Première E.S. Lycée Desfontaines Melle. Pourcentages

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1 Première E.S. Lycée Desfonaines Melle I. Inroducion Pourcenages Définiion : On considère deux quaniés Q e Q de même naure, exprimées dans la même unié. Dire que Q es égale à % de Q revien à dire que Q = Q. Remarque : la connaissance de deux des nombres Q, Q e perme de calculer le roisième. Exemples : Dans une assemblée de 45 membres, 80 % son des femmes. Combien y a--il de femmes dans cee assemblée? Soi N le nombre de femmes dans cee assemblée alors N= 80 45=36 Il y a 36 femmes dans l assemblée. A la fin de la saison, un géran de magasin s aperçoi qu il lui rese 52 aricles, soi 13% des aricles qu il avai en sock. Combien avai-il d aricles en débu de saison? Soi Q le nombre d aricles en débu de saison, alors 52= 13 Q. D où Q=52 13 =400 Il y avai 400 aricles dans le sock en débu de saison. Un capial de euros placé pendan un an à % a rapporé 750 euros d inérês. Calculer le aux du placemen. 750 On a : 750= d où = =3. Le aux du placemen es ainsi de 3 % Exercices 1 e 2 page 4/6 II. Variaion en pourcenage Propriéé : Augmener une quanié de % revien à muliplier cee quanié par. Diminuer une quanié de % revien à muliplier cee quanié par 1. Propriéé : Lorsqu une quanié augmene de %, on di que son pourcenage d évoluion es : + %. Lorsqu une quanié baisse de %, on di que son pourcenage d évoluion es %. Exemple : En l an 2000, une ville A compai 2520 habians e une ville B en compai Depuis, la ville A a vu sa populaion croîre de 5 % andis que la ville B a perdu 564 de ses habians. Calculer les populaions acuelles de la ville A. Quel es pourcenage d évoluion de la populaion de la ville B? =2520 1,05=2646. Il y a acuellemen 2646 habians dans la ville A. Soi le pourcenage d évoluion de la populaion de la ville B. On a alors : = 3525 Donc = = =0,84 d où = -0,16 c es-à-dire =-16. Le aux d évoluion de la populaion de la ville B es donc de -16 %, ce qui signifie que le nombre d habians de cee ville a baissé de 16 %. Exercices 3 e 4 page 4/6 01_Pourcenages 1/6

2 III. Augmenaions ou diminuions successives en pourcenage Propriéé : Soien e deux nombres réels posiifs ou négaifs. Si on soume à une quanié successivemen une variaion de % suivie d une variaion de %, on obien la quanié finale en muliplian la quanié iniiale par. Démonsraion : Soien Q 0 la quanié iniiale, Q 1 la quanié inermédiaire e Q 2 la quanié finale. Alors Q 1 = Q 0 e Q 2 = Q 1 d où en remplaçan Q 1 par Q 0 dans la deuxième formule, on obien Q 2 = Q 0. La quanié finale es bien égale à la quanié iniiale mulipliée par ( ) ( ). Exemple : Le chiffre d affaire d une enreprise éai en 2002 de 15 millions d euros. Il a baissé en 2003 de 5 % puis il a augmené en 2004 de 12 %. Calculer le chiffre d affaire en Appelons C 2002, e C 2004 les chiffres d affaire en 2002 e Alors C 2004 = C 2002 = 0,95 1,12 15=15,96. Le chiffre d affaire en 2004 es donc de 15,96 millions d euros. Exercices 5 e 6 page 4/6 IV. Indices Un exemple pour comprendre. Le ableau ci-conre donne les monans du SMIC mensuel ne en euros en sepembre de chaque année : On décide de choisir pour base en 2001 e on obien donc une nouvelle ligne «Indice». Les lignes «Monan» e «Indice» déerminen un ableau de proporionnalié. Les Années valeurs (arrondies) de chacune des cases se dédui donc Monan 890,98 913,03 957, ,44 facilemen : Indice 102,5 107,5 113,7 Pour 2003 : 957,51 890,98 ó107,5 Propriéé admise : Le pourcenage d évoluion d une grandeur enre deux daes es le pourcenage d évoluion de l indice quelle que soi la base choisie. Conséquence : Dans un exemple de base, pour déerminer le pourcenage d évoluion enre une dae quelconque e la dae de référence, il suffi de sousraire à l indice de cee dae. Démonsraion Soi I 1 l indice à une dae T 1 donnée e l indice I 0 à la dae de référence T 0. Alors le pourcenage d évoluion enre T 0 e T 1 es le pourcenage d évoluion enre I 0 e I 1, on a donc : = I 1 I 0 Donc = I 1 I 1 = 1 I 0 =I I 0 I 1 I 0 car I 0 = 0 Applicaions Enre 2002 e 2004 le pourcenage d évoluion de l indice es 113,7 102,5 = soi = 113,7 1 ó 10,9. 