(respectivement M n,1 ( )) l espace vectoriel réel

Transcription

1 Les calculatrces sot autorsées **** NB : Le caddat attachera la lus grade mortace à la clarté, à la récso et à la cocso de la rédacto S u caddat est ameé à reérer ce qu eut lu sembler être ue erreur d'éocé, l le sgalera sur sa coe et devra oursuvre sa comosto e exlquat les rasos des tatves qu l a été ameé à redre **** Le suet comorte 6 ages Notatos : O désge ar l'esemble des ombres réels, ar l esemble des ombres eters aturels et * ar l esemble rvé de 0 Pour eter aturel o ul, o ote M ( (resectvemet M,1 ( l esace vectorel réel des matrces carrées à lges (resectvemet l esace vectorel des matrces coloes à lges à coeffcets réels O ote det ( A le détermat d ue matrce carrée A et t B la trasosée d ue matrce B quelcoque État doé ue matrce A, la otato A= ( a, sgfe que a, est le coeffcet de la lge et de la coloe de la matrce A Lorsque = ( A a est ue matrce de ( M, o detfe la matrce A avec le réel a 1 Pour tout eter aturel, o ote! la factorelle de, avec la coveto 0! = 1 Soet et deux eters aturels tels que 0 : o ote, l esemble des eters k tels que k o raelle la otato! =! (! Le rodut scalare de deux vecteurs u et v d u esace réhlberte sera oté ( uv 1/6

2 Obectfs : Das ce roblème, o déft la matrce de Gram d ue famlle fe de vecteurs d u esace réhlberte réel La remère arte orte sur des calculs de détermats, la valeur d u des détermats calculés servat à llustrer la quatrème arte Das la deuxème arte, o déft les matrces de Gram et o e étude quelques rorétés Les trosème et quatrème artes sot des alcatos de la deuxème arte PARTIE I Les résultats de cette arte e servrot que das la arte IV I1 Détermat Sot d Pour 0,, o ote P = (, de la lge et de la coloe est égal à A a la matrce carrée de ( a, + + = + 1 M dot le coeffcet +1 avec ( 1, + 1 1, + 1, d = A O ote det ( I11 Exlcter les eters r et s tels que a 1, + 1, + 1,1 a et a + 1, + 1 a, r = s our les quatre coeffcets a 1,1, I1 Pour tout eter aturel calculer les détermats d, d 1 et d I13 O suose que la matrce d dce I131 Das le calcul de A ossède au mos deux lges O ote L la lge d o effectue les oératos suvates : our varat de + 1 à, o retrache la lge L 1 à la lge L (oérato codée : L L L 1 Détermer le coeffcet d dce (, de la ouvelle lge L I13 E dédure ue relato etre d et + 1 d, us e dédure d I Détermats D et Pour, o ote D le détermat de la matrce carrée de ( M + dot le coeffcet de la 1 lge et de la coloe est ( +!, les lges et les coloes état dexées de 0 à /6

3 D + Avec les mêmes otatos, o ote det + = O ote = det ((! our ( 0, 0,, I1 Calculer les détermats D0, D1, D, 0, 1 et I Doer ue relato etre I3 E dédure us D D et PARTIE II A Sot * IIA1 Sot = (, C c ue matrce carrée de M ( Pour tout eter 1,, o ote X la matrce coloe de M,1 ( dot tous les coeffcets sot uls, sauf le coeffcet de la lge qu vaut 1 IIA11 Pour ( 1, 1,,, détermer le rodut t X CX IIA1 E dédure que = 0 M M o a t XCY = 0 ( (,1,1 Sot E u esace euclde de dmeso et sot = ( e,, 1 e matrce carrée de ( M telle que (, = C s et seulemet s our tout coule ( X,Y de A= a la B ue base de E Sot (, a e e le rodut scalare de e et e Pour tout vecteur u de E, o ote avec la même lettre mauscule U la matrce coloe des comosates du vecteur u relatvemet à la base B IIA Pour tout coule ( Sot = ( e' e' x y = XAY x,y de vecteurs de E, ustfer l égalté ( t B',, 1, A' = a' la matrce carrée de ( a', = ( e' e' O ote P la matrce de assage de la base B à la base B' M avec IIA3 Pour tout vecteur u de E, o ote U' la matrce coloe des comosates du vecteur u relatvemet à la base B' IIA31 Sot x u vecteur de E Doer ue relato etre les matrces X, X' et P IIA3 Justfer l égalté t A' = PAP 3/6

