Module 3 : Formalisation mathématique de l ACP

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1 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP Après vor trodut à l de de deux exemples l ACP, ous présetos c l formlsto mthémtque de l méthode e géérlst ce que ous vos vu sur u espce rédut à u espce à dmesos quelcoques. A) Géérlsto à des espces de dmesos quelcoques Le tbleu de déprt qu ser soums à ue ACP se présete de l fço suvte : X (, ) x L x L x Il s gt d u tbleu de doées qutttves, vec les vrbles e coloes, les dvdus e lges et les observtos à l téreur du tbleu. L obectf de l ACP est d lyser l formto coteue ds le tbleu, cest-à-dre l structure du uge des dvdus ds l espce R et des vrbles ds l espce R. Pour des rsos mthémtques de smplfcto, ms uss prce que les vrbles ds ces tbleux peuvet être de tures dfféretes, o trsforme l mtrce X e ue mtrce Z de vrbles cetrées rédutes qu coserve l même formto : x x vrbles cetrées rédutes. σ(x ) - le cetrge ps d fluece sur l ressemblce etre dvdus - l réducto supprme l rbtrge des utés et toutes les vrbles ot l même fluece ds le clcul des dstces etre dvdus Prtculrtés de ces ouvelles vrbles : - les moyees sot toutes ulles - les écrt types sot égux à k vec k - cov(, ) r k k L mtrce Z des vrbles cetrées rédutes s écrt lors : x L L vec Z (, ) Z Coordoées de ds R Coordoées de ds R / 9

2 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 L formto coteue ds cette mtrce est doée pr le uge de pots des dvdus ds l espce R et pr le uge de pots des vrbles ds l espce R. Plços ous ds l espce R des vrbles qu cotet le uge des pots dvdus. Le r r r e,e,. e est système des xes est orthoormée ou ecore l bse de ce système ( ) orthoormée, cest-à-dre : r r e L e r r el * e 0 l U pot quelcoque pour coordoées (,,. ). L dstce etre deux pots est clculée pr l dstce eucldee (théorème de Pythgores). O peut schémtser cet espce de l fço suvte : e r e r e r G 0 ( 0,. 0) L dstce u crré etre et est égle à : (, ) ( ) d. Les proectos orthogoles (les coordoées) des pots sur u xe quelcoque sot de moyees ulles et de vrce égle à u pr costructo. Le cetre de grvté G est doc l orge des xes. L vrce totle du uge multdmesoel est égle à *. Chque xe porte doc * 00 de l vrce totle. Ds l espce R des dvdus, o dspose du uge des vrbles. Le système des xes est r r r e,e,. e vec : orthoormé : l bse de ce système s écrt : ( ) r r e L e r r e * el 0 l quelcoque pour coordoées ( ) U pot,,.. L dstce etre deux pots est clculée pr l dstce eucldee. O peut schémtser cet espce de l fço suvte : / 9

3 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 e r e r e r 0 L dstce u crré etre et est égle à d (, ) ( ) L formto coteue ds ces espces est llsble du ft du ombre d xes. L ACP pour but de substtuer à ces espces, des espces de même dmeso ms de telle sorte qu ue grde prt de l formto sot lsble à prtr d u, deux ou u mxmum tros xes. Le prcpe de l ACP cosste doc à effectuer ds R et ds R u chgemet de bse de telle sorte (lorsque cel est possble) que les vrces des proectos orthogoles (les coordoées) sur les ouveux xes (ppelés xes prcpux) rssemblet ue prt sgfctve de l vrce totle à prtr des deux ou tros premers xes. O peut schémtser ce prcpe de l fço suvte ds R. V( ) e r e r ( ) V Chgemet de bse V ( ) b r b r V ( ) e r b r G V ( ) G ( ) V L vrce des coordoées des pots dvdus sur (quelquesot ), explque * 00 de l vrce totle. Système orthoormé d xes prcpux r (quelquesot ), de même orge, de bse r r orthoormée : ( b,b ) et tel que l vrce des coordoées de pots dvdus sur r, r et u mxmum r 3 représete, pr exemple, 70% à 80% de l vrce totle. 3 / 9

