1 Intégration des fonctions en escalier

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1 Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, /3 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 7 - Itégrles simples O cosidère ds ce chpitre des foctios umériques ou vectorielles orées sur u itervlle compct c est-à-dire fermé et oré de R Itégrtio des foctios e esclier Défiitio Soit [, ] u itervlle compct c est-à-dire fermé et oré de R Ue sudivisio de [, ] est ue suite fiie et strictemet croisste de poits de [, ] dot le premier terme est, et le derier À chque sudivisio σ de [, ] o ssocie l esemle S costitué pr les poits de l suite σ Iversemet, à chque esemle fii S de poits de [, ], cotet et, o ssocier l sudivisio σ oteue e rget ces poits ds l ordre turel de R Défiitio Soiet σ et σ deu sudivisios de [, ] O dit que l sudivisio σ est plus fie que σ, ou cosécutive à σ, si les esemles S et S respectivemet ssociés à σ et σ vérifiet l iclusio S S E d utres termes, l sudivisio σ est plus fie si tous les poits de σ pprtieet à σ Défiitio 3 Étt doé deu sudivisios quelcoques σ, σ de [, ] l réuio de σ et de σ est l sudivisio σ dot l esemle ssocié est l réuio des esemles ssociés à σ et σ Défiitio 4 Soiet [, ] u itervlle de R et E u espce vectoriel ormé Ue pplictio f : [, ] E est dite e esclier s il eiste ue sudivisio σ = =,,,, = de [, ] telle que f soit costte sur chcu des itervlles ouverts ] i, i [ i U telle foctio e pred qu u omre fii de vleurs : ses vleurs f i u + poits de l sudivisio, et les vleurs costtes qu elle pred sur les itervlles ouverts ] i, i [ Il e résulte qu ue foctio e esclier sur u itervlle de R est écessiremet orée Propositio Soit f ue foctio vectorielle e esclier sur [, ] et pour chque sudivisio σ = =,,,, = de [, ] ssociée à f, posos : If, σ = i i f i, i= où f i désige l vleur costte de f sur l itervlle ouvert ] i, i [ Alors If, σ e déped que de f et o du choi de l sudivisio σ ssociée à f Défiitio 5 Soit f ue foctio e esclier de l itervlle [, ] à vleurs ds u ev E L itégrle de f sur [, ] est l élémet de E, oté f défii pr f = i i f i i= où =,,,, = désige ue sudivisio ssociée à f, et f i l vleur costte de f sur l itervlle ouvert ] i, i [ O oter que l itégrle de f e déped que des vleurs prises pr f à l itérieur des itervlles de l sudivisio, et o des vleurs prises pr f u poits de l sudivisio Propositio Additivité pr rpport u itervlles Soit f ue foctio e esclier sur l itervlle [, ] et soit c u poit quelcoque de [, ] Alors f est e esclier sur chcu des itervlles [, c] et [c, ] et o : f = c f + c f /9

2 Propositio 3 Liérité pr rpport u foctios Soiet f, g deu foctios e esclier sur le même itervlle [, ] à vleurs ds le même ev E sur R ou C Alors, quels que soiet les sclires λ, µ R, l foctio λf + µg est e esclier sur [, ] et o : λf + µg = λ f + µ g Propositio 4 Croissce L itégrle d ue foctio umérique positive e esclier sur [, ] est positive ; e coséquece, si f, g sot deu foctios umériques e esclier sur [, ], vérifit f gpour tout [, ], o : f g Propositio 5 Mjortio Soit f ue foctio e esclier sur [, ] à vleurs ds u ev E Alors l foctio f est e esclier sur [, ] et o : f f E coséquece, si f vérifie f k pour tout [, ], o : f k Itégrle de Riem foctios umériques Défiitio Ue foctio umérique f défiie sur u itervlle compct [, ] de R est dite itégrle u ses de Riem sur [, ] si quel que soit le omre ε >, il eiste u couple g, h de foctios umériques e esclier sur [, ], vérifit g f h pour tout [, ] et : h g ε De cette défiitio il résulte que toute foctio itégrle sur [, ] est écessiremet orée sur [, ] puisque les foctios e esclier sot elles-mêmes orées À chque foctio umérique f, défiie sur l itervlle [, ] o ssocie les esemles E f et E + f isi défiis : E f est l esemle des foctios umériques g, e esclier sur [, ] et miort f, c est-à-dire vérifit g f pour tout [, ], E + f est l esemle des foctios umériques h, e esclier sur [, ] et mjort f, c est-à-dire vérifit h f pour tout [, ] Théorème À chque foctio umérique f, défiie et orée sur u itervlle [, ] de R, o ssocie l esemle E + f resp E f costitué des foctios umériques e esclier mjort resp miort f sur [, ] et o pose : I f = sup g E f g, I + f = if h E +f Pour que f soit itégrle sur [, ], il fut et il suffit que l o it : I f = I + f h Défiitio Les ottios étt celles de du Théorème précédet, l itégrle d ue foctio umérique itégrle f sur [, ] est le omre I + f = I f O le ote : f Propositio Si f est ue foctio umérique positive et itégrle sur l itervlle [, ], so itégrle est positive évetuellemet ulle Propositio Foctios mootoes Toute foctio umérique f, mootoe sur u itervlle compct [, ] de R est itégrle /9

