(1 + r) 3 2. k 1. c i (1 + r) ti + P. (1 + r) T max. (9.1) i=1
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- Roger Doré
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1 Chapire 9 Le modèle de Ho e Lee Cee leçon es une modese excursion dans un vase e imporan chapire de la finance mahémaique qui concerne les aux d inérês e l évaluaion des produis dérivés sur ces aux Il es beaucoup plus difficile de modéliser la dynamique des aux d inérê que de modéliser celle des acions, comme nous allons le voir, e pouran c es absolumen nécessaire car il n es pas généralemen pas raisonnable de supposer, comme nous l avons fai jusqu ici, que le aux d inérê r es une consane e que sa prise en compe dans les calculs de prix d acifs financiers peu se réduire à la prise en compe d un acif déerminise B B 0 e r représenan la dynamique de B 0 Euros placés au aux consan r Lorsqu on parle d inérês, il s agi le plus souven de la rémunéraion, sous la forme de versemens périodiques, d un prê conseni par un préeur à un empruneur On explique que pour le préeur, l inérê es le prix de la renonciaion emporaire à une consommaion e pour l empruneur c es le coû correspondan à une consommaion anicipée Au fil du emps les inérês, accusés d appauvrir les uns au profi d aures on fai souven l obje d inerdicion ou de limiaions Ils son perçus de façon bien différene selon les culures e selon les religions Ainsi la Bible (dans l ancien esamen) e le Coran coniennen des verses qui condamnen fermemen la praique du prê à inérês Les choses on éé codifiées dans la religion juive par l inerdicion de demander des inérês à ses coreligionnaires, mais pas à des érangers Cee même règle a éé aussi longemps en vigueur dans la religion caholique Les proesans on conribués à la levée progressive de son inerdicion dans les pays européens, resée en vigueur jusqu en 830 Pour l islam, l inerdi subsise e le développemen récen de banques islamiques foncionnan sur des principes différens en es une conséquence imporane Quoiqu il en soi la quesion de l inérê rese un suje sensible qui es encore souven perçu différemmen selon les origines culurelles des inervenans 9 Acifs à flux déerminises A coé des acions e de leur produis dérivés, il exise sur les marchés à la disposiion des invesisseurs une aure grande famille d acifs financiers liés au aux d inerê don les plus simples son les obligaions Les obligaions son des conras qui assuren à leur déeneur à la signaure du conra un flux connu de revenus composé du principal versé à erme e d une succession de coupons versés à des daes inermédiaires Par exemple une obligaion d éa qui rappore 000 Euros dans 5 ans e 3% (soi 30 Euros) ous les 6 mois pourrai s évaluer, si le aux d inérê annuel r éai consan sur la période, comme 30 ( + r) ( + r) + 30 ( + r) ( + r) ( + r) 5 e de façon plus générale, une obligaion de principal P, d échéance Tmax e versan aux daes i,0< << i < < k Tmax, les coupons c i aurai comme valeur à l insan 0: k i c i ( + r) i + P ( + r) T max (9) Mais cee formule n es pas adapée, non seulemen parce que le aux r ne peu pas êre considéré comme consan mais aussi parce qu ici on fai impliciemen l hypohèse que les aux son (quasimen) proporionnels à la durée du prê ou de l emprun : en effe, si par exemple 2, comme (+r) e ln(+r) e r, on a donc (+r) (+2r) Or s il es effecivemen naurel de posuler qu il y a une 43