4 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Le vecteur r, quelquesot, dot les élémets sot les proectos orthogoles (les coordoées) des pots sur l xe porte le om de composte prcple. Il s écrt : r (,).. B) Ecrture des compostes prcples ds R Le produt sclre L ACP vse doc à proeter ds R orthogolemet les pots dvdus sur ouveux xes ppelés xes prcpux, scht que l orge de ces ouveux xes reste detque à celu de l espce de déprt. Ce chgemet d xes pour but (lorsque cel est possble), de lre l formto cocert les dvdus e utlst u espce restret à ou 3 dmesos (u mxmum). O remplce doc Z pr ue ouvelle mtrce : L L L L Z (, ) Z Bse (, ) Pour cel, o effectue u chgemet de bse ds l espce R de déprt. Rppelos que s o coît les coordoées d u vecteur quelcoque b r ds l bse R de déprt, l proecto orthogole (l coordoée) d u pot du uge des pots est doée pr le produt sclre du vecteur b r pr le vecteur G r r ou G est l orge des xes (G est le cetre de grvé du uge des pots) : r (xe prcpl) G X 0,,0 b r 4 / 9

5 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 r r r G * b [,.,,., ] k b. bk. b coordoées du pot (lge de l mtrce Z) x coordoées de b r ds l espce déprt. [ * b +. + * b +. + * b ] k k L esemble des proectos orthogoles des pots du uge sur l xe prcpl élémets du vecteur r que l o ppelle l composte prcple. o : R de r costtue les r (,) Z r b (,) (,) L h L b b b h b + L + b S ds l expresso ecdrée de r, o ft vrer de à o obtet pr les produts sclres l esemble des proectos orthogoles (coordoées) de tous les pots sur tous les xes prcpux. Ces coordoées sot les élémets de l mtrce : L mtrce s écrt et s terprète : L L (,) Z B (,) (,) (,) Coordoées du pot ds l espce R des xes prcpux Coordoées des pots dvdus sur l xe prcpl r ou élémets de l composte prcple r 5 / 9

6 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 O vérfe vec le produt sclre Zb qu déft l ème composte prcple, qu l s gt d ue combso lére des vrbles de déprt, les pods étt les élémets du ouveu vecteur chgemet de bse. Détermto des compostes prcples b r du Les compostes prcples sot les coordoées des proectos orthogoles sur les xes prcpux. Ces compostes prcples (vecteurs prcpux) sot le résultt du produt sclre Z B. (,) (,) (,) Pour détermer le coteu de l fut coître celu de B. Pour cel, cosdéros l ème composte prcple Z b et détermos ses crctérstques. (,) (,) (,) Clculos l moyee de l composte prcple : b 0 Z + L + b 443 Z 0 + L + Zb Z 443 Z 0 Z b Toutes les compostes prcples sot cetrées. Les xes prcpux ot touours pour orge le pot G, le cetre de grvté du uge des pots. Clculos l vrce : [ ] ( ) V ( Zb ) ( Zb ) ( b Z )( Zb ) b Z Z b Et vec R Z Z (l mtrce des coeffcets de corrélto lére des vrbles de Z) : (,) [ ] brb V qu est l expresso d ue forme qudrtque. Pour ttedre l obectf de l ACP, l est écessre qu vec u, deux ou u mxmum tros xes prcpux o pusse explquer ue prt sgfctve de l vrce totle du uge (70 à 80% pr exemple) Cel revet doc à mxmser l vrce d ue composte prcple quelcoque. Le problème mthémtque à résoudre est doc : ( [ ]) x V scht que le ouveu vecteur de l bse b r de l xe prcpl r est u vecteur ormé, cest-à-dre : r b b b b + + b 6 / 9

