2 Nature (convergence ou divergence) d une intégrale impropre

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1 Lycée Dominique Villrs ECE INTEGRALES IMPROPRES ou GENERALISEES COURS Jusqu à présen l noion d inégrle d une foncion f se ie u cs d une foncion coninue sur un inervlle fermé, ppelé segmen, [,b] vec e b deu réels. Ce complémen de cours pour bu de générliser l noion d inégrle d une foncion coninue sur un inervlle ouver c..d. du ype : ] ; b[, ] ; b], [ ; b[, [ ;+ [, ] ; b], ] ; [. Inégrles impropres (ou générlisées) Définiion. Soi une foncion f coninue sur un inervlle I = [;b[ vec R e b R {+ } ou I =];b] vec R {} e b R, on di que les inégrles f() d f() d b son des inégrles impropres ou générlisées en b dns le cs de I e en dns le cs de I. Lorsque que l foncion f n es coninue que sur ],b[ lors l inégrle es impropre ussi bien en qu en b. On l éudier en l décomposn en l somme de deu inégrles à l ide de l relion de Chsles e d une vleur quelconque c ],b[ : f() d = c f() d + Eercice. Enourer les inégrles impropres dns l lise suivne : c f() d (i) d (ii) d (iii) + + ( +3) d (iv) 3 ln d (v) ln(3+) d (vi) e d (vii) ( ) d (viii) + e e d Nure (convergence ou divergence) d une inégrle impropre. Inégrle impropre en b R {+ } Définiion. Soi f une foncion coninue sur [ ; b[ vec R e b R {+ }. On di que l inégrle impropre f() d es convergene lorsque l [ ; b[ R foncion F : dme une ie finie lorsque end vers b f() d. Si el es le cs, l vleur de cee inégrle es : f() d = = b F() b f() d Dns le cs conrire, l inégrle f() d es die divergene.

2 Eemples :. L inégrle e d es convergene cr e es coninue sur [ ; + [ e pour ou : e d = )e d = [ e ] = ( e e ) = e e insi On dédui donc que :. L inégrle + e d = + e = e d = d es divergene cr même si e es coninue sur [ ; + [, on pour ou : d = [ln()] = ln() e insi + d = + ln() = + Eercice. Déerminer l nure e évenuellemen l vleur de chcune des inégrles suivnes : I = e d e e I = 4 ( 4) d I 3 = d I 4 = d I 5 = e d I 6 = ln() d I 7 = ln() d. Inégrle impropre en R {} Définiion. Soi f une foncion coninue sur ] ; b] vec R {} e b R. On di que l inégrle impropre f() d es convergene lorsque l ] ; b] R foncion F : b dme une ie finie lorsque end vers +. f() d Si el es le cs, on l vleur de cee inégrle es : f() d = = +F() + f() d Dns le cs conrire, l inégrle f() d es die divergene.

3 Eemples :. L inégrle d es divergene cr es coninue sur ] ; ] e on pour ou > : d = [ln( )] = ln() ln( ) = ln( ) or + ln( ) = h + ln(h) = insi + d = +. L inégrle d es convergene cr es coninue sur ] ; ], on pour ou > : d = [ ] d = = [ ] = e insi On dédui donc que : + d = + ( ) = d = Eercice 3. Déerminer l nure e évenuellemen l vleur de chcune des inégrles suivnes : J = ln() d JI = 4 ln() d J 3 = d J 4 = d J 5 = e d J 6 = e d J 7 = ln( ) d.3 Inégrle impropre en R {} e en b R {+ } Il s gi du cs où l foncion n es coninue uniquemen que sur ],b[ vec R {} e b R {+ }. Définiion. Soi f une foncion coninue sur ] ; b[ vec R {} e b R {+ }. Soi un réel quelconque c ],b[. On di que l inégrle de f es convergene sur ] ; b[ ou que l inégrle lorsque f() d es convergene les inégrles Si el es le cs, lors : c f() d e c f() d son oues les deu convergenes. c f() d = f() d + f() d c

4 Eemples :. L inégrle d es elle-convergene? ( ) On observe que pour ou réel ],[, Réponse : NON. En effe, l inégrle / d = ( ) ( ) = + = / / d es divergene cr ( ) [ d = ln ln + ] = / Dns ce cs, nous urions pu églemen vérifier que l inégrle / ( ) d es églemen divergene cr +. L inégrle / d = ( ) + / d es elle-convergene? Réponse : NON. En effe, même si l inégrle l inégrle 3. L inégrle d ne l es ps cr e d es elle-convergene? Réponse : OUI. e L inégrle d es convergene cr insi De plus, l inégrle Ainsi, on obien finlemen que ( ) [ d = ln ln + ] = + d es convergene cr [ d = ] = + + d = = e d = [ e ] = e e = e e d = e e d es églemen convergene cr e d = + +e e = e e d = e d + e d = e + e =