102,5 Ainsi enre 2002 e 2004, le SMIC a connu une augmenaion de 10,9 % environ. Enre 2004 e 2001, le SMIC a augmené de 13,7 % environ car 113,7 =13,7 Exercices 7 e 8 pages 4 e 5/6 ( ) Q 0 Q 1 Q 2 ( ) Remarque : Dans ce exemple, =-5 ce qui signifie à une baisse de 5 %. =12 ce qui signifie à une hausse de 12 %. Années Monan 890,98 913,03 957, ,44 01_Pourcenages 2/6

3 V. Pourcenage de pourcenage Propriéé : Soien e deux nombres réels posiifs. Calculer % de % d une quanié revien à muliplier cee quanié par. Exemple Dans une enreprise, 40 % des employés son des femmes. Parmi elles, 15 % son secréaires. Quel es le pourcenage de secréaires féminines dans cee enreprise? = 6. Ainsi 6% des salariés de cee enreprise son des femmes secréaires. Exercice 9 page 5/6 VI. Addiion e comparaison de pourcenages Propriéé : Pour que la somme (ou la différence) de deux pourcenages ai un sens, il fau que les condiions suivanes son respecées simulanémen : Les ensembles de référence des deux pourcenages son les mêmes. Les paries correspondan à ces deux pourcenages n on pas d élémens communs. Exemples : Lors du referendum de mai 2005, 54,67 % des français on répondu «non» à la quesion qui leur éai posée. Quel a éé le pourcenage du «oui» à ce référendum? Les ensembles de référence son ici les mêmes (les voans). Les deux ensembles n on pas d élémen en commun (un éleceur ne peu pas voer «oui» e «non»). Les condiions son vérifiées pour uiliser la propriéé. 54,67 = 45,33. Ainsi 45,33 % des français on voé «oui». Dans une classe de 1 ère ES, 78 % des élèves on choisi l opion S.E.S. e 69 % des élèves éudien l espagnol en LV2. On ne peu pas ajouer les deux pourcenages. En effe, les ensembles de référence son bien les mêmes (les élèves de cee classe) mais les paries correspondan aux pourcenages on des élémens en commun (les élèves qui on choisi LV2 espagnol e SES en opion) Dans une ville A, 16 % des habians son au chômage alors que dans une ville B, seulemen 5 % des habians es à la recherche d un emploi. Quel es le pourcenage de chômeurs sur l ensemble des deux villes? Sans données supplémenaires, on ne peu pas répondre car on ne peu pas ajouer les pourcenages. En effe, les deux ensembles de référence ne son pas les mêmes (populaion de chacune des villes). Propriéé : Lorsque les ensembles de référence de deux pourcenages son les mêmes, les pourcenages son dans le même ordre que les quaniés auxquelles ils corresponden. Sinon, on ne peu pas comparer deux pourcenages. Exemples : Dans l exemple précéden, il y a 7525 habians dans la ville A e dans la ville B il y a habians. 16 D où : 7525=1204 il y a 1204 chômeurs dans la ville A =3209 il y a 3209 chômeurs dans la ville B. Ainsi malgré que 16>5, il y a plus de personnes sans emploi dans la ville B (les ensembles de référence ne son pas les mêmes). Lors du dernier recensemen de 1999, on a consaé que 1,7 % de la populaion française vivai en Limousin alors que 18,9 % des français vivaien en Ile-de-France. Les deux ensembles de références son ideniques (la populaion française), on peu donc en déduire que l Ile-de-France es environ 10 fois plus peuplée que le Limousin. VII. Les pièges à évier Dans une succession d augmenaions ou de diminuions, les aux ne s ajouen pas. En pariculier, une hausse de % n es pas compensée par une baisse de %. Lorsqu on di que le chômage es passé de 10 % à 12 %, cela ne signifie pas que le aux a augmené de 2 % (il serai égal à 10,2 % : 10 2 =10,2). Par conre, on di qu'e le aux de chômage a augmené de 2 poins. Exercices 10 à 15 pages 5 e 6/6 01_Pourcenages 3/6