7 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Il s gt de l mxmsto d ue forme qudrtque sous cotrte : ( V[ ] ) x b b b Rb Pour résoudre ce problème o utlse le Lgrge : ( b b ) L b Rb. λ et o cherche l dérvée de L pr rpport à l cou b scht que l dérvée de l forme qudrtque est ( b Rb ) b Rb L b Rb λb 0 Rb λb 0 Rb λb [ R λi] b 0 E déftve, mxmser l V [ ] sous l cotrte que b sot u vecteur utre revet à trouver l soluto du système d équto homogèe [ R λi] b 0 trvle doée pr le détermt [ R λi] 0. Or o st qu e dehors de l soluto, l exste ue fté de vecteurs b ppelés vecteurs propres, ssocés ux dfféretes vleurs propres λ de l mtrce R. O ppelle dgolsto de l mtrce R l esemble de ces recherches de vleurs propres et de vecteurs propres. Le vecteur propre b est u vecteur ormé. De ce ft, prm l fté des vecteurs b, o chosr u vecteur utre cest-à-dre tel que b b. O peut ef costter que s ds l expresso de l vrce V [ ], o remplce Rb pr l soluto que l o vet de trouver ( λ b ), o ur : [ ] V b λ b λ b b { V [ ] λ. E déftve, l soluto du problème est le clcul du vecteur propre ormé qu correspod à l plus forte vleur propre de l mtrce R. Comme R est de dmeso, o v fre l hypothèse qu l exste vleurs propres dstctes pour cette mtrce. O dsposer doc de vleurs propres et de vecteurs propres ormés. E clsst les vleurs propres pr ordre décrosst et e ffectt à chcue des vleurs propres clssées so vecteur propre ormé correspodt, o costrut s l mtrce B du chgemet de bse qu ses coordoées ds l espce d orge. 7 / 9

8 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 3 Crctérstques des compostes prcples Cosdéros l mtrce B obteue précédemmet : B (,) k λ λ r r r b L b L b Les vecteurs coloes de cette mtrce sot ormés et orthogoux à. Les vecteurs b costtuet doc ue bse orthoormée. L mtrce B qu cotet cette ouvelle bse est doc ue mtrce othogole. Elle vérfe l proprété suvte : ou ecore B B BB Ι B B Utlsos ces résultts ds l expresso précédete de l vrce de : [ ] λ b Rb V E fst vrer de à o l expresso mtrcelle B RB Λ vec : λ Λ 0 λ b k 0 l mtrce dgole des vleurs propres rgées pr ordre décrosst. λ Ds cette expresso B est ue mtrce orthogole. De ce ft, l trce de l mtrce R est égle à l trce de l mtrce Λ, cest-à-dre λ λ tr Il est doc possble de clculer le pourcetge de vrce totle * 00 * 00 explquée pr les dfféretes compostes prcples et de détermer s vec u ombre restret d xes prcpux o peut lre l formto doée pr le uge des pots dvdus. [ R] Cocluso : résumé de l démrche ds - O dspose d u tbleu X (, ). R - O trsforme l mtrce X e ue mtrce Z de vrbles cetrées rédutes. Les vrbles sot de moyee ulle et de vrce égle à. L covrce etre deux vrbles est égle u coeffcet de corrélto lére etre les vrbles. 8 / 9

