue foctiocotiue de [, b] [c, d] ds K. Alors l foctio F, défiie sur [, b] pr F() = f (, t)dt, est cotiue sur [, b]. [c,d] Eemple:L foctiogmm, G() = L foctio: e t t d t R + R + R, f : (,t) e t t est cotiue sur R + R +. Elle vérifie l hypothèsededomitiosur tout segmet de R +. E effet, si < < b, o: [,b] t R + e t t e t m t, t b et l foctio t e t m t, t b est itégrblesur R +. G est doc cotiue sur R +. Mioros G(). Pour tout : G() 3 3 e t t dt e 3 t dt e 3. D où lim G() = +. De plus, lim G() = +, legrphe de G + + dmet, e +, ue brche prbolique verticle. Pour s etrîer :e. 5. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6.. Dérivbilité Théorème 9 :Dérivbilitéd ue foctiodéfiie prue itégrle Soit f :((,t) f (, t)) ue foctiode I J ds K. O supposeque : pour tout de I, lfoctio (t f (, t)) estcotiue pr morceu et itégrblesur J ; f, pr rpport àlpremièrecompo- f dmet ue dérivée prtielle, ste; cette dérivée prtielle est cotiue pr rpport àlpremièrevrible,, et cotiue pr morceu prrpport àlsecode, t ; w I(J,R + ) (,t) I J f (,t) w(t) (hypothèsededomitio de f ). Rpport E3A, «Peu de cdidts dérivet correctemet ue itégrle àu prmètre. Les justifictios de dérivtiosous le sige itégrlesot bsetes ou icorrectes.» Lorsque I et J sot des segmets de R, l hypothèse dedomitio est vérifiée pr l foctiocostte : sup I,t J f (, t). 8

221 7. Foctios itégrbles Alors l foctio F, défiie sur I pr F() = clsse C sur I et,pour tout de I : F f () = (, t)dt. J J f (, t)dt, est de Démostrtio Soit ds I.Fios ue suite ( ) d élémets de I \{} qui coverge vers. F( ) F() f (, t) f (, t) = d t. J Pr hypothèse, pour t fié, l pplictio ( f (, t)) est de clsse C sur I. Notos : f (, t) f (, t) h (t) = et h(t) = f (, t). L suite de foctios cotiues prmorceu (h ) covergesimplemet sur J vers l foctio cotiue pr morceu h. À t fié, e utilist l iéglité des ccroissemets fiis ppliquée àl foctio ( f (, t)) o : f(,t) f(,t) sup f (, t) I w(t). Le théorème decovergece domiée s pplique àlsuite de foctios (h ) : h = h. Doc : L foctio lim + J F( ) F() f lim = (, t)dt. + J F est dérivble sur I et s foctio dérivée est l pplictio: J f (, t)dt qui est cotiue sur I d près le théorème précédet. F est doc de clsse C sur I. J Eemple : Clcul de I () = + d t + t Pour s etrîer :e. 6. Soit u réel strictemet positif. O défiit, pour tout etier, l foctio I ci-dessus. U premierclcul I () = + d t = p + t. Dérivbilité de I Soit >. Cosidéros, pour fié, l foctio f défiie sur [,+ [ R + pr : f (, t) = + t. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

222 Alyse PC-PSI Cette foctio est cotiue sur [,+ [ R + cotiue sur [,+ [ R + : et dmet ue dérivée prtielle f (,t)= +t +. De plus : (, t) [,+ [ R + +t + + t +. L foctio t + t + estitégrblesur R +. Nous e déduisos que l foctio I estdeclsse C sur ], + [ etque I () = I + (). Epressio géérlede I Vous vérifierez prrécurrece que, pour tout, o : I ()= p ()! ( ) 4 ()! ( )/ Etesios c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Corollire9. Soit f : ((,t) f (, t)) ue pplictio de I J ds K. O supposeque : pour tout de I, lfoctio (t f (, t)) estcotiue pr morceu et itégrblesur J ; f dmet ue dérivée prtielle, f, pr rpport àlpremièrecomposte; cette dérivée prtielle est cotiue pr rpport àlpremièrevrible,, et cotiue pr morceu prrpport àlsecode, t, ; pour tout segmet [, b] coteu ds I, o: w I(J,R + ) (,t) [,b] J f (,t) w(t) (hypothèsededomitio de f Alors l foctio F, défiie sur I pr F() = clsse C sur I et : F () = J f (, t)dt surtout segmet de I.) J f (, t)dt, est de Corollire9. Soit f ue foctiode [,b] [c,d] ds K. O supposeque : f est cotiue sur [,b] [c,d]. f f dmet ue dérivée prtielle,, pr rpport àlpremièrecomposte cotiue sur [,b] [c,d].

223 7. Foctios itégrbles Alors l foctio F, défiiesur [, b] pr F() = de clsse C sur [,b] et: F ()= [c,d] f (,t)dt. [c,d] f (, t)dt, est Pour s etrîer :e. 7. Applictio Toujours l foctiogmm ) Motrerque l foctio G estdeclsse C sur R +. ) Motrer que l foctio G est declsse C sur R +. 3) Clculer G et G. ) Soit >. L foctio (t e t t ) est cotiue et itégrblesur R +. L foctio f :((,t) e t t ) dmet ue dérivée prtielle pr rpport àlpremière composte. Et : f (, t) = (l t)e t t Cette dérivée prtielle est cotiue pr rpport à et cotiue pr rpport à t. Soit [, b] usegmet iclus ds R +. Alors, pour tout (, t) de [,b] R + : f (,t) (l t) e t sup t, t b = w (t). Vous vérifierez que l foctio w est cotiue et itégrblesur R +. L foctio G est declsse C sur R +. ) L foctio f dmet ue dérivée prtielle pr rpport àlpremière composte àtout ordre p. p f p (, t) = (l t)p e t t. E vous ispirt de l questio précédete, vous motrerezpr récurrece que l foctio G est de clsse C sur R + et : p G (p) () = 3) E prticulier : G () = et G () = (l t) p e t t d t. (l t)e t t d t (l t) e t t d t. L foctio G est doc covee sur R +. Nous pouvos trcer sogrphe (doc. ). Avec Mple : ÔÐÓØ ÅŠص ؼº½ººµ t Doc.. L foctiogmm. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

224 Alyse PC-PSI I désige u itervlle d itérieur o vide et K est R ou C. Les foctios cosidérées sot des foctioscotiues prmorceu sur I. Pour motrerque l itégrle f coverge,opeut: motrer que l foctio f est itégrblesur I. si I = [, b[, o peut motrer que ( I f ) dmetue limite àguchee b. Pour motrerqu ue foctio f estitégrble sur I, o procède e deu étpes : o précise surquel itervlle f est cotiue pr morceu : ([if I,sup I[, ]if I,sup I],...) ; pour termier, o prtgeévetuellemet I e ]if I,] et [,sup I[, vec I et o pplique u critèred itégrbilité surchcudeces itervlles. Critèresd itégrbilitéglobu L foctio f est cotiue pr morceu sur I. Critère pr compriso de foctios O motrel eistece de g, positive,cotiue pr morceu et itégrble sur I telle que : f g. Critère utilist ue primitive de f O itroduitue primitive F de f et o motre que F est borée sur I. Critère utilist les segmets coteus ds I O motre l eistece d ue costte M telle que : [, b] I b f M. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Critères d itégrbilitélocu:comprisodefoctios L foctio f est cotiue pr morceu sur ],b]. O cherche g, cotiue pr morceu, positive et itégrblesur ], b] telle que f = O(g). O cherche ue foctio g cotiue pr morceu et itégrble sur ],b] telle que f g. O pourr procéder de mière logue pour u itervlle [, b[. Critèrepr compriso vec ue série (PSI) Soit f ds CM R +, R +, décroisste. Pour motrer que f est itégrblesur R +,ilsuffit de motrer que l série f () coverge. Pour itervertir somme et itégrle sur uitervlle I d ue série defoctios : lorsqu il s git d ue série géométrique, o risoe directemet e clcult l somme prtielle ; sio, o peut utiliser le théorèmedecovergece domiée ; o peut ussi utiliser le théorème d itégrtio terme àterme d ue sériedefoctios.

225 7. Foctios itégrbles Eercices résolus ÉNONCÉ. Clculde p/ ( l(si()) d ) Fctoriserds R[X] X m etedéduire ue epressio simplifiéede I m = ) Motrer que l foctio l(si) est itégrblesur, p. m k= si kp. m 3) Déduire de l questio l vleurde CONSEILS y kp ( k ) p ( k+ ) p p p/ ( l(si()) d. SOLUTION ) Nous svos que : X m = Prcoséquet : m k= ikp X ep m = X m k= X m + X m = k= X X cos m k= E prticulier, pour =, o obtiet : m kp m = m cos m Et : m k= si X Xcos = (m ) m kp m = m m. kp +. m k= kp +. m kp si. m ) L foctio ( l(si())) est cotiue sur, p. De plus, l(si()) l() etlfoctio l est itégrble sur ], ]. L foctio l(si) est doc itégrblesur, p. 3) Cosidéros,ci-cotre, le grphe de l foctio ( l(si )). L foctio l(si) est décroisstesur m p m l si kp m p/, p, doc : ( l (si()))d. Pr illeurs, fios >. Puisque l foctio l(si) est itégrble sur, p, ileiste > tel que, pour tout de ], [, o it : ( l(si())) d. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

226 Alyse PC-PSI Pour tout m >, olors: D où: Puis : p/ m p m ( l(si())) d + p m l si p m l I m kp m p/ p/ m + p m m l si ( l(si())) d l si kp. m kp. m ( l(si())) d p m l I m. O e déduit: p/ ( l(si())) d = p l(). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ÉNONCÉ. Deu epressios d ue même foctio O cosidère, pour réel, l foctio F défiiepr F() = ) Motrer que l foctio F est défiie sur R. ) Motrer qu elle est croissteetcotiue sur R. 3) Détermier lim F() et lim + 4) Étblir,pour >, l églité : CONSEILS F(). Predre et comprer F( ) et F( ). F() = SOLUTION ( ) ( +) +. ep t l t d t. ) Fios le réel et cosidéros l foctio w défiie sur ], ] pr w (t) = ep t l t. Cette foctioest cotiue sur ], ] et se prologe prcotiuité e epost : si > w () = si L foctio w est doc itégrblesur ], ] et F est défiie sur R. ) Cosidéros deu réels et tels que. Alors,pour tout t de ], ], ouspouvos écrire : t t, puis: L foctio F est croisstesur R. ep t l t ep t l t. 4

227 7. Foctios itégrbles O pourr motrer que, pour tout > : ep ep t l t pour étudier l limite de F e +. O pourr choisir ds ], [ et prtger l itégrle edeu pour étudier l limite de F e. O pourr utiliser l églité : ep(u) = u! Soit [, b] usegmet de R et w l foctiode [,b] ], ] ds R, défiie pr w(, t) = ep t l t. Alors: l foctio w est cotiue pr rpport à sur [,b] et cotiue pr rpportà t sur ], ] ; pour tout de [, b], o w(, t) w(b, t); l foctio (t w(b, t)) est itégrblesur ], ]. Aisi,l foctio F est cotiuesur tout segmetde R. Elle est cotiue sur R. 3) Trvillos d bord vec >. Pour tout t de ],], o e l t l t. D où : t l t ; puis ep ep t l t. Nous e déduisos lim F() =. + Supposos esuite < et ds ], [. Pour tout t de ], [, ous vos successivemet lt < l <, puis t > > etefi: Prcoséquet : < F() = ep t l t < ep l. ep t l t d t + ep l +( ). Remrquos esuite que, si est fié, o : lim ep l =. ep t l t d t Il suffit lors de fier >, puisdechoisir ds ], [ tel que : ( ) <. O choisitesuite M réel vérifit pour tout < M : Ceci motre que lim F() =. 4) Supposos >. < ep l. Écrivos,pour t ds ], ], t t = ep t l t = t (l t)! et posos, pour tout, u (t) = t (l t). Les foctios u sot cotiues! sur ], ] et se prologet pr cotiuité e epost u () =. Étudioslcovergece de l sériedefoctios u sur [, ]. Soit g l foctiodéfiiesur [, ] pr g(t) = t l t. t e g (t) + g(t) e c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

228 Alyse PC-PSI u =!(e) et l série umérique!(e) coverge. L série de foctios de l vrible t, u, coverge ormlemet sur [, ]. O peut doc permuter l itégrleetlsomme : t (l t) t (l t) F() = d t = d t!! = t l t d t.! O clcule, pour, prtiessur [,], vec < <. (t l t) d t = + t l t d t e utilist ue itégrtiopr t (l t) d t. O motre lors,pr récurrece que, pour tout : et o coclut,pour tout > : t l t d t = ( )! ( +) +. F()= ( ) ( +) +. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6

229 Eercices est ité- Motrer que l foctio grble sur, p. f : t cos t Motrer que, pour tout, l foctio l est itégrble sur ], ] et clculer l d. Eistece et clcul de : d t ( + t) 3 t ( t). (PSI) Ocosidère l foctio f défiie sur R pr : f () = + si 3/. Motrer que f estitégrble sur R. ) p/ Idictio Eistece et clcul des itégrles : t d ; ) O pourr utiliser eercice résolu. p/ Eistece et clcul de Arct () ( + ) d. l(si()) d = p l l(t) t d t. étbli e ) L foctio f : Arct l( + ) est-elle itégrble sur ],+ [? ) Pour quellesvleurs de t, lfoctio f défiiepr f () = est-elle itégrble sur ], [? t f Motrer que, pour tout de N, l foctio :(t t (l t) ) est itégrble sur ],] etclculer so itégrle u = E déduire ue epressio de d ue série. t (l t) d t e foctio de. (l t) t + dt sous l forme < < b. Eistece et clcul de Eistece et clcul de f b d (b ))( ), l(t) d t. t( t) 3/ est ue foctio cotiue et de crré itégrble de R + ds C. Motrer que : lim + f (t)dt =. (Opourr fier B > etitégrer sur [, B] etsur [B, ].) Étudier l suite ( ) d. Idictio Motrer que Motrer que : e cos( )d = si() e d = +. ( )! ()! O pourr utiliserl écriture de cos( ) comme somme d ue série. (D près Écri, 996.) d t étt u réel, opose F() = +t. Motrer que F est cotiue sur so domie de défiitio. Lesottios sot les mêmes que ds l eercice précédet. ) Motrer que F est de clsse C sur ],+ [ etdétermier F. ) Motrer que F. Idictio O pourr couper l itégrleedeu et fireuchgemet de vribles. 3) Préciser lim F(). E déduire lim + + 4) Détermier lim + 5) Doer le tbleu de vritios de F et l llure de so grphe. O rppelle que e d = p. où 7 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

230 Alyse PC-PSI ) Soit >. Clculer e d. ) E déduire, pour tout p de N, lvleur de : 3) Clculer,pour >, p e d. e d. 4) E déduire, pour tout p de N, lvleur de : l foctio p+ e d. Soit >.Préciser pour quelles vleurs de et b f : si b est itégrble sur R +. * Soit f ue foctiodeclsse C de R + ds R + f et <, tels que lim =. + f Motrer que l foctio f est itégrble sur R +. E déduire l ture delsérie f (). 4) Doer ue epressio de J (l) comme somme d ue série covergete. 5) E déduire que : I(l) = l +l ( ) l. Soit f ue pplictio cotiue de R ds C,-périodique. O pose u = + f (t) t d t. ) Doer ue coditio écessire et suffiste pour que l série u coverge. ) E déduire ue coditio écessire et suffiste pour que l foctio t f (t) soit itégrble sur [, + [. t 3) Doer ue coditio écessire et suffiste pour que l itégrle d t soit covergete, mis o bsolumet f (t) t covergete. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit que Soit et b deu réelsstrictemet positifs. Motrer ( ) + b = t +t dt. E déduire ( ) b 3 +. * d O défiit I = ( + )...(+). ) Clculer I et étudier l limite de l suite (I ). ) O pose f () =. E cosidért f (), doer u équivlet de f () ( + )...(+) f ()d. d 3) Motrer que = I+ et e déduire ( + )...(+) l ture de l série I. * O cosidère,pour l ],[, l foctio g défiie sur ], [ pr g() = l ( ). l ) Motrer que g estitégrble sur ], [. O ote I(l) = g()d. ) Àl ided uchgemet de vriblehomogrphique, motrer que : + d u I(l) = u l ( + u). 3) E déduire l epressio de I(l) umoye de J (l) etde d u J( l), où J (l) = u l ( + u). * O cosidère, pour tout réel, lfoctio : f : e i ) Détermier les vleurs de pour lesquelles f est itégrble sur [,+ [. ) Motrer que, si pprtiet à [, [, l itégrle + e i d est covergete et doer ue reltioetre : + e i d et 3) Lorsque, motrer que + + Qu e coclure pour : + e i d? 4) Qu e déduire pour les itégrles : + cos d 5. ) Détermier le sige de si d lorsque pprtiet à [, [. b) Motrer que lesitégrles : sot covergetes. Préciser le sige de cos( )d et et si( )d. + e i d. cos d diverge. si d si( )d 8

231 7. Foctios itégrbles * est u réel fié. e ) Étudier lim d. + + )Étudier lim + * ) Motrer que : lim + 3 e + d. l()d = ) E déduire l vleur de cette itégrle. e l()d O cosidère ue foctio f cotiue et borée sur R et u réel t >. ) Motrer que l foctio w : f ()ep t est itégrble sur R. ) Clculer l limite de f ()ep t d lorsque t ted vers +. 3) O suppose f () =. Doer u équivlet de ted vers +. ds R. ) Détermier lim ) Posos I = R R f ()ep t d lorsque t f est ue foctio cotiue et borée de R + + f ()e d. f()e d ;détermier : L = lim + I. 3) O suppose f de clsse C, dedérivée borée sur R + et telle que f () =. Détermier u équivlet de (I L). h étt ue foctio declsse C de R ds R, o défiit l foctio F pr F() = h(t) t d t. Motrer que F est de clsse C sur R si, et seulemet si : ds R. h () = = h(). * Soit f ue foctio cotiue et itégrble de R + ) Motrer que, pour tout, l foctio t e t f (t) est itégrble sur R +. O pose, pour tout, w() = ) Motrer que lim w() = f (). + 3) Motrer que w estcotiue sur R +. e t f (t)dt. Soit f l foctiodéfiiepr f () = e t +t dt. ) Étudier f. Motrer que f est de clsse C sur u domie à préciser. ) Détermier f (), f () et lim + f (). 3) Résoudre l équtio différetielle y + y = sur ],+ [. Motrer qu il eiste ue uique solutio g telle que : Vérifierque g() = f(). lim g() =. Détermier l limite de g() lorsque ted vers +. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 9

232 Séries etières 8 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Ds leschpitres précédetsd Alyse, ous vos mipulé certies foctios eprimées comme sommes de séries,pr eemple : pour tout de ], [ : ( ) = e z = cos() = = = pour tout z de C : z! pour tout de R : ( ) ()! = Ds ces trois eemples, chque foctio cosidérée est décrite comme foctiosomme d ue série de foctios u, où u est ue foctio moôme,ulle ou de degré : u () =. Le butdecechpitreest l étude systémtique de ces séries de foctios ppelées séries etières. O B J E C T I F S Défiitiodes séries etières. Ryo de covergece d ue sérieetière. Disque de covergece et itervlle de covergece d ue sérieetière. Somme et produitdecuchy de deu séries etières. Covergece ormle sur tout compct du disque de covergece. Primitive etdérivée d ue foctio somme de séries etières. Foctiodéveloppbleesérie etière. Formule du biôme géérlisée. Développemetsclssiques. 3

233 8. Séries etières Séries etières réelles ou complees, les défiitios.. Défiitio d ue série etière Soit ( ) ue suite de ombres complees, lsérie etière de l vrible réelle ssociée àlsuite ( ) est l série defoctios de R ds C otée. Le ombre est ppelé le -ième coefficiet de l série etière. De même, lsérie etière delvrible complee z ssociée àlsuite ( ) est lsérie defoctios de C ds C otée z. Eemples z, z et z + sot des séries etières.! ( +)! O peut idetifierlepolyôme + + p z p àue sérieetière dot les coefficietssot ulsàprtir de l idice p +... Lemme d Abel Lemme Soit z ue sérieetière et z u ombre compleeo ul. Si l suite ( z ) est borée, lors pour tout ombre complee z : z z = O. z ) Les foctios sommes prtielles d uesérie etière sotdes foctios polyômes. ) Pour z =, l série z coverge. S somme vut : Précisos le domie de covergece d ue série etière, c est-àdire le domie de défiitio des foctiosomme. Théorème :Lemme d Abel Soit z ue série etière et z u ombre complee o ul. Si l suite ( z) est borée, lors, pour tout ombre complee z tel que z < z, lsérieumérique z estbsolumet covergete. Démostrtio Vous rédigerez l démostrtioeécrivt : z = z = z z. Pour < z < z, ue série géométrique de riso.3. Ryo decovergece z z coverge. z Étt doé ue série etière z, oote A l esemble des réels positifs r tels que l suite ( r ) soit borée. O costte isémet que : A ; A est uitervlle, cr si r est ds A, lors [, r] A. Rpport X-ESPCI, «Les séries etières sot toujours e difficulté pr leur ryo de covergece dot o e coîtps l sigifictio, ps plus que le lemme d Abel.» 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

234 Alyse PC-PSI O défiit le ryo de covergece R de l série etière z : Le supest prisds R { }. R = sup A = sup{r R + ;( r ) N borée} Eemples Pour l série etière z : A = [, [ et R =. Si est uréel strictemet positif, pour l série etière : A = [, ] et R =. r Osit que, pourtoutréel r >, l suite ted vers. Doc, pour! l série etière z :! A = [, + [ et R = +. Ocostte prces eemplesque tout élémetde R + {+ } est ryo de covergece d ue série etière. Pour l série etière!z : A = {} et R =..4. Covergece d ue série etière Théorème Soit z ue sérieetière de ryo de covergece R. Pour tout complee z vérifit z < R, lsérie umérique z est bsolumet covergete. Pour tout complee z vérifit z > R, lsérie umérique z est grossièremet divergete. Ce théorème e permet ps de coclure qut àlture de l série umérique z pour u ombre complee z de module R. L étude systémtique de ce csest hors progrmme. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3 Démostrtio Soit z ue série etière de ryo de covergece R. O désige pr A l esemble des réels positifs r tels que l suite ( r ) soit borée. Puisque R = sup A, opeut dire que : si z < R = sup A, ileiste uélémet r de A telque : z < r. L suite ( r ) est borée et, d près le lemme d Abel, lsérie umérique z est bsolumet covergete; si z > R, z est ps ds A,doc l suite ( z ) est ps borée et l série z est grossièremet divergete. Si l série etière z uryo de covergece R et si l série R coverge, lors lsérie umérique z coverge pour tout z du disque fermé {z C z R}, cr elle covergebsolumet. Eemples Les trois eemples ci-dessous illustret le fit que, pour ue série etière z de ryo de covergece R, lecomportemet de l série pour les vleurs de z telles que z = R est ps détermié prlethéorème. Rpport X-ESPCI, «Les cdidts débutet souvet ml leur épreuve... étude icomplète de l série etière (recherche du ryo de covergece R,étude e +R ou R).»

235 8. Séries etières L série etière z 3 coverge si, etseulemet si, z < 3, cr c est ue série géométrique de riso z. So ryo de covergece est 3et, pour 3 tout ombre complee z tel que z = 3, l série diverge. L série etière z coverge si z <, cr z < z. Elle z divergegrossièremet si z >, cr,ds ce cs,lsuite tedvers +. Doc so ryo de covergece vut. O sit que l série z covergepour z = etdiverge pour z =. Vousverreze eercice quecette série covergepourtoutombrecomplee z telque z = et z =. L série etière z coverge bsolumet pour tout z tel que z etdiverge grossièremet pour tout z tel que z >. So ryo de covergece vut etelle covergepour tout z tel que z =. Rpport Mies-Pots, «Ue prtie d etre eu ps l idée de corrigerles omliesrésultt des clculs obteus :pr eemple uryo de covergece ifii vec ue foctio f qui s écrit f () =.» (4 ) Rpport X-ESPCI, «lrecherche duryo de covergece se résume pour beucoup de cdidts àl étude du rpport +,ils se trouvet désemprés lorsqu il fut utiliser d utresrgumets.» Théorème 3 Soit z ue série etière de ryo de covergece R. Alors : L série Σ z diverge si z >R R = sup{r R + ;( r ) covergevers}. Corollire3. Soit z ue série etière de ryo de covergece R. Alors : R = sup{r R + ; r coverge}..5. Disque de covergece, itervlle de covergece Soit z ue sérieetière de ryo de covergece R. Dslepl complee, oppelle disque de covergece de l série etière le disque ouvert de cetre O,deryo R, c est-à-dire : {z C z <R}. Le disque de covergece estleplusgrd disque ouvert de cetre O e tout poitduquel l sérieetière z covergebsolumet. Soit ue série etière de ryo de covergece R, oppelle itervlle de covergece de l série etière l itervlle ouvert ] R, R[. L itervlle de covergece est leplus grd itervlle ouvert de cetre O e tout poit duquel l sérieetière covergebsolumet. Pour s etrîer :e.. O L série Σ z coverge si z <R Doc.. Le disque de covergece d ue série etière. Le domie decovergece de l série etière de l vrible complee z est compris etre lboule ouverte BO(, R) et l boulefermée BF(, R). Le domie de covergece de l série etièredelvrible réelle est compris etre l itervlle ouvert ] R, R[ etl itervlle fermé [ R, R] Rpport X-ESPCI, «Assez peu de cdidts sesot redus compte qu il fllit utiliser l covergece bsolue de l série etière à l itérieur du disque de covergece.» R c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 33

236 Alyse PC-PSI Applictio Quelques clculs de ryo de covergece Soit z ue série etière de ryo de covergece R. Prouver que les séries etières suivtes ot ussi R comme ryo de covergece: ) z. ) z où est uombrecomplee o ul. 3) z. 4) z + +. ) L suite ( z ) est borée si,etseulemet si,l suite z l estussi. ) O utilise le même rgumet qu u ). 3) Notos A = {r R + ( r )borée }, R = sup A, A = {r R + ( r )borée } et R = sup A. Soit r A, lors l suite ( r ) est borée. Pour tout de N : r r, L suite ( r ) est ussi borée. Doc A A et R R. Soit r [, R[, o fie u réel s tel que r < s < R. Pour tout, opeut écrire : r r = s. s Puisque r [, [, s r lim = + s et r = o( s ). Or l série s est bsolumet covergete, doc l série r ussi et [, R[ A. O e déduitque R = R. 4) D près l questio 3), le ryo de covergece de : z + + est lemême que celui de z +. Ceci permet de coclure. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Clcul du ryo de covergece et eemples.. Clcul du ryo decovergece pr compriso Théorème 4 Soit z ue série etière. Si l sérieumérique z covergepour u certi z, leryo de covergece R de l série etière z est tel que z R. Si l série umérique z diverge pour u certi z, leryo de covergece R de l série etière z est tel que R z. Rpport X-ESPCI, «Pour détermier l esemble de covergece d ue série etière, beucoup se cotetetdechercher le ryo de covergece.» 34

237 8. Séries etières Corollire4. Soit z ue série etière. Si l suite umérique ( z ) est borée pour u certi z, lors le ryo de covergece R de l série etière z est tel que : z R. Si l suite umérique ( z ) estps borée pour u certi z,lors le ryo de covergece R de l série etière z est tel que : Les iéglités sot lrges. R z. Corollire4. Soit z ue série etière. Si l suite umérique ( z )covergevers pour u certi z, lors le ryo de covergece R de l série etière z est tel que : z R. Si l suite umérique ( z ) ecoverge ps vers pour u certi z, lors le ryo de covergece R de l série etière z est tel que : R z. Pour s etrîer :e.... L règle ded Alembert Théorème 5. Règle de d Alembert pour les séries etières Soit z ue sérieetière vérifit leshypothèses suivtes: pour tout etier, = ; + l suite ted vers u élémet L de R + {+ }. Alors,leryo de covergece de l série etière z est : R= L si L R + + si L = si L = + Démostrtio Poser u = z et utiliser l règle de d Alembert pour les séries umériques. Pour s etrîer :e. 3. Rpport X-ESPCI, «Qut u ryo de covergece, horsd Alembertpoit de slut.» Rpport TPE, «... dictture delrègle dite de d Alembert pour étudier les séries et les ryos de covergece, vec desdégâtsspectculires.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35

238 Alyse PC-PSI.3. Eemples Clcul du ryo de covergece, R, de l série etière! Rpport Cetrle, 998 z «Ue série etière peut voiru L règle de d Alembert est prfitemet dptée àcet eemple. ryo de covergece R ss que l limite de + Notos =! soit. O : + = ; lim = e. Doc R = e. R.» + «Sillimite de + eisteps, Clcul du ryo de covergece, R, de l série etière ()! lors... c est lpique» O e peut ps ppliquer l règle ded Alembert pour les séries etières, cr tous lescoefficietsd idices impirs de cette sérieetière sot uls. E revche, pour =, si l o pose u =, ocostte que : ()! u + u = et lim =. + u O e déduit, pr l règleded Alembert surles séries umériques,que l série u covergeetque R = +. Clcul du ryo de covergece de l série etière,scht que celui de vut R O e coît ps l suite ( ), l utilistio delrègle de d Alembert est eclue. Erevche, o peut poser t =, lsérie t coverge pour t < R et divergepour t > R. Puisque t =, lsérie covergepour < R et divergepour > R. Doc, si le ryo de covergece de l série etière de vut R. (Ocoviet que =.) vut R, celui Ce résultt est ps utilisble directemet ds ue copie. Il fut le redémotrer si besoi est. L méthode utilisée pour l obteir est àcoître. 3 Opértios sur les séries etières 3.. Sommes de séries etières c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 6 Soit z et b z deu séries etières de ryosdecovergece respectifs R et R. O ote r le ryo de covergece de l série etière ( + b )z, somme de ces deu séries etières.alors : r mi(r, R ); pour tout z tel que z < mi(r, R ) : ( +b )z = z + b z ; = = si R = R, lors r = mi(r, R ). = 36

239 8. Séries etières Démostrtio Regrder les disques de covergece des deu séries cosidérées. Ds le cs R = R, opeut voir r > mi(r, R ). Cosidérer les séries etières de ryodecovergece : et Produit de Cuchy de séries etières Soit z et b z deu séries etières.fios u ombre complee z et otos u = z et v = b z. O costte que u j v j = ( j b j ) z. j= j= Aisi,leproduit de Cuchydedeu séries etières est ue sérieetière. Le produit decuchy des séries etières z et b z est l sérieetière c z, vec: c = j b j. j= Théorème 7 Soit z et b z deu séries etières de ryosdecovergece respectifs R et R. Notos c z l série etière produit decuchy de ces deu séries et R so ryo de covergece. Alors : pour tout ombre complee z telque z < mi(r, R ), lestroisséries umériques z, b z et c z sot bsolumet covergetes.deplus: c z = z b z ; = R mi(r, R ). = O e peut, priori, rieffirmer de plus u sujetduryo de covergece de l série etière c z, isi qu u eemplevous le motrer. Eemple Défiissos l suite ( ) epost = et = pour N. Défiissos l suite (b ) epost b = et b = ( ) pour N. = Le produitdecuchy desdeu séries etières est oté c. Alors c = et, e tritt deu cs suivt l prité de, oprouver que c = pour N. Rppel Soit deu séries à termes complees u et v. Le produit de Cuchy des séries u et v est lsériedeterme géérl: w = u j v j. j= Rppel Si les séries umériques u et v sot bsolumet covergetes, lors l série produit decuchy w est bsolumet covergete. De plus,ds ce cs, les sommes de ces sériesvérifietl églité : + = + u v = = + = w. O R' R Doc.. Covergece d ue série somme ou produit dedeu séries etières sur le plus petit des deu disques. 37 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

240 Alyse PC-PSI Lesdeu séries etières ot u ryo de covergece qui vut etleur produit de Cuchy uryo de covergece ifii. Pour coclure, vous vérifierez que : ], [ + = = + ; + = b = + + ; c =. = Pour s etrîer :e. 4et5. Applictio Étude delsérie etière O pose =, k = k pour tout de N, b =. O remrque que : j b j = + + +, j= pour k et, doc l série etière doée est le produit de Cuchy de pr. Ces deu séries etières ot u ryo de covergece égl à,doc R. De plus, pour =, l série doée est grossièremet divergete. Doc R =. Pour tout de ], [ : = et = l( ) = = Doc : S() = = = Doc. 3. l( ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4 Cotiuité sur le disque ouvert de covergece 4.. Covergece ormle sur tout compct du disque de covergece Théorème 8 L série etière z est ormlemet covergetesur tout compct coteu ds sodisque ouvert de covergece. z K O r R Doc

241 8. Séries etières Démostrtio Soit R le ryo de covergece de l série etière et K u compct iclus ds {z C ; z < R}. Il eiste u réel r de [, R[ tel que (doc. ) : Rpport E3A, «Lemode de covergece d ue série etière est ps mîtrisé.» K {z C; z r}. E effet, l foctio (z z ) est cotiue sur le compct K et àvleurs ds R. Elle tteitdoc so mimum eupoit z de K. Le réel r = z coviet. L série etière z est ormlemet covergete sur le compct K. E effet : z K N z r. Le mjort r est idépedt de z et c est leterme géérl d ue série covergete cr r < R. Doc, l série defoctios z est ormlemet covergete sur K. Ce résultt etrîe ps l covergece uiforme sur le disque (ou l itervlle) de covergece 4.. Cotiuité de l foctio somme Théorème 9 Soit z ue sérieetière de ryo de covergece R >. L foctio somme de cette série etière est cotiue sur le disque ouvert de covergece : {z C ; z < R}. Rpport Cetrle, 997 «De ombreu cdidts cotiuet à ffirmer qu ue série etière coverge uiformémet sur l itervlle ouvert decovergece.» Pour s etrîer :e Primitive de l somme d ue série etière Ds cequi suit, pour ue série etière de ryo decovergece R >, o étudieles différetes propriétés de l foctiodelvrible réelle : S : ] R, R[ C = Lemme Soit ue série etière de ryo de covergece R. Le ryodecovergece de l série + + est ussi R. L étude géérle delfoctio de l vrible complee: z z = e figure psàotre progrmme, suf pour l cotiuité sur le disque de covergece, résultt obteu u prgrphe précédet. L pplictio démotre ce lemme. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 39

242 Alyse PC-PSI Théorème Soit ue série etière réelle de ryo de covergece R strictemetpositif. Ue primitive sur ] R, R[ delfoctio somme, S, delsérie etière s obtieteitégrt terme àterme l série etière: ] R,R[ t dt + = +. = = Eemple L série etière somme est : uryo de covergece égl àet s foctio = =. O déduitducorollire précédetles églités déjà démotrées : ], [ l( ) = = l( + ) = ( ) +. = 6 Dérivtio de l foctio somme d ue série etière 6.. Le théorème de dérivtio c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Lemme Soit ue sérieetière de ryo de covergece R. Le ryo de covergece de l série dérivée terme àterme est ussi R. Théorème Soit ue série etière de ryo de covergece R strictemet positif.sfoctiosomme, S, est de clsse C Pour tout de ] R, R[, le développemet de S() : = sur ] R, R[. S () s obtiet e dérivt terme àterme S ()= =. = L pplictio démotre ce lemme. 4

243 8. Séries etières Applictio 3 U clcul de somme de série Clculer. Le ryo de covergece de l sérieetière est.notos f s somme. L sérieumérique coverge, s somme est f. L foctio f est défiie sur ], [ : f () =. Puis : ],[ f ()= ], [ Soit : ], [ l( ). f ( ) = l(). f () f l( ) ( ) = + l() = (l()l( )). Prcoséquet : k R f ()+ f( ) = k l l( ). De plus,lcovergece de l série: etrîel covergeceormledel série etière : sur [, ]. L foctio f est doc cotiue sur [, ] et : Et efi: lim ( f ()+ f( )) = f ()+ f() + = f = k = p 6. = p 6 (l). 6.. Dérivtios successives Corollire. Soit ue série etière de ryo de covergece R strictemet positif. S foctiosomme, S, est de clsse C sur ] R, R[. Pour tout etier k, l dérivée k-ième de S sur ] R, R[, s obtiet e dérivt k foisterme àterme l série de foctios : S (k) () = D k! = ( k)! k. = =k D k (S), Corollire. Soit ue série etière réelle de ryo de covergece R strictemetpositif. L dérivée k-ième de S peut ussi s écrire, pour tout de ] R, R[ : S (k) () = +k ( +k)...(+) = c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4

244 Alyse PC-PSI Les coefficiets de l série etièresot liés àsfoctiosomme S pr : k N k = k! S(k) (). Eemples Sur ], [ : = =. E dérivt k fois cette epressio: ], [ ( + k)( + k )...(+) k! = ( ) k+. = Doc : ], [ k N ( ) k+ = + k k Clcul de = 3. L somme cherchée estlvleur,pour =, delfoctiosomme de l sérieetière 3. Le ryo de covergece de cette sérieetière vut (uti- liser l règleded Alembert). S foctiosomme, sur ], [, est otée f. L foctiosommedelsérie etière est otée g. O obtiet,pour tout de ], [ : f () = = = ( )( ) = + 3( ) + = Ds cet eemple, l epressio ( ) k+ est cosidérée commeue dérivée. Elle peut ussi être cosidérée comme u produit, ce qui doe ue deuième démostrtio de l formuleétudiée ici (cf. chpitre, pplictio 4) cr chcue des séries etières ci-dessuscovergesur ], [. Doc : f () = 3 g ()+3 g ()+g (). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Filemet : = 3 = f = 6. Pour s etrîer :e. 7. Corollire.3 Soit f ue foctiode ] R, R[ ds C. Si, sur cet itervlle, l foctio f est lfoctiosomme d ue série etière de ryo de covergece supérieur ou égl à R, lors f est de clsse C surcet itervlle Ue coditio suffiste pour qu ue foctio soit de clsse C L questio du prologemet de certies foctios est fréquemmet posée. Au chpitre 6, le théorème 8 et so corollire permettet de triter ce problème, mis cette méthode est très lourde. 4

245 8. Séries etières Eemples Pour tout de R : si() = ( ) ( +)!. = O pose f () =. Alors, sur R, f est l foctio somme de l série etière ( ) dot le ryo de covergece est ifii. ( +)! L foctio f isi prologée e est de clsse C sur R. L foctio g : l( ) est declsse C sur ],[\{}. Pour tout de ], [\{} : l( ) = = +. O pose g() =. Alors, sur ], [, g est lfoctio somme de l sérieetière dot le ryo de covergece vut. + L foctio g isi prologée e est de clsse C sur ], [ et sur ],[, doc sur ],[. 7 Foctios développbles e série etière 7.. Défiitio Uefoctio f, défiie suruitervlle ] r, r[ (vec r > ), est dite développble e série etière sur ] r,r[ s il eiste ue série etière, deryo de covergece supérieur ou égl à r, telle que : ] r, r[ f () =. = Théorème Soit f ue foctiodéveloppbleesérie etière sur ] r,r[ : ] r,r[ f() =. L foctio f est declsse C sur ] r,r[ etles coefficiets sot uiques et détermiés prlformule: = N = f() ()!. Les prgrphes précédets ot permis de développer les priciples propriétés de l foctio somme d ue série etière de ryo de covergece R >. Il s git mitet de détermier à quelle coditio ue foctio doée est lfoctio somme d ue sérieetière. Rpport Mies-Pots, «Ue grde proportio decdidts est persudée que toute foctio de clsse C est développbleesérie etière.» 43 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

246 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 44 lesfoctios epoetielle,sius,cosius,sius hyperbolique, cosius hyperbolique sot développbles e série etière sur R ; lesfoctios :, +, +, l( ), l( + ), Arct, ( ) k+ (k N) sot développbles e série etière sur ], [. 7.. Séries de Tylor et foctios développbles e série etière Soit f ue foctiodeclsse C de ] r, r[ ds C. O ppelle série detylor de f, lsérie etière f () ().! Corollire. Soit f ue foctiodéveloppbleesérie etière sur ] r,r[. Alors : l série de Tylor de f est covergete sur ] r,r[; f () () ] r,r[ f() =.! Eemples = Les eemples suivts motret qu ue foctio declsse C sur ] r,r[ estps écessiremet développbleesérie etière sur ] r,r[. L foctioarctgeteest de clsse C sur R. C est ue primitive de + qui est développble esérie etière sur ], [. Doc : ], [ Arct () = = ( ) + +. L foctio Arctgete est développble e série etière sur ], [. Elle estps développbleesérie etière sur R. L foctio g : et,pour tout etier, g () () =. e / si = si = est declsse C sur R S série de Tylor est doc l série ulle. Le ryo de covergece de cette sérieetière est ifii. L foctio g est développble e série etière sur ucu itervlle de l forme ] r, r[. Rpport X, 997 «C est bie l vigtième fois depuis le début du cocours qu il y ulogrithme àdévelopper u voisige de. Ç yest, ç e rte ps!c.s est trompé, comme douzedeses prédécesseurseviro, ds les deu premiers termes du développemet de l( + )!... Si seulemet!... Si seulemet le développemet de l( + ) ou de ( + ) et lesformulestrigoométriques élémetires pouviet être sus!pr cœur!» L différece etre foctio de clsse C et foctio développbleesérie etière réside ds le phéomèe suivt. Si f est declsse C sur u itervlle ] r, r[, lors f dmet u développemet limité e à importe quel ordre, doé pr l formuledetylor-youg : N f () f () = + R N ()! = R N () vec lim N =. Mis, priori, pour fié ds ] r, r[, o e coît ps le comportemet de R N () lorsque N tedvers +. Il est possible decostruire ue foctio declsse C sur R dot l sériedetylor uryo de covergece ul.vous trouverezue étudedétillée dece phéomèedsle problèmenvle 989, Mths,prtie.