4 Première E.S. Lycée Desfonaines Melle Pourcenages - Exercices Exercice 1 b. Calculer 23 % de 154 ; 3 % de 850 ; 0,8 % de 420 e 152 % de 56. b. Préférez-vous gagner 2,5 % de 780 ou 82 % de 24 euros? Exercice 2 Dans une enreprise la producion d un obje s élevai en 2002 à aricles fabriqués. a. 5 % de ces objes éaien défecueux. Combien d objes n on pu êre mis en vene? Combien on éé mis en vene? b. Sur les produis mis en vene, on éé vendus. Quel es le pourcenage d objes vendus par rappor à ceux mis en vene? par rappor à ceux fabriqués? c. En 2002, la producion s élevai à environ 99 % de la producion de l année Déerminer une esimaion de la producion en 2001 de ce obje. Exercice 3 Seve cour le m en 11,5 secondes e lance le poids à 16m. Il pense que grâce à son enraînemen inensif, il peu améliorer ses performances de 2 % l an prochain. Quelles seron-elles alors? Exercice 4 Une enreprise emploie deux caégories de personnels : personnes de caégorie A don le salaire mensuel moyen es de 0 euros e 30 personnes de caégorie B don le salaire mensuel moyen es de 1400 euros. Le seceur d acivié de cee enreprise es en pleine expansion e un an plus ard la siuaion a évolué de la manière suivane : Le nombre de salariés de caégorie A a augmené de 250 % e leur salaire moyen es en hausse de 5 %. Le nombre de salariés de caégorie B es passé de 30 à 35 e leur salaire moyen es en hausse de 6 %. «Tous nos chiffres son en hausse!» a déclaré le PDG. «Sauf le salaire moyen» a répondu un salarié. Qu en pensez-vous? Exercice 5 On a demandé à Basien e à Sophie de répondre au problème suivan : "En supposan que l herbe de ma pelouse grandi de 5 % par jour, quel sera le pourcenage d augmenaion, arrondi à l unié, de sa haueur en 15 jours?" Après un calcul, Basien rouve que la pelouse a grandi de 75 % en 15 jours. Sophie pense, pour sa par, que la pelouse a grandi d environ 108 %. Quel es le raisonnemen de chacun des deux élèves? Qui a raison? Quelle propriéé peu-on en irer? 1. Remarque : on verra plus ard dans l année que cee propriéé es à nuancer! Exercice 6 Si le aux de TVA sur les CD audio passai de 19,6 % à 5,5 %, quel serai le pourcenage de diminuion du prix de vene TTC des CD audio? Exercice 7 Le ableau suivan donne les aux d évoluion du pouvoir d acha du revenu bru des ménages par rappor à l année Année Taux d évoluion (en %) 3,3 5,4 6,6 1. Calculer les indices du pouvoir d acha du revenu bru des ménages, en prenan pour base en En déduire les aux d évoluion annuels du pouvoir d acha du revenu bru des ménages. 01_Pourcenages 4/6

5 Exercice 8 Le ableau suivan donne le niveau de vie moyen annuel des professionnels indépendans en France méropoliaine pour ceraines années : Dae Niveau de vie (en ) Indice 105,7 119,8 1. Recopier e compléer le ableau. 2. En uilisan uniquemen les indices, calculer le pourcenage d évoluion du niveau de vie : a. enre 1996 e 1998 b. enre 1996 e 2001 c. enre 1998 e 2001 Exercice 9 Dans cee sociéé, 45 % des employés effecuen des ravaux de secréaria e parmi ceux-ci, 75 % son des femmes. Dans cee aure sociéé, 70 % des salariés son des secréaires parmi lesquels 49 % son des femmes. Dans quelle sociéé la, proporion des secréaires féminines es-elle la plus imporane parmi le personnel? Exercice 10 Lu dans la presse : «le aux de remplissage des avions de la première compagnie aérienne espagnole s es éabli à 79,2 % en juille, en repli de 0,5 poin par rappor au même mois de juille de l an dernier (79,7 %)». 