9 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 O se plce ds l espce dvdus. R vec u système orthoormé. O lyse le uge des pots - O clcule R Z Z qu est l mtrce des coeffcets de corrélto lére etre les vrbles. C est l mtrce d formto des vrbles. C est ue mtrce crrée, symétrque qu cotet sur l dgole les vrces des vrbles et de prt et d utre les coeffcets de corrélto etre vrbles quelcoques. - O dgolse R, c est-à-dre qu o clcule les vleurs propres de cette mtrce. O dvse chcue des vleurs pr, ce qu doe le pourcetge de vrce totle explqué pr ue composte prcple. O ordoe pr ordre décrosst ces pourcetges que l o cumule et s vec, ou u mxmum 3 xes o explque 70% de l vrce totle, lors l ACP est rélsble, so o rrête les clculs. - S l ACP est rélsble, o clcule lors les vecteurs propres ormés ssocés ux vleurs propres de R et o plce les coordoées de ces vecteurs propres e coloe d ue mtrce B ds l ordre des vleurs propres décrosstes correspodtes. - O effectue lors le produt sclre ZB, l mtrce cotet doc e coloe les compostes prcples, c est-à-dre les proectos orthogoles du uge des pots dvdus sur les ouveux xes. - O sélectoe lors les, u mxmum les 3 premères coloes de l mtrce et o rélse le grphque qu permet de lre l formto cocert les dvdus de l mtrce Z. C) Détermto des compostes prcples ds R Ds l espce R se stue le uge des vrbles. Ic uss le système chos est orthoormé et ue coloe du tbleu fourt les coordoées de l vrble. Comme o trvlle à prtr de Z, les moyees des lges (c est-à-dre des dvdus) ot ucue rso d être ulles. Doc ds ce cs, l orge des xes est ps u cetre de grvté des vrbles. Ds le deuxème exercce o vu que s o coserve Z, l mtrce d formto des dvdus est doée pr l mtrce V ZZ qu est ue mtrce de dsperso des dvdus. O pourrt doc pplquer le schém précédet à cet espce, c est-à-dre dgolser V, clculer les vecteurs propres ormés correspodts, costrure ue mtrce de chgemet de bse et pr l opérto produt sclre clculer les proectos orthogoles des vrbles sur les xes prcpux. Cocrètemet, pour toutes les lyses de doées, ces clculs sot utles. E effet, ous llos démotrer qu l est possble de clculer les vleurs propres et les vecteurs propres de V ss utlser l dgolsto de cette mtrce. Ce clcul s opère à prtr des formules de trsto. Démostrto des formules de trsto O v se plcer ds L dgolsto de R s écrt : Rb D où R, où l o coît les vleurs propres et les vecteurs propres ormés de R. λ b vec R Z Z et b b Z Zb λ b E multplt les deux membres de cette équto pr Z, o obtet : λ vec ZZ ZZ Zb Zb V o : V( Zb ) λ ( Zb ) 9 / 9

10 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 et e post Z b u o (,) (,) (,) Vu ( λ ) u C est l écrture des vecteurs propres u ssocés ux vleurs propres λ de l mtrce V. Cosst les vleurs propres λ de l mtrce R, l sufft doc de les multpler pr pour obter les vleurs propres de V. Or R est de dmeso, l y doc que vleurs propres pour R lors que V est de dmeso (,). O peut démotrer que les - utres vleurs propres sot ulles. Le vecteur u qu ous téresse dot être u vecteur propre ormé. Il dot doc vérfer u u. Or ( Zb ) ( Zb ) u u b Z Zb b Rb bλ b λ b b λ u est doc ps u vecteur propre ormé. Pour le ormer o lu mpose que : ( ku )( ku ) vec k R ; sot : k u u k ( λ ) D où k ± λ Le vecteur propre ormé oté c s écrt lors : c ku λ Zb Cette formule motre que cosst b et λ, les vecteurs propres ormés ssocés ux vleurs propres de R, l est possble de clculer le vecteur propre ormé c ssocé à l vleur propre λ de l mtrce V. Cette formule qu permet de clculer les vecteurs propres ormés de l ouvelle bse de dgolser V porte le om de formule de trsto. R ss O peut démotrer que récproquemet, cosst les vecteurs propres ormés ssocés ux vleurs propres de V, l est possble de clculer les vleurs propres et les vecteurs propres ormés b de l mtrce R. E déftve les formules de trsto s écrvet : c ku λ Zb et b Z c λ 0 / 9

11 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Les coordoées des proectos des vrbles r r r Le chgemet de bse orthoormée ( c,c,.,c ) (où les c sot des vecteurs utres détermés pr leurs coordoées ds l cee bse) permet de clculer, comme précédemmet, les proectos orthogoles (les coordoées) des vrbles sur les xes prcpux. : Φ r e utlst le produt sclre etre le vecteur utre c r r et le vecteur O r où O est l orge de xes. Φ Φ c r 0 c r Φ c r Φ O ppelle r 0 r. De ce ft vrbles Φl coordoée de sur l xe prcpl Φ r obteu pr le produt sclre etre c r et Φ Z est l composte prcple cest-à-dre les coordoées des (,) (,) (,) C ( ) sur l xe prcpl Φ r. Pour géérlser ce résultt ue mtrce Φ qu cotet toutes les coordoées l fut ter compte du résultt (formules de trsto) précédet qu dque qu ly ds cet espce - vleurs propres de V qu sot ulles et doc - xes prcpux qu exstet ps. L mtrce Φ est doc de dmeso(,) et o (,). Elle s écrt : Φ (,) Φ. Φ. Φ. Φ. Φ Φ (,) De même pour l mtrce C qu cotet les coordoées des vecteurs propres ormés ds l ce système : / 9

