Suites arithmétiques et géométriques

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1 «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ; 11 ; ) est la suite arithmétique de 1er terme et de raiso 3 / Terme gééral: Si (u ) est ue suite arithmétique de raiso r alors pour tout etier, u = u 0 + r De même, si et p sot deux etiers aturels quelcoque alors : u = u p + ( p) r Exercice 01 (u ) avec IN désige ue suite arithmétique de raiso r. 1/ Sachat que r = et u 4 = 30, calculer u 0 et u 88. / Sachat que u 4 = 35 et u = 15, calculer r et u 0. 3/ Sachat que u 1 = π et u 3 = 4π, calculer u. 1/ u 4 = u 0 + 4r doc 30 = u et u 0 =. u 88 = u r = + 17 = 198 / u 4 = u + 40r c'est à dire 35 = r ou 40r = 0 et r =0,5. u = u 0 + r ou 15 = u soit u 0 = 14 3/ u 3 = u 1 + r soit 4π = π + r doc r = π - π et u = u 1 + r = π +π - π = π +π 3/ Les trucs e plus : Pour démotrer qu'ue suite est arithmétique, il faut prouver que la différece etre deux termes cosécutifs est costate, c-a-d il faut motrer que pour tout etier, u +1 - u = costate = r Si r est égative alors (u ) est décroissate. Si r est ulle alors (u ) est costate. Si r est positive alors (u ) est croissate. Exercice 0 Soiet les suites défiies u = ; w = 3.. Détermier leur ature et leur variatios. U +1 u = 3 (+1) = 3. Suite arithmétique de raiso 3> 0 doc elle est strictemet croissate w 1 = 3 1 = Suite géométrique positive de raiso > 1 doc elle est strictemet croissate w 3 1 Lycée de Fot Romeu SC

2 4/ Somme S des premiers termes jusqu'à u a) Théorème : Calcul de (-1) + Si N* alors : S = (-1) + = 1 Si o appelle S = ( 1) + S = +( 1) O iverse la somme et toutes le sommes verticales sot égales à + 1. Doc S = ( + 1 ) (ombre de termes) = ( + 1 ) ou S = (+1) b) Applicatio : Somme des termes d'ue suite arithmétique de premier à u p Si le premier terme est u 0, S = u 0 + u u Si le premier terme est u 1, S = u 1 + u + + u Si le premier terme est u p, alors S = u p + + u S = ombre de termes premier terme + derier terme avec ombre de termes = - p + 1 S = u p + u p u Le ombre de termes est p + 1 = u p + (u p + r) (u p + ( - p)r) = u p (ombre de termes ) + r + r ( p)r = u p ( p + 1 ) + r + r ( p)r = u p ( p + 1) + r( ( p)) Or ( p) = = u p ( p+1)+r( p)( p+1) ( p)( p+1) d'où S = u p ( p+1)+r = ( p+1) u p +r ( p) =( p+1) u +u p p +r( p) = ( p+1) u p +u = ombre de termes ( p)( p+1) premier terme + derier terme Exercice 03 (u ) désige ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r, 1/ Sachat que r = 5 et u 0 = 1, calculer u 10 et S 10. / Sachat que u 3 = 5 et S 4 = 15, calculer r et u 0. 1/ u 10 = u r = = 51 S 10 = =11 5 =11 =8 / u 3 = 5 doc u 0 + 3r = 5 S 4 = 15 doc 5 u u 0 4 =15 O a doc 5 u 0 u 0 4r =5 u 4r 0 =5 u 0 r =15 Il faut doc résoudre u système { u 0 3r=5 u 0 r=3. E soustrayat membres à membres, o obtiet r = et u 0 = -1 5/ Comportemet asymptotique des suites arithmétiques Si le raiso est strictemet positive, la suite diverge vers +. Si le raiso est strictemet égative, la suite diverge vers -. Si le raiso est ulle, la suite est costate doc covergete. Lycée de Fot Romeu SC