247 8. Séries etières Applictio 4 Crctéristio d ue foctiodéveloppble e série etière Soit f ue foctio declsse C sur uitervlle I, tel que if I < < sup I, à vleurs complees. ) O suppose l eistece de réels b, C et M strictemetpositifs tels que : ] b, b[ N f () () CM! Prouver que f est développble e série etière suruitervlle ], [ I. ) Motrer que cette coditio suffiste est ussi écessire. ) E utilist l iéglité de Tylor-Lgrge o, pour tout de ] b, b[ ettout de N : f () k= Soit = mi b,. M f (k) () k sup f () (t) k!! t b CM Pour tout de ], [, M < et: lim + f () k= f (k) () k =. k! L foctio est développble e série etière sur ], [. ) L foctio f estdéveloppbleesérieetière sur ],[. Soit r ds ], [. f () () L suite r est borée :! A > N f () ()! r A. D utre prt,puisque f est développbleesérie etièresur ], [ : ],[ f (k) () = k N + =k! ( k)! f () () k! O mjore f (k) () pour tout etier k et tout de ], [ : f (k) () +! ( k)! =k f (k) () + Ar k =k Or,sur ], [, lfoctio: t + =k f () ()!! ( k)!! ( k)! t k est ldérivée k -ième de l foctio: t t = t. r k k. r r k. O e déduit que, pour tout réel t de ], [, o : + =k! k! ( k)! t k = ( t) k+. E choisisst < b < r, o,pour tout de ] b, b[ ettout k de N : f (k) () Ar r b (r b) k k! Le résultt est tteit epret : C = Ar r b et M = r b. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 45

248 Alyse PC-PSI Applictio 5 Équtio différetielle liéireetsérie etière c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O cosidèrel équtiodifféretielle : y +4y +y=l( + ) (E) ) Motrerl eisteced uesolutiode cette équtio,développble e série etièresur ], [. ) Eprimer l foctiosomme de cette série etière àl ide desfoctios clssiques. 3) E déduire les solutios de (E) sur ], [, ], + [, ], + [. ) Recherche descoefficiets d ue évetuelle série etièresolutio Si l série etière u ryo de covergece R etsi s foctio somme y() = estsolutiode (E) sur ], [, = lors y est declsse C sur ], [ et sur ], [,l équtiodeviet : + ( +3+) ( ) = = O e déduit, grâce àl uicité du développemet e série etière, qu ue évetuelle série etière solutioest telle que : = et N = ( ) ( +)( +). Étude de l série etière ( ) ( +)( +) L règleded Alembert permet de coclureque so ryo de covergece est. S foctio somme, otée f, est doc défiie et de clsse C sur ], [. Pr costructio, f est développble esérie etière sur cet itervlle et les reltios stisfites pr ses coefficiets prouvet que f est solutio de (E) sur ], [. ) Compte teu des ryos de covergece, pour tout de ], [ : ( ) f () = ( ) + = = ( ) + ( +). = De plus,pour tout de ], [\{} : ( ) = l( + ) = = = ( ) + = ( ) k k= ( ) ( +) = k k = (l(+) ) ( ) k k=3 = (l( + ) + ). O sit, d utre prt, que f () = = etque f est declsse C sur ], [. Il e découle que : ( +) f () = l( + ) 3 si ], [\{} 4 si = 3) Notos (H) l équtioliéire homogèe ssociée à (E) : y +4y +y= k k (H) L esemble des solutios de (H) sur uitervlle I e cotet ps est uespce vectoriel de dimesio. L foctio r est solutio de (H) si, et seulemet si : r(r ) +4r+=. Doc, les foctios et sot solutios de (H) sur tout itervlle I e cotet ps. Coisst lessolutios de (H) et ue solutio prticulièrede (E), opeut coclure. Les solutios de (E) sur ], [ sot : vec (, b) R. ( +) l( + ) b 46

249 8. Séries etières D près l questio ),lfoctio: ( +) l( + ) 3 4 est solutiode (E) sur ], [. Les clculs de ses dérivées étt vlbles sur ], + [, elle est solutio sur ],+ [. Aisi, les solutios de (E) sur ], + [ sot de l forme : vec (c, d) R. ( +) l( + ) c + d Ue solutio de (E) sur ], + [ est delforme idiquée ci-dessus sur ], [ et sur ], + [. De plus,elle est cotiue e. Scht que : ( +) lim l( + ) 3 =, 4 o e déduitque l foctio: ( +) l( + ) 3 4 si = si ], + [\{} est l seule solutiode (E) sur ], + [ Méthode prtique Pour prouver qu ue foctioest développbleesérie etière sur ] r,r[ : o regrde d bord si elle estps composée àl ide d ue somme, d u produit, de primitives ou de dérivées de foctios développbles e sérieetière déjàcoues ; o peut ussi étudier si l foctioest solutio d ueéqutiodifféretielle et utiliser l méthode développée ci-dessus; si les tettivesprécédetes ot échoué, o prouveque, pour tout de ] r, r[ : N lim N + f () f () () =.! = Pour cel, o mjore l vleurbsolue du reste R N () = f () N = f () (),! soit à l ide de l iéglité de Tylor-Lgrge,soit grâce à l églité de Tylor vec reste itégrl. 8 Développemets e série etière clssiques 8.. Formule du biôme géérlisée Théorème 3 :Formule du biôme géérlisée Pour tout réel, lfoctio ( + ) est développble esérie etièresur ], [. Sodéveloppemet est doé pr : ], [ ( + ) ( )...( ( )) = +.! = Lorsque le réel est u etier positif, o remrque que, pour > : ( )...( ( ))! =. Ds cecs, ledéveloppemet idiqué est vlble pour tout de R. Il s git tout simplemet de l formuledubiôme de Newto, d où l ppelltio «formule du biôme géérlisée», lorsque est uréel quelcoque. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 47

250 Alyse PC-PSI Démostrtio Soit u élémet de R\N. O ote f l pplictio ( + ). L pplictio f est de clsse C sur ], + [ et, surcet itervlle : f () = ( + ) = + f(). Il est isé de vérifier que f () = et f () () = ( )...( ( )). O pose = et = ( )...( ( )).! Pr costructio, l série etière est l série detylor de f. So ryo de covergece vut. O ote g s foctio somme sur ], [. Pour tout de ], [ : ( + )g () = = = g() ( )...( ) ( +) + (+)! = ( )...( ( )).! Doc, l foctio g est solutio, sur ], [,del équtio différetielle liéire du premier ordre : y = + y () L foctio f est ussi solutio, sur ], [, decette équtio différetielle liéire et f () = g() =. Le théorème decuchy-lipschitz permet decoclure que f = g. Rpport Cetrle, «Ici, o ssiste udéveloppemet e série etière de /( u) ss teircomptedeso domie de vlidité.» Il estfodmetl de compredre que l covergece de l série de Tylor de f sur uitervlle ] r, r[ implique ps, priori, que l foctiosomme de cette série soit f. C est pourquoi il reste àprouver que f = g. Applictio 6 Développemet e série etièredelfoctioarcsius c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Motrerque l foctio: est développble e série etière sur ], [. ) E déduireque l foctio Arcsius est développbleesérie etière sur ], [ et eprimer les coefficiets de sodéveloppemet àl ide de fctorielles. 3) Motrerque : p = ()! (!) ( +). = ) D près l formule dubiôme géérlisée, pour tout u de ], [ : (+u) / =... ( ) + u.! = Pour tout de ], [, est ussi ds ], [ et : = + = = = 3...( )! ()! (!). Ceci prouveque l foctio: est développbleesérie etière sur ], [. ) L foctio Arcsius est ue primitive, sur ], [, de :. 48

251 8. Séries etières Elle est doc développble e série etière sur cet itervlle. Pour tout de ], [ : ()! + Arcsi = (!) +. 3) Soit : u () = = ()! + (!) + et u = sup u. ],[ L formuledestirligpermet de prouver que : u = O. 3/ coverge or- Doc l série defoctios u mlemet sur ], [. Le théorème d iterversio des limites s pplique lorsque tedvers et permet de coclure. 8.. Les icotourbles 8.. Foctios costruites à prtir de l foctio epoetielle Les foctios suivtes sot développbles e série etière sur R. t e tz = cos = ei +e i = ch = e +e si = ei e i i sh = e e = = = t z! = ( ) ()! = = ()! ( ) + ( +)! = = + ( +)! Doc. 5. Quelques sommesprtielles de l série de Tylor de l foctio cosius. Pour s etrîer :e Foctios costruites à prtir de séries géométriques et de l formule du biôme géérlisée Lesfoctios suivtes sot développbles e série etière sur ], [ : = l( ) = = = + = ( ) l( + ) = = ( ) = c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 49

252 Alyse PC-PSI ( + ) = + + = ( ) Arct = = = = ( ) + + ( )...( ( ))! = ()! (!) Arcsi = = = = + = Argsh = l( + +)= ()! + (!) + ( ) ()! (!) = ( ) ()! (!) + +,5,5,5 Doc. 6. Quelques sommesprtielles del sériedetylordel foctio: l( + ). Ces foctios sot, egéérl, défiies sur des itervlles plus grds que ], [. Toutefois, vouspourrezvérifier quele ryodecovergecedechcuedeces séries etières vut. Pour s etrîer :e. 9. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

253 8. Séries etières Pour détermier le ryo de covergece R d ue série etière, opeut: trouver u complee z tel que : lsuite ( z ) soit borée ; lsuite ( z ) covergevers; lsérie z coverge; lors R z. trouver u complee z tel que : lsérie z diverge; lsuite ( z ) esoit ps borée ; lsuite ( z ) ecovergeps vers ; lors R z. (Règle ded Alembert) vérifier que l ds R + {+ } ; e s ule ps et que l suite + dmet ue limite lors,leryo de covergece est : R= l si l R + ; R = si l = + ; R = + si l =. Pour prouver qu ue foctioest développble e série etière sur ] r,r[, o peut : regrder d bord si elle est ps composée à l ide d ue somme, d u produit, de primitives ou de dérivées de foctios développbles e séries etières ; étudier si l foctioest solutiod ue équtiodifféretielle : clculer lescoefficiets desévetuelles séries etières solutios de cette équtio; justifier de l églité, sur ] r,r[, de l foctio de déprt vec l ue des sommes de séries etières isi détermiées ; scht que f estdeclsse C sur ] r, r[,opeut démotrer que, pour tout de ] r, r[ : N lim N + f () f () =.! Pour cel, o mjore l vleur bsolue du reste R N () = f () l iéglité de Tylor-Lgrge,soit grâce àl églité de Tylorvec reste itégrl. = N = f (), soit àl ide de! c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5

254 Eercices Détermier le ryo de covergece delsérie etière : ( + ) z. ) E déduire que, pour tout etier : E(( )/) p= ( ) p = p + si p. 4 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 5 ) Motrer que l suite (cos ) e coverge ps vers. (Utiliser l suite etrite (cos )). ) Détermier le ryo de covergece de cos. 3) Détermier s foctio somme sur l itervlle ouvert de covergece. Détermier le ryo de covergece delsérie etière : +! ()! z. O cosidère l série etière + ( +)( +). ) Détermier so ryo de covergece. ) Eprimer s foctio somme, sur l itervlle ouvert de covergece, à l ide d ue décompositio e élémets simples. 3) Que dire u bores de l itervlle de covergece? Détermier le ryo de covergece et l foctio somme de l série etière e l représett àl ide d u produit decuchy. Détermier, pour chcue des séries etières suivtes, le ryo de covergece R et l itervlle I, leplusgrd possible, sur lequel elles coverget., et. Ds lestrois cs,lfoctiosomme est-elle cotiue sur I? Détermier leryo de covergece delsérie etière : + ( +)( +). Clculer s foctio somme sur l itervlle ouvert de covergece eutilist s dérivée. ) Prouver que l foctio : e si est développble e série etière sur R et détermier so développemet. Motrer que l foctio f défiie pr : f () = l + + est développble esérie etière sur ], [. O fie (,b) ds C C. Soit z ue série etière dot lescoefficietsvérifietlreltioderécurrece : N + = + + b () ) Motrer que le ryo de covergece de cette série etière est o ul. ) Motrer que, surucerti disque ouvertcetré e, l foctio somme de cette série etière est l frctio rtioelle : +( )z f (z) =. z bz somme. * Soit l série etière ) Clculer so ryo de covergece. et f s foctio ) Eprimer ( ) f () et ( ) f() sous forme de sommes deséries etières. 3) E déduire le comportemet de f lorsque ted vers pr vleurs supérieures. 4) Clculer lim ) f () et ( lim ) f ( (). 5) Détermier u équivlet de f lorsque ted vers pr vleurs iférieures. Soit ue série etière de ryo de covergece R > et S s foctio somme. Motrer que, pour tout etier : = p p S(e iu )e iu d u. Clcul du ryo de covergece et de l somme de l série etière : 3+ (3 +)!. O cosidère l foctio, défiie sur ] p, p[\{} : f : si.

255 8. Séries etières Motrer que f est prologeble ee ue foctio de clsse C sur ] p, p[. (EtritdeCCP 96) O cosidère l équtiodifféretielle : y y +4 3 y= dot o se propose de détermier les solutios sur R. (E) O recherche d bord les solutios développbles e séries etières. O ote ue telle solutio, lorsqu elle eiste, = et o désige pr R so ryo de covergece. ) Motrer qu il eiste ue reltiode récurrece, que l o epliciter,etre +4 et. ) Pour p N, détermier 4p+ et 4p+3. 3) Pour p N, détermier 4p e foctio de et de p (respectivemet 4p+ e foctiode et de p). 4) Quel est le ryo de covergece de l série etière obteue? 5) Soit S le R -espce vectoriel despplictios de R ds R quisot solutios de (E) sur R. Préciser ue bse de S. ** ) Motrer que, l série defoctios : ( ) + covergesimplemet sur R Ds lsuite, lfoctio somme est otée f. ) Motrer que, pour tout réel et tout etier > : cos(t)e t d t = E déduire que, pour tout réel : f () = +. cos(t) e t + dt. 3) Motrer que f est développble e série etière sur u itervlle àpréciser. Développemet e série etière de l foctio tgete L objectif est d étblir que l foctio tgete, otée développble esérie etière sur p, p. f, est * Ds tout cet eercice, est uréel strictemet supérieur à. ) Détermier le domie de défiitiodelfoctio f défiie pr : f () = ep. = ) Motrer que f estcotiue sur sodomie de défiitio. 3) Motrerque l foctio f est de clsse C sur ], [. 4) Détermier ue équtio différetielle liéire du premier ordre stisfite pr f. E déduire que f est développble e série etière sur ], [. 5) Soit ue série etière de ryo de covergece R. Motrer que, s il eiste u etierturel p telque l suite ( p ) N e coverge ps vers, lors R =. E déduire le ryo de covergece de l série de Tylor de f.,5,5,5,5 ) Motrer que N, p f () (). ) Motrerque, pour tout de, p, lsérie de Tylor de f coverge. E déduire que le ryo de covergece de cette série etière est supérieur ouégl à p. L foctio somme de l série de Tylor de f est otée g. 3) Motrer que p, p g () = +g (). 4) Coclure. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 53

256 Séries de Fourier 9 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Historiquemet, c est umilieuduxviii e siècle que d Alembert (747), Euler (753) et Diel Beroulli (755) commecet àétudier les questios suivtes : U so peut-ilêtredécomposé e uesérie d hrmoiques? Commet clculer les hrmoiques? Commet retrouver le sigl àprtir des hrmoiques? E 87, Fourier ffirme que, pour «ue foctio etièremetrbitrire»(et p-périodique), l formule : c = p f (t)e it dt p p permet de clculer les hrmoiques de l foctio f qui est l ppelltio mthémtique du sigl. Et, àpropos des séries qui sythétiset le sigl prlformule c e it, Z il ffirme :«Il est fcile de motrer qu elles sot covergetes.»les idées géiles, bie qu imprécises, de Fourier (mis il vit le iveu de rigueurdeso époque!) ot été u moteur formidblepour préciser, etreutres,lotio de foctio,l(ou les) théorie(s) de l itégrtio et les otios de covergece d uesérie de foctios. O B J E C T I F S CoefficietsdeFourier de f. Coefficietstrigoométriques de f. Série defourier de f. Projectio orthogole ds l espce préhilbertie C p. Covergece e moyeequdrtique. Formule de Prsevl. Les deu théorèmes de covergece poctuelle. 54

257 9. Séries de Fourier Ds cechpitre, u pplictios physiques et techologiques importtes, ous llos d bord étudier le moye d lyser u sigl périodique e le décompost e hrmoiques. Après voirétudié l décompositio d u sigl e seshrmoiques, ous ousitéresseros u problème de l sythèse decesigl àprtir de ses hrmoiques. Ils git dès lors d u problème de covergece. L série defourier d ue foctio f cotiue pr morceu, p-périodique, coverge-t-elle vers f, emoyee qudrtique?ormlemet?simplemet? L lyse du sigl : les coefficiets de Fourier d ue foctio périodique Le cdre fié pr le progrmme, pour ce chpitre, est l espce vectoriel complee CM p des foctios p-périodiques,cotiues pr morceu sur R, àvleurs complees... Polyômes trigoométriques Nous vos recotré e Algèbre lesfoctios (e ) Z, (c ) N et (s ) N défiies pr: t R e (t)=e it c (t) = cos(t) et s (t) = si(t). De plus, Vect ((e k ) k ) = Vect (c, c,...,c,s,...,s ). C est usousespce vectoriel de dimesio +, de CM p, que l o ote P. Si P pprtiet à P, P pprît comme u polyôme e cos(t) etsi(t). Il est ppelé«polyôme trigoométrique». O ote: P= NP =Vect(e k ; k Z) = Vect {c k } k N, {s k } k N. Cet esembleest ppelél espce des polyômes trigoométriques. U polyôme trigoométrique peut doc s écrire : m m P = k e k = + (k + k )c k +i( k k )s k où les k k= m sot des complees. k= Si f est ds CM p, oclcule l itégrle sur ue période de l foctio f. L pplictio f étt p-périodique, o remrque que : +p f (t)dt = p f(t)dt = p p f(t)dt. Cette propriétéétérecotréedsle coursd itégrtioetpeutse visuliser surledocumet. Joseph Fourier (768-83), mthémticie et physicie frçis. Si g est ue foctio cotiue pr morceu sur uitervlle [, +p[, dmettt ue limite à guche e +p,g peut être prologée, et de mièreuique, sur R e ue foctio de CM p et ous défiiros fréquemmet ue foctio de CM p pr s restrictio àu itervlle de l forme [, +p[ Doc.. Les ires colorées sur le schémsot égles. 55 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

258 Alyse PC-PSI.. Coefficiets de Fourier de f Si f est ds CM p, opose, pour tout de Z : f ˆ() = c ( f ) = p f (t)e i t d t = +p f (t)e i t d t. p p p Les c ( f ) sot ppelés les coefficiets de Fourier de f. Le coefficiet c ( f ) est l vleur moyee de f surue période. Rpport Cetrle, 998 «Trop decdidtsigoret que : +T e déped ps de lorsque f est T-périodique et cotiue.» f! Lorsque f est défiie u déprt sur u itervlle [, +p[, toutes les itégrles serot clculées surcet itervlle. Eemples Si P est upolyôme trigoométrique, le coefficiet de Fourier c (P) est lecoefficiet de e ds P. E effet : c (P) = p m k e i kt e i t d t p p k= m m p = k e i(k )t dt p Doc, c (P) = k= m p si m et sio. Soit f l pplictiode CM p, défiiesur ] p, p] pr p. Si =, lors : c ( f ) = p p p p e i d = ( ) i. Rpport X-ESPCI, «Les coefficiets de Fourier offret des difficultés declcul pour deu risos : muvise coissce des formules de bse e trigoométrie, mque d etrîemet u techiques clssiques de clcul d itégrledebse.» Avec Mple : ÔÐÓØ È¹Üµ»¾ ܹȺºÈµ 3,5,5,5 Si = : c ( f) = p p d = p p p. 3 3 ¼ ½» ¾ ȵ ÒØ È¹Üµ»¾ ܹȺºÈµµ c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Propriétés des coefficiets de Fourier de f Pour fié ds Z, l pplictiode CM p ds C, qui à f ssocie c ( f ), est ue forme liéire. L pplictio f est liéire : CM p C Z f : f f = f () = (c ( f )) Z Z f CM p Z c ( f ) = p f (t)e i t d t = c ( f ). p p Prcoséquet,si f est àvleurs réelles, c ( f ) = c ( f ). c := p Ò ½» ¾ ȵ ÑÔÐÝ ÒØ È¹Üµ»¾ ÜÔ ¹ Ò Üµ ܹȺºÈµµ c := 4 (e ( p i) (p i) +pi ) e pi Ò Ù ÜÔ ¹¾ È Òµ½ µ Ò Ù ÜÔ È Òµ ¹½µ Ò µ Doc.. c := c := (p i) e i ( ) i

259 9. Séries de Fourier Soit f ds CM p et g défiiepr g(t) = f ( t). Alors, g est ds CM p et : c (g) = p g(t)e i t d t = p f ( t)e i t d t = c ( f ). p p p p E prticulier, si f est ue foctio pire, c ( f ) = c ( f ) et, si f est impire, lors c ( f ) = c ( f ). Soit u réel et f ds CM p, odéfiit h ds CM p pr h(t) = f (t + ). Alors : c (h) = p h(t)e i t d t = p f (t + )e i t d t = e i c ( f ) p p p p (poser u = t + ). Rpport Écoledel ir, 998 «Très peu de cdidts ot su eploiter correctemet l reltio lit les coefficiets defourier de f etceu de f.» Si f est ds CM p, lsuite f de ses coefficiets defourier est borée: Z c ( f) p f(t) dt sup f (t). p p t R Pour s etrîer :e...4. Cs d ue foctio de clsse C k Soit f cotiue, p-périodique, et de clsse C pr morceu sur R. L suite f () = (c ( f )) Z est borée et : Z p f f (t) d t. De même : sup c ( f ) = Z f = p f f. De plus,pour tout de Z : c ( f ) = f (t)e i t p p p p f (t)( i )e i t d t. p p D où: c ( f )=ic ( f ). E prticulier, c ( f ) = et, pour tout de N, c ( f ) = i c ( f ). Doc c ( f ) = O. Théorème Si f est p-périodique, de clsse C k sur R (k ), lors les suites (c ( f )) et (c ( f )) sot domiées pr l suite k. p Rpport Cetrle, 997 «Ces erreurs sot étotes, et pourtt trop persisttes pour qu il e s gisse que d ittetio ou d ffolemet :... ds l étude de Fourier, l otio de foctio de clsse C pr morceu est presquetoujoursfusse et o igore l importce de l cotiuité de f ds les reltios etre coefficiets de f et f.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 57

260 Alyse PC-PSI.5. Coefficiets trigoométriques de f Soit f ds CM p,oppelle coefficiets trigoométriques de f les coefficiets ( ( f )) N et (b ( f )) N défiispr : De plus, période. ( f ) N N ( f ) = p b ( f)= p Les reltios cos(t) = ei t +e it que, pour tout de N : p p p p f (t)cos(t)dt f(t)si(t)dt = c ( f ) est l vleur moyee de l foctio sur ue et si(t) = ei t i t e i etrîet Lorsque f est défiie u déprt suruitervlle [, +p[, toutes les itégrles serot clculées sur cet itervlle. Rpport St Cyr, 998 Pour lesséries defourier [...], le terme costt de l série (peu importe qu o l ppelle ou ) doe lieu àdes erreurs; peu de cdidts svet qu il s git del moyee de l foctio sur ue période. ( f ) = c ( f )+c ( f) et b ( f ) = i c ( f ) c ( f ) c ( f ) = [ ( f ) ib ( f )] et c ( f ) = [ ( f )+ib ( f)]. Rpport X-ESPCI, «Nous isistos sur ldégrdtio de l usge de l trigoométrie.» c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Cesreltios lit lescoefficietsdefourier ucoefficietstrigoométriques permettet de substituer à l suite ideée pr Z des coefficiets de Fourier, ue suite ideée pr N et ue ideée pr N. Eemple Coefficiets trigoométriques de l pplictio f de CM p, défiie sur ] p, p] pr : p. Le clcul descoefficiets de Fourier de f Les formules ci-dessuspermettet d e déduire : ( f ) = c ( f ) = p été effectué. ( f ) = [c ( f )+c ( f)] = si > b ( f)= i[c ( f) c ( f)] = ( ) O costte que lescoefficiets ( f ), pour, sot uls. Ceci s eplique pr le fit que l foctio f () p. est impire. Avec Mple : 3,5,5,5 3 3 ÙÑ Ò ÒØÖµ Ò ½»È ÑÔÐÝ ÒØ Ò Ò Üµ ȹܵ»¾ ܹȺºÈµµ Ò ½»È ÑÔÐÝ ÒØ Ó Ò Üµ ȹܵ»¾ ܹȺºÈµµ b := ( )~ ~ := ¼ ½»È ÒØ È¹Üµ»¾ ܹȺºÈµ Doc. 3. := p 58

261 9. Séries de Fourier.6. Propriétés des coefficiets trigoométriques Les propriétés suivtessedéduiset des propriétés des c ( f ). Pour fié, les pplictios ( f ( f )) et ( f b ( f )) sot liéires de CM p ds C. Si f est àvleurs réelles, les coefficiets trigoométriques de f sot réels. Rpport Cetrle, «Siglos que certis cdidts ot trouvé que est différetde lorsque l foctiocosidérée est impire.» Soit f ds CM p et g l foctiode CM p,défiie pr: g(t)= f( t), o : (g)= ( f) et b (g) = b ( f). Prcoséquet : si f est pire : N b ( f ) =. si f est impire : N ( f ) =. Si Si f est pire et p-périodique, ( f ) = p f est impire et p-périodique, b ( f ) = p p p f (t)cos(t)dt. f (t)si(t)dt. Pour eploiter u mieu cette propriété, o utilise les coefficietstrigoométriques de f, et o les coefficiets defourier, lorsque f est pire ou impire. Si f est p-périodique, cotiue et C prmorceu sur R, : ( f ) = b ( f ) et b ( f ) = ( f ). Pour s etrîer :e.. Trductiophysique L lysedusigl est fite.lfoctio: estl-ième hrmoique du sigl fodmetl. t cos(t)+b si(t). Lorsque f est àvleurs réelles, epost A = w tel que : f. Lorsque =, elle est ppelée le cos(t)+b si(t) = A cos(t + w ). + b, ileiste u réel A est l mplitude de l -ième hrmoique et w s phse. Mis, cette epressio est ps utilisée e mthémtiques, priciplemet prce que les déphsges sot défiis modulo p et que l suite de ces déphsges, (w ), est difficilemetétudible. Rpport TPE, «... difficultés declcul de ombreu cdidts e trigoométrie (bie utile pour l étude des séries de Fourier).» Rpport Cetrle, «Les cdidts ot ps l moidre idée de l ordre degrdeur des coefficiets de Fourier d ue foctiodeclsse C k.» 59 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

262 Alyse PC-PSI Série de Fourier d ue foctio périodique.. Défiitios Rppelos lesottios : c () = cos() ; s () = si(). Pour toutefoctio f de CM p, lsériedefoctios : c ( f )+ ( ( f)c +b ( f)s ) est ppelée l série de Fourier de f. Pour tout etier turel p, oote S p ( f ) l p-ième somme prtielle de l série defourier de f : R S p ( f )() = ( f ) p + ( ( f )cos()+b ( f)si()) = p = c ( f )e i... Eemples = p Avec Mple : ܹÔÛ Ü¹ È Ò ¹ÈÜ ¹È ¹Üµ»¾ ¹ÈÜ Ò ÜÈ È¹Üµ»¾ ȹܵ»¾µ Ö ØÖØ Série defourier de f. ÖÖÝ ½ºº½¼µ ÓÖ ØÓ ½¼ Ó ØÝÔ ÚÒµ ½» ¹½»µ Ó ËÔÖÓ Ô Üµ ÐÓÐ ¼»¾ ÙÑ Ò µ ܵ ½ººÔµ Ò b := rry(.., []) S:=proc( p, )locl i; / []+sum(b[i] si(i ), i =..p)ed O visulise... ÔÐÓØ È¹Üµ»¾ Ë Üµ Ë Üµ Ë ½¼ ܵ ܹȺºÈµ f () = p sur ] p,p] (doc. 4) Pour = p (mod p), o, pour tout p : S p ( f )() = p Soit f l foctiodéfiie pr f () = m(, si()). f est p-périodique, cotiue sur R. = f (p) (doc. 4). 3,5,5,5 3 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ( f ) = p p ( f)= p Si =, ( f ) =. Si >, ( f ) = p p ( ) f (u)du = p p si(u)du = p. (si(u + u)+si(u u)) d u. + ( ) + +. D où: N + ( f ) = et ( f) = b ( f ) = p b ( f ) = p p p p(4 ). (cos(u u) cos(u + u)) d u. ( cos()) d = ; > b ( f ) =. Doc. 4. Lesgrphes de S 8( f ) et S ( f ). f et S 5( f), O costte que les sommes prtielles prisset «bie pprocher» l foctio f sur tout itervlle [ p +, p ] ( < < p). Mis, sur [ p, p + ] etsur [p, p], le comportemet est très différet. Les sommes prtielles s éloiget de l foctio f. Il s git là du phéomèe de Gibbs, qui s étudie emthémtiques,mis estps àotre progrmme. 6

263 9. Séries de Fourier Lessommes prtielles de l série defourier de f sot : S p ( f )() = p + E(p/) si()+ où E( p/) désige l prtie etière de p = (doc. 5). cos() p(4 ) Pour s etrîer :e Ue epressio de S p ( f ) àl ide d ue itégrle Détermios ue epressio itégrlede S p ( f). Soit f ds CM p, lors : S p ( f )() = O pose D p (u) = p = p p = p c ( f )e i = p e i u. p p = p f (u)e i ( u) d u D p est ds P p. D p est ppelé le oyu de Dirichlet. si p + u i pu ei(p+)u u R\pZ D p (u) = e e i u = si u.. Avec Mple : Ö ØÖØ Ü¹ÑÜ ¼ Ò Üµµ ÔÐÓØ Üµ ܹ Ⱥº ȵ,8,6,4, Doc. 5. ½½»È ÒØ Ò Üµ Ò Üµ ܼººÈµµ ÙÑ Ò ÒØÖµ Ò½»È Ò½»È ÑÔÐÝ ÒØ Ó Ò Üµ Ò Üµ ܼººÈµµµ ÖÖÝ ¼ºº½¼µ Õ Ò ½»È ÒØ Ó Ò Üµ Ò Üµ ܼººÈµ Ò¼ºº½¼µ Ò µ Et,pour = kp : D p (kp) = p = p Doc, e post u = v : e i kp = p += si p + lim kp si S p ( f )() = p D p ( u) f (u)du = p D p ( v)f(v+)dv p p D p est pire et p-périodique : S p ( f )() = p D p (v) f (v+)dv = p si p + v p p si v f (v+)dv. U clcul isé permet de prouver que, si f =, lors S p ( f ) =, doc : Nous e déduisos : S p ( f )() f () = p = p D p (v)dv. p p D p (v)( f (v + ) f ()) d v.. Cette formule mesure l écrt etre lfoctio f, clculée u poit, etlp-ième somme de s série defourierecemême poit. Elle est lepoit de déprt de différets problèmes cocertlcovergece dessériesde Fourier. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6

264 Alyse PC-PSI 3 L espce préhilbertie C p Positioduproblème Toute foctio f de CM p dmet u développemet e série defourier. Toutefois, le premier eempleci-dessous motre que, si l sériedefourier de f covergeeupoit, elle e covergeps écessiremet vers f (). Uefoctio f de CM p dot l sériedefourier coverge simplemet vers l foctio f est dite développble e série de Fourier. Or, ous vos défii plusieurs otios de covergece d ue suite de foctios. Nous llos mitet étudier différets modes de covergece de l sériedefourier d ue foctio f. Rpport Cetrle, «Pour beucoup, étudier les coefficietsdefourierd ue foctiopériodique cotiue les coduit àffirmer qu elle est«développble e série de Fourier».» 3.. Quelques rppels L espce vectoriel C p des foctios cotiues, p-périodiques sur R, età vleurs compleesest u sous-espce vectoriel de l espce vectoriel CM p. L espce vectoriel préhilbertie C p est mui du produitsclire : ( f, g) C p ( f g) = p f (t)g(t)dt = +p f (t)g(t)dt. p p p et de l orme ssociée f = p / f (t) d t. p p L fmille (e ) Z est ue fmille orthoormle de C p et, pour tout de Z et toutefoctio f de C p, o: c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L fmille (c ) N,(s ) N c ( f)=(e f). est orthogole. Plusprécisémet : (s s k ) = (c c k ) = si = k, (c s k ) = pour tout (, k) de N N ; (s s ) =, (c c ) = si =, et sio. Nous svos ussi que cet espce vectoriel peut églemet être mui : de l orme défiiepr : et de l orme défiiepr : f = p f (t) d t p p f = sup f (t). t R Prmi ces troisormes sur C p, ucue estéquivleteàue utre, comme ous l vos déjàvu. Mis, pour tout f de C p : f f et f f. 6

265 9. Séries de Fourier 3.. Projectio orthogole sur lesous-espce vectoriel des polyômes trigoométriques P p f f S p ( f ) Soit p u etier turel o ul. L espce vectoriel P p des polyômes trigoométriques egedré pr (e ) [[ p, p ]] est usous-espce vectoriel de C p, de dimesiofiie. O peut doc défiirlprojectioorthogole q sur P p. Soit f ds C p. L fmille {e p} étt ue bseorthoormlede P p, ous vos vu e lgèbre biliéire que (doc. 6) : q( f ) = p (e f )e = = p p = p c ( f )e = S p ( f ). Nous e déduisos, grâce u théorème de Pythgore, puisque f q( f ) et q( f) sot orthogou ds l espce préhilbertie C p, les reltios : p O E Sp( f) Doc. 6. Projectio orthogole sur le sous-espce vectoriel P p. E prticulier,l pplictio: Pp R + P f P d( f, P p ) = f S p ( f ) Q P p f S p ( f) f Q f = S p( f) + f S p( f) = S p( f) +d( f,p p) S p ( f) f. tteit so miimum e u uique vecteur de P p : S p ( f ). O dit ussi que S p ( f ) est l meilleure pproimtioqudrtique de f (c est-à-dire u ses de ), pr u élémet de P p. Pour s etrîer :e Iéglité de Bessel Clculos S p ( f ). L bse (e ) pp de P p est orthoormle, doc : S p ( f ) = p (e f )e = = p = c ( f ) + p = p c ( f ) p ( c ( f ) + c ( f ) ) = = ( f ) + p ( f ) + b ( f ). = Or, S p ( f ) f. Prcoséquet,oobtiet : Théorème :Iéglité de Bessel Si f est ue foctio cotiue sur R, p-périodique, àvleurs réelles ou complees : ( f ) + p ( f ) + b ( f ) = = p = p c ( f ) f. Friedrich Bessel ( ), stroomellemd. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 63

266 Alyse PC-PSI Quelquescoséqueces importtesdecette iéglité : L suite mjorée. p = p c ( f ) p N est covergete, cr elle est croisste et Les suites (c ( f )) N et (c ( f )) N tedet vers. Les séries ( f ) et b ( f ), à termes positifs etmjorées, coverget. Les suites ( ( f )) N et (b ( f )) N tedet vers. L limite de l suite p = p c ( f ) p N ser otée = c ( f ). Nous vos vu que, si f estppériodique, de clsse C k sur R (k ), lors, pour tout de Z : c ( f (k) ) = (i ) k c ( f ). Il e découle que si f est ppériodique, de clsse C k sur R, lors : c ( f ) = o k et : c ( f ) = o k. Pour s etrîer :e Covergece ds l espce préhilbertie (C p,( )) 4.. Covergece ds l espce préhilbertie (C p, ( )) Théorème 3 Si f est ue foctiode C p, lors l suite (S p ( f )) covergevers f ds l espce vectoriel ormé (C p, ) : lim f S p( f ) =. p + O ditlors que l sériedefou- rier d ue foctio f, cotiue et p-périodique coverge vers f e moyee qudrtique. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Démostrtio Soit f ue foctio de C p. Nous étbliros d bord que l suite ( f S p( f ) ) coverge, puis que s limite est ulle. Soit p u etier turel, osit que P p Doc S p( f ) est ds P p+ et,pr coséquet : est iclus ds P p+. f S p+( f ) f S p( f ). L suite ( f S p( f ) ) est doc décroisste etmiorée pr, elle coverge vers L supérieur ou égl à. Mis, si est u réel strictemet positif, il eiste, d près le théorème de Weierstrss (cf.chpitre 4), upolyôme trigoométrique Q, élémet de P m, pour u certi m, tel que : f Q. O e déduit : f S m( f) f Q f Q. Et doc que L. Ceci étt vri pour tout strictemet positif, L =. 64

267 9. Séries de Fourier 4.. Formule de Prsevl Théorème 4:Formule de Prsevl Soit f ue pplictiode C p, lors : ( f ) = p f (t) d t p = c ( f ) = ( f ) + [ ( f ) + b ( f ) ]. = Le théorème de Pythgore doe, pourtoutepplictio f de C p : ( f ) = (S p ( f ) ) +( f S p ( f) ) L suite (( f S p ( f ) ) ) ted vers lorsque permet de coclure Iterpréttio physique p ted vers +. Ceci Pour s etrîer :e. 6. Si f est ue ode, ( f ) est proportioelle àl éergietotle. L formule de Prsevl eprime que l éergie totle est égle à l somme des éergies des compostes hrmoiques de l ode. Eemple Soit f () = sup(,si()). Quelle frctiodel éergietotle del odeest obteue dès l diièmehrmoique? Lfoctio f est cotiue sur R. Appliquos-lui l formuledeprsevl : + + p p(4 ) Doc : = ( f ) = p p(4 ) p f (t) d t = 4. = 4 p. E termesd éergie, quelle frctiodel éergie totle est égligée si le sigl f est remplcé pr s somme prtielle S ( f )? (S ( f ) ) Il fut évluer le rpport ( f ). S ( f ) ) = + p + 5 p(4 =, ) Aisi : S ( f ) ) ( f ) =, Ue frctio très importte de l éergie est doc récupérée dès ldiième somme prtielle. Mrc Prsevl, ( ), mthémticie frçis. Rpport Mies-Pots, 997 «Puvre Prsevl des Chêes!Les cdidtsot rremet reteu l orthogrphe précise de so om, qui d illeurs perd souvet lmjuscule des oms propres. Ds leur recherche du Grl de l solutio du problème, ils ivoquet Percevl, qud ce est ps u Prsifl wgérie. Le goût de l ivoctio mgique se retrouve tout u log de certies copies. O lit «pr Lebesgue», «pr Percevl», qud ce estps «pr Fourier» (il s git, bie sûr, du Bro Je-Bptiste Joseph Fourier (768-83)), ou plus simplemet «pr théorème du cours» (ici, les étudits se réfèret géérlemet àcequ ils ot ps ppris).» Rpport Écoledel Air,998 «Les cdidts yt pesé àppliquer l formuledeprsevlà f sot peu ombreu.» Avec Mple Ö ØÖØ Ü¹ÑÜ ¼ Ò Üµµ ÔÐÓØ Üµ ܹ Ⱥº ȵ,8,6,4, Doc c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

268 Alyse PC-PSI 4.4. Deu coséqueces importtes Théorème 5 L pplictioliéire: Cp C Z f f est ijective. E coséquece, deu foctios de C p qui ot les mêmes coefficietsdefourier sot égles. Théorème 6 Soit f et g deu foctios de C p. Alors,o: ( f g)=c ( f)c (g)+ ck ( f)c k (g)+c k ( f)c k (g). Cette somme est ussi otée + = c ( f ) c (g). Démostrtio Clculos ( f g) (S p( f ) g) = ( f S p( f ) g) f S p( f ) g. Or, f S p( f ) ted vers, doc : p ( f g) = lim (Sp( f ) g) = lim c k( f ) c k(g) p + p + k= p = c ( f ) c (g)+ ck( f)c k(g)+c k( f)c k(g). Ou bie, vec l cotiuité du produit sclire : Soit p ds N, lors : Sp( f ) S p(g) = p c k( f )c k(g). k= p Doc : f g = lim Sp( f ) S p(g) = c ( f )c (g)+ p + ck( f)c k(g)+c k( f)c k(g). y c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4.5. Etesio u cs des foctios cotiues pr morceu De ombreu résultts étblis ci-dessus pour des foctios cotiues et ppériodiques restet ecore vlbles. Nous llos justifierbrièvemet pourquoi. Àtout f de CM p, opeut ssocier l pplictio f r de CM p, défiie pr : f r () = f ( + )+ f( ), où f ( + ) et f( ) désiget respectivemet leslimites àdroite et àguche de f e. E tout poit de cotiuité de f, f () = f r () et, e fit, l défiitio de l pplictio f r ssociée à f cosiste à«régulriser» f e sespoits de discotiuité. f r est ppelé foctio régulrisée de f. p p y O Doc. 8. p p Doc