1. Exprimer en pourcenage (à 0,1 % près) cee diminuion du aux de remplissage. 2. Plus loin, dans le même aricle : «Sur les longs courriers, le aux de remplissage a éé de 84,5 %, soi une hausse de 0,6 poin». Exprimer en pourcenage (à 0,1 % près) cee augmenaion du aux de remplissage. Exercice 11 Le "CAC 40" es un indice que l on exprime en poins e qui ser à évaluer les variaions de la bourse de Paris. Le ableau ci-dessous indique ses évoluions en pourcenage pendan une semaine boursière. Jours Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Variaion en % 1,2 1-1,4-1,3 0,3 2. Calculer à 0,01% près, le aux global d évoluion pendan cee semaine. Sachan qu il valai 3600 poins à l ouverure lundi main, combien valai le CAC 40, à 0,1 poin près, à la fermeure le vendredi soir? Exercice 12 Voici la répariion des groupes sanguins pour la populaion française. Groupe A B AB O Répariion 40 % 10 % 5 % 45 % Pour chaque groupe, voici la répariion selon que le sang possède (Rh +) ou non (RH -), le faceur Rhésus. Groupe A B AB O Rh + 82 % 81 % 83 % 80 % Rh - 18 % 19 % 17 % 20 % 1. A quel pourcenage de la populaion oale correspond la caégorie A +, c'es-à-dire Groupe A Rhésus +? 2. Reprendre le deuxième ableau de l énoncé en faisan apparaîre dans chacune des hui cases le pourcenage de la populaion oale auquel chacune correspond. 01_Pourcenages 5/6

6 Exercice 13 Lors d une épizooie, à l aide d un es sûr mais cher, les services véérinaires on acquis la ceriude que 2 % des animaux du chepel de la région son malades. On souhaie conrôler les animaux à grande échelle à l aide d un aure es moins sûr que le premier mais moins onéreux. Ce nouveau es es posiif dans 85 % des cas si l animal es malade e négaif dans 95 % des cas si l animal es sain. 1. Monrer que la proporion du chepel correspondan aux animaux malades pour lequel le es se révèle posiif es 1,7 %. 2. Compléer le ableau de la répariion des animaux en pourcenage du chepel oal éabli selon deux crières : Animal malade (M) ou sain (S) Résula du es posiif (T + ) ou négaif (N ). T + 1,7 T M S Toal Toal 3. Pour quel pourcenage des animaux le es es-il posiif? Parmi les animaux pour lesquels le es es posiif, calculer le pourcenage d animaux sains. 4. Parmi les animaux pour lesquels le es es négaif, calculer le pourcenage d animaux malades. Exercice 14 Une sociéé qui organise des vacances décide de faire une éude sur l usage du abac par sa clienèle. Les effecifs des diverses caégories de cliens son les suivans : De 18 à 30 ans De 31 à 50 ans Plus de 50 ans TOTAL Hommes Femmes TOTAL Les pourcenages de fumeurs parmi la clienèle de la sociéé son les suivans : De 18 à 30 ans De 31 à 50 ans Plus de 50 ans Hommes 60 % 25 % 30 % Femmes 50 % 20 % 25 % Au vu de ces ableaux, un employé affirme que les femmes clienes de la sociéé fumen moins que les hommes. A--il raison ou or? Argumener la réponse. Exercice 15 Voici quelques lignes d un humorise, rouvées dans la presse : «20 % de ous les accidens auomobiles son provoqués par des conduceurs ivres. Ceci veu dire que 80 % de ous les accidens son provoqués par des auomobilises sobres Pourquoi les sobres ne peuven-ils pas se reirer de la circulaion afin que nore sécurié augmene de 400 %». 1. Rerouver le raisonnemen mahémaique de ce humorise. 2. Expliquer son erreur. 3. On suppose que sur un échanillon de 2000 véhicules, on a 20 accidens e d aure par que 50 des 2000 conduceurs soien ivres. En reprenan l informaion «20 % des accidens auomobiles son provoqués par des auomobilises ivres» e en l appliquan à l échanillon ci-dessus, démonrer qu il es beaucoup plus dangereux de conduire ivre que sobre. 01_Pourcenages 6/6