3 Propositio 3 Foctios cotiues Toute foctio umérique f cotiue sur u itervlle compct [, ] de R est itégrle Défiitio 3 Iterpréttio géométrique de l itégrle Soit D u esemle pl défii pr des iéglités de l forme, y f, où f désige ue foctio umérique positive itégrle sur l itervlle [, ] L ire de D est le omre f Eercice Les foctios suivtes sot-elles itégrles u ses de Riem? f = [] sur [, ] [ ] si <, g : [, ] R, g = si = 3 h : [, ] R, h = si si < si = { si [, ] Q, 4 k : [, ] R, k = si [, ]\Q Correctio : Oui No 3 No 4 No O se référer à http ://eo7emthfr/ficpdf/fic4pdf Eercice ryo R Correctio : Eercice 3 Clculer R R R R pour plus de détils R o poser pour cel, θ = rcsi et e déduire l ire d u disque de R R = π R Clculer l ire de l régio délimitée pr les coures d équtio y = et y = + Correctio : Aire de l régio délimitée pr les coures d équtio y = et y = + = π 3 résoudre = + 3 Itégrle de Riem foctios vectorielles Défiitio 3 Soiet E u ev complet sur R ou C et [, ] u itervlle compct de R Ue pplictio f : [, ] E est dite itégrle sur [, ] si quel que soit ε >, il eiste ue foctio vectorielle ϕ : [, ] E, et ue foctio umérique θ : [, ] R, toutes deu e esclier, vérifit : [, ], f ϕ θ, θ ε Propositio 3 Soiet E u ev complet sur R ou C et [, ] u itervlle compct de R Pour qu ue pplictio f : [, ] E soit itégrle, il fut et il suffit qu il eiste ue suite ϕ d pplictios e esclier de [, ] ds E, et ue suite θ de foctios umériques e esclier sur [, ] telles que : [, ], N, f ϕ θ, l suite ε = θ tede vers zéro Pour réger, o ppeller simplemet foctio vectorielle toute foctio à vleurs ds u ev complet E évetuellemet E = R ou C Si f est ue foctio vectorielle défiie sur u itervlle compct [, ] de R, o 3/9

4 ppeller suite ssociée à f toute suite ϕ, θ de couples de foctios e esclier sur [, ] éocées ds l Propositio précédete : l eistece d ue telle suite est ue coditio écessire et suffiste pour que f soit itégrle Efi, o emploier souvet les termes foctio itégrle u lieu de foctio vectorielle itégrle, ss préciser ds quel ev complet cette foctio pred ses vleurs Avec ces covetios, o l Propositio 3 Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle [, ] et soit ϕ, θ ue suite ssociée à f Alors l suite ϕ est de Cuchy, doc covergete et s limite I e déped que de l foctio f Défiitio 3 Les ottios étt celles de l Propositio précédete, le vecteur ou omre lim + ϕ est ppelé itégrle de l foctio f sur l itervlle [, ] et oté f Plços ous mitet ds le cs d u espce vectoriel E de dimesio fiie : soit e i i ue se de E Si ϕ : [, ] E est e esclier, il est évidet que les compostes de l itégrle de ϕ pr rpport à l se e i sot les itégrles des compostes de ϕ Pr pssge à l limite, o voit que cette propriété reste vrie pour toute foctio itégrle à vleurs ds E O isi l Propositio 33 Soit [, ] u itervlle compct de R et soit E u espce vectoriel de dimesio fiie sur R ou C Pour qu ue pplictio f : [, ] E soit itégrle sur [, ] il fut et il suffit que chcue de ses compostes f, f,, f pr rpport à ue se e i de E le soit et o lors : f = f i e i E d utres termes, les compostes de l itégrle de f sot les itégrles de ses compostes Ds le cs où f est ue foctio complee, o de même : i= Propositio 34 Soiet [, ] u itervlle compct de R et f = u + iv : [, ] C ue foctio complee sur [, ] Pour que f soit itégrle sur [, ], il fut et il suffit que s prtie réelle u et s prtie imgiire v le soiet et o lors : f = u + i v 4 Propriétés géérles de l itégrle de Riem Propositio 4 Additivité pr rpport u itervlles Soit f ue foctio vectorielle défiie sur u itervlle compct [, ] de R et soit c u poit de ], [ Pour que f soit itégrle sur [, ], il fut et il suffit que ses restrictios à chcu des itervlles [, c] et [c, ] le soiet O lors : f = c f + c f Propositio 4 Liérité Soiet f, g deu foctios itégrles sur l itervlle compct [, ], à vleurs ds le même ev complet E sur R ou C Quels que soiet les sclires réels ou complees λ, µ, l foctio λf + µg est itégrle sur [, ] et o : λf + µg = λ f + µ g O e déduit doc que les foctios itégrles u ses de Riem sur u itervlle [, ], à vleurs ds u ev complet doé E, costituet u espce vectoriel R E sur le même corps R ou C que E et l pplictio : I : R E E, f f est liéire Lorsque E = R, cette pplictio I est ue forme liéire vérifit If pour toute foctio itégrle positive f : o dit que c est ue forme liéire positive ou croisste 4/9