3 «II» : Suites géométriques 1/ Défiitio La suite (u ) est géométrique de raiso q sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u q Exemple : La suite (3 ; ; 1 ; 4 ; 48...) est la suite géométrique de 1er terme 3 et de raiso /Terme gééral: Si (u ) est ue suite géométrique de raiso q alors pour tout etier, u = u 0 q De même, si et p sot deux etiers aturels quelcoques alors u = u p q - p Exercice 04 1/ (u ) est ue suite géométrique de raiso q = -3 et telle que u 7 = 4. Détermier u 13. / Détermier la raiso q et le premier terme v 0 de la suite géométrique (v ) sachat que v 4 = 7 et v 7 = 5. 1/ Nous pourrios passer par le premier terme de la suite u 0, mais ce 'est pas écessaire, o peut écrire que : u 13 = u 7 q 13-7 = 4 (-3) = 4 79 = 1749 / Commeços par la raiso q. O peut écrire que : v 7 = v 4 q 7-4 d'où 5 = 7 q 3 d'où q 3 = 8 d'où q =, car u seul ombre a pour cube 8 : il s'agit de. 7 Pour ce qui est du premier terme v 0, o peut écrire que : v 4 = v 0 q 4 d'où 7 = v 0 4 d'où v 0 = 1 Exercice 05 (u ) IN désige ue suite géométrique de raiso q. Sachat que u = 5 et u 3 = 7, calculer u 5. u 3 = u q doc q = 7 5 et u 4 = u q 3 doc u 4 = u ( 7 5 ) 3 = 5 ( 7 5 ) 3 = / Le truc e plus : Pour démotrer qu'ue suite est géométrique, il faut prouver que le quotiet de deux termes cosécutifs est costat. C'est-à-dire il faut motrer que pour tout etier, u 1 u = costate = q Exercice 0 Préciser la ature des suites u et v défiies sur IN par u = et v = 3. et détermier leur ses de variatios. u +1 - u = (3( + 1) + 5 ) - ( 3 + 5) = = 3. La suite u est doc arithmétique de raiso 3 > 0, elle est doc strictemet croissate v 1 v = 3 1 = La suite est doc géométrique de raiso > 1 elle est doc strictemet croissate 3 3 Lycée de Fot Romeu SC

4 4/ Somme S des premiers termes jusqu'à u lorsque q 1 a) Théorème : Calcul de : a 0 + a + a + a a avec a 1 Si N* et a 1 alors a 0 + a + a + a a = Démostratio: S = a 0 + a + a + a a as = a + a + a a + a S - a S = a 0 - a + 1 = 1 - a + 1 ou S (1 - a) = 1 - a + 1 d' où 1 a 1 1 a S = 1 a+1 1 a b) Applicatio : Somme des termes d'ue suite géométrique de premier à u p quad q 1 Si N* et si q est u réel différet de 1 alors : S = D'ue maière géérale S = premier terme Démostratio: S = U p + U p U = U p + qu p q p U p = U p (1 + q q p ) p +1 Or 1 + q q p = p+1 D' où s =u p =premier terme ombre de termes ombre de termes U 0 U 1 Exercice 07 (u ) désige ue suite géométrique de raiso q, S = u 0 + u 1 + u u Sachat que u 0 = 3 et q = 5, calculer u 3 et S 3 u 3 = u 0 q 3 = 3 (-5) 3 = S 3 = U ou ecore S 3 = 4 avec u 4 = u 3 (-5) = doc S 3 = =313 =3 1 5 =313 5/ Comportemet asymptotique des suites géométriques : = U 0 1 Ue suite géométrique de raiso r coverge si et seulemet si -1 < r 1 avec ombre de termes = - p + 1 Remarques : Lorsque r = 0 ou r =1 la suite est costate doc coverge. Lorsque r > 1 la suite diverge vers - ou + suivat le sige du premier terme. Lorsque r 1 la suite est divergete puisqu'elle 'a pas de limite. 4 Lycée de Fot Romeu SC

5 «III» : Suite arithmético-géométrique de la forme u +1 = au + b Exercice 08 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 8 et u +1 = u 3 pour tout IN. 1/ Soit (v ) la suite défiie pour tout IN par v = u a ; a état u réel fixé. a) Exprimer v +1 e foctio de v et de a. b) Détermier la valeur de a pour laquelle la suite (v ) est géométrique. / Soit (v ) la suite défiie pour tout IN par v = u 3. a) Exprimer v +1 e foctio de v, justifier que v est géométrique puis exprimer v e foctio de. b) E déduire ue expressio de u e foctio de. c) Étudier la limite de v puis celle de u. 3/ Soit u etier. a) Exprimer e foctio de la somme S = v 0 + v v b) E déduire la somme S = u 0 + u u c) Vérifier pour S 4 e calculat u 1, u, u 3 et u 4. 1/ a) v +1 = u + 1 a = u 3 a = v + a 3 a = v + a 3 v 1 b) O doit avoir = costate. v v Or 1 = v a 3 = si et seulemet si a=3 v v / a) La suite v est géométrique de raiso et de premier terme v 0 = 8 3 = 5. Doc v =5 b) u = v + 3 doc u =5 + 3 c) v diverge vers + dos u diverge vers +. 3/ a) S = V 0 =5 1 = 5 ( ) b) S = v v v + 3 = S 3 ( + 1) =5 ( ) + 3 ( + 1) c) u 0 = 8 u 1 = 1 3 = 13 u = 3 = 3 u 3 =4 3 = 43 u 4 = 8 3 =83 S 4 = = 170 Et S 4 = 5 ( 5-1 ) + 3 ( 4 + 1) = = Lycée de Fot Romeu SC