5 4. L inégrle e d es elle-convergene? Réponse : NON. En effe, même si l inégrle e d es convergene cr l inégrle + e d ne l es ps cr e [ d = e ] + = + e = e [ d = e ] = e = + Eercice 5. Déerminer l nure e évenuellemen l vleur de chcune des inégrles suivnes : K = ln() d K = ( )( ) d K 3 = ln( ) d (uiliser IPP) Indicion : pour ou ],[, on ( ) = + Eercice 6. Déerminer l nure e évenuellemen l vleur de chcune des inégrles suivnes : K = d K = ln() d K 3 = e e d+ K 4 = e e d I = + e d I = + d 3 Condiions nécessires sur f fin que f() d soi convergene Théorème (Hors progrmme). Soi unréel e f unefoncion coninue e décroissne sur[+ [elle que f() d soi convergene. ❶ On lors que + f() =. Ce qui implique nommen que f es posiive sur [;+ [. ❷ On peu églemen démonrer que ( ) f() = o + Démonsrion ❷ : Voir Eercice TD - Théorème de Pringsheim inégrl d Aenion cee condiion n es ps suffisne!! Conre eemple ln. Lorsque f es une foncion coninue de signe consn sur [;+ [ e que + f() lors l inégrle f() d es die grossièremen divergene.

6 4 Inégrles impropres de référence : nure des inégrles de Riemnn Théorème. Au voisinge de l : Soi >. Soi α >. ❶ Les inégrles ❷ Les inégrles + α d e α d e d son convergenes si seulemen si α >. α d son divergenes si seulemen si α. α Dns le cs où α <, l foncion + α ne ends ps vers en l infini. Les inégrles son donc die grossièremen divergenes!!! α d e α d Plus α > es grnd plus rpide es l convergence de l foncion vers en. Le résul ci-dessus α nnonce simplemen qu u voisinge de l infini, l foncion puissnce criique es l foncion. Ainsi pr eemple : Théorème., d = Au voisinge de : Soi > e α >. d es divergene lors que +, d e 4 d son convergenes. 4 Les inégrles Les inégrles α d e α d e dson convergenes si seulemen si α <. α d son divergenes si seulemen si α. α Dns le cs où α <, l foncion α es bien définie e coninue sur R. Les inégrles α d e ne son ps des inégrles générlisées. Leur eisence résule des résuls du cours de ère nnée. α d Plus α > es pei plus lene es l convergence de l foncion vers en. Le résul ci-dessus α nnoncesimplemen qu u voisinge de, l foncion puissnce criique es là encore, l foncion inverse. Ainsi pr eemple : Théorème. d = d es convergene lors que Au voisinge d une vleur réelle non nulle. Soi R e b R. Soi α >., d e d son divergenes. 4 Les inégrles d e ( ) α d son convergenes si seulemen si α < (b ) α 5 Propriéés lgébriques e de clcul liées u inégrles impropres 5. Anlogies vec l inégrion sur un segmen [, b] Sous condiions de convergence des inégrles impropres mnipulées, les propriés lgrébriques vu pour les inégrles d une foncion coninue sur un segmen [, b] resen vlbles.

7 Propriéés. LINEARITE : Soi f, g deu foncions elles que les inégrles impropres convergenes e un réel λ lors f() d e g() d soien (λf()+g()) d = λ f() d + g() d POSITIVITE = inégrion d inégliés enre deu bornes ordonnées. ❶ Soi f une foncion posiive sur ],b[ vec < b e si l inégrle impropre lors f() d f() d es convergene ❷ Soi f e g deu foncions e < b. Si pour ou ],b[, f() g() e si les inégrles impropres f() d e g() d son convergenes lors f() d g() d En ce qui concerne les méhodes de clcul inégrl (IPP, chngemen de vrible) vu dns le cdre d inégrle coninue sur un segmen [, b], elles demeuren évidemmen uiles u clculs d inégrles impropres convergenes. Cependn elles doiven êre impérivemen ppliquées sur inégrle définies sur un segmen e non sur l inégrle impropre direcemen. Eemple : Convergence e clcul de I = e d. Soi >, nous llons eplicier l vleur de l inégrle I() = e d à l ide d une inégrion pr prie puis psser à l ie lorsque end vers + fin de connire l nure de I e évenuellemen s vleur. On en posn u() = e v() = e deu foncions de clsse C sur R +, d près l formule d IPP : Ainsi I() = [ e ] ( e ) d = e + Ccl : L inégrle impropre I es convergene e vu. e d = e + [ e ] = e e + ( I() = e e + ) = Absolue convergence d une inégrle impropre e inéglié ringulire Définiion (Convergence bsolue d une inégrle impropre). On di que l inégrle impropre f() d es convergene f() d es bsolumen convergene lorsque l inégrle impropre