5 Propositio 43 Croissce Soiet f, g deu foctios umériques itégrles sur l itervlle [, ] vérifit pour tout [, ] : f g O lors : f g Remrque 4 Si f, g sot deu foctios umériques ou vectorielles itégrles sur [, ] et si leurs vleurs e diffèret qu e u omre fii de poits de [, ], leurs itégrles sot égles : e effet, leur différece f g est ue foctio e esclier, ulle suf e omre fii de poits, so itégrle est doc ulle Cet eemple motre que l iéglité peut se réduire à ue églité ss que l o it f = g Le Théorème fodmetl suivt motre que ce est ps possile si f et g sot cotiues Théorème 4 L itégrle d ue foctio umérique f, positive et cotiue sur u itervlle [, ] de R, e peut être ulle que si cette foctio est prtout ulle Théorème 4 Mjortio Soit f ue foctio vectorielle itégrle sur l itervlle compct [, ] Alors, l foctio F : f est itégrle sur [, ] et o f f Corollire 4 Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle compct [, ], vérifit pour tout [, ] l iéglité f k k =cste O lors : f k Iterpréttio : O désige pr R,, E l espce vectoriel costitué pr les foctios itégrles sur l itervlle [, ], à vleurs ds u ev complet doé E Les foctios itégrles étt orées, o peut muir R,, E de l orme de l covergece uiforme défiie pr νf = sup f L iéglité etrîe lors l iéglité f νf qui motre que l pplictio liéire R,, E E, f f est cotiue, de orme u plus égle à Propositio 44 Si f est ue foctio umérique resp complee, itégrle sur [, ], s vleur solue resp so module f est ue foctio umérique itégrle sur [, ] et o : f f Corollire 4 Si f, g sot deu foctios umériques itégrles sur [, ], les foctios sot itégrles supf, g : supf, g et iff, g : iff, g Eercice 4 Soit f l foctio défiie sur [, 3] pr f = si = si < < 3 si = si < 4 si < 3 Clculer 3 ftdt Soit [, 3], clculer F = ftdt 3 Motrer que F est ue foctio cotiue sur [, 3] L foctio F est-elle dérivle sur [, 3]? Correctio : 5/9

6 O trouve 3 ftdt = 3 Il fut tout d ord trcer le grphe de cette foctio Esuite l vleur d ue itégrle e déped ps de l vleur de l foctio e u poit, c est-à-dire ici les vleurs e =, =, = ot ucue ifluece sur l itégrle Esuite o reviet à l défiitio de 3 ftdt : pour l sudivisio de [, 3] défiie pr { =, =, =, 3 = 3}, o trouve l vleur de l itégrle ici le sup et l if sot tteits et égu pour cette sudivisio et toute sudivisio plus fie C est l même chose, mis u lieu d ller jusqu à 3 o s rrête à, o trouve si F = 3 si < si < 3 3 Les seuls poits à discuter pour l cotiuité sot les poits = et =, mis les limites à droite et à guche de F sot égles e ces poits doc F est cotiue Pr cotre F est ps dérivle e = i e = Eercice 5 Motrer que les foctios défiies sur R, f =, g = et h = ep, sot itégrles sur tout itervlle fermé oré de R E utilist les sommes de Riem, clculer les itégrles Correctio : f, E utilist les sommes de Riem, o sit que Notos S = f vut Même trvil : k= k Alors S = k= g et Doc S ted vers et f = g est l limite de S = k= g + k = E séprt l somme e trois ous oteos : S = + k + k k= k= htdt f est l limite qud + de k= f k k = O utilisé que l somme des etiers de à k= + k = = + Doc, à l limite, o trouve S = 7 3 et g = Remrque 4 O utilisé que l somme des crrés des etiers de à est 3 Même chose pour htdt qui est l limite qud ted vers l ifii de S = k= h k = k= ep k = k= k= k k k ep 6 Cette derière somme est l somme d ue suite géométrique, doc S = ep ep = ted vers ep Pour oteir cette derière limite o remrque qu e post u = o epu u Eercice 6 suivts : qui ted vers lorsque u ce qui est équivlet à + ep ep qui ep = Clculer l itégrle de f : [, ] R comme limite de sommes de Riem-Drou ds les cs f = si et f = cos sur [, π ] et k = kπ, k =,,, 6/9