269 9. Séries de Fourier Il est clir que, sur tout segmet de R, f et f r e diffèret qu e u ombre fii depoits. Doc, f et f r otles mêmes coefficiets de Fourier et : p f (t) d t = p f r (t) d t. O itroduitlesous-espce D p de CM p formé des pplictios g de CM p vérifit,deplus, g = g r. L pplictiorégulriséed ue pplictio f de CM p pprtiet à D p. C p est usous-espce vectoriel de D p. p L pplictio ( f,g) ( f g) = f (t)g(t)dt est uproduit sclire sur l espce vectoriel D p et l o ote ecore l orme défiie p pr : g = (g g). Le théorème cocert l ijectivité de l pplictio, qui à f ssocie f, est ps vri ds CM p, mis il est ect ds D p. Deu foctios distictes de CM p peuvet voir les mêmes coefficietsdefourier. Il suffit depeser àlfoctio crctéristique de pz, ulle sur R \ pz, pret l vleur sur pz, pour s e covicre. E effet, les coefficiets defourier de cette foctiosot uls. Eemple Soit f défiiepr f () = p p f r () = p pe pour tout de ] p, p]. +p p si si (Z +)p (Z +)p Rpport Cetrle, «Qut à l covergece e moyee qudrtique,lmoitié des cdidts dit e jmis e voir etedu prler.» Le théorème de covergece e moyee qudrtique est vlble ds D p. Prcoséquet,pour toutefoctio f de CM p, o: lim f r S p ( f r ) = et lim S p( f r ) = f r. p + p + O e déduit: ( f r ) = p = p + = f r (t) dt = p c ( f r ) = = ( f ) = p c ( f ) f(t) dt [ ( f ) + b ( f ) ]. Doc l formule deprsevl est ecore vlblepour ue foctio f de CM p. O remrque ussi que lesqutre séries umériques : c ( f ), c ( f ), ( f ), et b ( f) sot covergetes et que les suites ssociées : (c ( f)), (c ( f )), ( ( f )), (b ( f )) tedet vers. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 67

270 Alyse PC-PSI Eemple Soit l foctio f défiiepr f () = p sur ] p,p]. L foctio f r ssociée à f diffère de f uiquemet u poitsde pz, et f r (kp) = p. L foctio f r est ds l espce D p et les résultts précédets s ppliquet. L formuledeprsevl doe : p p p p d = p 3 = ( f ) Et o retrouvelerésulttbiecou : + = p 6. [ + b ] = p 4 +. Pour s etrîer :e Covergece poctuelle 5.. U lemme importt c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Lemme O cosidère ue série defoctios de l forme : u + (u e i t + u e it ). Si les séries u et u coverget, lsérie defoctios covergeormlemet sur R. O ote S l foctiosomme. Alors: l foctio S est ds C p ; l série defoctiosestlsérie defourierdes foctiosomme, c està-dire : Z c (S) = u. Démostrtio L iéglité u e i t + u e it u + u etrîe lcovergece ormle sur R de l série de foctios. Soit S l foctio somme de l série de foctios et S p les foctios sommes prtielles delsérie. L covergece de l série defoctios vers S étt ormle etles S p étt cotiues, l foctio S est cotiue. Elle est p -périodique et pprtiet doc à C p. Clculos ses coefficiets defourier. c (S) = p p S(t)e it d t. O peut ussi écrire l série de foctios sous l forme : v + (v cos(t)+w si(t)) Si les séries v et w coverget, les résultts éocés restet vris. Ue telle série de foctios est ppelée sérietrigoométrique. Rpport Mies-Pots, «Seulemet ucdidt sur deu coîtuéocé ect permettt de justifier l églité etre f et l somme de s série de Fourier.» 68

271 9. Séries de Fourier Fios k Z. L série de foctios f (t)e ikt coverge ormlemet vers l foctio (t S(t)e ikt ). O e déduit : c p + p + p k(s)= u e ikt d t + u e i( k)t d t + u e i(+k)t d t p Puis : c k(s) = u k. = = Rpport Cetrle, «Comme ds l étude des suites de foctios,représeter grphiquemet l foctio que l o veut décomposer e série de Fourier permet d e coître l régulrité.» Eemple O cosidère l série defoctios cos(). Rpport Cetrle, 998. «Très peu de cdidts svet Pour tout réel, cos() que si ue série trigoométrique, doc l série defoctios covergeormlemet sur R. S somme S est cotiue et p-périodique sur R. c est l série de Fourier de s coverge ormlemet sur R, somme.» Le lemme ci-dessuspermet d ffirmer que : (S) = ; (S)= et b (S) =. 5.. U théorème de covergece ormle Théorème 7 Soit f ue foctio cotiue, p-périodique et de clsse C pr morceu sur R. Alors : l série defoctios c ( f )+ (c (f)e +c (f)e ) coverge ormlemet vers f sur R ; l suite de foctios (S p ( f )) covergeuiformémet vers f sur R. (PSI) Sous l forme trigoométrique, l série defoctios s écrit : ( f) + ( ( f)cos(t) +b ( f )si(t)). Démostrtio Étudios c ( f )e + c ( f )e. O : c ( f)e +c ( f)e c ( f) + c ( f), cr e =. Soit ds Z. Nous vos vu que c ( f ) = ic ( f ), doc : c ( f ) = c ( f ) + c( f ). Les séries umériques, c ( f ) et c ( f ) sot covergetes. Doc, l sériedefoctios : coverge ormlemet sur R. c ( f )+ (c ( f)e +c ( f)e ) D près le lemme, l sériedefourier de f coverge ormlemet sur R vers g. g est ds C p et, pour tout de Z : c (g) = c ( f ). f et g sot deu foctios de C p qui ot les mêmes coefficiets defourier, doc coïcidet. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 69

272 Alyse PC-PSI Corollire7. Soit f ue foctio cotiue, p-périodique et de clsse C pr morceu sur R, lors,pour tout réel : f () = + = c ( f )e i = ( f ) + ( ( f )cos +b ( f)si ). Pour s etrîer :e. 8. Eemples L foctiodéfiiepr f () = p sur ] p,p] est ps cotiue, o e peut lui ppliquer le théorème. Pr illeurs, les coefficiets trigoométriquesde f ot été clculés. Vous motrerez que l série defourier de f estps ormlemet covergete. L foctio g défiie pr g() = sup(, si()) est cotiue et C pr morceu.doc l série defourier de g covergeormlemet vers g. L foctio g est développbleesérie defourier : R g() = sup(, si()) = p + si + cos() p (4 ). E prticulier, pour = p, oobtiet : = p + + p ( ) (4 ),d où: ( ) (4 ) = +p U théorème de covergece simple c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Théorème 8:Théorème de Dirichlet Si f estue foctiop-périodique, de clsse C pr morceu sur R, à vleurs réelles ou complees, s série de Fourier coverge simplemet sur R et s somme est lfoctio f r régulriséede f. R [f(+ )+ f ( )] = ( f ) + E prticulier,si f est cotiue e, lors : Démostrtio f () = f r () = ( f ) Premièreétpe :leoyu de Dirichlet Soit f ds CM p, lors : p S p( f )() = c ( f )e i = p = p + ( ( f )cos()+b ( f )si()) ( ( f )cos()+b ( f)si()). p = p p f (u)e i u d u e i. O remrque que les hypothèses sot plus fibles ds ce théorème que ds le précédet, o perd l cotiuité de f. L covergece, précédemmet ormle, deviet ue covergece simple etoretrouve lfoctio «régulrisée»de f. 7

273 9. Séries de Fourier Démostrtio Nous vos étbli u.3 que D p(u) = p e i u est ds P p et que : = p S p( f )() = p D p(v) f ( + v)dv. p Grâce àlprité de D p et àlpériodicité de f et de D p, oobtiet : S p( f )() = p p E pret l demi-somme de ces deu epressios : S p( f )() = p p D p(v) D p(u) f ( u)du. f ( + v)+ f( v) dv () Deuième étpe :ppritiodelrégulrisée de f et deuième trsformtio del itégrle p L régulrisée de f est u élémet de CM p et D p(v)dv =. p S p( f )() f r () = p f ( + v)+ f( v) D p(v) f r() dv p p = p p p e remplçt D p pr so epressio clculée (cf..3). f( v)+ f(+v) f r() v si p + v d v si Fios lors et défiissos, pour tout t de [ p, p] \, lfoctio g pr : O peut écrire : g(t) = R S p( f)() f r () = p Troisième étpe. Étude de l foctio g f ( t)+ f(+t) fr() t. si p p g(v)si p + v d v () Scht que f est cotiue pr morceu sur R, il est clir que g est cotiue pr morceu sur [ p,[ et sur ], p]. Étudios l foctio g àdroite e. f est de clsse C pr morceu, doc f dmet ue limite àdroite e, f ( + ) = lim f ( + t), et ue limite àguche e, f ( ) = lim f ( + t). O t + t peut doc écrire, pour t > : f( +t) = f( + )+tf ( + )+t (t), vec lim t + (t) = f ( t) = f ( ) tf ( ) t (t), vec lim (t) =. t + Et doc, pour t > : f( t)+ f(+t) fr() g(t) = t = t( f ( + ) f ( )+ (t) (t)) t. si si t Or lim t + t =, doc lim g(t) = f ( + ) f ( ). si t + Gustv Dirichlet (85-859), mthémticiellemd, élève de Guss. E rithmétique, il motre que toute suite rithmétique ( +b), où et b sot premiers etre eu, cotiet ue ifiité de ombre premiers. E lyse, il éoce et démotre le théorème qui porte so om. O ttribue à Dirichlet le célèbre pricipe des tiroirs. Lorsque + objets sot rgés ds tiroirs, deu objets u mois se retrouvet ds le même tiroir. E utilist ce pricipe, pouvezvous étblir que, sisept poits sot disposés à l itérieur d u cercle, deu u mois sot à ue distce iférieure u ryo R. Reformuler ce pricipe e termes de crdil d esemble et d pplictio. p y O Doc.. Rpport X-ESPCI, «Les hypothèses du théorème de Dirichlet poset, et cel est ouveu, des problèmes.» Rpport Cetrle, «Il reste ecore des cdidts igort les hypothèses ectes de ce théorème.» p c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 7

274 Alyse PC-PSI Démostrtio g dmet ue limite àdroite e et, de même, g dmet ue limite àguche e. g est doc cotiue pr morceu sur [ p,p]. Qutrième étpe. L coclusio Appliquos le lemme de Lebesgue àlreltio () : Eemple R lim Sp( f )() = fr (). p + L foctio p-périodique défiiesur ] p, p] pr : f () = p estps cotiue, mis estdeclsse C pr morceu. O peut luippliquer le théorème de Dirichlet : ] p, p[ f () = p pz f r () = p. = p + ( ) si() L série defourier de f coverge simplemet vers f. L vleur = p permet de prouver l formule: Rpport ENS, 997 «L théorie des séries de Fourier est biecoue.les théorèmes fodmetu (iéglité de Bessel, covergece uiformeds le cs d ue foctio cotiue, C pr morceu) sot ppliqués judicieusemet. E revche, les cdidts doivet predre grde u fit que le théorème de Dirichletdoe ue covergece simple, cequi est rremet suffist pour effectuer des iterversios vec des itégrles pr eemple! De plus, les cdidts prvieet àseservir del décompositioesérie de Fourier pour étudier des équtios u dérivées prtielles ou différetielles ordiires.» Soit [, b] usegmet de R, c u réel, g ue pplictio de [,b]ds C cotiue pr morceu sur [,b]. Alors : p + 4 = ( ) +. = Pour s etrîer :e. 9. b lim + g(t)si((+c)t)dt =. Ce résultt, le lemme de Lebesgue, été recotré e Première ée ds ue pplictio. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6 Cs des foctios T-périodiques CM T désige l espce vectoriel des foctios T-périodiques,cotiues pr morceu de R ds C. O défiit sur R lesfoctios (e ) Z pr e (t) = ep i pt t. O défiitles coefficietsdefourier d ue foctio f de CM T pr : T Z c ( f ) = f (t)e i (p/t )t d t T et lescoefficietstrigoométriques de f pr : N ( f ) = T f (t)cos pt T t d t N b ( f ) = T f (t)si pt T t d t. O remrque que : École del Air,998 «...Appliquer les boes formules, à svoir ici pour ue foctio - périodique. Il semble que certis cdidts iet éprouvé des difficultés sur ce poit précisémet e s embrouillt ds le chgemet de vrible.» 7

275 9. Séries de Fourier c ( f ) = ( f ) est toujours l vleur moyee de f surue période ; les formules lit ( f ), b ( f ) et c ( f) restet ichgées : N c ( f ) = ( f ) i b ( f ) ; c ( f ) = ( f )+ib ( f) ( f)=c ( f)+c ( f); b ( f)=i(c ( f) c ( f)). Rpport Cetrle, «Les éocés de théorèmes sot trop souvet doés de mièretrès pproimtive(prsevl...)» Les sommesprtielles de l série defourier de f sot : p S p ( f ) = c ( f )e, où p est ds N p N t R S p ( f )(t) = p = p = ( f ) = p i (p/t )t c ( f )e + p = ( f )cos( p T t)+b ( f)si pt t. L formuledeprsevl reste vlblepour les foctios cotiues prmor- ceu et T -périodiques : T f (t) d t = c ( f ) = ( f ) T + [ ( f ) + b ( f ) ] = Elle se justifie de l même mière que pour des foctios p-périodiques et cotiues prmorceu sur R. Les théorèmes de covergecepoctuelle s ppliquet églemet : si f estcotiue et C pr morceu,lsérie de Fourier de f coverge ormlemet vers f sur R ; si f estseulemet C pr morceu, l sériedefourier de f coverge simplemetverslfoctio f r défiiepr : f r () = [ f ( + )+ f( )]. Pour s etrîer :e.. Applictio ) Clculer sescoefficietsdefourier. L foctio ) Quels théorèmes de covergece peut-o lui ppliquer? ) L foctio f est-périodique, elle pprtiet ps à D, mis elle est cotiue pr morceu sur R et même C pr morceu sur R (doc. ). f () = E() Clculos sescoefficietstrigoométriques. ( f ) = t cos(pt)dt. Doc, ( f ) = et, pour, ( f ) =. Qutu b : b ( f ) = t si(pt)dt = p. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 73

276 Alyse PC-PSI L sériedefourierde f estdoc l sériedefoctios : si(p). p ) L formuledeprsevl s pplique et : t d t = 3 = + (p). Elle permet de retrouver : = p 6. Le théorème de covergece simple dedirichlet s pplique (doc. ): Et,doc : p 4 = ( ) k k +.,8,6,4, R\Z Z f r ()= f()= E() = si(p) p f r () = = p si(p). 3 3 Doc..,8 Pour = 4, oobtiet : Soit : p si. p si = 4 = p p 4 = si(k +) p k+.,6,4,,,4,6,8 Doc.. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 74

277 9. Séries de Fourier TD Trsformée de Fourier de l foctio t (D près CCP, 995) Soit f uefoctio doée, cotiueet itégrblesur R. O ppelle trsforméede Fourier de f, lfoctio F qui ssocie, àtout réel, l itégrle: f(t)e i t d t. Prtie I:Développemet e série de Fourier d ue foctio R Soit t u réel quelcoque doé. O désiger pr f t l foctiodéfiiesur R, p-périodique, impire, telle que, sur ], p[, f t () = ch (t). )) Motrerque, pour tout etier k, f t (kp) =. ch t b) Costruire, pour t =,5, l courbe représettivedelrestrictiode f,5 àl itervlle [ p,+p]. ) Clculer lescoefficietsdefourier de l foctio f t. 3)) E précist le théorème utilisé, dot o vérifier soigeusemet leshypothèses ds le cs préset, doer l vleur de l somme de l série b ( f t )si pour tout de [ p, p]. b) Déduire, du résultt précédet, ue epressio de ch t p de l forme : ch t p = U p (t)( ) p où U p est rtioel prrpport àl idice p. 4)) E utilist les résultts précédets, motrer que sérielterée ( ) p (p +) (p +) +t. (Oeprimer +ch(pt) efoctiode ch t p.) ch t p s eprime simplemet àl ide de l somme de l b) E déduire ue epressio de p 4 comme somme d ue sérieumérique. Prtie II :Clcul de l trsformée de Fourier ) Motrer que l foctio f : t est itégrble sur R + et eprimer l trsformée de Fourier de f e ch t cos(t) foctiodel itégrle d t. ch t )) Motrer qu ileisteue suite ( p ) deréelstelle que, pour tout : cos(t) d t = p cos(t)e (p+)t d t. ch t b) Termierlors soigeusemet l détermitiodelfoctio F. 3) Quelle remrque peut-o firesur l trsformée de Fourier de l foctio t? p ch t c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 75

278 Eercices Soit u complee. O cosidère l foctio f, ppériodique sur R, défiiesur ] p, p] pr : e si ] p, p[ f () = ch (p) si = p pour u com- où ch (z) = ez +e z plee z quelcoque. et sh (z) = ez e z Détermier lescoefficiets de Fourierde f. Détermier les coefficiets trigoométriques de l foctio f, p-périodique sur R, défiie sur ] p, p] pr : ds les deu cs suivts : ) i Z ; ) R +. f () = ch () Détermier l série de Fourier des foctios f des eercices et. Détermier if { f Q ; Q P } pour l foctio de l eercice. Prmi les foctios étudiées ds les eercices et, uquelles s pplique leseul théorème de covergece simple? Écrire ds chque cs l églité obteue. Quelles églités remrqubles e déduit-o? ) Détermier lescoefficiets trigoométriques de l foctio T -périodique f défiie pr : p f () = si T. ) Quelsthéorèmes de covergece peut-oppliquer àlsérie de Fourier de f? * Soit () ue suite de ombres strictemet positifs qui coverge vers. Motrer qu il eiste ue foctio cotiue p-périodique, f, dot les coefficiets trigoométriques, ( f ) et b (f), vérifiet pour ue ifiité de vleurs de : (f) + b (f). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L série trigoométrique si Fourierd ue foctio de CM p? est-elle l série de Peut-o ppliquer l formule de Prsevl u foctios recotrées ds les eercices et? Pour chcue de ces foctios, quelles églités obtiet-o? Quelles églités remrqubles e déduit-o? L formule de Prsevls pplique-t-elle àd utres foctios prmi celles itroduites ds les eercices et?si oui, écrire les églités obteues ds chque cs. Quelles églités remrqubles e déduit-o? Prmi les foctios étudiées ds les eercices et, uquelles peut-o ppliquer le théorème de covergece ormle? Écrire ds chque cs l églité obteue. Quelles églités remrqubles e déduit-o? O défiit les foctios T -périodiques et pires f et g e post : T, T f () = 4, g() =. ) Détermier les coefficiets trigoométriques de f et de g. ) E déduire deu costtes c et d et ue foctio h, combiiso liéire de f et g, tellesque : R h() = c + d ( ) T 4 cos pt. 4 3) Clculer. 8 Soit f ue foctio declsse C sur R, à vleurs complees, p-périodique, d itégrle ulle sur ue période. Motrer l iéglité p Préciser les cs d églité. f p f. 76

279 9. Séries de Fourier Résoudre l équtio différetielle : y + y = si() (E) * Détermier toutes les pplictios f, C, ppériodiques et telles que : R f () = si f (). foctio: * Doer le développemet e série de Fourier del f : ch +cos E déduire les itégrles : p cos() ch +cos d. p où ( > ). * (D près X, 993) Soit T >, l u complee o ul et E l l espce vectoriel des foctios C sur R, T -périodiques et vérifit l reltio: R f(+) f( ) = l f (). Motrerque l dimesio de E l estfiieetqu elle est égleà si l est supérieur ou égl àuombre que l o préciser, ou si l est ps réel. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 77

280 Clcul différetiel c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Le butdecechpitreest de développer,d u poit de vue puremet prtique, lesoutils de l lyse vectorielle (chmps de scliresetdevecteurs, itégrlesmultiples, formesdifféretielles, systèmes différetiels utoomes), isi que le théorème de Cuchy-Lipschitz cocert les équtios différetielleso liéires. Il est ps questio ici d border les théories sur lesquelles s ppuiet ces otios mis il est fort itéresst de costter que presque toutes les prtiesducoursdemthémtiques que vous vez suivi vec pssio cette ée itervieet ds ce chpitre. De ombreu eemples sot développés fi d illustrer ces otios. O B J E C T I F S Chmp de sclires,chmp de vecteurs. Grdiet d u chmpdesclires. Circultiod u chmp de vecteurs. Formes différetielles de degré(psi). Itégrles doubles et triples. Le théorème de Cuchy-Lipschitz pour les équtios différetielleso liéires. Équtios différetielles àvribles séprbles. Le cs des équtios utoomes. 78

281 . Clcul différetiel Chmps de vecteurs, chmps de sclires Dsceprgrphe, U estuouvert o vide de R p ( ) désige le produitsclire usuel de R p. Dslprtique,oselimiterà p= ou p = 3. et k u etier turel,.. Défiitios U chmp devecteurs de clsse C k U ds R p, declsse C k sur U. U chmp desclires de clsse C k U ds R, declsse C k sur U. sur U est ue pplictio f de sur U est ue pplictio g de Soit f u chmp de vecteurs suruouvert U de R p. C estue foctioà vleurs ds R p, opeut doc prler des foctios compostes du chmp de vecteurs f.ce sot les foctios de U ds R, f,..., f p, telles que, pour tout de U, f()= (f (),..., f p ())... Grdiet d u chmp de sclires Le grdiet d ue foctio declsse C de U ds R été défii u chpitreprécédet. Il fourit u eemplefodmetl de chmp de vecteurs. Soit u etier k etuchmp de sclires g de clsse C k sur U, lors grd g est uchmp de vecteurs de clsse C k sur U. O rppelle que grd g() est l uique vecteur de R p tel que : v R p dg()( v)= ( grd g() v). Pour tout de U : grd g() = g (),..., g (). p Doc, si g estdeclsse C k sur U, grd g est declsse C k..3. Circultio d u chmp de vecteurs (PC) Soit f u chmp de vecteurs de clsse C sur l ouvert U de R p et f,..., f p ses foctios compostes. Soit ([, b], g, G) urc prmétré de clsse C dot le support G esticlus ds U. O ote, pour tout t de [, b], g(t) = ( (t),..., p (t)). L itégrle du chmp de vecteurs f le log de l rc orieté G est lqutité : b p f d = f i ( (t),..., p (t))i G (t) d t. i= E physique, cette qutité représete l circultio du chmp de vecteur V le log de l rcorieté G. Preemple, l circultiod uchmp de forces V le log d u rc llt du poit A u poit B représete le trvil de cette force le log de cet rc. Pour s etrîer :e.. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 79

282 Alyse PC-PSI Formes différetielles (PSI) O désige pr U u ouvert o vide de R p... Défiitios.. Forme différetielle O ppelle forme différetielle de degré sur U toute pplictio v de U ds L(R p, R). Eemplefodmetl Soit f ue foctioumérique de clsse C sur U. Pour tout de U, ldifféretielle de f e,df(), est ue pplictio liéirede R p ds R. Aisi, l pplictio df défiiepr : U L (R p, R) d f : d f () est ue forme différetielle sur U. Ds cet ouvrge, ous étudios uiquemet les formes différetielles de degré. Pr coséquet, ous prleros simplemet de forme différetielle plutôt que de forme différetielle de degré... Bse dule L bse dule delbse coique de R p est otée (d,...,d p ). Toute forme liéire w sur R p se décompose, de mière uique, sous l forme : p w = i d i i= où (,..., p ) R p. Avec cette ottio, pour h = (h,...,h p ) ds R p : p p w(h) = i d i (h,...,h p )= i h i. i= i= c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit..3 Foctios compostes d ue formedifféretielle Soit v ue forme différetielle sur l ouvert U de R p. Pour tout de U, v() sedécompose selo l bse (d,...,d p ) de L(R p,r).il eiste u uique p -uplet de réels (P (),...,P p ()) tel que : p v() = P i ()d i. i= O défiitisi lesfoctios compostes (P,...,P p ) de v. Pour chque i de [[, p]], P i est ue pplictiode U ds R. O ote: p v= P i d i. i= Soit u etier turel k. p L forme différetielle v = P i d i est dite de clsse C k sur U si : i= i [[, p]] P i C k (U, R). 8

283 . Clcul différetiel Eemple Soit u etier k etue pplictio f de clsse C k de U ds R. L formedifféretielle d f, vue u..,est telle que : p f U d f () = ()d i. i Ses foctios compostes sot doc les foctios dérivées prtielles de et : p f d f = d i. i i= O e déduitque d f est ue forme différetielle de clsse C k sur U. i= f L forme différetielle v, défiie sur l ouvert o vide U de R p est dite ecte sur U si : f C (U, R) U v() = d f ()... Itégrle curvilige d ue forme différetielle Soit v = k ). p P i d i ue forme différetielle de clsse C k sur U (vec i= Soit ([, b], g, G) ue courbe de clsse C de R p dot le support G est iclus ds U. O pose [,b]= I et,pour tout t de I, oote g(t) = (g (t),...,g p (t))... Petit eercice decompréhesio v est ue forme différetielle sur U. Pour tout t de I, g(t) est u poit de U et v(g(t)) ue forme liéire sur R p. Pour tout t de I, g (t) est u vecteur de R p et v(g(t))(g (t)) esturéel. De plus : p v(g(t))(g (t)) = P i (g(t))g i(t). Efi, l foctio t v(g(t))(g (t)) est cotiue sur I. L itégrle curvilige de l forme différetielle v le log de l courbe ([, b], g, G) est le réel : b b p v(g(t))(g (t)) d t = P i (g (t),...,g p (t))g i(t) d t. O oteprovisoiremetcette qutité i= i= (I,g,G) Apriori, elle déped du prmétrge ([, b], g) delcourbe. Le théorème suivt motre que l itégrlecurvilige v déped seulemet du ses de prcours du support G. v. (I,g,G) Ceci équivut àdireque : f C (U, R) v = d f. O ditlors que l foctio f est ue primitive de v sur l ouvert U. L reltio de Chsles pour les itégrles permet de défiir l itégrle curvilige d ue formedifféretielle le log d ue courbe cotiue et de clsse C pr morceu. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 8

284 Alyse PC-PSI.. Chgemet deprmètre Théorème Soit w u C -difféomorphismede J =[c,d] ds I = [, b]. Si w est croisste, lors v = v. (I,g,G) (J,gow,G) Si w est décroisste, lors v = v. (I,g,G) (J,gow,G) Démostrtio d v = v(g w(u))(g w) (u)du (J,gow,G) c d p = P i(g (w(u)),...,g p(w(u)))g i(w(u)) w (u)du. c i= Le chgemet de vrible t = w(u) s impose. Il doe d t = w (u)du. Si w est croisste, w(c) = et w(d) = b. D où(doc. ) : b p v = P i(g (t),...,g p(t))g i(t) d t. (J,gow,G) i= Si w est décroisste, les bores sot iversées et (doc. ) : v = v. (J,gow,G) (I,g,G) Eemple Soit v l forme différetielle défiie surl ouvert R \{(,)} pr : ([, b], g) et ([c,d], g w) sot deu prmétrges de l courbe étudiée. Aisi,l itégrle curvilige de l forme différetielle v le log d ue courbe e déped ps du prmétrge de l rc, mis seulemet du ses de prcours de cette courbe. C estpourquoi o l ote souvet : v. G g()= g w() c G g()= b g w() d Doc.. Prcours del rc G prmétré pr g w lorsque w est croisste. G g()= b g w() c c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit v = d y y d + y. O v = P d + Q d y, vec P(, y) = y + y et Q(, y) = + y. O cosidèrelecercle C de cetre O et de ryo R, prmétré pr : g : [,p] C t ((t), y(t)) = (R cos t, R si t) v est declsse C et, prdéfiitiodel itégrle curvilige : C v = = p p [P((t), y(t)) (t)+q((t), y(t))y (t)] d t [si (t)+cos (t)] d t = p. Pour s etrîer :e.. g()= g w() d Doc.. Prcoursdel rc G prmétrépr g w lorsque w estdécroisste. O remrque que : le résultt e déped ps de R; e pret t [, p], ce qui équivut àprcourirlecercle foisds le ses direct,oobtiet p pour l vleur de l itégrlecurvilige de v ; le prmètrge: t (R cos t, R si t), qui correspod à u prcours du cercle ds le ses idirect, doe ue itégrle curvilige égtive. 8

285 . Clcul différetiel.3. Le cs des formes différetielles ectes Théorème Soit v ue forme différetielle ecte sur U, f ue primitive de v sur U et deu poits A et B de U. Pour toute courbe prmétrée ([, b], g, G) declsse C,desupport iclus ds U, d origie A = g() etd etrémité B = g(b), o : v= G d f = f(b) f(a). G Démostrtio p f O ote g(t) = (g (t),...,g p(t)). Puisque v = d i, o: i i= b p f v= (g(t))g i(t) d t. G i O sit ussi que : Doc : G v = p i= b i= f (g(t))g i(t) = d i d t ( f g)(t). d ( f g)(t)dt = f(g(b)) f (g()) = f (B) f (A). d t Uecourbe prmétrée ([, b], g, G) est dite fermée lorsque g() = g(b). O peut dire e résumé que l itégrle curvilige d ue forme différetielle ecte le log d ue courbe e déped que del origie et de l etrémité de l courbe et o ps du chemiprcourupour joidre ces poits. Le résultt du théorème peut être brégé e écrivt simplemet : AB d f = f (B) f (A). g()= g() b G Corollire. L itégrle curvilige d ue forme différetielle ecte sur U, lelog d ue courbe fermée de clsse C de support coteu ds U, est ulle. Eemple Repreos l eemple du prgrphe précédet : v = d y y d + y. Le cercle C est ue courbe fermée de l ouvert R \{(, )}. L forme différetielle v est declsse C surcet ouvert. L itégrlecurvilige de v le log de C estps ulle cr : C v = p. Doc, l forme différetielle v estps ecte sur R \{(, )}..4. Formes différetielles fermées, le théorème de Poicré Le prgrphe précédet ous motre que le clcul d ue itégrle curvilige se simplifie lorsque l forme différetielle est ecte. Mis commet détermiersiue forme différetielle est ecte? Doc. 3. Ce corollire reste vri pour ue courbe fermée, cotiue et de clsse C pr morceu, de support coteu ds U. 83 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

286 Alyse PC-PSI Soit v = p P i d i ue forme différetielle de clsse C sur l ouvert o i= vide U de R p. O dit que v est ue forme différetielle fermée sur U si : U (i, j) [[, p]] P i ( ) = P j ( ). j i Théorème 3 p Soit v = P i d i ue forme différetielle de clsse C sur l ouvert i= o vide U de R p. Si v est ue forme ectesur U, lors v est fermée sur U. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 84 Démostrtio O suppose v ecte sur U. Soit f ue primitive de v sur U. p p f v = P i d i = d f = d i i i= Puisque v est de clsse C sur U, f est de clsse C et : (i, j) [[, p]] i= P i j = f j i = f i j = P j i. L réciproque de ce théorème est ps vrie e géérl, comme le motre l eemple ci-dessous. Poicré su prouver cette réciproque, moyet ue restrictiogéométrique surl ouvert U. Eemple Cosidéros àouveu l forme : v = d y y d + y. Elle est de clsse C sur R \{(, )}. Ce est ps ue forme ecte sur R \{(, )} cr soitégrle curvilige surucercle de cetre (,) estps ulle. C est ue forme fermée sur R \{(, )}. E effet,otos v = P d + Q d y. Pour tout (, y) de R \{(, )} : P y (,y)= y ( +y ) = Q (,y). L restrictiogéométrique utilisée prpoicréest l suivte. U ouvert o vide U de R p est dit étoilé s il eiste u poit de U tel que, pour tout poit m de U, lesegmet [, m] soit coteu ds U (doc. 4). Eemples Tout ouvert coveede R p Toutebouleouvertede R p est étoilé. est u ouvertétoilé. R \{(,) } est u ouvertétoilé de R. R \{(,)} estps étoilé. Heri Poicré (854-9), mthémticie frçis :Ses trvu ds de ombreu domies des mthémtiques pures et ppliquées permettetdele qulifierde mthémticie uiversel. Hilbert et lui e sot ss doute les deriers spécimes. Co-découvreur de l théorie de l reltivité restreite, ous devos à Poicré cette phrse prémoitoire, dtée de 94 :«Peut-être [llos ous devoir] costruire ue mécique ouvelle que ous e fisos qu etrevoir, où, l iertie croisst vec l vitesse de l lumièredeviedrit uobstcle ifrchissble.» m 3 m Doc. 4. m

287 . Clcul différetiel Théorème de Poicré Soit U u ouvert étoilé de R p. Touteforme différetielle fermée sur U est ecte sur U. Démostrtio Soit v ue forme différetielle fermée sur U. Idée clé Soit u poit de l ouvert étoilé U tel que, pour tout b de U, lesegmet de droite [, b] soit iclus ds U. L pplictio: [,] R p w: t w(t) = + t(b ) fourit uprmétrge de clsse C Idée clé (et même C ) decesegmet de droite. Si v est ue forme ecte sur U et si f est ue primitive de v, lors : v = f (b) f (). b Doc f (b) est cou, à ue costte près, si l o coît l itégrle curvilige b v. L propriété «v est ue forme fermée sur U»est ue propriété locle.démotrer cette propriété sermèe àusimple clcul de dérivées prtielles e chque poit de U. L propriété «v est ue forme ecte sur U» est ue propriété globle.démotrer cette propriétédemde, priori, de trouver ue foctio f défiie sur tout l ouvert U et telle que v = d f, cequi est mois simple que de clculer des dérivées prtielles. Le théorème de Poicré simplifie ceci lorsque U est u ouvertétoilé. = w() Idée clé 3 Soit f ue foctio declsse C sur U et k ue costte ; f et f + k ot l même différetielle e tout poit de U. Pour prouver que l forme différetielle v est ecte sur U, opose doc, pour tout b de U : f (b) = b v. Doc. 5. w() t b= w() Il suffit de prouver que f est de clsse C sur U et que df = v. Les plus brillts d etre vous surot bâtir l démostrtio à l ide de ces idées. Les utres se coteterot d dmettre cethéorème, ce qui e serps du tout dommgeble pour l préprtio des cocours. Eemple L forme différetielle v = d y y d + y est ecte surledemi-pl : U = {(, y) > }. E effet : elle est de clsse C sur R \{(, )}; c estue forme fermée sur R \{(, )}; U est uouvert étoilé iclus ds R \{(, )}. Pour détermier ue primitive de v sur U, utilisos l techique suivte : Soit f ue primitive de v sur cet ouvert. O : f (,y)= y +y et f (, y) = y À > fié, (y f (, y)) estue primitive sur R de + y. y + y. Coisst v, lformule : f (b) = b v fourit u moye effectif de clculer ue primitive de f. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 85

288 Alyse PC-PSI Doc : f (, y) = + y d y = Arct y + H (). Ici, H () est ue costtepr rpport àlvribled itégrtio y. Prcostructio, H est ue foctiodeclsse C sur R + et, à y fié: R + f (,y)= Arct y + H (). O e déduit H () = et f(,y) = Arct y +k, où k estue costte. Pour s etrîer :e...5. Le poit devue du physicie Soit U u ouvert o vide de R p et V u chmp de vecteurs de clsse C k sur U, oté V ()= (P (),...,P p ()). O peut lui ssocier l forme différetielle v de clsse C k sur U défiiepr : v() = p P j ()d j. j= c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 86 Le physicie hésite ps àoter v = V d.cette ottio, puremet symbolique,eserps utilisée e mthémtiques. E revche, il est mthémtiquemet correct d écrire : U h R p v ()( h)= V () h. où désige le produitsclire usuel de R p. Il est immédit que : Le chmpdevecteurs V dérive d u potetielsclire sur U si, et seulemet si, lforme différetielle ssociée, v, est ecte sur U. L otio mthémtique d itégrlecurvilige d ue formedifféretielle correspod àlotiophysique de circultio d u chmp de vecteurs. L circultio du chmp de vecteur V le log de l rc orieté G est l itégrlecurvilige de l forme ssociée le log de cet rc : v = V d. G G Preemple, l circultiod uchmp de forces V le log d u rc llt du poit A u poit B représete le trvil de cette force le log de cet rc. Les deu phrses suivtes sigifiet l même chose. «L itégrle curvilige d ue formedifféretielle ecte le log d ue courbe fermée est ulle.» «Uchmp de vecteurs V qui dérive d u potetiel sclire est uchmp coservtif.» Ds R 3, le théorème de Poicré équivut u résulttsuivt : «Uchmp de vecteurs V, de clsse C sur uouvert étoilé U de R 3, dérive d u potetiel sclire si, etseulemet si : U rot V ()=».