12 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 C (,) c c c c. c.. C. (,) De ce ft o : C Z Φ (,) (,)(,) Or o st (formule de trsto) que : c Zb ce qu s écrt e fst vrer et : λ C (,) D où / Z B Λ (,)(,)(,) Φ / Λ B Z Z sot vec R Z Z Z Z R Φ Λ BR Λ B R Or : BRb Λ BR ΛB ΛB D où Φ Λ Λ B Φ (,) Λ (,) B (,) 3 Le chox des proectos des vrbles Ds le prgrphe précédet, ous vos vu que les proectos orthogoles des vrbles sur les xes prcpux vet pour coordoées le coteu de l mtrce φ Λ B. (,) (,) (,) Itéressos ous u produt crctérstques des compostes prcples Λ B ds cette formule, et pour cel rppelos quelles sot les ds l espce R. 0 V Cov,k [ ] λ [ ] 0 k / 9

13 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Cette derère crctérstque peut être vérfée de l fço suvte : Cov (,k ) k Sot vec Zb (,) (,) Cov(,k ) bkz Zb bkrb Comme bk ( λ b ) λ bkb b k et b sot des vecteurs propres ormés, leur produt sclre est ul et de ft : Cov(,k ) 0 ormos les compostes prcples O st que : V [ ] λ Appelos lors ~ λ λ / De ce ft V [ ~ ] ~ * ( λ ) λ Sous forme mtrcelle o ur : / ~ Λ vec Λ / (,) λ λ λ Les ouvelles compostes prcples ot lors pour crctérstques : ~ 0 V ~ Cov ~ [ ] [, ~ ] k 0 k O peut lors vérfer les résultts suvts : ~ ~ Ι 3 / 9

14 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 ~ Z A qu cotet les coeffcets de corrélto léres etre les compostes prcples (,) ~ et les vrbles k. vec E utlst ces deux résultts o : / / ~ Λ ZBΛ O e dédut que : ~ / Z Λ B (pusque B B ) D où ~ A Z s écrt : ~ ~ A Λ B Sot :,. et k,., A Λ E déftve o v chosr pour oordoées des vrbles ds l ouvelle bse, le coteu de l mtrce A (u leu de celu de Φ ) qu est costtué de coeffcets de corrélto lére, cest-à-dre de chffres e vleurs bsolues féreurs ou égux à. Cette mtrce s écrt : B A (,) ème composte prcple Coordoées de sur les compostes prcples Proprétés de l mtrce A : E utlst l expresso R Z Z ds l formule ~ / Z Λ B ~ A o : R ( ~ A) ( ~ A) A ~ ~ A A ~ ~ A R A A Qud o orme les compostes prcples, l mtrce R A A. 4 / 9

15 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Développos l dgole de cette églté : dg R dg A A er élémet p ème élémet ème élémet p p V( ) V( p ) p V( ) λ λ λ Trce R VT D - L terprétto d ue ACP ) l proecto des vrbles E retet pour proecto des vrbles le coteu de A, les coordoées de ces proectos sot toutes e vleur bsolue féreures ou égles à, c est-à-dre sot toutes sérées ds u cercle de ryo uté ppelé cercle des corréltos. Cosdéros, pr exemple, le cercle de corrélto ds le pl costtué pr deux xes prcpux et ue vrble sur ce cercle. Elle pour coordoées et (Cf. mtrce A). prftemet représeté Φ + be représeté - 0 θ + Φ ml représeté - D près le théorème de pythgore, o peut écrre que : + 0 E utlst l proprété précédete de l mtrce A ( er élémet du développemet de l dgole), o : L + V [ ] 3 Comme ds cette expresso + ( sur le cercle), o : 3 + L / 9