7 g = sur [, ] R + et k = q k, k =,,, q étt à détermier, 3 h = α sur [, ], α >, et k = + k, k =,,, Correctio : O clcule d ord π epitdt Pr le théorème de Riem-Drou, c est l limite qud ted vers l ifii de S = k+ k f k Pour k = k o otiet e fit ue somme de Riem : π k= S = π ep i kπ = π k= ce qui est ue somme géométrique de somme S = i k= π ep ep π i π k, est +i e post u = π epiu et e remrqut que i qud u Doc u Mis epit = cost + i sit doc et imgiires o trouve : π π costdt = et costdt + π π L limite de ce tu d ccroissemet π epitdt = +i i sitdt = + i Pr idetifictio des prties réelles sitdt = O veut k = q k ce qui doe ie =, mis il fut ussi = doc q = et q = soit q = Nous cherchos l limite de S = k+ k g k Il est ps trop dur de motrer que S = q k= Pour trouver l limite qud +, c est plus délict cr q déped de : S = q = = ep l E post u = et e remrqut que l o otiet u tu d ccroissemet o clcule : S = u epu l dt l = l l Doc = l l t 3 À l ide des sommes géométriques et des tu d ccroissemet, o trouve Eercice 7 α t dt = epα epα α Soit f : [, ] R ue foctio itégrle sur [, ] < O suppose que f est positive ou ulle sur [, ] O suppose que f est églemet cotiue e u poit [, ] et que f > Motrer que positive sur [, ] telle que O suppose que f est cotiue sur [, ], et que f > E déduire que si f est ue foctio cotiue f = lors f est idetiquemet ulle 3 Applictio : o suppose que f est ue foctio cotiue sur [, ] telle que eiste d [, ] tel que fd = d Correctio : f = Motrer qu il eiste c [, ] tel que fc = ftdt = Motrer qu il Écrivos l cotiuité de f e vec ε = f > : il eiste δ > tel que pour tout t [ δ, + δ] o it ft f ε Avec otre choi de ε cel doe pour t [ δ, + δ] l iéglité ft f Pour évluer ftdt, ous scidos cette itégrle e trois morceu, pr liérité de l itégrle : ftdt = δ ftdt + +δ δ ftdt + ftdt +δ 7/9

8 Comme f est positive lors pr positivité de l itégrle, o le terme du milieu, o ft f doc +δ δ ftdt δ +δ δ ftdt et +δ f dt = δ f équtio o clcule juste l itégrle d ue foctio costte! Le il de tout cel est que ftdt Pour pour l derière ftdt δ f > Doc pour ue foctio cotiue et positive f, si elle est strictemet positive e u poit lors ftdt > Pr cotrpositio, pour ue foctio cotiue et positive, si idetiquemet ulle ftdt = lors f est Soit f est positive, soit elle est égtive, soit elle chge u mois ue fois de sige Ds le premier cs f est idetiquemet ulle pr l première questio, ds le secod cs c est preil e ppliqut l première questio à f Pour le troisième cs c est le théorème des vleurs itermédiires qui ffirme qu il eiste c tel que fc = 3 Posos gt = ft t Alors gtdt = ftdt = Doc, pr l questio précédete, g étt cotiue, il eiste d [, ] tel que gd =, ce qui est équivlet à fd = d Eercice 8 Soit f : [, ] R cotiue, positive ; o pose m = sup{f, [, ]} Motrer que lim + f Correctio : ft Notos I = dt Comme ft m pour tout t [, ] lors I Ceci implique que lim m I Fios + α > ussi petit que l o veut Comme f est cotiue et m est s ore supérieure sur [, ] lors il eiste u itervlle [, y], < y, sur lequel ft m α Comme f est positive lors y ft y I m dt m α m α m dt = y m Doc I m α > y m Qud + o y, doc à l limite ous oteos lim I m α + m Comme α est quelcoque, ous pouvos le choisir ussi proche de de sorte que m α soit ussi proche de que désiré Doc = m lim I E coclusio ous trouvos que lim I + + m = ce qui étit l églité recherchée Eercice 9 Soit f : [, ] R ue pplictio strictemet croisste telle que f =, f = Clculer : lim + f tdt Correctio : Soit α > fié Soit < < tel que pour tout [, ], f α Ce eiste ie cr f est strictemet croisste et f =, f = Sépros l itégrle e deu : f tdt = f tdt + f tdt α dt + dt α + α + cr Soit mitet doé u ε >, o choisit α > tel que ε e remrqut que si α lors α, puis il eiste ssez grd tel que α ε Doc pour tout ε >, il eiste ssez grd tel que f tdt + 8/9