289 . Clcul différetiel 3 Clcul itégrl Ds lecdre de otre progrmme, l itégrtio des foctios été étudiée quepour des foctios d ue vrible. Le clcul des itégrles multiples de foctios de plusieurs vribles est u outil idispesble àdeombreuses brches de l Sciece. Développer ue théoriecohéretedel itégrtiodeces foctios estps du tout élémetire et horsdeotre propos.ce est qu à l fi du XIX e et u début du XX e siècle que les trvu dejord (Jord Cmille (838-9), mthémticie frçis), Borel (Borel Émile (87-956), mthémticie frçis), Lebesgue, et Rdo ot permisderésoudre ce problème. Nous ous coteteros,coformémet u progrmme, de développer quelques outils permettt, ds lescs les plus simples,leclcul desitégrles doubles de foctios de deu vribles et des itégrles triples defoctios de trois vribles. Joh Rdo ( ), mthémticie utrichie. Les écrits de Borel et Lebesgue portiet sur les foctios d ue vrible. C est Rdo qui vuque leurs trvu s ppliquiet u foctios de plusieursvribles. 3.. Itégrles doubles 3.. Compcts élémetires de R Nous dmettos l formule de Fubii pour lesrectgles. Soit [, b] et [c, d] deu segmets de R et f ue foctio cotiue de [, b] [c, d] ds K. Alors : b d c f (, t)dt d = d c b f(,t)d dt. Cette églité permet de défiir l itégrle double de l foctio cotiue surlerectgle R = [, b] [c, d]. Se limiteru seulsrectglescommedomiesd itégrtiodesfoctiosde deu vribles est évidemmettrop restrictif. O ppelle compct élémetire de R u compct de R pouvt s écrire comme réuio d u ombre fii d esembles K tels que : Il eiste u segmet [, b] etdeu foctios cotiues f et f de [, b] ds R telles que f f et : K = {(, y) R b et f () y f ()}, ou bie il eiste u segmet [c, d] etdeu foctios cotiues g et g de [c, d] ds R telles que g g et : K = {(, y) R c y d et g (y) g (y)}. f L ottio: K = (,y) R b f ()y f ()} sous-eted que, à fié etre et b, y est etre f () et f (). y f () f () O b Doc. 6. L pluprt des compcts élémetires cosidérés ds l prtique sot directemet de l forme K idiquée. L réuio fiie de tels esembles iterviedr qu eceptioellemet. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 87

290 Alyse PC-PSI Eemples Le trigle(doc. 7) : T = {(, y) [,]ety [, ]} = {(, y) y [, ] et [y,]} Le qurt de cercle(doc. 8) : y y y= C = {(, y) etyet +y R } ={(,y) [, R] ety [, R ]} = {(, y) y [, R] et [, R y ]} 3.. Le théorème de Fubii Théorème 5:Théorème de Fubii Soit u compct élémetire K décrit des deu mières idiquées cidessous : K = {(, y) R b et f () y f ()} K = {(, y) R c y d et g (y) g (y)} pour toutefoctio f, cotiue de K ds R, o: b f() d g(y) f(,y)dy d = f(,y)d dy. f () c g (y) Doc. 7. y R R Doc. 8. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Ce théorème est dmis. Ilpermet de défiir l itégrle double de l foctio cotiue f surlecompct élémetire K e post : b f() f(,y)ddy = f(,y)dy d K = d c f () g(y) f(,y)d dy. L formule de Fubii permet le clcul d ue itégrle double e choisisst l ordre d itégrtio. Le cs prticulier des rectgles, l iterpréttio physique du terme d d y comme élémet ifiitésiml de surfce, que ous bordos ps, icitet à dmettre quel ire du compct élémetire K est : d dy. Eemples K Soit g et h deu foctios cotiues respectivemet de [, b] ds R et de [c, d] ds R. O pose f (, y) = g()h(y) et K = [,b] [c,d]. Alors : b d f(,y)ddy = g()d h(y)dy. K g (y) c Il est itéresst de oter que le théorème de Fubii pour les rectgles, est u cs prticulier de ce théorème. Si K = [, b] [c, d], lesfoctios f, f, g, g sot costtes. Guido Fubii ( ), mthémticie itlie. 88

291 . Clcul différetiel Détermitio del ire A du compct K du demi-pl d équtio y délimité pr l prbole d équtio y = et l rc de cercle d équtio + y =. (doc. 9. ci-cotre.) Prriso de symétrie, A est ledoubledel ire du compct L décrit pr : L = {(, y) [, ] et y [, ]}. A = d y d y K O Doc. 9. = p + uités d ire. 3 Soit u réel et K = {(, y) y et+y}. Clcul de : I = ( + y) d d y. K Vous dessierez K et trouverez : K = {(, y), et y [, ]}. Votreclculette effectue l itégrledouble Quelques propriétés de l itégrle double Les propriétés suivtessot dmises. Soit K et K deu compcts élémetires de R, dot l itersectio e cotiet ucue bouleouvertede R. Alors,pour toutefoctio f cotiue sur K K : f(,y)ddy = K K K f(,y)ddy+ K f(,y)ddy. Soit f et g deu foctios umériques cotiues surlecompct élémetire K et (, b) deu réels, lors : K [f(,y)+bg(,y)] d d y = K f(,y)ddy+b g(,y)ddy. K Soit f ue foctio cotiue et positive sur le compct élémetire K. Soitégrle sur K est positive : f K f(,y)ddy. Soit f ue foctiocotiueet positive sur le compctélémetire K. So itégrle surucompct élémetire L K est plus petite que soitégrle sur K. f et L K L f(,y)ddy K f(,y)ddy. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 89

292 Alyse PC-PSI 3..4 Chgemet devribles. Pour effectuer u chgemet de vribles ds ue itégrledouble, il est utile de compredre ce que devietl élémetifiitésiml de surfce prcette trsformtio. Soit U u ouvert o vide de R et F ue pplictio de U ds R otée: U R F : (s, t ) F (s,t)= ((s,t), y(s, t)) O suppose que F est declsse C sur U, ijective, et que de plus, so jcobie e s uleps sur U. Soit Ds u «petit ccroissemet»delvrible s et Dt u «petit ccroissemet»delvrible t. Ds U, lerectgletrmé ue ire de DsDt. L imge pr F de ce rectgleest le «prllélogrmme»dot lescôtés sot : F F (s+ D s,t) F (s,t) (s,t)d s, s F F (s,t+ D t) F (s,t) (s,t)d t. t Rpport ENS, «...certis spects,comme l mîtrisedes itégrles doubles (e prticulier pour l défiitio d u ouveu domie d itégrtio près chgemet de vribles ou lors de l pplictio duthéorème defubii) [...] ot souvet lissé àdésirer.» s s t (,) s t (, s t+dt) ( s+ds,t) F(,) s t F ( s+ Ds,t+ Dt) F(, s t+dt) t y Plus les ccroissemets Ds et Dt sot petits, plus le «prllélogrmme imge»est proche d u véritble prllélogrmme. Soire est : F F (s,t)d s, s t (s,t)d t = (s,t)d s s t (s,t)d t y y = D(, y) (s,t)d s s t (s,t)d t D(s, t) DsDt. F( s+ds,t) F( s+ Ds,t+ Dt) Doc.. Aisi,lorsque les vribles s et t sot soumises àdes ccroissemets Ds et Dt, les foctios et y subisset des ccroissemets D et Dy tels que : DDy = D(, y) D(s, t) DsDt. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Les rgumets présetés ci-cotre e costituet ps ue démostrtio mthémtique. Ils sot là pour epliquer l présece du jcobie ds l formule de chgemet de vribles. De là découlelformulefodmetleduchgemet de vribles : d d y = D(, y) D(s, t) d s d t. Le théorème suivt est dmis. Théorème 6 Soit U u ouvert o vide de R, F : (s,t) ((s, t), y(s, t)) ue pplictio declsse C de U ds R, K u compct élémetire iclus ds U et K l esembledes poitsitérieurs à K. Si les coditios suivtes sot rélisées : l esemble D = F (K ) est u compct élémetire ; U poit itérieur à K est u poit M de K tel qu il eiste ue boule decetre M icluse ds K. Preemple, si : K = [, R] [ p, p], lors : K = ], R[ ] p, p[. 9

293 . Clcul différetiel l restrictiode F à K est ijective ; le jcobie de F e s uleps sur K, lors,pour toutefoctio f cotiue de D ds R, o: f(,y)ddy = f((s,t), y(s, t)) D(, y) D(s, t) d s d t. D K Eemplefodmetl:lescoordoées polires L pplictio est declsse C sur R. R R F : (r, u) (r cos u, r si u) Soit le rectgle K = [, R] [ p, p] (vec R > ). So imge pr F est ledisque D de cetre(, ) et de ryo R : O D = {(, y) + y R }. K = ], R[ ] p, p[. L restrictio de F à K est ijective et, pour tout (r, u) de K : D(, y) D(r, u) = cos u si u Le théorème s pplique et permet d écrire : D f(,y)ddy = vec D = {(, y) + y R }. Eemple :Aire d ue ellipse p R p r si u = r =. r cos u f(rcos u, r si u)r d r d u Clcul de l ire du domie pl, oté E, délimité pr l ellipse (doc. ) d équtio: + y b =. Le domie E peut être prmétrépr : F : [,] [,p] E (r, t ) (, y) = (r cos(t), br si(t)). L pplictio (r,t) (, y) = (r cos(t), br si(t)) estdeclsse C sur R. Prcostructio, s restrictioà K =[, ] [, p] pour imge E. E tout poit (r, t) de K = ], [ ], p[ lejcobie de F est : D(, y) D(r, t) = br =. De plus,lrestrictiode F à K est ijective. Il est itéresst de oter que l restrictiode F à K estps ijectiveetque le jcobie de F s ule u poits de K tels que r =. Cel empêche ps d ppliquer le théorème cr les hypothèses cocert vérifiées. K Rpport TPE, sot «Les chgemets de vribles ds les itégrles doubles e sot ps mîtrisés. Le simple pssge u coordoées polires est ue ctstrophe.» Cette formule du pssge e coordoées polires est àutiliser directemet ss repredre les étpes eposées ci-dessus. Pour u chgemet de vribles mois court, ilfudr predre soi de mettre e plce les trois hypothèses permettt d ppliquer le théorème. b y Doc.. 9 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

294 Alyse PC-PSI L ire recherchée est : d d y = br dr dt = b r dr p E K dt = pb uités d ire. Pour s etrîer :e. 3et4. Applictio Clcul de l ire d ue boucle délimitée pr ue courbe r = r(u) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit u et u deu réelstelsque : < u u < p et r ue foctio declsse C de [u, u ] ds R + telle que : y O r(u ) = r(u ) =. u u r=r( u) u Doc.. Le but de cette pplictio est de détermier l ire del boucle B délimitée prl courbed équtio polire : r = r(u) lorsque u vrie de u à u. ) Ds quel domie les coordoées polires (r, u) d u poit de l boucle B se trouvet-ils? ) Eprimer l ire de l boucle B e foctio des coordoéespolires. 3) Détermier l ire délimitée pr l lemiscte de Beroulli d équtiopolire : r = cos(u). ) Le schém ci-vt idique que : B = {(, y) = (r cos u, r si u) u [u, u ] ) Soit : et r [, r(u)]}. K = {(r, u) u [u, u ] et r [, r(u)]}. L ire recherchée est : d dy = B = = K u u u u r dr du r(u) r dr du r (u) du. 3) L lemiscte est symétrique pr rpport u deu es de coordoées. Soire, A, est deu foisl ire de l prtie du pl délimitée pr u ds p 4, p. 4 p/4 cos(u) A = d u = uités d ire. p/4 O y Doc. 3. 9

295 . Clcul différetiel 3.. Itégrles triples Clculer des itégrles triples suppose dedéfiir d bord sur quels compcts de R 3 o v itégrer lesfoctios cotiues. Esuite, l formule de Fubii et l techique du chgemet de vribles permettrot d effectuer certisclculs d itégrles triples. 3.. Compcts de R 3 découpés etrches Soit K u compct de R 3 possédt l propriétésuivte. «Il eiste u segmet [c, d] et pour tout z de [c, d], il eiste u compct élémetire D z de R tels que : d z K = {(, y, z) R 3 z [c, d] et (,y) D z }.» z D z De fço imgée, le compct K est découpé e «trches». Ici, les «trches»sotprllèlesu pl (Oy). O peutussi utiliser destrches prllèlesu utres pls de coordoées. Pour toutefoctio f cotiue de K ds R, ilest possible de clculer: Si l foctio z d c D z f(,y,z)ddy dz. f(,y,z)ddy est cotiue (pr morceu) c Doc. 4. K y D z sur le segmet [c, d], ce quiser toujoursle cs dsl prtique,cette qutité uses. 3.. Compcts de R 3 découpés epiles Soit K u compct de R 3 possédt l propriétésuivte. «Ileiste u compct élémetire D de R et, pour tout (, y) de D, il eiste u segmet [g(, y), h(, y)], oùg et h sot deu foctios cotiues sur D, telsque : K = {(, y, z) R 3 (, y) D et z [g(, y), h(, y)]}.» hy (,) gy (,) z De fço imgée, le compct K estdécoupé e «piles».ici,les «piles»sot prllèles à l e (Oz). O peut ussi utiliser des piles prllèles u utres es de coordoées. Pour toutefoctio f cotiue de K ds R, ilest possible de clculer: h(,y) f(,y,z)dz ddy. D g(,y) U compct de R 3 vérifit ue des deu propriétés ci-dessusser ppeléu compct élémetire de R Formule de Fubii Soit K u compct de R 3 dot o coîtdeu décompositios : K = {(, y, z) R 3 z [c, d] et (,y) D z } = {(,y,z) R 3 (,y) D et z [g(, y), h(, y)]}. D (,) y Doc. 5. K y c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 93

296 Alyse PC-PSI Dscecs,pour toutefoctiocotiue f de K ds R : d c D z h(,y) f(,y,z)ddy dz = D g(,y) f(,y,z)dz ddy. Cette qutité est l itégrle triple de f sur lecompct K, que l o ote ussi : f(,y,z)ddydz. K L églité ci-dessusest l formule de Fubii pour lesitégrles triples. Eemplefodmetl. Le volume d u compct élémetire K de R 3 est : V = d dydz. K 3..4 Chgemet devribles O procèdedefçosimilireucs de l dimesio. Soit U u ouvert o vide de R 3 et F ue pplictio declsse C ijective de U ds R 3 otée : et U R 3 F : (s, t, u ) F (s,t,u)= ((s,t,u), y(s, t, u), z(s, t, u)) O supposeque le jcobie de F estjmis ul : c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Det J F (s,t,u)= D(, y, z) D(s, t, u) =. Le mêmepricipequ edimesio permetde voir que, lorsqueles vribles s, t et u sot soumis àdes ccroissemets Ds, Dt et Du, les foctios, y et z subisset des ccroissemets D, Dy et Dz tels que : DDyDz = D(, y, z) D(s, t, u) DsDtDu. De là découlelformulefodmetleduchgemet de vribles : d d y d z = D(, y, z) D(s, t, u) d s d t d u. 94

297 . Clcul différetiel Théorème 7 Soit U u ouvert o vide de R 3, F :(s,t,u) ((s, t, u), y(s, t, u), z(s, t, u)) ue pplictio declsse C de U ds R 3, K u compct de R 3 iclus ds U et K l esembledes poitsitérieurs à K. O supposeque K et D = F (K ) ot chcu ue descriptiologue àcelle idiquée u débutdu Si les coditios suivtes sot rélisées : l restrictiode F à K est ijective, le jcobie de F e s uleps sur K, lors,pour toutefoctio f cotiue de D = F (K ) ds R, o: f(,y,z)ddydz D = f((s,t,u), y(s, t, u), z(s, t, u)) D(, y, z) D(s, t, u) d s d t d u. K Le théorème 7 est ps u progrmme. Nous l vos iclus ds le cours cr il permet de justifier mthémtiquemet le pssge e coordoées cylidriques ou sphériques ds ue itégrle triple. Il est leprologemet turel du théorème 6ucs de l dimesio Les coordoées cylidriques Les coordoées cylidriques s utilisetdelmièresuivte. L pplictio R 3 R 3 F : (r, u, z ) (r cos u, r si u, z) est declsse C sur R 3. Soit le prllélépipède rectgle K = [, R] [ p, p] [, b]. Soimge pr F est lportiodecylidre C d e Oz,deryo R : C = {(, y, z) + y R et z [, b]}. O K = ], R[ ] p, p[ ], b[. L restrictiode F à K estijective et,pour tout (r, u, z) de K : D(, y, z) = r =. D(r, u, z) Pour toutefoctio f cotiue surlecylidre C : C f(,y,z)ddydz = vec C = {(, y, z) + y R b p R p et z [, b]}. f(rcos u, r si u, z)r d r d u d z, Il est itéresst de oter que l restrictiode F à K estps ijectiveetque le jcobie de F s ule u poits de K tels que r =. Cel empêche ps d ppliquer le théorème cr les hypothèses cocert vérifiées. K sot c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 95

298 Alyse PC-PSI Applictio Volume d u tore de révolutio Soit,b,c trois réels strictemet positifs et tels que < c. Clculer le volume du tore de révolutio T obteu e fist tourer l ellipse d équtio: b O z c c ( r c) z + b c+ r (y c) + z b =, = Notos : Doc. 7. utour de l e (Oz). z et : E = {(r, z) R (r c) + z b } K = {(r, u, z) (r, z) E et u [, p]}. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O Doc. 6. Le tore T est décrit àl ide des coordoées cylidriques pr: T ={(,y,z)=(rcos u, r si u, z) (r c) 3..6 Les coordoées sphériques c y + z etu [, p]}. b Les coordoées sphériques s utiliset delmièresuivte. L pplictio R 3 R 3 C : (r, u, w) (r si u cos w, r si u si w, r cos u) est declsse C sur R 3. Le volume du tore T est : p d dydz = Soit le prllélépipède rectgle K = [, R] [, p] [,p](vec R > ). Soimge pr C est lsphère S = {(, y, z) + y + z R }. T E r dr dz du. Pour clculer l itégrle double sur l ellipse E, vous utiliserez le chgemet de vribles : u = r c, v = z b. Vous obtiedrez r dr dz = pbc. E Filemet,levolume du tore est : d dydz = p bc uitésdevolume. T 96

299 . Clcul différetiel O K = ], R[ ], p[ ], p[. L restrictiode C à K estijective et,pour tout (r, u, w) de K : D(, y, z) si u cos w r cos u cos w r si u si w D(r, u, w) = si u si w r cos u si w r si u cos w = r si u =. cos u r si u z r cos u M Pour toutefoctio f cotiue sur lsphère S : f(,y,z)ddydz S = Eemple p p R f(rsi u cos w, r si u si w, r cos u)r si u d r d u d w. Cosidéros l sphère S de cetre O et de ryo R. L formuledech- gemet de vriblepour le pssge e coordoées sphériques doe : p p R d dydz = r si u d r d u d w = 4pR3 uitésdevolume. 3 S r u O w r siucosw Doc. 8. r siusiw y Pour s etrîer :e. 5et Formule de Gree-Riem Théorème 8 Soit K u compct élémetire du pl, dot l frotière esturc G, orieté ds le ses trigoométrique et de clsse C pr morceu. Soit P et Q deu pplictios de clsse C d u ouvert U cotet K ds R. Q P (P(, y)d + Q(,y)dy)= (,y) G y (,y) d dy. K K G Ce théorème est dmis. Voici commet l iterpréter et l utiliser. O itroduit uprmétrge g : t ((t), y(t)) de l rc orieté G, l itervlle de vritio du prmètre étt oté [, b]. E sectio PC G [P(, y)d+q(,y)dy]= b [P((t), y(t)) (t)+q((t), y(t))y (t)] d t est l itégrle du chmp de vecteurs (, y) (P(, y), Q(, y)) le log de l courbe G. E sectio PSI G [P(, y)d+q(,y)dy]= b [P((t), y(t)) (t)+q((t), y(t))y (t)] d t est l itégrle curvilige de l forme différetielle v = P d + Q d y le log de l courbe G. Doc. 9. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 97

300 Alyse PC-PSI Eemple Clculer l ire du compct élémetire K, c est clculer : A = d dy. Si l o choisit P et Q de clsse C suruouvert cotet K tels que : Q K P (, y) (, y) =, y o rmèe le clcul d ire pr itégrle double sur K à ue itégrle curvilige le log du bord de K, orietéds le ses direct et oté G. Voici troissolutios possibles : Q(, y) = et P(, y) = y ; Q(, y) = et P(, y) = ; Q(,y)= et P(,y) = y. L formuledegree-riem prouveque : A = ( d y y d ) = G d y = y d. G G Lorsque K est ue boucledélimitéepr ue courbe polire : [u, u ] R + u r(u) GeorgeGree (793-84), mthémticieglis. y cette itégrlecurvilige doe l ire de l boucle(doc. ). E effet : u ( d y y d ) = G u [(u)y (u) y(u) (u)] d u. u r=r( u) Avec (u) = r(u)cos u et y(u) = r(u)si u, oretrouve: u r (u) d dy = ( dy yd) = G K u du. O u u Doc.. Pour s etrîer :e. 7et8. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3.4. Clcul d ire d ue portio de surfce prmétrée Soit ue surfce de R 3 prmétrée pr l foctio f de R ds R 3 : f:(u,v) ((u, v), y(u, v), z(u, v)). L orme euclidiee usuelle de R 3 estotée et f estdeclsse C. O dmet que l ire d ue prtie compcte S de cette surfce, défiie pr : S = f(d ), où D est ucompct élémetire de R (doc. ), est doée pr: f Aire(S) = u (u,v) f v (u,v) dudv. (u,v) D v D f u Doc.. z S = f ( D) y 98

301 . Clcul différetiel Eemples L sphère de cetre O et de ryo R est prmétrée, àl ide des coordoées sphériques,pr : f:(u,w) R si(u)cos(w), R si(u)si(w), R cos(u) vec (u, w) [, p] [, p]. Les clculsdoet : f u (u,w)= R cos(u)cos(w), R cos(u)si(w), R si(u), f w (u,w)= R si(u)si(w), R si(u)cos(w),, f u (u,w) f w (u,w) = R si(u). Doc, l ire de l sphère de ryo R est : p p A= R si(u)du dw=4pr. Soit ue surfce coue pr ue représettiocrtésiee eplicite : z = g(, y). Cette surfce est prmétrée prlfoctio : f:(,y) f(,y)=,y,g(,y). O obtiet : f f y = + g + g. y L écr ci-cotre motre le clcul de l ire de l portio de prboloïde de révolutio d équtio z = + y délimitée pr (, y) [, ]. 4 Géérlités sur les équtios différetielles o liéires 4.. Défiitios Soit E l espce vectoriel ormé R, R ou R 3, U u ouvert de R E et F ue pplictiode U ds E. O ppelle solutio de l équtiodifféretielle d ordre: toutepplictio w défiie sur uitervlle I vide, telle que w soit dérivblesur I et : X = F(t,X) () t I (t, w(t)) U et w (t) = F(t, w(t)). de R, d itérieur o Rpport Cetrle, 997 «Aurg des otios mldigérées, ous mettros :leclcul différetiel, les équtios différetielles...» De même que pour le cs liéire, ue solutio de() défiiesur l itervlle I estppelée ue I-solutio de (). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 99

302 Alyse PC-PSI Ue I-solutio w de l équtio différetielle () est dite mimle s il eiste ps d itervlle J cotet strictemet I et de J-solutio c de l équtiodifféretielle () telle que : c I = w. 4.. Propriétés élémetires Théorème 9 Soit U u ouvert de R E et F ue pplictio de U ds E. Lorsque l pplictio F estcotiue sur U, toutesolutio w de l équtio différetielle : X = F(t, X) est de clsse C sur so itervlle de défiitio Le théorème de Cuchy-Lipschitz Rpport X-CACHAN, Coformémet u progrmme, ous dmettos le théorème suivt. Théorème :Théorème de Cuchy-Lipschitz Soit U u ouvert de R E et F ue pplictio de U ds E, de clsse C sur U. Pour tout (t, X ) de U, leproblème de Cuchy : X (t) = F(t, X(t)) X(t ) = X dmet ue uiquesolutio mimle, défiie sur u itervlle ouvert. «Lethéorème decuchy-lipschitz est bie cou et ppliqué ds l mjorité descopies.» Eh, oui, il y ps que du égtif ds lesrpports!héls : «Efi, près voir océ que le théorème de Cuchy-Lipschitz e s ppliquit ps (.3), beucoup se cotetet del ppliquer pour résoudre.5, motrt pr là même qu ils viet ps compris le risoemet que l o ttedit d eu.» Applictio 3 Étude qulittived ue équtio de Rictti (D prèsx95) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O cosidère l équtio différetielle (E ) : y = + y,oùydésige ue foctio icoue de l vrible. ) Combie eiste-t-il de solutios mimles impires? ) Soit w ue solutio mimle de (E ) et I soitervlle ouvertdedéfiitio. ) Motrer que w est strictemet croisste sur I. b) O suppose I boré. Motrerque w(i) = R. ) L pplictio F défiiesur R pr : F(, y) = + y, est declsse C sur R. Le théorème de Cuchy-Lipschitz s pplique e tout poit. Toutesolutiomimleimpire est solutiode: y = +y y() = Doc (E ),uplus, ue solutio mimle impire. Soit y l solutio duproblèmede Cuchyci-dessus. O défiit z e post z() = y( ). Vous prouverez que cette foctio est solutio du même problème de Cuchy. Doc z = y et y est impire. (E ) ue uique solutioimpire. 3

303 . Clcul différetiel ) ) Pour tout de I, w (). Doc w est cotiue, strictemet croisste sur I. b) Puisque I est boré, I =], b [vec et b réels. Or, w est cotiue, strictemet croisstesur I. Doc w(i) =] lim w(), lim w() [. b Si lim w() = c = +, lors c R et l o peut b prologer w pr cotiuité e b. Ceci permet de prouver que w est ps ue solutio mimle. C est fu, doc lim w() = +. O motre de b mêmeque lim w() = et isi w(i) = R. 5 Équtios différetielles à vribles séprbles Ue équtio différetielle à vribles séprbles est ue équtio différetielle sclire du premier ordre qui dmet ue forme résolue e y telle que : y = () b(y) () vec et b deu foctios d ue vrible, de clsse C,défiies respectivemetsur des itervlles ouverts I et J. Prélimiirethéorique O ote : U =I J et f (, y) = ()b(y). L foctio de deu vribles f est declsse C sur U et le théorème de Cuchy-Lipschitz s pplique e chcu despoits de cet ouvert de R. Méthodeprtique O commece prdétermierles zéros de l foctio b. Si b(y ) =, l foctiocostte y() = y est solutiode(). O restreit y àdes itervlles ] y, y [où b e s ule ps. L équtio () est lors équivleteà: que l o itègre de l fço suivte. y =() () b(y) Soit A ue primitive de sur l itervlle I et G ue primitive de b sur ] y, y [. Uefoctio y,solutiode() est telle que : G(y) = A()+c, où c est ue cotte. Si l epressioeplicite de y e foctiode est demdée, o détermier l bijectioréciproque de G. Eemple :L équtiodifféretielle = Il s gitd ue équtioicomplète. L pplictio est declsse C sur], + [. Le théorème de Cuchy-Lipschitz s pplique e tout poit (t, )der R +. L solutioulle est ue solutioprticulièredel équtio. Rpport ENS, «Ueemple sur ce poit :cosidért ue équtio différetielle ordiire o liéire u = C u, comme il s git d ue iterrogtio de mthémtiques, plusieurs cdidts commecet pr écrire l équtio «homogèe»ssociée (qui eiste ps puisqu il s git d u problème o liéire) [...]. E revche, lorsqu o leur demde : Si vous étiez ephysique, quelle méthode emploieriezvous?,ils proposet l méthode de séprtio desvribles et effectuet le clculcorrectemet.» Lorsque () = pour tout, l équtioest de l forme : y = b(y). Elle est qulifié d équtio icomplète. L méthode eposée ci-cotre s pplique prfitemet. O boutit à: =G(y)+k, où G est ue primitive de y /b(y). 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

304 Alyse PC-PSI De plus,toute solutio de l équtio différetielle est croisste. Soit ue solutioes ult pssur u itervlle I. Écrivos : =. = C R t I (t)=t C. Les solutios e s ult ps sot les foctios t (t) = (t C) 4 vec t ]C,+ [ Elles seprologet e R-solutios de l équtio epost, pour t C, (t) =. Doc.. Les solutios mimles de l équtio =. t Pour s etrîer :e. 9. Applictio 4 Ue équtio différetielle à vribles séprbles c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Résoudre l équtiodifféretielle : y (4 ) +8y = Surchcudes itervlles : I =], [, I =], [ et I 3 =], + [, l équtioue forme résolue e y : (E) y = 8 (4 ) y (R) C est ue équtio àvribles séprbles. L pplictio: (,y) 8 (4 ) y est declsse C sur chcu desouverts D, D, D 3, vec D = I R, D = I R et D 3 = I 3 R. E prticulier,l foctio ulle est solutio de (R). C estlseulequi s ulesur sodomie de défiitio. Pour ue solutioqui e s uleps,o: y y = 8 (4 ) y = 8 d (4 ) + c. Avec Mple : ÒØ Ü» ¹Ü ¾µ ¾ ܵ y= c( 4) = 4 c +4( c). Pour c =, y =. Cette foctioest défiie sur R. C est ue solutio mimle de 4 (E). Pour c ds ], [, o obtiet des foctios défiies sur R. Ce sot des solutios mimles de (E). Pour c =, y = 4. Les restrictios de cette foctio à R et R + sot des solutios mimles de (E). Pour c ds ],[ ], + [, Les restrictios de : 4 y = c +4( c) 4(c ) u itervlles,, c 4(c ) 4(c ) 4(c ), et,+ c c c sot des solutios mimles de (E). 3

305 . Clcul différetiel Avec Mple : Ö ØÖØ Ä ÓÖ ÖÓÑ ¹½ ØÓ ¾ Ó ÄÄ ÔÐÓØ ¹Ø ¾ µ» Ø ¾ ½¹µµ عºº ݹººµ Ó ÄÄ ÔÐÓØ ¹Ø ¾ µ» º Ø ¾ ºµµ عºº ݹººµ ÛØ ÔÐÓØ µ ÔÐÝ Äµ L := [] 8 y t Systèmes utoomes e dimesio (PC) 6.. Défiitio Soit U u ouvert de R et F ue pplictiode U ds R. Le systèmedifféretiel X = F(X) () est ppeléusystèmedifféretielutoome. Soit I u itervlle de R. Ue I -solutiode ce système est ue foctio X, défiie et dérivble sur I, àvleursds R, ettelle que : t I X (t) = F(X(t)). L courbe prmétrée pr ue I -solutio de() est ppelée ue trjectoiredecesystème. Le pedule rigide, ss frottemet, situé ds upl verticl fourit ueemplesimple de système utoome. E effet, le mouvemet du pedule est prfitemet détermié pr s positio et s vitesse à l istt iitil. Supposos le pedule de logueur l et ppelos l gle de (Oz) et de OM,y l vitesse gulire du pedule. L esemble des couples (, y) est ppelé l espce de phse dupedule. E géérl,oote X = (, y). L foctio F est àvleurs ds R. Soit ( f, g) ses foctios compostes.lesystème X = F(X) équivut à: = f(,y) y =g(,y) Il est importt de oter que l vrible t, qui désige le temps ds les représettios ciémtiques, itervietps ds l écriture du système. 6.. Iterpréttio géométrique U R Soit V : u chmp de vecteurs de (, y ) ( f (, y), g(, y)) clsse C = f (, y) sur U et w ue I -solutiodusystème utoome y = g(, y) L foctio w est telle que : t I w (t) = V (w(t)). L esemble w(i) est ppelé ue trjectoireduchmp de vecteurs V.O prleussi de lige de chmp,decourbe itégrle ou d orbite du chmp V.. O M z L équtio fodmetle de l dymique ous doe : mg si = ml. g E post : v = l, o obtiet : = v si. (t) = y Puis y (t) = v si Àchque istt t, levecteur ( (t), y (t)) e déped quede et de y. Ilest idépedt de t. Ils git d usystème différetiel utoome (d ordre ).Ilserétudiéplusloi. y c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 33

306 Alyse PC-PSI Applictio 5 Le pedule rigide, ss frottemet c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Ceteemplevérifielesystème différetielutoome (t) = y d ordre y (t) = v si Le peduleétudiéétt ss frottemet, il coserve so éergie iitile. Clculer cette éergie e pret m = kg. E déduire les orbites dessolutios. L éergietotledupeduleàl istt t est : E(,y)= y +v ( cos ). (t) = E (, y) y Le système s écrit y (t) = E (, y) L coservtio del éergie etrîe que les orbites dumouvemet sot coteues ds les liges de iveu de E, d équtios E(, y) = C, vec C R +. Cette courbe est otée G C. Si C =, G C = {(kp,)}, vec k Z. Le peduleest immobile. Si C >, les es(o) et(oy) sot es de symétrie de G C qui,deplus, est coservée prtoute trsltio de vecteur kp i, vec k ds Z. Effectuos l étude pour [, p] et y. Si < C < v, les courbes sot défiies sur : Arccos Cv +kp,arccos Cv +kp. Arccos Cv C y Si C v, les courbes sot défiies sur R. p C y C 4v Touteorbite d ue solutiomimleest coteue dsue de ces courbes.réciproquemet,chcue de ces courbesest l orbite d ue solutio. L esembledeces courbes est ppeléportritdephses du peduless frottemet. y Doc. 3. Portrit de phses du pedule ss frottemet Doc. 4. Portrit de phses du pedule ss frottemetàue utre échelle. y 34

307 . Clcul différetiel Algorithmique, TD Prtie mthémtique Courbes itégrles d ue équtio différetielle polire Le problème de Cuchy pour ue équtio différetielle du premier ordre de l forme y = f (, y) cosiste à détermierles solutios vérifitlcoditioiitile : y = y( ),où, y sot doés. Les deu méthodes suivtespermettet de clculer ue tbledevleurs umériques : ) Méthode d Euler : y i+ = y i + hf( i,y i ). b) Méthode de Ruge-Kutt : y i+ = y i + k,vec: k = h 6 (k +k +k 3 +k 4 ); k = f( i,y i ); k = f i + h,y h i+k ; k 3 = f i + h,y h i+k ; k 4 = f( i +h,y i +k 3 h). Nous llos ppliquerces méthodesà lrésolutio pprochéed ue équtiodifféretielle polire. Prtie iformtique Écrire lesprocédures mettt e œuvre ces deu méthodes. Puis ppliquer ces procédures àlrésolutiopprochée deséqutios différetielles: r =r t(5 rct(si u) ), r( p)=, (équtiodem.g.gyllström) r = r si(3ru),r() = ; Pour les deu équtios suivtes,ous vous lissos l joie de réliser leur trcé. r = t(8 rct(si u)), r( p) = ; r =rsi(u),r() =, 5; > restrt:with(plots): > Euler:=proc(f,h,t,r,t) locl t,r,s; s:=null; r:=r; for t from t to t by h do s:=s,[r,t]; r:=r+h*f(t,r); od; plot([s],coords=polr); ed; Euler := proc( f, h, t, r, t) locl t, r, s; ed s := NULL; r := r; for t from t by h to t do s := s, [ r, t ]; r := r + h f ( t, r ) od; plot ([ s ], coords = polr) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35

308 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit > RugeKutt:=proc(f,h,t,r,t) locl t,r,s,k,k,k,k3,k4; s:=null; r:=r; for t from t to t by h do s:=s,[r,t]; k:=f(t,r); k:=f(t+h/,r+k*h/); k3:=f(t+h/,r+k*h/); k4:=f(t+h,r+k3*h); k:=(h/6)*(k+*k+*k3+k4); r:=r+k; od; plot([s],coords=polr); ed; RugeKutt := proc( f, h, t, r, t) locl trskkkk3k4,,,,,,, ; ed s := NULL; r := r; for t from t by hto t do od; s := s, [ r, t ]; k := f ( t, r ); k := f ( t + / h, r + / k h ); k3 := f ( t + / h, r + / k h ); k4 := f ( t + h, r + k3 h ); k := / 6 h ( k + k + k3 + k4 ); r := r + k plot ([ s ], coords = polr) 36

309 . Clcul différetiel > f:=(t,r)->r* t(5*rct(si(t)^)) ; f := ( t, r) r*t(5*rct(si( t))) > G:=Euler(f,.4,,.5,4): G:=RugeKutt(f,.4,,.5,4):disply({G,G}); > f:=(t,r)->r*si(3*r*t); > G:=Euler(f,.4,,.5,4): G:=RugeKutt(f,.4,,.5,4):disply({G,G}); f := ( tr, ) r si( 3 rt) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 37

310 Alyse PC-PSI Eercice résolu ÉNONCÉ Voûte e rc decloître et voûte d rête Pour Piero dell Frcesc (eviro 4-49, peitre itlie), l voûte e rc de cloître et l voûte d rête sot des surfces délimitées pr l itersectio àgle droit de deu demi-cylidres de même ryo r. L voûte erc de cloîtreest l surfce itérieure et l voûted rêteest l surfce etérieure. voûte e rc de cloître voûte d'rête,8,6 z,4,,5 y,5,5,5,8,6 z,4,,5 y,5,5,5 Prdes cosidértios ituitivesqu il justifie, Pierodell Frcesc clcule le volume coteusous l voûteerc de cloîtreettrouve 8r 3 3. Il clcule églemet l surfce de l voûte d rête 4r (p ). O trouveledétil de s démrche ds Pour l sciece, 4. Vérifios ses résultts e pret r = uité de logueur. ) Clculer le volume coteu sous l voûteerc de cloître. ) Clculer le volume coteu sous l voûted rête. CONSEILS SOLUTION ) Soit K = {(, y) R, y }, et W = {(, y, z) R 3 (, y) K et z [, y ]} c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Le volume étudié est, pr riso de symétries, huit fois le volume décrit comme suit. O se plce : u dessusdupld équtio z =, sous le cylidre d équtio y + z =, etre les pls verticu d équtios = et = y. Utiliser u descriptif du volume étudié similire àcelui de l questio précédete. Le volume coteu sous l voûteerc de cloîtreest : ( y ) / 8 d dydz = 8 d z d d y W K = 8 3 uitésdevolume. ) Soit L = {(, y) R, y }, et M = {(, y, z) R 3 (, y) L et z [, y ]} Le volume coteu sous l voûted rêteest : ( y ) / 8 d dydz = 8 d z d d y M L = p 8 3 uitésdevolume. 38

311 Eercices Soit G, l rc d hélice prmétré pr t [,p] et Résoudre l équtio différetielle y = sh y. = Rcos t, y = R si t, z = ht. Clculer I = (y z)d +(z )dy+( y)dz. G Clcul de l itégrle de + e d. Soit v l forme différetielle : v = (3 y + z 3 )d +(3y z+ 3 )dy+(3z + y 3 )dz. Motrerque cette forme différetielle estfermée. Trouver ses primitives ds R 3. Trcer l strophoïde d équtio polire : Soit > fié, K le crré de cetre et de côté, C / le cercle decetre O et de ryo, C le cercle decetre O et de ryo. Comprer les itégrles sur ces domies de l foctio: E déduire + (,y) e y. e d. Détermier l ire de l boucle. r = cos(u + p ) 4. cos u K y C Soit et b deu réels strictemet plus grds que. C Détermierl ireducompct D du qurt depl R + R + délimité pr les droites d équtios y = et y = et leshyperboles d équtios y = b et y = b. / Détermier les coordoées du cetre de grvité d ue demi-sphère homogèe. Détermier le volume itérieur àl ellipsoïded équtio: ) Détermier ue représettio prmétrique du côe C de bse D,compct élémetire du pl Oy, et de sommet S(,,h)(h = ) situé sur (Oz). + y b + z c =, où, b et c désiget trois réels strictemet positifs. Clculer: K ( + y)ddy, vec K = {(, y) R ;, y, + y } pr trois méthodes : clcul direct, chgemet de vribles, formule de Gree-Riem. Détermier l ire du trigle ABC, où les poits A, B et C ot pour coordoées (, ), (, ) et (3,). z ) Clculer le volume de ce côe. S M m D y c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 39

312 Alyse PC-PSI Résoudre l équtio différetielle y = si y. Soit f l solutio mimle de l équtio différetielle y = e y telle que f () =. ) Motrer que f est impire. ) Motrer qu elle est défiie sur R. 3) Motrer que f possède e + ue limite pprtet à, +. e * Le poit mtériel M se déplce sur u e (y Oy) e étt soumis àue force d ttrctioewtoiee : F = v OM OM. O ote y(t) lpositiodupoit M àl istt t. O suppose que y() = y > etoote y () = y. Étudier le mouvemet du poit M. ** O cosidère l équtio différetielle : (t) = si(t) (). ) Motrer que les solutios mimles de () sot défiies sur R. ) Pour tout réel b, oote b l solutio mimle de l équtio vérifit () = b. Étudier l prité de b. Quelle reltiolie b et b? Ds toute l suite, o suppose b >. 3) Motrer que, pour tout t réel, o : b(t) >. 4) Pour k ds N, oote : G k={(t,) (R + ) ;t = kp}. O défiit l pplictio f b de R + ds R +, cotiue et ffie pr morceu de l mière suivte : f b() = b ; etre G k et G k+, legrphe de f b estusegmet prllèle àlpremière bissectrice ;etre G k+ et G k+, legrphe de f b est u segmet prllèle àl e des t. Motrer que : t b(t) f b(t). 5) Motrer que le grphe de f b recotre l première bissectrice. E déduire qu il eiste t > tel que : b(t ) = t. Motrer que : ( t < t b(t) > t) et ( t > t b(t) < t). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3

313 : idictiosetréposes Chpitre 4 ) O vuelgèbre que : P () = f ( j) j= k [, ] k = j k j k. A) ) L foctio w est de clsse C sur [, b] ets ule e +poits disticts de[,b], et les +poits j. Appliquos le théorème de Rolle à w. S dérivée w s ule e + poits disticts de[,b].ue récurrece simple permet lors d étblir que, pour tout k de [[, + ]], l dérivée k-ième de w, w (k),s ule e+ kpoits disticts de[,b].il eiste doc v ds [, b] tel que w (+) (v) =. Or : w (+) (v) = f (+) (v) P (+) (v) De plus, le polyôme P (+) degré,etq (+) = ( +)!. O obtiet : f () P() q () q (+) (v). est ul cr P est upolyôme de f () P () = f (+) (v) ( +)! q(). ) D près l questio précédete, o peut écrire, pour tout de [, b] : f() P () M (+)! q() Oremrque que M ( +)! (b )+. M ( +)! (b )+ e déped ps de et que : lim + M ( +)! (b )+ =. L suite de foctios (P )pproche doc uiformémet f sur [, b]. L foctio cosius fourit u eemple. Preos [, b] = [,p]. Avec Mple,5,5 y Ö ØÖØ ÛØ ÔÐÓØ µ ÄÖÒ ÔÖÓ Æµ ÐÓÐ È Õ ¹µ» Æ ½µ ¼ººÆµ È ÒØÖÔ Õ Ù Ü µ µ ܵ ÔÐÓØ ß ÈРܺºµ Ò Lgrge := proc( f,, b, N) locl bsc, k, P; bsc := [seq( + k (b )/(N +), k =..(N +))]; P := iterp(bsc,[seq(subs( = k, f ), k = bsc)], ); plot({ f, P}, =..b); ed ÄÖÒ Ó Üµ ¼ ¾ È µ B) ) Effectuos ue récurrece sur q. Pour q =, o p = etlpropriété est vérifiée. Supposos que, pour u certi q fié, l reltio () soit vérifiée pour tout p de [[, q ]]. Étblissos cette propriété u rg q +fié. Ds ce but, o v fire ue récurrece sur p. Au rg q +,l reltio () est vérifiée pour p =. Supposos que, pour u certi p de[[, q]],oit : p k= ( ) k q + k q k k+ =+( ) p E déduire l reltio u rg p. q q p +. p p ) Notos, pour tout j de [[, ]], L j le polyôme défii pr : Alors : L j() = P () = k [, ] k = j ( k ) ( j k ). j L j(). j= De plus, pour tout j de [[, m]], j = j et, pour tout + j de [[m +,]] : j = j.o e déduit : P () = m j= + j L j() + j=m+ L j() = ( ) j +. j j L j(). + 3 chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