4 IIA33 Que devet l égalté récédete lorsque B' est ue base orthoormale? IIA34 Motrer que la matrce A est versble et que det ( A > 0 IIA35 Dédure des résultats récédets que s ( ε,, ε 1 est ue famlle lbre de vecteurs d u esace réhlberte réel, la matrce B= (( ε ε de M ( de coeffcets les roduts scalares ( ε ε, vérfe det ( B > 0 B Sot * Das u esace réhlberte réel H, o cosdère vecteurs quelcoques (( M = u u la matrce de ( M de coeffcets les roduts scalares ( u u u,, 1 u Sot À toute matrce coloe x1 X= x de M,1 (, o assoce le vecteur = 1 v= xu IIB1 Das cette questo o suose = IIB11 Motrer que ( det M 0 IIB1 À quelle codto sur det ( M la famlle (, O revet au cas gééral où est quelcoque das u u est-elle lbre? IIB Exrmer les coeffcets de la matrce MX e focto des roduts scalares ( u v IIB3 E dédure l égalté * 1 t XMX = v où v est la orme du vecteur v IIB4 Sot λ ue valeur rore (comlexe de la matrce M Justfer que λ aartet à Motrer que λ 0 IIB5 Motrer que MX = 0 s et seulemet s v est le vecteur ul IIB6 O suose que la matrce M est versble, dédure de la questo récédete que la u u est lbre famlle ( 1,, 4/6

5 Défto : Etat doé vecteurs v 1,, v d u esace réhlberte réel H, o aelle matrce de Gram des vecteurs v 1,, v, la matrce ( ( roduts scalares ( v v G v v v v de ( 1,, = ( M de coeffcets les Il résulte de la arte II que la famlle ( v,, 1 v est lbre s et seulemet s ( ( 1 das ce cas, o a det G( v v >0 ( 1,, det G v,, v 0 ; PARTIE III Das cette arte, E est l esace euclde 3 suosé oreté, u 1, u, u 3 sot tros vecteurs utares de E O ote α, βγ, les réels de [ 0, π ] tels que ( u1 u = cosα, ( ( u3 u 1 = cosγ et o suose que 0 γ β α π u u 3 = cos β, III1 Détermer les races du olyôme ( III E dédure ue factorsato de det ( ( 1,, 3 P X = X X cos β cosγ + cos β+ cos γ 1 G u u u e rodut de deux facteurs III3 Motrer que cosα est comrs etre cos( β γ et cos( β γ III4 Motrer que ( ( det G u, u, u = 0 s et seulemet s α + β + γ = π ou α = β + γ III5 O suose que α = β = γ et o ote c= cosα III51 Détermer le olyôme caractérstque de la matrce (,, valeurs rores III5 Détermer la lus ette valeur ossble de c III53 O red 1 c= III531 Quelle est la valeur de u1+ u + u 3? G u u u E dédure ses 1 3 III53 Détermer le oyau de l edomorhsme caoquemet assocé à la matrce (,, u + u + u G u1 u u 3 E utlsat IIB5, retrouver la valeur de 1 3 5/6

6 PARTIE IV Sot u eter aturel avec O cosdère vecteurs v,, 1 v d u esace réhlberte réel H IV1 Oératos sur les vecteurs d ue matrce de Gram Sot λ IV11 Exrmer det ( G( v1,, v 1,λv e focto de λ et de det ( ( 1,, 1 IV1 Exrmer det ( G( v1,, v 1,v + λv 1 e focto de det ( ( 1,, G v v,v G v v IV Sot Vect ( v v F= v1,, v le sous-esace vectorel de H egedré ar les vecteurs,, 1 IV1 Sot w u vecteur de H orthogoal à F Exrmer det ( ( 1,,, focto de w et de det ( G( v1,, v G v v w e IV Sot v H, o ote d( v,f la dstace du vecteur v au sous-esace vectorel F Motrer l égalté det G( v,, v,v = d v,f det G v,, v ( 1 ( ( ( ( 1 IV3 Calcul de la dstace d u vecteur à u sous-esace vectorel IV31 Pour valeur k, ustfer la covergece des tégrales k -t Jk = t e dt et calculer leur 0 + O raelle (et o admettra que [ X ], l esace vectorel réel des olyômes à coeffcets das, est u esace réhlberte réel our le rodut scalare + -t ( PQ = e P( t Q( t dt 0 O cosdère la base de [ ] e où e = X k, k X formée des vecteurs k e e IV3 Calculer les roduts scalares ( IV33 Sot vecteur [ X ] * Dédure des questos récédetes et de la arte I, la dstace du X des olyômes de degré 1 de l esace e au sous-esace vectorel [ ] 1 k F de l'éocé 6/6