9 5 Produit de foctios itégrles, iéglités de Schwrz et de Mikowski Propositio 5 Si f, g sot deu foctios umériques ou complees itégrles sur l itervlle compct [, ], leur produit fg est itégrle sur [, ] Propositio 5 Si f, g sot deu foctios umériques ou complees itégrles sur l itervlle [, ], elles vérifiet l iéglité de Schwrz : et l iéglité de Mikowski : fg f g / / / f + g f + g 4 De plus, si f et g sot cotiues, l iéglité 3 e se trsforme e églité que si o f = ou s il eiste ue costte complee k telle que l o it g = kf pour tout [, ] et l iéglité 4 e se trsforme e églité que si o f = ou s il eiste ue costte positive k vérifit g = kf pour tout [, ] 6 Eemples de foctios itégrles : foctios réglées, foctios cotiues Défiitio 6 Foctios réglées Soiet [, ] u itervlle compct de R et E u ev Ue pplictio f : [, ] E est dite réglée si quel que soit le omre ε >, il eiste ue pplictio e esclier ϕ : [, ] E vérifit pour tout [, ] : ϕ f ε Propositio 6 Ue pplictio f : [, ] E est réglée si et seulemet si il eiste ue suite ϕ d pplictios e esclier de [, ] ds E, coverget uiformémet vers f sur [, ] Théorème 6 Toute pplictio réglée d u itervlle compct [, ] ds u ev complet E est itégrle Théorème 6 Cs prticulier : foctios cotiues Soiet [, ] u itervlle compct de R et E u ev Toute pplictio cotiue f : [, ] E est dite réglée E coséquece, si E est complet, toute pplictio cotiue de [, ] ds E est itégrle Propositio 6 Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio de [, ] ds u ev complet Si f est orée sur [, ] et itégrle sur tout itervlle compct [α, β] coteu ds l itervlle ouvert ], [, lors f est itégrle sur [, ] Corollire 6 Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio de [, ] ds u ev complet E Si f est orée sur [, ] et cotiue sur l itervlle ouvert ], [ lors f est itégrle Plus géérlemet o : Propositio 63 Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio de [, ] ds u ev complet E Pour que f soit itégrle sur [, ], il suffit que f soit orée et que l esemle de ses poits de discotiuité soit fii Propositio 64 Approimtio des foctios itégrles pr des foctios cotiues Soit f : [, ] E ue foctio itégrle Quel que soit le omre ε > doé, il eiste ue foctio cotiue g : [, ] E vérifit f g ε Cette pproimtio permet souvet de rmeer l démostrtio de propriétés des foctios itégrles à celles des propriétés des foctios cotiues 3 9/9

10 7 Itégrle idéfiie Dérivtio Propositio 7 O f = Propositio 7 Formule de Chsles O f et f = c f = f + c f pourvu que f soit itégrle sur l itervlle [α, β] d etrémités α = if,, c et β = sup,, c Défiitio 7 Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle compct [, ] Pour tout t [, ], f est itégrle sur l itervlle [, t] et l foctio t f est ppelée itégrle idéfiie de l foctio f Propositio 73 Cotiuité Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio itégrle de [, ] ds u ev complet E Alors l foctio est lipschitziee, de rpport k = F : [, ] E, t t f sup f, doc cotiue sur [, ] Propositio 74 Dérivilité Si f est ue foctio itégrle sur [, ], l foctio F : t t f dmet ft + pour dérivée à droite resp ft pour dérivée à guche e tout poit où cette limite eiste Corollire 7 Si f est ue foctio itégrle sur l itervlle compct [, ], l itégrle idéfiie F : t t f dmet ft pour dérivée e tout poit t de [, ] où f est cotiue Défiitio 7 Soit f ue pplictio d u itervlle I de R ds u ev quelcoque E O ppelle primitive de f toute pplictio F : I E vérifit pour tout t I : F t = ft Théorème 7 Soit f : [, ] E ue pplictio cotiue de l itervlle [, ] ds u ev complet E Alors l itégrle idéfiie F : t t f est ue primitive de f sur [, ] et si G est ue primitive quelcoque de f sur [, ], o : f = G G Théorème 7 Toute foctio cotiue défiie sur u itervlle quelcoque I de R et à vleurs ds u ev complet dmet ue primitive Eercice Soit f : R R ue foctio cotiue sur R et F = u ffirmtios suivtes : F est cotiue sur R F est dérivle sur R de dérivée f 3 Si f est croisste sur R lors F est croisste sur R 4 Si f est positive sur R lors F est positive sur R 5 Si f est positive sur R lors F est croisste sur R 6 Si f est T -périodique sur R lors F est T -périodique sur R ftdt Répodre pr vri ou fu /9