2 44 CHAPITRE 9 LE MODÈLE DE HO ET LEE relaion enre le aux praiqué e la durée du conra, une simple proporionnalié es cependan, dans la réalié, une hypohèse bien rop simplificarice En praique, l évaluaion va se faire en uilisan un aux variable déerminé à parir des prix observés à ravers la noion de zéro-coupons, que nous définissons à présen Définiion : Un zero-coupon de maurié T es un ire qui rappore Euros à une dae fuure T fixée Sa valeur à ou insan [0,T] (la durée resane éan θ : T ) se noe Z(, T ), ou encore Z T e on a donc oujours Z(T,T) Le zéro-coupon es un acif héorique que l on inrodui noammen comme référence pour calculer le prix des obligaions En effe, oue obligaion de principal P, d échéance T e versan aux daes i les coupons c i peu s écrire comme une simple combinaison linéaire de zéro-coupons k i c iz(, i )+ PZ(, Tmax) (pour ou < ) En oure le zéro-coupon es aussi l acif que nous allons modéliser dans le modèle de Ho e Lee présené ci-dessous Comme les zéro-coupons ne son pas des acifs effecivemen disponibles sur le marché, les praiciens son condui à reconsiuer, à chaque dae, les valeurs Z(, T ) pour oues les valeurs <T <Tmax à parir des prix observées à cee dae des obligaions disponibles sur le marché Dans un marché liquide où l on dispose des prix d un nombre suffisan d obligaions don les daes de versemens son ideniques (ou compaibles), c es simplemen un problème de résoluion d un sysème linéaire S il y a rop peu de prix observés, on uilise ceux don on dispose e on complèe la foncion T Z(, T ) par diverses méhodes d inerpolaion Noons cependan que si, à oue dae, les valeurs des zéro-coupons Z(, T ) peuven en principe êre calculées à parir des prix observés à cee dae, e donc son considérées comme connues à cee dae, les valeurs Z(+δ, T) des zéro-coupons à la dae suivane +δ e de façon générale les valeurs des zéro-coupons à une dae fuure quelconque, son parfaiemen inconnues Or ces valeurs peuven varier con sidérablemen D où l uilié, mais aussi la dificulé d une modélisaion sochasique Remarque : En général, ce ne son pas les prix (en Euros) des obligaions qui son relevés mais leur aux acuariel Le aux acuariel es le aux (supposé consan) qu il faudrai uiliser dans la formule (9) pour obenir le prix observé noé P 0 En d aures ermes, le aux acuariel d une obligaion es défini impliciemen par k i c i ( + r) + P i ( + r) T max P 0 où P 0 es le prix de marché Il es uile de remarquer, pour avoir une bonne inuiion, que le aux acuariel d une obligaion augmene lorsque son prix diminue e qu il diminue lorsque son prix augmene A noer aussi que le aux acuariel es le seul moyen de comparer les prix de deux obligaions qui n on pas la même srucure (pas les même monans de coupons e de principal e/ou pas les mêmes daes de versemens) Remarque : On peu en fai s inerroger pour savoir pourquoi un acif (comme une obligaion) don le flux de revenus es parfaiemen connu (puisqu on connai à l avance le monans des coupons, du principal e les daes de versemen), es à regarder comme sochasique En réalié il es facile de voir que si le aux acuariel d une obligaion d éa es r 0 e si l on veu revendre cee obligaion ulérieuremen à une dae où le même éa éme une nouvelle obligaion à un aux r >r 0, personne n achèera cee obligaion au aux r 0 car le prix de la nouvelle obligaion sera inférieur Ceci explique que le déeneur d une obligaion fai face à un risque dès que le aux peu varier 92 Courbes de aux e srucure par erme A coé du zéro-coupon Z(, T ), que nous avons défini comme le prix en d un Euro délivré en T,ily a d aures façons de représener les aux d inérê que nous allons déailler ici On uilise par exemple le aux zéro-coupons, plus souven appelé le rendemen à maurié (Yield o mauriy), qui es la foncion (, T ) Y (, T ) définie par Z(, T )e Y (,T )(T ) Si l on applique la formule (9) pour exprimer le prix d un zéro-coupon Z(, T ), on obien Z(, T ) (+r) T e (T ) ln(+r), ce qui es peu différen de e r(t ) Ceci perme de comprendre que le aux zéro-coupons Y (, T ) peu êre compris comme un équivalen sochasique du aux acuariel Définiion : Pour chaque valeur de, le graphe de la foncion T Y (, T ) s appelle la courbe de aux à l insan Elle donne à un insan fixé l ensemble des aux praiqués à ce insan pour des prês de