8 Propriéés. Toue inégrle impropre f() d bsolumen convergene es convergene Théorème (INEGALITE TRIANGULAIRE). Soi f une foncion e deu réels < b. Si l inégrle f() d f() d bsolumen convergene lors f() d 6 Crières de convergence d inégrles impropre lorsque f es une foncion posiive sur ], b[ Dns cee secion, nous llons mere en vn des proposiions permen de déerminer l nure de l inégrle générlisée d une foncion posiive pour lquelle l obenion de l epression d une primiive n es ps simple, voire impossible. Eemple : Nure de l inégrle e d. Il es impossible de déerminer l epression ece en foncion de de l ie de cee epression lorsque ends vers +. e d donc, priori, encore moins de Les crières présenés ci-dessous son des crières de comprison à des foncions de référence (nommen les foncions puissnces vues plus hu). Afin de simplifier l écriure du cours, nous nous ierons à l éude du cs d inégrles sur un inervlle [ ; b[. On pourr imginer b R ou b = +. Crière. Si f es une foncion coninue e posiive sur [ ; b[ : l foncion F : f() d es croissne sur [ ; b[. Dns ce cs b F() es finie si e seulemen si F es mjorée sur [ ; b[. Ainsi, on dédui le crière suivn : f() d es convergene si seulemen si M R / [ ; b[, f() d M Ce crière n es ps simple en mere en plce, cr il demnde une mjorion de f() d qui n es ps direce dns l plupr des cs. Cependn, il peu inervenir dns un eercice ype concours guidé pr plusieurs quesions inermédiire. Les deu crières suivns son les plus uilisés :

9 Crière (Mjorion/minorion de l foncion f pr une foncion de référence). Si f es une foncion coninue e posiive sur [ ; b[. Si il eise une foncion g coninue e posiive sur [ ; b[ elle que : (i) [ ; b[, f() g() (ii) g() d es convergene lors l inégrle impropre f() d es convergene Si il eise une foncion g coninue e posiive sur [ ; b[ elle que : (i) [ ; b[, g() f() (ii) g() d es divergene lors l inégrle impropre f() d es divergene. Pluô que d éblir des mjorions/minorions globles, il es souven plus simple de comprer les ordres de grndeurs de foncion u voisinge des infinis ou d une vleur réelle. Crière 3 (Comprison locle). Si f es une foncion coninue e posiive sur [ ; b[. ❶ Si il eise une foncion g coninue e posiive sur [ ; b[ elle que : (i) f = o b (g) (ii) g() d es convergene lors l inégrle impropre f() d es convergene ❷ Si il eise une foncion g coninue e posiive sur [ ; b[ elle que : (i) g = o b (f) (ii) g() d es divergene lors l inégrle impropre f() d es divergene. ❸ Si il eise une foncion g coninue e posiive sur [ ; b[ elle que : f b g lors les inégrles impropres g() d e f() d son de même nure. Eercice 8. Déerminer l nure des inégrles impropres suivnes I 4 = I = ln d I = e (+e ) d I 5,n = u +u 4 du I 3 = ln(u) n u 3 du I 6,n = ln (+ ) d ++ n d

10 Eemple - Nure de e d. L foncion e es négligeble devn l foncion u voisinge de + en effe : e = + + e or les héorèmes de croissnces comprées indique que u + ue u = e puisque + = +, on bien e = + Or l inégrle d es convergene. Ainsi le crière 3, perme de conclure que l inégrle convergene... sns pour un nous fournir s vleur!!! e d es Eemple - Nure de ln() d. L foncion ln() es coninue sur [ ; + [. L unique poin de convergence de l inégrle se siue donc u voisinge de +. rédcion () - Au voisinge de +, l foncion es négligeble devn l foncion ln(). En effe : + = ln() + ln() = Ainsi = + o ( ) ln() Or l inégrle d es divergene. Ainsi le crière 3, perme de conclure que l inégrle elle ussi divergene...sns pour un nous fournir s vleur!!! ln() d es rédcion (b) - On conse que pour [e ; + [, ln() Or l inégrle l inégrle e d es divergene. Ainsi d près le crière, l inégrle d l es églemen. e d es divergene donc Eemple 3 - Nure de ln(+ ) d. L foncion ln(+ es coninue sur ] ; ]. L unique poin de convergence de l inégrle se siue donc ) u voisinge de +. Or u voisinge de +, une équivlence clssique vue en ère nnées donne que ln(+ )