11 7 Si f est pire lors F est impire Correctio : Vri Vri 3 Fu! Attetio u vleurs égtives pr eemple pour f = lors F est décroisste sur ], ] et croisste sur [, + [ 4 Vri 5 Vri 6 Fu Fire l clcul vec l foctio f = + si pr eemple 7 Vri Eercice Soiet u et v deu foctios dérivles sur R et f ue foctio cotiue sur R O pose F = v u Clculer l dérivée de G = Correctio : ftdt Motrer que F est dérivle sur R et clculer s dérivée dt + t + t 4 Commeços plus simplemet vec l foctio H = v vec l foctio G : v ftdt E fit H est l composée de l foctio ftdt : H = G v L foctio v est dérivle et l foctio G ussi c est ue primitive doc l composée H = G v est dérivle, de plus H = v G v E prtique comme G = f cel doe H = v fv O motrerit de même que l foctio Reveos à otre foctio F = v u v ftdt = u ftdt est dérivle de dérivée u fu u ftdt+ v dérivles doc elle est dérivle de dérivée : F = vfv u fu O pplique ceci à u = et v = ous oteos : G = ftdt, c est l somme de deu foctios Eercice Soit F = lt dt Quel est l esemle de défiitio de F? F est-elle cotiue, dérivle sur so esemle de défiitio? Détermier lim F e comprt F à H = + Correctio : t lt dt F est défiie sur ], [ ], + [ F est cotiue et dérivle sur ], [ et sur ], + [ Pour voir cel il suffit d écrire F = dt lt + dt lt primitive, l secode est l composée de vec O pourrit même clculer l dérivée L première de ces foctios est cotiue et dérivle c est ue dt lt et est doc ussi cotiue et dérivle Notos ft = et gt = O se plce sur ], + [ Bie évidemmet gt ft, mis ous vos lt t lt ussi que pour ε > fié il eiste > tel que pour tout t [, ] o it t + ε doc sur ], ] ous vos ft + εgt Pr itégrtio de l iéglité gt ft + εgt sur [, ] ous oteos pour ssez proche de : H F + εh Il e reste plus qu à clculer H E fit gt = t lt est l dérivée de l foctio ht = llt Doc /9

12 dt H = t lt = [llt] = ll ll l = l l ll = l l = l Nous oteos lors, pour ε > fié et > ssez proche de, l ecdremet Doc l limite de F qud + est l 8 Chgemet de vrile l F + ε l Théorème 8 Soit ϕ ue foctio umérique défiie sur u itervlle compct I = [, ] de R, et pourvue d ue dérivée cotiue Pour toute foctio f umérique, complee ou à vleurs ds u ev complet défiie et cotiue sur l itervlle compct ϕi, o l formule dite de chgemet de vrile : ϕ ϕ f = f[ϕ]ϕ Propositio 8 Cs où l itervlle d itégrtio est symétrique pr rpport à l origie Soit f ue foctio itégrle sur u itervlle compct [, ] de cetre O, lors f = f + f Propositio 8 Ivrice pr trsltio Applictio u foctios périodiques Soit f ue foctio itégrle quelcoque sur l itervlle compct [, ], lors l foctio trsltée f u : f+u est itégrle sur l itervlle [ u, u] et qu elle vérifie l reltio : u u f u = u u f + u = f E prticulier, si f est ue foctio périodique, de période T sur R, o quels que soiet, R : 9 Itégrtio pr prties +T +T f = f Propositio 9 Soiet u, v deu foctios umériques ou complees défiies sur u itervlle compct [, ] de R et pourvues de dérivées cotiues O l formule d itégrtio pr prties : soit, sous forme codesée : uv = [uv] u v udv = [uv] Propositio 9 Soiet [, ] u itervlle compct de R et E u ev complet sur le corps K = R ou C Si les pplictios u : [, ] K et v : [, ] E sot de clsse C sur [, ], o : uv = [uv u v + + p u p v p + + vdu u v] + u v Propositio 93 Cs prticulier des polyômes de degré u plus Si u est u polyôme de degré u plus, o u = d où : uv = [u p v p ] = k [u k v k ] p= k= /9

13 E chget les ottios et e pret pour u le polyôme t t, o otiet l! Propositio 94 Applictio Formule de Tylor vec reste itégrl Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue foctio de clsse C m sur [, ], à vleurs ds u ev complet E Pour tout t [, ] o lors : ft = f + Clcul des primitives k= t k k! t f k + t f! Eercice 3 Clculer les primitives suivtes, e précist si écessire les itervlles de vlidité des clculs : rct t c d l + e rcsi f g 3 + ep h 4 l + i j + ep k + + l cos ep 3 4 Correctio : rct = rct l + + c sur R itégrtio pr prties t = t + c sur ] π + kπ, π [ + kπ c = l l + c sur ], [ ], + [ chgemet de vrile : u = l l d = c sur ], + [ chgemet de vrile : u = + ou itégrtio pr prties e rcsi = rcsi + + c sur ], [ itégrtio pr prties f 3 + ep = l3 ep + + c sur R chgemet de vrile : u = ep 3 g = rccos 4 + c sur ], 4[ chgemet de vrile : u = ] [ h = rcsil + c sur l e, e chgemet de vrile : u = l i = l + ep + + c sur R chgemet de vrile : u = ep + + ep j k l + + = l rct c sur R = 5 l l 4 + c sur R\, 4 décompositio e élémets simples 5 cos ep = cos + si ep + c sur R deu itégrtios pr prties Eercice 4 Clculer les primitives suivtes : si et si + cos Correctio : si si + cos = l cos + si + c sur R, cos si + cos = + l cos + si + c sur R, cos si + cos 3/9