314 Alyse PC-PSI Doc : P () = m ( ) j j j= + j + j ( ) j j j=m+ + j. + j Posos k = j. E distigut le cs pir et le cs impir, vérifier que : P () = A() B(). 3) A()+B()= ( ) k k k k + k= = ( ) k k +( ) k k + + k= Or,lsomme ( ) k k k= utilist l questio ). k peut être clculée e k + A()+B()=. Avec Mple Ö ØÖØ ÛØ ÔÐÓØ µ ÄÖÒ ÔÖÓ Æµ ÐÓÐ È Õ ¹µ» Æ ½µ ¼ºº Ƶµ È ÒØÖÔ Õ Ù Ü µ µ ܵ ÔÐÓØ ß ÈРܺºµ Ò ÄÖÒ Üµ ¹½ ½ µ Lgrge := proc( f,, b, N) locl bsc, k, P; ed bsc := [seq( + k (b )/(N +), k =..N)] ; P := iterp(bsc, [seq(subs( = k, f ), k = bsc)], ); plot({ f, P}, =..b),5,5 Le système A() B() = P() A()+B() = doe : P () = A(). E utilist l formule (),oobtiet : P () = +( ) m m. m m + 3 y c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 4) Si est pir, = k, m = k et : P () = +( ) k k k k + =+( ) k+ (k)! k!(k +)!. 5) Si est impir, = k +,m=ket : P () = +( ) k k ( k)! k k + =+( )k+ k!(k +)!. Ds tous les cs : f () P () = Utilisos l formule de Stirlig. f () P () = (k)! k!(k +)!. ( k)! k!(k +)! k+. p k 3/ k+ 6) Puisque lim = +,lsuite (P()) diverge etl k + p k 3/ suite (P ) est ps simplemet covergete sur [, ]. Chpitre 5 I.) ((.,.)) est ue forme biliéire symétrique sur E. Pour tout f de E,(( f, f)) = Supposos que (( f, f )) = f () w()d. f () w()d =. L pplictio ( f () w()) est cotiue et positive sur [, ] et w > ;doc f =. Ceci prouve que ((.,.)) est u produit sclire sur E. I.) Supposos l eistece de deu suites (p ) N et (q ) N vérifit () et (b). D près () p = q =. Pour tout etier, l orthogol de P ds P est ue droite, cr dim(p ) dim(p ) =. D près (b), les polyômes p et q sot ds cet orthogol, doc ils sot liés. O déduit lors de () que p = q. Doc l suite (p ) N,sielle eiste, est uique. I.3) O déjà motré que p =. Si p eiste, d près (), p () = + b et, d près (b), 3

315 TD :idictios et réposes = ((p, p )). Doc : = ( + b) w()d = ((p, )) O e déduit b = ((p, p. )) w()d +b w()d =((p, )) + b ((p, p )). I.4) Supposos cous, pour m, les polyômes p m et posos : p = ( ) p b p Le polyôme p m est uitire de degré m, doc p est upolyôme uitire dedegré. Il resteàprouver que, pour k {,..., },((p,p k)) =. Or ((p, p k)) = ((p, p k)) ((p, p k)) b ((p, p k)). Vous vérifierez que ((p, p k)) = ((p, p k)). Pour k 3, (( p,p k)) = ((p, p k)) = cr deg( p k)< et((p,p k)) = ((p, p k)) =. Doc ((p, p k)) =. Pour k = : ((p, p )) = (( p,p )) ((p, p )) = ((p, p )) b ((p, p )) ((p, p )) ((p, p )) ((p, p )) Or, p est u polyôme uitire dedegré. Doc : p =p +q, vec deg(q ) <. Aisi :((p,p )) = ((p, p )) +((p,q )) Doc ((p, p )) =. Pour k =, = ((p, p )). ((p, p )) = (( p,p )) ((p, p )) = ((p, p )) =. b ((p, p )) (( p,p )) ((p, p )) ((p, p )) Doc ((p, p )) =. O prouvé que p vérifie () et (b).d où p = p. O coît p et p,lformule () permetdecostruirelsuite (p )pr récurrece. I.5) Quelques clculs d itégrles vous permettrot de dresser le tbleu suivt : p() = ((p, p)) = (( p,p)) = p() = ((p, p)) = 3 b = 3 p() = p() 3 p()= ((p, p)) = b3 = 4 5 p3() = p() 4 5 p() = ((p3, p3)) = 5 75 b4 = 9 35 p4() = p3() 9 35 p() = (( p,p)) = (( p,p)) = (( p3,p3)) = I.6) Pour tout, ((p, p )) = = p () w()d.l foctio p w chge de sige sur ], [.Orw>, doc p s ule et chge de sige sur ], [. Vous vérifierez isémet que, si le polyôme p s ule et chge de sige e, c est que est uzéro demultiplicité impire de p. D oùlerésultt. I.7) Prcostructio dep,m=deg p. De plus, le polyôme p p ps de zéro demultiplicité impire sur], [. Il est doc de sige costt sur cet itervlle et : ((p, p)) = p () p() w()d = deg p <,etrîe ((p,p)) =. O doc deg p = et p dmet zéros disticts ds ], [. Il e peut ps e voir d utres. II.) L liérité de D est immédite àvérifier. Coseil : relire le chpitre 3 d Alyse où l étude de l cotiuité des pplictios liéires est tritée. Pour tout f de E,o: D( f) f w()d + k l i. k O ote c = w()d + l i.l liérité de D permetdecoclure que cette pplictioest c-lipschitziee. i= II.) Supposos l formule (3) (formule d itégrtio pprochée à k +poits) d ordre m, vec m k +et trouvos ue cotrdictio. Pour tout polyôme p de degré d k +,l églité : k l i p( i) = p() w()d est vérifiée. Notos L = i= i= k ( i). O deg L = k +;doc : i= k l i L ( i) = i= Or L( i) =, doc L () w()d L () w()d =, d où l cotrdictio. L ordre m d ue formuled itégrtiopprochée à k +poits est écessiremet iférieur ou égl àk+. k II.3) Pr costructio, deg f ( i) l i k. De plus : i= j {,...,k} l i( j)= d i, j et k f ( i) l i( j) = f ( j ) C est l défiitio du polyôme d iterpoltio de Lgrge u poits,..., k.doc : p( f ) = k i= f ( i) l i i= 33 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

316 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 34 II.4) p( f )() w()d = = k i= k i= l i f( i) l i()w()d f( i). II.5) O sit que, pour tout polyôme f de P k, f = p( f ). Doc, ds ce cs et d près l questio II.4, o: k f()w()d = l i f( i) i= Ceci prouve que l formule (3) est u mois d ordre k. II.6) Ds l fi de cette prtie,ofie p ds P k+. Effectuos l divisio euclidiee de p pr l : p = ql+r. O sit que deg r < deg l = k +,doc r P k. De plus deg p k +.Ceci etrîe que q P k. II.7) Or p() w()d = + r()w()d q()l()w()d. q() l() w()d =((q, l)) et,pr défiitiodes i, l et p k+ sot deu polyômes uitires de même degréetyt les mêmes rcies. Doc l = p k+ et ((q, p k+)) =, cr q P k. O bie : p() w()d = II.8) Puisque r est de degré k, r()w()d. r() w()d = k l ir( i) d près l questio II.5. De plus, pour tout i de {,...,k},l( i) = etr( i)= p( i). Doc : k p() w()d = r()w()d = l i p( i) O prouvé que, pour tout p de P k+ : p() w() d = i= k l i p( i). Pour le choi idiqué des ( i) ik (les rcies de p k+) etdes (l i) ik (l i = k +. i= i= l i() w()d), l formule (3) est d ordre III.) Scht que p 3() = ,o= 5,= 3 et =. O e déduit : 5 l ()= 5 6 l 5 ()= 3 l ()= ,l = 6, l = 3 5, l = d= 5 9 d= d= 5 9 L formule théorique (9) deviet lors () : f ()d 3 5 f +8 f()+5 f 9 5 III.) E remplçt k pr ds (9),otrouve : D( f) 575 f (6). 3 5 III.3) O trouve : +d = 3 3. (Poser u = +pour fire leclcul «àl mi».) III.4) Le clcul de f (6) ous doe : f (6) = Doc : D( f ) 3 3 = 9, III.5) Le ombre dechiffres sigifictifssetrouve grâce àl erreur reltive. D( f ) f ()d 3,5 4. O se coteter de doer le secod membre de() vec 4 chiffres sigifictifs. III.6) O trouve : 3 5 f +8 f()+5 f 9 5 et D( f ),8 5. 3,797 5 L pproimtio est meilleure que l mjortio théorique (9). III.7) O : et : [ f( ) +4f()+ f()],976 3 f ()d 3 [ f( ) +4 f()+ f()],. L formule de Simpso () est ue formule à trois poits d ordre 3seulemet. Eeffet : f ()d = [ f( ) +4 f()+ f()] 3 pour f =,, et 3 mis ps pour 4. L formule () est ussi ue formule à 3 poits, mis elle est d ordre 5. O costte, sur l eemple utilisé, que l formule d ordre 5 est meilleure que l formule d ordre 3. Ds (), o optimisé le choi des poits d iterpoltio et des coefficiets. Cette formule est ue églité pour les polyômes de degré 5. Il est logique de peser que, plus le degré de l iterpoltiopossible estélevé,meilleureest l pproimtiodel itégrle.

317 TD :idictios et réposes Chpitre 6 A. ) L costructiopr récurrece de l suite (u )est possible cr,pour tout de F, f () est ds F. ) O remrque que, pour tout etier i : u i u i+ = f (u i ) f (u i) ku i u i. O e déduit pr récurrece que : i N u i u i+ k i u u () Si et p sot deu etiers,lors : +p u u +p = (u i u i) i=+ k u u k (u )est ue suite de Cuchy de (E, ). L suite (u )est doc ue suite d élémets defqui coverge ds (E, ).S limite est ds F cr F est u fermé de (E, ). 3) L pplictio f est cotiue sur F cr lipschitziee. L suite récurrete (u )coverge vers, doc = f (). est u poit fie de f. Si et m sot deu poits fies de f,lors : m = f () f (m) k m < m. O e déduit = m. 4) u u +p k u u. k Cette iéglité est vlble pour tout et tout p. Il suffitdefier et de fire tedre p vers + pour obteir : (3) 3) O suppose que f () = g > ;o ote r = g +. Puisque f est de clsse C,ileiste > tel que : y [, l + ] I f (y) r. Si l suite récurrete (u )coverge vers, lors il eiste u etier telque : u. L églité des ccroissemets fiis vous permettr de prouver pr récurrece que : Or p N u +p r p u. lim p + u +p = et lim r p = +,doc u = p + et l suite (u )est costte àprtir de. 4) ) f () = +3 etl=. 5 4 y y= y= f() 3 u 3 < < u < N u l k u u (4) k B. ) Immédit, cr f () =. ) O f (l) = g < et f est de clsse C. Doc il eiste > tel que, pour tout y de [, l +] I, f (y) g +. O peut choisir pour que J = [, + ] I soit u fermé de R. O ote k = g +.D près l iéglité des ccroissemets fiis,pour tout de [l, l + ] I,o: f() l = f() f(l) k l k O e déduit que l itervlle J est stble pr f. L restrictio de f àjest k-lipschitziee cr, sur J, f est borée pr k et k <. Doc l restrictiode f àjest ue pplictiocotrctte de Jet,d près A., est u poit fie ttrctif de f. f, 3, 3 et,sur cet itervlle, f ()., 3 Doc, si u,lsuite récurrete (u )est décroisste. Elle coverge si u, 3 et diverge si u ],[. Le poit fie = est i ttrctif i répulsif. b) f () = e ( ) et =. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35

318 Alyse PC-PSI y y= f() u < u y= L étude epérimetle semble idiquer u poit fie répulsif, ce qu il fudr prouver. C.) f (l) =get f est cotiue e,doc il eiste d > tel que : [ d, + d] g f () g +. L suite récurrete (u )coverge vers, doc il eiste u etier telque : p N u +p [ d, + d]. Pour tout de R, f (), doc l suite récurrete (u )est toujours croisste. Elle coverge siu ],]etdiverge si u ],+ [. Le poit fie = est i ttrctif i répulsif. c) f () = Arct () et=. Le poit fie = est ttrctif. d) f () = 3 + et =. Le poit fie l = est répulsif. e) f () = +,5( ) et =. D près l églité des ccroissemets fiis,il eiste u élémet y de [l d, l + d] tel que : u +p+ = f (y) u +p. Ceci permet de motrer pr récurrece : p N (g ) p u u +p (g + ) p u ) ) Si M =, lors f est costte sur J et u = l pour. b) Scht que f () =, l iéglité desccroissemets fiis prouve que, pour tout : u + M u. O e déduit pr récurrece que : (, p) N u +p M ( M u p ). Or, lsuite (u )coverge vers. Doc, il eiste telque : c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L étude epérimetle semble idiquer u poit fie ttrctif. L feêtre utilisée est (, y) [,] [,]. Vérifierque : f () = ( ) +,5( ) ( ) 3 + o( ) 3 f f () = +( ), 5( ) 3 + o( ) 3. Motrer que est u poit fie ttrctif de f f,puis de f. f) f () =,5( ) et =. M u l. L iéglité précédete prouve qu lors : p N u +p l M p. (b )( f ()+ f(b))) A.)) est l ire du trpèze idiqué ds leschém ci-dessous. y fb () f () y = f() b 36

319 TD :idictios et réposes b (t )(t b) b) (t )(t b) = f (t)dt f (t) t + b b b f (t) + E développt le crochet, o rrive u résultt souhité : b (b )( f ()+ f(b)) f (t)dt = b (t )(t b) c) Àvous de mjorer. ) Soit >. Pour tout k de [[, ]],oote : k =+k b. f (t)dt. f (t)dt. O pplique ce qui précède àchque segmet [ k, k]. 3) L tgeteugrphe de f u poit d bscisse + b pour équtio : Doc : b M +b y= f +b + f b +b f (t)dt (b ) f +b. +b +b f(t) f f t +b dt b M(b )3. 4 t +b dt e utilist l iéglité de Tylor-Lgrge àl ordre. 4) O procède comme àlquestio ). 5) Si f estcovee sur [,b], lors, etre lespoits k et k, le grphe de f est e dessous de l sécte u poits d bscisse k et k,etudessus de l tgete upoit d bscisse k + k. y grphe de f sécte tgete k k+ k k O e déduit : k [[, ]] (b ) f k + k k k (b ) f (t )dt f(k ) E sommt ces iéglités, o obtiet l ecdremet. + f(k). Cet ecdremet ue logueur iférieure à M(b )3 8. Si f estcocve, lesiéglités sot iversées. B.) O trouve D(P k) = pour k ds {,,, 3}. De plus, D est ue pplictio liéire. Oedéduit que D(P) = pour tout polyôme P de degré 3. )) L formuledetylor vec resteitégrleppliquée à f e + b ous ppredque : f = P + R 4 où P est upolyôme de degré 3. L questio ) permet lors de coclure que : b) Si Si R 4() + b, b,lors : +b D( f ) = D(R 4). ( t) 3 3!, + b,lors : R 4() +b (t ) 3 3! M 4 d t = M4 4! M 4 d t = M4 4! + b 4. Le clcul de D( f ) = D(R 4) permet determier. 3) O procède comme u questios ) et 4) de A. + b 4. Coclusio Pour chcue des trois méthodes eposées, o peut dire que l o pproche l vleur moyee de f sur : b [, b] b f (t)dt pr ue moyee podérée de vleurs de f : m i f(y i)vec i= m i =. i= c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 37

320 Alyse PC-PSI Lestroiscopies d écrs ci-près vous permettet de comprer les trois méthodes et d epérimeter l esemble vec d utres foctios. b) 3 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Remrque : Ds les trois méthodes eposées, le choi des poits d iterpoltio est simple et imposé. Le TD du chpitre 5epose l méthode de Guss de clcul pproché des itégrles. Ds cette méthode, les poits d iterpoltio sot les zéros de certis polyômes. L précisio de l méthode est plus grde,mis ellecomporte plus declculs itermédiires. Il fut ussi oter que,plus le ombre depoits utilisés pour le clcul pproché est grd et plus l erreur d rrodi est importte. Chpitre 9 Prtie I ) ) Immédit e utilist les propriétés de f,p-périodique et impire. ) L foctio f t est impire, les ( f t)sot uls. Pour tout > : b ( f t)= p = ip p p = p Im p ch (t)si()d e t +e t e i e i d e (t+i ) +e ( t+i ) d = p + t +( ) + ch (tp). 3) ) L foctio f t est p-périodique, de clsse C pr morceu sur R, opeut ppliquer le théorème de covergece simple de Dirichlet. Lsérie de Fourier de f tcoverge simplemet sur R vers l foctio régulrisée de f t,qui est f t,et: [ p,p] f t()= = b) E prticulier : p +t +( ) + ch (tp) si. ch t p = p ( +ch(tp)) ( ) p (p +) (p +) +t. p= 4) ) O sit que : D où : +ch (tp) = ch t p ch t p = 4 p b) Pour t =, o obtiet : p=. ( ) p (p +) (p +) +t. p 4 = ( ) p p +. Prtie II ) L foctio f est cotiue et pire sur R. De plus, sur R + : f (t) e t. L foctio t e t est cotiue et itégrble sur R +. L foctio f est doc itégrble sur R. O e déduit que l foctio t f (t)e i t est cotiue et itégrble sur R. 38

321 TD :idictios et réposes De plus, motrer que : F() = O e déduit que : R F() = Re(F()) = f (t)e i t dt = F( ) = F(). R cos(t) ch t cos(t) d t = d t. R + ch t cos(t) e t ) ) d t = cos(t) dt R + ch t R + +e t = cos(t)( ) p e (p+)t d t. b) Cosidéros lsuite de foctios cos(t)( ) p e (p+)t défiies et cotiues sur R +. Cette suite de foctios coverge simplemet, sur R +,vers l foctio cotiue et itégrble : t cos(t). ch t De plus, pour tout réel fié ettout t > : cos(ct)( ) p e (p+)t = cos(t)e t ( ) + e (+)t p= +e t cos(t)( ) p e (p+)t 4e t 4e t. +e t p= L foctio t e t estcotiue et itégrble sur R +. Le théorème de covergece domiée s pplique et : cos(t)( ) p e (p+)t d t = cos(t)( ) p e (p+)t d t = p = ch p. ( ) p (p +) (p +) + Et : p F() = ch p. 3) O ote F l trsformée defourierdelfoctio : f :t. p ch t E utilist,sur u segmet [, A]coteu ds R +,lechgemet de vrible défii pr u = t p,oobtiet : F () = Et : cos(t) d t = p ch t F = p f. p F. p c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 39

322 Eercices :idictiosetréposes c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Chpitre Arct ) Pour = et=, il eiste k Z telque : Arct =Arct + k p. + Ici >, doc k =. Soit N et S = Arct k S = Arct +Arct +Arct Arct Arct +. O e déduit : ) = N ) Arct k = 3 p 4. (+) (+) =. ( )(5 4 ) L série diverge. ) S = l = = N N 4 5 k + k + = cos k = l si(). si L série coverge et k+ k. l cos = l k si()... S = = p/ p/ Avec Mple : ( ) k cos k d +cos d +( ) ÒØ ½» ½ Ó Üµµ ܼººÈ»¾µ De plus, p/ cos + d +cos p/ p/ cos + d +cos. cos + d qui ted vers lorsque ted vers +. Il s git d ue itégrle dewllis. Ellesot été étudiées e Première ée et o les retrouver e d utres occsios. p/ L série coverge et ( ) k cos k d =. Il eiste N ds N telque : N Prrécurrece, pour tout : u u u v v et u + u v v Pour 3, / = ep l(). Pour 3: ( / ) (/). L série coverge. Lsérie, bie qu lterée, e vérifieps lecritère spécil des sérieslterées. u ( ) et u ( ) = (l()+( ) ). L série ( ) coverge etlsérie : est àtermespositifs, divergete, cr : (l()+( ) ) L série u diverge. (l()+( ) ) l(). 3

323 Eercices :idictios etréposes ) si et >. ) u = Arccos / et 3 u si (u ). lim + Or si u =. L série coverge. 3/ l ) = o. L série diverge. 3/4 ) l = o. L série coverge. 3/ 3) (l )3 = o 3/. L série coverge. u =, doc : ) L foctio t est positive, cotiue et décroisste sur [, t + [. O doc k k + = L série u diverge. k+ k d t t k,puis + u. ) E procédt de mière logue, motrer l covergece de l série. ) Si >, l sérieest grossièremet divergete. Si [, [, l série coverge, cr elle vérifie le critère spécil des séries lterées. Si =, elle diverge. Si ],[, le critère de d Alembert s pplique, l série coverge, isi, bie sûr, que pour =. ) L série est à termes strictemet positifs. Le critère de d Alembert doe l covergece de l série lorsque <, s divergece lorsque >. Si =, l série est grossièremet divergete. 3) O utilise l règle ded Alembert. = + u +b. + u + Si b, l série coverge. Soit b ds ],[.O l ( + b k ) = k= l( + b k ). Or,lsérie l( + b k )coverge, cr l( + b k ) b k. L suite ( + b k ) doc ue limite L >. k= O e déduit u L. L série u diverge. u + 4) lim = r. + u Pr coséquet, sir <, l série est bsolumet covergete, doc covergete. Si r >, l série diverge. Si r =, u e. L série diverge. u = L série géométrique coverge, doc u 3 + coverge. De plus : S S N = R N N+ Il suffit esuite de clculer N pour obteir 3 = N 4 9 N < 4. Mple viet e ide et fourit N = 3, S 3 =, ) =, =, 3 + y Et 3 y =, = y. D où : = ) L clcultrice idique 4 =, Vérifieresuite pr le procédé développé ci-dessus que : 4 =, ) O remrque qu u ombre déciml est rtioel et que s représettio décimle propre vérifie l coditio idiquée. Soit = p u rtioel de ],[,sous formeirréductible,vec q q N k et = so développemet déciml. k p = q b + r et r [[, q ]], d où b =. r = q b + r et r [[, q ]], d où b =. Puis,pr récurrece : r i = q b i+ + r i+ et r i+ [[, q ]], Motrer que, pour tout i : b i = i. Lesrestes r i pprtieet à[[, q ]]. Il eiste doc i et j,disticts, tels que r i = r j. Esuite,pour tout k, i+k = j+k. k Réciproquemet, soit = tel que l suite ( k)soit k périodique, de période p. Alors : p = j j p = ip p j= i= p ( j j ). Si est périodique àprtir du rg m, lors : m m k est périodique. est doc rtioel. k j= 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

324 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3 ) O fie > etopplique le critère de Cuchy. Il eiste N ds N telque, pour tout N : Or, + + u k <. () u k u. Doc, pour tout N, o: De plus, pour u tel : u. ( +)u + ( +)u +u 3 (eutilist ()) Doc, pour tout m N, mu m 3. D où : lim u =. + ) L réciproque est fusse. Cosidérer lsérie l(). Chcue de ces séries vérifie lecritère spécil des séries lterées. O coît lors lreltio R u +. ) u + dès que 49. Avec Mple :, 78 3 S 49 S S 5, ÚÐ ÙÑ ¹½µ Ò» ¾ Ò ½µ Ò¼ººµµ ÚÐ ÙÑ ¹½µ Ò» ¾ Ò ½µ Ò¼ºº¼µµ ) u + dès que 4. Avec Mple :,7 S 5 S S 4,7. ÚÐ ÙÑ ¹½µ Ò» ¾ Ò ½µ Ò¼ººµµ ÚÐ ÙÑ ¹½µ Ò» ¾ Ò ½µ Ò¼ººµµ L suite ( )covergevers,doc, pour ssez grd, o. ) Avec Mple : ÜÔ½ ½ ½» Ò ½µµ Òµ ÜÔ¾ ½» Ò µµ Òµ Ö ÜÔ½¹ÜÔ¾ ÒÒÒØÝ µ 9 e3 e e e3 + O. Si =, = O(u) etlsérie diverge. Si =, u = O et l série coverge. ) Si z <, lors lim u =. L série est grossièremet + divergete. Si z >, lors u = O. L série coverge. Si z =, lors Re =.L série diverge grossiè- remet. +z z O pose =, et, pour p, p = pour tout p, b p = p!.,isi que, p O recoît le terme géérl du produit de Cuchy des séries p et b p. Ces deu séries sot bsolumet covergetes. L série w p coverge. De plus : w p = p O pose v = l u. = p p! 6 e. v v = l +l + ( ) = ( ) + O. 3/ L série (v v ) coverge cr elle est l somme d ue série lterée covergete et d ue série bsolumet covergete. L suite (v )coverge doc vers u réel. O e déduit u e. L série u diverge. v = Or, lsuite ) O remrque que v = u +u et,pour : ( + u )(+u )...( + u ) ( + u )(+u )...( + u. ) k= +u k Elle coverge vers. Doc, l série v coverge et: v = u +u + est décroisste, positive. +u =.

325 Eercices :idictios etréposes ) O e déduit : v = = lim ( + u)( + u)...( + u) = + lim l( + u k) = Si (u )eted ps vers, l suite (l( + u )) e coverge ps vers. Ds ce cs, lesdeu séries u et l( + u ) diverget et lim l( + u k) = +. + Si (u )ted vers, pour ssez grd, o: u l( + u) u. Lesséries u et l( + u )sot de même ture. D oùlerésultt. ) O ote T = T +k T = k i= +i S +i k S k. Alors : k i= +i = S. S +k S +k S Or,pour tout fié, o lim =. Doc, il eiste k > k + S +k telque T +k T. L suite (T )estisfit ps le critère de Cuchy,doc diverge. ) Scht que = S S,o: S L suite = S S S S S S S S = S S () coverge, doc l série S S coverge. L mjortio () prouve que l série coverge. S séries e i ) O remrque que, lorsque = k p (k Z), les Soit ],p[. et cos diverget. O clcule les sommes prtielles delsérie e i S = = k= e ik k = k= e i e i t dt e ik t k dt = (e i t) e i t ei d t. : (e i k t k )dt k= O motre que + (e i t) lim e i t d t =. (e i t) e i t d t t e i t d t. Or e i t sup(( t cos ), t si ). y O e i t t e i tsi e tcos De plus, l foctio:t t cos est cotiue sur [,]et àvleurs strictemet positives. [, ] est u compct der.cettefoctio dmet doc sur [,] ue bore iférieure >. L série coverge et : (e i t) e i t d t e i ) e i t d t = e i k k = t d t = e i e i t dt. t cos t t cos + dt +i ( +). i si (t cos ) +si d t = [l(t t cos +)] (t cos ) +i Arct si = [l(t t cos +)] +i Arct t +Arct ], p[ e i si e i t d t = l p +i. (si = p) p t. Si = p, le clcul de l secode itégrle est plus correct. Toutefois, elle est ulle. Lerésulttest ecore vlble. ]p,p[ e i si e i t dt = l = l si +i p + p + p p +i. chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 33

326 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3) O e déduit, e cosidért les prtiesréelles etimgiires de l série e i,que les séries cos coverget, pour fiéds ], p]. De plus : cos = l si et si et si = p. L foctio t t est décroisste sur R+,doc : u k u k u k = uk u k d t u k uk u k d t t uk u k E dditiot : u k u k l(u ) l(u ) u k d t uk uk =. u k u k u k u k u k. O ote M u mjort des u + u. L coclusiosouhitée découle lors de : u k u k u k u k M u k u k u k u k M u. Si = b, lsérie est ps défiie. Si < b, lors u b. L série est lorsbsolumet covergete sib>, et divergete sib. Si b <, lors : u ( ). Doc, pour, l série u diverge grossièremet. Pour >, cet équivlet e permet ps de coclure cr l suite (u ) est ps de sige costt. u ( ) b = [ +( ) b ] b. O écrit u = ( ) + v,vec v b. L série u coverge si, et seulemet si, b <. b < b b > covergece < b b < divergece b < < Divergece = b b = b < b < covergece b< > b divergece ) ku k = R k R R k. Si l série R coverge, l série u coverge ussi. O suppose l série u covergete. Alors : R k = ku k+r Doc, l série R coverge. ku k+ u k ku k ) Lorsque ces séries coverget, les reltios étblies : ku k R k doet l églité des limites. ) Puis : D où : ) O écrit : et + R k ku k ( ) k (k +) = ( t ) + dt. +t ( t ) + +t t + d t +3 ( ) k (k +) = p 4. p u =l t 4 R, vec R = + t R =l = t R + o(t R ) +t R ( ) k (k +) L série ( ) k vérifie le critère spécil des séries lterées, doc (k +) +5 R +3. Soit R. Puis u +t R = o bsolumet covergete.,lsérie (u +R )est doc De plus, l série R est ue série lterée. O motre qu elle vérifie le critère spécil. R = Doc : R R + = lim N N + + ( ) k k + ( t ) k d t N lim N + ( t ) k d t 34

327 Eercices :idictios etréposes Soit : O ppelle R le umérteur de g () vec : R R + = L série u est doc covergete. ) O peut écrire: t + t +4 +t dt +tdt > ( ) +( ) + = ( ) + + o. 3/ 3/ Pr coséquet, somme de deu séries covergetes et d ue série bsolumet covergete, l série ( ) +( ) + coverge. ) O pproche l somme S pr ue somme prtielle. Pour ccroître l précisio et trviller vec des termes de sige costt, o regroupe deu pr deu lestermes de l série. S N+ = N+ = u = N = O pose, pour : g()= () ( +)+ + () ( +)+ +.. L foctio g est positive. O fit ppel à Mple pour étudier lesvritios de g. Avec Mple : Ö ØÖØ Ü¹½» ¾ ܵ¹ ÕÖØ ¾ ܵµ ¹½» ¾ Ü ½ ÕÖØ ¾ Ü ½µµ ܹ ܵ ܵ ܵ ÔÐÓØ Üµ ܽººÒÒØݵ ÑÔÐÝ Üµµ g := ++ + h:= diff (g(), ) ifiity R()=3 +( ) + +( ) / + 5/ +4 3/ +4. L foctio g est doc décroisste. O e déduit : N+ + g(t)dt S S N+ = N+ O ote G ue primitive de g. Avec Mple : g() = g() N+ g(t)dt. ÙÑ Ü½µ ÒØ Üµ ܵ l( ) Arcth l( ) Arcth + O e déduit : G()= l l l + et : lim G() = + l(). Pr coséquet S S N+ l() G(N). O remrque que l() G(N). Avec Mple : ܹÐÒ ÕÖØ ¾ ܹ½µ» ܵµµ ¹½»¾ ÐÒ ÕÖØ ¾ ܵ ½µ» ÕÖØ ¾ ܵ¹½µµ¹½»¾ ÐÒ ÕÖØ ¾ Ü ½µ ½µ» ÕÖØ ¾ Ü ½µ¹½µµ ÐÑØ Üµ ÜÒÒØݵ Ö Üµ ÜÒÒØÝ ¾µ G := l + l ++ l + l() l() 4 4 3/ + O N+ L covergece est lete. Plus précisemet, l() G(N) décroît vers lorsque N ted vers +. Pour voir l() G(N),ilsuffit de predre N = c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

328 Alyse PC-PSI Avec Mple : ÕÙ ¾ ܹ½µ ÕÖØ ¾ ܵ¹½µ ÕÖØ ¾ Ü ½µ¹½µ» ܵ ÕÖØ ¾ ܵ ½µ ÕÖØ ¾ Ü ½µ ½µµ ÓÐÚ ÕÙ¾ ÜÔ ¹¾ ½¼ ¹¾µµ ܵ ÚÐ µ ( ) + equ := ÚÐ ½»¾µ ÐÒ ¾µ¹ ¾¼¼¼µµ ÚÐ ½»¾µ ÐÒ ¾µ¹ ¾¼¼½µµ ) Puisque Mple clculevecue précisio supérieure à 7, o obtiet S =, 86 à près. Avec Mple : Ë ÙÑ ÚÐ Òµµ Ò½ºº¾¼¼½µ S := ) L foctio p + p, p + p R, t, est strictemet croisste etcotiue. De plus : et : lim ) = ( p + p)+(t (+ p lim ) = +. +p) (t Elle rélise doc ue bijectiode] p +p,p +p[sur R. D oùl eistece etl uicité de. Avec Mple : y ) O p + p < < p + p,doc : p, soit = p + o(). O pose lors y = p. L suite t(y ) = ted vers + et y ted vers p. D où : = p + p + o(). U développemet symptotique à trois termes est demdé et écessite de préciser z = p p. O t( ) = cot(z ) = p + p + z. Puis t(z ) = p + p + z p. Et efi = p + p p + o Pour obteir ledéveloppemet symptotique vec Mple, o pose : u = ( +)p. Avec Mple :. Ö ØÖØ Þ ÓÐÚ Ù Ö ½» ØÒ È»¾ Þµ ¹Þµ Þµ Þµ ÝÑÔØ Ù Ø Ù¾» È ¾ Ò ½µµ ½»Ù Þµ Òµ z := u 3 u3 3 5 u5 + O(u 6 ) p + p p + p + 4 p 3 p p p p p + p O 6 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Ö ØÖØ ÔÐÓØ ßØÒ Üµ ÜРܼºº È Ý¹½¼ºº¾¼µ 3) O u ( p). L série u coverge si, et seulemet si, >. De plus, t u = t. Puisque t + = + > t = >, o : u + < u. L suite (u )est doc décroisste, de limite ulle. Lecritère spécil des séries lterées permet d ffirmer lcovergece de l série ( ) u. Efi : cos m ( ) = ( ) m si m (u ) ( ) m u m. Si m >, l série est bsolumet covergete. Si m =, le critère spécil des séries lterées s pplique pour l série ( ) m si m (u ). L série coverge. 36

329 Eercices :idictios etréposes ) S (v) = De plus, o : k, = v i = i= (k+)/ik ( k +)/i i i i= i k=i i u k si k [[, ]] = k, u k. k= si k [[ +, ]]. N De plus, l somme b k est fiée et eiste doc M ds N telque : M Doc, pour tout M,o: lim + N b k S (). S (b) S (). k = +. Il k k= i i = k + k= i b) L hypothèse b se trduit pr b = o( ), et o pplique le ). c) O pose = et b = l +. u+ ) ) O clcule l. l u+ u u = l l + v = l +v+k l + v. Ds tous les cs : k, (k+)/ik i i (k+)/ik k + L somme comportt ectemet E déduit : k, [,]. k +. termes, o e L covergece de l série u etrîe doc celle de l série v. ) O miore S (v). S (v) k, u k = Or (k+)/ik i k= k k =. k= (k+)/ik u k. i Pr coséquet, S (v) S(u). L divergece de l série u etrîe celle de l série v. ) ) O fie >. Il eiste N ds N telque : k N b k k. Doc, pour tout N, o: b k b k k=n k=n k S (). k=n L suite (K )est borée. O ote K u mjort de cette suite et o pose : w = v + K l + v. w est mjoré pr lsomme de termes gééru de séries positives covergetes. L série w coverge bsolumet. b) l uk+ u k = l(u +) l(u ) = l O sit que k = l()+g+o(). O pose g = k l(). l(u +) l(u ) = l (g +l()) + Puis u + = u l ep O ote w = lg + w k. w k et A = u ep( lg+w). Alors u A l. c) Ici, u+ = 3 u + O. Doc, ileiste A > tel que : L série u coverge. u A 3/. k + w k. w k. 37 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

330 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) Si S =, lors Doc l série v diverge. Si l série v coverge, S =. ) N w = N ku k k= =k =S N N+ u k S et v S. N N (+) = ku k k N+ k= N k(s k S k ) k= = N+ SN+ N N+ N N S k. k= Le terme N S k ted vers S lorsque N ted vers +, cr il N k= s gitd ue moyee de Césrod ue suite de limite S. Doc, l série w coverge et w =S. 3) (k +) k k k =(+) et ( +) = (k+) k k k u k. L moyee géométrique de réelspositifs estiférieureàleur moyee rithmétique, doc : ( +) (k+) k k k u k (+) Doc e w. L série covergeet Chpitre L iéglité découle des propriétés delorme. eku k. es. L liérité de f permet d étblir trois des qutre propriétés de l défiitio d ue orme. L églité N() = équivut à f () = E. Doc N est ue orme si, etseulemet si, f est ijective. Il suffit de remrquer que : N u u +. Il suffit d ppliquer l iéglité de Cuchy-Schwrz à u et à v,défiie pr v = : u N(u) N(v) = p 6 N (u). L forme del epressio de N() (rcie crrée de crrés etproduits)suggère demotrerque N est lorme ssociée àuproduit sclire sur R. L églité de polristio impose, pour = (, b) et = (,b ): w(, )= N(+ ) N() N( ). = + b + b +5bb. O justifie esuite ss difficulté que w défiit bie u produit sclire sur R. L seule propriété défiisst ue orme qui e soit ps vérifiée vec toutefoctiopositive et cotiue f est N f (P) = P =. Soit P u polyôme de K[X]tel que N f (P) =. Alors : t [,] P(t)= ou f(t) =. Si f est ps ulle sur [,], il eiste u itervlle [, b], vec < b, coteu ds [,] sur lequel elle e s ule ps cr elle est cotiue. P devr lors s uler sur [, b] et P ser doc le polyôme ul. L coditio écessire et suffiste recherchée est doc f =. ) Il s git deprouver l églité de deu esembles. O procède pr double iclusio : z +B(y,r) u B(y,r) z=+u Doc : z ( + y) = u y < r. O e déduit que z B( + y, r). Réciproquemet. Soit z ds B( + y, r). Alors z ( + y) < r, doc z B(y, r). Puis z + B(y, r). ) Immédit e utilist l défiitio d ue boule. Si est u vecteur de E différet de, levecteur + r pprtiet à BO(,r), doc à F. F est u sousespce vectoriel de E., puis, pprtieet à F. Doc F = E. Si O = [, lors A + O = [. C est u ouvert de E. O suppose O = [. Soit (, b) ds A O. O éttuouvert de E,ileiste r > tel que l boule ouverte BO(b,r)soit coteue ds O. Alors BO(+b,r) = + BO(b,r)est coteue ds A + O,qui est doc u ouvert de E. Soit u poit de E. O d(, A) = si, et seulemet si,pour tout >, l boule BO(, )cotiet des poitsdea. 38

331 Eercices :idictios etréposes )(PSI) F étt u sous-espce vectoriel de E et u poit dhéret àf,ocosidère ue suite ( )depoits def coverget vers et ue bse(e i) i [, p ] de F. O écrit ds l bse (e i) i [, p ]. L covergece de l suite ( )etrîe les covergeces des p suites de coordoées ds K et l pprtece de à F. Doc F est fermé. (PC)Ocosidère ue bse (e i) i [, p ] de F, complétée e ue bse (e i) i [, ] de E. L espce E est mui de l orme : p ie i = Si pprtiet ps à F,lors : = p i. p ie i +u,etu = est ps ds F. Alors, pour tout vecteur de F : u. O pose : r = u >. Alors : BO(,r) EF. Le complémetire de F est ouvert. ) Il suffitd utiliserl eercice 8 pour coclure que E est leseul sous-espce vectoriel ouvert de E. Soit ds E et r >. ) O ote BF(,r) l esemble des poits itérieurs à BF(,r). BO(,r) est u ouvert coteu ds BF(,r), doc tout poit de BO(,r) est itérieur à BF(,r). D où BO(,r) BF(,r). Soit tel que = r et r >. B (,) r Soit tel que = r. est limite de l suite ( )debo(,r)défiie pr = + ( ). Doc BF(,r) BO(,r). L esembledes poitsdhérets à BO(,r)est BF(,r). Motrer que l A est u fermé boré de E. ) L foctio N est ue orme clssique, souvet otée N. O suppose N ( f ) =, lors : f() = et f () d =. Or l pplictio f est cotiue, positive sur [,], doc f est l foctio ulle, et f est costte. De plus, f () =, doc f = E. Pour N,costter que N ( f ) = f () + N ( f ). ) Pour tout t de [,], f (t) = f ()+ t f (t) = f ()+ O e déduit :N( f)n ( f). Puis : t f ()d f() + f ()d,doc : f () d. N ( f ) = f () + N( f ) f () + N ( f ) = N ( f ). 3) O ote f () =. Il est isé de costter que, pour : N( f )= +, N ( f )= et N ( f ) =. O e déduitque, deu àdeu, lesormes N, N et N e sot ps équivletes. B (,) r r y= + O motre que e peut être itérieur à BF(, r), c est-à-dire que BO(,r) est ps icluse ds BF(,r).E effet : y=+ r BO(,r) et y = r + r > r. L esemble des poits itérieurs àbf(,r)est BO(,r). ) O ote BO(,r) l esemble des poits dhérets à BO(,r). BF(,r)est u fermé, doc tout poit dhéretàbf(,r)est ds BF(,r). Tout poit dhéret à BO(,r)est doc ussi ds BF(,r).O e déduit BO(,r) BF(,r). ) L pplictio w : E E R ( f, g) f () g()+ f (t)g (t)dt est u produit sclire. N est l orme ssociée à ce produit sclire. ) Puisque f est de clsse C sur [,], o peut écrire : [,] f() = f()+ [,] ( f()) = f ()+ Or f () f ()+ f() f (t)dt f (t)dt.doc : f (t)dt f (t)dt + f (t)dt. f ()+ f (t)dt. 39 chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

332 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 33 Avec l iéglité de Cuchy-Schwrz : f (t)dt f (t)dt O obtiet isi : [,] ( f()) = ( f ()+ dt = f (t)dt. f (t)dt)=n( f). D oùlerésulttsouhité : f N( f ). 3) O cosidère lsuite ( f )dee N défiie, pour N,pr f () =. / f = et N( f ) = t dt =. Lesormes et N e sot ps équivletes, cr : N( f ) lim = +. + f ) L pplictio w estbiliéire et : w(a, B) = tr( t AB) = tr( t ( t AB)) = tr( t BA)=w(B,A). Soit A = ( ij)ue mtricedem (R). w(a,a)=tr( t AA) = i= k= ki. De plus, si w(a, A) =, lors A =. w est doc uproduit sclire sur M (R)etsorme ssociée est : N(A) =. (i,k) ) N(A) = tr( t AA) = tr(a t A) = N( t A). 3) ) O ote A = ( ij), B = (b ij), C = AB = (c ij). N(AB) = i,j c ij = i,j ik ikb kj. L iéglité de Cuchy-Schwrz,ds l espce R mui du produit sclire y = k y k,doe : k d où o déduit : cij i,j ikb kj k k i,k ik j,k b jk ik k b) L églité lieusi, et seulemet si: (i,j) [[, ]] ikb kj = k k k b kj = N(A) N(B). ik k b kj. Or, ils gitd églité de Cuchy-Schwrz. Si A =, l églité est vérifiée pour toute mtrice B. Si B =, l églité est vérifiée pour toute mtrice A. Si A et B sot o uls, o sit que cette églité estréliséesi, et seulemet si, les vecteurs ( i,..., i) et(b j,...,b j)sot coliéirespour tous i et j. Lesmtrices A et t B ot doc leurs liges proportioelles, ellessot de rg. Et,deplus, o doit voir Im A = Im t B. Réciproquemet, sirg(a)=rg ( t B) = et Im A = Im t B,lors l églité est vérifiée. ) O pose = l >. Alors : N N N < l + l +. O e déduit pr récurrece : puis lim + N N(l ) N, = +. ) O étudie lfoctio f défiie sur R pr : f () = ( +) +. f est pire, dérivble et f ()= ( +) ( +). + f() ( +) O peut doc supposer que u ], ( +)]. Cet itervlle est stble pr f et f est décroisste sur cet itervlle. Les suites (u )et(u +) sot doc mootoes, l ue croisste et l utre décroisste. Borées, elles coverget. Leurs limites sot poits fies de f f. O précise les poits fies évetuels de f,puis de f f. f()= ( )( + + +)=. f f()= 5 ( +) ( +) +( + ( +) ) ( +)=. Puisque toute rcie réelle ou complee de f()=est solutiode f f()=,opeut fctoriser l équtio obteue : f f () = ( )( ++ +)( ( +)+) =. L équtio ( +)+=pour discrimt : D = ( )( + +)(( +)+).