3 93 LE MODÈLE DE HO ET LEE POUR LES ZÉRO-COUPONS 45 maurié δ, 2δ, en foncion de cee maurié L ensemble des courbes de aux pour les différenes valeurs de s appelle la srucure par erme des aux La connaissance de la courbe des aux T Y (, T ) (qui es équivalene à la connaissance des prix des zéros coupons) es imporane puisqu elle perme d exprimer le prix de n impore quelle obligaion Comme nous l avons souligné, les valeurs à l insan iniial 0 peuven êre déduies des prix observés sur le marché Pour >0 par conre, elle es inconnue e peu êre considérée comme une courbe aléaoire (va à valeurs dans un ensemble de foncions) On comprend que pour modéliser les aux, il fau modéliser la dynamique de ces courbes de aux e non seulemen la dynamique d un prix comme dans le modèle Cos-Ross-Rubinsein, ce qui explique que ce soi plus complexe Une aure quanié, le aux forward insanané, noé f(, T ) remplace aussi parfois Z(, T )ouy (, T ) Ce aux es défini impliciemen à parir des zéro-coupons par la formule Z(, T )e T f(,u)du Une dernière quanié, imporane, es le aux cour ou aux insanané, r C es le aux que les professionels uilisen pour les règlemens de dees ou d avoirs enre eux d un jour sur l aure (aux à un jour ou jj) Cee quanié aléaoire représene le coû de l argen d un jour sur l aure On supposera que r désigne le aux d acualisaion enre les daes δ e, e donc r Z( δ, ) er F δ Si l on connai les prix des zéro-coupons, on peu donc en déduire les valeurs de r L inverse n es cependan pas vrai Du poin de vue mahémaique, c es r que l on uilise dans les modèles financiers où le aux d inérê son supposés sochasiques, pour calculer l acualisaion Ainsi, si X es le prix en d un acif, e X son prix acualisé en 0, on aura X X /B où B (+r δ )( + r 2δ ) ( + r ) L acualisaion peu donc aussi s écrire en foncion des zéro-coupons : B +r δ +r 2δ +r Z(0,δ)Z(δ, 2δ) Z( δ, ) On peu voir B comme la valeur aléaoire d une compe d épargne ayan un dépo iniial de Euros e rapporan des inérês sur la base du aux cours observé au jour le jour 93 Le modèle de Ho e Lee pour les zéro-coupons On veu mainenan inroduire l équivalen, pour les aux d inérê, du modèle de Cox-Ross-Rubinsein pour les acions, c es-à-dire un modèle binomial Comme il s agi cee fois d un modèle de aux, sa paricularié es que les valeurs de la marche aléaoire ne son plus des nombres mais des courbes T Z T Z(, T ), T Tmax, T : [0Tmax] δ, δ : Tmax/n L idée de ce modèle es de généraliser au cas sochasique la relaion Z(s, )Z(, u) Z(s, u) pour ou s u, appelée relaion de rollover Dans le cas de aux d inérê déerminises, il es en effe facile de se convaincre que cee relaion doi êre saisfaie puisque le erme de gauche es précisémen égal à la quanié à invesir à l insan s pour avoir en le monan précis qu il fau invesir à ce insan pour avoir un Euros à l insan u Mais ceci es aussi la quanié égale au erme de droie Lorsqu on réécri cee relaion sous la forme, Z(, u) Z(s,u) Z(s,), on remarque que les valeurs de Z(s, ) ez(s, u) éan connues à l insan s, la relaion perme de prévoir à l insan s la valeur de Z(, u) qui, elle, es inconnue à cee dae Pour leur modèle sochasique Ho e Lee on eu l idée de ransformer cee égalié en une récurrence sochasique Z(s, u) Z(, u) η(s,, u) (92) Z(s, ) où η η(s,, u) es une va pouvan prendre deux valeurs selon que u 0ouu Plus précisémen, on se donne une foncion déerminise (θ, x) η(θ, x) (que l on présisera plus loin) elle que Z T +δ ZT Z +δ η(θ T +δ,x +δ ), (93) où θs T : T s es le emps qui rese en s jusqu à la maurié T L idée de ce modèle es illusrée par la figure suivane irée de l aricle original de Ho e Lee