16 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Ce qu sgfe que ses coordoées ulles sur les utres xes prcpux. E d utres termes, est prftemet représeté sur le pl,. Plus géérlemet : - ue vrble qu se trouve e proecto sur le cercle de corrélto est ue vrble prftemet détermée sur le pl. - Ue vrble proche du cercle de corrélto est ue vrble dte «be représetée» ds le pl. - Ue vrble proche de l orge du cercle (oe grsée du grphque) est ue vrble ml représetée. Cosdéros à préset le pl (, ) vec les qutre vrbles,, 3 et 4 stuées sur le cercle de corrélto de l fço suvte : + 3 θ O st que ds u pl, vecteurs formet u gle θ dot le cos r Pour des vrbles prftemet représetées (ou be représetées à l lmte) : - s l gle θ ted vers 0 : r, π - s l gle θ ted vers 90 : r 0, - s l gle θ ted vers 80 π : r, E déftve, pour terpréter le grphque des proectos des vrbles : - o sélectoe les vrbles prftemet ou be représetées - o lyse les proxmtés des vrbles sélectoées e terme de corrélto 6 / 9

17 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 ) Le grphque des dvdus O porte sur les pls fctorels les pots dvdus dot les coordoées sot doées pr l mtrce. 3) les des à l terprétto : les cotrbutos bsolues et reltves L cotrbuto bsolue (CTA) d u dvdu (ou d ue vrble) à ue composte prcple est l prt de s vrce explquée pr cet dvdu ou cette vrble. L cotrbuto reltve (CTR) d u dvdu (ou d ue vrble) à ue composte prcple dque l posto de cet dvdu (ou vrble) pr rpport à l xe prcpl qu porte cette composte prcple. E ACP, o utlse ces des à l terprétto que pour les dvdus. E effet, de prt l représetto des vrbles ds le cercle de corrélto, ces cotrbutos sot utles. ) Les cotrbutos bsolues des dvdus (CTA) L cotrbuto bsolu d u dvdu sur l composte prcple est otée : CTA Comme V [ ] ( ) Pr défto : Pr costructo 0 CTA et CTA. CTA.V λ [ ] Les CTA s terprètet comme des pourcetges et permettet de sélectoer les dvdus qu cotrbuet le plus à l pprto d u xe prcpl. b) L cotrbuto reltve (CTR) L cotrbuto reltve d u dvdu sur l composte prcple est otée : CTR. Cosdéros u pl fctorel (, ) vec u pot quelcoque de coordoées et (Cf. l mtrce ) : 7 / 9

18 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 θ G L gle θ dque pr s vleur l plus ou mos grde proxmté de pr rpport à l xe. O s : cot é dcet cosθ sot hypothéuse d G, cos θ d ( 0,) ( ) et s θ ted vers 0, π cos θ ted vers et est proche de. Au cotrre, s θ ted vers, cos θ ted vers 0 et s éloge de pour se rpprocher de. O ote l qutté d (G,) l CTR / E rétért l procédure pour l dvdu pr rpport à o ur : O costte lors que : 0 CTR et CTR CTR + / + /. d (G,) d (G,) l CTR / E géérlst ce résultt pour u xe prcpl quelcoque, o ur : CTR / d (G,) vec 0 CTR et CTR / Les CTR permettet de vérfer s les dvdus sélectoés pr les CTA sot proches ou u cotrre élogés des xes prcpux. 8 / 9

19 Alyse de doées odule 3 : ormlsto mthémtque de l ACP 3 Schém de clcul des CTA et CTR : CTR CTR CTR Σ (,) A Y A Y Z CTA CTA CTA Avec les CTR o st s les dvdus sot proches ou lo de l xe. (S CTR proche de lors dvdu proche de l xe) A Z Les CTA permettet de répodre à l questo : «Qu ft l xe?». Les plus fortes cotrbutos sot les dvdus qu sot resposbles de l pprto de l xe Σ 9 / 9