333 Eercices :idictios etréposes Avec Mple : Ö ØÖØ ÛØ ÔÐÓØ µ ÙØÊ ÔÖÓ Ò Äµ ÐÓÐ Ü Ö ½ Ü ³Ü³ ½ ÔÐÓØ ß Øµ ØРؼººÄ ÐÒÓÒ ØÖÒµ Ö ÆÍÄÄ Ü ½º¼ ØÓ Ò Ó Ö Ö Ü Üµ ܵ ܵ Ü Üµ Ó ÔÐÓØ Ö µ ÔÐÝ ß½ е Ò = Deu cs peuvet lors sepréseter : t, l équtio f f () = dmet ue seulercie réelle, doc l suite (u )coverge vers ; >, l équtio dmet trois rcies, b, c et ces rcies sot distictes cr est psrcie de ( +)+ =. Si u =, lors l suite (u )est sttioire. Sio, f () =, f (b) = c et f (c) = b. De plus, o : Doc : f ()= +. f () >. Si l suite (u )covergeit vers, ourit : et : lim + u + u lim u + = f () = f (u ) = lim = f () >. + u L questio précédete motre que ceci est impossible. L ue des deu suites etrites coverge doc vers b, l utre vers c. L suite (u )diverge (voir schém). ) O cosidère C l esemble des poits dhérets à C,, y deu poits decet esemble ettu réel de ],[. et y sot respectivemet limites de( )et(y ), deu suites de poits de C.Le poit t+( t)yest doc limite de l suite (t +( t) y ), qui est ue suite d élémetsdec.l esemble des poits dhérets à C est doc covee. v t +( ) ty y y t+( ) ty y ) O cosidère C l esemble des poits itérieurs àc,,b deu poits decet esemble ettu réel de ],[. v C BO(,) r u BO( t+ (- t)b,) r u t+ (- tb ) BO(,) br u u b O prouve que t+( t)best u poit itérieur à C. Ileister > tel que lesboules ouvertes BO(,r)et BO(b,r) soiet coteues ds C. O motre que l boule ouverte BO(t +( t)b,r)est ussi coteue ds C. BO(t +( t)b,r) =t +( t)b+ t( )+( t)( b). O pose u = [t +( t)b]=t( )+( t)( b). Alors, ou<r. Doc, + u BO(,r) etb + u BO(b,r), puis + u C et b + u C. L coveité de C doe : t( + u) +( t)(b + u) = C. L esemble des poits itérieurs àcest doc covee. O ote A, le cetre de l boule B et o fit ue figure. O costte lors deu cs différets. y O B 4 B 6 B A 4 A 6 A C u k = c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 33

334 Alyse PC-PSI y B puis : N(u f(u)) N(u u +)+N(u + f (u)) N(u u +)+N(u + u )+N( f(u) u); c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O B 4 B 6 A 4 A 6 A k = O sit que deu cercles de cetres C et C,deryos R et R, sot emboîtés si, et seulemet si, d(c, C ) R R. Si k + k +,c est-à-dire si k, lors B + B. Lesboules B sot emboîtées. B = B et B est fermé. Si k <, les boules e cotieet ps O. Mis toute boule ouverte decetre O recotre B. B est ps fermé. Doc : Pour coclure, ) O sit que, pour tout de [, ], o : f() f () = + +. lim + N ( f f ) +. + =, doc l suite ( f) coverge vers f ds (E, N ). f est ps ue foctio polyôme. ) L espce vectoriel F des foctios polyômes sur [, ] est u sous-espce vectoriel de E qui est ps fermé ds (E, N ). Soit u ds E,ocosidère lsuite (u )défiiepr u et : N u + = f (u ). N(u + u +) N(u+ u). Or ],[.O pose k =. Prrécurrece : N N(u + u +) k + N(u u ). N p N N(u +p u ) N (u + j u + j ) j [, p ] N (u u ) j [, p ] k + j N (u u ) k k. L suite (u )est doc ue suite de Cuchy de R. Elle coverge vers u ds R. L reltiovérifiée pr f doe : N(u + f (u)) N(u + u )+N( f(u) u) soit : ( )N(u f (u)) N(u u +)+N(u + u ). Or : lim N(u u+) = lim N(u+ u) = + + doc : lim N(u f (u)) =. + Ceci implique f (u) = u. O suppose que u et v sot poits fiesde f.alors : N( f (u) f (v)) N( f (u) u)+n( f(v) v)=. D où : Chpitre 3 Si >, lors +si Ds ce cs : lim f(u)= f(v)=u=v. + f () = + et lim Si <, lors +si >. f () =. +<.Ds ce cs : lim f () = et lim f () = +. + Si [, ], u bo choi de deu suites tedt vers permettr de prouver que f de limite i à droite, i à guche e. O fie ds E. O lim = E,doc lim + h = L. De plus, pour + tout, h = h(). Doc : E h() = L. b ) L défiitio de E permet d ecdrer b E b et d e déduire lim + E = b. Pour telque < <,E =.Doc : b lim + E =. b ) O trouve ussi lim E = b. Pour telque < <, E =. Doc : b lim E = +. 33

335 Eercices :idictios etréposes E, l foctio étudiée est équivlete à b Doc : lim + + b = si > b si = b + si < b Lesfoctios ((, y) h() h(y)) et ((, y) y) sot cotiues sur R,doc f estcotiue sur R \D. Si l ofie, lors lim f (, y) = h (). O pose doc : y Il reste àprouver que : R f (, ) = h (). lim f (, y) = f (, ) = (,y) (, ) h ( ). C est ue coséquece du théorème des ccroissemets fiis ppliqué àlfoctio h qui est de clsse C. f est défiie sur U = 4 4 (, y) R y >. y 4 U= {(,) y y > } y = 4 O étudie lcotiuité de f sur U,ouvert der. O défiit g sur ], + [ epost : l( + t) si t = g(t) = t sit = Opeut écrire: (, y) U f(, y) = yg(y).deplus, g est cotiue sur ], + [, l pplictio ((,y) y)est cotiue sur R,cr c est ue foctiopolyôme desdeu vribles (, y). Doc f estcotiue sur U. Lfoctio f g est cotiue sur lecompct [, b], elle tteitdoc so miimum, oté l,eupoit de [, b]. O : [,b] f() g() f( ) g( )=l.d oùle résultt. R ) O ote l orme ssociée u produit sclire. D près l iéglité de Cuchy-Schwrz : (, ) E f ( ) f ( ). Doc, l pplictio f est -lipschitziee sur E. D où l cotiuité. ) Pour tout de E, f ({}) est u fermé de E et : A = f {}. A Ue itersectio quelcoque de fermés est u fermé, doc A est u fermé de E. M(K) M L pplictio P : (K) est biliéire, ( A, B ) AB l espce vectoriel M (K) est de dimesio fiie. Lecours permet de coclure. ) p(, y) = ( y,) et q(,y) = (y, y). Pour tout (, y) tel que (, y), : (, y) = (r cos t, r si t). p(, y) = y = r cos t si t cos t si t Aisi p L = sup cos t si t = +. t [,p] De même : q(, y) = y +. Doc : q L = sup q(, y) = +. (,y) ) E post = 3ds l questio précédete, l ffiité f est l pplictio f = p + q. Doc : (, y) R f (, y) = f (, y) cos t sup t [,p] 3 si t + 3 y, y. si t. O e déduit que : 3 3 f L = si(t) = + = ) Tout edomorphisme uto-djoit, u, der est digolisble ds ue bse orthoormée de R. O ote et les vleurs propres de u et v, v ue bse orthorormée de vecteurs propres de u. Tout élémet (, y) der s écrit (,y) = v+ vet f (, y) = v+ v. Doc : f (, y) = ( ) +( ) m(, ) + = m(, )(, y). O e déduit f L m(, ). E utilist lesvecteurs vet v,omotre isémet qu il yéglité : f L = m(, ). c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 333

336 Alyse PC-PSI ) C est ue propriété clssique des foctios covees. O ) L foctio y y f () f () y= f() S y, S, est croisste sur ],+ [, doc elle dmet ue limite ds R lorsque ted vers f () +. O e déduit l eistece de lim. + 3) O motre isémet que, pour tout de R + : = lim + O sitque Doc : f () = lim + f () f () f () f () ( < ) f () f (). est croisstesur ],+ [. ( f () l f() ). L foctio( f () l)est décroisstesur R + et dmet ue limite ds R lorsque ted vers +. y y= l y= f() Toute solutioduproblème esttelle que : t R N O e déduit pr récurrece que : t R N t h(t) = h t t t h(t) = h cos...cos. si t t si(t). t O ote l l limite de l foctio h e. E fit t et e fist tedre vers + ds l derière églité,oobtiet : h(t) = l si(t). t Réciproquemet, sih(t)=l si(t) pour t = eth() = l, t lors h est solutio duproblème. Si A = [ ou A = E, lors A est costte, doc cotiue sur E. Ds l suite, osuppose A = [ et A = E. O ote u élémet de A, y u élémet de E A et o désige pr w l pplictio de[, ] ds E défiie pr w(t) = t+( t)y. L pplictio A w est ue pplictio de[, ] ds R dot l imge est {, }. Cette imge est ps u itervlle et le théorème des vleurs itermédiires prouve que A w est ps cotiue. Or w l est,doc A e l est ps. L foctio crctéristique de A, A est cotiue si, etseulemet si, A = [ ou A = E. Il fut prouver que : O y= l+ l (, y) E O fie (,y)ds E. O sitque : d() d(y) y = d(, y). A d(,) d(,y)+d(y,) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O cosidère l esemble : A={ [,] f() et g() }. A est ue prtie o vide ( A) etborée de R, doc dmet ue bore supérieure. O ote f ( )(respectivemet g( )) l limite àguche de f (respectivemet de g) e Lesfoctios f et g sot croisstes, doc : f () f ( ) et g() g( ). O e déduit : f(g()) = g( f ()) g() etg(g()) g(). Doc g() A, et g() = sup A. Filemet, g() = et, demême, f () =. Puisque d() = if d(, ) : A et : A d()d(,y)+d(y,) d() d(, y) d(y, ). Le réel d() d(, y)miore {d(y, ) A},doc : Filemet : d() d(, y) d(y) = if {d(y, ) A}. d() d(y) d(, y). E échget les rôles de et y,o trouve ussi : d(y) d() d(, y). O prouvé : (, y) E d() d(y) d(, y) = y. 334

337 Eercices :idictios etréposes ) O procède pr cotrposée. O suppose que A B = [. Soit A B,lors : d(, A) = d(, B) =. Doc : E d(, A)+d(,B)=. Réciproquemet, osuppose que : E d(, A)+d(,B)=. Scht que d(, A)etd(,B)sot des réels, o peut dire : E d(, A) = d(, B) =. Ds l eercice du chpitre, o prouvé que d(, A) = si, et seulemet si, est u poit dhéret à A. Doc, si d(, A) = d(, B) =, lors est dhéret àaet à B. Or A et B sot fermés, doc A B et A B = [. ) Vérifierque : d(, A) f () = d(, A)+d(,B), U = f, et V = f 3 3,+ covieet. ) Soit f ue pplictio k-lipschitziee de E ds E. Pour tout réel l k, l pplictio f est ussi l-lipschitziee et [k,+ [ I f.doc I f est u itervlle. ) Soit ( f, g)ds L et k u élémet dei f +I g. Ecrire k = k + k,vec k I f et k I g. Motrer que f + g est k-lipschitziee. Ceci prouve que I f + I g I f +g. 3) Pour tout f de L, I f est ue prtie o vide de R +,doc N( f ) R +. L foctio f est -lipschitziee sur K. Elle est doc K R + cotiue sur K et l foctio g : f () ussi. L foctio cotiue g umiimum sur K. O ote u poit de K e lequel cemiimumest tteit : Si g( ) =, lors f ( ) =,doc : f ( f ( )) f ( ) < f ( ). Aisi g( f ( )) < g( ). C est impossible, doc g( ) = et est u poit fie de f. Pour l uicité, si et sot deu poits fiesde f,lors : Ceci impose =. f ( ) f ( ) =. Soit ( )ue suite de E coverget vers E. O ote (y )lsuite défiie pr : si = E y = sio L suite (y )est borée, doc l suite ( f (y )) est borée. Or, f ( ) = f (y ). Doc l suite ( f ( )) coverge vers F. Ceci étt vri pour toute suite ( )deetedt vers E,l pplictio f est cotiue e E. Pr liérité : (, y) E f () f (y) = f ( y). O e déduit que f est cotiue sur E. ) ], f(y)] est u fermé de R, f est cotiue. Doc f ], f(y)] est u fermé de E. O suppose que f (],f(y)] ) est ps ue prtie borée de E. Il eiste ue suite (v ) d élémets de f (], f(y)] )telle que lim v = +. Doc, lim + + f (v) = +. Or,pour tout, f (v) f (y). C est impossible, doc f (], f(y)] )est boré. ) f (],f(y)] )est doc u compct de E. Il suffit mitet de cosidérer l restrictio de f à ce compct pour coclure. Pour résoudre cet eercice, le résultt suivt est idispesble. Il est démotré u chpitre 3 du tome Algèbre- Géométrie. Pour toute mtrice M de M (R), rg (M) < p si, et seulemet si, tous les détermits des mtrices d ordre p etrites de M sot uls. O ote P p l esemble des p-uplets (i,...,i p)d etiers tels que : i < i <...<i p. O fie I = ((i,...,i p), ( j,..., j p)) ds Pp,odéfiitl pplictio f I pr : M (R) M p (R) f I : M = (m i, j ) f I (M) = (m il, j i k ) lp j kp L foctio f I est liéire, doc cotiue. L foctio détermit (Det :M p(r) R)est ussi cotiue. L esemble des mtrices M = (m i, j )dem (R)telles que : Det (f I (M)) = Det (m il, j k ) = lp kp est l esemble Z I des zéros de Det f I : Z I = (Det f I ) ({}). C est ufermé de M (R). D près le résultteposé u début, l esembledes mtrices de rg < p de M (R) est l itersectio detous les Z I. C est u fermé de M (R). 335 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

338 Alyse PC-PSI ) Prouver l liérité de f. ) O ote ue orme sur E, l orme d edomorphisme ssociée. O suppose que l suite (w )coverge ds L(E) eto ote u l edomorphisme limite de l suite (w ). Pr défiitio, lim + w u =. O fieuélémet de E. Pour tout : w () u() = (w u)() w u Pr ecdremet : lim w() u() = et lim +. w() = u(). + Réciproquemet, osuppose que, pour tout de E, lsuite (w ()) coverge ds E. O ote f () = w(), p = dim E,(e,...,ep)ue bse lim + de E. Soit l orme de E défiie pr : Soit = = p i e i E i= p i e i telque. O : i= (f w )() = m i. i p i ( f w )(e i) i= Doc f w peut coclure que p ( f w )(e i). i= p ( f w )(e i). Pr ecdremet, o i = lim + f w =. Pour toute mtrice A = ( ij) M (R): tr(a) i,i i, j = N ( A). i= (i, j) [, ] Doc tr. De plus, tr(i ) = = N (I ), doc tr =. Pr récurrece : N (,..., ) (R + ) i= i Doc : A M (K) tr(a) i,i i= (i, j) [, ] i, j. i. i= i,i Aisi tr(a) N (A)ettr. De plus, tr(i ) = = N (I ), doc tr =. Pour toutemtrice A de M (K) tr(a) i,i N (A). i= i= Doc tr. L églité tr(i ) = = N (I )permet de coclure que : Chpitre 4 tr =. Soit < deu poits dei et les foctios ( f )supposées croisstes. Alors, pour tout de N : f ( ) f ( ). D où: f( )= lim f() lim f() = f (). + + c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit ) O sit que : Im p p() =. O e déduit p L. ) Soit p u projecteur orthogol o ul de l espce préhilbertie(e, ). E = p()+( p()) et p() p() =. O e déduit p() et p L =. Soit p u projecteur telque p L =. O pose : F = Ker p et G = Im p. Soit u vecteur orthogol à F, o : p() =+(p() ) = +p(). Pr hypothèse p(),doc : p() =, G, et F G. Or, dim F = dim G, doc F = G. p est u projecteur orthogol. L suite de foctios ( f )covergesimplemet sur[, ] vers l foctio ulle f. De plus, l étude de f motre que f = f =. L suite de foctios ( f) coverge 4 uiformémet sur [,]vers f. Avec Mple : 8e 9 6e 9 4e 9 e 9 y,,4,6,8 ÔÐÓØ ß Õ Ü Ò ½¹Üµ Ò Ò ¼ºº¼µÐ ܼºº½µ 336

339 Eercices :idictios etréposes L iéglité de Tylor-Lgrge permet d écrire : (, ) [, p] si si. O fie lors u etier > et o choisit ue subdivisio ( j) j [,p ] de [, p], de ps iférieur ouégl à. Esuite, soit l foctio f défiie sur [, p]pr : f() = si j si [ j, j+[ f ( p) = si p = si p = L suite de foctios ( f )coverge uiformémet sur [, p] vers l foctio sius. ) L suite de foctios ( f )coverge simplemet sur, p vers l foctio f,défiie pr : si = p f () = p f = L covergece est psuiformesur, p,mis elle est uiforme sur tout segmet, p, p. Avec Mple : y Or, lim = et lim f() = + + e. Doc, l covergece est ps uiforme sur [,]. Mis, si ],[, pour tel que >, o f [,] = f (). L covergece de l suite de foctios ( f )est doc uiforme sur [, ]. Avec Mple :,6,5,4,3,, y,,4 ÔÐÓØ ß Õ Ò Ü Ò ½¹Ü ¾µ Ò ºº½¼µÐ ܼºº½µ 3) L suite ( f )covergesimplemet sur], + [verslfoctio f défiie pr : si ]e,e[ f () = si e,e 3 si < e ou > e,6,8,8,6,4 =3 = L covergece est uiforme sur tout segmet coteu ds ],e [ou]e,e[ou]e, + [. Avec Mple : y,,,4,6,8 ÔÐÓØ ß Õ Ò Üµ Ò Ò ºº½¼µÐ ܼººÈ»¾µ,,4 ) L suite de foctios ( f )coverge simplemet sur [, ] vers l foctio ulle f. = + f () + + / ÔÐÓØ ß Õ ÐÒ Üµ ¾ Òµ¹¾µ» ÐÒ Üµ ¾ Òµ ¾µ Ò ºº½¼µÐ ܼººÒÒØݵ ifiity c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 337

340 Alyse PC-PSI Soit u réel. Lsérie umérique : ( ) + est lterée. Elle vérifie le critère spécil des séries lterées, doc l série de foctios coverge simplemet sur R. Avec Mple : 5 4 y 5 Elle e coverge ps ormlemet sur R +,cr : u = +, mis elle coverge ormlemet sur tout segmet [, ], vec > fié. (PSI)Deplus, si est fié, o : S() S () = si < ( +)p S() S () + Doc S S +. si ( +)p. L série de foctios u coverge uiformémet sur R +. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 6 8 ÔÐÓØ ÙÑ ³ ¹½µ Ò Ò Ü ¾µ» Ò û¾µ³ ³Ò³½ºº½¼µ ܹ½¼ºº½¼µ O sitque, pour tout réel : R () + +. O e déduit lcovergece uiforme sur tout compct de l série de foctios. L série de foctios u coverge simplemet sur R + et s somme S est défiie pr : Avec Mple :,8,6,4,,,4 y si S()= +E p ÔÐÓØ Ò Üµ» ½ ÐÓÓÖ Ü»Èµµ ܼºº½¼¼µ L série de foctios e coverge simplemet l sur [, + [ etdiverge sur ], [. e l el() + Sur R + : e l = et l divergece de l série umérique e l (comprer àue itégrle) implique que e l l série de foctios e sur R +. l Soit >. Pour tout et tout : e l e coverge ps ormlemet e l. L série de foctios coverge doc ormlemet sur [,+ [. (PSI)Soit >. Alors : R () e post : + e k l( +) L série de foctios e sur R +. e (+) ( e )l( +) K l( +) e K = sup R + ( e ). l coverge doc uiformémet 338

341 Eercices :idictios etréposes Avec Mple : y Le théorème d iterversio des limites s pplique, et : lim + lim e = e = lim + lim e = e = = p 6. L série de foctios cos() covergete sur R. 3/ est ormlemet ÔÐÓØ ÙÑ ³Ü ÜÔ ¹Ò ܵ»ÐÒ Òµ³ ³Ò³¾ºº½¼¼µ ܼººÒÒØݵ ifiity Si ue telle suite eistit, le théorème d iterversio des limites s ppliquerit sur l itervlle ],]. Or, est u poit dhéret à],]doc l foctio f uritue limitee. Il est immédit que l suite ( f )coverge simplemet sur [,+ [vers lfoctio f défiie pr : si [,[ f () = si = e si > Si est ds ],[, l foctio f est ps cotiue sur [,+ [.L covergece est doc ps uiforme sur [,+ [. L covergece est uiformesur [,+ [, pour tout >. ) L série de foctios coverge ormlemet,sur [,], cr ( + ) : N [,] ( + ). L foctio somme est doc cotiue sur [,] et: lim ) Pour tout, o L série e coverge ormlemet sur R + et les foctios e ( + ) = S() = e. = p 6. sot cotiues sur R +. f est défiie sur ], ]. L sériede foctios : ( ) + coverge uiformémet surtout segmet de ], ] et,eprticulier, sur [, ]. L foctio f est doc cotiue sur ], ] et : ( ) f () = + = p 4. défiie pr : O cosidèrelfoctiocotiue g de, ds R, g() = l g() = f si = Fios >. Il eiste ue foctio polyôme P pprocht uiformémet g sur, à près : [,+ [ f() P = g P (g P) [, ]. Soit > fié et P ue foctio polyôme pprocht uiformémet f sur [,]à près. D près l hypothèse, o sit que : Or : Doc : f (t)dt P(t) f (t)dt =. P(t) f(t)dt sup t [,] f (t)dt sup f (t). t [,] f (t) f P. Cette itégrle est ulle. f est cotiue et positive, doc f =. 339 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

342 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 34 Fios >. e =o(e ). L série de foctios e coverge simplemet sur R +. Fios > etétudios l foctio f. Avec Mple : y pour = = = =,5,5,5 3 ÔÐÓØ ßÜ ¹¾µ ÜÔ ¹Ü ¾µ Ü ¾µ ÜÔ ¹Ü ¾µ ÜÔ ¹Ü ¾µÐ ܼºº ݼººµ Si, l série de foctios e coverge ps ormlemet sur R +. Mis elle coverge ormlemet sur tout itervlle [,+ [( > ) cr f [,+ [ = f () etlsérie f() coverge. Si >, l foctio f dmet u mimum e et l vleur du mimum est : / f = e / = c /. L série de foctios covergedoc ormlemet sur R + si, et seulemet si, > 4. Si ],4], elle coverge ormlemet sur tout itervlle [,+ [(>). (PSI)Si, l suite de foctios e covergeps uiformémet sur R + vers l foctio ulle. Doc l série de foctios e coverge ps uiformémet sur R +. Regrdos esuite, lorsque est ds ], 4], si l covergece est uiforme eétudit le reste : R ()= k=+ ke k. L foctio f : t te t est décroisste pour t. Elle est ussi cotiue et l série k+ f (t)dt coverge. D où, pour + : + k+ k=+ k k f (t)dt = S R (). Preos = + qui coviet. Alors: R () S= + 4 e. L suite R e covergeps vers si ],4]. + Lorsque ],4], l série de foctios est ps uiformémet covergete sur R +. ) Ue foctio polyôme de degré p est prfitemet détermiée pr ses vleurs e p+ poits disticts. O cosidère doc p +réels disticts( j) j [,p+]. Pour tout de N, lfoctio polyôme P s écrit, e utilist les polyômes de Lgrge : p+ k P () = P ( j ). j k j= kp+ L suite de foctios (P )covergesimplemet vers f. O fie u réel et o fit tedre vers + : p+ k f () = f ( j). j k j= k= j kp+ k= j L foctio f est ue foctio polyôme de degré p. O motre esuite que l covergece estuiformesur tout segmet de R.Efit < b : p+ k f () P () f ( j) P ( j). j= j k kp+ k = j Termier e utilist l cotiuité des p +polyômes : k. j k kp+ k = j ) L covergece de l suite (P )vers f est uiforme sur R. O fie > : N N N R P () f(). Pour N, lfoctio polyôme P f est doc borée sur R. C est ue foctio costte. O e coclut, qu à prtir d u certi rg N, op = f +,etlsuite ( ) N est ue suite de réels qui coverge vers. ) L série de foctios impires, cotiues Arct coverge ormlemet sur R. Doc f est défiie, impire et cotiue sur R.

343 Eercices :idictios etréposes Avec Mple : y Chpitre 5 ) L équtio deltgete est : Y = f ( )(X )+ f( ). ifiity ifiity Si f ( ) =, l ormle est l droite d équtio X =. Sio, l équtio delormle est : Y = (X )+ f(). f ( ) ) L équtio deltgete est : y (t )(X (t )) (t )(Y y (t )) =. ÔÐÓØ ÙÑ ³ÖØÒ Ò Üµ»Ò ¾³ ³Ò³½ºº½¼¼µ ܹÒÒØݺºÒÒØݵ ) lim + Arct = p. Doc, grâce àlcovergece ormle sur R de l série de foctios : lim f () = p + = p3 = lim f (). 3) f () p3 = Arct p = Arct. Pour fié Arct + 3. > f() p3 = O pose : w () = Arct (). Arct. Pour tout u > : () Arct u u. Doc, pour tout > : w () 3. L série de foctios w covergeormlemet sur R + et : p3 lim ( f () + ) = lim w() = +. 3 E coclusio : f() p L équtio delormle est : (t )(X (t )) + y (t )(Y y(t )) =. 3) Le ryo vecteur (, y )est orthogol àltgete u cercle em (,y ). L équtio demdée est : X + y Y = + y = R. ) f (). Doc, lim f () =. 6 ) f est de clsse C sur ] p,[ ], p[ et: f()= 6 +o().doc f est dérivble eet f () = 6. Pour = : Doc, lim f ()= cos +si si = 6 + o(). f () = 6 et f est de clsse C sur ] p, p[. g() = 3 et : g () () = ( )! ( ) + ( 3) + h() = + + ( ) + 4 ( ) 3 et :. h () () = ( )! ( +) ( +) + + ( ) + ( ) + + ( +)( +) ( ) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

344 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 34 6 O pose f () =. L foctio f est de clsse C sur ], [ et pour tout etier k : 34 6 = k + o( k ) O e déduit, pr l formuledetylor-youg,que d f d () = si est impir ou < 3 46, et si = k, d f d() =!. Puisque ( + ) f () =, o f () =. () Pour, ( + ) f () =. Soit, d près lformule deleibiz : ( + ) f (+) ()+() f () ()+ ( ) f ( ) () =. f () () = et f (+) () = ( ) ()! Remrque :Ledéveloppemet limité de fepermet de trouver ces formules pr ue utre méthode. lim + u = +t +t dt = p 4 + l lim l(v) = l( + t)dt =l() = l + Les pplictios : 4. e P P et P 5 P()+8P +5P(b) 8 sot liéires. Il suffit de prouver qu elles sot égles sur ue bse der 5[X]. Effectuer les clculs vec lbse (X )k. k [,5] Autre méthode : effectuer lesclculs ds l bse suivte de R 5[X]:, X, X X +, X X X +, X X X +, ) ) L foctio X 3 X X + e t p/ +t dt. e t d t. cos( si(t)) d t est pire, il suffit de clculerllimite àdroite e. Pour tout de, p,utiliser : t, p cos() cos( si(t)). L limite cherchée est p. O pose g() = f (). L foctio g est cotiue sur [,]; si elle e s ule ps sur ],[, elle est de sige costt. O suppose g > sur ],[.Alors : < g = f. C est impossible, doc g s ule sur ],[. O ote k = + k b,lors : R = k= k+ k ( f (t) f ( k)) d t. ) Si f est àvleurs réelles etcroisste, o e déduit : R ( f( k+) f ( k)) ( k+ k) k= = b ) Si f est c-lipschitziee pr rpport à,lors : R k= k+ k f (t) f ( k) d t = c k= ) f () S () = ( ) + t++ f() S () d = lim + k= ( f (b) f ()). k+ k (k+ k) +.D où: = c (t k)dt c (b ) t++ + d t++. f () S () d =. ) L sérieàtermes réels u ()diverge grossièremet,doc il y ps covergece simple sur [,]. Prouver que l série de foctios u coverge simplemet sur [,[etormlemet sur tout segmet iclus ds [,[. ) Pour tout de [,]lsuite de réels f () est ulle àprtir d u certi rg. ) D près le schém, pour tout, f = (ire d u trigle). Silsuite ( f )covergeit emoyee vers ue foctiocotiue pr morceu f,ourit lors : lim f = = f () + Pr illeurs: f = / / ( f f ) / f f f f 34

345 Eercices :idictios etréposes Doc : lim + / f = () O obtiet ue cotrdictio. L suite ( f )ecoverge ps e moyee. 3) Si l suite ( f )covergeitemoyee qudrtique vers ue foctio cotiue pr morceu f,o urit : lim + f = f (3) Or : f =, lim f 3 + = + et (3) est impossible. L suite ( f )ecovergeps e moyee qudrtique. Puisque f est àvleurs positives, o peut écrire : I I + = b b f / (t) d t f (t) (+)/ d t b f / (t) f (t)dt (+)/ =(I +). Si f est ps àvleurspositives, pour tout etierpir,o: f (t)= f(t) /. L formule I I + (I +) reste vlble siest pir. L eemple suivt prouve qu il e est ps de même pour impir. ) Il suffit d ppliquer ) àlfoctioepoetielle. 3) Poser f () = l(), prouver f () () = ( ) ( )! et coclure. O fie deu élémets m = f (c) et = f (d)de f (I)telsque m < et o prouve que tout réel compris etre m et est ds f (I). Soit ]m, [etg()= f().o : y g (c)=m < et g (d) = >. g()< c c g( d)> c g()> c O suppose c < d. Il eiste d > tel que : d g( d)< ]c, c + d[ g() < g(c) et y ]d d,d[g()<g(d) () L foctio g qui est cotiue sur le segmet [c, d] tteit so miimum sur ce segmet. D près (), ce miimum est tteit e u poit t de ]c, d[. Or g est dérivble sur cet itervlle ouvert, doc g (t) = = f (t) l. Et f (I). y d ) O procède pr récurrece. Pour =, o : f ()= f et f () = f O suppose l formule ()vlble pour u etier. Pr défiitio f +() = f (). D près l formule deleibiz,o: f () + () = f () ()+f ( ) (). D oùlformule àl ordre +: f (+) ( ) + + () = f (+) +.. ) Pour simplifier l rédctio, o peut supposer que : P et Q sot des polyômes uitires ; deg(p) deg(q). De plus, le cs = est trivil. O suppose doc = et, quitte àfctoriser cesclire, il suffitdetriterlecs =. O ote p = deg(p) et(,..., p)les rcies de P, umérotées de telle fço que : p < p <...<. Ds chcu des p itervlles ] i+, i[, se trouve ue rcie de Q,otée b i. Doc : b p p b b p 3 Cs :deg(q) = p. P = p deg(q) p = deg(p). P P (X i) et Q = (X b i). i= i= 343 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

346 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Motrer que l foctio polyôme P + b Q s ule ue fois ds chcu des p itervlles ]b i+, b i[ue fois sur ]b,+ [etue fois sur ],b p [. Cs b:deg(q) = p. Ds ce cs, le polyôme Q dmet ue derière rcie qui est soit ds ], p[, soit ds ],+ [. O se cotete de triterlecs où cette rcie, otée b p,est ds ], p[. O : P= P (X i) et Q = i= P (X b i). L foctio polyôme P + b Q s ule ue fois ds chcu des p itervlles ]b i+, b i[. Le polyôme P + b Q est de degré p et umois p rcies distictes. Il est scidé. Efi,lecoefficiet de X p ds P + b Q est ( + b). Lorsque ce coefficiet est o ul, motrer que P + b Q ue rcie ds ]b,+ [ou],b p[. Ds tous les cs, P + b Q est scidé et que des rcies simples. ) D près le théorème de Rolle, lepolyôme dérivé P s uleumois ue fois etre deurcies de P. Doc P dmet p rcies b,...,b p tellesque : i= p < b p < p < < <b <. O peut ppliquer le ) u polyômes P et Q = P et coclure que P + P est scidé ds R[X] et dmet que des rcies simples. 3) O effectue ue récurrece sur = deg(r). O ote (H )l hypothèse suivte : Pour tout polyôme scidé de degré de R[X]: R= X + X + + X +, et tout polyôme P, scidé ds R[X] et à rcies simples, le polyôme P + P + + P ( ) + P () est scidé ds R[X] et dmet que des rcies simples. Le cs = est trité pr lquestio ). Soit u etier telque (H )soit vrie. O cosidère T u polyôme scidé de R[X]dedegré +. O sit qu il eiste u réel et u polyôme scidé de degré : tels que : T = (X )R R = X + X + + X + = X + +( )X + +( )X O remrque que : P +( )P + +( )P () P (+) = (P P )+ (P P ) + + (P P ) ( ) + (P P ) () Or (P P )est scidé et que des rcies simples. O peut ppliquer l hypothèse de récurrece (H )etcoclure que (H +)est vrie. Le développemet limité du cosius hyperbolique à l ordre 4e est : Doc il eiste d > tel que : u [ d, d] ch u = + u + u4 4 + o(u4 ). + u Oe déduit que, pour ssez grd : k=+ Or : Doc : k T = k=+ + + l= p k k=+ k=+ ch u +u +u4. ch k = ; d t t T = p lp cos k Or l= k=+ k+ k k=+ k + k=+ k () d t t k k d t k t. ch d t k t + l() lim T = +. cos k p t d t = lim cos k l p + e i l p (p k) = p 4 k k p= l= k p l=. e i l p (p k). est l somme des termes d ue suite géométrique. Cette somme vut si p=kou si p = k,doc : p l p cos k l= ) Si b = p k 4 k p et p cos k t d t = p k 4 k k f =, lors f =. O suppose f o ulle et o ote v le vecteur uitire b b f et D l demi- f droite vectorielle R + v. Pour motrer que, pour tout t de [, b], f (t) est ds D, o itroduit l hyperpl orthogol à v. O peut écrire: t [,b] (t) R u(t) v f(t)=(t)v+u(t) 344

347 Eercices :idictios etréposes O sit que (t) = f (t) v, doc est ue foctio cotiue, et u ussi,pr différece. E revet u itégrles : b b f (t)dt = o e déduit que : b (t)dt v+ (t)dt = b b b u(t)dt = f. De plus, d près lethéorème depythgore : f (t) = (t)+u(t) (t). f v; Doc f est ue foctio cotiue et positive sur [, b] et : b O peut lors coclure : f =. t [,b] f(t) (t)=, u(t) = E et f (t) R +. O e déduit : N ],[ u + f() f + + t f (t) f () d t Fios >. O sit qu il eiste ds ],[tel que : t [,] f(t) f(). Cette vleur de étt fiée, il eiste N N telque : N f +. Doc : N u f(). + O e déduitque lim u = f (). + ) O effectue l divisio euclidiee, ds R[X], de ( X) 4 pr ( + X ): ) Soit (e,...,e )ue bse de E,oote : ie i { i } =m i= et o pose f (t) = te + Vérifierque : e i. i= f = f =. Cepedt, pour t = t, f (t) et f(t )sot liéiremet idépedts. Aisi, les vleursprisespr f e sot ps toutes sur ue même demi-droite vectorielle. Doc : O pose u = u t f ()dt = t f (t)dt.o remrque que : + f(). + f() = t ( f (t) f ()) d t vec et b réels. ( X) 4 = P (X)( + X )+ X+b E utilist X = i, o trouve : =; b = ( ) 4. De plus P est l prtie etière de l frctio rtioelle ( X) 4. D oùl uicité de P. ( + X ) ( t) 4 ( ) 4 ) P (t)dt = d t ( + t ) ( + t ) d t. (4+) ( t) 4 d t ( + t ) 4 +. Doc : P (t)dt =( ) 4 p + O O ote S = que f (t ) = S. O remrque que :. sup f (t) ett u élémet de [, b] tel t [,b] u p (b ) / p S. t Le cs S = est trivil. f (t) f () d t. O suppose S >. O fie > tel que S >. O sit que : De plus, si est etre et,o: t > t [, b] t t f(t) f(t ) f(t) f() d t () = t f (t) f () d t + t O e déduit, pour ue vleur de vérifit (), que : f (t) f () d t t [, b] t t S f (t) c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 345

348 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit O pose [c, d] = [, b] [t, t + ]. Scht que f est à vleurs positives, o : b ( f(t)) p d t d c ( f (t)) p d t (d c) S Doc, pour tout etier p >, o peut écrire : (d c) /p S u p(b ) /p S. Or, lim (d p + c)/p S = S et : lim (b p + )/p S = S. Doc, il eiste u etier p telque : Ceci prouve que Chpitre 6 p p S u p S +. lim u p + p = sup t [,b] f (t). Pour =, F() =. Soit = ettetre et,ot. Doc F est défiie sur R. E post t = u ds l itégrle, o trouve : F()= p l( + u)du = l( + )+l( + ) Il découle decette epressio que F est cotiue sur R. De plus, F est de clsse C sur R et : F () = l( + )+l(+ )+. Doc, lim F () =, et F C (R). Quitte àchger f e f,opeut supposer : O pose F() = b f (t)dt >. cotiue et = F() < L < L = F(b). f (t)dt et L = F(b). L foctio F est Le théorème des vleurs itermédiires permet dedire qu il eiste, ds ], b[ tel que F(,) = L. E répétt ceprocédé, o costruir, pour i [[, ]], les poits,i tels que : <, <...<, <b; F(,i)= i L. O e déduit le résultt demdé e remrqut que :,i,i f (t)dt = F(,i) F(,i ). ) f est cotiue sur R. Les primitives de f sot les foctios F défiies sur R pr : F() = 5 [si() cos() cos(3) 3si(3)] e + k (k est ue costte réelle). ) L foctio g est cotiue sur [, ], l foctio Arccosius est de clsse C sur], [. O peut doc itégrer deu fois pr prties sur tout segmet iclus ds ], [. Ue primitive de Arcsi ()+ est. Les primitives degsur ], [ sot lesfoctios G de l forme : G() = Arccos () Arcsi ()+ Arccos () 4 4 Arcsi ()+c (cest ue costte). E utilist l reltio Arccos ()+Arcsi ()= p,opeut simplifier l epressio et obteir : G()= 4 (d est ue costte). Arccos () Arccos () 4 + d I = l( + ) l(3). N.B. Mple ou l TI doe directemet le résultt. Il est cepedt écessire de svoir clculer «à l mi»ce gere d itégrle. Pour t ds Filemet : d t (t +) /3 (t +) / (kest ue costte).,+,opose u = (t +) /6. = 3 ((t +)/6 +) +3l (t +) /6 +k O pose G() = clsse C sur [,]etfl est sur ], ]. L foctio f est dérivble e. Doc : De plus : tf(t)dt. L foctio G est de f () = f ()+ f () + o() () G () = f()= f() + f () + o( ) et G() = 346

349 Eercices :idictios etréposes D où: G()= Or F() = G(), doc : F() = f () f() + f () o( 3 ) () + f () + o() (3) 3 O prologe F pr cotiuité e post F() = f (). L formule (3) prouveque F est dérivbleeetque F () = f () 3. Or F est de clsse C sur ],]et, de plus, pour = : O e déduit que : F ()= 3 G()+ G (). F () = f () 3 Doc F est de clsse C sur [,]. + o(). D près le théorème des ccroissemets fiis, pour tout,ileiste c ds ], +[tel que : l f ( +) f() =l( f ( +)) l( f ()) = f f (c) f ( +) Doc, lim l =et [,[.L règleded Alem- + f() bert permet decoclure que l série f ()coverge. ) L suite ( f )coverge simplemet vers. Le tbleu de vritios de f motre que l covergece de l suite de foctios ( f ) est ps uiforme sur [,]. e Toutefois, lim f = lim = +. ) L suite de foctios ( f )coverge simplemet vers sur [,]. L covergece est ps uiforme sur [,]. Toutefois, e clcult, lim 3) f () = e. f = p. Pour tout u, l( + u) u. Doc, pour tout de [,]: e + =e ep + l + e l + e l + e sup t [,] ( + t) grâce àl iéglité de Tylor-Lgrge. y = e y y y = l( + ) L covergece de l suite de foctios ( f )vers f est uiforme sur [, ], d où: lim + + d = e d =e. L série de foctios coverge simplemet sur R + et diverge grossièremet sur R. Si est u réel positif fié, l série umérique est ue série lterée qui vérifie le critère spécil. L série de foctios coverge uiformémet sur R +. S foctiosomme S est doc cotiue sur R +. L série de foctios ( e ) coverge uiformémet sur tout segmet de R +. Doc, pour tout > ettout > : ( e ( e t ) t ) dt= ( e ) ( e ) = e t = dt +e t L foctio S est cotiue sur R +. O fit tedre vers. ( e ) = e t +e t dt+ = l( +e )+l + ( ) ( ). L covergece uiformesur R + de cette série de foctios permet d ppliquer le théorème d iterversio des limites e +. O e déduit : l = ( ), puis : L somme S() = ], [. De plus : ( e ) = l( +e ). u () est défiie pour tout de S() = u () =. Or l série de foctios coverge simplemet sur ], [ et l série de foctios coverge ormlemet sur c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 347

350 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 348 tout segmet de ], [. Doc : S() = = = ( ). f est cotiue, doc elledmet des primitives. Soit F l primitive de f sur R + s ult e. Alors F() = f (t)dt et F est de clsse C sur R +. L reltiodoée s écrit F () kf(). O pose G() = e k F(). L foctio G est de clsse C sur R + et : G () = e k (F () kf()). G est décroisste sur R +. G() =. Doc G. O e déduit que F est égtive. Or F est croisste sur R + et F() =. Doc F = etf = f =. ) L rc obteu est uqurt d stroïde y M M M 3 M M M ) L foctio t ((t), y(t)) est de clsse C,doc l rc est rectifible. Pour t ds, p,otrouve : ds dt (t)= (t)+y (t)=3si(t)cos(t). O peut doc predre pour bscisse curvilige : s(t) = 3 si (t). Soit t i le prmètre du poit M i. O suppose que : = t < t <...<t <t = p. L logueur totle de l rc est : doc, pour tout i de [[, ]] : s (t i ) s (t i ) = 3 p L = s s() = 3 et si (t i) si (t i ) =. O e déduitque le poit M i pour prmètre t i = Arcsi et pour coordoées : i= Or OM i + = + i= i 3/ 3/ i,. 3 i +3i i= = i +3i 3 i +3i. i= i est ue somme de Riem de l foctio cotiue sur [,]: lim + i= OM i 3 + = + l( + 3). ) D près l formule detylor vec reste itégrl : + b g() = g +b g(b)=g + + b + +b + b +b b + +b g + b ( t)g (t)dt g +b (b t)g (t)dt. O effectue l somme de ces deu liges : +b g()+g(b)=g + ( t)g (t)dt +b b + Doc : +b g(b)+g() g +b M (t )dt+ b +b ) O u + v = f () f () et: k+ u v = f k= + f (b t)dt +b k f (b t)g (t)dt = M(b ) 4 k+. E post K = sup f (), lquestio ) permet d écrire : [,] k + f + f k f k+ K 4.