14 e clcult l somme et l différece Eercice 5 Clculer les primitives suivtes, e précist si écessire les itervlles de vlidité des clculs : si 8 cos 3 cos 4 c cos 3 si d + si + cos 3 si e f g h si cos cos + 3 t 7 + t Correctio : si 8 cos 3 = 9 si9 si + c sur R cos 4 = 3 si4 + 4 si c sur R 8 c cos 3 si = 4 cos4 + c sur R d + si + cos = + t/ rct + c sur R\{kπ, k Z} chgemet de vrile u = t/ e si = l cos t + cos + c = l + c sur ]kπ, k + π[ chgemet de vrile u = cos ou u = t f cos = l + si t si + c = l + π + c sur ] π 4 + kπ, π [ π chgemet de vrile u = si ou u = t 3 si g cos + 3 t = 5 l si+ 7 { } π l + si +c sur R\ 3 [π], π 3 [π] chgemet de vrile u = si h 7 + t = l t l cos + c sur R\{rct 7 + kπ, π + kπ, k Z} chgemet de vrile u = t Eercice 6 Soit I = π Itégrles de Wllis si si N Motrer que I est positive décroisste Motrer que I + = + + I et epliciter I, e déduire 3 Motrer que I I + 4 À l ide de + I I + motrer que I E déduire 4 π Correctio : [ Sur, π décroisste I + = oteos π ], l foctio sius est positive doc I est positive De plus si doc l suite si est π si si + E post u = si et v = si + et e itégrt pr prties ous I + = + π si si = + I + I + Doc + I + = + I U petit clcul doe I = π et I = Doc pr récurrece pour pir ous oteos que I = 3 π 4, 4/9

15 et pour impir : I = 4 3 Avec le chgemet de vrile = cosu, o motre ssez fcilemet que = π cos u siudu = π si + udu = I + = 3 Comme I est décroisste lors I + I + I, e divist le tout pr I > ous oteos I + I + Mis ous vos déjà clculé I + = + I I + qui ted vers qud ted vers l ifii Doc I + I ted vers + et I I + 4 Lorsque l o clcule + I I + à l ide des epressios eplicitées à l deuième questio, ous oteos ue frctio qui se simplifie presque complètemet : + I I + = π Mitet I I π I I + = + π doc I = + π I + π π 4 π π Voici u tleu o limittif de primitives utiles : α = α+ α + + cste, α = Log + cste epα + iβ epα + iβ = + cste si = cos + cste α + iβ cos = si + cste t = Log cos + cste t si = Log t π + cste cos = Log cste cot = Log si + cste cos = t + cste si = cot + cste = Log t + cste si cos sh = ch + cste ch = sh + cste th th = Logch + cste sh = Log + cste = rctep + cste = Log sh + cste ch th ch = th + cste sh = coth + cste = Log th + cste shch + = rct + cste = Log + + cste = rcsi + cste + = rg sh + cste = Log cste = rg ch + cste = Log + + cste + α = 3/ α + α + cste Vleur pprochée d ue itégrle défiie α 3/ = α α + cste, α Lorsqu o e coît ps l epressio d ue itégrle défiie u moye de foctios cotiues, o peut e chercher ue vleur pprochée e remplçt l foctio à itégrer pr ue foctio voisie plus simple 5/9

16 Propositio Méthode des rectgles pour ue foctio mootoe Soit f ue foctio mootoe supposée croisste sur l itervlle compct [, ] L etier N étt fié ritriremet, o pose h = / et o cosidère l sudivisio, + h,, + kh,, + h = O otiet lors f + kh h k= f h f + kh, k= c est-à-dire l vleur de f vec ue erreur u plus égle à Ef = [f f] Propositio Méthode des trpèzes Soit f : λ + µ ue foctio ffie sur l itervlle [, ] où λ, µ désiget des costtes O : f = ] [ [λ + µ = λ + ] f + f + µ = Plus géérlemet, soit f ue foctio itégrle quelcoque sur l itervlle [, ] et soit =,,, = ue sudivisio quelcoque de cet itervlle O désige pr g l foctio qui pred les mêmes vleurs que f u poits,,, et qui se réduit à ue foctio ffie sur chque itervlle [ i, i+ ] i O otiet lors : i g = g = i i f i + f i i i= Si f est pourvue d ue dérivée secode vérifit pour tout [, ] : α f β vec α, β des costtes, o lors : vec S = [ f + f + f k= α 3 S + k ] i= 3 f β Propositio 3 Autre méthode, pplicle u foctios vectorielles Soit f ue foctio vectorielle défiie sur l itervlle compct [, ] et pourvue d ue dérivée secode vérifit pour tout [, ] : f k vec k ue costte O lors : + 3 f f k 4 et plus géérlemet pour tout etier > : f f k= + k + k Propositio 4 Méthode de Simpso Soit f ue foctio umérique ou vectorielle défiie sur l itervlle [, ] de R et pourvue d ue dérivée d ordre 5 vérifit pour tout [, ] : f 5 k vec k ue costte O lors : f d où pour tout etier > : f 6 k= 6 [ f + f + 4f + ] 5 k 88 [ f + kh + f + kh h + 4f + kh h ] 5 k /9