4 46 CHAPITRE 9 LE MODÈLE DE HO ET LEE Comme dans le modèle de Cox-Ross-Rubinsein, Z iδ prend i + valeurs, selon le nombre de up, j J i (ω), où J i δj + + δj i,(δj i ) i éan des va de Bernoulli indépendenes e de loi δj i B(π i, ) On défini la filraion F (F ) T, par F 0 {, Ω}, e pourk, F kδ σ(δj,,δj k ) σ(x δ,,x kδ ), avec X iδ δj i Les foncions aléaoires Z :[Tmax] R +, T Z T, son choisies F -measurables, e même σ(j i )-measurables pour iδ Nous allons monrer à présen que pour ce modèle la foncion η doi nécessairemen prendre une forme pariculière assez simple e donc que ce modèle ne dépend en fai que de 3 paramères 93 Un model à rois paramères : π, δ, e n Condiion d absence d opporunié d arbirage La première conraine concerne l absence d opporunié d arbirage : pour ou T T, la valeur acualisée de Z T doi êre une maringale Pour cela on doi avoir pour ou [0T δ] Z T E (Z +δ Z T +δ F ) En uilisan (93), il vien Z T E (Z +δ Z T +δ F )E (Z T η(θt ( + δ),x +δ ) F ) Z T E (η(θ T ( + δ),x +δ ) F )Z T E (η(θ T ( + δ),x +δ )) puisque X +δ es indépenden of F Donc, en divisan par Z T on obien, π i η(θ, 0) + ( π i )η(θ, ) (94) pour ou θ θ+δ T [δt max] δ Il en résule que π i ( η(θ, ))/(η(θ, 0) η(θ, )) ne peu changer avec i e doi êre consan (égal à π) De plus, en uilisan (93) pour : T δ, on a aussi θ T +δ θt T 0, e ZT T ZT +δ ZT η(θ Z +δ T +δ,x +δ) ZT T δ Z T δ+δ η(θt T,X T ) T δ pour X T {0, } Donc η(0,x) pour ou x {0, } D où la proposiion suivane : Proposiion 9 Tou model de aux d inérê saisfaisan (93), avec les X i B(π i, ) independens, es sans arbirage si e seulemen si η(0,x)pour ou x {0, }, e si les π i son égaux e que leur valeur commune π saisfai la relaion πη(θ, 0) + ( π)η(θ, ) (95)
5 93 LE MODÈLE DE HO ET LEE POUR LES ZÉRO-COUPONS 47 Condiion binomiale A présen, en uilisan le fai que pour iδ, Z T ne dépend que de J i, on a le résula suivan qui fixe la forme de la foncion η : Proposiion 92 Sous la condiion de non arbirage, pour ou θ [0T δ] δ,ona: η(θ + δ, )η(θ, 0)η(δ, 0) η(θ + δ, 0)η(θ, )η(δ, ), (96) e donc η(θ, 0) π +( π)δ θ δ η(δ, ), η(θ, ) δ θ δ η(θ, 0), avec δ : > (97) η(δ, 0) Preuve : Cee formule es une conséquence du fai que le modèle doi êre binomial, c es-à-dire que, pour iδ, Z T ne doi dépendre que de j J i (ω) e non des valeurs pariculières de δj (ω),, δj i (w) don la somme vau J i (ω) Ceci n es vrai que si l arbre es recombinan, c es-à-dire si un up suivi d un down donne le même résula qu un down suivi d un up En d aures ermes, pour ω Ωeω Ω els que J i (ω )J i (ω )j e J i+2 (ω )J i+2 (ω )j +, mais δj i+ (ω )eδj i+2 (ω ) 0 andis que δj i+ (ω )0eδJ i+2 (ω ), les valeurs de Ziδ T e de ZT (i+2)δ ne doiven pas dépendre du fai que ω ω ou ω ω Posons θ θ+2δ T e appliquons deux fois (93) : Z+2δ T ZT +δ η(θ, X +2δ ) Z +2δ +δ Z T Z +δ Z T Z +2δ +δ η(θ, X +δ )η(θ, X +2δ ) Z +2δ η(δ, X +δ ) η(θ, X +δ)η(θ, X +2δ ), again by (93) Donc comme J i (ω )J i (ω )ej i+2 (ω )J i+2 (ω ), e comme Z+2δ T, ZT,eZ+2δ ne dépenden pas du fai que ω ω ou que ω ω, il en sera de même de η(θ + δ, X +δ )η(θ, X +2δ ) η(δ, X +δ ) L égalié des deux valeurs obenues selon que ω ω ou ω ω, donne η(θ + δ, )η(θ, 0) η(δ, ) η(θ + δ, 0)η(θ, ) η(δ, 0) A présen, comme d après (95) on a η(θ, ) π ( πη(θ, 0)), donc (93) devien π ( πη(θ + δ, 0)η(θ, 0)η(δ, 0) η(θ + δ, 0)( πη(θ, 0))( πη(δ, 0)) (98) ( π) 2 Posons x n η(θ,0), x n+ η(θ+δ,0), e donc x η(δ,0), l égalié (98) devien ( π) ( π x n+ ) x n x x n+ ( πxn )( πx ) Soi, en muliplian les deux ermes par x x n x n+, on obien ( π)(x n+ π) (x n π)(x π), ou, de manière équivalene, x n+ π + π (x n π)(x π) :x n δ +γ, avec δ x π π e γ π π π (x π) π( δ) Comme x η(δ,0), on obien η(δ, 0) π+( π)δ E comme πη(δ, 0) + ( π)η(δ, ), δ ( ) π η(δ, 0) π πη(δ, 0) η(δ, ) π η(δ, 0) η(δ, 0) Finalemen, en résolvan x n x n δ + π( δ) il vien x n ( π)δ n + π, d où η(θ, 0) η(nδ, 0) x n π +( π)δ n, π +( π)δ θ δ e η(θ, ) π π π +( π)δ θ δ δ θ δ δ θ π ( π)δ θ δ η(θ, 0) δ
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