Chapitre 7 : Racines carrées

Transcription

1 Chpitre : Rcies crrées. Itroductio, défiitios et eemples Scht que les crreu ci-dessous ot comme dimesios cm, costruisez ) u crré A d ire égle à 9 cm ; c) u crré C d ire égle à cm ; ) u crré B d ire égle à 6 cm ; d) u crré D d ire égle à 5 cm. ) Quelle est l logueur d u côté ds chque cs? ) ) c) d) Défiitio géométrique. L rcie crrée d u omre réel positif est l logueur d u côté d u crré dot l ire est égle à. Défiitio lgérique. L rcie crrée d u omre réel positif est le omre réel positif dot le crré est. O l ote. Le symole rdicl. est ppelé Eemples ,

2 Epliquez pourquoi l rcie crrée d u omre réel < eiste ps! Coséqueces de l défiitio : ) Coditio d eistece : eiste. ) Si lors et. c) Pr défiitio : et. Eemples : ( 8 ) ( 5 ).... Vleur pprochée d ue rcie crrée Détermiez les etiers turels dot l rcie crrée est u etier : Ces etiers sot ppelés. Il fut les coître pr cœur! Reteos qu o e peut ps clculer ectemet l rcie crrée d u etier qui est ps u crré prfit :,, 5,, 8,,... sot des omres irrtioels! Détermitio d ue vleur pprochée pr différetes méthodes : ) A l ide d ue clcultrice : 5 6 8

3 ) A l mi, pr pproimtios successives. Cherchos pr eemple ue vleur pprochée de 6 : re étpe : 9 et 8 6, doc :... < 6 <... e étpe : e étpe : e étpe :,5..., doc :... < 6 <...,8..., doc :... < 6 <...,..., doc :... < 6 <... O isi oteu u ecdremet d mplitude (ou de précisio),., est ue vleur pprochée. de 6 à..,8 est ue vleur pprochée. de 6 à... Si o veut u ecdremet plus précis, il fut cotiuer les clculs : 5 e étpe : 6 e étpe :,5..., doc :... < 6 <...,..., doc :... < 6 <... O isi oteu u ecdremet d mplitude (ou de précisio),., est ue vleur pprochée.... de 6 à..,5 est ue vleur pprochée.... de 6 à... c) Méthode de Héro d Aledrie (er siècle près J.-C.) Pour clculer pr eemple 6 : O prt d ue vleur pprochée de 6, pr eemple 8. O clcule 6 6 5,5 8.,5 et 8 sot les côtés d u rectgle d ire 6 (voir figure). Comme 8 est ue vleur pprochée pr ecès de 6, 6 : 8,5 e est ue vleur pprochée pr défut, c.-à-d.,5< 6< 8. Pour oteir ue meilleure pproimtio de 6, o clcule l moyee :,5 8,5,5 est ue oe pproimtio de 6, (oteue déjà u poit ). Si o veut ue vleur pprochée ecore plus précise, o recommece l lgorithme vec,5. Remrquos que les clculs devieet vite fstidieu. 6 6,5,5, (clcultrice : 6, )

4 Résumé de l méthode de Héro : Choisir ue vleur pprochée de. Clculer, moyee de et de Clculer, moyee de et de Répéter l lgorithme utt de fois qu o veut, jusqu à l précisio souhitée... d) Etrctio à l mi (schém) Eemple : 6'? résultt Eplictios : Le omre dot o cherche l rcie crrée est découpé e trches de chiffres, e prtt de l virgule. 8 est le plus grd etier tel que ( re trche), c est le er chiffre du résultt. Le reste est 6. O isse l e trche 6. O doule le résultt : 8 6 et o l écrit à droite e s. O cherche esuite le plus grd chiffre tel que 6 6. C est, cr 6 656< 6 et > 6. est le chiffre suivt du résultt. Le reste est O isse l trche suivte '6. O doule de ouveu le résultt : 8 68 et o l écrit à droite e s. O cherche esuite le plus grd chiffre tel que ' 68 ' 6. C est 6 et c est le chiffre suivt du résultt. Le reste est 56. O isse l trche suivte 5 6. O répète l lgorithme jusqu à l précisio souhitée.