17 Limite uiforme de foctios itégrles Itégrtio terme à terme d ue série Théorème Soit f N ue suite uiformémet covergete de foctios itégrles sur [, ] à vleurs ds le même ev complet E Alors l foctio limite f = lim f est itégrle sur [, ] et o : + f = lim + f 5 Il fut ie predre grde que l covergece uiforme de l suite f est ue coditio suffiste mis o écessire pour etrîer l églité 5 et l théorie de Leesgue permet d étlir le résultt puisst que voici : Propositio Soit f ue suite de foctios umériques ou complees itégrles sur l itervlle [, ] coverget simplemet vers ue foctio f itégrle sur [, ] Si les foctios f sot orées pr u même omre, o ecore l églité 5 Propositio Soit f ue suite de foctios itégrles sur l itervlle compct [, ] coverget simplemet vers ue foctio f sur [, ] Si les foctios f st orées pr u même omre k, et si l covergece de f vers f est uiforme sur tout itervlle compct [α, β] coteu ds l itervlle ouvert ], [ lors f est itégrle sur [, ] et o ecore l églité f = lim + f Propositio 3 Applictio u séries Sit u ue suite de foctios itégrles sur l itervlle compct [, ], à vleurs ds u ev complet E Si l série u est uiformémet covergete sur [, ], s somme S : sur [, ] L série de terme géérl v = soit u est covergete et o : S = [ + ] u = = + v = + = u + = u est ue foctio itégrle E prtique, o retiedr les deu fits suivts : e itégrt terme à terme ue série uiformémet covergete sur l itervlle compct [, ], o otiet ue série covergete, l covergece uiforme d ue suite resp série de foctios défiies sur u même itervlle compct est ue coditio suffiste pour pouvoir échger les siges lim et resp les siges et Eercice 7 Soit I = + E mjort l foctio itégrée, motrer que lim I = + Clculer I + I + k+ 3 Détermier lim + k Correctio : Pour > o k= + doc Aisi, I lorsque + I + I + = + + = I = = + [ ] + + = + 7/9

18 3 Soit S = I + I I + I + I + I 3 ± I + I Pr l questio précédete ous vos S = ± = k+ Mis d utre prt, cette somme étt télescopique, ous vos k k= k+ S = I ± I Alors l limite de S est égle à qud + soit I cr I U petit k clcul motre que I = Eercice 8 Clculer l limite des suites suivtes : u = k + ; v = k= Correctio : k= Soit u = + k k= k + Riem correspodt à = k= = l Doc l somme lterée des etiers coverge vers l + k= + k E post f = f Cette itégrle se clcule fcilemet : [rctt] = π 4 L somme de Riem u coverget vers u coverge vers π 4 ous veos d écrire l somme de + ftdt = dt + t = f, ous veos de motrer que Soit v = + k, otos k= w = lv = l + k E post g = l + ous recoissos l somme de Riem correspodt à I = Clculos cette itégrle : I = gs = = [ l + ] = l k= l + pr itégrtio pr prties + + = l + [rct] = l + π g Nous veos de prouver que w = lv coverge vers I = l + π, doc v = epw coverge vers ep l + π π π = ep Bil : v pour limite ep 3 Formules de l moyee Propositio 3 Soiet f, g deu foctios umériques itégrles sur l itervlle [, ] Si l foctio g est positive et si m, M désiget respectivemet l ore iférieure et l ore supérieure de f sur [, ], o : m g fg M g Si de plus l foctio f est cotiue, il eiste u mois u poit c [, ] tel que : fg = fc g 8/9

19 Propositio 3 Deuième formule de l moyee Soiet f, g deu foctios umériques itégrles sur l itervlle [, ], l foctio f étt supposée positive et décroisste Il eiste lors u poit c de [, ] tel que l o it : 4 Sommes de Riem fg = f + c g Théorème 4 Soit f : [, ] E ue pplictio itégrle d u itervlle compct de R ds u ev complet E Quel que soit le omre ε >, il eiste u omre h > possédt l propriété suivte : pour toute sudivisio σ = =,,,, = de [, ], de ps u plus égl à h et toute suite ζ,, ζ de poits de [, ] vérifit i ζ i i pour i =,,,, o Sf, σ, ζ,, ζ f ε Propositio 4 Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle [, ] et soit σ p ue suite de sudivisios de [, ] dot le ps ted vers zéro Si pour chque sudivisio σ p = p,, p,,, p,p o choisit u poit ζ p,i ds chque itervlle [ p,i, p,i ], l somme de Riem ted vers l itégrle p S p = p,i p,i fζ p,i i= f qud p ted vers l ifii E prticulier, si f est itégrle sur [, ], l suite S défiie pr ted vers Référeces S = f qud l etier ted vers + f k= + k [] Jcquelie LELONG-FERRAND, Je-Mrie ARNAUDIÈS Cours de mthémtiques Tome, Alyse, 4ème éditio [] Eercices collectio EXO7 Clculs d itégrles http ://eo7emthfr/ficpdf/fic5pdf 9/9