351 Eercices :idictios etréposes Doc : u v K 4 et Il est lors iséd e déduire que : 3) O ote : = lim + u = lim + ( +)( +3)...(4 ) ()( +)...(4 ) E post i = + k,otrouve : = k= lim u v =. + f () f () v =. + k+ + k = i= i +. i Alors : f (Q)+b f b(q)+g f c(q)+df(q) = = d b (t )(t b)(t c)dt. O e déduit :d=.o doc f + b f b + g f c = E. E utilist L, L b, L c,oobtiet = b = g =. Ceci prouve que l fmille ( f, f b, f c, F) est libre. (N.B. :Les élèves de PSI pourrot prouver que (L, L b, L c)est ue bse de R [X]etque ( f, f b, f c)eest l bse dule.) O démotre l réciproque pr cotrposée. O suppose que : b (t )(t b)(t c)dt =. et l( ) = l + k+ l + k k= ( +)( +3)...(4 ) lim =. + ()( +)...(4 ) L reltio () peut s écrire : Soit g = F(L ) f + F(L b) f b + F(L c) f c. L pplictio g est ue forme liéire sur E. Pr costructio, f (L ) =, f b(l ) =, f c(l ) =, doc g(l ) = F(L ). O motre de même que : g(l b) = F(L b) et g(l c) = F(L c). f()+ E dérivt, o trouve : R f(t)dt tf(t)dt =. f ()+ Et efi f + f =. Doc f estdelforme f () = A cos()+bsi(). f(t)dt = () De () et (),odéduit que f () = et f () =, doc il y ue seule solutio possible : f()=cos(). Ue simple itégrtio pr prties permet de vérifier que l foctio cosius vérifie (). O ote L, L b et L c les polyômes d iterpoltio de Lgrge e, b et c : L (t) = (t b)(t c) (t c)(t ), L b(t) = ( b)( c) (b c)(b ), (t )(t b) L c(t) = (c )(c b) ) O suppose que b cosidère qutre réels, b, g et d tels que : et Q(t) = (t )(t b)(t c). (t )(t b)(t c)dt = eto f + b f b + g f c + df = E Efi, g(q) = = F(Q). Lesdeu formes liéires g et F coïcidet sur ue bse de E, elles sot doc égles. Ceci prouve que : F Vect( f, f b, f c). L fmille ( f, f b, f c, F) est liée. ) b (t )(t b)(t c)d t est ue epressio polyômile e, b et c qui est ulle si = b. L TI permet de fctoriser cette epressio. Doc b (t )(t b)(t c)d t = si, et seulemet si, c = + b. 349 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

352 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 35 3) Ds cette questio, c = + b. D près ) : F = F(L ) f + F(L b) f b + F(L c) f c. O effectue les clculs suivts edemdt àlmchie l fctoristiode( b)comme précédemmet. O remplce c pr + b et o trouve : F= b 6 [f +4 f c+ f b]. Cel sigifie que, pour tout polyôme P de degré 3, o : b P(t)dt = b +b P()+4P +P(b). 6 C est l formule desimpso. ) Immédit. ) Soit f Ker(F). E dérivt F( f ), o trouve : R f()=. Doc f est ulle sur R. S cotiuité etrîe f () =. Ker(F) = { E } et F est ijective. Tous les élémets de Im(F) s ulet e et F est ps surjective. 3) F est ijective, doc est ps vleur propre def. Soit l u réel o ul et f u élémet de E tel que F( f ) = l f. O lors : R f () = l f(). C est ue équtio différetielle liéire homogèe du premier ordre dot les solutios sot les foctios f de l forme f () = ce l où c est ue costte. Pr illeurs, F( f )() = l f () =. O e déduit c =. L edomorphisme F ps de vleur propre. ) Étudier h() = e. ) h() = e < eth()>, doc u >. Fios > h( + ) = ( + ) e et lim + ( + ) e = + Doc, pour suffismmet grd, u est etre et+. Ceci prouve que lim u =. 3) O peut écrire : Doc : Filemet : + u =+h vec lim h =. + +h =l( + h ) h. lim + h = et u = + +o. Poursuivos le développemet e écrivt : Filemet : u = + +k ) L foctio vec k = o u = o. t e t t. est cotiue et positive sur R +. Pour tout >, le segmet d etrémités et est iclus ds R +,doc f () est bie défii. Si, lors et f (). Si, lors et f (). ) O ote G ue primitive,sur R +,delfoctio : t e t O f () = G( ) G(). Doc G est de clsse C. 4 3) f () = G ( ) G () = e t. = e ep 4 + +l() e. O pose h() = 4 + +l(). O remrque que h() > et h() <, doc f s ule u mois ue fois etre et. Étudier h sur R + pour edéduire que f ps d utre zéro. L clculette permet de costter que h(,) > et h(,) <, doc ],;, [. 4) Si >, lors : et : O e déduit que : t [, ] e e t e 4 e l() f () e 4 l(). lim f () = et f()=+ o e. + Pour ds ],[, o obtiet de même : lim f () = et f () + + l(). 5) Le tbleu des vritios de f et le grphe de f sot ci-dessous., f () + + f(),33 f ()

353 Eercices :idictios etréposes y,5,,,3,4,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 O prologe F pr cotiuité e epost F() =. O remrque que lim F () =, doc F est de clsse C sur [,[ et le grphe de F dmet ue tgete horizotle e =. Étude e l(t) = t + + d(t). vec lim d(t) =. O pose : t + d(t) si t > et t = h(t) = si t = L foctio h est cotiue sur R +. Soit H ue primitive de h. O peut écrire, pour tout de D :,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7 f (),59,64,85,66,49,5,33,5,5,33,3,4,7,,7 L clculette vous permettr de costter que f (,) et f (,) sot très proches de,33 et que f () 3. Le domie de défiitiodefest : D =],[ ],+ [. Pour >, o et F(). Pour ds],[, o et l o obtiet ussi F(). O ote G ue primitive de l foctio t sur u l t de ses itervlles dedéfiitio. O F() = G( ) G(), doc E est de clsse C sur D. De plus : F () = G ( ) G () = l. O costte que F est positive sur D, doc F est croisste sur ],[etsur ],+ [. Étude e Sur], [,o: y l F()= l t d t l ( ). y = l t t Doc lim F() =. d t F() = t + h(t)dt =l( +)+H( ) H(). O e déduit : lim F() = l(). O prologe F pr cotiuité e epost F() = l(). Alors : R + Doc F est de clsse C sur R + et : F() = l( +)+H( ) H(). F () = + +h( ) h(). E prticulier F () = + h() =. Étude e + L foctio F est croisste sur R +. Ue étude grphique similireàcelle de l étude e permettr de prouver que : > F() l( ) et lim F() = +. + Coveité Fire l étude du sige de F et e déduire que F est covee. Le grphe de F est trcé sur le schém suivt : y c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

354 Alyse PC-PSI ) Première solutio L formule detylor vec reste itégrl ppliquée à T ( f ) doe lformule demdée. Deuième solutio O procède pr récurrece et o itègre pr prties. Troisième solutio (ds le cs où f est cotiue) Le clcul d itégrles doubles été bordé e Première ée. Celui-ci ser revu. O l utilise pour doer ue utre démostrtio, églemet pr récurrece. L hypothèse de récurrece (H )est :pour toute f de E,pour tout réel : T ( f )() = ( t) ( )! f (t)dt. (H )est vrie. O suppose (H )vrie pour u etier. Pour toute pplictio f de E,o: T + ( f ) = T ( f )(t)dt = t (t u) ( )! f (u)du dt L itégrle double est clculée vec t vrit ds [, ], et à t fié, u vrit ds [, t]. Le schém idique que u vrie ds [, ], et à u fié, t vrie ds [u, ]. u t = u Pr costructio, Im(T ) V. Soit g u élémet de V. Pour tout k de [[, ]], g (k) est l primitive de g (k+) qui s ule e. Doc : O e déduit :Im(T ) = V. T (g () ) = g. 3) D près l questio ), est jmisvleur propre de T. Soit l u sclire o ul et f u élémet deetelque T ( f ) = l f. O f = T l f,doc f est ds Im(T ). O e déduit que f est de clsse C et solutio del équtio différetielle : f () = l f f () = f () =...= f ( ) () = Le cours de Première ée sur les équtios différetielles liéires d ordre etpermet de coclure, ds lescs où vut ou,que f = E. Doc, Sp(T ) = Sp(T ) = [. Le cours sur lessystèmes différetiels, développé u tome Algèbre-Géométrie, permet de coclure que, pour tout,sp(t ) = [. 4) O ote f, = sup { f (t) ; t [mi(, ), m(, )]}. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Doc : u fié t[ u, ] t fié u[,t] t T + (t u) ( f ) = ( )! = = t f (u)du dt (t u) f(u) d t u ( )! ( u) f (u) d u.! d u Ceci prouve que (H ) (H +)etlrécurrece est chevée. ) Pour tout etier > ettout f de E, T ( f )est de clsse C et T ( f ) () = f. O e déduit que T ( f ) = E f = E. Aisi, T est ijective etiduit uisomorphisme de E ds Im(T ). Soit : V = g C (R, C); g() =...= g ( ) () =. T ( f )() = ( t) ( )! f (t)dt! f, doc l série àtermes complees T ( f )() est bsolumet covergete pour tout de R. L série de foctios T ( f ) coverge simplemet sur R. O fie ds R. t [mi(, ), m(, )] ( t) ( )! f (t) ( )! f, ( t) Si u (t) = f (t), l mjortio précédete prouve ( )! que l série de foctios u coverge ormlemet sur le segmet [mi(, ), m(, )], doc : = T ( f )() = = ( t) ( )! = e t f(t)dt =e e t f(t)dt. f (t)dt 35

355 Eercices :idictios etréposes ) L foctio f est défiie sur R et : ) f () l = f () = ( ) = l. ( ) ( + ). Aisi posée, l questio icite à motrer l covergece uiforme delsérie de foctios obteue sur u itervlle de l forme [A,+ [(A > ) pour utiliser le théorème d iterversio des limites e +. L série de foctios e coverge ps ormlemet surutel itervlle.toutefois, il s gitd ue sérielterée et elle vérifie, lorsque est fié, le critère spécil des séries lterées. Ceci vous permettrdeprouver qu elle coverge uiformémet sur R. lim ( f () l ) = + Puis : lim + f () =. lim + ( ) = ( + ) ( ) 3) O pose v () = ( ). L covergece uiformedel ( + ) série de foctios cotiues v sur R etrîe lcotiuité de f sur R. De plus : v () = ( ) +( ) + +i +. i Les foctios v sot de clsse C sur R et, pour tout k, o : v (k) ()=( ) + ( i) k k! ( +i) + i k. k+ ( i) k+ D où: v (k) () k! +i + k+ i k+ k! ( k! + ) k+. k+ L série de foctios v (k) coverge ormlemet sur R. L foctio f est doc de clsse C sur R. Soit t ds [, T ]. O pose, pour tout etier k : v k(u)= ( )k e k(t u) g(u) k! et o cosidère l série de foctios, défiies sur [, T ], v k(u). Si g est o ulle, opose M = u de [, T ]ettout > : v k(u) M k! ekt. sup g(u). Alors, pour tout u [,T ] Doc l série de foctios v k estormlemet covergete pr rpport àusur [, T ]et: ( ) k T e k(t u) g(u)du k! k= T ( ) k = e k(t u) g(u)du k! k= T = t = g(u)du+ O motre esuite que : ep( e (t u) ) T t g(u)du ep( e (t u) ) g(u)du t ep( e (t u) )g(u)du T lim ep e (t u) g(u)du = + t ep e (t u) e (t u). D où : T ep e (t u) T g(u)du e (t u) Mdu M t Efi, o motre que : t t lim ep e (t u) g(u)du = + ep e (t u) t g(u)du M Soit if M, t. Alors : t t De plus, si < t,o: t D où lerésultt. t ep ep e (t u) g(u)du. e (t u) d u. ep e (t u) g(u)du M(t )ep e MT ep( e ). ) E = [, ]. L série de foctios coverge ormlemet sur [, ], doc l foctio f est cotiue sur [, ]. Elle diverge grossièremet si >. ) L série de foctios covergeormlemet sur tout segmet de ], [. Lfoctio f est doc dérivble sur ], [ et : f () =. 353 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

356 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Soit o ul ds ], [. O écrit: f ()=. Lcovergece ormle sur tout segmet de ], [ de lsérie de foctios utorise àécrire : f ()= Puis : f l( ) () = t dt= l( ). si =, f () =. f () + + f() 3) f ( ) = 4) lim + f () = l et lim + () = f () = +. p 6 = p. Le grphe de f dmet ue tgete decoefficiet directeur lupoit d bscisse etlcotiuité de f sur [, ] ous permet de dire qu il eiste ue tgete verticle upoit d bscisse. 5) D =,. w () = f () ( ) f = D où : Puis : Soit : l( ) ( ). w() = (l( )) + w() = (l( )). w = f Chpitre 7 f + f ( ) = (l ). = (l ) + p. L foctio t cos est cotiue, borée et t positive sur l itervlle boré, p. Elle est doc itégrble sur cet itervlle. f est positive et cotiue sur ],].O cherche ue primitive sur ],]de f. L foctio (u = e u )est de clsse C de ],]sur ],].Pour tout de ],], o pose = e u,d = e u du. Et : l d = u e u d u = u e u + u e u...+!e u + C = (( l ) + ( l ) +...+!) + C. Cettederière epressio est borée sur], ], doc f estitégrble sur ],]et l d =!. L foctio f : t ( + t) 3 t ( t) est cotiue et positive sur ],[. O cherche ue primitive F sur ],[de f. dt F(t)=. ( + t)t 3 t L foctio ],+ [. t v = 3 t estdeclsse C de ],[sur Soit v = 3 ;o :t =,dt = 3v t v 3 + (v 3 +) dvet : F(t) = /3 v + v /3 dv /3 v /3 v+ /3 3 dv v /3 v+/3 O pose : = /3 l v + /3 4 /3 l v /3 v + /3 H(v) = /3 l 3/ /3 Arct 3 ( /3 v +cte. v + /3 4 /3 l v /3 v + /3 3/ /3 Arct 3 ( /3 v. 3 L foctio F : t H t est ue primitive de f sur ],[. L foctio H est borée sur ], + [, doc f est itégrble sur ], [ et : d t ( + t) 3 t ( t) = lim p H(v) lim H(v) = /3 v v

357 Eercices :idictios etréposes L foctio f est cotiue, positive et pire. Il suffit de prouver l itégrbilité de f sur R +. O motre l covergece de l série I k vec I k = (k+)p kp p d t I k = +(t+kp) (si t) 3/ p/ p/ d t +(kp) (si t) 3/ d t +(kp) t p p/ d t +k t 3/. Soit u = k t 3/. O trouve : où lim k + L foctio bk = +. u I k 4 3k 4/3 bk u /3 ( + u) d + si 3/. 3/ du u /3 ( + u) si t t p est itégrble sur R +,doc : I k 4 d u 3k 4/3 u /3 ( + u). Pr coséquet, I k = O k 4/3 l foctio est itégrble sur R.. L série I k coverge et ) L foctio prologée pr cotiuité t e ete p est cotiue et positive sur, p. Elle est doc itégrble sur, p. De plus : p/ t d = p/ cot d. Soit et b tels que < < b < p. Alors : b cot d = [ l(si())] b + O fit tedre vers etbvers p. p/ ) L foctio t d = p/ Arct () ( + ) b l(si()) d l(si()) d = p l. est cotiue et positive sur R +. De plus, elle se prologe pr cotiuité e et Arct () p ( + ). 3 L foctio foctio p est itégrble sur [ + [, doc l 3 est itégrble sur R +. Arct () ( + ) Soit A > etu=arct (). O obtiet : Puis : A Arct () Arct (A) ( + ) d = u t u d u. Arct () p/ ( + ) d = t d = p l. L foctio : t l(t) est cotiue et positive t sur ],[etseprologe pr cotiuité e. Or : l(t) t l(t) et l foctio l est itégrble sur ], ]. O e déduit l itégrbilité sur ], [ de l foctio : Soit ds t l(t) t.,. O clcule pr prties. Puis o fit tedre vers. l(t) t d t = 4( l()). l(t) t d t e itégrt ) L foctio f est cotiue et positive sur ],+ [. Elle se prologe pr cotiuité e. p De plus f () +. Or ue primitive sur [,+ [del 4 l foctio p est l foctio p 4 l 4 l(l ). Cette primitive est ps borée sur [, + [, doc f est ps itégrble sur ], + [. ) Si t > out <, l foctio f est cotiue et de sige costt sur ],]. f() t et cette foctio est itégrble sur ], ]. f l est doc. Si t =, l foctio f est cotiue et égtive sur ],[: f(), f(). Ces deu foctios sot itégrbles sur ], [. f l est ussi. Si t =, l foctio f est cotiue, positive sur ],]. f() 3/. f est ps itégrble sur ],]. Si t ],[, l foctio f est ps cotiue pr morceu sur ],[. 355 chchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

358 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 356 Les foctios f sot cotiues et positives sur ],]. Si, f se prologe pr cotiuité e vec f () =, doc f est itégrble sur ], ]. Et f (t) = o,doc t f est ussi itégrble sur ],]. O fie ds ],[. (l t) d t = t (l t) ltdt. D où u =. Pour >, e procédt de même : u = ( +) 3. (l t) t + dt = ( ) k t k (l t) d t k= Termier e justifit que et e déduire : lim + + ( ) + t + (l t) t + dt. ( ) + t + (l t) t + dt = (l t) t + dt = ( ) ( +) 3. f est cotiue et positive sur ], b[. Au voisige de, f()=o. ( ) L foctio est itégrble sur ( ), + b doc f l est ussi. + b O motre de même que f est itégrble sur, b. f est doc itégrblesur ], b[. L pplictio t = + b + t b est declsse C et bijective de], [ sur ], b[. b f ()d = dt t =p., l(t) L foctio t est cotiue et po- t( t) 3/ sitive sur ],[.De plus : l(t) t( t) 3/ t L foctio et l(t) t( t) 3/ = o t 3/4 t est itégrble sur t foctio t t 3/4 l est sur,., et l Doc f est itégrble sur ], [. L foctio t u = estdeclsse C et bijectivede], [ t sur ],+ [. l(t) + l(u) d t = d u. 3 t( t) (u ) 3 Puis e itégrt pr prties : l(t) + d u d t = 3 t( t) u u. L foctio u = u est declsse C et bijective de ],+ [sur R +. l(t) 3 d t = p. t( t) Pour tout >, o : f(t)dt B f(t) dt + f(t) dt B f(t) dt + f(t) dt dt e utilist l iéglité de Cuchy-Schwrz. f (t)dt B B f(t) dt + f(t) dt B B + f(t) dt + f(t) dt. Soit > fié. Il eiste B > tel que : + f (t) d t <. B Esuite, il eiste A > B tel que, pour tout A, oit B f (t) d t <. Alors, pour tout A,o: f(t)dt. L suite de foctios ( f )défiies sur [,]pr : f () = ( ) coverge simplemet sur [,]vers lfoctio ulle. Pour tout de [,], o f () e. Le théorème de covergece domiée s pplique. Pour tout > : e = e. Poser, pour tout >, f () = si()e et S () = f k(). B B B k= Alors : S () si() e. Appliquer le théorème de covergece domiée. B

359 Eercices :idictios etréposes e cos( ) = ( ) e ()! Poser,pour tout de N et tout : f ()=( ) e ()! F est défiie sur], + [. L foctio(t +t )est cotiue pr rpportàtet l foctio( +t)pr rpport à. O ote f (, t) = +t. Soit et b tels que < < b. Pour tout ds [, b], o : t +t +t et : t < +t. +t b L foctio t sup +t, est itégrble sur +t b R +. Le théorème de cotiuité s pplique. Or l foctio t est ps itégrble sur [,+ [. +t D où lcotrdictio cherchée. 5) F() = p. + F() y + = ) f vérifie les hypothèses du théorème et dmet ue dérivée prtielle pr rpport à, f,cotiue sur ],+ [ R +. Pour tout [, b] ],+ [, et pour tout (, t) de [, b] R + : f (, t) l t sup l t +t,. +t b ) O remrque que : t l t ( + t ) d t = t l t ( + t ) d t t l t ( + t ) d t Utiliser le chgemet de vrible u = pour l première itégrle. t F t l t () = ( + t ) t d t. 3) Poser,pour tout ettout t de R +, f (t) = +t. Puis motrer que le théorème de covergece domiées p- plique : lim F() =. L foctio F est décroisste. + Doc lim F =. + 4) L pplictio F est décroisste. F dmet ue limite l ds R {+ } lorsque ted vers. Motrer pr l bsurde que = +. Supposer que l pprtiee à R. A > F() A d t +t. Lesdeu termes dmettet ue limite lorsque ted vers. A > l A d t +t. π ) e d = p. ) Motrer, e utilist le corollire 9., que, pour tout p : d p + p (e ) e d = = dp p d p p d p D où : 3) p e d= e d =. p.3...(p ) p+ p+/. 4) O procède de même que ds l questio ) : D où : d p e d = d p ( ) p p!. p+ p+ e d = p!. p+ 357 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

360 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 358 L foctio f est cotiue et positive sur R +. f () b. Doc f est itégrblesur ], ] si,etseulemet si, b >. O remrque églemet que, si b >, lors, pour tout, f () et f est itégrble sur [, + [. b (+)p si Si b, o pose I = d et o étudie l p covergece de l série I. Si b >, o : (( +)p) b p Si b <, o : (p) b Doc : p b si d I (p) b si d I I (p) b p (( )p) b si d. p p si d. si d. L série I divergeetlfoctio f est ps itégrblesur [,+ [. Doc f est itégrble sur R + si, etseulemet si : < b < +. f f >etlim = <. + f Il eiste doc c tel que f soit égtive sur [c,+ [. L foctio f est positive, décroisste sur [c,+ [.Elle doc ue limite l e+. L foctio f est de sige costt sur [c,+ [.S primitive f est borée sur cet itervlle. Doc f estitégrble sur [c,+ [. f + f. f est de sige costt et =. f est doc itégrble sur [c,+ [.Or, elle est décroisste et positive sur cet itervlle. Lsérie f ()coverge. O vérifie tout d bord l eistece de l itégrle. L foctio t t est cotiue, positive sur ],]et: +t b L pplictio t ],] t +t b t t t est itégrble sur ], ] cr >. ( ) k Soit N et S = + kb. S = = ( ) k t +kb d t t ( t b ) + +t b dt. sot i- Les foctios t t et +t b tégrbles sur ],].D où: S = t +t b dt t t ( t b ) + +t b t ( t b ) + +t b dt. L deuième itégrle tedverslorsque ted vers + cr : t ( t b ) + dt +t b t b(+)+ d t = + b( +) O e déduitlors l églité : ( ) + b = t +t b dt. Pour = etb=3, o obtiet : ( ) +3 = l dt = +t3 3 + p 3 3. Avec Mple : ÒØ ½» ½ Ø µ ؼºº½µ 3 l()+ 9 p 3. ) Pour, l foctio f : ( + )...(+) est cotiue sur R + et : ( + )...(+) =+ O. Cette foctioest doc itégrble sur R +. Doc lim + I I =. d ( + ) =. Pour clculer I,odécompose e élémets simples : et : k = Soit A >. Or, A f ()d = ( + )...(+) = k k+ ( ) k (k )!( k)! = k= k =, doc : k= k= k ( ) k ( )!. [ kl(a)+ kl + k kl(k)]. A d ( + )...(+) = kl(k) = k= k= ( ) k k ( )! l(k).

361 Eercices :idictios etréposes ) f () f =. D où, pour tout de [,]: () k + k= k k= k= k+ f () f () f () f () E itégrt deà,oobtiet : 3) f ()d = O pose u = ds O obtiet Puis I De plus : f ()d k= k= k. k+ (+)! l(). f ()d + f ()d =I +. f ()d. f ()d. ( +)! l(). L série I coverge. f (). ) L foctio g est positive et cotiue sur ],[. g() l et l < g() ( ) l et l <. Doc g estitégrble sur ], [. ) L foctio t u = de [,[ds [,+ [. I(l)= t t + est declsse C et bijective du u l ( + u). 3) I(l) J (l) = J ( l)epost v = u. 4) J (l) = d u u l ( + u) = ( ) k u k +( ) u du u l +u = ( ) k u k+l d u +( ) cr chque itégrle uses. De plus : < u +l +u du qui ted vers lorsque ted vers +. Doc : J (l) = ( ) k u k+l d u = u +l +u du u +l du= +l ( ) k k + l. 5) I(l) = J (l)+j( l) = = l +l ) u = Posos v = f () ( ) l. f ( + ) + d = ( ) k k + l + ( ) k k + l f () + d. d et étudios u v. f() u v = (+) d. Doc : u v sup f (). [,] L série (u v )est bsolumet covergete. L série u coverge si, et seulemet si, lsérie f () d coverge, doc si, etseulemet si, f ()d =. ) Si l foctio t f (t) est itégrble sur [, + [, t l foctio t f (t) l est. f est ussi cotiue et t -périodique sur R,etlsérie + f (t) d t coverge. t D près lquestio précédete, o e déduit que : Puis f =. 3) Supposos l itégrle f () d =. f (t) t d t covergete, mis o bsolumet covergete. Alors f =. De plus, l série u coverge. Doc f ()d =. Réciproquemet, supposos Alors l série + f (t) t f ()d =et f =. d t coverge. De plus, pour tout [, +], o : f(t) t dt O e déduitque l itégrle lim + f (t) t sup f (). [,] f (t) t d t = d t est covergete et: u. 359 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

362 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 36 ) L foctio f est cotiue de [,+ [ds C. De plus e i =. f est itégrble sur [, + [ si, et seulemet si, <. ) Soit ds [, [. Preos A > et clculos A e i d. A e i d = ie i A +i =ie i ie i A A +i A A Lorsque A ted vers +,e ia A ted vers et: + L itégrle e i dcoverge, cr < ) O remrque que : e i d est covergete et: e i d=ie i +i p+p/4 p p/4 + cos d p e i d e i d. e i d.. O ote = p p 4 et + = p + p 4,lsuite + cos d e ted ps vers, doc l itégrle diverge. Lesitégrles proposées e sot ps covergetes. 4) Lorsque <, les foctios ( cos ) et ( si ) sot itégrbles sur [, + [. Lorsque, o motre de même que ds l questio 3) que l itégrle + si d est ps covergete. Lorsque est ds [, [, l questio ) permet d ffirmer que les itégrles + cos d et coverget. De plus, pour tout, o : si (si ) + = + cos. si d cos L itégrle d coverge, mis l itégrle + d diverge. L foctio ( si ) est doc ps itégrble sur [, + [. Motrer qu il e est de même de l foctio( cos ). 5) ) Posos u = u coverge etque : (+)p p si d. O sit que l série p si d = u = ( ) (p + t) si t d t. Cette série est lterée et vérifie le critère spécil des séries lterées. S somme lesige de u. Doc b) L foctio ( cos( )) est cotiue sur R. O remrque que : p/4+p cos( ) d p/4+p p 4 si d >.. p 4 +p L divergece de l série permet dedire que p 4 +p l foctio ( cos( )) est ps itégrble sur R. L foctio ( u = )est de clsse C et bijective sur [,+ [. + cos(u) + u d u = cos( )d. L itégrle cos( )d coverge. L même techique permet d étblir que l itégrle De plus : pr : si( )d est covergete. si( )d = si(u) u d u >. ) Cosidérer lsuite de foctios ( f )défiies sur R si / ],] f () = e si ],] + L foctio(u ue u )est positive sur R + et tteitso mimum e u =. O e déduit que, pour tout : f () e( + ). Appliquer le théorème de covergece domiée : e lim d = e u e u ) d = d u (u = ). + + u O cosidére lsuite de foctios ( f )défiies pr : si u / ],] f (u) = u e u si u ],] + u

363 Eercices :idictios etréposes Pour tout réel u : f (u) u e u. Si >, e ppliqut le théorème de covergece domiée : 3 e p lim d = u e u du= + + R (cf. eercice 7). Si =, de même : 3 e lim d = u p e u d u = Si <, lim + 3 e + d =. ) O pose, pour tout de N : f () = Pour tout de R +,o: l() si sio f () l() = l() e l() Appliquez le théorème de covergece domiée : ) + lim f + ()d = l()d = =l() ( u) l(u)du ( u) d u + e l()d. ( u) l(u)du cr les foctios u ( u) et u ( u) l(u) sot itégrblessur ],]. Itégrer pr prties ],[. Et : ( u) l(u)du ( u) + = + ( u) l(u)du,vec u réel de ( u) + du l(u) + u. ( u) + du + u = t + t + dt = + = + t +t dt Puis : l()d D où : w = O =l() = (l() l( +) g+o()) + e l()d = g. ) L foctio w est cotiue sur R et ep t u voisiges de et de +. ) Soit u = tu segmet [, b] der,(<b).alors : b Doc : Puis : f ()ep t d R f ()ep b t t f t u t f t ep u d u b t t t d f t lim f ()ep t d =. t + R R ep u d u. ep u d u. 3) O suppose f () =. Le clcul précédet doe : t R f ()ep t u d = f ep u d u. R t O cosidère ue suite (t )deréels > tedt vers + et, pour tout,lfoctio f défiie sur R pr : f (u) = f u t ep u. O u R f (u) f ep( u ). Le théorème de covergece domiée s pplique. D où : u lim f t ep u d u = f () ep u d u + R R = p f (). Ceci étt obteu pour toute suite (t )deréels tedt vers + : R f ()ep t p f() d +. t c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 36

364 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 36 ) O pose, pour tout >, f () = f ()e. O : f () f ep( ). Avec le théorème de covergece domiée : lim f ()e d =. + ) Clculer vribles u = sur f()e d e effectut le chgemet de A f()e d = f()e d, vec A >. f u e u d u u Poser, pour etu >, g (u) = f e u. L même mjortiopermet d utiliserlethéorème de covergece domiée : lim + 3) I L = = f u e u d u = f () ( f () f ())e d f (t)dt e d. e u d u = f () O fie A > etoitégre pr prties. E fist tedre A vers + : I L = f ()e d Doc : I L f (). O vérifie que, pour tout =, l foctio t h(t) est itégrble sur ]mi(, ), m(, )[. t Soit =. O pose t = u. E ott : G() = F() = h(u) u du. h(u) du,pour =, o : u F()=sg()G(). Pour tout réel, lfoctio (u h(u) )est cotiue et u itégrble sur [, [. L foctio, w, des deu vribles dmet ue dérivée prtielle pr rpport à, w (,u)= uh (u),cotiue pr rpport à u et cotiue pr rpport àu.soit A u réel telque :< A. Alors h est borée sur [ A,A]et, pour tout de [ A, A], o : uh (u) u h u (). u sup [ A,A] Lesfoctios domites sot itégrbles sur[, [, doc G est de clsse C sur R et : lim G() = G() = h() d u u lim G () = G uh () () = d u. u O e déduit que F est de clsse C sur R si, et seulemet si, h() = h () =. ) O fie >. L foctio t e t f (t)est cotiue sur R + et e t f (t) f (t). Doc elle est itégrble sur R +. ) Pour tout : Doc Étude de w()= lim + e t e t e t f (t)dt + e t f (t)dt f (t)dt e f. e t f (t)dt =. f (t)dt Pour toute suite ( )tedt vers + : e t f (t)dt = e u u f du. O ote f l foctio défiie sur R pr : f (u) = e u u f si u ], [; f (u)= sio. Avec le théorème de covergece domiée : lim + E défiitive, oobtiet e t f (t)dt = e u f()du = f(). lim + R w() = f (). 3) Pour tout, o : e t f (t) f (t) L foctio f est itégrble sur R +. ) O motre que l foctio f est de clsse C sur R + et, pour tout k, : E prticulier : f (k) () = f ()= f est strictemet décroisste sur R +. ) f () = ( t) k k!e t d t. ( + t) k+ te t dt. ( + t) e t d t = et f () = te t d t =.