11 e insi pr pssge à l inverse des équivlens (enion on ne peu ps jouer ermes à ermes équivlences!!!), on obien ln(+ ) Puisque l inégrle d es divergene, le crière 3 nous ssure que ATTENTION u conre-sens dns l pplicion de ces crières. Quesion : Déerminer l nure de l inégrle e d. Il n es ps fu de dire que : [ ; + [, e Cependn, il seri lors erroné de conclure que l inégrle e d ln(+ d es églemen divergene. ) es divergene!!! En effe, on mjore l foncion à inégrer pr une foncion de référence don l inégrle sur l inervlle considéré es divergene. Rien ne peu êre conclu de cee comprison. Pr conre, ici il suffi de remrquer que : or nous vons déjà jusifié que convergene. [ ; + [, e e = e e d es convergene. Le crière perme lors de conclure que ed es

12 Approche grphique des crières de convergence d inégrles impropres de foncions posiives. Cs d un inégrle impropre lorsque (ou/e b) es réel. Cs : Nure de l inégrle e d. L foncion f : e es définie e coninue sur ],]. Cel perme de jusifier que f es prolongeble pr coninuié en pr l foncion f définie pr f() = e si ],] si = L foncion f es lors coninue sur l inervlle [,] e donc possède une primiive, F, définie e de clsse C sur [,]. Alors, puisque pour ou < <, On observe dns ce cs que l foncion f possède une ie finie en cr + e = I() = f() d = On dédui rpidemen que f() d = F() F() = F() F() = +I() f() d Inerpréion : Si l foncion f es coninue sur ], b] (respecivemen [, b[) mis possède une ie finie en (respecivemen en b) lors l inégrle f() d es convergene. Cs : Nure de l inégrle d L foncion g : es définie e coninue sur ];]. Conriremen à l foncion f éudiée u cs, l foncion g n es ps prolongeble pr coninuié en cr g() = + + L courbe C g possède une sympoe vericle en. L ire lgébrique grndi dès lors que se rpproche de l vleur (vleur inerdie pour l foncion inverse). Pour un J() = g() d = +?? + +

13 Si f dme une sympoe vericle en lors lorsque, l disnce enre l e des bscisses e l courbe grndi. Afin que l inégrle impropre f() d soi convergene, l condiion v donc êre : l courbe e l e des bscisses ne doiven ps s écrer rop rpidemen lorsque l on se rpproche de l vleur inerdie Cee noion se rdui un peu plus mhémiquemen pr : f() doi endre suffismmen lenemen vers lorsque Nous llons préciser dns l suie l significion du suffismmen lenemen un peu loin.. Cs d un inégrle impropre lorsque (ou/e b) es. Cs : Nure de l inégrle + d L foncion f : + es bien coninue sur [;+ [. On observe l foncion f possède une sympoe horizonle en +, l droie d équion y =. Ainsi pr eemple, il eise un enier c el que pour ou c, f(). Ce qui v impliquer pour l ire lgébrique I() = f() d que si c, I() Pr comprison, on dédui donc lors que : c f() d I() = + + c c d = Propriéé - Définiion (Inégrles impropres grossièremen divergenes). Soi R. Si f es une foncion coninue sur [ ; + [ (respecivemen sur ],b]) e si ( ) f() respecivemen f() + lors l inégrle + f() d es divergene respecivemen f() d es divergene Dns ce cs, l inégrle impropre es die grossièremen divergene.

14 Une condiion necessire de convergence pour les foncions de signe consn u voisinge de l infini A priori, à supposer que f soi de signe consn u voisinge de +, l inégrle impropre f() d ser convergene si l courbe se rpproche de l e des bscisses en + ce qui v se rduire pr l condiion nécessire + f() = ATTENTION : Cee condiion es donc necessire sns pour un êre suffisne!!! Eneffe, lfoncioninversef : esconinuesur[ ; + [esisfi bienàlcondiion + f() =. Cependn, nous pouvons observer que : d = ln = + + donc + d es divergene Cs : Nure de l inégrle g() d lorsque + g() = Soi une foncion g coninue sur l inervlle [, + [. Supposons, conriremen à l foncion f éudiée u cs, que l foncion g converge bien vers en +. Lorsque +, l inervlle d inégrion devenn de plus en plus grnd. Afin que l inégrle soi convergene, l condiion v donc êre : + g() d l prie enre l courbe e l e des bscisses doi êre rpidemen de plus en plus éroie fin de compenser l ugmenion de l inervlle lorsque l on prcour l e des bscisses dns le sens croissn Cee noion se rdui un peu plus mhémiquemen pr : g() doi endre suffismmen rpidemen vers lorsque + Nous llons préciser dns l suie l significion du suffismmen un peu plus loin.