5 . Rcie crrée d u produit et d u quotiet ) Rcie crrée d u produit : Démostrtio : (, R ) et sot deu réels positifs, doc est ussi u réel positif. Le crré de est, cr ( ) Doc, d près l défiitio : CQFD Eemples : () 6 6 () 5 5 () () (5) Applictio : simplifier l rcie crrée d u etier : o cherche le plus grd crré prfit qui divise. Pr eemple : si o e voit ps tout de suite le plus grd crré prfit qui divise, o peut procéder pr étpes : o peut églemet utiliser l fctoristio première de : 6 Hituez-vous à fire toujours cette simplifictio. Elle est pr eemple écessire pour réduire ue somme de termes comportt des rdicu : Eemple :

6 ) Rcie crrée d u quotiet : Démostrtio : ( R )( R ) et sot deu réels positifs, doc est ussi u réel positif. Le crré de est, cr Doc, d près l défiitio : Eemples : CQFD () () Attetio : 6 6 () Rcie crrée d ue puissce Démostrtio : Posos : ( R )( Z ). C est u réel positif et ( ) Pr défiitio est doc l rcie crrée de, c.-à-d.. CQFD. Simplifios mitet, pour u réel. Epost pir, cr ( ) 6 6, cr ( ) 6 8 8, cr ( ) 8 Epost impir

7 Eemples : Avec des eposts positifs : ' Avec des eposts égtifs : ou ie : Rcie crrée d ue somme, d ue différece Cotre-eemples : , mis Doc : Doc : , mis Reteos qu e géérl : De même : Il y ps de formules sur les rdicu vec ou! Coséquece importte : Ds ue somme de rdicu, o peut seulemet dditioer des termes vec des rcies crrées idetiques, pr eemple :

8 6. Compriso d epressios cotet des rdicu O : (, R ) Doc pr eemple : 6<, <, > 5 etc. Eemples plus difficiles : () Comprer : et Méthode : o écrit les omres sous forme de rdicu : 9 et 6 8, doc : > Méthode : o compre le sige et les crrés des deu omres : et sot deu réels positifs et 9 et ( ) 6 8, doc : () Comprer : 5 et > O remrque que 5< et >, doc : () Comprer : 6 et 5< O remrque que les deu omres sot positifs. Méthode : o écrit des iéglités équivletes O prt d ue iéglité dot o e sit ps si elle est vrie ou fusse (o devie le sige < ou >) : Doc : 6 < 6 < / ( ) ( ) 6 < 6 6 < 6< < 6 8< 6 /: < 6 VRAI! Si o outit à u résultt FAUX, il fut ie sûr chger le sige de compriso ds l coclusio (< deviet > ou iversemet) (cf. eercices). 8 Elever u crré est seulemet permis lorsque les deu memres sot positifs!!

9 . Epressios cotet des rdicu u déomiteur O mplifie les frctios de fço à ce que le déomiteur e cotiee plus de. O dit qu o red etier (ou rtioel) le déomiteur. Eemples simples : () () mplifier pr 5 mplifier pr Eemples où le déomiteur cotiet ue somme ou ue différece () () ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) 6 6 ( ) 6 mplifier pr l epressio cojuguée, ici : mplifier pr l epressio cojuguée, ici : 6 Remrque : Redre rtioel les déomiteurs est écessire pr eemple pour pouvoir réduire des sommes de termes cotet des rdicu. Eemple :

10 8. Equtio Eemples : () Résolutio pr différece de deu crrés ( )( ) ou Résolutio pr etrctio de ou () () S { ± } solutios, impossile cr u crré est toujours E géérl : L équtio S {} solutios dmet deu solutios distictes et si > dmet solutio si dmet ucue solutio si < Eemples plus difficiles : () ( 5) ( ) 5 5± 5± S { 5, 5 } (5) déut d'u triôme crré prfit triôme crré prfit ( ) ( ), impossile méthode du complémet qudrtique S