365 Eercices :idictios etréposes O motre que lim + f () =. lim + f () =. f est décroisste, doc 3) Cetteéqutio différetielleest liéiredu premier ordre. O peut écrire ses solutios sous l forme : ep t y()=ep d t + C ep t vec C ds R. L epressio C ep ted vers l ifii, si C =, lorsque ted vers. O pose : ep t g() = ep d t = t e u = ( + u) du = f(). ep t d t t u = t De plus, o vérifieque lim g() =. ep t Efi, g() = ep d t. t Or lim e =. + ep L foctio t t t est cotiue, positive sur R +. Elle estprologeble prcotiuité e eto itégrble sur R +. O e déduit : Puis lim ep + ep lim + Chpitre 8 t t = etefi: lim g() = +. + d t = +. z Pour tout complee z, lsuite + coverge vers. Àprtir d u certi rg : z +. L série + z coverge bsolumet pour tout z et le ryo de covergece de l série etière est +. ) cos = cos si et = cos +si. Il est impossible d voir lim cos =. ) L suite (cos )ecoverge ps vers. Doc R. L suite (cos ) est borée. Doc d près le lemme d Abel, R. Filemet R =. 3) Pour tout de ], [,cos = Re(e i ) et l série géométrique (e i ) coverge. cos() = Re (e i ) cos = cos +. = = Appliquos l règle de d Alembert. Le ryo de covergece de l série etière est 8. ) L règle de d Alembert des séries etières s pplique à: z + ( +)( +) et doe pour ryo de covergece. E post z =,oedéduit que le ryo de covergece de l série etière de déprt vut ussi. ) Lessériesetièressuivtes ot pour ryo de covergece : +, + +, + +. Pour tout de ], [ : Et : = f () = = + ( +)( +) = ( ) + = = ( ) = l( ); = ( ) = + +. ( ) + + = l( ) ; + =l( + ) l( ). + = D où l epressio, vlble pour tout de ], [ : f () = 3 ( ) l( ) ( + ) l( + ). 3) Pour tout de [, ] et tout etier > : + ( +)( +) 3. L série de foctios cotiues + ( +)( +) coverge ormlemet sur [, ] et l foctio somme est cotiue sur [, ]. Aisi : = ( +)( +) = lim f () = f () = 3 4l(). L foctio étudiée est pire. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 363

366 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 364 Le ryo de covergece de cette série etière vut. O pose = pour tout de N, b = etb =pour tout de N. Alors : kb k =. k= ], [ = ( ). = Ds les trois cs, le ryo de covergece est R = et ], [ I [, ]. Ds lepremier cs, ils git d ue série géométrique. Doc I =], [. Ds ledeuième cs,i = [, [. Ds letroisièmecs,i = [, ]. L foctio somme d ue série etière est cotiue sur so itervlle ouvert de covergece (ici,], [). Ds le deuième cs, pour [, [, o peut ppliquer le critère spécil des séries lterées et mjorer le reste. O e déduir l covergece uiforme sur [, [, puis l cotiuité de l foctiosomme sur I = [, [. Ds letroisièmecs, lsérie de foctios cotiues est ormlemet covergete sur [, ]. Doc, l foctio somme est cotiue sur I = [, ]. R =. Notos S l foctio somme de cette série etière. Pour tout de ], [ : S () = = ( +) = = = +. l( )+ S ()= l( )+ si = si = Puisque S() =, S est lprimitive de S qui s ule e. + l( )+l +3 si = S()= +. si = ) Premièreméthode Pour tout de R : Doc : e si = Ime (+i) = Im R e si = = = ( +i)!. ( ) si( p 4 )!. Secode méthode Les foctios epoetielle et sius sot développbles e série etière sur R. Doc, leur produit l est ussi et : R e si = = k= sik = p vec k = ( p ) (p +)! si k = p + = p= k ( k)!, Aprés simplifictio, o obtiet : E(( )/) e si = ( ) p p +!. ) L uicité des coefficiets permet de coclure que, pour tout etier : E(( )/) p= ( ) p p + Pour tout de ], [ : =( ) si p. 4 f () = l( 3 ) l( ) l( + ) 3 = + + ( ). = = = L équtiocrctéristique ssociée àlreltioderécurrece () est : r r b =. Puisque b =, ses rcies e sot ps ulles. ) Deu cs sot possibles. +4b=. L équtio crctéristique deu rcies complees distictes l et m et il eiste (c, d) C telque : = cl + dm. Les deu séries etières l et m ot des ryos de covergece respectifs de l et,cr ce sot des séries m géométriques. Doc l série etière uryo de covergece : R mi l,. m +4b=. L équtio crctéristique ue rcie double m, et il eiste (c, d) C telque : = (c + d)m. Les deu séries etières m et m ot ryos de covergece. m pour

367 Eercices :idictios etréposes Doc, lsérie etière uryo de covergece : R m. ) Soit l et m les deu rcies (évetuellemet cofodues) de l équtiocrctéristique r r b =. O ote : r=mi m,. l L foctio somme de l série etière, disque ouvert decetre etderyo r. Pour tout z de ce disque, o: f,est défiie sur le z bz =et( z bz ) f(z)= +( )z. ) Le ryo de covergece est. ) Pour tout de ], [,o: Aisi que : ( ) f () = = + () ( ) f () = ( + )( + )( + ) = 3) Étude e + Pour ds [, [, lsérie + est lterée et vérifie le critère spécil des séries lterées. Pour tout de [, [ et tout etier : R () +. + O e déduit que l sériede foctios cotiues : + coverge uiformémet sur [, [. Le théorème d iterversio des limites s pplique : 4) Étude e lim + f () = = ( ) +. L série + est ue série divergete àtermes positifs. L suite de ses sommes prtielles ted vers +. D près (),pour tout de ],[: ( ) f () N = + = S N (). O e déduir que lim ) f () = +. ( L série de foctios : ( + )( + )( + ) () coverge ormlemet sur [,]. O ote : c= ( + )( + )( + ). = D près () et le théorème d iterversio des limites : lim ( ) f () = c. De plus : c = lim =. N + N + N Doc lim ( ) f () =. 5) Soit u réel de ],[etuetier,o: + O déduit de() que, pour tout de ], [: =. ( ) f () +. est cotiue, positive, décrois- l() eu L foctio g : u u ste etitégrble sur ], + [. Pour tout de N : + g(u)du = g(u)du. e u l() Doc : d u ( ) f () + u Le chgemet de vrible t = u l doe : e t d t ( ) f () + l l doc : lim l ( ) f () = e u l() u d u. e t d t. l e t d t = De plus, l ( ) /. Filemet : p f () ( ). 3/ p. Puisque R >, l série umérique k coverge bsolumet. O e déduit que l série de foctios de l vrible u ke i ku e i u coverge ormlemet sur [,p].doc : k p S(e iu )e i u d u = p p k= k p p e i(k )u du. Or e i(k ) u du = d,k (le symbole dekroecker). p Le résultt edécoule. 365 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

368 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Le ryo de covergece de cette série etière est ifii. Premièreméthode Pour tout de R : S()+S ()+S () = e. O recoît ue équtio différetielle liéire du secod ordre àcoefficiets costts. S est de l forme : S() = 3 e + e / 3 cos + be / 3 si. De plus, S() = S () =. O e déduit : = 3 et b = 3 3. Secode méthode 3 si = 3k + O remrque que +j + +j + = sio. Doc : S() = k= 3k+ (3k +)! = 3 ( +j+ +j + )!. = O e déduit :S()= 3 (e +je j +j e j ). O écrit f sur ] p, p[\{} sous l forme : f () = si si. Lesfoctios w : si et c : se prologet pr cotiuité e. De plus, sur ] p,p[, o : w()= ( ) ( +)! et c() = si ( ). ( +)! Elles sot de clsse C sur ] p, p[ etwe s ule ps sur cet itervlle.doc f estprologeble e e ue foctio de clsse C sur ] p, p[. ) Soit ue série etière de ryo de covergece R >. S foctio somme est otée y. Si y est solutio de (E) sur ] R, R[, o : y () y ()+4 3 y() = ( +( )( +)+4 3) = pour tout de ] R, R[. =3 L uicité du développemet e série etière prouve que = 3 = etque : +4( +)( +4)+4 = () ) L reltio () permet de démotrer, pr récurrece, que 4 p+ = pour tout etier p (respectivemet 4p+3 = ), cr = (respectivemet 3 = ). 3) D prés (), pour tout etier p : 4p= O e déduit pr récurrece que : p N 4( p ). p(p ) De fço similire, o prouve que : 4 p = ( )p (p)!. p N 4 p+ = ( ) p (p +)!. 4) Le ryo de covergece de l série etière est ifii. De plus, pour tout de R, o: = cos( )+ si( ). = 5) Puisque l série etière obteue uryo de covergece ifii, s foctio somme estsolutio de(e)sur R. L esemble des solutios de (E) suruitervlle I e cotet ps est u sous-espce vectoriel dec (I,R)dedimesio, egedré pr lesrestrictios à I desfoctios ( cos( )) et ( si( )). Doc, toute solutiode(e)sur R est delforme : cos( )+ si( ) si R + y : b cos( )+b si( ) si R vec,, b, b qutre costtes. L cotiuité de y e etrîe = b. De plus, y estdeu fois dérivble e.oedéduit = b. Doc, l esemble S des solutios de (E) défiies sur R est le sous-espce vectoriel de dimesio dec (R)egedré pr les foctios ( cos( )) et ( si( )). ) Pour tout de [, ] :. L série de foctios coverge ormlemet sur [, ]. Le ryo de covergece de l sérieetière vut. Filemet ledomie de défiitiode f est [, ]. ) L covergece ormleévoquée plus hut prouve lcoti- uité de : sur [, ]. = L cotiuité de l epoetielle etrîelcotiuité de f sur so domie de défiitio. 366

369 Eercices :idictios etréposes 3) O pose S() = =. Cette foctio est de clsse C sur ], [,cr c est l foctiosomme d ue série etière de ryo de covergece. L foctio epoetielle est de clsse C sur R. Doc, f l est sur ], [. 4) De plus, pr défiitio de f, f() =. Doc, f est solutio, sur ], [,duproblème de Cuchy : y y() = = S ()y Osuppose l eistece d ue solutio y de () développble e série etière sur ], [ et otée : y() =. = Détermitio des coefficiets L foctio y est solutio sur ], [ de (). Oedéduit : = N + = k () + (k+) Ceci détermie lsuite ( )demière uique pr récurrece. Ds l suite de l eercice, ( )désige l suite clculéeàprtir de l reltio (). Miortio du ryo de covergece de O motre pr récurrece que, pour tout,. Soit R le ryo de covergece de. Puisque l suite ( )est borée, R. Idetifictio de f et de y sur ],[ Puisque le ryo de covergece R de cette série etière est plus grd que, l foctio somme de cette série, y, est de clsse C sur ], [. Lreltio () permet deprouver que lfoctio y est solutio, sur ], [, duprobléme de Cuchy : y = S ()y y() = Or,lfoctio f est ussi solutio deceproblème de Cuchy. D près le théorème decuchy-lipschitz : ], [ f () = y() =. k= = 5) Lessériesetières et ot le même ryo de covergece. Doc, pour tout etier turel p, et p ussi. Puisque l suite ( p ) e coverge ps vers, l série p e coverge ps pour =. O e déduit R =. () Applictioàl série étudiée Soit u etier p. + = k + (k+) k= (+) p + = ( +) p + k k+ k= Doc, pour tout : ( +) p + k =. k= L suite ( p )ecoverge ps vers. D près ce qui précède, le ryo de covergece cherché est ectemet. ) Le critère spécil des séries lterées s pplique àl série ( ) qui coverge pour tout de R. + ) Ds toute lquestio, est fié ds R. L foctio : t cos(t)e t est cotiue sur R +. Pour tout etier : cos(t)e t e t. Doc, elle est itégrble sur R +. Uedouble itégrtiopr prtiesvous permettrdeprouver l formule demdée. Pour tout t >, e t ],[et: cos(t) e t + = cos(t)e t +e t = ( ) cos(t)e t. = O ote S l -ième somme prtielle de cette série de foctios de l vrible t. Pour tout t de R + : S (t) = k= ( ) k cos(t)e kt = cos(t)e t ( ) e t +e t. S (t) e t. Le théorème de covergece domiée s pplique et permet de coclure : cos(t) e t + dt = ( ) cos(t)e t d t = f (). = 3) L foctiocosius est développble esérie etière et : (, t) R R cos(t) e t + = ( ) t ()! e t +. = Soit ds R. O pose v (t) = ( ) ()! e t +. Alors : t = e t + dt t e t dt =()! Si ], [, lsérie v (t) d t est covergete, t 367 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

370 Alyse PC-PSI le théorème d itégrtio terme àterme s pplique et permet d écrire : cos(t) e t + dt = ( ) ()!. = Ceci prouve que lfoctio f est développble e sérieetière sur ], [. De plus : t e t d t = ()! L série ( ) divergegrossièremet pour = et ()! = le ryo de covergece de cette sérieetière est ectemet. ) De l formule : p, p dt d () = +t () o déduit pr récurrece que, pour tout etier : p, p f () () = P ( f ()) où P est u polyôme àcoefficiets réels positifs de degré +.De fit, o trouve : Puisque f est positive sur coefficiets positifs. ) Soit, p P +(y) = P(y)( + y )., p, f () l est ussi cr P est à. D près l première questio, l série : Pour, l formule deleibiz permet d écrire : f (+) () = ( + f ()) () = f (k) () f ( k) (). k Or, f () =. D oùlformule : g () = + 4) O : = k= f (+) ()! = +g () vlblesur p,p g () +g () =. Le chgemet de vrible y = g() ds : g () +g () d permet decoclure qu ileiste u réel c telque : p, p Arct (g()) = + c. Or, g() = f () =. Doc c = et: p,p g()=t. p, p. Ceci prouve que l foctio tgete est développble esérie etière sur p, p. De plus, cette foctio est ps coti- ue àguche e p ;doc le ryo de covergece de s série de Tylor est ectemet p. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit f () ()! estàtermes positifs. L formule de Tylor vec reste itégrl ous ppred que : f (k) () f () = k ( t) + f (+) (t)dt. k! k=! ( t) f (+) (t)dt N! k= f (k) () k f (). k! L série etière f () () coverge pour tout de [, p! [ et so ryo de covergece R est tel que R p. 3) Puisque R p,ldérivée degsur p, p est obteue pr dérivtio terme àterme : g () = = f () () ( )! = + = f (+) ()!. Pr illeurs, l epressio deg sur cet itervlle s obtiet e effectut le produit decuchy : g () = f (k) () f ( k) () k!. = k= Chpitre 9 ) Si i Z, = i m, f () = e i m,vec m ds Z. Ds ce cs : c m( f ) = et = m c ( f) =. ) Sio, o :c ( f)=( ) sh (p) p( i ). L foctio f est à vleurs complees et pire. Les coefficiets b ( f )sot uls. ) Si i Z, = i m et : Ds ce cs : f () = ei m +e im c m( f ) =, c m( f ) = = cos(m). et m ( f ) =. Z\{m, m} c ( f) =. N\{ m } ( f ) =. 368

371 Eercices :idictios etréposes ) Avec Mple : ÔÐÓØ Ó Üµ ܹ¾ºº¾ ÐÒÓÒ ØÖÒµ Pour tout : ( f)= p p (e +e )(e i +e i )d =( ) sh (p) p +. Pour l première foctio, si i Z, = i m, f () = e i m, et pour tout p m, S p( f ) = f. E effet, f est u polyôme trigoométrique. Sio, l somme prtielle S p( f )delsérie de Fourier de f est : S p( f )() = sh (p) p + p = ( ) + [( +i)ei +( i)e i ] Pour l secode foctio, si = i m i Z, f () = cos(m) f est u polyôme trigoométrique. Si p < m, S p( f ) =. Si p m, S p( f ) = f. Sio, si R + : sh (p) p S p( f )() = p [ + ( ) + cos()]. O sit que : = if { f Q ; Q P } = f S ( f ). Pr coséquet : Si i Z, = i m, f () = e i m. Pour tout m, S ( f ) = f et : if { f Q ; Q P } =. Pour tout < m, S ( f ) = et: if { f Q ; Q P } = f =. Si C\i Z, lsomme prtielle S ( f )delsérie de Fourier de f est : sh (p) p + k= ( ) k + k [( +ik)ei k +( ik)e i k ]. Ds ce cs, if { f Q ; Q P } = f S ( f ) et le théorème depythgore permet de clculer : f S ( f ) = f S ( f). Avec : f = sh (p Re ) p si Re = e d = p Re p p si Re = et : S ( f ) = c k( f ) k= = sh (p) p + sh (p) p + k [ +ik + ik ]. k= Si l série trigoométrique si étit lsérie de Fourier d ue foctio decm p,d près l iéglité de Bessel, l série seritcovergete, ce qui est fu. E ce qui cocere l foctio f de l eercice, elle est ps cotiue, suf ds le cs iz. L foctio f de l eercice est cotiue, l suite (S ( f )) coverge e moyee qudrtique vers f. Si R + : sh (p) p S p( f )() = p [ + ( ) + cos()]. = Filemet : sh (p) + ( = p + ) + sh (p) 4p. L foctio f de l eercice pprtiet àl espce D p. L formule de Prsevl s pplique : p e t d t p p = sh (p) p + ( + ) [ + ] 369 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

372 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Si Re() =, lors : p Si Re() =, lors : p p e t d t =. p e t sh (Re()p) d t = p p Re()p. L foctio f de l eercice est ps cotiue. Le théorème de covergece ormle e s pplique ps à elle. L foctio f de l eercice est cotiue et de clsse C pr morceu. Le théorème de covergece ormle s pplique. L série defourier de f coverge ormlemet vers f sur R. E prticulier, pour tout de [ p, p], lorsque > : ch () = sh (p) p + ( ) + cos(). L foctio f de l eercice est C pr morceu sur R,doc le théorème de covergece simple s pplique : R f r() = sh (p) p + ( ) + [( + i)ei +( i)e i ] = Mis, de plus, pour = (k +)p, Aisi : et : f()=ch (p) = ep +e p = f r(). f (p) = f () = = f (p) = ch (p) = sh (p) p sh (p) p + ( ) + = +. + = O e déduit les sommes de séries suivtes : ( ) + = p sh (p) pch (p) = + sh (p). ) L foctio f est cotiue sur R, T-périodique et pire. Avec Mple : ÔÐÓØ Ò È Ø»¾µµ ع¾ Ⱥº¾ ȵ t Les coefficiets b ( f )sot uls et: ( f)= T T si pt cos T ) L formule deprsevl doe : D où : T T si pt d t = T pt T 4 d t = p( 4 ). = 4 p + 6 p ( 4 ). p 6 = ( 4 ). L foctio f est cotiue et de clsse C pr morceu sur R. Le théorème de covergece ormle s pplique. E prticulier : t R si( pt T ) = p + 4 p( 4 ) cos pt T. O motre tout d bordqu il eiste ue suite ( w()), etrite de l suite ( ), telle que l série w() coverge. Puisque l suite ( )coverge, il eiste N tel que, pour tout N, oit <. O pose w() = N. Il eiste N > N telque, pour tout N, o it w() + <. O pose w() = N. E itért le procédé, o costruit ue suite ( w()), etrite de l suite ( )qui coviet. O cosidère lors lsérie de foctios cos(t) ds lquelle = s il eiste u etier p tel que : = w(p) et = sio. L série est ue série àtermes positifs covergete etil eiste ue ifiité de vleurs detellesque =. L série de foctios cos(t) est ormlemet covergete sur R. S foctio somme est cotiue, p-périodique. Elle vérifie lcoditio souhitée. 37

373 Eercices :idictios etréposes ) Les foctios f et g sot p-périodiques et pires. Lescoefficiets b ( f )etb (g)sot uls. ( f ) = 4 T ( f ) = 4 T (g) = 4 T (g) = 4 T T / T / 4 d = T cos pt d = ( ) T 4 p 3. 4 p 4 T / T / d = T 6 cos pt d = ( ) T. p ) Lesfoctios f et g sot cotiues et de clsse C pr morceu sur R. Chcue est l somme de s série de Fourier etl covergece est ormle sur R. E prticulier : R f() = T4 8 + T 4 et : g() = T + O e déduit : R f() T g() ( ) p 3 cos pt 4 p 4 ( ) T p = 7T4 4 cos pt. 3( ) T 4 4 p 4 3) Avec l formule deprsevl, o obtiet : = p cos pt. Lesfoctios f et f sot cotiues et p-périodiques sur R. O sitque : p f = p f et p De plus, l formule deprsevl permet d écrire : f = + c ( f ) et f = Or,pr hypothèse, c ( f ) = et, pour tout : D oùlerésultt. c ( f ) = ic ( f ). f = p f. + c ( f ). L églité est possible que si, pour tout : Cette coditio équivut à: Z c ( f ) = c ( f ). > c ( f)=. Les foctios vérifit l églité sot écessiremet de l forme : t le i t + me i t,vec (l,m) C. Vérifierque toutes covieet. L foctio si est cotiue, pire, p-périodique et de clsse C pr morceu sur R. Elle est doc l somme de s série de Fourier. R si = p 4 p cos() 4. Cherchos ue solutio f pire,somme de s série de Fourier. O suppose doc qu il eiste ue suite ( )telle que l série cos()coverge. Soit f l foctio défiie pr : R f () = + cos(). Supposos de plus cette foctio solutio de l équtio différetielle. Elle est doc deu fois dérivble sur R et, pour tout réel, o f () = si f().ceci etrîe que f est de clsse C sur R. O suppose efi que les dérivées de f s obtieet e dérivt terme à terme l série. Pr coséquet : R f () = 4 cos(). L foctio f est doc solutio del équtio différetielle si, et seulemet si : R p 4 cos() p 4 = + ( 4 )cos() O pred = p et, pour tout >, = 4 p (4 ). O vérifie que l série de foctios : 4 p (4 ) cos() est ormlemet covergete sur R, isi que les séries dérivées termeàtermed ordre et.les hypothèses émises sur f sot doc justifiées posteriori. Les solutios de l équtiodifféretielle sot les foctios : cos + b si + p 4 p vec et b deu costtes. (4 ) cos() c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 37

374 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 37 ) Lfoctio f est défiie,cotiue et p-périodique sur R. Le clcul direct des coefficiets defourier serit fort mlisé, àcuse des itégrles. Procédos différemmet. Tout d bord : ch +cos = e i (e i +e )(e i +e ). O pose e i = u pour réduire eélémets simples. D où: ch +cos = e i. sh +ei +e i Avec e i = e < et e i =e <, o peut utiliser ledéveloppemet e sérieetière de,pour v <, et +v o écrit : ch +cos = ( ) (e i ) ( ) (e i ) + sh = + ( ) e cos(). sh ) Mis, si cetteepressio «ressemble» àue sériede Fourier, rie e prouve pour l istt qu il s gisse effectivemet de l série defourier de f,cr elle ps été obteue pr le clcul des coefficiets defourier de f. Pourtt,sil ocosidère lsérie de foctios : + ( ) e cos() sh o : R ( ) e cos() e et l série géométrique de terme géérl (e ) coverge, doc l série de foctios coverge ormlemet sur R. Elle est doc l série de Fourierdessomme f () = ch +cos. 3) O e déduit : p Si = : p p Si = : p p p cos() ch +cos d = p( f ) d ch +cos = p sh. cos() ch +cos d = p( ) e. sh Avt même l recherche des solutios, o peut remrquer que l foctio sius coviet et que toute combiiso liéire de solutios est solutio. L esemble des solutios est doc usous-espce vectoriel dec (R,R), de dimesio supérieure ou égle à. Soit f ue solutio. Puisque f est de clsse C et ppériodique, f estlsomme de s série de Fourierqui coverge ormlemet sur R. Doc, pour tout réel : f () = c ( f )+ c ( f)e i + c ( f )e i. O e déduit que : R f () = c ( f )+ c ( f)e i + c ( f )e i. De plus, f est ussi de clsse C et p-périodique, doc f est ussi l somme de s série de Fourier qui coverge ormlemet sur R. O sit que c ( f ) = (i)c ( f ). D où c ( f ) = et: R Doc : R f ()= si f ()=si (i) c ( f )e i c ( f )e i. (i ) c ( f )e i i c ( f )e = (e i e i ) = Et filemet : R c ( f )+ c ( f )e i c ( f )e i c ( f )e i(+) c ( f )e i( ) c ( f)e i( ) + c ( f )e i(+). c ( f)e i + c ( f )e i = c ( f )e i(+) c ( f )e i( ) c ( f)e i( ) + c ( f )e i(+). Ceci trduit l églité, pour tout réel,de f()etsi f (). De plus, puisque f est de clsse C,pour tout k, et pour tout de Z : c ( f ) = o k, doc les deu séries trigoométriques ci-dessus sot ormlemet covergetes. Elles sot les séries de Fourier de leurs sommes qui sot des foctios cotiues, égles. D près l uicité du développemet e série de Fourier pour ue foctio cotiue, p-périodique, o peut idetifier les coefficiets et o obtiet : c ( f ) = c ( f ) c ( f ) (coefficiet de e ); =c ( f ) ( +)c +( f ) (coefficiet de e i(+) ); = ( +)c (+)( f )+c ( f ) (coefficiet de e i(+) ); c ( f)=c ( f) 3c 3( f) (coefficiet de e i ); c ( f) =( )c ( f ) ( +)c +( f ) (coefficiet de e i );

375 Eercices :idictios etréposes L deuième reltio ous idique que le terme c ( f )est costt et l troisième qu il eest de même dec ( f ). Or,sil ocosidère que, pour tout k, et pour tout de Z : c ( f ) = o k. Ceci etrîe que ce produit est ul et doc que, pour o ul, c ( f ) =. L qutrième reltioidique que c 3( f ) =. Pr récurrece, le lecteur motrer lors que, pour tout, c +( f ) = etc (+)( f ) =. E résumé, seuls c ( f ), c ( f )etc (f)sot évetuellemet o uls, et, c ( f ) = c ( f ) c ( f ). O obtiet lors : f()=c ( f)(e i ) + c ( f )(e i ). O vérifie que les foctios de l forme : (e i ) + b(e i ) sot solutios. L esembledes solutios est u espce vectoriel de dimesio. Tout d bord, si f est de clsse C sur R et vérifie l reltio idiquée, o démotre ss difficulté, pr récurrece, que f est de clsse C. Elle est doc l somme de s série de Fourier qui coverge ormlemet sur R et il e est de même de s dérivée f. Les foctios ( f ( +) f( )) et( l f ()), étt cotiues et égles, le développemet e série de Fourier est uique et : Z T f (t +)e ipt/t d t T f (t )e ipt/t d t T T Or : T T et,demême : f (t +)e ipt/t d t = T T T = l T T+ T = e ip/t c ( f ) f (t)e ipt/t d t. f (u)e ip(u )/T d u f (t )e ipt/t d t = e ip/t c ( f ). De plus, c ( f ) = ip c( f ). Doc filemet : T Z p i si c ( f ) = l ip c( f ). T T D où: p Z si c ( f) l T p T =. O itroduit lors l foctio g défiie sur R pr : g() = si. L reltioprécédete s écrit: Z p c ( f) l g =. T Or,lfoctio g se prologe pr cotiuité e, ted vers e +,doc est borée sur R +. Doc, si l est ps réel ou si l est strictemet supérieur à sup g(t), tous les coefficiets c ( f ), pour ds Z,sot t R + uls ete lest l espce vectoriel des foctios costtes. Il est doc de dimesio. p Or, lim =, doc, àprtir d u certi rg N : + g T l g p =, soit c ( f ) =. T E l est u sous-espce vectoriel de P N,doc de dimesio fiie. Chpitre I = Il s gitdeclculer : p O obtiet : et o : [(y(t) z(t)) (t)+ Vérifierqu e ott : (z(t) (t))y (t)+((t) y(t))z (t)] d t. I = pr(h + R). P(, y, z) = 3 y + z 3, Q(, y, z) = 3y z + 3 R(, y, z) = 3z + y 3, Q = P y ; P z = R ; Q z = R y. Aisi, v est ue forme fermée, doc ecte sur R 3. O cherche ue foctio f telle que : Ue première coditio est : O itègre pr rpport à: Le clcul de f y et f z Filemet : f = P ; f y = Q ; f z = R. f (, y, z) = 3 y + z 3. f(,y,z)= 3 y+z 3 + g(y,z). permet de préciser g. f (, y, z) = 3 y + z 3 + y 3 z + c,oùcest ue costte. 373 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

376 Alyse PC-PSI Soit OM(u) =r(u) u(u). Puisque r(u + p) = r(u), o : OM(u+p) = OM(u). w :(,y) (u, v) = Pr costructio, w(d) = K. y y, y est de clsse C sur U. v L courbe s obtiet e totlité e effectut l étude sur : p,p. D K Il yue directio symptotique e u = ± p. O cherche doc ue symptote verticle : lim (u) = u ± p. w est ue bijectiodeuds U cr : u Le sige de + Avec Mple : doe l positio prrpport àl symptote. ÛØ ÔÐÓØ µ ÔÓÐÖÔÐÓØ Ó ¾ Ø È»µ»Ó ص عȻ¾ººÈ»¾ ÚÛ¹ ºº ¹ ºº µ 3 u = y et v = y v = et y = uv. u E tout poit (, y)deu,lejcobie de w est : D(u, v) D(, y) = y y = y = v =. Ceci prouve que w est u C -difféomorphisme de U ds luimême. L formule d iversio des mtrices doe : D(, y) D(u, v) = v. 3 3 Puisque w(d) = K,l irededest : D d dy = K = b b D(, y) D(u, v) d u d v l() uités d ire. 3 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L boucle delstrophoïde est décrite pour u vrit de: Soire est : A= 3p 8 p/8 3p/8 à p 8. r (u)du. Après clculs, A = + l + uités d ire. O remrque que, pour tout (, y) ded: Soit U = R + R +, K = b y b et y. b, b,, u = y,v = y. z O Pr riso de symétrie, le cetre de grvité G, de coordoées ( G, y G, z G)pprtiet àl e (Oz). zd d ydz K z G = d dydz K = 3 zd dydz. pr 3 K y 374

377 Eercices :idictios etréposes Utilisos les coordoées sphériques. zd d ydz = K p p p/ R Filemet,lcote degest : z G = 3R 8. r 3 dr cos u si u d u d w = pr4 4. Recoissos uellipsoïde. Soit le chgemet de vrible défii pr : R 3 R 3 w: (u, v, w) (, y, z) = (u, bv, cw) Avec Mple : ÛØ ÔÐÓØ µ ÑÔÐØÔÐÓØ Ü ¾» Ý ¾» ¾ Þ ¾¹½ ܹ¾ºº¾ ݹ ºº Þ¹½ºº½ Ö¾¼ ¾¼ ¾¼ Ü Óܵ Deuième méthode E utilist lescoordoées polires. p/ (+y)ddy = (cos t+si t)dt r d r = 3. K Troisième méthode L formule de Gree-Riem permet d écrire, e ott D le bord orieté ds le ses positif du domie K : K ( + y)ddy = D = +y d y y + y y d y = 3. Soit K le compct délimité pr le trigle, D so bord orieté. y C.5 z y 3 w défiit u utomorphisme de R 3, doc u C -difféomorphisme de R 3 sur R 3. Sojcobie est idépedt de (u, v, w) : D(, y, z) D(u, v, w) = bc. Le domie E est l imge pr w de l boule : E D={(u,v,w) u +v +w }. Le volume de E est : d dydz = bc d u d v d w = 4p bc uités de 3 volume. Premièreméthode Pr riso de symétrie : ( + y)ddy = K = D K ( )/ d dy + y d y d = K yd d y ( )d = 3. A Osos l formuledegree-riem pour clculer l ire du trigle : K d dy = = D dy d + = 3uités d ire. B 3 d + 3 d 4 Le théorème decuchy-lipschitz s pplique cr l pplictio (y sh y)est de clsse C. L pplictio ulle est solutio de l équtio différetielle. Doc c est lseulesolutio mimlequi s ule. Ocherche les solutios qui e s ulet ps. Ue telle solutiovérifie y sh y = et: y=argth th y e. Le domie de défiitiodeces foctios est :, l th y. 375 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

378 Alyse PC-PSI c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit L foctio (, y) e y est cotiue et positive,doc : y d dy e K y d dy C / e y e y d dy. C Pr pssge e coordoées polires, o obtiet : / p e /4 e d p e /. / O fit tedre vers + : + e d = p. ) Soit M(, y, z)upoit de R 3. M C m D M [O,m] = tx (X,Y) D t [,] y =ty z = h( t) Ces équtios crctériset u poit M du côe K et sot ue représettioprmétrique de K. R 3 R 3 ) Soit w : ( X, Y, t ) (, y, z) = (tx,ty,h( t)) L foctio w est de clsse C sur R 3. Le côe C est l imge pr w du compct : K ={(X,Y,t) (X,Y) D et t [,]}. L esemble K des poits itérieurs àkest : K = {(X, Y, t) (X, Y ) D et t ],[}. LrestrictiodewàK est ijective. Lejcobie de w est : D(, y, z) D(X, Y, t) = Il e s ule ps sur K. Doc : K d dydz = où A(D) est l ire de l bse du côe. t X t Y h = ht. ht X dy dt = Dd 3 ha(d) Le théorème decuchy-lipschitz s pplique cr l pplictio ( si ) est de clsse C. L foctiosius s ulepour = kp (k Z), doc lesfoctios costtes ( y() = kp (k Z)) sot des solutios de l équtio. O cherche les solutios telles que : y() ]kp,(k+)p[(k Z). Ue telle solutiovérifie y = si y,soit: Après itégrtio : c R dy si y = d. t y l = c. Puisque y ]kp,(k+)p[, t y grde u sige costt. Pour k = p, oobtiet : y = kp +Arct (e c ). Pour k = p +,o:y=(k+)p Arct (e c ) y 376

379 Eercices :idictios etréposes ) Soit I le domie de défiitiode f et g l foctio défiie sur I pr : g() = f ( ). L foctio g est solutio du même problème de Cuchy que f. Doc g = f, I = I et f est impire. ) O suppose que I est boré : I =], [, vec R. L foctio f est croisste sur I. Doc : f (). Puis : Itégros : f (). f(). L foctio f est lors croisste et mjorée sur I. Elle dmet u prologemet pr cotiuité e.l foctio prologée est C et est solutio del équtio, ce qui cotredit lefit que f est ue solutio mimle. Doc I est ps boré, I = R. 3) Puisque l foctio f est strictemet croisste, o peut écrire : < f () e f(). Or f () >, doc f est itégrble sur R + et : lim f () = l R. De plus : f () < l et : f () > e l. Aisi : f ()d => e l d = l et >. D près le théorème des vleurs itermédiires : R + f () = Aisi : f ()d = < D où <+ e. e d = e. L foctio y est solutio dey = v my. Multiplios les deu membres de l équtio différetielle pr y. O :y y = v my y doc y = y + v m Tritos le cs y >. Il ydeu possibilités. y v. m y Ds ce cs, l foctio y est toujours positive et : y = y +v m y. y O e déduit : t= y y du y +v m u y. y. y L solutio mimle est doc défiie sur R +. Le poit M s éloige sur le demi-e (Oy)lorsque le temps t ted vers +. y v <. m y L vitesse y s ule, àl istt t,lorsque : O : t = y = v m y y v m y du y +v m y. u y L bscisse du poit mobile croîtdey ày lorsque t croîtdeà t,svitesse est lors positive. Puis lepoit rebrousse chemi. Sobscisse décroît, s vitesse est égtive. L bscisse du poit M décroîtdey à.elle ted vers lorsque t ted vers t défii pr : t t = y y y +v m du. u y Toutefois, lorsque t ted vers t,lvitesse du poit M ted vers. L solutioepeut être prologée u-delà det.l solutio mimle est lors défiie sur [, t [.. ) L pplictio ((t,) si(t)) est de clsse C sur R. Le théorème decuchy-lipschitz s pplique. Pour tout couple (t, )deréels, il eiste ue uique solutio mimle w de l équtio différetielle telle que : w(t ) =. De plus, cette pplictio w est défiie sur u itervlle I =]b, [ et vérifie : t I w (t). O suppose que R. L foctio w est itégrble sur [t,[. Doc, w dmet ue limite réelle e. Prologée pr cotiuité, elle est ussi dérivble àguche e et w () = si(w()). Ceci cotredit le fit que w est mimle. O prouvé pr l bsurde que = +. O motre de même que b = et isi I = R. ) O pose : y b(t) = b( t). L foctio y b est défiie sur R,elle vérifie l équtiodifféretielle et y b() = b. Doc, y b = b. L foctio b est pire. De plus, l foctio b est solutio dumême problème de Cuchy que b. D où: b= b. 3) O suppose qu il eiste u réel t tel que : b(t ) =. L foctio ulle est solutio del équtio différetielle. D près l uicité ds le théorème decuchy-lipschitz, osit que b est l pplictioulle.ceci est fu, doc b estàvleursstrictemet positives. 377 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit

380 Alyse PC-PSI 4) 5 4 y Alors t y = p, y = y, t y = p. Doc, t = t. O motre de même que, pour tout etier k impir : et t k+ = + t k k w(t k+) = y k+ t k+ = y k t k k tk = w(tk) k tk. c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 3 y= f b () t t t 3 4 G 3 G G O ote I = {t ; u [, t] b(u) f b(u)}. O sit que b() = f b() = b et que b() = et fb() =. Il eiste doc d > tel que :[, d] I. Supposos I mjoré et otos u = sup I. L cotiuité des foctios b et f b etrîe que u est ds I et : b(u) f b(u). Or l pplictio f b est dérivble àdroite e tout poit et : Plus précisémet : t R + t R + \ pz f b (t + ) si(tf b(t)). f b (t + ) > si(tf b(t)). Il eiste doc u voisige àdroite de u sur lequel : b(t) < f b (t). Ce voisige est coteu ds I et I = R. 5) O ppelle, pour k ds N,(t k,y k)les coordoées du poit d itersectiodugrphe de l foctio f b vec G k et w l foctiodéfiie sur R + pr : w(t) = f b(t) t. t Que sepsse-t-il si k est pir? w(t k+) = y k+ t k+ = [y k +(t k+ t k)] t k+ = y k t k = w(t k). E défiitive, pour tout etier turel j : w(t j+) w(t j+) = j + tj+ w(t j+) w(t j) = O dditioe ces epressios : D où : w(t j+) w(t j) = j + tj+ < j + t. w(t +) < t +b. j + Or l série diverge etw() >. j + Il eiste doc u > tel que : f b(u) =. D près l questio 4),oedéduit qu il eiste t > tel que : b(t ) = t. O cosidère l foctio c défiie sur R + pr : c(t) = b(t) t. Elle eststrictemet décroisstesur R +. E effet, lespoitstels que : b(t)=sot des poits isolés. 378

381 Ide A Adhéret, 5 Algorithmique, 84, 35 Applictio borée, 4 composte, 66 coordoée, 66 de clsse C k,4 liéire cotiue, 78 lipschitziee, 76 Argumet, 69 B Boule fermée, 39 ouverte, 39 C Chmp de sclires, 79 Chmp de vecteurs, 79 Chgemet de vribles, 64, 94, 9, 94 Circultio d u chmp de vecteurs, 79, 86 CM p,55, 6, 67 Coefficiets de Fourier, 56 trigoométriques, 58 Compct, 5 élémetire, 87 Compriso àue série umérique, 99 Compriso vec ue itégrle, Costte d Euler, 9 Cotiuité, 68 pr morceu, 9 sur ue prtie, 73 Covergece e moyee, 46 e moyee qudrtique, 64 ormle esérie de Fourier, 69 ormle d ue série de foctios, 99 ormle sur tout segmet, simple esérie de Fourier, 7 simple d ue série de foctios, 93 simple d ue suite de foctios, 93 uiforme d ue série de foctios, 99 uiforme d ue suite de foctios, 95 uiforme sur tout segmet, 97 uiforme sur tout segmet d ue série de foctios, 99 uiforme sur tout segmet d ue suite de foctios, 97 Covergece ormle et dérivtio d ue sériedefoctios, 76 Covergece uiforme et dérivtio d ue sériedefoctios, 76 et dérivtio d ue suite de foctios, 74 et itégrtio, 74, 76 Coordoées cylidriques, 95 sphériques, 96 Courbe itégrle d u chmp de vecteurs, 33 Critère de Cuchy, Critère spécil des séries lterées, Croissce del itégrle, D D p,66 Dérivbilité e u poit, 7 Dérivtio d ue série de foctios, 76 Dérivée k-ième, 5 Développemet déciml, 7 Développemet limité d ue primitive, 7 de l dérivée, 73 Développemet e série biôme géérlisé, 47 cosius, 5, 49 epoetielle, 5, 49 logrithme, 49 sius, 5, 49 Difféomorphisme, 7 Disque de covergece, 33 Distce, 39 E Équtio àvrible séprbles, 3 de Rictti, 3 différetielle o liéire, 99 icomplète, 3

382 Ide c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit Espce préhilbertie (C p,( )),64 vectoriel D p,67 Espce vectoriel ormé, 36 Epoetielle,, 8 complee, 3, 6,, 8 F Fmilles de polyômes orthogou, 9 Fermé, 5 Foctio(s) crctéristique, 44 cotiue pr morceu, 9 de crré itégrble, 8 développble esérie de Fourier, 6 développble esérie etière, 43 domiée, 7 z, 94,, 6, 6 e esclier,8 équivletes, 7 epoetielle, 78 epoetielle complee, 4, 6,, 8 epoetielle réelle, 5 Gmm, 5, 6 lipschitziee, 76 m,94, 99,, 6 égligeble, 7 régulrisée, 66 somme, 93 T -périodiques, 7 Forme différetielle, 8 ecte, 8, 83 fermée, 84, 85 Formule de Fubii, 87, 88, 94 de Gree-Riem, 97 de Prsevl,65, 67 de Stirlig, 8 de Tylor, 69 de Tylor vec reste itégrl, 69 de Tylor-Youg, 73 du biôme géérlisée, 47 G-I Grdiet d u chmp de sclires, 79 Hypothèse de domitio, 3, 6-8, Iéglité de l moyee, 43 de Tylor-Lgrge, 7 des ccroissemets fiis,66 trigulire, 36, 39 Itégrle bsolumet covergete, 95 covergete, 93 curvilige, 8 d ue pplictio cotiue pr morceu sur u segmet, 33 de Bertrd, de Riem, 94 divergete, 93 double, 88 triple, 93 Itégrtio pprochée, 54 pr prties, 64 Itervlle de covergece, 33 Lige dechmp d u chmp de vecteurs, 33 Limite d ue pplictio, 64 d ue suite, 4 Lipschitziee, 76 N Norme(s), 36 d lgèbre, 83 d pplictio liéire, 8 de l covergece uiforme, 95 équivletes, 43 Norme delcovergece e moyee, 46, 8 e moyee qudrtique, 49, 8 Noyu dedirichlet, 6, 7 O Orbite, 33 Ouvert, 49 Ouvert étoilé,84 P Prtie borée, 4 compcte, 5 fermée, 5 ouverte, 49 Prtie régulière, 7 Poit dhéret, 5 itérieur, 48 Polyômes de Lguerre, de Hermite, de Legedre, de Tchebychev, trigoométriques,, 55 38

383 Ide Premier théorème de Weierstrss, Primitive d ue pplictio cotiue, 6 d ue pplictio cotiue pr morceu, 6 Produit decuchy de deu séries etières, 37 de séries umériques, 4 Produit sclire sur l espce des foctios cotiues decrré itégrble, 9 sur l espce des foctios cotiues sur u segmet, 49 Prologemet pr cotiuité, 69 R Ryo de covergece, 3, 34, 35 Règle de compriso, de d Alembert, 4 Représettio décimle impropre, 9 Reste d ordre d ue série covergete, 7 Resteitégrl, 7 S Série bsolumet covergete, lterée, covergete, 6 de Bertrd, 6 de Fourier, 6 de Riem, de Riemlterée, 4 de Tylor, 44 divergete, 6 etière, 3 géométrique, 6 grossièremet divergete, 6 hrmoique, 6,8 umérique, 6 semi-covergete, 3 Sériedefoctios ormlemet covergete, 99 ormlemet covergete sur tout segmet, simplemet covergete, 93 uiformémet covergete, 99 Solutio mimle d ue équtio différetielle, 3 Somme d ue série covergete, 6 de Riem, 34 prtielle, 6 Subdivisio dptée, 9 d u segmet, 8 Suite(s) équivletes, 53 borée, 4 de Cuchy,, 47 divergete, 43 domiée, 5 égligeble, 53 Suite defoctios simplemet covergete, 93 uiformémet covergete, 95 uiformémet covergete sur tout segmet, 97 T Théorème d pproimtio, 9 d itégrtio terme à terme d ue série de foctios, 5 d iterversio des limitespour ue série defoctios, 4, 5 d iterversio des limitespour ue suite de foctios, 3 de cotiuité d ue foctio dépedt d u prmètre, 6 de covergece domiée delebesgue, de dérivbilité d ue foctio défiie pr ue itégrle, 8 de Dirichlet, 7 de Fubii, 88 de Poicré, 85 de Stoe-Weierstrss, de Weierstrss, fodmetl du clcul différetiel etitégrl, 6 Trvu dirigés d lgorithmique, 84, 35 U-V Uiformémet covergete, 99 Vecteur uitire, 36 c Hchette Livre HPrép /Mth, e ée, PC/PSI. L photocopie o utorisée est udélit 38

384 Alyse e ée PC-PC* PSI-PSI*. Séries umériques. Espces vectoriels ormes 3. Cotiuité 4. Suites et séries de foctios 5. Dérivtio, itégrtio des foctios vectorielles 6. Lie etre dérivtio et itégrtio 7. Foctios itégrbles 8. Séries etières 9. Séries de Fourier. Clcul différetiel le svoir-fire Hchette u service des préps MATHÉMATIQUES Mths MP-MP' Algèbre-Géométrie PC-PC PSI-PSI* Alyse PC-PC PSI-PSI* PHYSIQUE Optique odultoire MP-MP' PC-PC PSI-PSI' PT-PT' Odes MP-MP' PC-PC PSI-PSI' PT-PT' Électromgétisme MP-MP' PC-PC PSI-PSI' PT-PT' Thermodymique MP-MP* PC-PC PSI-PSI' PT-PT' Mécique du solide et des systèmes MP-MP* PC-PC* Mécique des fluides PC-PC PSI-PSI' Électroique PSI- PSI* CHIMIE Chimie PC-PC Chimie MP-MP' PT-PT' Chimie PSI-PSI' Optique odultoire Chimie * ée EXERCICES PROBLÈMES Des rppels de cours et de ombreu eercices corrigés pour s'etrîer toute l'ée et pour préprer les cocours TOUT LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME 4/5633/4 ISBN I.S.B.N »7i H HACHETTE Supérieur